Az egydimenzi´os harmonikus oszcill´ator t´argyal´asa az ´altal´anos formalizmus keret´eben November 7, 2006 P´eldak´eppen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenzi´os harmonikus oszcill´ atort t´ argyalni az ´altal´ anos formalizmus keret´eben. A harmonikus oszcill´ ator saj´ats´ agos ´es fontos szerepet t¨ olt be a fizik´aban. Sz´ amos jelens´eget modellezhet¨ unk, a harmonikus oszcill´ ator seg´ıts´eg´evel. A kvantummechanikai harmonikus oszcill´ ator modell l´enyeges a t´erelm´elet, molekulavibr´ aci´ ok elm´elete, krist´ alyr´ acsok rezg´esei ´es a kvant´ al´asi elj´ar´asok szempontj´ ab´ ol. Itt csak a leegyszer˝ us´ıtett egydimenzi´os feladattal fogunk foglalkozni. Az elemi hull´ ammechanika keret´eben l´ attuk m´ar ennek a kvantummechanikai feladatnak a megold´as´ at. A megold´as sor´ an egy differenci´alegyenletet oldottunk meg, ´es a l´ attuk, hogy az energia saj´at´allapotokat le´ır´ o hull´ amf¨ uggv´enyek kifejezhet˝ok a Hermite polinomok seg´ıts´eg´evel. Az egydimenzi´os kvantumos oszcill´ ator energia-saj´ at´ert´ekeire azt kaptuk, hogy: 1 n = 0, 1, 2, . . . (1) En = h ¯ω n + 2 Most megoldjuk a feladatot az ´altal´ anos formalizmusban ann´elk¨ ul, hogy egy adott reprezent´ aci´ ot v´alasztan´ ank. Megl´ atjuk, hogy a feladat megold´asa egyszer˝ ubb lesz, ´es a differenc´ alegyenletek elm´elete helyett itt algebrai ismeretekre lesz sz¨ uks´eg. A feladat Hamilton f¨ uggv´enye: p2 kq 2 + , 2m 2 bevezetve az oszcill´ ator k¨orfrekvenci´ aj´ at: H=
(2)
p2 mω 2 2 + q (3) 2m 2 A kvantummechanika keret´eben a H Hamilton f¨ uggv´enyhez a kan´ onikus kvant´ al´ asi elj´ ar´ assal egy oper´atort rendel¨ unk: k = mω 2 ⇒ H =
H=
1 ⇒ p 2 + m2 ω 2 q 2 2m ˆ = 1 pˆ2 + m2 ω 2 qˆ2 H 2m 1
(4)
A pˆ ´es qˆ oper´ atorokra igaz, hogy: [ˆ q , pˆ] = i¯h
(5)
´ ırjuk, most a feladatot egy egyszer˝ At´ ubb, adimenzion´ alis alakba, bevezetve a k¨ovetkez˝o oper´ atorokat: ˆ= 1 H ˆ H ¯hω 1 Pˆ = √ pˆ m¯hω r ˆ = mω qˆ Q ¯h
(6) (7) (8)
Azonnal ad´ odik, hogy: ˆ= H
1 ˆ2 mω 2 ˆ2 1 h pˆ2 mω ˆ2 i p + q = + q , 2m¯ hω 2¯ hω 2 m¯hω ¯ h
(9)
vagyis: i h ˆ = 1 Pˆ2 + Qˆ2 . H 2 Bel´athat´o a k¨ovetkez˝o kommut´ al´asi ¨osszef¨ ugg´es h i ˆ Pˆ = i, Q,
(10)
(11)
ami az (5) kommut´ al´ asi ¨ osszef¨ ugg´esnek az adimenzion´alis megfelel˝ oje. Bevezet¨ unk m´eg k´et tov´abbi oper´atort is: 1 ˆ + iPˆ a ˆ= √ Q 2 1 ˆ − iPˆ a ˆ+ = √ Q 2
(12) (13)
Az a ˆ ´es aˆ+ oper´ atorokat l´epcs˝ o-oper´ atoroknak nevezz¨ uk, a ˆ egy cs¨ okkent˝ o oper´ ator, ˆ + a meg egy n¨ ovel˝ o oper´ ator. (Ezen elnevez´esek eredete vil´agoss´ a v´allik k´es˝obb). Ezen k´et oper´ ator seg´ıts´eg´evel fel´ırhat´ o, hogy: ˆ = √1 a Q ˆ+ + a ˆ 2 1 Pˆ = √ i a ˆ+ − a ˆ 2
(14) (15)
Azonnal igazolhat´o, hogy [ˆ a, a ˆ+ ] = 1
2
(16)
´es bel´ athat´o, hogy:
ˆ= 1 a H ˆa ˆ+ + a ˆ+ a ˆ . (17) 2 A kommut´ al´ asi ¨ osszef¨ ugg´esek ´ertelm´eben a ˆa ˆ+ = 1 + a ˆ+ a ˆ, ´es ennek felhaszn´al´ as´ aval: h i 1 ˆ=1 a ˆ+ a ˆ+a ˆ+ a ˆ+1 =a ˆ+ a ˆ+ H 2 2 ˆ =a Bevezetve most az N ˆ+ a ˆ jel¨ol´est: ˆ=N ˆ + 1. H 2
(18)
(19)
ˆ oper´ AH ator saj´ at´ert´ekeit ´es saj´atvektorait prob´ aljuk meghat´ arozni. Jel¨ olj¨ uk ˆ saj´ n-nel az N at´ert´ekeit ´es |ni-nel a saj´atvektorokat ˆ |ni = n|ni N
(20)
K´et fontos t´etelt fogunk most kijelenteni ´es bizony´ıtani az n saj´at´ert´ekekre ´es az |ni saj´ atvektorokra vonatkoz´oan: 1. T´ etel: Az n saj´ at´ert´ekekre igaz, hogy n ≥ 0, ha n = 0 ⇒ a ˆ|ni = |∅i ´es ha n > 0 ⇒ a ˆ|ni = 6 |∅i. Itt |∅i a vektrot´er ’z´er´o-ket vektor´ at jelenti (az ¨osszead´asra n´ezve lev˝o semleges elem), ugyanis ezen tagot l´enyeges megk¨ ul¨onb¨ oztetni az n = 0 saj´ at´ert´ekhez tartoz´ o |0i-ket vektort´ol! Ezen feladat tanulm´ anyoz´asa sor´ an a k¨ovetkez˝okben v´egig ezt a jel˝ol´esi konvenci´ ot haszn´aljuk! Bizony´ıt´ as: 2 ˆ |ni = hn|ˆ hn|N a+ a ˆ|ni = nhn|ni = ˆ a|ni ≥ 0,
(21)
ahonnan ol l´ atszik, hogy 2 azonnal k¨ovetkezik, hogy n ≥ 0. A fenti egyenletb˝ a|ni = 0 ha a ˆ|ni = |∅i ´es ehhez az sz¨ uks´eges, hogy n = 0. Ha n > 0, akkor ˆ a ˆ|ni = 6 |∅i. 2. T´ etel: a. ha n > 0, akkor ˆ |ni = n|ni N (22) ˆ (ˆ N a|ni) = (n − 1) (ˆ a|ni)
+
(23)
+
b. a ˆ |ni = 6 |∅i ´es a ˆ |ni = 6 |0i semmilyen n ´ert´ekre, ´es ˆ a N ˆ+ |ni = (n + 1)ˆ a+ |ni
(24)
Bizony´ıt´ as:
ˆa ˆ −1 N ˆ=a ˆ+ a ˆa ˆ= a ˆa ˆ+ − 1 a ˆ=a ˆa ˆ+ a ˆ−a ˆ=a ˆ N 3
(25)
ˆ +1 ˆ aˆ+ = a ˆ+ a ˆ+1 =a ˆ+ N N ˆ+ a ˆa ˆ+ = a ˆ+ a
Felhaszn´alva a fenti k´et egyenl˝ os´eget ˆ (ˆ ˆ − 1 |ni = nˆ N a|ni) = a ˆ N a|ni − a ˆ|ni = (n − 1)ˆ a|ni,
(26)
(27)
ahonnan k¨ovetkezik az (a) ´all´ıt´asunk. A (b) ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´ anak az ´erdek´eben tekints¨ uk az al´abbi egyenl˝ os´egeket: + 2 ˆ + 1|ni = hn|ˆ aa ˆ+ |ni = ˆ a |ni = hn|ˆ a+ a ˆ + 1|ni = hn|N
= (n + 1)hn|ni ≥ 0
(28)
A fenti skal´ aris szorzat (ami az a ˆ+ |ni vektor norm´aja) minim´alis, ha n = 0. Ilyen felt´etelek mellett ha |ni = 6 |∅i az egyenlet jobboldala mindig pozit´ıv, teh´ at aˆ+ |ni = 6 |∅i, ellenkez˝o esetben ugyanis a baloldal 0-val lenne egyenl˝ o. + 2 Bizony´ıtottuk teh´ at ez´altal a (b) ´all´ıt´as els˝ o r´esz´et, vagyis: ˆ a |ni > 0 ⇒ a ˆ+ |ni = 6 |∅i semmilyen |ni esetre! A (b) ´ all´ıt´ as m´asodik fele azonnal k¨ovetkezik az al´abbi egyenletekb˝ ol: ˆ + 1 |ni = nˆ ˆ a a+ |ni + a ˆ+ |ni = (n + 1) a ˆ+ |ni (29) N ˆ+ |ni = a ˆ+ N
Ezen egyenletb˝ ol az is k¨ovetkezik, hogy a ˆ+ |ni = 6 |0i, ugyanis n legkisebb ˆ + lehets´eges ´ert´eke 0 lehet, ´es az a oper´ator alkalmaz´ as´aval mindig egy egys´eggel nagyobb saj´ at´ert´ekhez tartoz´ o saj´atvektort kapunk! ˆ oper´ Az N ator spektruma ˆ |ni = n|ni, |ni = Legyen n 6= 0, N 6 |0i. Alkalmazzuk most az a ˆ oper´atort ˆ -nek is sorozatban |ni -re. Az a ˆ|ni, a ˆ2 |ni . . . a ˆk |ni sorozatot kapjuk, amelyek N saj´ atvektorai ´es az (n−1), (n−2) . . . (n−k) saj´at´ert´ekekhez tartoznak. A sorozat korl´ atos, ugyanis n minim´ alis ´ert´eke 0. Mivel a ˆ|0i = |∅i, ezut´ an sorozatban a |∅i ’ket’-et kapjuk. Ahhoz, hogy a 0 saj´at´ert´ek el´erhet˝o legyen: n ∈ N, vagyis n term´ eszetes sz´ am kell legyen. |ni-b˝ol kiindulva megszerkeszthetj¨ uk az a ˆ+ oper´ atorral a t¨ obbi saj´ atvektort is:
(n + 1)
a ˆ+ |ni
(n + 2)
Teh´ at:
...
a ˆ+2 |ni
...
(n + k)
ˆ |ni = n|ni N ˆ N ˆ N
a ˆ+k |ni
saj´at´ert´ekekhez tartoznak. n∈N
saj´at´ert´ekei: 0, 1, 2, . . . saj´ atvektorai: |0i, |1i, |2i . . . 4
amelyek az (30) (31)
(32)
Egy saj´ atvektort ismerve, az a ˆ (cs¨ okkent˝ o) ´es a ˆ+ (n¨ ovel˝o) oper´atorok seg´ıts´eg´evel megszerkeszthet˝o az ¨ osszes t¨ obbi saj´atvektor. A fentiek alapj´an azonnal bel´athat´o, honnan erednek a a ˆ ´es a ˆ+ ”l´epcs˝o-oper´atorok” elnevez´esei. Ha hn|ni = 1 norm´ alt a ˆ+ |ni = cn |n + 1i (33) Felvet˝odik az a k´erd´es, hogy kell megv´ alasztani cn -et ahhoz, hogy: hn + 1|n + 1i = 1
(34)
2 2 hn|ˆ aa ˆ+ |ni = cn hn + 1|n + 1i = cn ,
(35)
hn|ˆ aa ˆ+ |ni = (n + 1)hn|ni = (n + 1)
(36)
Bel´athat´o, hogy
´es amint l´ attuk (28) szerint:
Azonnal k¨ovetkezik a (35) ´es (36) o¨sszef¨ ugg´esekb˝ ol, hogy √ cn = n + 1 √ a ˆ+ |ni = n + 1|n + 1i
(37) (38)
Hasonl´ o feladat fogalmazhat´ o meg az a ˆ cs¨okkent˝ o oper´atorra is: a ˆ|ni = dn |n − 1i
(39)
Ha hn|ni = 1, felvet˝odik megint a k´erd´es hogyan kell megv´ alasztani dn ´ert´ek´et ahhoz, hogy: hn − 1|n − 1i = 1. (40) Az el˝ oz˝o esethez hasonl´ oan induljunk ki a k¨ovetkez˝o egyenletb˝ ol: hn|ˆ a+ a ˆ|ni = |dn |2 hn − 1|n − 1i = |dn |2
(41)
ˆ oper´ Felhaszn´alva az N ator alakj´ at ˆ |ni = nhn|ni = n, hn|ˆ a+ a ˆ|ni = hn|N
(42)
ahonnan a (41)-el val´ o¨ osszehasonl´ıt´as ut´ an k¨ovetkezik, hogy: |dn |2 = n A norm´ alt saj´ atf¨ uggv´enyekre fel´ırhat´ o teh´at: √ a ˆ|ni = n|n − 1i
(43)
(44)
Speci´ alis esetben a |0i ’ket’-re fel´ırhat´ o, hogy: a ˆ|0i = |∅i 5
(45)
Kiindulva a |0i ’ket’-b˝ ol megszerkeszthet˝o az ¨osszes norm´alt saj´atvektor a n¨ ovel˝ o oper´ ator seg´ıts´eg´evel: n 1 |ni = √ a ˆ+ |0i n! ˆ Azonnal bel´ athat´o, hogy ezek saj´atvektorai a H-nak is. ˆ ˆ + 1 |ni = (n + 1 )|ni H|ni = N 2 2
(46)
(47)
A (6) jel˝ ol´es ´ertelm´eben az egydimenzi´os harm´onikus oszcill´ ator saj´atvektorai, teh´ at a (46) vektorok, a saj´ at´ert´ekek pedig: 1 ˆ |ni ⇒ (48) H|ni =h ¯ω n + 2 1 En = h ¯ω n + n = 0, 1, 2, 3, . . . (49) 2 A saj´ atert´ekek nem elfajultak. A |0i, |1i, |2i, . . . saj´atvektorok egy reprezent´ aci´ ot defini´ alnak az ´ allapotvektorok ter´en. L´ athat´o teh´ at, hogy az a´ltal´ anos formalizmus keret´eben egy eleg´ans elj´ar´as seg´ıts´eg´evel, puszt´an algebrai sz´am´ıt´asokkal siker¨ ult meghat´ arozni az egydimenzi´ os oszcill´ ator energia-saj´at´ert´ekeit. A saj´atvektorok meghat´ arozhat´ok a (46) ¨ osszef¨ ugg´es seg´ıts´eg´evel ha ismerj¨ uk az alap´allapot saj´atvektor´ at.
6
