készítette: Nyitray Gergely
Esszé a rezgőmozgásról
A harmonikus rezgőmozgás
N/m. Minél nagyobb D a rugó annál erősebb, merevebb. Ha a rugó feszítetlen a test nyugalomban van, ha azonban a testet kimozdítjuk ∆x-el egyensúlyi helyzetéből, vízszintes síkban harmonikus rezgést fog végezni. Az A amplitúdó adja meg a test legnagyobb távolságát a rugó nyújtatlan állapotához képest. Egyensúlyi helyzetben a testre ható erők eredője nulla, a rugó feszítetlen, de a test sebessége éppen maximális. Éppen ezért harmonikus rezgés során az egyensúly sohasem nyugalmi állapotot, hanem az eredő erők zérus voltát jelenti. A harmonikus rezgést mind kinematikailag, mind dinamikailag meghatározhatjuk. Kinematikai szemszögből nézve egy test harmonikus rezgőmozgást végez ha a pozíció-idő függvény az idő szinuszos vagy koszinuszos függvénye. Azaz x(t) = A cos(ω t) vagy y(t) = A sin(ω t). Itt A amplitúdó, ω = 2πf körfrekvencia. Sem A, sem pedig ω (így f és T sem) változhat harmonikus rezgés során! A dinamika szempontjából egy test akkor végez harmonikus rezgést, ha a rá ható erő (vagy erők eredője) arányos az x pozícióval: F (x) = −Dx. A rezgőmozgásra vonatkozó dinamikai-egyenletet a következőképpen kapjuk meg: −Dx = m a,
A környezetünkben sok periodikus (ismétlődő) jelenséggel találkozunk. Ezen jelenségek egy része a rezgések közé sorolható. Például: rezgő gitárhúr, billegő teáscsésze, szívdobbanás, lépés, belsőégésű járművek motorja, hangszórók membránja. Szűkebb értelemben akkor beszélünk rezgésről ha a test egyenes vonalú pályán mozog és periodikusan visszatér kezdeti állapotába. A harmonikus rezgőmozgás a legegyszerűbb rezgési forma. Ugyanakkor bonyolult rezgések előállíthatók harmonikus rezgések szuperpozíciójaként. A legtöbb rezgésre képes rendszer harmonikus rezgést végez, ha elegendően kis gerjesztésnek tesszük ki. Ennek ellenére a környezetünkben észlelhető legtöbb rezgési forma nem harmonikus. A
−A D
egyensúlyi helyzet
m
∆x
átrendezve
1. ábra. Harmonikus rezgőmozgásra képes rendszer
a+
D x = 0, m
amelyben D = ω2. m
Tekintsünk egy D rugóállandójú, súlytalan rugóból és egy m tömegű testből álló rendszert (első ábra). A test a vízszintes felületen súrlódásmenetesen mozoghat. Azt is feltételezzük, hogy a rugó tömege sokkal kisebb mint a test tömege. A D rugóállandó a rugó anyagára jellemző mennyiség azt adja meg, hogy egységnyi hosszváltozáshoz mekkora feszítőerő szükséges. Mértékegysége
Így a rezgőmozgás dinamikai-egyenlete a következőképpen is felírható:
1
a + ω 2 x = 0. p Mivel ω = 2π/T és ω = D/m, a T periódusidőt
a következőképpen számolhatjuk: r m T = 2π . D
A a + (D/m)x = 0 egyenletnek azonban csak speciális megoldása az x(t) = A cos(ω t) vagy a y(t) = A sin(ω t) függvény. Ezt onnan láthatjuk be, hogy az időmérés kezdetekor (azaz t = 0-kor) a test vagy az egyensúlyi helyzetben kell legyen y(0) = A sin(0) = 0 vagy az egyik szélső helyzetben x(0) = A cos(0) = A. Ha a test más pozícióból indul ezek a függvények nem alkalmazhatók. Nyilvánvaló, hogy t = 0-kor a test [−A, A] intervallumon belül bárhol lehet. Tetszőleges pozícióból induló, harmonikus rezgőmozgást végző testet akkor tudunk leírni, ha a pozíció-idő függvényt módosítjuk:
Láthatjuk, hogy a periódusidő független az A amplitúdótól csak m és D fizikai mennyiségektől függ. Ezt a tulajdonságot izokronizmus-nak nevezzük. „Izo” jelentése „azonos” (pl. izokromatikus → azonos színű), a „kron” jelentése „idő” (pl. kronológia→időrend). Ez azt jelenti, hogy a rugó megnyújtása nincs hatással a rezgés periódusidejére. Másként fogalmazva különböző amplitúdójú rezgésekhez is azonos nagyságú periódusidők tartoznak. Tehát az izokronizmus szó most azonos periódusidejűséget jelent. Tekintsünk egy billegő teáscsészét. Jól tudjuk, hogy a csésze rezgéseinek csillapodása (amplitúdó csökkenés) a frekvencia növekedéséhez vezet. Ez tehát nem harmonikus rezgés. Vajon a matematikai inga lengései izokrónok-e? A válasz az, hogy általában nem. Ennek oka az, hogy a matematikai ingára vonatkozó dinamikai-egyenlet β+(g/l) sin(ϕ) = 0 más alakú mint a harmonikus rezgőmozgásra vonatkozó: a + (D/m) x = 0. Az ingára vonatkozó egyenletben szereplő β a szöggyorsulás, ϕ pedig a szögelfordulás, l az inga hossza és g pedig a nehézségi gyorsulás. Ennek következtében az inga lengésideje általában függ az amplitúdótól. Viszont, ha a lengésekhez olyan kis maximális szögek tartoznak, hogy sin(ϕ) ≈ ϕ, a matematikai ingára vonatkozó dinamikai egyenlet pontosan olyan alakúvá válik mint a harmonikus rezgés dinamikai egyenlete: β + (g/l) ϕ = 0. Matematikailag a két egyenlet ekvivalens ezért a megoldásuk azonos, így g/l = ω 2 . Ebből következik, hogy 2π/T = ω 2 az inga lengésidejepjó közelítéssel izokrónnak tekinthető: T = 2π l/g. Érdemes megjegyezni, hogy ingalengést végezhet minden olyan test, amely súlypontján kívül vízszintes tengely körül foroghat, ez az ún. fizikai inga. Nagyon érdekes, hogy járás közben az emberi láb is fizikai ingának tekinthető aminek lengési periódusát a fonalingáéhoz hasonló képlet adja meg. 1
y(t) = A sin(ωt + δ), melyben δ ún. fázisszög, mértékegysége radián. Megelelő fázisszöggel a szinusz és koszinusz függvények is egymásba transzformálhatók: cos(ωt) = sin(ωt + π/2), sin(ωt) = cos(ωt − π/2), így: x(t) = A cos(ωt) = A sin(ωt + π/2). Harmonikus rezgőmozgás súlyos rugó esetén. Minden reális rugónak van tömege, amely korántsem biztos, hogy elhanyagolható. Ha teljesül, hogy mrugó ≪ mtest és a rugó megnyúlása egyenletes, megmutatható, hogy a körfrekvenciát (így a periódusidőt is) meghatározó m-et a rugó tömegének a harmadával kell növelni. 2 mrugó m = mtest + . 3 A harmonikus rezgőmozgás kinematikai jellemzői. A harmonikus rezgőmozgás leszármaztatható az egyenletes körmozgásból úgy, hogy a körmozgást végző test x vagy y irányú vetületét vizsgáljuk. Ekkor R pályasugár a pozíció maximumának tekinthető R = A. Ha a körmozgást y egyenesre vetítjük a pozíció-idő függvény y(t) = R sin(ωt) alakú lesz. A rezgő test sebessége pedig egyenlő lesz a körmozgást végző test monikus rezgés csak úgy tartható fenn, ha az inga hossza a mozgás közben rövidül. Megfelelő alakú „pofák” alkalmazásával Huygens szerkesztett olyan ingát, amely nagy kitérésekre is izokrón maradt. 2 Valójában a rugó megnyúlása nem egyenletes ezért a rugót mint egy egydimenziós rugalmas közeget kell kezelni.
A T -re vonatkozó képlet 1%-os pontossággal használható addig amíg ϕ < 23◦ . Nagy ϕ szögek esetén a har1
2
gia összege állandó. Térítsük ki ∆x-el a testet egyensúlyi helyzetéből. Ekkor a rendszer összenergiája potenciális energia formájában van jelen E össz = V max mert a sebesség a szélső helyzetben nulla. A potenciális energia vízszintes síkú rezgőmozgásnál nem más mint a rugalmas energia. A szélső helyzetben a rugalmas energia a rugó teljes megfeszítéséhez szükséges munkával egyenlő:
1
y(t)
0.8 0.6
v(t)
0.4 0.2 0 −0.2 −0.4
a(t)
−0.6 −0.8 −1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Idő (t/T )
1 1 max V rugó = D x2 = D A2 . 2 2
2. ábra. A harmonikus rezgőmozgás kinematikai jellemzői
A szélső helyzetben ez az energia az összenergiával egyenlő. Az összenergia a mechanikai energia megmaradás tétele miatt a mozgás során nem változhat. Az egyensúlyi helyzetben a rugó nyújtatlan ezért az összenergia tisztán kinetikus energia formájában van jelen:
v k kerületi sebesség-vektorának y-irányú vetületével. A rezgő test gyorsulása megkapható a körmozgást végző test a cp centripetális-gyorsulának y irányú vetületeként. A körmozgás alapján tudjuk, hogy v = Rω, a = Rω 2 valamint R = A, így a kinematikai jellemzők alakja a következő: y(t) = A sin(ωt), v(t) = Aω cos(ωt), a(t) = −Aω 2 sin(ωt). A gyorsulás képletében szereplő mínusz előjel oka az, hogy a gyorsulásvektor vetülete ellentétes irányú mint az Y -tengely. Ezekből a függvényekből könnyen kiolvasható, hogy a pozíció maximuma x max = A, a sebességé v max = Aω, a gyorsulásé pedig a max = Aω 2 (a szinusz és koszinusz függvények maximuma 1). A második ábrán látható kinematikai jellemzőket a következőképpen értelmezhetjük: Ha test az egyensúlyi helyzeten halad keresztül (x = 0, t = 0 vagy t = T ) a sebessége maximális. Ez azért van mert a szélső helyzettől számítva az egyensúlyi helyzetig folyamatosan gyorsult. A gyorsulás viszont az egyensúlyi helyzetben nulla kell legyen mert a rugó által kifejtett erő éppen nulla (a rugó nyújtatlan). A szélső helyzetekben (x = ±A, t = 0.25T vagy t = 0.75T ) a sebesség nulla (különben haladna tovább), a gyorsulás viszont maximális mert a rugó maximálisan feszített, megnyúlásának nagysága éppen A.
1 1 max E kin = m v max 2 = m A2 ω 2 . 2 2 Könnyen igazolhatjuk, hogy a kinetikus energia maximuma megegyezik a rugalmas energia maximumával: 1 D 1 1 ✟ A2 m A2 ω 2 = ✟ m = D A2 . ✟ 2 2 2 m ✟ Közbülső helyzetekben az összenergia részben kinetikus, részben rugalmas energia formájában oszlik meg: 1 1 1 DA2 = m v 2 + D x2 . 2 2 2 A kinetikus energia pozíció függését a következőképpen adhatjuk meg: 1 1 E kin (x) = D A2 − D x2 . 2 2 Ahogy a harmadik ábrán is látható mind a rugalmas energia, mind a kinetikus energia alakja a pozíció függvényében parabola. A rugalmas energia fölülről, a kinetikus energia pedig alulról nyitott parabola. Összegük minden pozícióban az összenergiát adja. Az ábra alapján jól látható, hogy két pozícióban (±xm ) a rugalmas és a kinetikus energia értéke megegyezik egymással.
A harmonikus rezgőmozgás energiaviszonyai. Súrlódás hiányában a harmonikus rezgőmozgás során a kinetikus és a potenciális ener3
0.5
Összenergia
Összenergia
1
E kin
0.8
Energia
Energia
0.4
0.3
0.2
V rugó
E kin
V rugó
0.6 0.4
0.1
0.2 0 −1
−0.8
−0.6
−0.4
−xm
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Pozíció (x/A)
0.8
1
0
xm
0
0.1
0.125
3. ábra. A kinetikus (piros) és a rugalmas (kék) energiák
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Idő (t/T )
4. ábra. A kinetikus (piros) és a rugalmas (kék) energiák
változása a pozíció függvényében
változása az idő függvényében
x(t)-t helyettesítünk: 1 1 V r (t) = D x(t)2 = D A2 sin(ωt)2 . 2 2 A kinetikus energia időfüggését megadó formulához úgy jutunk, hogy az energiakifejezésbe v = v(t)-t helyettesítjük: 1 1 E kin (t) = m v(t)2 = m A2 ω 2 cos(ωt)2 . 2 2 2 Mivel D = mω a kinetikus energia időbeli változása a következő alakban is megadható: 1 D A2 cos(ωt)2 . 2 A rugalmas és a kinetikus energia időben változik, de összegük 1/2 DA2 az időtől függetlenül a maximális energiával egyenlő, mert 1 1 V (t) + E(t) = D A2 sin(ωt)2 + DA2 cos(ωt)2 = 2 2 1 1 2 2 D A sin(ωt) + cos(ωt)2 = D A2 · 1. 2 2 A negyedik ábra alapján látható, hogy a kinetikus és a rugalmas energia először tényleg a 0.125T kor válik egyenlővé. A fekete szinusz hullám egy teljes rezgést jelent. A T idő alatt az energiák is oszcillálnak, pontosabban lüktetnek mert értékük sohasem lesz negatív. Az energia-lüktetés frekvenciája (fE ) kétszerese, periódusideje (TE ) fele az eredeti rezgésének: r 1 D fE = 2 · , 2π r m m 1 · 2π . TE = 2 D
Határozzuk meg xm nagyságát! V r (x) 1✓ 2 ✓ Dx 2 ✓ x2 2x2 xm
= Ek (x) 1✓ 2 1✓ 2 = ✓ DA − ✓ Dx 2 2 ✓ ✓ = A2 − x2 = A2 A = √ ≈ 0.707A 2
Tehát az egyensúlyi helyzettől számítva kb. az amplitúdó 70,7%-ban találjuk ezeket a pontokat. Az egyensúlyi helyzetből indulva mennyi idő alatt jut el a test xm -be? xm A √ 2 1 √ 2 1 sin−1 √ 2 π ◦ (45 ) 4 π ✚ 4
= A sin(ωt) = A sin(ωt) = sin(ωt) = ωt = ωt
2✚ π t T T = 0.125 T t = 8 =
A T periódusidő 8-ad része alatt jut el a test ebbe a pontba. A rugalmas energia időfüggését úgy kaphatjuk meg, hogy az energiakifejezésbe x = 4
Tekintsük a 684-es feladatot: Harmonikusan rezgő test A amplitúdóval rezeg vízszintes síkban. Amikor a kitérés az amplitúdó fele, a test sebességét lökéssel kétszeresére növeljük. Mekkora lesz az új amplitúdó? x < A/2-ig érvényes az energiamegmaradás:
Rezgés függőleges egyenes mentén Helyezzünk óvatosan egy testet függőlegesen egy elhanyagolható tömegű, D rugóállandójú rugóra. Ha csak akkor engedjük el a testet amikor a ráható mg nehézségi erő éppen egyenlő a D x rugó által kifejtett erővel, a test nyugalomban marad. Ekkor a rugó megnyúlása mg/D nagyságú. Ezt tekinthetjük az egyensúlyi helyzethez tartozó megnyúlásnak x e = mg/D. Ha a testet kimozdítjuk x e pozícióból függőleges síkú harmonikus rezgést fog végezni. A rezgés középpontja ekkor az x e pozíció lesz. A rezgő testre vonatkozó dinamikai egyenlet: mg − Dx = ma. Más alakban:
1 2 1 2 1 Dx + mv = DA2 2 2 2 x = A/2 pozícióban a sebesség növelésével az rendszer összenergiáját (így amplitúdóját is) növeljük: össz össz Erégi < Eúj , 1✓ 1✓ 2 ✓ DA < ✓ D Aúj 2 , 2 2 ✓ ✓ A < Aúj .
a+
Bizonyítható, hogy p a rezgőmozgás körfrekvenciája most is ω = D/m. Az ötödik ábrán a tes-
Az energiabetáplálás következtében a rendszer egy nagyobb energiájú harmonikus rezgőmozgást fog végezni. 1 1 2 D x2 + m (2v) 2 2 !2 r 1 D 2 1 2 2 Dx + m 2 (A − x ) 2 2 m s !2 2 2 A 1 1 A D A2 − + m 2 D 2 2 2 m 4 2 A2 1✄✄ 1✄✄ D \ A 2 A − + m D \ \ 4 2 m \ 4 ✄2 ✄2 2 A 3 + 4 A2 4 4 13 2 A √4 13 Aúj = A 2
=
1 D Aúj 2 2
=
1 D Aúj 2 2
=
1 D Aúj 2 2
=
1✄✄ D \ Aúj 2 2 ✄
nyújtatlan
xe
szélső helyzet
D m
(1)
D
m (2)
m
A
5. ábra. Rezgés függőleges egyenes mentén
= Aúj 2
tet hirtelen, a rugó nyújtatlan ((1)-es) állapotából engedjük el. A test átlendül az egyensúlyi helyzeten és a (2)-es állapotig süllyed, egy pillanatra megáll majd folytatja mozgását. Mekkora lesz az így kialakuló rezgőmozgás amplitúdója, maximális sebessége és gyorsulása? Legegyszerűbb energetikai alapon megválaszolni a kérdéseket. Amint az előzőekben láttuk vízszintes rezegéseknél a potenciális energia a rugó megfeszítéséhez szükséges munkával egyenlő. Most viszont a testnek egy másfajta potenciális energiája is van amely megegyezik a test emeléséhez szükséges munkával. Ez a potenciális energia a Föld nehézségi erőterével
= Aúj 2 ≈ 1.803A
1 2 1 1 mv = DA2 − Dx2 , 2 2 2 ebből pedig v(x) =
egyensúly
D
Fölhasználtuk, hogy
r
D x − g = 0. m
D 2 (A − x2 ). m 5
kapcsolatos és nagysága: V neh = mgh. A mechanikai energia megmaradás tétele miatt: (1)
(1)
(1)
(2)
(2)
g értéke pozitív az elengedés pillanatában, ugyanis kezdetben a rugó nyújtatlan így mg −0 = ma ebből a = g. Bizonyítható, hogy a maximális sebesség az egyensúlyi helyzetben lép fel. A nagysága pedig a harmonikus rezgőmozgás alapján: r r mg D m v max = Aω = =g D m D
(2)
V neh + V rugó + E kin = V neh + V rugó + E kin A testet nulla kezdősebességgel engedjük el oly módon, hogy a rugó még nyújtatlan. Így a test kezdetben csak a nehézségi erőtérrel kapcsolatos helyzeti energiával rendelkezhet. Válasszuk ennek az energiának a nullszintjét a test legméllyebb ((2)-es) állapotában. A legméllyebb állapotban a test sebessége nulla. Ekkor a test összenergiája rugalmas energia amely megegyezik a rugó megnyújtásához szükséges munkával: +
(1) V rugó
| {z } 0
(1) + E kin
=
|{z} 0
(1)
(2) V neh
|{z}
(2) +V rugó
+
0
1
(2) E kin
|{z} 0
(2)
V neh = V rugó
Összenergia
0.8
Energia
(1) V neh
A hatodik ábrán az energiák változását láthatjuk a pozíció függvényében (a rugó nyújtatlan helyzetből indul). A kezdeti állapotban (x/A = −1)
V neh V rugó
0.6 0.4
E kin
0.2
1 mg ✚ x max = D x✁2max , 2
0 −1
−0.8
−0.6
−0.4
így
D \
0.6
0.8
1
a test csak helyzeti energiával (V neh ) rendelkezik. A végállapotban pedig csak rugalmas energiával rendelkezik (V rugó ). Mindkét esetben ezek az energiák az összenergiával egyeznek meg. Az x = 0 pozícióban a rugó feszített, van helyzeti energiája a testenk a kinetikus energiája pedig maximális. Adjuk meg az egyes energiák változását a pozíció függvényében:
mg . D
1 D (x + A)2 , 2 m2 g 2 − mg (x + A) , V neh (x) = 2 D 1 E kin (x) = mg (x + A) − D (x + A)2 . 2
V rugó (x) =
A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a legalsó helyzetben a gyorsulás g irányával ellentétes (de vele megegyező nagyságú). A rezgőmozgás alapján: ·
0.4
lya) energiák változása a pozíció függvényében ha a rugó kezdetben nyújtatlan
mg − Dx = ma, 2mg \ mg \ −D· = ma, \ D g − 2g = a, a = −g.
✟ mg ✟
0.2
6. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibo-
Mekkora a gyorsulás a legméllyebb helyzetben? Erre válaszolhatunk a dinamikai egyenletből kiindulva és a rezgőmozgás alapján is. A dinamikai egyenlet alapján a gyorsulás:
a max = Aω 2 =
0
Pozíció (x/A)
2mg x max = . D A legméllyebb pozícióban a rugó megnyúlása kétszer akkora mint egyensúlyi helyzetben. A kialakuló rezgőmozgás amplitúdója: A = x max − x e =
−0.2
Az (x + A) formula azért jelenik meg az összefüggésekben mert a rezgési középpont pozícióját választottuk nullának, így nem x hanem (x+A) lesz a rugó megnyúlásával arányos. Láthatjuk, hogy
D \ = ±g ✟ m ✟ 6
Összenergia
1
V neh
0.8
Energia
Energia
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0
0 0.5
1
1.5
2
2.5
3
E kin
0.6
0.2
0
Összenergia
1
−1
V rugó −0.8
−0.6
−0.4
−0.2
Idő (t/T )
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pozíció (x/A)
7. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibo-
8. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibo-
lya) energiák változása a pozíció függvényében ha a rugó kezdetben (t = 0) feszítetlen, szaggatott vonallal egy tiszta sin(ωt) rezgést ábrázoltunk
lya) energiák változása a pozíció függvényében ha a rugó kezdetben is feszített
formulákból oly módon, hogy x helyére az x(t) = A sin(ωt − π/2) függvényt helyettesítjük:
a nehézségi erőtérrel kapcsolatos helyzeti energia alakja lineáris, a másik két energia alakja parabola. A kinetikus energia szimmetrikus a rezgési középpontra nézve, ugyanis x = ±A pozícióban értéke nulla (A = mg/D). Ezekből az összefüggésekből könnyen megkaphatjuk az energiák időfüggését:
V neh (t) = mg (A − x(t)) , 2 1 mg V rugó (t) = D + x(t) , 2 D 1 DA2 − (V neh + V rugó ). E kin (t) = 2
1 D (x(t) + A)2 , 2 m2 g 2 − mg (x(t) + A) , V neh (t) = 2 D 1 E kin (t) = mg (x(t) + A) − D (x(t) + A)2 , 2
V rugó (t) =
1
Összenergia
Energia
0.8
ahol x(t) = A sin(ωt − π/2)
0.6
0.4
0.2
0
Induláskor is feszített rugó
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Idő (t/T )
Vizsgáljuk meg azt a nagyon gyakori esetet is amikor a rugót indításkor feszítjük (húzzuk vagy nyomjuk!). Ilyen esetekben az amplitúdó biztosan nagyobb lesz mint mg/D. Az egyes energiák változása a pozíció függvényében a következő alakú:
9. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibolya) energiák változása az idő függvényében ha a rugó kezdetben is feszített
V neh (x) = mg (A − x) , 2 1 mg V rugó (x) = D +x , 2 D 1 DA2 − (V neh + V rugó ). E kin (x) = 2
Harmonikus rezgőmozgás tiszta gördüléssel Tekintsünk egy olyan rendszert, melynek tömegközéppontja vízszintes síkban harmonikus rezgést végez oly módon, hogy eközben tisztán gördül. A
Az energiák változását megkaphatjuk az előző 7
replacements
D Fr
Ez utóbbi egyenletből a kinetikus energiát kifejezve kapjuk:
m
1 E kin = D A2 − x2 . 3
R Ft
A forgási energia a kinetikus energia fele lesz:
10. ábra. Rezgésre és forgásra alkalmas rendszer
1 E forg = D A2 − x2 . 6
Ezeket az energiákat a rugó nyújtatlan helyzetében az összenergiával is kifejezhetjük
test mozgására vonatkozó dinamikai alapegyenletek: Fr − Ft = ma, Ft R = Θβ,
2 E kin = E össz 3 1 E forg = E össz 3
(1) (2)
ahol Fr = −Dx, Θ = 1/2mR2 és β szöggyorsulás a tiszta gördülés miatt a/R. Ezeket figyelembe véve a dinamikai egyenletek alakja: −Dx − Ft = ma, 1 a Ft R = mR \ ✁2 , 2 R \
1
Energia
0.8
Így ma = ma −Dx − 2 3 −Dx = ma 2 2D a+ x=0 3m Ebből a kialakuló rezggőmozgás frekvenciája és periódusideje: r 2D , ω forg = 3m r 3m . T forg = 2π 2D Mivel érvényes a mechanikai energia megmaradás tétele: 1 2 1 1 1 mv + Θω 2 + Dx2 = DA2 2 2 2 2 A v = Rω kényszerfeltételt és a Θ = 1/2mR2 -et figyelembe véve: 1 2 1 1 ✚2 v 2 mv + m✚ R 2+ 2 22 R✚ ✚ E kin E kin + + 2
Összenergia
E kin
V rugó
0.6
V forg
0.4
0.2
0 −1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pozíció (x/A)
11. ábra. Rezgésre és forgásra alkalmas rendszer
1
Összenergia
Energia
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Idő (t/T )
12. ábra. A kinetikus (piros), a forgás (ibolya) és a po-
1 2 1 Dx = DA2 2 2 1 2 1 Dx = DA2 2 2
tenciális (kék) energiák változása az idő függvényében
8
