HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELACIOI, II

KflLONLENYOMAT

A MAGYAR TUD01\JtA.NYOS AKADEMIA III. (MATEMATIKAI ES FIZIKAI) OSZTALYANAK KOZLEMENYEIBOL \'l!, K{>TET

es SCHMIDT E. TAMAS HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELACIOI, II. GR;i.TZER GYORGY

1957

HAL6K IDEAL]AI ES KONORUENCIARELAcI6I, II. GRATZER GVORGV es SCHMIDT E. TAMAs

Bevezetes Ezen dolgozatunk [6] folytatasa. Celunk a [6]-ban felvetett kerdesk5r tovabbi kidolgozasa: az L halo kongruenciarelaci6inak vizsgalata, es az idealkongruenciarelaci6 kapcsolat elmelyftese. Dolgozatunk harom reszbOl all. Az I. reszben 0(L) nehany tulajdonsagat vessziik szemiigyre. Ezt fokepp ket eszk5z segitsegevel erjUkel. Egyik segedeszk5zUnk az 1. TETEL, mely O. BIRKHOFF k5zismert tetelet elesiti hal6k eseteben, a masik a szeparabilis kongruenciarelaci6 fogalma; az ut6bbi tulajdonsagainak vizsgalata az I. resz fOcelja. vegeredmenyiil ket tetelt kapunk, melyek egyike O. BIRKHOFF 72. problemajara ad egy iijabb wilaszt, masika pedig disztributiv hal6k eseteben a kongruenciarelaci6k hal6janak dualis vegtelen disztributivitasara ad szukseges es elegendo feltetelt. A H. reszben az L hal6 1 idealjainakes a hozzajuk tartoz6 minimalis 0 I kongruenciarelaci6knak kapcsolatat nezzUk meg. Bebizonyitjuk, hogy az 1- €h megfeleltetes komplett egyesftes-homomorf lekepezes, tovabba, hogy disztributiv esetben izomorfizmus. A III. reszben a hozzarendelt elempar es a kongruencia terjedeset leir6 klasszikus eszk5znek, a projektiv intervallumoknak kapcsolatat vizsgaljuk. Vegiil a disztributivitas egy iij fajta jellemzeset mutatjuk be, a hozzarendelt elempar segitsegevel. I.

jel51je 0(L) az L hal6 kongruenciarelaci6inak halmazat. 0(L)-et reszben rendezzuk, ha benne a <: relaci6t a k5vetkezo mMon definhiljuk: @ <:

418

GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T.

,ekvivalens azzaI, hogy Ietezik olyan X = ZO, Zl' ••• , Zn = y sorozat, hogy ZH =zi(
@aEA

O. BIRKHOFF ezen tetelet} melyet veges operaci6ju. struktunikra mondott ki, hal6kban kedvezobb alakra hozhatjuk. 1. TETEL: Legyen e(L) egy reszhalmaza A. Ertelmezzuk L-ben az 11 reldci6f ugy, hfJgy X·Y(l]) akkor es csak akkor, ha van olyan xvy =aO ::>a1 >- ••• ::>a,,==x(\y sorozat, hogy aH .ai(ei ) (i=I,2, ... ,n) alkalmas @, EA-ra. I] ekkor kongraenciareltici6 es 7j V ea. @a EA

X

I. BIZONVITAs: Nyilvan, ha x y(1}), akkor O. BIRKHOFF teteIe szednt y ( V e a ). Megforditva legyen X Y ( V eli). Ismeretes, hogy akkor

=

@aEA

,egyszersmind x v y = x (\ Y ( V

e

a ).

@a EA

@a EA

••• , Zn =

X(\y sorozat, hogy

Z,-l

·,

Ezert letezik olyan x v y =

Zo, Z11

H'

,

z,:(ei) (i = 1,2, . H, n) alkalmas e, E A-val.

i

Tekintsiik az u,=(X(\y) v

A Zj elemeket. Viliigos, hogy

ao=(x(\y)vzo =

j='J

n

= xv y,

an = (x (\ y) v /\

Zj = X (\ y,

tovabba a hal6openki6k monotonita-

j=O

sabOl uo ::> a1 ::> ••• a", veglil UH U'(@i) (i 1,2, ... , n). Az Ui elemek tehat kielegitik az 1. TETEL kovetelmenyeit. Az 1. TETELt szeretnenk O. BIRKHOFF tetelere val6 tamaszkodas nelkiil is bizonyitani. ElorebocsMjuk a kovetkezot: 1. LEMMA: Az L hdLOban ertelmezett kongraenciareldci6, ha

~

reldci6 akkor es csak akkor

(a) x=x(~) minden X E L-re; (b) x _ Y (~) ekvivalens y == x (~)- vel; (c) x=:::y?:z,x,_e.-y(~) esy=z(~) eseten x=z(~); (d) x >- y, x=y(~) eseten xvt:-yv t(;) is X(\ {,t(~) minden t E L-re; (e) x=y(~) ekvivalens xvY=X(\y(~)-vel. Az 1. LEMMA szerint elegendo, ha a kongruenciarelaci6 szokasos ismervei <Jsszehasonlithat6 elemparokra teljesiiInek. Az (a) es (b) a reflexivitas es szim~ metricitas, (c) es (d) a tranzitivitas, illetve a helyettesitesi elv osszehasonlithat6 elemparokra. Erdemesmegjegyezni, hogy a fenti ot feltetel fiiggetlen, amint az egyszeru peldakkal kimutathat6.

HALOK IDEALJAI

ES

419

KONGRUENCIARELAcIOI, II.

BIZONYITAs: Nyilvan elegendo azt bizonyitanunk, hogy ha ; eleget tesz a fenti felteteleknek, akkor kongruenciarelaci6. Az (a) es (b) szerint ; rejlex[v es szimmetrikas. Legyen a >- v, a ~~.... v(;) es a, b E [v, aI, azaz a?;.avb>-anb?;.v. (d)-bOl an(avb) vn(avb) es an(avb) :::vn(avb), igy ismet (d)-t alkalmazva avb=[an(avb)]v(anb) _[vn(avb)Jv(anb) anbg), vagyis (e)-bOl a b(~). Ezekutan legyen .x_y(~) es y z@. (e) miatt xvy=xny(~), igy (d)-bOl xvyvz =(xvy)v(yvz) .. (xny)v(yvz)-yvz(~), hasonl6kepp xnynz -ynz(~), vagyis xvyvz::: yvz::: ynz >- xnynz, es az egyenlotlensegsorozat szomszedos tagjai kongruensek modulo ~, s igy (e) ketszeri alkalmazasaval xvyvz • xnynz(;). Mivel x,zE[xnynz,xvyvz] ezert a fentebb bizonyitottak miatt x z(;), vagyis ~ tranzitlv. A helyettesftesi elv is konnyen ad6dik, mert ha x. y(;), akkor (e) es (d)-bOl xvy-xny(;) es (xvy)vt=(xny)vt(;), de xvt es yvtE [(xny)vt,(xvy)vt], igy x v t - Y v t(;) es hasonl6kepp x n t - Yn t(;). ~ teMt reflexiv, szimmetrikus, tranzitiv es ervenyes rei a helyettesitesi elv, vagyis kongruenciarelaci6. Q. e. d. Az 1. LEMMA segitsegevel most mar konnyen ad6dik a II. BIZONYITAs: Az nyilvanval6, hogy ha az 1. TETELben ertelmezett '1 relaci6 kongruenciarelaci6, akkorTj = V (9«. Eleg teMt belatni, hogy '1

=

(i9«EA

kongruenciarelaci6. 1j reflexives szimmetrikus. Ha x >- y >- 2 es x y(li), Y Z(I,), akkor az x-et es y-t osszekoto lane az y-t es z-t osszekoto laneeal egyiitt eppen egy az x es z elemeket osszekoto kivant tulajdonsagu lane, vagyis x - z(lj). Vegiil, ha x = Zo 2.: Zl 2.: ••• ~ z" = y, akkor t v x = tv 20 >- tvz1 ~ . . . ~ tvz" tvy, igy x Y(1) es x?;. y eseten rogton talaltunk tv x es tv y-t osszekotO megfelelo tulajdonsagu lancot, vagyis tv x tv Y(1). Ugyanigy t n x t n y (11)' Latjuk, hogy 1] kielegiti az 1. LEMMA felteteleit, igy Tj kongruenciarelaci6 es eppen ezt akartuk bizonyitani. Az 1. TETEL hasznossaga abban mutatkozik meg, hogy az [a, b] intervallumon beWI donti el, hogy a - b( V (9«), vagy a b( V (9«). igy peldaul ®aEA

®a EA

az 1. TETEL alapjan minden nehezseg nelkiil bizonyithat6 FUNAYAMA es NAKAYAMA [3J azon nevezetes tetele, hogy (9(L)-ben teljesiil a (IO) (9n·V (9« V «(9n(9a) ®aEA

0 a E.1

vegtelen disztributiv torveny. FUNAYAMA es NAKAYAMA ramutattak arra is, hogy (10) dualisa (010) (9v /\ (9«/\ «(9'0(9,,) ®aEA

(i9"EA

nem sZiiksegkepp igaz. Alabb (2. lemma) egyszeru elegseges feltetelt adunk meg (DID) fennallasara. Ehhez bevezetiink egy uj fogalmat.

420

GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T.

1. DEFINICIO: Az L MI6e kongruenciarel b (a, b E L)-hez talalhat6 olyan a= Z() ~ Zl ::: ••• 2:: Z" = lJ sorozat, hogy minden i-re, vagy Zi=Zi-1(e), vagy Zi ZH«(9) es ekkor x y((:-), x, y E [Zi, Zi.l] eseten x = y. Az ilyen {Zi} laneot @-ra nezve szeparaltnak nevezziik, vagy azt is.

=

mondhatjuk, hogy a es b-t {z,} szepanilja e-ra nezve. Ezen definici6 letjogosultsaga az 1. TETELen alapszik, amely szerint a @ kongruenciarehici6 altai letesitett osztalyok szeparaltsagat· a fentebb leirt m6don biztosithatjuk. A definici6b61 lathat6, hogyha L-ben barmely a, b (a> b; a, bEL} kozott talalhat6 veges hosszusagu ma~imalis lane, akkor L minden kongruenciareIaci6ja szeparabilis. Nem szeparabiIis kongruenciarelaci6ra is rogton lathatunk peldat: legyell' E a pozitiv egeszek lanca oo-nel lezarva. E-ben a @ kongruenciarelaci6t definialjuk ugy, hogy 21=2i+1 (i=1,2, ...) es minden x=y(@) az elobbi alaku. Konnyu latni, hogy @nem szeparabilis, mert 1 es 00 nem szeparalhat6. A definici6b61 azonrtal ad6dik, hogy ha e szeparabilis, akkor barmely a es b (a> b, a, bEL) kozott van olyan maximaJis lane, melyen csak veges. sok egynel tobb elemii osztalyt letesit, es ezek az osztalyok (mint intervallumok) zartak. Eleg l.lgyanis egy tetszoleges a es b kozti maximalis Iancot venni, mely mindegyik z,-t tartalmazza. Ezen allitas megforditasa azonban altalaban nem igaz. Nem all, hogy ha minden a es b (a:> b) kozotl van egy fentebb leirt tulajdonsagu lane, akkor barmely kongruenciarelaci6 szeparabilis lenne, se az, hogy ba szeparabilis, akkor minden a es b kozti maximalis lane megfelelo tulajdonsagu.. Ezekre az L resz vegen latunk ellenpeldakat. Akovetkezokben bebizonyitunk nyolc lemmat, melyek elokeszitik a 2.. es 3. TETELl. Eloszor Jassuk (DID) fennallasanak egy elegseges feltetelet.

+

e

e

2. LEMMA: Legyen L egy szepardbilis kongruenciareldci6ja minden A reszhalmazdra l&laEA

A

BIZONVITAs: Mivel @v

€iaEA

A e a ::> A (ev ('9 a )-t

@aEa

@aEA

ekkor

eel)

A e a= A (ev@a).

e0

ev

e,

@a EA

@a

<:::

/\

(@v @a) mindig igaz, ezert eleg

@aEA

kimutatni. Legyen .

A (eve a ».

e

@a EA

szeparabilitasa miatt van olyan x v y = z() Z1 ::> ••• ::> Z,,= x n y lane, hogy Z,-l - Zi (@) vagy [ZH, Zi] egyetlen reszintervalluma sem kongruens modul6

HALOK IDEALJAI

ES

KONGRUENCIARELAcIOI, II.

421

I Az L hal6 I idealjat neutralisnak nevezziik, ha L idealjainak hal6jaban I neutralis ·elem, vagyis minden {I, j, K} reszhal6 disztributiv. Ha ertelmezziik a e relaci6t ugy, hogy .X _ Y (e), akkor es csak akkor, ha (x n y) u t 2: xu y valamilyen t EI-re, akkor e kongruenciarelaci6 lesz, megpedig modulo e I osztaly, es e az ilyen tulajdonsagu kongruenciarelaci6k k5zt minimalis. (Ezekre nezve lasd (1] 28,79, 119, es 124. oldalat, vagy [2] 167. oldalat.) 2 Ez te!jesiil peldaul, ha van L-ben legnagyobb elem. 3 e' a e komplementumat jelOli.

422

GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T.

5. LEMMA: Ha a @ kongruenciareldci6nak van komplementuma, akkor @ szepardbilis, azaz @z(L)

@s(L).

BIZONVITAs: @ komplementumat jel61je @'. Minden as b-hez a=b(@ ,-At)') miatt az 1. TETEL szerint van olyan a Zo 2::::. ZI ?:::. ••• S Zn = b lime, hogy Zi='Zi-l(@), vagy Z,:='Zi-l(@')' Belatjuk, hogy a {Zi} lane @-ra nezve szeparalt. Val6ban, ha Zi $Zi-1(@) es x, y E[Zi' Zi-1] mellett x_y(@), akkor zi-l_zi(@')-hOl x-y(@n@'), azaz x=y. A tovabbiakban (mint ahogy ezt [6J-ban is tettilk) @",b-vel jel61jiik az b altai indukalt kongruenciarelaci6t. Ervenyes a kovetkezo

L hal6ban az a

6. LEMMA:

Az

L

disztributlv

hd16ban,

ha a> b:> c > d,

akkor

@",bn@""I=O..

BIZONVITAs: Legyen X=,y(@a,bn @o,a) (x> y). Ekkor [6J 2. TETELe ertelmeben(cvy)nx xes(dvy)nx=y. Azonban cn(dvy) y feltevessel) es c cn(dvy) (@.T,y), ami @"y<e",bmiattaztjelenti,hogyc-cn(dvy)(ea,b)' de c.n(dvy) b; a, bEL) van komplementuma, tehdt szepardbilis.

B1ZONVITAs: jelOlje (j) az [a) dualis foidealhoz es (b] f6idealhoz tartozo minimalis kongruenciarelaci6k egyesiteset s 0 a , b helyett irjunk roviden @-t. Ekkor @v $=1 (I a @s(L) legnagyobb eleme, s 1 E@s(L), mint mar emlitettilk), mert minden x> y-ra [y, x] [yn b, xvaJ es xva =-yn b(@v (j) miatt x=y(@v$). Ha x:=:=y(@n $) es x lenne, s igy az 1. TETEL szerint volna olyan ",E[n) blE(b} x?:::,u>v2::::.y, hogy u v(0",a,)vagy u V(@b,b,)alkalmasal(>a)-valvagy bl (< b)-vel. Masreszt x = y(0) miatt u =. v( 0) is fennallna, s igy mindket elobbi eset, a1 > a > b > bI miatt, ellentmond a 6. LEMMAnak. Nem szeparabilis kongruenciarelaci6ra most mar tijabb fontos peldat is tudunk mutatni. (1,

8. LEMMA: Legyen L disztributfv hdlo, melyben adottak az [ai, btl (i = 1, 2, ...) intervallumok, ligy hogy a < a1 < b1 < ... ai < bi < ... < b, akkor ro

Veai, b·' i=l

nem szepardbilis kongruenciareldci6.

HALOK IDEALJAI

ES

423

KONORUENCIARELAcIOI, n.

ro

Tegyuk fel, hogy e = -i=l V e,"" h· szepanibilis, ekkor vall:. oIyan a = Zo > Zl > ... > Zn = b, hogy ZH Zi (e), avagy [Zi, Zi-d egyetlen reszintervalluma sem· kongruens e-mil. Ha Z,-1 Zi(€'», akkor BIZONVfTAs:

t

Zi

1,

V

Zi-l( i=1 0 aJ,.., h")' vagyis veges sok [a" b;] altaI generalt kongruenciarelaci6 J,

mar indukalja a {z;} lancon az osszes Zi = ZH (e) kongruenciat. Legyen [at, btl ezen veges sok intervallumt61 kulonbOzo intervallum. a - b(eat, ht v e~t, ht) (e~, ht komplementuma e~t, hI' amely a 7. LEMMA szerint letezik), viszont a:$ b (e~t, ht)' mert a b (e~t, ht)-bOl at bt «(';)~t, ht) ad6dna ellentetben at bt (eat, Ot)-vel. Kovetkezeskepp nem lehet minden i-re z, = Zi-l (e~t, Ot)' igy van olyan i, hogy Zi:$Z'-I(e~!t>ht)' Az 1. TETEL ertelmeben [mivel Zi-Z'-I(eOt,htV@~t,Ot)]' ekkor van olyan u, v hogy Z,<::: U
V(

Veah.., oJ")' Az elozovel • .

i=1

u-v(.V (eaj.,hj.f\@".t,Ot»)' A ~=1 t t

Zi-l(.V eaj., hj.), vagyis

osszevetve U---: V (eat, ht

LEMMA

t=l

r,

~

i-

Vea',h h");

,=1

J,

azaz.

feltetelei es [aji' bjJ =l= [at, btl miatt min-

den i-re, vagy aii < bj; < at < bi> vagy at < bt < aj; < bip azaz teljesOlnek a 6. LEMMA feItetelei ezert @oi;' hj; neat, ht = 0 minden i-reo igy az eIobbi kongruencia u - v (O)-ba megy at, azaz u v ad6dik, ellentmondasban a fentebbi u < v-vel. Ez az ellentmondas igazolja aIIWisunkat. A tovabbiakban ismet sZiiksegiink lesz a hozzarendeIt eIempar fogalmara. Emlekeztetiink arra, hogyan definiaItuk [6]-ban a hozzarendelt eIempar fogalmat.. Azt mondjuk, hogy az a, b elemparhoz c, d (a, b, c, dEL) hozza van rendelve, jelben a, b ~ c, d, ha alkalmas Xl' ••. , x" E L elemekkel (1) { {[(avb)nxtl v x2}n } nXn=cvd, (2) { {[(anb)nx l]vx2}n }nx,,=cnd. A hozzarendeIt elempar 4 segitsegevel megadhatunk egy feltetelt arra, hogy es(L) es @z(L) megegyezzek. Az egyszeriiseg kedveert vezessiik be a kovetkezo elnevezest: 2. DEFINfcIO: Az L hal6t gyengen modularisnak nevezziik, ha valahanyslOr a, b ~ c, d (a, b, c, dEL; a < b, cd), mindannyiszor talalhat6 oIyan al,bIEL, (albl' 4 Megengedett az is, hogy Xl elott v, x2 elott n stb. legyen (l)es (2)-ben. Ez. nyilvanva16an ekvivalens az elobbivel. Az azonban mar fOlOsleges, hogy egymas utan tobb-· szor alljon pI. az v jel; az asszociativitas miatt ezek a lepesek osszevonhat6k.

424

, GRATZER GY.i!s SCHMIDT E. T.

9. LEMMA: Az L gyengen modaltiris. hdl6ban minden szepanibilis .kongraenciareldci6nak van komplementama es fgy 0 s (L) = (3Jz(L).

BIZONV!TAs: Legyen, 0 szeparabilis kongrueneiareliiei6. Definialjuk a 'fJ> relaci6t a kovetkezokepp: . x=y(fJ» akkor es esak akkor, ha [xnY,xuy]-ban nines 0-naktObb, mint egy elemii oszbilya. . Per definitionem x - x( fJ» es a fJ> relaci6 szimmetrikus. Legyen x=y(fJ», y _z(fJ» es x> y > Z, s tegyilk fel, hogy valamely a, v-re emellett a __ 'v(e),x 2: a > v :> z. fJ> definfci6ja miatt kell, hogy [17, a]-nak [z, y]-nal .es [y, x]-szel legfeljebb egy kozos' eleme legyen. Ez a kozos elem y nyilvan nem lehet, ezert y u 1} > 'IJ. Feltesszuk, hogy y u 'IJ :> U, mert ha ez nem all, akkor okoskodasunkat az a, v elempar helyett az yUt', yuaU1.J elemparral folytatnank. Ebben az esetben viszont a gyenge modularit YI > Zl > Z ad6dik, hogy u, v - YI, Zl azonban akkor YI - it (e), amely etlentmondas igazolja x = z(fJ»-t. Vegul legyen x > y, x -Y(fJ», belatjuk, hogy x v t(fJ». Ellenkezo esetben ugyanis volna x v t?-:: u > v :> Y V t, hogy u _ v( 0). ViszOl1t x, Y - u, v, ezert a gyenge modularitas miatt van olyan Xl' YI (X:> Xl > YI ?-:: y), hogy a, v - Xl> Yl' de akkor Xl (0), ami ellentmond x_y( fJ»-nek. Bebizonyftottuk, hogy fJ> elegettesz az 1. LEMMA (a)-(d) felteteleinek, mivel (e) trivialisan igaz, ezert fJ> kongruenciarel = I pedig fgy lathat6 be. Legyen a > b kef tetszOleges eleme L-nek. Tekintsuk a es b kozott azt az a = Zo ~ Zl :> ••• :> Z" = b Iancot, amely 0-t szepanilja. Ekkor vagy Zi=ZH(0), vagy ,[Zi, ZH] egyetlen (tobb mint egy elemii) reszintervalluma sem kongruens e-nal, azaz (p definfci6jab61 foly6lag Zi. - Zi-l (fJ», vagyis a - b (e v fJ». Ezzel belattuk, hogy (P .komplementuma 0-nak, amivel a 9. LEMMA bizonyitasat befejeztuk. Eddigi diszkusszi6nk egyik celja volt, hogy feleletet adjunk a kovetkezo, G. BIRKHOFF altai felvetett (Iasd [1], 153 old., 72. problema) kerdesre: Keressiik annak sZilkseges es elegendo feltetelet az L hal6ra, hogy kongruenciarelaci6i Boo!e,..algebrat alkossanak. T. TANAKA [4] adott eloszor erre a kerdesre feleletet: Az L hal6 kongruenciarelaci6i akkor es csak akkor alkotnak Boolealgebrat, ha L egyszeru ha16k diszkret szubdirekt szorzata - azaz olyan szubdirekt szorzata, melyben barmely ket elem csak veges sok komponenseben kiilonbOzik. T.. TANAKA tetele azon L hal6k struktt'iratetelenek tekinthet6, melyekre €iJ(L) BoDie-algebra..Nem ItHszik azonban erdektelennek ezen hal6kat a fentebb bevezetett fogalmak segftsegevel is lefrni.

HALOK IDEALJAI

ES

KO~GRUE!,;ClARELAClOl,

II.

425

2. TETEL: Az L halO kongruenciarelcicioi akkor is csak akkor alkotnak Boole-algebrat, ha (W) L gyengen modularis; (8) L minden kongruensiarelcicioja szepardbilis. BIZONVITAs: 8ziiAsigessig. Tegyiik fel, !logy L kongrueneiarelaci6inak hal6ja Boolealgebra. Ekkor minden kongruenciarelaci6nak van komplementuma, igy az 5. LEMMA szerint mind szepanibilis, vagyis (8) teljesiil. TegyOk fel, hogy L-ben a, b -+ c, d, serre a hozzarendelesre a gyenge modularitas feltetele nem teljesiilne. Amtjuk, hogy ekkor er,d-nek nines komplementuma; ugyanis, ha ('9'" d komplementuma C/J lenne, akkor a= beer. bl ~ a r,b letezese ad6dna, melyre a1 _b1 (ec, d). [6] 5. Wele szerint ez viszont eppen olyan a1 ~ a2 > b22':: b1 letezeset jelenii, hogy c;li -+ a2 , b2 , azaz a gyenge modularitas teljesiilne, ellentetben a feltevessel. Kell tehat, !logy a:= b( C/J) fennalljon, de ekkor a, b -+ c, d miatt c d( $) is fennallana, ellentetben ec• d n C/J = O-val. Etegsegesseg. A (W) feltetel miatt, mint azt a 9. LEMMAban bebizonyitottuk, f}z(L) = @s(L). Az (8) felteteI igy is irnato: es(L) = eel), ami az elobbivel osszevetve @(L) f)z(L)-et adja, ami bizonyitand6 volt. A gyenge modularitas val6ban a modularitas altalanosltasa. Ezt a kovetkezokepp lathatjuk be: Legyen a > b es t v a ? c > d :::: tv b. a v c a v d, ezert ane >and (Iasd (1] 66. old.), vagyis a, b-+c, d-bOl ezesetben c, d-+anc, ar..d kovetkezik. Az altalanos eset targyallisa triviatis teljes indukcioval tortenhet a hozzarendeles lepesszamara (az (1) es (2) kepletekben szereplo n-re) vonatkoz6lag. A kovetkezo eredmenyt kaptuk:

=

1. KOROLLARIUM: Az L modulciris IzcilO kongruenciarelcicioinak hatoja akkor es csak akkor Boole-algebra, ha (8) teljesiil. Megjegyezzuk, nogy a gyenge modularitas mas iranyu altaJanositasa a modularitasnak, mint a feligmodularitas, ugyanis mar a legegyszerfibb feligmodularis ha16, amely nem modularis ([I]-ben a 7a abran latnato Mlo duatisa) egyuttal nem is gyengen modularis. Disztributiv Mlokra a 2. TETEL tovabb elesit!leto. 2. KOROLLARIUM (]. HASHIMOTO TETELE [2]): Az L disztributiv IzciLO kongruenciarelcicioinak Izciloja akkor es csok akkor Boole-algebra, ha L lokcilisan veges. BIZONvtrAs: Az 1. korollarium ertelmeben eteg belatnunk, !logy (8) ekvivalens a lokatis vegesseggel. Val6ban, ha L lokatisan veges, akkor per It III. Osztaly Kozlemenyei VII/3-4

426

GRATZER (ly. ES SCHMIDT E. T.

definitionem minden kongruenciarel
a=:;;o(@}

e~, O'

TekintsOk a ([J = /\ 0~, b kongruenciarelaci6t,5 (ID)-hOl en ([J= y·ea , on(./\(j)~, b)= y(0a , bn/\e~, 0):$ y«(j)a, bn e~, b) ezert en ([J = 0 es (OID)-hOl eu([J

.Y@(J,bU(/\@~,b)

/\(e:',buyea,O)

YO=O,

!\(e;"ouea,o)=I,

igy e u ([J = I, vagyis ([J komplementuma e-nak. Belattuk, hogy eeL) Boole-algebra, de ekkor a 2. TETEL 2. KOROLtARIUMa miatt L lokalisan veges. Etzel a tetel bizonyitasat befejeztiik. Konstrualjuk meg a szeparabilis kongruenciarelaci6 definici6janal megigert ellenpeldakat. Eloszor legyen E a nem pozitiv egeszek -,-<X>-nel lezart lanca. E·E-ben (E-nek onmagavaI vettkardinalis szorzata, [I] 7. oldalanak ertelmeben) tekintsOk a 0 = 0(0,0), (-ro, 0) kongruenciarelaci6t es egy, az osszes (x, x) alaku elemet tartalmaz6 C maximalis hincot. ('1 a 7. LEMMA szednt 5

A bizonyihis soran V es A mindig az osszes olyan a, b~re ertendo, melyekre

a= b(61).

HALOK IDEALJAI

ES

KONORUENCIARELAcIOI, II.

427

szeparabilis kongruenciarelaci6, megis a C laneon vegtelen sok egynel tobb elemii osztalyt letesit. Tekintsiink most egy olyan nem szeparabilis kongruenciarelaci6t, amelynek megvan az a tulajdonsaga, hogy barmely a > b-hez talalhat6 olyan maximalis lane, melyen @ csak veges sok egynel tobb elemii zart ,osztalyt .letesit. Ezt megkonstrualand6, legyen P a pozitiv egeszek lanea, Lap· P .

Ml6 I elemmel f~liilrol lezarva, es

@

=

ro

V @(2i,0),{2i+1,0). @ a 8. LEMMA szerint ,=1

nem szeparabilis. Tekintsiik egy tetszolegesa> b elempart. Felteheto, hogy

a - I, kiilonben [b, a] veges. Ha viszont a= I, akkor az a es b kozti kivant tulajdonsagu maximalis laneot szolgaltatjak az osszes (b l l x) alaku elemek, ahol bI elso komponense b-nek es x=b2 , b2 + 1, b2 +2, .... Erdekes talan megjegyezni, hogy ebben a ket ellenpeldaban szereplo halo disztributiv. VegUl konstrualjuk meg a 2. LEMMAnal emlitett ellenpeldat. Legyen P ismet a pozitiv egeszek lanca, s tekintsUk azt az L halmazt, amely P-bOl es a 0, x, y, I elemekbol all. L hal6 lesz a kovetkezo definici6val: P rendezese a szokasos, tovabba i=I,2, ...-re xvi yvi=xvy=xv/=yv/=1 es x (\ i = y (\ i = 1(\0 ~ O. Tekintsiik at L kongruenciarelaeioit. Konnyen kimutat11ato, hogy I - i vagy i =.:::: 0 (i = 1, 2, ...) eseten az egesz Mlo egybeesik, s ebbOl mar az is adOdik, hogy az egyseg-kongruenciarelaci6n, ;-n kivul L kongruenciarelaci6i lenyegeben P kongruenciarelad6i, abban at ertelemben, hogy L-nek P-n kiviili elemeit nem ejti egybe. Lathatjuk teMt, hogy @(L) @(P)bOl ugy all elo, hogy @(P)-hez hozzavessziik meg a; kongruenciarelaei6t, melyre ~ > 0 minden @ E @(P)-re. 0(P) azonban dualisan vegteleniil disztributiv a 3. TETEL ertelmeben, ezert kis szamolassal belathat6, hogy @(L) is
+

+

428

GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T.

II. A kovetkezakben az L hal6 idealjai f, hal6janak es az idealokhoz tartozo. minimalis kongruenciarelaci6knak kapcsolataval szeretnenk foglalkozni. A tovabbiakhoz sZilkseges a kovetkeza: 10. LEMMA:

Az fa(a E A) idedlok komplett-egyesftese letezik es azon'

c elemekbt51 dll, melyekre (3)

c ::: ia, U

."

U

ian'

ahol iasEfas,asEA(s=1,2, ... , n) es n tetszoleges veges szdm. A bizonyftds az ideal es a komplett-egyesites definici6jabOl automatikun

san ad6dik. Lathatjuk tovabba, hogy az

V fa

aEA

idMl az fa idedlok veges egyesf-

teseinek halmazelmeleti egyesftese, es az .is nyilvanval6, hogy f, akkor es csak akkor komplett hdl6, ha L O-elemes. Disztributiv hal6kra tobb is igaz, neven

zetesen, ha L disztributfv, akkor

V fa

elemei

aEA

(4) alakban frhat6k.

Ehhez csak azt kell belatnunk, hogy ha t (4) alaku es X <::: t, akkor X is (4) alaku, de val6ban X=X n t= V (iar n x), ahol i ar n x E Jar (r = 1,2, ... , n), r=l

ami a bizonyitand6 volt. ]elOlje a tovabbiakban 6h az f idealhoz tartoz6 minimalis kongruenciarelaci6t, azaz azt a minimalis kongruenciarelaci6t, melyben f minden eleme a homomorf kep 0 elemere· kepezadik le. 6 6h letezese abbOl ad6dik, hogy az osszes olyan kongruenciarelaci6 metszete, melynel f a homomorf kep 0 elemere kepezadik Ie, ugyanilyen tulajdonsagu,

..

4. TETEL: Az

V fa

aEA

idedlhoz tartoz6 minimdlis kongruenciareldci6

V 6ha,

aEA

vagyis

(5)

@

V

r =

aEA a

V @ra'

aEA

BIZONY1TAs: Nyilvanval6, hogy

(6)

@Ia =

V

@a,b

n, bEA

(Iasd a dolgozat elsa reszeben a 2. TETEL 4. KOROLLARIUMAnak bizonyitasat)_ f) Felreertesek elkeriilese vegett megjegyezziik, hogy 6)r-ne1 I-n kiviili elemek is kepez6dhetnek Ie a homomorf kep 0 elemere.

HALOK lDEALJAl

ES

KONGRUENCIARELAClOI,

429

n.

Eloszor belatjuk, bogy ha a b es a":::;: c, akkor (7) @a, b V @,~, e @a, b ue' Mivel a b«?)a, 1J u c) es a C(@a, b u c), ezert @a, b V @a, c (;ja, bu c; megforC(@a,c) miatt a=bvC(@a,bV@a,c), azaz ditva a=b(@",b) es a @a, bUG <: @a, c V @b, c' A ktH egyenlotlenseg osszevetese eppen (7)-et adja. (6) segitsegeveI (5) a kovetkezo alakra hozhat6: (8) V@x,l! V V @a,b'

=

,", yE V I", aEA

"EA a, bEl",

Tegyiik fel, hogy @a, b szerepel (8) jobboldalaban az egyesitesben. Ekkor valamely Cl E A-ra a,b E la, igy a, bE V I", s ezert @a, b ~zerepel (8) balaEA

oldalaban is; kovetkezeskepp

V @""y> V V @",b.

x, yE V 1"

aE,!

Megforditva, legyen

ex,

11

aEA


bEl"

(x, Y E VIa) (8) baloldalaban az egyesitesnel az "EA

x, y E V la a 10 LEMMA szerint olyan ia,. (E la,., Cl,:, E A, r = aEA 1, 2, " ., n) elemek Ietezeset jelenti, bogy x, y i", v ... via,.. Legyen " U ="~1 ia,.n(xny). Nyilvan u Ela (r= 1, 2, ... , n), s igy @",i " szerepel

egyik tag.

r

a

11

(8) jobboldalaban. (7)-bOl

V @",iar =

rc:.;::;;l

@

n

u, V i a r=l r

>

@X,y,

ezert

vagyis (8) fennall. Q, e. d. @rvel jel61juk azt a minimalis kongruenciarelaci6t, melynek I magja. 7 @1 nyilvan nem szuksegkepp letezik, de ha li~tezik, akkor &>r = @10 KOROLLARlUM: Ha @la minden Cl EA-ra letezik, akkor @ v es

V @Ta

aEA

f)

is letezik

V 1a • aEA.

A 4. TETELbOl lathatjuk, hogy akarhany minimalis osztalyozas egyesitese ujb61 minimalis osztalyozas. Ez a metszetre mar altalaban nem igaz. Ezt @ATa egyenlet mutatja mar a nem modularis otelemu hal6 peldaja is. A A @Ia kulOnben sem allhatna fenn korlatozas nelkul, mert /\Ia nem szuksegkepp letezik. 7 Erdekes volna azon idealok 6sszesseget vizsgalni, meJyekhez @1 It\tezik. Konnyu pE:ldauJ beigazoJni,hogy ezek disztributiv hal6t alkotnak, Val6szinUleg t6bb problema nyerne megoldast ezen halo n\szletesebb vizsgaJataval.

430

GRATZER GY•.

ES

SCHMIDT E. T.

Erdekes volna megadni annak szukseges es elegendo feltetelet, hogy az L hal6ban az idealokhoz tarloz6 minimalis kongruenciarelaci6k metszete is valamely idealhoz tartoz6 minimalis kongruenciarelaci6 legyen. Az alabbiakban erre ket elegseges feIteteIt adunk. 11. LEMMA: Tartozzek az L O-elemes halO minden idealjahoz legjeljebb egy oszidlyozas. jelOlje £ azon idealok osszesseget, amelyekhez tartozik osztalyozas. £ @(L)-lel izomorj halo, azaz

(Ia E f)

(Ia Ef')

es

7=

yo::)~::) ••• ::J Ys

K,

e ket lancnak van kozos hossztlsagii jinomltasa. (9)-et a 4. TETEL igazolja, (lO) viszont abbOl ad6dik, hogy miatt Ala letezik, tovabba A@la magja Ala. A AI,. idealhoz legfeljebb egy osztalyozas tartozik, ezert A@1= @AI,., Ezzel belattuk, hogyaz /-+ fir (rE f) megfeleltetes izomorfia, s igy £ disztributiv. Alkalmazhat6 .tehat £-ben a jordan-Dedekind-tetel, amely rogton megadja a lancok finomitasara vonat,,:, koz6 allitast. Disztributiv hal6kban (Bjl= @~ minden I-re (sot ez a tulajdonsag [6) 1. tetele szerint jellemzi is a disztributivitast). Ervenyes a kovetkezo BIZo'NYfTAs:

o EL

5. TETEL: Ha L disztributlv halo, akkor az osszes @rk @(L)-nek reszhalajat alkotjak, azaz (11) @l, V@1 = @ljv]2 es (12) @],(\@1 = @l,,,], BIZONVITAs: Mivel (II )-et tetszoleges Ml6ban mar igazoltuk, ezert eieg 2

2

(12)-t belatni. (12)-t (6) alapjan atirjuk:

V @a, b(\ V @o, ,I =

a, bEl,

c, dEI,

V X,

yEll" 12

ex,

ami (10) felhasznalasaval ekvivalens a kovetkez6vel: (13) V «(ii)a, b (\@r,d)= V a, bEll; 0, dEt2

Lassuk be, hogy ha a (14)

a', YE1, "1;'

b es a

<:

c, akkor

@a,b(\ @a, r = @a, boc.

ex,

y,

y.

HALOK lPEAL]AI

ES

KONORUENCIARELACIOI,

n.

Felhasznalva [6] 2. TETELet u--:-V(@",b) es u=:v(@",c) az u lett ekvivalens a kovetkezo egyenletek fennallasava1. O~ ~v0~u ~ (16) (bvv)~u u, (17) (cvv)~u u. (16) es (17)-bol a disztributivitas segitsegevel

431

v feltetel mel-

u=u~u=(bvv)~u~(cvv)~u~ [(b~C)Vtl]~U.

(18)

(15) e~ (18) egyiitt az elObb idezett tetel szerint u _ V(@",boc)-t jelentL Belattuk, hogy@a, b ~ @a, c -< @a, b 0 c; @a, b~ @a, c ;::: @a, b0 c azonnal ad6dik abb61, hogy @a, b, @a, c;::: @'", b oc, fgy (14) igazolasat befejeztiik. NyHvan, ha @",y szerepel (13) jobboldalaban, azaz x,YEI1~I2' akkor @x, 1I szerepel (13) baloldaliiban is, azaz

V

(@a,b~@o,d) >-

a, bEl,; e, dEl.

V

x, YEl," 1.

eX,y.

Bizonyftjuk a fordftott egyenlotlenseget. Latjuk, hogy ha t:s; (9, bE 11 ; c, d E 12) akkor (14) felhasznalasaval @a, b~ @o,d -< @avb,t'\@cvil,t=@(a"b),,(c"d),t, ahol tagja

a~b~c~d

(avb)~(cvd)EII~I2

es tEI1~I2' azaz (13) baloldaliinak barmely mint a jobboldal alkalmas eleme. Ezzel (13) bfzonyftasat befejeztuk. A tetel bizonyitasab61 lathat6, hogy igaz a kovetkezo -<

KORouARIUM: A @rk akkor es csak akkor alkotjdk @(L)-nek reszhdLOjdt, ha (14) fenndll. . E korollarium megsem mondhat6a felvetett problema megoldasanak, inkabb csak k(myelmes atfogalmazasul szolgal. 8 (9) es (10) fennaHasat eleg sok kik5tes mellett biztositja a 6. TETEL: Ha L O-elemes komplett es dudlisan vegtelen disztributiv haLO, (azaz L-ben (DID) teljesiil), akkor a @I kongruenciareldciok @(L) komplett reszhdlOjdt alkotjdk, azaz' (9) es (10) fenndll. BIZONYITAs: Megint eleg csak (lO)-et belatni. Ezt teljesen az 5. TETEL bizonyftasanak megfelelo tHon tehetjiik. Elegendo megjegyeznilnk, hogy L o-elemessege't\l,. letezesehez sZiikseges, a (DID) feltetel pedig (14) analogonjanak bizonyitasahoz sZilkseges, azaz, hogy ha b,. a, akkor (19) t\@a,li,. @",Ab,.. (19) es a bizonyitas tobbireszenek reszletezese konnyen elvegezheto. 8 Az 5. TETEL a (6) 2. teteU~nek 4. korollariuma alapjan egyszerlibben igazolhat6. Ekkor azonban a fenti korollariumot nem kaptuk volna meg.

432

GRATZER GY. ES SCHMIDT E. T.

III.

Az alabbiakban a hozzarendelt elemparral kapcsolatos nehciny kerdessel foglalkozunk. Tekintsiik az L hal6 a, b, e, d elemeit, melyekre a, b ---+ e, d es c, d ---+ a, b is all. Ekkor nyilvan a -::= b es e - d bcirmely kongruenciarelaci6ra nezve ekvivalensek. Ugyanez a helyzet, ha a, b es e, d projektivek9 (lasd [1], 72. es 73. old.; ugyanitt a transzponaltsag definici6ja is megtalalhat6), amit [a, b]n[c, d] m6don jeloliink. Lathatjuk, hogy a, b es e, d akkor es csak akkor projektivek, ha a, b ---+ c, d es hozzarendeles mindig relativ komplementummal tortenik. Felvetjiik a kovetkezo problemat : a, b es e, d projektivitasanak, mely L hcil6kban sZiikseges es elegendo feltetele (20) a, b ---+ e, d es e, d ---+ a, b. A hcil6knak ket osztalyat adhatjuk meg, melyekre ez a feltetel teljesiil.

7.

Ha az L hdl6ra teljesill, hogy A. L disztribuf{v, vagy B. L lokdlisan viges is moduldris, akkor a, b es e, d (a< b, c < d; a, b, e, dEL) projektivitdsdnak sZilkseges is elegendo jeltitele (20) jenndlldsa. Nyilvan mindig csak azt kell belatnunk, hogy (20)-b61 kovetkezik [a, b]n[e, d]. TETEL:

A. BlZONYITAsA: [6] 2. tetelenek allitasa szerint a (20) feltetel disztributiv hal6ban ekvivalens a kovetkezo negy egyenlettel: (auc)nd=e, (21) (22) (bue)nd=d, (23) (aue)nb=a, (24) (a ud)nb = b. Lassuk be a bu(aue)=du(aue) egyenletet, vagyis, hogy (25) bue=dua. (22)-bOl b u e :::: d es b > a miatt b u e ~ d u a, es megforditva, (24)-bOl au d :::.:: b es d> c miatt au d >- b u e, amely egyenlOtlensegek (25)-ot adjak. (21), (23) es (25) epp azt mutatjak, hogy az [a, b], [a u e, b u e], [e, d] intervallumok koziil a szomszedosak transzponaltak, vagyis [a, b]n[e, d], ami a bizonyitand6 volt. 9 Legtobbszor intervallumok projektivitasar61 es transzponaltsagar61 szoktak irni, nekiink kenyelmesebb a fenti terminol6gia.

HAL6K IDEALJAI

ES

433

KONORUENCIARELACI6I, II.

Mel)(~keredmenykent azt kaptuk, hogy ha [a, b]n[e, d], akkor mar ket lepesben eljuthatunk a, b-bOl e, d-be.

B. BIZONV!TAsA tobb allitasra bonthat6, melyek mindegyike teljes i ndukci6val bizonyithat6, ezert a reszletes okoskodast mellozzuk. Az [a, b] i ntervallum maximalis lancainak hosszat (ezek a hosszak megegyeznek) jelolje 1 [a, b]. 12. LEMMA: A B. jelMlel mellell {26)

I[a, b]

~

I[aue, bue] es I [a, b]

~

I[ane, bne],

es ha (26)-ban egyenlOsegjel all, akkor a megjelela inlervaliumok lranszponaltak.

BlZONV!TAsa I[a, b]-re vonatkoz6 teljes indukci6val tortenik. 13. LEMMA: Ha a, b ~ e, d, akkor (27) I[a, b] ::: I[e, d]. BIZONv!TAsa (26)-ot felhasznalva, a hozzarendeles lepesszamara vonatkoz6 teljes indukci6val vegezheto el. Erdemes megjegyezni,hogy mind (26), mind (27) a lokalisan veges hal6k koreben jellemzi a modularitast. A B. eset bizonyitasa ezutan a kovetkezokeppen fejezheto be: Ha a, b, .e, d-re (a < b, c < d) a (20) feItetel teljesul, akkor (27)-bOl I[a, b] . I[e, d]; igy a 12. LEMMAbOl [a, b]n[e, d] ad6dik. Lathatjuk, hogy A.-ban a tetel allitasanal altalanosabb teteIt bizonyitottunk: 7. A. TETEL: Az L disztributiv hal6ban ervenyes, ha [a, b]· es le, d] projektivek.

e

a, b

= 0 e, d akkor es esak akkor

A disztributivitas ismetelt alkalmazasabOl nyilvanval6, a, b ~ c, d(a < b, e < d), akkor alkalmas p es q elemekkel (28) es (29)

hogy

ha

(aup)nq=c (bup)nq=d

8. TETEL: Az a, b ~ e, d (a < b, e < d; a, b,c, dEL) jeltelel akkor es esak akkor ekvivalens (28) es (29)-eel, ha L diszlributiv. BIZONV!TAs: A disztributivitas nyilvan elegendo feItetel. Kimutatjuk, hogy szukseges is. Tegyiik fel, hogy az L hal6ban teljesiil a tetel feItetele. Belatjuk, hogy e :>- b nem lehetseges. Ugyanis, ha c:>- b, akkor (a up) n q ~ b, tehat aup~b, de ekkor c=(aup)nq=[au(bup)]nq=(bup)nq=d e < d-vel ellentetben.

GRATZER GV. ES SCHMIDT E~ T.: HALOK IDEALJAI ES KONGRUENCIARELAcIOI, n.

434

x

d·:O

c

d.0<1>Y

Y

b

b

1. libra

2. libra

Ha L nem disztributiv, akkor van az 1., vagy 2. abninlathat6 reszhal6ja; viszont az 1. esetben [(avY)f'\c]va=c es [(bvY)f'\c]va= d;

es a 2. esetben: [(avx)f'\ylva...;.....c es [(bvx)f'\Yl va =d

es igy d =a, mar pedig belattuk, hogy d ::> a nem lehetseges. Ez az ellentmondas igazolja a disztributivihis sZilksegesseget is.

IRODALOM [l] G. BIRKHOFF: Lattice theory, Amer. Math. Coll. Pabl., 25, Revised Edition (New-York,

1948).

[2J J. HAsHIMOTO: Ideal Theory for Lattices, Math. }aPo.nicae, 2 (1952) 149-186, [3J N. FUNAVAMA and T. NAKAVAMA: On the distributivity of a lattice of Iattice·congruences, PROC. IMP. ACAD TOKVO 18 (1942) 553-556. [4] T. TANAKA: Canonical subdirect factorizations of lattices, }. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 16 (l952) :z39-246. [5J SHIH-CHIANG WANG: On permutable congruence relations 10, 1953. [6J GRATZER Gv. es SCHMIDT E. T.: Hal6k idealjai es kongruenciarelaci6i I., Magyar Tad. Akad. Ill. Oszt. Kozl., 7 (1957) 93-109. Eotvos Lorlind Tadomlinyegyetem HI. ev. alkalmazott·matematika szak.

fBeerkezett: 1957. VI. 7.)

10

Ez a cikk kinai nyelven jelent meg, ezert nem idezzUk a foly6irat cimet.