Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 25 april 2013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed van de zwaartekracht het snelst van punt A naar punt B brengt. Nadat het probleem in 1638 was ge¨ıntroduceerd door Galileo Galilei, werd het als eerste door Johann Bernoulli opgelost: het optimale pad heeft een cyclo¨ıdische vorm. Het doel van dit artikel is om een variatie op het brachistochroonprobleem op te lossen. Dit maal betreft het geen object dat beweegt onder invloed van de zwaartekracht, maar een kleine magneet die beweegt onder invloed van het niet-uniforme magnetische veld van een veel grotere magneet. Zie figuur 1. De precieze afleiding volgt hieronder.
Gr ot ema gne e t
Moge l i j keba ne n
PA
PB
Kl e i nema gne e t
Figuur 1: De opstelling voor het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld. De vraag is welke van alle mogelijke banen, waaronder de twee afgebeelde, in de kortste reistijd resulteert.
1
I R d l ’
r ’
m2
x y
φ y
PB
z
PA m1
Figuur 2: De opstelling voor het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld. Een kleine magneet met magnetisch moment m1 beweegt van punt PA naar PB , onder invloed van het magnetische veld van een grotere magneet met magnetisch moment m2 . De grote magneet wordt voorgesteld als een enkele stroomlus met straal R en stroomsterkte I. De afstandsvector tussen een infinitesimaal stukje dl0 van de stroomlus en de kleine magneet is r0 . Deze vector maakt een hoek φ met de y-as. De sterkte van het magnetische veld hangt af van de y-afstand tussen de middelpunten van de magneten.
2
1
Opzet
Het magnetische veld van de blokmagneet Beschouw een kleine, sferische magneet die beweegt onder invloed van het magnetische veld van een veel grotere blokmagneet. Om de beweging te kunnen beschrijven, moeten we eerst een uitdrukking vinden voor het magnetische veld B van de blokmagneet 1 . Het veld van de grote blokmagneet kan beschouwd worden als het gevolg van een cirkelvormige stroomlus (straal R en stroomsterkte I) in het xz-vlak. De afstand tussen een infinitesimaal stukje dl0 van de lus en de kleine magneet is r0 . Deze vector maakt een hoek φ met de y-as. Zie figuur 2. Volgens de wet van Biot-Savart, veroorzaakt het stuk dl0 van de lus op het punt van de kleine magneet een veld dB met grootte: µ0 I(dl0 × rˆ0 ) 4π r02 De symmetrie van de cirkel in acht houdende, merken we op dat de componenten van dB in de x- en z-richtingen worden opgeheven, terwijl de component in de y-richting gelijk is aan: Z µ0 dl0 B(y) = I cos φ 4π r02 dB =
0 ˆ0 Waarin dl0 cos φ de projectie R 0 van dl × r in de y-richting is. Aangezien cos φ 02 en r constanten zijn, is dl simpelweg de omtrek van de cirkel 2πR. Als we bovendien opmerken dat R, r0 en de y-afstand tussen de kleine magneet en het middelpunt van de lus een rechthoekige driehoek vormen, vinden we dat cos φ = rR0 . Hierdoor is het magneetveld te schrijven als: µ0 cos φ µ0 I R2 B(y) = 2πR = 4π r02 2 (R2 + y 2 ) 32
Het defini¨eren van het magnetische moment m2 van de blokmagneet als m2 = IA = I(πR2 ) resulteert in de volgende uitdrukking voor het magnetische veld: B(y) =
µ0 m2 1 2π (R2 + y 2 ) 32
Waarin m2 uitsluitend de y-component van m2 is. De potenti¨ ele energie van de kleine magneet Met de hierboven gevonden uitdrukking voor de magnetische veldsterkte B, is het mogelijk om de potenti¨ele energie voor de kleine magneet te vinden: 1 Afleiding van B naar Introduction to Electromagnetism, vierde uitgave, David J. Griffiths, pagina 227
3
U = −m1 · B Aangezien er alleen een magnetisch veld in de y-richting is, is het resultaat van dit scalaire product: U = −m1 B(y) = −
µ0 m1 m2 1 3 2π (R2 + y 2 ) 2
µ0 , m1 en m2 zijn constant, dus met de introductie van een constante K, is de energie ook te schrijven als: U=
K (R2
3
+ y2 ) 2
De bewegingsenergie van de kleine magneet In eerste instantie zal de kleine magneet zo gaan draaien dat zijn magnetische moment m1 in dezelfde richting staat als het magnetische moment m2 van de blokmagneet. Na deze korte draai, zal de magneet alleen nog een translatiebeweging uitvoeren, waardoor de totale rotationele beweging te verwaarlozen is. De potenti¨ele energie wordt dus volledig omgezet in de translationele kinetische energie van de kleine magneet T = 21 M v 2 , met M de massa van de kleine magneet. Door deze uitdrukking gelijk te stellen aan de hierboven gevonden uitdrukking voor de potenti¨ele energie, vinden we dat: 2 s ds 2K 1 v= = dt M (R2 + y 2 ) 23 De belemmering, die de kleine magneet in zijn baan houdt is: s 2 p dy ds = (dx)2 + (dy)2 = 1 + dx dx Na substitutie van deze vergelijking in de vorige vinden we dat: s s 2 3 M (R2 + y 2 ) 2 dy dt = 1+ dx 2K dx s s 2 Z xB 3 M (R2 + y 2 ) 2 dy T (y) = 1+ dx 2K dx xA waarbij xA en xB de x-co¨ordinaten van het begin- en eindpunt zijn. 2 Afleiding van T (y) en inzet van de formule van Beltrami gebasseerd op: Weisstein, Eric W. Brachistochrone Problem. From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld. wolfram.com/BrachistochroneProblem.html
4
Voor de brachistochrooncurve zoeken we het pad waarin de tijd T geminimaliseerd wordt. Het minimum van de functionaal T is te vinden met behulp van de Euler-Lagrange vergelijking. Echter, constaterende dat T niet rechtstreeks afhangt van x, kan met behulp van de formule van Beltrami een versimpelde Euler-Langrange vergelijking worden opgesteld: ∂h =C ∂y 0 Waarin h de integrand is uit de formule voor T en C een constante. Subsitutie van de integrand h in de formule van Beltrami geeft: h − y0
s C
+ 2K
= s =
M (R2
3 y2 ) 2
q 0 2 1 + (y 0 )2 − q (y ) 2 1 + (y 0 )
3
M (R2 + y 2 ) 2 2
2K(1 + (y 0 ) )
De oplossingen voor y 0 worden na enige algebraische manipulatie gevonden: dy dx
2
r
3 M (R2 + y 2 ) 2 2 2KC s 3 M R3 y2 2 = ± −1 + 1 + 2KC 2 R2
= ±
−1 +
Een numerieke benadering
Helaas is deze differentiaalvergelijking niet triviaal op de lossen. De vergelijking wordt daarom numeriek benaderd. Dit gebeurt aan de hand van een voorbeeld. Neem aan dat de parameters van het probleem de volgende waarden hebben: Parameter M R µ0 m1 m2 C xA yA yB
Beschrijving Massa kleine magneet Straal stroomlus Magnetische veldconstante Magnetisch moment kleine magneet Magnetisch moment grote magneet Integratieconstante Co¨ ordinaat beginpunt Co¨ ordinaat beginpunt Co¨ ordinaat eindpunt
Waarde 0.001 kg 0.02 m 12.56 × 10−6 NA−2 2 × 10−3 Am2 4 Am2 1 0 0.06 m 0.02 m
Na substitutie van bovenstaande waarden, wordt met behulp van de NDSolvefunctie van het softwarepakket Wolfram Mathematica, het volgende systeem van vergelijking numeriek opgelost: 5
s 3 πM R3 dy y2 2 1+ 2 = ± −1 + dx µ0 m1 m2 C 2 R y(xA ) = yA
(1) (2)
Merk op dat de integratieconstante C zo gekozen dient te worden dat het systeem tevens voldoet aan de randvoorwaarde y(xB ) = yB . In dit geval is voor het gemak C = 1 gekozen en wordt xB als afhankelijke variabele genomen. Het gebruik van de NDSolve-functie resulteert in een verzameling datapunten, die weergegeven is figuur 3. De vorm van deze brachistochrone kromme is intu¨ıtief goed te begrijpen. Naar mate de kleine magneet dichter bij de grote magneet komt (bij kleinere y), wordt de magnetische kracht sterker. De baan in figuur 3 daalt in eerste instantie snel af en blijft vervolgens bijna constant. Een magneet ondervind langs deze baan dus de grootste versnelling over de langst mogelijke afstand. Hierdoor wordt de reistijd geminimaliseerd. Aan de andere kant is de baan ook niet helemaal kaasrecht, omdat dit voor een langere baan en dus een langere reistijd zou zorgen. De getoonde baan is het optimum: het heeft van alle mogelijke banen de kortste reistijd. Daarom is dit de brachistochrone kromme. De baan is grafisch weergeven in figuur 4. 0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.005
0.010
0.015
0.020
Figuur 3: De optimale (brachistochrone) baan voor een magneet in een nietuniform magnetisch veld. We hebben nu een kwalitatief verband tussen de vorm van de kromme en de totale reistijd vastgesteld. Echter, om betere voorspellingen te kunnen doen, is het van belang om te bepalen wat voor functie y(x) precies is. In figuur 3 is alleen het deel van de oplossingskromme in het eerste kwadrant weergeven, omdat negatieve y-co¨ ordinaten in de context van dit probleem geen betekenis
6
m2
x y PB
z
m1 PA
Figuur 4: De optimale (brachistochrone) kromme, weergeven in de orginele setting van het probleem. hebben. Het plotten van de negatieve waarden kan ons echter wel een idee geven van de achterliggende functie. Zie figuur 5.
7
0.2
0.1
-0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-0.1
-0.2
Figuur 5: De optimale (brachistochrone) baan voor een magneet in een nietuniform magnetisch veld. Na het plotten van de negatieve waarden, rijst het vermoeden dat de brachistochrone kromme een tangens-functie is. Om dit vermoeden te bevestigen, wordt een poging gewaagd het probleem analytisch op te lossen.
3
Een analytische benadering
Een eerste orde expansie We hadden de volgende uitdrukking voor
dy dx
s
gevonden:
dy dx
=
y2 ± −1 + p 1 + 2 R
p
=
πM R3 µ0 m1 m2 C 2
23
Na substitutie van de waarden uit het voorbeeld, blijkt de term p(1 + veel groter te zijn dan −1:
y = yA y = yB
y 2 32 R2 )
y2 3 ) 2 ≈ 78.8 R2 y2 3 ⇒ p(1 + 2 ) 2 ≈ 7.05 R ⇒ p(1 +
(3) 8
Deze waarden zijn dermate groot dat de −1 term te verwaarlozen is: √
78 ≈ 8.89 √ 6 ≈ 2.45
≈ 8.94 ≈ ≈ 2.65 ≈
√ √
79 7 (4)
Daarom kan de volgende benadering worden gemaakt: s
dy dx
3 y2 2 ± −1 + p 1 + 2 R s 3 y2 2 ≈ ± p 1+ 2 R 6 1 y2 √ + ≈ ± p 5 2 R2 =
Waarin tijdens de tweede stap gebruik is gemaakt van een Taylor-expansie y2 rond het punt R efficienten. 3 De nauwkeurigheid van 2 = 4 met versimpelde co¨ deze benadering hangt af van de gekozen parameters en kan in het algemeen worden bepaald met onderstaande formule. De fout in de benaderingsfunctie f (x)approx op een bepaald punt (x, f (x)) is: α=
|f (x) − f (x)approx | f (x)
Een numerieke oplossing voor de parameterwaarden van dit probleem is: 0.01 < α < 0.05 op het relevante interval. De nauwkeurigheid vari¨eert dus tussen de 1% en de 5%. Het oplossen van de differentiaalvergelijking We hadden met een zekere nauwkeurigheid gevonden dat: dy dx
6 1 y2 = ± p + 5 2 R2 6√ 5 y2 = ± p 1+ 5 12 R2 √
(5) Deel de linkerkant door de rechterkant en integreer over x: 2
y het punt R 2 = 4 is het kwadraat van de afstand tussen de magneten twee keer zo groot als het kwadraat van de straal van de stroomlus. Dit is redelijk, gezien de parameterwaarden uit het voorbeeld. Uiteraard kan een ander punt gekozen worden. Dit verandert niets aan de vorm van de uiteindelijke functie. 3 Op
9
Z
Z dy dx = 1dx √ 5y 2 dx ± 65 p 1 + 12R 2 r Z 1 5 1 ± dy = x 5y 2 6 p 1 + 12R 2 s Z 5 12R2 1 du = x ± 6 5p 1 + u2
(6)
Waarin de variabele u is gedefinieerd als: r 5y 2 u= 12R2 r 5 du = dy 12R2 R 1 −1 Aangezien 1+u u, vinden we dat: 2 du = tan s
12R2 tan−1 u + c = x 5p s ! r 5 12R2 y 5 ± tan−1 +c = x 6 5p 12 R 5 ± 6
Waarin c de integratieconstante is. Lossen we dit op voor y, dan vinden we ten slotte de brachistochrone kromme: ! r 12R2 6 5p = tan ± (x − c) 5 5 12R2 s ! r 12R2 3πM R = tan ± (x − c) 5 5µ0 m1 m2 C 2 r
y
Dimensioneel klopt deze vergelijking, want de wortelterm binnen de tangensfunctie heeft dimensie L−1 (immers [C] = [h] = [T ] = T). Hierdoor is de volledige term binnen de tangens-functie dimensieloos. De wortelterm voor de tangens-functie heeft dimensie L welke overeenkomt met de dimensie van y. Na het invullen van de parameterwaarden uit het numerieke voorbeeld (negatieve oplossing, integratieconstante c = 3.1), blijken beide uitkomsten goed overeen te komen. Met name op het relevante interval, blijkt bovenstaande functie de oplossing goed te beschrijven. Zie figuur 6.
10
4
Conclusie
De uitkomst van de analytische benadering bevestigt het vermoeden dat de magnetische brachistochrone kromme een tangenso¨ıdische vorm heeft. Deze uitkomst is verschillend van het traditionele (gravitationele) brachistochroonprobleem, waarbij een cyclo¨ıdische kromme in de kortste reistijd resulteert. Een verschil in uitkomst was op voorhand te verwachten, aangezien de potenti¨ele energie van de magneet omgekeerd evenredig is met de derde macht van y, in plaats van evenredig met y, zoals de zwaarte-energie Ez = mgy.
0.2
0.1
-0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-0.1
-0.2
Figuur 6: De numerieke (doorgetrokken) en analytische (gestreepte) oplossingen van het probleem komen goed overeen. De overeenkomst is het grootst op het relevante interval 0.02 < y < 0.06.
11
