H15 GELIJKVORMIGHEID VWO

Hoofdstuk 15 Gelijkvormigheid VWO 15.1 Vergroten en verkleinen

b

1 a

c

b

d

5 ab c 9 driehoekjes, zie plaatje:

c

2 a 30,5:22,9  1,33 en 4 : 3  1,33 b 12 bij 9 inch · 30,5 ≈ 34,57 cm bij 17 · 22,9 ≈ 25,95 cm c 17 15 15 d

16 9

6 a

· 22,9 ≈ 40,71 cm

e 1 31 3 a Die van 24 bij 12. b Die van 20 bij 30, die van 8 bij 12 en die van 18 bij 27. 4 a bc

de Wageningse Methode

Antwoorden H15 GELIJKVORMIGHEID VWO 1

AC 5   2 21 AB 2 b 2 21 ·DB = 2 21 ·1,8 = 4,5

7 a

8 a Vergrotingsfactor=

Het snijpunt van QT en RS noemen we V. Driehoek RTV is gelijkvormig met driehoek PQ 36 PTQ met vergrotingsfactor   3 , dus RV 12 x  RT  21 PR  21  18  9 en z  2  9  18 .

13

ED 21   1 21 CB 14

Driehoek RTV is gelijkvormig met driehoek RU 45  5, RUS met vergrotingsfactor RT 9 dus y  5  9  45 en w  5  12  12  48 . Nee, want ze zijn even breed, maar niet even hoog.

14

15.2 GELIJKVORMIGE FIGUREN

b

AD  1 21  8  12

c BD  12  8  4 d y  1 21  y  6

15 a Ja b Ja c Nee d

1 21 y  y  6 1 2

y 6

y  12

9 a b

25  1 41 , dus de factor is - 1 41 20 x  20 : 1 41  80 : 5  16 y  1 41  28  35

60  60  1 31 60  15 45 b DE  56 : 1 31  168 : 4  42

10 a

CE  52 : 1 31  156 : 4  39 10  2 21 4 4  2 b 10 5

11 a

c

AB  2 21  BD

16 a Omdat P  A  135 en B  Q  20 . De driehoeken ABC en PQR hebben dezelfde hoeken. 25 b PQ   27  15 45 50 30 c x  27  45 en y   25  15 30 50 17 a b

 21  14 meter

1 21

 7  10 21 meter

18 a Ze hebben beide een rechte hoek en beide hoek B. b Bij BC: 15 en bij AB: x+10 BC 15   1 21 c BD 10 d x  10  1 21  8  12 x2

d x=6 e 2 21  5  5  y , dus y  7 21 12 a ABS = 90 – 58 = 32° ; ASB = 180 – 23 – 32 = 125° ; PCS = 23° ; SPC = 32° (Z-hoeken) ; CSP = 125° b AS : SC = BS : SP = AB : PC = 6 : 4 = 3 : 2

2 3

y  1 21  6  9

19

MB  21  338  169 MN 

de Wageningse Methode

169 312

5  130  70 12

Antwoorden H15 GELIJKVORMIGHEID VWO 2

De grote driehoek die bovenin de rechthoek zit is gelijkvormig met de kleine driehoek die onderin de rechthoek zit. Aan de horizontale zijden zie je dat de factor 2 is. Dus verhouden de stukken waarin de diagonaal wordt verdeeld zich als 1 : 2.

20

25 a

15.3 OPPERVLAKTE EN INHOUD 21 a 4 keer ; 9 keer b Zie intro. 4 keer en 9 keer 22 ab

b

c 4 keer d 4 keer e Je moet het rooster verfijnen, d.w.z. kleinere hokjes nemen.

De oppervlakte van de hele grote cirkel = 32  7  63 . De oppervlakte van het gebied dat nog gekleurd is 63 – 7 = 56.

23

(1 21 )3  3 83

c

24 a 1 21 b

1,23  1,728  2 , dus de vergrotingsfactor is groter dan 1,2. 1,33  2,197  2 , dus de vergrotingsfactor is kleiner dan 1,3.

26

230  2,5 92 b 2,5 · 58 meter c 125.000 · 4 = 500.000 ton d 2,53 · 500.000=7.812.500 ton

27 a c 8 keer en 27 keer d 32  2  64 cm en 32  3  96 cm e 32  22  144 cm2 en 32  32  324 cm2 28

de Wageningse Methode

De kubus wordt dan met factor 10 vergroot. De voorkant wordt dan met factor 102 vergroot en de inhoud met factor 103.

Antwoorden H15 GELIJKVORMIGHEID VWO 3

SUPER OPGAVEN

d Driehoek ADC is een vergroting van driehoek AD 42 AEF met factor   1 34 , dus: AE 24 DC  1 34  18  31 21 .

6

Driehoek BEC is een vergroting van driehoek BE 38 7 , dus: AEF met factor   1 12 AE 24 7  18  28 1 . EC  112 2 De hele kegel is een uitvergroting van het topje met factor 3, dus de inhoud van de hele kegel is 33 · 10 = 270. De inhoud van de afgeknotte kegel is dan 260.

27

De vergrotingsfactor is 2 of -2, want de afmetingen van de ene figuur zijn twee keer zo groot als die van de andere. Als de vergrotingsfactor 2 is, dan is het centrum F en anders G, hierbij ligt G tussen de twee hoekpunten in de verhouding 1:2. 10

Driehoek PAQ is een vergroting van driehoek AQ SDQ met factor  2 , dus DS  1 21 en DQ

15.5 EXTRA OPGAVEN 1 a Nee, het zijn rechthoeken waarvan de hoogte steeds hetzelfde is en de breedte verandert. b Ja, het zijn alle regelmatige driehoeken. c

QS  2 21 .

Driehoek PRB is een uitvergroting van driePB 11 22 , dus: hoek DRS met factor   3 DS 1 1 2 RS 

3 25

9 en  7 21  10 QR  1 35 .

DR 

3 25

 10  1 51

3 2 1 12

11 a DE is

ook

 1 21 maal zo lang als CD, dus AB is

maal zo lang als AC.

Dus: ( x  2)  1 21  x  5

niet gelijkvormig

d Nee, want de lengtes zijn hetzelfde en de breedtes niet. e Nee, de lengtes zijn hetzelfde en de andere afmetingen niet. f 4 keer 2 a

x2

x4 AC 6 b De vergrotingsfactor uit a is dus  3, DC 2 dus BC  4  3  12 en y  12  4  8 .

19 a Ze hebben twee gelijke hoeken nl bij F (overstaande hoeken) en beide driehoeken hebben een rechte hoek. AE b Met  1 21 BD c AF  1 21  30  20 en DF  32  18  12

9 12

4  3 m

b Als hij even steil staat moet hij

8 12

 4  2 32

meter van de muur staan. Hij staat dichter bij de muur, dus staat hij steiler.

1 21 x  3  x  5 1 2

wel gelijkvormig

3 a

6 8

deel, dus EB is

2 8

deel.

De verhouding is dus 3:1. b 6, 2, 1 34 , 5 41 4 a Driehoek ASE is een vergroting van driehoek FSC met factor 3. Dus FS  41  6  1 21 en SE  34  6  4 21 .

b oppervlakte FSC  21  1 21  3  2 41 ,

oppervlakte ASE  9  2 41  20 41 , oppervlakte ADC  16  2 41  36 , oppervlakte ASFD  36  2 41  33 34 en oppervlakte EBCS  72  36  20 41  15 34 .

de Wageningse Methode

Antwoorden H15 GELIJKVORMIGHEID VWO 4

5 a Driehoek ASB is een uitvergroting van drieAB 3 hoek CSD met factor  . De zijden CD 2 van die driehoeken verhouden zich dan ook als 3:2. b Ook SF : SE = 3 : 2, dus SE  52  3  1 51 6 a ABCD is een uitvergroting van EFGD met AD  1 21 , dus de oppervlakte van factor DE ABCD  (1 21 )2  7,82  17,595 cm2.

b Alle regelmatige veelvlakken zijn gelijkvormig. Alle regelmatige veelhoeken zijn gelijkvormig…. 11

AC  BC 

12

b Ee parallellogram wordt door een diagonaal in twee stukken met gelijke oppervlakte verdeeld, dus: oppervlakte BAD = oppervlakte DBC en oppervlakte EFD = oppervlakte FGC ,dus: oppervlakte BAD – oppervlakte EFD= oppervlakte DBC – oppervlakte FGC Die oppervlakte is: 1  (17,595  7,82)  4,8875 cm2. 2

40  10 16 40  20 16

 25 , dus x = 15  50 , dus y = 30

Bij vermenigvuldigen met een positieve factor:

Bij vermenigvuldigen met een negatieve factor:

DBFE is een ruit (vier gelijke zijden), dus DB is evenwijdig met FC. Omdat ook nog FC = 2·DB is FC het beeldlijnstuk van lijnstuk DB bij vermenigvuldiging vanuit A met factor 2, dus is C het beeld van B bij vermenigvuldiging vanuit A met factor 2.

7

13

8 a Ja, want ze hebben alle hoeken gelijk. b Nee, in het algemeen niet, veronderstel dat je met een rechthoek van 3 bij 5 begint en je haalt er aan alle kanten een strook van 1 af, dan houd je een rechthoek van 1 bij 3 over.

factor -1:

factor

1 2

:

9 a 1 32  96  160 mm b (1 32 )2  18  50 paperclips c

(1 32 )3  0,54  2,5 gram

10 a 3 en 4 zijn onwaar, je kunt bijvoorbeeld het grondvlak gelijk houden en de hoogte veranderen. de Wageningse Methode

Antwoorden H15 GELIJKVORMIGHEID VWO 5

d De driehoeken ABF en ABE zijn gelijkvormig.

14 a

BF AB  is de verkleiningsfactor. In deze AE BE verhouding mag je AE en AB vervangen door FE volgens c.

b (1 21 )3  3 83 15 b 3  180 : 5  108 c 5 d 5 16 a De grijze driehoeken zijn gelijkbenig, de tophoek is 108, de basishoeken zijn dan 1 (180  108)  36 . 2

De tophoek van de witte driehoek is 108  2  36  36 en de basishoeken 1 (180  36)  72 enzovoort. 2 b

Met de scherphoekige 20 en met de stomphoekige 15.

17

18 a

b Driehoek ABF heeft twee gelijke hoeken. c Driehoek ABE heeft twee gelijke hoeken, dus AB = AE. Driehoek AFE heeft twee gelijke hoeken, dus AE = FE.

de Wageningse Methode

Antwoorden H15 GELIJKVORMIGHEID VWO 6