harmonikus volt, akkor a létrejött hullám is az

Rezgések II. r α

i r

1.

hullámok mechanikai hullámok, hullámmozgás visszaverıdés, törés, elhajlás, interferencia a Huygens-Fresnel elv

Hullámok

Hullámzásról beszélünk, ha a víz felszíne felett fújó szél a víz felsıbb rétegeit mozgásba hozza, és jellegzetes, tovaterjedı hullámhegyek- és völgyek figyelhetık meg. Unalmasabb sporteseményeken elıfordul, hogy a közönség „hullámzással” szórakoztatja magát: a sorban ülı emberek egymás után állnak fel és ülnek vissza, ez egy távolabbi szemlélınek hullámként hat. A fenti jelenségeket úgy is szemlélhetjük, mint „állapotok” tovaterjedését: az ülı állapot egyik irányból a másikba végighalad az embereken, értelemszerően éppen annál tart, aki a helyén ül. Tekintsük az egyes embereket olyan, rezgésre képes egységeknek, amelyeknek egyik szélsı helyzete az ülı, a másik az álló pozíció. Minden ember a maga saját helyén végzi a rezgést (a felállást és leülést), amitıl ezt hullámnak érzékeljük, az a megfelelı fázisokban lévı emberek egymás után való elhelyezkedése (tehát, hogy ha egy pillanatra megállítanánk a mozgást, sorrendben következnének egymás után: álló – félig álló – ülı – félig álló – álló, stb. emberek). A hullám egy változás valamilyen közegben való tovaterjedése. Ebben a példában a változás a felállás majd újra visszaülés folyamata, a közeg, amelyben tovaterjed, pedig a nézıközönség. 1) Mechanikai hullámok Ha egy egyik végén rögzített gumikötél szabad végét gyorsan fel-le mozgatjuk, az így keltett zavar „végigmegy” a kötélen, a gumikötélben lévı, rezgésre képes (rugalmas) részecskék saját helyükön rezegnek, a kötélen maga a rezgésállapot terjed.

a hullám terjedésének iránya

Ha egy rugalmas közegben egy rezgésállapot térben és idıben tovaterjed, hullámmozgás (mechanikai hullám) figyelhetı meg. Minden részecske a maga helyén végzi a rezgést, így maga a rezgésállapot terjed tovább. Ha a hullámot létrehozó rezgés, a hullámforrás rezgése FE harmonikus volt, akkor a létrejött hullám is az. F1

A hullámokat több szempont szerint csoportosíthatjuk: a közeg dimenzióinak száma alapján, amelyben a hullám tovaterjed megkülönböztetünk pontsoron terjedı (vonalmenti) hullámot, ha egydimenziós a közeg, ilyen pl. a fenti példában szereplı gumikötélen végighaladó zavar; felületi hullámot, kétdimenziós közeg esetén, ilyen pl. a víz felületén megfigyelhetı hullám; térbeli hullámot, ha háromdimenziós a közeg, ilyenek pl. a hanghullámok. a hullám terjedésének és a rugalmas közeg részecskéi mozgásának egymáshoz viszonyított iránya alapján megkülönböztetünk transzverzális (keresztirányú) hullámot, ahol az egyes részecskék rezgésének iránya és a hullám terjedésének iránya merıleges egymásra. A transzverzális hullámban hullámhegyek és hullámvölgyek terjednek (eddig szinte csak transzverzális hullámra láttunk példát); longitudinális (hosszanti) hullámot, ahol a rezgı részecskék mozgásának iránya és a hullám terjedésének iránya egybeesik. A longitudinális hullámban sőrősödések és ritkulások terjednek, ilyen hullámot figyelhetünk meg, ha egy hosszú, széles rugót az asztalra fektetünk, és egyik végét hirtelen magunk felé rántjuk, a rugó menetei között így létrejövı „ritkulás” végigterjed a rugón, és „sőrősödés”, majd ismét „ritkulás”, stb. követi. nsoft plus! jegyzet © nsoft 2006. you gotta learn… and it’s high time to try easier!

Ez a jegyzet letölthetı:

nsoft plus! 2 – rezgések 2.

2

Szilárd anyagokban mind longitudinális, mind transzverzális hullám létrejöhet, mivel rendelkeznek térfogati rugalmassággal, és alakjuk (formájuk) megváltoztatása szempontjából is rugalmasak. Légnemő és folyékony halmazállapotú anyagokban csak longitudinális hullám jön létre, mivel alakváltozással szemben nem rugalmasak. Ezt könnyen megérthetjük, ha belegondolunk, hogy a transzverzális hullámban az egyes részecskék a hullám terjedési irányára merılegesen rezegnek. Ez csak a szilárd halmazállapotú anyag helyhez kötött részecskéivel valósulhat meg, mivel azok kitérésük után visszatérnek egyensúlyi helyzetükbe. A folyadékok és gázok „szabad”, egymáson elgördülı, egymással ütközı részecskéire ez nem igaz, így az ilyen halmazállapotú anyagokban csak a longitudinális hullám tud tovaterjedni, mivel itt a részecskék sőrősödésérıl (egymáshoz közeledésérıl) és egymástól való eltávolodásáról van szó. Megtévesztı ezért a víz hullámzása, amely azonban felületi hullámzás, a folyadékok belsejében csak longitudinális hullám terjedhet tovább.

2) A mechanikai hullámokra (hullámmozgásra) jellemző mennyiségek amplitúdó (A), [m]: a rugalmas közeg egy részecskéje által végzett rezgés amplitúdója, (de csak akkor jellemzı a hullámra, ha minden részecske ugyanakkora amplitúdóval mozog). frekvencia vagy rezgésszám (f), [Hz]: a rugalmas közeg bármely része, amelyen a hullám terjed, ugyanakkora frekvenciával rezeg. Ez az érték megegyezik a hullámot keltı hatás, a hullámforrás frekvenciájával. körfrekvencia (ω), [Hz]: a frekvencia 2π-szerese periódusidı (T), [s]: továbbra is a frekvencia reciproka, így a rugalmas közeg egy részecskéének rezgésideje is. Az az idıtartam, amely alatt a közegben terjedı változás egy hullámhossznyi utat tesz meg. hullámhossz (λ λ), [m]: (ugyanabban az hullámfront (a hullámtér idıpillanatban) a rugalmas közeg két, azonos mindenkori határa) fázisban lévı, szomszédos részének távolsága. λ Transzverzális hullámnál pl. két szomszédos körhullám hullámhegy vagy hullámvölgy, longitudinális esetén síkban körvonalat, hullámnál két, egymás mellett elhelyezkedı térben „sőrősödés” vagy „ritkulás” távolsága. λ gömbfelületet m  alkot a terjedési sebesség vagy fázissebesség (c),   : s

hullámfront

a hullám terjedéséhez idıre van szükség, így y [m] terjedésének van sebessége, amely függ a közegtıl, melyben halad. A

λ c = = λ⋅f T

r α

i r

2.

λ

λ

x [m] -A

Hullámok visszaverı ıdése 1) Vonalmenti hullámok visszaverődése szabad végrıl azonos fázisban verıdik vissza a hullám, mikor eléri az új közeg határát. rögzített végrıl ellentétes fázisban verıdik vissza új közeg határán, a fázisugrás szöge így 180o

2) Felületi hullámok visszaverődése 2.1) Egyenes hullámok visszaverıdése. Az egyenes hullámnál visszavert sugár beesı sugár az azonos fázisban lévı részek, a hullámhegyek- és völgyek párhuzamos egyenesek mentén helyezkednek el. Ha az érkezı hullámfront az új közeg határával is párhuzamos, a visszavert hullámfront is az lesz, a új közeg határa visszavert hullám terjedési iránya pedig ellentétes az érkezıvel. Az érkezı hullám terjedési irányát, pontosabban a hullámfrontjára merıleges egyenest minden esetben beesı sugárnak, a visszavert hullámét visszavert sugárnak nevezzük. A sugár és a visszaverı felület (a közeghatár) közös Ez a jegyzet letölthetı:

nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2007. you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D710E_rezgese2_V1


3

pontja a beesési pont, az ebben a pontban a visszaverı felületre állított merıleges a beesési merıleges. Ha a beesı sugár nem merıleges a felületre, hanem a beesési merılegestıl egy α szöggel hajlik el (ezt beesési beesési merıleges szögnek nevezzük), a visszavert sugár egy β szöget fog a merılegessel bezárni (amelyet visszaverıdési szögnek α β hívunk). A visszaverıdés törvényszerőségei alapján ilyenkor a beesı- és visszavert sugár, valamint a beesési merıleges egy síkban vannak, viszonylag sima felület esetén a beesési szög nagysága egyenlı a visszaverıdési szögével. Akkor tekintünk egy felületet simának, ha egyenetlenségei a új közeg határa hullámhossznál kisebbek. Ha a felület egyenetlen, szórt α=β (diffúz) visszaverıdésrıl beszélünk.

r α

i r

3. Hullámok törése Új közeg határára érve a hullám egy része visszaverıdik, másik része behatol a közegbe, ahol általában megváltozott terjedési iránnyal halad tovább (megtörik a haladási iránya). Ennek oka, hogy az új közeg hullámtanilag más jellemzıkkel rendelkezik, más sebességgel (változatlan frekvenciával, de eltérı terjedési sebességgel, ezért eltérı hullámhosszal) terjed benne a hullám. Hullámtanilag tehát akkor tekintünk különbözınek két közeget, ha bennük ugyanaz a hullám más-más sebességgel terjed. Azt a közeget, amelyben a hullám lassabban terjed sőrőbb, amelyben gyorsabban, ritkább közegnek nevezzük (ez az elnevezés természetesen nem áll kapcsolatban az anyagokra jellemzı ρ értékekkel (tömeg/térfogat arányokkal)). A hullámok törésére vonatkozó törvényszerőségek alapján a beesı sugár, a beesési merıleges és a megtört sugár egy síkban vannak (megtört sugárnak a közegbe behatoló, abban α továbbhaladó hullám frontjára merıleges egyenest nevezzük). A ritkább közegbıl a sőrőbb közegbe átlépı hullám esetében a beesési szög (β) kisebb, mint a törési szög (α), és szinuszaik hányadosa megegyezik a terjedési sebességek (az érkezı és továbbhaladó hullámok terjedési sebességeinek) hányadosával, amely – a két közeg határára és a hullámra β jellemzı – állandó érték. Az állandó neve törésmutató, amely a két közeg hullámtörı képességét jellemzi. Mivel a terjedési sebességek hányadosa, nem mindegy, hogy melyik közegbıl érkezik a hullám, és melyikben halad tovább. Két közeg esetén a 2. közeg 1. közegre vonatkoztatott törésmutatója (mikor a hullám az elsı közegbıl a másodikba halad):

n2;1 =

c 1 sin α = c 2 sin β

Ha a hullám a második közegbıl lép át az elsıbe, a haladási irány felcserélésével a terjedési sebességek, és a törési szögek is felcserélıdnek, így az 1. közeg 2.-ra vonatkoztatott törésmutatója:

n1;2 =

c2 1 = c 1 n2;1

Sőrőbb közegbıl ritkább közegbe haladó hullám esetén a törési szög nagyobb lesz a beesési szögnél, a megtört sugár a beesési merılegestıl hajlik el, ahhoz „törik”. Minél nagyobb a beesési szög, annál nagyobb az elhajlás, így eljuthatunk egy olyan αh „határszöghöz”, amelyhez β = 90oos törési szög tartozik. Az ennél nagyobb beesési szöggel érkezı hullám nem hatol be a ritkább közegbe, hanem a határfelületrıl visszaverıdik, a visszaverıdés törvényszerőségei szerint.



nsoft plus! 2 – rezgések 2. r

4

i r

α

4. Hullámok elhajlása Egy pontszerő hullámforrásból kiinduló hullám „útjába” helyezzünk olyan akadályt, amelyen egy viszonylag nagyobb rés található!

árnyéktér

árnyéktér

Azt tapasztaljuk, hogy akár kör-, akár egyeneshullámokat kelt a hullámforrás, a rés méretétıl függıen a továbbhaladó hullám behatol az akadály mögötti árnyéktérbe; minél kisebb a rés, annál jobban. Egészen kis nyílás esetén (amely kisebb, mint a hullámhossz), a hullám teljesen behatol az árnyéktérbe, úgy, mintha a nyílás egy pontszerő hullámforrás lenne (körhullám indul ki belıle).

1) A HuygensHuygens-Fresnel elv Egyeneshullámok útjába helyezzünk olyan akadályt, amelyen több, egészen kis rés található! Tudjuk, hogy a kismérető rések kis körhullámok (elemi hullámok) kiindulópontjai. Tapasztalatok alapján ezek közös burkolófelülete adja a rés után létrejövı hullámfrontot. A tapasztalatok azt mutatják, hogy résen áthaladó hullámok az árnyéktérbe, vagyis oda is eljuthatnak, ahová „egyenes vonalú” terjedésük miatt nem tudnának, ez a hullámelhajlás jelensége. Az elhajlás annál jelentısebb, minél kisebb (a hullámhosszhoz viszonyítva) a rés. Ha annál sokkal kisebb, a nyílás elemi hullám kiindulópontjaként viselkedik. Elhajlás csak térbeli és felületi hullámoknál figyelhetı meg.

Egy hullámfelület minden egyes pontja egy új elemi hullám kiindulópontja. Az új hullámfelület ezen elemi hullámok közös burkolófelülete (vagyis a tovaterjedı hullám ezeknek az interferenciájából jön létre). Ez a Huygens-Fresnel elv. FE

F1

A Huygens-Fresnel elv segítségével a hullámok visszaverıdését, törését és elhajlását is magyarázhatjuk. Visszaverıdés: a létrejövı elemi hullámok közös burkolófelülete az új hullámfelület.

r α

i r

5. Hullámok interferenciája A vízfelszínen keltett zavar hullám formájában, hullámhegyek és hullámvölgyek táguló, koncentrikus köreiként terjed tovább. Ha több, egymáshoz közeli helyen is zavart keltünk, a koncentrikus körök egy idı után összeérnek, a hullámok „találkoznak”. Tudjuk, hogy az ilyen mechanikai hullámokban rezgésállapot terjed tovább, vagyis az egyes részecskék a hullámforrásra jellemzı frekvenciával, saját helyükön, „eltolt” fázisokban végzik a rezgést. Mikor a két hullám találkozik, a találkozás helyén lévı részecskék többféle rezgésállapotot is átvesznek: a hullámokban terjedı rezgésállapotok „eredıjével” kezdenek el rezegni (a rezgések az adott helyen szuperponálódnak), a hullámok mintegy „összegzıdnek”. A jelenség, a hullámok ilyen találkozása az interferencia.



F2


5

1) Vonalmenti hullámok interferenciája A vonalmenti (pontsoron terjedı) hullámok interferenciájának vizsgálatához készítsünk egy speciális eszközt! Egy merev rúd két végét kössük össze eltérı hosszúságú rugalmas kötelekkel egy ponttal, amelybıl egy harmadik rugalmas kötél indul ki, és mozgassuk a rudat fel-le!

s1 = 3λ

s2 = 2λ ∆s = λ

A rúd mozgatásával annak mindkét végére csatlakoztatott kötélen azonos frekvenciájú, azonos hullámhosszú hullámokat indítunk. Mivel bennük rezgésállapot terjed, belátható, hogy a találkozásukkor a harmadik kötélen létrejövı hullám jellemzıi attól függenek, hogy a hullámok milyen fázisban találkoznak (tehát, hogy erısítik vagy gyengítik-e egymást). Ha azonos fázisban találkoznak, a létrejövı hullám amplitúdója a két hullám amplitúdójának összege, ha ellentétes fázisban, akkor különbségeiknek abszolútértéke.

Mitıl függ azonban, hogy milyen fázisban találkoznak a hullámok? A fenti ábrán látható, hogy a keltett hullám „szinuszgörbéje” az egyik kötélre háromszor, a másikra kétszer fér rá, vagyis az egyik kötél hossza a hullámhossz háromszorosa, a másik a kétszerese. Belátható, hogy ha mindkét kötél hossza a hullámhossz egész számú többszöröse (egyszerese, ötszöröse, huszonkétszerese), akkor a hullámok azonos fázisban találkoznak. Ha mindkét kötélhossz (a hullám által megtett út) egész számú többszörös, akkor különbségük is az, vagyis másképp megfogalmazva a hullámok által megtett utak különbsége a hullámhossz egész számú többszöröse, a félhullámhossz páros számú többszöröse.

∆s = 2k ⋅

λ , k ∈N 2

Ellentétes fázisban történı találkozáshoz az egyik hullámnak félhullámhossznyi úttal többet kell megtenni. Ez az útkülönbséget is változtatja a hullámhossz felével, így (mivel páros számhoz egyet hozzáadva vagy kivonva páratlan számot kapunk) az útkülönbség a félhullámhossz páratlan számú többszöröse kell, hogy legyen.

∆s = ( 2k + 1) ⋅

λ , k ∈N 2

2) Állóhullámok Az elızı példában olyan hullámok interferenciájáról volt szó, amelyek egy irányba terjedtek. Vizsgáljunk most egymással szembe haladó vonalmenti hullámokat! (1) Mindkét végén rögzített, rugalmas kötélen hullámokat indítva, a hullám rögzített végrıl ellentétes fázisban verıdik vissza. Mivel ugyanaz a rezgésállapot ugyanabban a közegben terjed, így a visszaverıdés után megegyezı (a „szinuszgörbe” fele) amplitúdójú, rezgésszámú és hullámhosszú, de egymással szemben haladó, ellentétes fázisban lévı hullámok találkoznak. Megfelelı rezgésszámú hullámforrás esetén sajátos jelenség figyelhetı meg: a kötélen tartósan helyben maradó (rezgést nem végzı) pontok jelennek meg, mások pedig idıben állandó amplitúdóval rezegnek (mindig ugyanabban a fázisban vannak, a „tovaterjedı” hullámban az egyes részecskék között „fáziseltolódás” figyelhetı meg). A tartósan nyugalomban maradó pontokat csomópontoknak, a maximális amplitúdóval rezgıket duzzadóhelyeknek nevezzük. A jelenség neve – mivel a csomópontok és a duzzadóhelyek a kötél ugyanazon pontján maradnak – állóhullám.

λ =l 2

Rugalmas kötélen egymással szemben haladó, egyenlı rezgésszámú és amplitúdójú hullámok találkozásakor állóhullám alakulhat ki, ha a kötél hossza és a hullámforrás frekvenciája megfelelı. FE

F

1 Rögzített végen csak csomópont, szabad végen csak duzzadóhely alakulhat ki. Így ahhoz, hogy egy mindkét végén rögzített rugalmas kötélen állóhullám létrejöhessen, a kötél hossza a rajta végighaladó hullám félhullámhosszának egész számú többszöröse kell, hogy legyen.

l = n⋅

λ , n ∈ N+ 2 Ez a jegyzet letölthetı:


F2


6

A fenti képletben szereplı n ilyen módon megadja a kötélen kialakuló duzzadóhelyek (tulajdonképpen az állóhullámok) számát. pl. n = 2; két duzzadóhely, rögzített végek, a λ λ kötél hossza éppen megegyezik a 2 2 hullámhosszal, l = λ Mivel l = n ⋅

λ 2

l n = λ 2

1 n / · c (a terjedési sebességgel) = λ 2l c n⋅c = f , így f = λ 2l

c n⋅c = λ 2l

A kialakuló hullám frekvenciája függ tehát a kötél (húr) hosszától, illetve a rajta haladó hullám sebességétıl a kötél feszítettségétıl. Minél nagyobb a hullám frekvenciája, annál magasabbnak halljuk az adott hangot (ez a hangszerek hangolásának az elve is.) (2) Mindkét végén szabad rugalmas pontsor végeinél csak duzzadóhely jöhet létre. A pontsorra nézve továbbra is feltétele az állóhullám kialakulásának, hogy hossza megfelelı legyen. Fontos észrevenni, hogy azzal, hogy a kötél mindkét végét nyitottá tettük, nem változtattuk a kialakulni képes állóhullámok számát, csak mintegy „eltoltuk” a duzzadóhelyek és csomópontok helyét. Így a kialakulás feltétele továbbra is az, hogy a kötél hossza a végighaladó hullám félhullámhosszának egész számú többszöröse legyen.

λ l = 4 2

λ =l 2

l = n⋅ λ l = 4 2

λ , n ∈ N+ 2

n a csomópontok számát is megadja

n = 1, két duzzadóhely, egy csomópont, a „kötél” (rugalmas pontsor) hossza a hullámhossz fele

λ=l n = 2, két csomópont, három duzzadóhely, a kötél hossza éppen egyenlı a hullámhosszal

λ 4

λ 4

λ 2

A létrejövı hullám frekvenciájára hasonló összefüggés adódik, mint két rögzített vég esetén (ld. feljebb). (3) Egyik végén rögzített, másik végén szabad kötél esetében a rögzített végnél csomópont, a szabad végnél duzzadóhely fog kialakulni. A rögzített vég felıl számlálva az állóhullámokat, egészen a szabad végig mindig egész számúakat fogunk kapni, a szabad végen azonban már csak egy duzzadóhely, egy „fél állóhullám” lesz, amelyrıl tudjuk, hogy hossza a hullámhossz negyede. Így összesen mindig negyed hullámhosszal rövidebb kötélre lesz szükség az állóhullámok kialakulásához, mint két rögzített vagy két szabad vég esetén. Mivel ott a kötélhossz a félhullámhossz egész számú többszöröse volt (vagyis a negyedhullámhossz páros számú többszöröse), így most a negyedhullámhossz páratlan számú többszörösével egyenlı hosszú köteleken fog tudni állóhullám kialakulni. λ n a duzzadóhelyek vagy a l = ( 2n − 1) ⋅ , n ∈ N + csomópontok száma 4

λ =l 4

n = 1, egy duzzadóhely, egy csomópont, a kötél hossza a hullámhossz negyede

A kialakuló hullám frekvenciájára adódó összefüggés:

l = ( 2n − 1) ⋅

λ 4

1 ( 2n − 1) = λ 4l

/·c

f=

( 2n − 1) ⋅ c 4l

λ 2

3λ =l 4

n = 2, két csomópont, két duzzadóhely, a kötélhossz a hullámhossz háromnegyede

c ( 2n − 1) ⋅ c = λ 4l Ez a jegyzet letölthetı:


λ 4

nsoft plus! 2 – rezgések 2. r i Polarizáció α r

7

6.

Keltsünk megfeszített rugalmas kötélen transzverzális hullámokat úgy, hogy a kötél végét nem csak egy irányban, hanem több egyenes mentén rezgetjük! Ennek hatására a kötélen továbbhaladó hullám „szinuszgörbéje” is megcsavarodik, az egyes részecskék nem ugyanabban a síkban végzik a rezgést. Ha a kötelet átfőzzük egy keskeny nyílással rendelkezı deszkalapon, és a kísérletet megismételjük, azt tapasztaljuk, hogy a nyílás után a kötélen csak olyan hullámok haladnak, amelyekben a részecskék rezgése a nyílás és a hullám terjedésének iránya által meghatározott síkban van. Az olyan transzverzális hullámokat, amelyekben a részecskék rezgése egy síkban történik (a hullámnak egy rezgési síkja van), lineárisan poláros (síkban poláros) hullámnak nevezzük. A folyamat, amely során a több rezgési síkkal rendelkezı hullámból lineárisan poláros hullám lesz, polarizáció, az eszköz neve, amellyel a polarizáció polarizátor végbemegy, polarizátor. Ha a fenti polarizátor mögé még egy, hasonló deszkalapot helyezünk, és azt elkezdjük körbeforgatni, a második deszkalapon áthaladó hullám egyre kisebb amplitúdójú, majd 90o-os elforgatásnál teljesen elhal (vagyis a deszkalap analizálja a hullámot, ezért analizátornak nevezzük).

Polarizálni csak transzverzális hullámot lehet, így a polarizáció alkalmas annak meghatározására, hogy a vizsgált hullám transzverzális-e (pl. fényhullámok polarizálása tükrökkel).

analizátor

polarizátor



harmonikus volt, akkor a létrejött hullám is az

Recommend Documents