Grafy na 2. stupni základních škol v českých a anglických učebnicích matematiky

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

Diplomová práce Petra Machýčková

Grafy na 2. stupni základních škol v českých a anglických učebnicích matematiky

Olomouc 2016

vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Grafy na 2. stupni základních škol v českých a anglických učebnicích matematiky“ vypracovala zcela samostatně na základě použité literatury a dalších zdrojů, které řádně cituji, a jsou uvedeny v seznamu použité literatury. V Olomouci ………………….

Petra Machýčková ...………………….. Podpis

Poděkování Mé poděkování patří vedoucí diplomové práce paní doc. RNDr. Jitce Laitochové, CSc. za možnost uskutečnění mé diplomové práce, za cenné rady a připomínky a především za

zprostředkování

řady

anglických

učebnic.

Dále

bych

chtěla

poděkovat

Mgr. Jitce Hodaňové, Ph.D. za vstřícnost při konzultacích a cenných radách při realizaci empirického šetření. Poděkování patří také ZŠ Kunín a olomouckým školám ZŠ Tererovo náměstí 1, ZŠ Helsinská a ZŠ Stupkova za možnost realizace empirického šetření a zároveň všem žákům devátých ročníků těchto škol za ochotu při vyplnění souboru testových úloh. Dále bych chtěla poděkovat paní Mgr. Miroslavě Poláchové za ochotné jednání, cenné rady a vypůjčení české řady učebnic. Velké poděkování patří mé rodině za podporu poskytnutou během celé doby mého studia, nesmírně si ji vážím.

OBSAH ÚVOD........................................................................................................................ 1 TEORETICKÁ ČÁST 1

Graf ..................................................................................................................... 3 1.1

Grafy funkcí .................................................................................................. 3

1.1.1 Vymezení pojmu funkce .......................................................................... 3 1.1.2 Graf funkce.............................................................................................. 5 1.1.3 Graf lineární funkce ................................................................................. 5 1.1.4 Graf kvadratické funkce ........................................................................... 8 1.2

Statistické grafy a diagramy ........................................................................ 12

1.2.1 Základní statistické grafy a diagramy ..................................................... 12 1.2.2 Proces tvorby grafu ................................................................................ 16

2

1.3

Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v RVP ZV .................................. 19

1.4

Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v národním kurikulu Anglie ....... 20

Školský vzdělávací systém v Anglii .................................................................. 22 2.1

Struktura a financování anglického školství ................................................. 22

2.2

Národní kurikulum a vzdělávací reforma ..................................................... 25

2.3

Kurikulum pro sekundární vzdělávání ......................................................... 30

EMPIRICKÁ ČÁST 3

Srovnání českých a anglických učebnic matematiky ...................................... 33 3.1

Charakteristika české řady učebnic .............................................................. 33

3.2

Charakteristika anglické řady učebnic ......................................................... 35

3.3

Grafy funkcí v českých a anglických učebnicích.......................................... 36

3.3.1 Pravoúhlý souřadný systém v rovině ...................................................... 37 3.3.2 Graf konstantní funkce........................................................................... 40 3.3.3 Graf přímé úměrnosti ............................................................................. 43 3.3.4 Graf lineární funkce ............................................................................... 50

3.3.5 Grafické řešení soustavy rovnic ............................................................. 57 3.3.6 Využití grafů funkcí v praxi ................................................................... 60 3.4

Statistické grafy a diagramy v českých a anglických učebnicích .................. 64

3.4.1 Sloupcový graf ...................................................................................... 64 3.4.2 Koláčový diagram ................................................................................. 72 3.5 4

Závěrečné srovnání učebnic ........................................................................ 80

Empirické šetření ............................................................................................. 82 4.1

Cíle a dílčí cíle empirického šetření ............................................................. 82

4.2

Metody empirického šetření ........................................................................ 82

4.3

Podmínky a průběh empirického šetření ...................................................... 83

4.4

Testové úlohy .............................................................................................. 83

4.5

Výsledky empirického šetření ..................................................................... 84

4.5.1 Zpracování dat ....................................................................................... 84 4.5.2 Vyhodnocení úspěšnosti jednotlivých testových úloh žáků 9. ročníku .... 84 4.6

Shrnutí empirického šetření ....................................................................... 102

ZÁVĚR ................................................................................................................. 104 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ ..................................................................... 106 SEZNAM OBRÁZKŮ .......................................................................................... 110 SEZNAM GRAFŮ ................................................................................................ 111 SEZNAM TABULEK ........................................................................................... 113 SEZNAM ZKRATEK .......................................................................................... 114 SEZNAM PŘÍLOH .............................................................................................. 115 ANOTACE

ÚVOD „Neučíme se pro školu, ale pro život.“ Seneca Na úrovni celé Evropské unie byly matematické kompetence vyhodnoceny jako nezbytné pro aktivní občanství, sociální začlenění, osobní naplnění a zaměstnatelnost ve společnosti 21. století. Na základě zjištění, že vzrůstá počet žáků, kteří mají problémy se čtením, matematikou a přírodními vědami, došlo v posledních desítkách let k revidování obsahu matematického vzdělávání s větším důrazem na využití matematiky v každodenním životě. (Parveta, 2011) Grafy, z matematického hlediska používané ke schematickému znázornění vztahů, postupů, závislostí nebo statistických údajů se staly problémovou oblastí matematiky. Práce s grafy na 2. stupni ZŠ1 je úzce spojena se čtením či rozvojem čtenářské gramotnosti, která je řazena mezi důležité předpoklady k rozvíjení klíčových kompetencí. Práce s grafy není obsažena pouze ve vyučovacích hodinách matematiky, ale má i mezipředmětový přesah. Tématem diplomové práce je výuka grafů funkcí a statistických grafů a diagramů u českých a anglických žáků ve věku 11 – 15 let. Hlavním cílem diplomové práce je na základě prostudované literatury objasnit základní grafy funkcí a statistické grafy a diagramy vyučované na 2. stupni základních škol České republiky, srovnat anglické a české učebnice z pohledu zmíněného učiva a zjistit úspěšnost českých žáků devátého ročníku při řešení testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky. Prvním dílčím cílem je na základě srovnání české a anglické řady učebnic matematiky z pohledu učiva grafu funkcí a statistických grafů a diagramů sestavit soubor testových úloh, který je typický pouze pro anglické učebnice a odpovídá znalostem českých žáků. Druhým dílčím cílem je získat výsledky o úspěšnosti řešení testových úloh jejich zadáním na základních školách a následné kvalitativní zhodnocení řešení jednotlivých testových úloh. Z důvodu dosažení dílčích cílů je práce rozdělena na teoretickou a empirickou část. Teoretická část je zaměřena na charakteristiku a vymezení základních grafů funkcí a statistických grafů a diagramů vyskytující se na 2. stupni základních škol České republiky, jejich

zakotvení

v rámcovém

vzdělávacím

programu

základního

vzdělávání

(RVP ZV) České republiky a národního kurikula Anglie, které je objasněno společně s anglickým školstvím v samostatné kapitole. 1

Základní škola

1

Empirická část je nejprve zaměřena na výběr testových úloh k empirickému šetření pomocí srovnání české a anglické řady učebnic matematiky a komentáře k učebnicím. Následuje empirické šetření, v jehož úvodu jsou stanoveny cíle, metody a podmínky šetření. Výsledkem je kvalitativní shrnutí úspěšnosti žáků devátých ročníků českých škol řešící soubor matematických anglických úloh (z větší části přeložených do českého jazyka) a tvorba česko-anglického slovníčku využitelná k metodě CLIL ve vyučovacích hodinách matematiky.

2

TEORETICKÁ ČÁST 1 Graf Slovo graf je velmi obecný pojem. Nejčastěji je používán ke schematickému znázornění vztahů, postupů, závislostí nebo statistických údajů. Lze tedy snadno usoudit, že tento pojem má hned několik významů. Záleží na kontextu, ve kterém je zmíněné slovo využíváno. Z matematického hlediska Parker (1997) ve svém slovníku uvádí, že graf je chápán jako graf funkce, jako určité grafické znázornění nebo také (z pohledu teorie grafů) jako objekt vytvořený z bodů a úseček. Mnohdy je ke zmíněnému slovu mylně přiřazováno slovo obrazec či diagram jako synonymum. Graf je ale pojem obecnější, diagram a obrazce jsou pojmy konkrétnější, nicméně také představující grafické znázornění. Níže v textu je na graf nahlíženo ze dvou hledisek – graf funkcí a statistický graf či diagram, který využíváme ke znázornění četnosti nějakého jevu.

1.1

Grafy funkcí

1.1.1 Vymezení pojmu funkce V praxi při studiu přírodních jevů, ekonomických vztahů či řešení technických problémů můžeme často zahlédnout, že hodnoty jedné veličiny se mění v závislosti na hodnotách veličiny druhé.

Tuto závislost matematika popisuje pojmem funkce.

V následujícím textu zavedeme pojem funkce pomocí přiřazení a poté pomocí zobrazení. Ve školské matematice využíváme vymezení pojmu funkce právě pomocí přiřazení. (Vošický, Lank, Vondra, 2007, s. 32) Zavedení pojmu funkce pomocí přiřazení Mějme dánu množinu 𝑀, která je podmnožinou množiny reálných čísel (𝑀 ⊂ ℝ). Funkce na množině 𝑀 je předpis, podle kterého je každému prvku 𝑥 z množiny 𝑀 přiřazeno právě jedno reálné číslo. Toto číslo se nazývá hodnota funkce v bodě 𝑥. Množinu 𝑀 označujeme definičním oborem funkce. Pokud je množina 𝑀 rovna množině reálných čísel ℝ, hovoříme o reálné funkci jedné reálné proměnné, kterou zapisujeme zápisem 𝑦 = 𝑓(𝑥), kde 𝑓(𝑥) je algebraický výraz s proměnnou 𝑥. (Synková, 2015) 3

Cizlerová, Zahradníček a Zahradníčková (2014) uvádějí ještě jinou definici funkce. Definují funkci jako předpis, který každému číslu přiřadí nejvýše jedno reálné číslo. Z této definice vyplývá, že některým číslům není přiřazeno žádné číslo a některým právě jedno. Obě definice se shodují. Ty čísla, ke kterým je přiřazené jediné číslo, patří do definičního oboru funkce. V definici jsou zmíněné dvě proměnné: 𝑥 a 𝑦. Nezávisle proměnná (často označovaná jako argument funkce) je označena symbolem 𝑥. Jedná se o libovolné číslo z definičního oboru. Závisle proměnnou znázorňuje symbol 𝑦. Hodnota závislé proměnné závisí na zvolené hodnotě proměnné 𝑥. Zavedení pojmu funkce pomocí zobrazení K tomu, aby bylo možné definovat funkci pomocí zobrazení, je nutné nejprve definovat pojem kartézský součin, binární relace a zobrazení. Tyto pojmy ve své knize vymezuje Janurová, Janura a Svoboda (2011, s. 97): „Mějme dány dvě neprázdné množiny reálných čísel 𝐴, 𝐵. Kartézský součin množin 𝐴, 𝐵 definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic [𝑥, 𝑦], kde první prvek uspořádané dvojice patří do množiny 𝐴, druhý prvek uspořádané dvojice patří do množiny 𝐵. Značíme 𝐴 × 𝐵 = {[𝑥, 𝑦]; 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵}.“ Binární relace mezi množinami 𝐴, 𝐵 nazýváme každou podmnožinu kartézského součinu A × B. Zobrazením množiny 𝑨 do množiny 𝑩 rozumíme takovou relaci, která každému prvku z množiny 𝐴 přiřadí právě jeden prvek z množiny 𝐵. Konečně se dostáváme k pojmu funkce. Funkce reálné proměnné 𝒙 je zobrazení 𝑓 množiny 𝐴 (𝐴 ⊂ ℝ) do množiny reálných čísel. Takovou funkci značíme: 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥). Definičním oborem funkce 𝑓 je množina všech prvků (vzorů) 𝑥, pro které platí [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑓. Z definice je pro nás definičním oborem množina 𝐴. Definiční obor značíme 𝐷(𝑓). Oborem hodnot funkce 𝑓 je množina všech prvků (obrazů) 𝑦, ke kterým existuje právě jedno 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) tak, že [𝑥; 𝑦] ∈ 𝑓. Obor hodnot značíme 𝐻(𝑓). Zápis 𝑦 = 𝑓(𝑥) čteme jako hodnota funkce 𝑓 v bodě 𝑥. Podle Janurové, Janury a Svobody (2011, s. 99) existuje několik způsobů zadání funkce: 

Funkčním předpisem (formulí, rovnicí nebo vzorcem) 4



Tabulkou



Výčtem hodnot (slovním popisem)



Grafem funkce

Následující text je zaměřen na poslední možnost zadání funkce – jejím grafem.

1.1.2 Graf funkce „Grafem funkce rozumíme množinu všech bodů o souřadnicích [𝑥, 𝑦] ([𝑥; 𝑓(𝑥)]), kde 𝑥 je libovolný prvek z definičního oboru, 𝑦 (𝑓 (𝑥)) je odpovídající funkční hodnota z oboru hodnot této funkce.“ (Janurová, Janura, Svoboda, 2011, s. 99) Grafické a tabulární zadání funkce je často v praxi používáno. Většinou se využívá při výsledcích měření či statistického zjišťování. (Polák, 2000, s. 116)

1.1.3 Graf lineární funkce Lineární funkce je každá funkce 𝑓 daná předpisem 𝒇: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 , kde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0. (Vošický, Lank, Vondra, 2007, s. 34) Poznámka: 

𝒙 je nezávisle proměnná,



𝒚 je závisle promněnná,



𝒂 je směrnice přímky, která udává monotónnost funkce,



𝒃 je postunutí ve směru osy 𝑦.

Definičním oborem i oborem hodnot je množina reálných čísel. Grafem každé lineární funkce je přímka, která je různoběžná se souřadnými osami (výjimku tvoří konstantní funkce). (Synková, 2015, s. 34) Rozdělení lineárních funkcí podle hodnoty koeficientu 𝑎: Polák (2000, s. 126-127) Jestliže 𝑎 = 0 , jedná se o funkci konstantní: 

𝐷(𝑓) = 𝑅;



𝐻 (𝑓) = {𝑏};



Je sudá (pro 𝑏 = 0 je lichá);



Nerostoucí, neklesající;



Není prostá;



Maximum a minimum pro každé 𝑥 ∈ 𝑅;



Spojitá v 𝑅. 5

Graf 1: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 = 0)

Jestliže 𝑎 > 0 : 

𝐷(𝑓) = 𝑅;



𝐻 (𝑓) = 𝑅;



Není omezená ani shora ani zdola;



Rostoucí;



Prostá;



Nemá maximum ani minimum.

Graf 2: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0)

6

Jestliže 𝑎 < 0 : 

𝐷(𝑓) = 𝑅;



𝐻 (𝑓) = 𝑅;






Klesající;



Prostá;




Graf 3: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0)

Jestliže 𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0 jedná se o funkci přímé úměrnosti. Vyjadřuje, kolikrát se zvětší |𝑥 |, tolikrát se zvětší |𝑦|. Graf této funkce prochází počátkem soustavy souřadnic. 

𝐷(𝑓) = 𝑅;



𝐻 (𝑓) = 𝑅;






Rostoucí;



Prostá;




7

Graf 4: Graf přímé úměrnosti

1.1.4 Graf kvadratické funkce Kvadratická funkce je každá funkce 𝑓 dána předpisem 𝒇: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, kde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0. (Vošický, Lank, Vondra, 2007, s. 34) Pozn. Jestliže by se 𝑎 = 0, poté bychom dostali předpis 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐, což je předpis lineární funkce, ne funkce kvadratické. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Obor hodnot závisí na koeficientech 𝑎, 𝑏, 𝑐. Grafem každé kvadratické funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou 𝑦. (Janurová, Janura, Svoboda, 2011, s. 106) Průsečík paraboly a osy paraboly nazýváme vrchol paraboly a značíme ho 𝑉. Předpis

kvadratické

funkce

je

nejčastěji

zapsán

vrcholovým

tvarem

𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛. Ze zápisu zapsaného vrcholovým tvarem lze jednoduše vyčíst souřadnice vrcholu 𝑉 [𝑚; 𝑛]. (Synková, 2015, s. 40) Rozdělení kvadratických funkcí podle hodnoty koeficientu a podle Poláka (2000, s. 127) Jestliže 𝑎 > 0 : 

𝐷(𝑓) = 𝑅;



𝐻 (𝑓) = ⟨𝑐 − 4𝑎 , ∞);



Zdola omezená, shora omezená není;

𝑏2

8

𝑏



Rostoucí pro 𝑥 ∈ (− 2𝑎 ; ∞);



Klesající pro 𝑥 ∈ (−∞; −



Má minimum v bodě [− 2𝑎 ; 𝑐 − 4𝑎], maximum nemá.

𝑏 2𝑎

); 𝑏2

𝑏

Graf 5: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0)

Jestliže 𝑎 < 0 : 

𝐷(𝑓) = 𝑅;



𝐻 (𝑓) = (−∞; 𝑐 − 4𝑎⟩;



Shora omezená, zdola omezení není;



Rostoucí pro 𝑥 ∈ (−∞; − 2𝑎 );



Klesající pro 𝑥 ∈ (− 2𝑎 ; ∞);



Má maximum v bodě [− 2𝑎 ; 𝑐 − 4𝑎 ], minimum nemá.

𝑏2

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏2

9

Graf 6: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0)

Poznámka: Je-li 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 funkce má předpis 𝑦 = 𝑎𝑥 2 . Tato funkce prochází počátkem soustavy souřadnic, který je vrcholem paraboly; osou paraboly je přímo osa 𝑦. (Synková, 2015, s. 41) Změna grafu funkce 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 v závislosti na změně koeficientu 𝑎 Vrchol této paraboly má souřadnice [0; 0], neboli počátek soustavy souřadnic. Synková (2015, s 43) uvádí, že tvar paraboly závisí na hodnotě koeficientu 𝑎: -

pro |𝑎| = 1 se jedná o takzvanou základní parabolu

-

pro |𝑎| > 1 má parabola „užší“ tvar

-

pro 0 < |𝑎| < 1 má parabola „širší“ tvar

10

Graf 7: Změna grafu funkce 𝑦 = 𝑎𝑥 2 v závislosti na změně koeficientu 𝑎

Změny grafu funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientů 𝑚, 𝑛 Koeficienty 𝑚, 𝑛 nám určují posunutí grafu ve směru souřadnicových os. (Synková, 2015, s. 45) Přesnější vysvětlení podává Cizlerová, Zahradníček, Zahradníčková (2014): 

koeficient 𝑚 udává posunutí grafu funkce rovnoběžně s osou 𝑥 o velikost |𝑚| o 𝑚 > 0 … graf se posouvá ve směru kladné poloosy 𝑥 (doprava) o 𝑚 < 0 … graf se posouvá ve směru záporné poloosy 𝑥 (doleva)

Graf 8: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑚

11



koeficient 𝑛 udává posunutí grafu funkce rovnoběžně s osou 𝑦 o velikost |𝑛| o 𝑛 > 0 … graf se posouvá ve směru kladné poloosy 𝑦 (nahoru) o 𝑛 < 0 … graf se posouvá ve směru záporné poloosy 𝑦 (dolů)

Graf 9: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑛

1.2 Statistické grafy a diagramy Pro prezentaci statistických údajů je vhodné používat různé grafické způsoby. (Kohout, 2014) Statistické grafy a diagramy většinou zaujmou a vhodně data reprezentují. Existuje mnoho typů statistických grafů s diagramů, přičemž každý typ tohoto grafického zobrazení má své výhody i nevýhody. (Hendl, 2014, s. 41) Mezi často kladenou otázku patří: Jaký je rozdíl mezi statistickými grafy a diagramy? Graf je pojem obecnější, diagram je pojem konkrétnější. Zásadní rozdíl však spočívá v tom, že statistický graf je zasazen do soustavy souřadnic. Kdežto diagram nikoliv.

1.2.1 Základní statistické grafy a diagramy „Sloupcové (sloupkové), čárové (spojnicové), X-Y bodové grafy či koláčové diagramy patří mezi nejčastěji používané statistické grafy a diagramy. Jejich cílem je zobrazit rozdělení dat, případně je používáme pro znázornění závislosti.“ (Hendl, 2014, s. 42) Níže si přiblížíme jednotlivé typy statistických grafů.

12

Bodový graf (graf 𝑿𝒀) Hodnoty v tomto grafu jsou zobrazeny pomocí bodů, většinou v pravoúhlé soustavě. Tento typ grafu je využíván k zachycení závislosti dvou statistických znaků. Používá se pro zobrazení dat s menší četností. S více četností jeho jednoduchost a přehlednost mizí. (Kohout, 2014) Office (2014) uvádí, že se tento typ grafů se nejčastěji využívá pro zobrazení vztahu mezi číselnými hodnotami v několika datových řadách nebo vykreslují dvě skupiny čísel jako jednu řadu souřadnic 𝑋𝑌. Nejčastější užití je tedy pro zobrazení a porovnání číselných hodnot, například vědeckých, statistických nebo technických dat. Na základní škole mohou žáci využít tento graf například v případě, kdy měří teplotu vzduchu každou celou hodinu a zaznačí ji do grafu bodově.

Teplota v jednotlivých dnech 25

Teplota (°C)

20 15 Teplota 1. den

10

Teplota 2. den 5 0 0:00

4:48

9:36

14:24

19:12

Čas (h) Graf 10: Bodový graf závislosti naměřené teploty na čase

Sloupcový (sloupkový graf) U sloupcového grafu je délka příslušného sloupku funkcí znázorněného údaje. Tímto stylem ve sloupcovém grafu znázorňujeme množinu dat. (Hendl, 2014, s. 43) Jinými slovy můžeme říci, že tento graf vyjadřuje závislosti mezi dvěma hodnotami. Jednotlivé prvky výběru jsou seskupovány do tříd. (Kohout, 2014) Office na svých webových stránkách uvádí další čtyři základní podtypy sloupcového grafu, které se vyskytují i v prostorovém provedení: skupinový sloupcový, skládaný sloupcový, 100% skládaný sloupcový graf a prostorový sloupcový graf. Podtypů však existuje ve skutečnosti mnohem více. Velmi známým je tzv. histogram. Je velmi podobný sloupcovému grafu. Rozdíl spočívá v tom, že šířka sloupců vyjadřuje šířku intervalů (tříd) a výška sloupců představuje četnost sledované veličiny v daném intervalu. „Mezery“ mezi sloupci se zde tedy nevyskytují. 13

Hendl (2014, s. 52) uvádí zásady pro správnou tvorbu grafu tohoto typu. Sloupcové grafy mohou být tvořeny horizontálními (vodorovnými) nebo vertikálními (svislými) sloupci. Osy by měly začínat v nule a měly by být jasně označeny. Pokud se vyskytuje výjimka, je nutné ji zaznačit a objasnit. Všechny sloupce v tomto grafu by měly stejnou šířku a měly by být vhodně seřazeny. Někdy jsou sloupce řazeny dle délky sloupku, jindy je zohledněna logika řazení (např. čas). Žáci mohou v rámci matematiky zjistit například počet sourozenců každého žáka ze třídy a ze sourozenců vybrat jen nezletilé děti. Zjistí tedy počet nezletilých žáků v rodinách jedné třídy. Výsledky zakreslují do sloupcového grafu.

Počet nezletilých dětí v rodinách 14

Počet rodin

12 10 8 6

12 9

4 2

Počet rodin 7

5

2

0 0

1

2

3

4

Počet dětí Graf 11: Sloupcový graf ukazující počet dětí v rodinách

Koláčový (kruhový, výsečový) diagram Koláčový diagram je používán k zobrazení hodnot množin údajů, které odpovídají velikosti části z celku, pomocí kruhových výsečí. Dohromady všechny výseče tvoří celý kruh. Tento diagram je často modifikován na tzv. prstencový diagram nebo výsečový diagram s dílčí výsečí. U koláčového diagramu je vhodné vyhnout se velkému množství kategorií. Nepsaná domluva uvádí maximálně pět kategorií. Pokud se kategorií vyskytuje více a jsou málo zastoupené, často jsou zařazeny do jedné kategorie, která je nazvána jako Ostatní. Stejně jako u sloupcového grafu, i zde jsou jednotlivé kategorie znázorněny ve vhodném pořadí, například podle velikosti. První kategorie vždy začíná v pozicích hodinových ručiček ve dvanáct hodin. Dále se postupuje ve směru hodinových ručiček. (Hendl, 2014, s. 52) 14

Žáci mohou například provést statistické šetření ve školní jídelně s bufetem. Mohou zkoumat, jaké položky jsou nejprodávanější a nejžádanější během času oběda. Výsledky poté zakreslí do koláčového či prstencového grafu a převedou na procenta. Příkladem může být graf 12 a graf 13.

Položky prodané v době oběda Saláty 6%

Sendviče 11%

Sendviče Saláty

Dezerty 41%

Polévka Nápoje Polévka 41%

Dezerty

Nápoje 1% Graf 12: Koláčový graf ukazující počet položek prodaných během oběda

Prstencový diagram tedy vychází z diagramu koláčového. Oba diagramy vyhovují stejným účelům. Liší se pouze vzhledem. Při volbě mezi prstencovým a koláčovým diagramem spíše záleží na estetickém cítění než na vstupních datech. Prstencové diagramy mají výhodu v tom, že lze do jedné výseče umístit několik datových řad. (Office, 2016)

Položky prodané v době oběda Sendviče 11% Saláty 6%

Dezerty 41%

Sendviče

Saláty Polévka Nápoje

Nápoje 1%

Polévka 41%

Dezerty

Graf 13: Prstencový graf ukazující počet položek prodaných v době oběda

15

Čárový graf (spojnicový, polygon četností) Využívá se ke znázornění velkého množství hodnot nebo při vystihnutí průběhu časové řady. Hodnoty jsou zobrazeny jako body, které jsou poté spojeny čárou. Pokud je spojnicovým grafem vyjádřeno rozdělení absolutních nebo relativních čerností ve výběru, poté graf označujeme pojmem polygon četností. (Kohout, 2014) „Polygon četnosti je získáván obdobným způsobem jako histogram, ale místo obdélníků jsou spojeny úsečkami četnosti vynesené pro sloupky histogramu ve středu jednotlivých intervalů.“ (Hendl, 2014, s. 44) Hendl (2014, s. 52) uvádí základní pravidla pro tvorbu čárového grafu. Pro čárové grafy platí, že osy začínají v nule a musí být jasně označeny. Pokud se vyskytuje výjimka, je nutné ji objasnit a vyznačit. V čárovém grafu je povolena existence více čar. Velký počet čar ale působí zmateně a nepřehledně. Pokud se naskytne situace, že v datech chybí údaje, je nutné tento úsek v datech vynechat nebo ho doplnit jiným typem čáry. Žáci mohou například zjistit průměrnou mzdu v ČR za posledních pár let a zakreslit její růst do grafu, viz graf 14.

Průměrná mzda v ČR (k 5.6.2015) Kč26 500 Kč26 000

Mzda (Kč)

Kč25 500 Kč25 000

Kč24 500 Kč24 000

Průměrná mzda

Kč23 500 Kč23 000 Kč22 500 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Rok Graf 14: Spojnicový graf průměrné mzdy v ČR k 5. 6. 2015 (https://www.czso.cz/csu/czso/cri/prumerne-mzdy-1-ctvrtleti-2015)

1.2.2 Proces tvorby grafu Následující text obsahuje seznam doporučení, jak správně vytvořit graf tak, aby nezkresloval informace. Hendl ve své knize (2014, s. 46-52) uvádí čtyř základní kroky návrhu grafu a následně je popisuje: 16

1. Určit, co chceme říci. 2. Vybrat typ grafu. 3. Uspořádat data. 4. Připravit a formátovat graf. 1. Určit, co chceme říci V prvním kroku je nutné položit si otázku: Jaký bude mít náš graf účel? Je snadnější zvolit typ grafu, pokud je tento důvod známý. V momentně, kdy je volena vhodná prezentace pro představy o datech, bývá rozlišováno šest důvodů: porovnání; ukázání rozložení dat; objasnění části celku; dokumentace trendu; odhalení odchylek nebo porozumění vztahu.

2. Vybrat typ grafu Druhý krok je zaměřen na jednotlivé účely grafického znázornění. Dále jsou uvedeny, jednotlivé typy grafů, které je vhodné v každém případě využít. Prvním účelem je porovnávání. V tomto případě je porovnávána jedna množina dat s jinou. V této situaci jsou nejvíce využity tyto typy grafů: sloupcové grafy s různou orientací; dvojrozměrné bodové grafy; koláčové diagramy či čárové grafy. Druhým účelem je ukázka rozložení. Je použit v případě, je-li nutné ukázat rozložení množiny hodnot, pro informaci o vychýlených hodnotách, intervalu, kde se nalézá většina hodnot atd. K tomuto účelu jsou nejčastěji využity sloupkové grafy, dvojrozměrné bodové grafy a čárové grafy. Jestliže je cílem ukázat, jaký podíl z celku tvoří různé části, účelem je poté objasnění části celku. V takovém případě se nabízí koláčové diagramy či sloupkové grafy s různou orientací. Sloupcové a čárové grafy jsou využity, pokud je cílem porozumět trendu v čase u zvolených proměnných nebo pokud je dokumentováno, které hodnoty se odchylují od norem. Posledním, již zmíněným, účelem je vztah. Tento účel je sledován, pokud je cílem ukázat vztah mezi dvěma nebo více proměnnými. K těmto situacím se nejvíce využívají grafy čárové a dvojrozměrné bodové. „Pokud proměnné máme rozdělené na závisle a nezávisle proměnné, typ grafu volíme podle toho, na jaké škále byly jednotlivé proměnné měřeny. Přihlížíme k tomu, zda proměnné 17

jsou kvantitativní a nabývají mnoho hodnot, nebo nabývají pouze málo hodnot a jsou kvalitativní. V mnoha situacích pracujeme se závisle proměnnou kvantitativního typu.“ (Hendl, 2014, s. 49) Volbu vhodného grafu zobrazuje obrázek 1.

Obrázek 1: Rozhodovací schéma pro tvorbu typu grafu (Hendl, 2014, s. 50)

3. Uspořádat data V předešlých krocích byl vyjasněn účel grafu a následně vybrán jeho vhodný typ. Nyní jsou zkoumána data, která jsou k dispozici. Velmi často tato data nejsou ve vhodné podobě, proto je nutné je jakkoliv transformovat, přepočítat či uspořádat. K tomuto kroku se většinou využívají statistické programy nebo tabulkové procesory.

18

4. Připravit a formátovat graf V každém grafu by měl být jasně viditelný název a účel grafu; popsáno, co znamenají jednotlivé osy, třídy, sloupky aj; popsáno, co znamenají škály každé osy s vyznačením začátku. Dále je velmi důležité uvést zdroj grafu. V grafu by se nemělo vyskytovat nadbytek zbytečných čar a grafických prvků. Mezi nejčastější chyby, kterých se lidé u sestavování grafů dopouštějí, patří například situace, kdy není popsána jedna z os; když se zbytečně zdůrazňují trendy; nalezení zavádějících jednotek na jednotlivých osách, či když se nevychází z přesných dat.

1.3 Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v RVP ZV2 S pojmy graf funkce, diagram nebo statistický graf se žáci základní školy podle Rámcově vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (2007) setkávají prostřednictvím vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Tato vzdělávací oblast obsahuje čtyři tematické okruhy. Následující text je zaměřen na tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty, který je v RVP ZV (2007) charakterizován následovně: „Žáci rozpoznávají určité typy změn a zavilostí, které jsou projevem běžných jevů reálného světa, a seznamují je s jejich reprezentací. Uvědomují si změny a závislosti známých jevů, docházejí k pochopení, že změnou může být růst i pokles a že změna může mít také nulovou hodnotu. Tyto změny a závislosti žáci analyzují z tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruují a vyjadřují matematickým předpisem nebo je podle možností modelují s využitím vhodného počítačového software nebo grafických kalkulátorů. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce.“ Už na prvním stupni základní školy žáci popisují jednoduché závislosti z praktického života, doplňují tabulky a schémata. Zároveň je dbáno na to, aby žáci zvládali vyhledávat, sbírat a třídit data. Velká pozornost by měla být věnována umění čtení a sestavování jednoduchých tabulek a diagramů. Na druhém stupni žáci nabyté znalosti z prvního stupně rozšiřují a obohacují. Opět je kladen důraz na to, aby uměli žáci vyhledávat, vyhodnocovat a zpracovávat data. Zároveň soubory dat porovnávat. Se zaměřením na pojem funkce určují vztah přímé a nepřímé úměrnosti. Žák po absolvování druhého stupně vyjadřuje funkční vztah tabulkou, rovnicí a grafem. Celkově žáci matematizují jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů. (RVP, 2007) 2

Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání

19

1.4 Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v národním kurikulu Anglie Národní kurikulum v Anglii vydává ministerstvo školství (Department of education). Zmíněné ministerstvo, tak, jak na svých webových stránkách www.gov.uk popisuje, je zodpovědné za vzdělávání a péči o děti v Anglii. Hlavním cílem ministerstva je vypěstovat vysoce vzdělanou společnost, na které mají možnost se podílet veškeré děti a mládež, a to bez ohledu na jejich pozadí nebo rodinné poměry. Národní kurikulum v Anglii se zaměřením na třetí a čtvrté klíčové období (Key stage 3, Key stage 4)3 pohlíží na matematiku jako na předmět, který je velmi propojený a ve kterém musí být žáci schopni se plynule pohybovat mezi představami matematických myšlenek. Studijní program pro třetí klíčové období je rozdělen do zdánlivě odlišných oblastí. Podmínkou však je, aby žáci vycházeli a využívali základy nabyté z druhého klíčového období a matematické myšlenky propojovali tak, aby došlo k plynulosti matematického uvažování a zdokonalení kompetencí při řešení problémů. Žáci by zároveň měli umět uplatnit své matematické znalosti v oblasti vědy, geografie, výpočetní techniky či v jiných předmětech. Očekává se, že většina žáků se bude ve studijním programu pohybovat zhruba ve stejném tempu. Nicméně vždy je nutné se ujistit, jestli je žák připravený učinit pokrok. Z toho důvodu je kladen důraz na bezpečné porozumění žákům. Těm, kteří pochopí nové koncepty rychleji, jsou nabízeny bohaté a složitější problémy ještě dříve, než k nim dojde prostřednictvím nového obsahu v rámci přípravy na čtvrté klíčové období. Ti žáci, kteří nemají určité koncepty plynule osvojeny, se doporučuje upevňování svých znalostí dostatečnou praxí, než dojde k přechodu ke čtvrté klíčové fázi. Obsah předmětu matematika je rozdělen do několika částí: Číslo (Number); Algebra (Algebra); Poměr, podíl a rozsah změny (Ratio, proportion and rates of change); Geometrie a měřítko (Geometry and measures); Pravděpodobnost (Probability) a Statistika (Statistics). Prostřednictvím oblasti Algebra se žáci učí pracovat se souřadnicemi ve všech čtyřech kvadrantech pravoúhlé souřadnicové soustavy; rozpoznají, načrtnou a narýsují grafy lineární funkce jedné proměnné s volbou vhodného měřítka v Kartézské soustavě souřadnic; vysvětlí matematické vztahy jak algebraicky, tak graficky; upravují dané lineární rovnice dvou proměnných do standardního tvaru 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, vypočítají a vysvětlí průsečíky grafů těchto

3

Viz kapitola 2.2

20

lineárních rovnic graficky i algebraicky; použijí lineární grafy pro odhad hodnoty 𝑦 pro danou hodnotu 𝑥, naopak a zároveň naleznou přibližné řešení lineárních rovnic. Z hlediska Ratio, proportion and rates of change oblasti žáci řeší problémy týkající se přímé a nepřímé úměrnosti, včetně grafické a algebraické prezentace. Pomocí oblasti Statistics žáci sestaví a interpretují příslušné tabulky, grafy a diagramy, včetně sloupcových grafů a koláčových diagramů. (The national curriculum in England, 2014)

21

2 Školský vzdělávací systém v Anglii Ve Velké Británii se setkáváme se třemi nezávislými výchovně vzdělávacími soustavami (Anglie + Wales, Skotsko, Irsko), které jsou v jednotlivých zemích odlišné. Proto hovoříme o nejednotném školském systému Velké Británie. Následující text je zaměřen na výchovně vzdělávací soustavu Anglie a Walesu (dále jen Anglie). „Podstatným rysem, kterým odlišuje vzdělávací systém ve Velké Británii od většiny systémů v evropských zemích, je decentralizace správy a řízení školství a rozdělení pravomocí mezi různé orgány.“ (Váňová, 1994, s. 80) Ústřední státní orgány, místní školské správy a samostatné školy mají jednotlivé pravomoci rozděleny. Důležitým rokem pro anglické školství byl rok 1944, kdy byl schválen školský zákon, který vstoupil v platnost roku 1945. Formuloval princip vzdělávání jako nepřetržitý proces pro všechny mladé lidi ve věku 5 – 18 let. Tehdy byla zavedena povinná školní docházka do 15 roku dítěte. Výchovně vzdělávací soustavu tvořily tři stupně: základní, střední a další vzdělávání. Délka povinné školní docházky se o dvacet let později, roku 1964, prodlužuje na jedenáct let. Jedná se o období 5. – 16. roku dítěte. (Kováříček, Urbanovská, 1989, s. 46 - 47) Dalším, velmi důležitým rokem pro anglické školství byl rok 1988. V tento rok britský parlament přijal Zákon o vzdělávací reformě (viz kapitola 2.2).

2.1

Struktura a financování anglického školství

Anglický vzdělávací systém je dle Pejchy (2010) následně rozdělen: 

Předškolní výchova (pre-school education)



Základní vzdělávání (primary education)



Střední vzdělávání (secondary education)



Vzdělávání dospělých (further education).

Váňová ve své publikaci Vzdělávací systémy ve vyspělých evropských zemích (1994) podrobněji rozebírá strukturu školského systému v Anglii následovně:

1.

Předškolní výchova (pre – school education)

Předškolní výchova bývá rozdělena pro děti ve věku 3-4 let a pro děti ve věku 4-5 let. Děti navštěvují buď mateřské školy (nursery school) nebo třídy předškolní výchovy, které 22

jsou zřizovány při základních školách (nursery classes). Kromě toho ještě existují i jiné neformální skupiny organizující předškolní výchovu, jako je například Pre-school playgroups. Tyto skupiny už jsou však zřizované ze soukromé iniciativy. 2. Základní škola (Primary education) Jak už bylo zmíněno výše, povinná školní docházka je v Anglii zavedena od 5 do 16 let žáka. Žák nastupuje poprvé do školy ve školním roce, ve kterém nabyde věku pěti let. Proto při nástupu do školy je většina žáků ve věku 4 let. Ve státní sféře základní školu členíme na dva stupně. První stupeň (Infant) navštěvují žáci ve věku 5-8 let. Druhý stupeň (Junior) je určen pro žáky ve věku 8-11 let. V anglickém

vzdělávacím

systému

pouze

na

základě

historie

přetrvávají

tzv. prostřední školy (Middle school). Ty mají žákům zmírnit přechod ze základní školy na školu střední. Proto mají děti i jinou možnost a mohou navštěvovat počáteční školy (First school) a prostřední školy (Middle school). Z hlediska soukromého sektoru jsou zaváděny školy soukromé (Independent school), které si žáky připravují na školy střední. Některé soukromé školy mají jako součást i střední školu. Žáci poté tuto školu navštěvují až do 17-18 let, kdy dělají závěrečné zkoušky A – level. Střední školy (secondary education) Střední školy zaštiťují závěr povinné školní docházky do 16 let. Historickým vývojem vzniklo v Anglii několik typů středních škol. Dříve klasické, dnes už ne moc běžné jsou střední školy (Grammar school), které mají za cíl připravit žáky na studium na vysokých školách. Střední technické školy (City Technology college) buď poskytují studentům střední všeobecné vzdělání se zakončením závěrečné zkoušky A- level, nebo vzdělání se zaměřením na technické obory s velkým důrazem na obchod a průmysl (kadeřnice, automechanik aj.). V historii fungovaly ještě střední moderní školy (Secondary Modern school), které byly zřízeny pro žáky, kteří chtěli po splnění povinné školní docházky nastoupit do práce nebo do druhu odborné přípravy. Dnes tyto školy neexistují. Tento tripartitní systém existoval v Anglii po druhé světové válce, dnes už tomu tak není. Dlouholetou tradici v anglickém vzdělávacím systému drží nezávislé střední školy (Independent school), Většinou jsou tyto školy financovány z jiných zdrojů, než ze státního rozpočtu. Žáci zde platí školné kolem £20 000 za rok, ne-li více. Většinou se jedná o internátní formu vzdělávání se zaměřením na školy chlapecké či školy dívčí. 23

Žáci obvykle v 16 letech ukončují střední školu závěrečnou zkouškou GCSE – General Certificate of Secondary Education. Po ukončení povinné školní docházky mají žáci na výběr ze tří možností, jak pokračovat dále ve studiu. První možností je studovat tzv. šestý ročník (Sixth form), zůstat na škole až do 18 let a ukončit školu zkouškou GCE – A – level – General Cerficate of Education Advanced Level. Tuto zkoušku můžeme srovnávat s českou maturitou. Zkouška opravňuje ke studiu na vysokých školách. Druhou možností je přihlásit se do odborně zaměřeného kurzu (Vocational course). Cílem kurzu je připravit žáky na odborné zkoušky, které je nutné vykonat pro možnost vykonávání určité profese nebo pro vstup na vyšší stupeň odborných škol. Poslední možností je studium na školách dalšího vzdělávání (College of further education). Na těchto školách je možné získat střední technickou kvalifikace pro určitá povolání a některé školy dokonce umožňují i vysokoškolský titul. (Pejcha, 2010) Vysoké školy (higher education) Vysoké školství dříve zahrnovalo

univerzity (školy autonomního sektoru),

polytechniky a pedagogické koleje (školy veřejného sektoru). Polytechniky byly ale v roce 1992 zrušeny a staly se z nich vysoké školy – Universities. Univerzity (Universities) představují dlouholetou tradici. Liší se od sebe svou velikostí, vnější podobou, strukturou i umístěním. Oxford a Cambridge patří mezi nejstarší, nejznámější a největší univerzity v Anglii. V příloze 8 se nachází ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989 (Kovaříček, Urbanovská, 1989). Vzdělávání v Anglii financuje vláda prostřednictvím dvou ministerstev – ministerstva mládeže, školství a rodin (Department for Children, Schools and Families) a Ministerstvo pro inovace, školství a dovednosti (Department for Innovation, Universities and Skills). „Tato ministerstva poskytují finanční prostředky různým veřejnoprávním a soukromoprávním agenturám pro vzdělávání včetně Rady pro vzdělávání a kvalifikace (Learning and Skills Council) a Rady pro financování vysokoškolského vzdělávání pro Anglii (Higher Education Funding Council for England). Vláda také přiděluje finanční prostředky místním školským úřadům, které je následně rozdělují školám.“ (Pejcha, 2010)

24

Obrázek 2: Struktura vzdělávacího systému v Anglii k roku 2008/2009 (Pejcha 2010)

2.2

Národní kurikulum a vzdělávací reforma

Zákonem o vzdělávací reformě z roku 1988 vzniklo plno změn. Zákon omezuje pravomoci místních školních práv. Nechává jim však zodpovědnost za počet a rozmisťování škol v místě jejich působnosti. Na druhou stranu je zákonem posílena role vedení školy při zásadních rozhodnutích. Přijetím zákona se mimo změn v oblasti řízení, financování a zodpovědnosti zavedlo mimo jiné i celostátně platné národní kurikulum. Zákon stanovuje základní principy kurikulární politiky, koncepci kurikula, procedury, podle kterých mají být vytvářeny kurikulární dokumenty a jednotlivé kroky implementace. Kurikulum centrálně stanovené se vztahuje na všechny žáky ve věku 5 – 16 let. 25

Hlavní vizí národního kurikula bylo zaručit, aby všechny děti získaly vzdělání, které bude širší, vyváženější a odpovídající jejich potřebám. Kurikulum mělo vést žáky k zodpovědnosti v dospělosti i v práci a mělo zvýšit úroveň výsledků jednotlivých žáků. Reforma vyvolala mnoho diskuzí nejen v Anglii, ale také v mezinárodním kontextu. Začaly se používat nové termíny jako „national curriculum“ (národní, státní kurikulum), „attainment targets“ (dosažitelné cíle), „key stages“ (klíčová období). Tyto termíny obohatily mezinárodní pedagogickou terminologii. Analýza anglického národního kurikula v zahraničí ovlivnila úvahy o kurikulárních reformách i v jiných zemích. (Walterová, 1994) „Kurikulární dokumenty zahrnují charakteristiky skupin žáků podle věku, povinný rámec kurikula a závazná kurikula předmětů – osnovy. Vzhledem ke značné diverzifikované struktuře anglického školství nebyly vyjasněny ani názory ani číselné označení stupňů a ročníků ve školách. Třídy se dříve označovaly často jako „form“, nikoliv „grade“. Ve státních školách se používaly také označení A, B, C k odlišení směrů, diferencujících žáky podle studijních předpokladů. Jednotný systém charakterizující postup žáků během školní docházky neexistoval. Školy používaly své vlastní charakteristiky a systém tradičně odvozený od věku 11 let. Východiskem nového systému se stal rok školní docházky vztažený k věku žáka, jak ukazuje tabulka 1.“ (Walterová, 2014, s. 71) V lednu roku 1995 došlo k přepracování osnov. Osnovy bylo nutné zbavit strnulosti. Nové přepracování mělo za cíl poskytnout školám více času (čas, se kterým mohou volně nakládat), zvýšit flexibilitu a možnost volby pro žáky ve věku 14 – 16 let, zjednodušit způsob hodnocení, správu a organizaci národních učebních osnov. (Rýdl, 2003, s. 73)

26

Tabulka 1: Systém třídění žáků podle věku vždy k 1. září věku dítěte (Walterová, 2014, s. 72, redukováno)

Klíčové

Nový způsob třídění

období

žáků

Zkratka

Věk většiny žáků na konci školního roku

1.

2.

3.

4. Šestý ročník

Přijetí (recepce)

R

5

1. rok šk. docházky

Y1

5


Y2

6


Y3

7


Y4

8


Y5

9


Y6

10


Y7

11


Y8

12


Y9

13


Y 10

14


Y 11

15


Y 12

16


Y 13

17

(Sixth form)

Všechny další kurikulární dokumenty s tímto tříděním žáků pracují. Nové třídění zdůrazňuje kontinuitu od počátku školní docházky v 5 letech až do 18 let (přičemž povinná školní docházka končí v 16 letech). Povinná školní docházka tedy trvá 13 let. Následující obrázek 3 ukazuje čtyři klíčové fáze rozdělené dle národního kurikula, kde je: 

SATs: zkouška z anglického jazyka a matematika (věda byl vyloučena v roce 2011), probíhající v Y6



GCSE (a další kvalifikace): zkouška probíhající v Y11



AS-úroveň: zkouška probíhající v Y12



A-levels: zkouška probíhající v Y13

27

Obrázek 3: Čtyři klíčové fáze podle národního kurikula (http://poerup.referata.com/wiki/United_Kingdom)

Walterová (2014) rovněž ve své knize poukazuje na 10 předmětů, které povinné kurikulum zahrnuje. Předměty dělíme do dvou skupin. První skupinou jsou předměty hlavní (core) a druhou skupinu tvoří předměty vedlejší (foundation). Mezi předměty hlavní patří matematika, angličtina a přírodověda. Vedlejší předměty tvoří dějepis, zeměpis, technika, hudba, výtvarné umění, tělesná výchova a cizí jazyky, které jsou povinné pouze v klíčovém období 3. a 4. Obrázek 4 ukazuje přehled hlavních a vedlejších vyučovacích předmětů ve školách. Všechny tyto předměty musí být vyučovány ve všech školách pro všechny žáky po dobu povinné školní docházky.

28

Obrázek 4: Přehled vyučovacích předmětů v Anglických školách (http://poerup.referata.com/wiki/United_Kingdom)

V prvním a druhém klíčovém období jsou žáci vyučováni angličtině, matematice, přírodním vědám, technice, dějepisu, zeměpisu, výtvarné výchově, hudební výchově a tělocviku. Ve třetím klíčovém období se k předmětům z prvního a druhého období ještě přidává jeden moderní cizí jazyk. Čtvrté klíčové období potom obsahuje předměty jako je angličtina, matematika, přírodní vědy, tělocvik a kratší kurzy v technice a jednom moderním cizím jazyce. Kromě toho školy, které jsou státem financované, musí nabízet náboženství a pouze na sekundárních školách i sexuální výchovu. (Rýdl, 2003, s. 74) „Na každém hlavním stupni existuje pro každý předmět plán výuky, ve kterém je stanoveno, co se žáci mají učit. Stejně jsou na každém hlavním stupni stanoveny pro každý předmět cíle, které definují očekávané vědomostní standardy. Na konci prvních tří hlavních stupňů učitelé hodnotí své žáky v každém předmětu (kromě výtvarné výchovy, hudební výchovy a tělocviku) na základě osmi výkonnostních stupňů (Level description), jež jsou seřazeny podle náročnosti; pro mimořádné výkony existuje nad osmým ještě jeden výkonnostní stupeň. Ve čtvrtém klíčovém období se konají externí zkoušky (GCSE), viz kapitola 2.1.“ (Rýdl, 2003, s. 74) 29

2.3

Kurikulum pro sekundární vzdělávání

Kurikulum pro sekundární vzdělávání nebo-li státní kurikulum pro klíčové studium 3, 4 se vztahuje na žáky ve věku 11 – 16 let. Kurikulum bylo vytvořeno v roce 2007, ve školách nabylo účinnost od září roku 2008. Za tvorbu kurikula je zodpovědný Úřad pro kvalifikace a kurikulum, který je v současné době přetvořen do Agentury pro rozvoj kvalifikací a kurikula. Jedná se o kurikulum státní. Školy si dále dle tohoto kurikula vytváří své vlastní kurikulum na školní úrovni. (Kocourková, Pastorková, 2011, s. 20) Kocourková a Pastorková ve své knize (2011) uvádějí strukturu tohoto kurikula. 1. Kurikulum pro sekundární vzdělávání. V první části kurikula se pojednává o výstupech sekundárního vzdělávání a o změnách, které byly v kurikulu provedeny. Nechybí ani témata jako je Rovnost, rozmanitost a inkluze, Společenská soudržnost a Podpora při tvorbě kurikula na školní úrovni. 2. Cíle, hodnoty a záměr. 3. Vzdělávací obory. Zde najdeme jednotlivé studijní programy vzdělávacích oborů třetího a čtvrtého klíčového stádia. 4. Osobní rozvoj. 5. Dovednosti. Se zaměřením na funkční dovednosti a dovednosti osobní, k učení a myšlení. 6. Průřezová témata. Kurikulum pro sekundární vzdělávání obsahuje celkem 7 průřezových témat. Patří mezi ně: Identita a kulturní rozmanitost, Zdravý životní styl, Společenská participace, Podnikavost, Globální dimenze a udržitelný rozvoj, Technologie a média, Kreativita a kritické myšlení. 7. Tvorba kurikula na školní úrovni. 8. Hodnocení kurikula. Tato část nabízí postupy, jak hodnotit dopady navrženého kurikula na školní úrovni. 9. Hodnocení.

30

10. Případové studie. Jedná se o případové studie, které objasňují, jak jednotlivé školy aplikovaly kurikulum na státní úrovni do praxe odlišným způsobem, především v závislosti na konkrétních podmínkách. Rámcové vzdělávací programy v české republice, speciálně Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání je založen na strategii vzdělávání, ve které jsou zdůrazněny klíčové kompetence. V RVP ZV (2007, s. 11) jsou klíčové kompetence vymezeny jako „souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot důležitých pro osobní rozvoj a uplatnění každého člena společnosti.“ V rámci základního vzdělávání se za klíčové kompetence v České republice považují: kompetence k učení; kompetence k řešení problémů; kompetence sociální a personální, kompetence komunikativní; kompetence právní a kompetence občanské. V kurikulu pro sekundární vzdělávání v Anglii se klíčové kompetence označují pojmy funkční dovednosti (funkctional skills) a dovednosti osobní, k učení a myšlení (personal, learning and thinking skills). Tak jako u nás žáci během vzdělávání rozvíjejí své kompetence zároveň, i v Anglii jsou tyto skupiny dovedností navzájem propojené. Anglické kurikulum, tak jako české, obsahuje charakteristiku těchto dovedností, zároveň ale i návod na to, jak organizovat výuku, aby byl jejich rozvoj podpořen. Funkční dovednosti určují, čeho mají být jedinci, kteří tyto dovednosti mají, schopni. Konkrétně se jedná o dovednosti matematiky, ICT a angličtiny. Tyto dovednosti obohacují jedince proto, aby nabyl schopnosti, které jsou nezbytné pro sebevědomý, efektivní a nezávislý život v komunitě i v práci. Na tvorbě dalších dovedností (osobních, k učení a myšlení) se podíleli zaměstnanci, rodiče, školy, studenti i širší veřejnost. Jsou důležité proto, aby se jedinci stali úspěšnými studenty (successful learners), sebejistými jedince (confident individuals) a zodpovědnými občany (responsible citizens). Dovednosti osobní, k učení a myšlení dále dělíme do šesti skupin dovedností: nezávislí tazatelé (independent enquirers), kreativní myslitelé (creative thinkers), přemýšliví studenti/žáci (refůective learners), týmoví spolupracovníci (team workes), jedinci schopni řídit sebe sama (self-managers) a efektivní účastníci (effective participants). V kurikulu jsou popsané jednotlivé charakteristiky těchto dovedností včetně výstupů, které popisují podstatné dovednosti, chování a osobní kvality (skills, behaviours and personal qualities). (Kocourková, Pastorková, 2011)

31

Vymezení dovedností v Kurikulu pro sekundární vzdělávání v Anglii definuje co učit, ale ještě k tomu přikládá, jak učit. Kocourková, Pastorová (2011, s 23) uvádí, že na stránkách Kurikula pro sekundární vzdělávání jsou uvedeny tedy „nejenom příklady konkrétních úloh, ale i návod, jak organizovat učení vedoucí k rozvíjení dovedností osobních, k učení a myšlení a jak rozpoznat, že k efektivnímu rozvíjení těchto dovedností skutečně dochází. Forma a častost tohoto hodnocení by měla být reálná pro žáky i pro učitele a měly by být zvážena ve vztahu k ostatnímu hodnocení, ke kterému ve škole dochází.“

32

EMPIRICKÁ ČÁST 3 Srovnání českých a anglických učebnic matematiky První kapitola empirické části je zaměřena na srovnání řad českých a anglických učebnic z pohledu učiva grafů funkcí, diagramů či statistických grafů. V kapitole je uvedena stručná charakteristika vybraných řad učebnic a následně na vybraných kapitolách představeno, jak dané učebnice prezentují konkrétní učivo a jak žáky tímto učivem provázejí. Na konci poté najdeme shrnutí a závěrečné srovnání učebnic.

3.1

Charakteristika české řady učebnic

Ke srovnání byla využita řada matematických učebnic vytvořená pro 6. – 9. ročník základní školy od nakladatelství Nová škola Brno, s.r.o. Učebnice schválilo MŠMT dne 4. 7. 2003 k zařazení učebnic pro základní školy jako součást ucelené řady učebnic pro vyučovací předmět matematika s dobou platnosti na šest let. Autorem těchto knih je Zdena Rosecká s kolektivem autorů. Na webových stránkách (www.novaskolabrno.eu)4 nakladatelství prezentuje základní informace. Vzniklo v Brně před 20 lety jako nakladatelství učitelské a zaměřené na vydávání materiálu pro výuku z učitelské praxe. Knihy prezentují činnostní učení. To znamená, že prostřednictvím těchto knih zkušení učitelé předávají, co za svou praxi poznali. V roce 1991 – 1992 na školy přicházely první nabídky z tohoto nakladatelství. Nakladatelství se zaměřuje na to, aby pracovní sešity obsahovaly texty přiměřené věku žáků, aby se dbalo na dobré procvičení základního učiva i na to, aby žáci předkládané učivo dobře zvládli. Další podmínkou jsou finance - knihy by měly být cenově dostupné pro všechny žáky. Tabulka 2 uvádí, jaké učebnice a pracovní sešity pro daný ročník zmíněné nakladatelství nabízí pro výuku matematiky. Jak můžeme vidět, nakladatelství Nová škola rozděluje výuku matematiky na část Geometrie a část Aritmetiky. Učebnice aritmetiky a algebry kladou důraz na činnostní učení. Od šestého ročníku učebnice zahrnují souhrnné opakování 1. stupně a učivo předepsané osnovami vzdělávacího programu základní škola. Výsledky příkladů žáci naleznou vzadu učebnice. Nechybí v nich náměty pro motivaci, činnostní učení, mnoho příkladů z praxe, podpora rozvoje logického 4

O nás. Nakladatelství Nová škola Brno [online]. Brno, 2013 [cit. 2016-04-27]. Dostupné z: http://www.novaskolabrno.eu/o-nas.aspx

33

usuzování a propojení s učivem z předchozích ročníků. Vhodným doplňkem těchto učebnic jsou pracovní sešity Aritmetiky pro šestý a sedmý ročník a pracovní sešity Početní chvilky pro šestý až osmý ročník. Zde se nachází soubor matematických rozcviček, početních příkladů a slovních úloh poddané zábavnější formou, které mají za cíl procvičit a prohloubit učivo. V sedmém ročníku nakladatelství přidává ještě pracovní sešit Jak počítat s procenty, ve kterém je procvičeno celé aritmetické učivo sedmého ročníku. V osmém ročníku se tento pracovní sešit mění a nese název Rovnice a slovní úlohy a je vydaný i pro ročník devátý. V posledním ročníku se matematické rozcvičky k procvičení celého algebraického učiva nacházejí v pracovním sešitě Chvilka s algebrou. (Nakladatelství Nová škola Brno, 2013) Tabulka 2: Řada učebnic matematiky Nová škola Brno

6. ročník Učebnice

Pracovní

7. ročník

8. ročník

9. ročník

Aritmetika 6

Aritmetika 7

Algebra 8

Algebra 9

Geometrie 6

Geometrie 7

Geometrie 8

Geometrie 9

Aritmetika 6

Aritmetika 7

Geometrie 8

Geometrie 9

Geometrie 6

Geometrie 7

Početní chvilky

Chvilka s

sešity

algebrou Početní chvilky

Početní chvilky

Rovnice a slovní

Rovnice a slovní

úlohy

úlohy 2

Jak počítat s procenty Navíc

Metodika

Program 7P5

Program 9P6

činnostního učení v matematice 6. ročníku Učebnice geometrie přináší učivo učebních plánů vzdělávacího programu základní škola pro každý ročník. Důraz klade na rozvoj představivosti a tvořivosti žáků, pochopení učiva, jeho propojení s učivem předchozích ročníků, mezipředmětové vztahy, činnostní ráz 5 6

Počítačový program k učebnicím matematiky 7 Počítačový program s ukázkami grafického zobrazování funkcí

34

učení a využívání geometrie kolem nás i v praxi. Učebnice devátého ročníku nabízí možnost zajímavého prověřování nabytých znalostí. Ke každé učebnici je vytvořen pracovní sešit Geometrie, který zahrnuje geometrické úkoly k procvičení učiva daného ročníku. Důraz se klade na úlohy z praxe. (Nakladatelství Nová škola Brno, 2013)

3.2

Charakteristika anglické řady učebnic

Ke srovnání byla využita anglická řada matematických učebnic Key Maths. Tato řada byla vytvořena podle národního kurikula pro klíčové období 3, tedy pro žáky ve věku 12 – 14 let. Key Maths je nejoblíbenější matematická řada, která je v anglických školách velmi využívána. Poslední vydání proběhlo v roce 2001, i přesto se dnes při výuce knihy využívají. Nabízí plně diferencovaný a vyvážený matematický program a plán práce, který poskytuje plné

pokrytí

revidovaného

národního

kurikula.

Je

navržen

jako

komplexní

a kompletní prostředek pro každou školu. Key Maths poskytuje jedinečnou a ucelenou řadu jak papírových, tak elektronických materiálů, které umožňují žákům rozvinout své schopnosti, znalosti a porozumění. Všechny materiály jsou psány velmi zkušenými učiteli. Mezi tyto autory patří: David Baker, Paul Hogan, Barbara Job a Renie Verity. Všechny učebnice jsou barevné a velmi přehledné. Například žlutě jsou vyznačeny klíčové kapitoly a modře závěrečné shrnutí kapitol. Testování získaných znalostí se poté vyskytuje na konci každé kapitoly za shrnutím. Velký rozdíl oproti české řadě učebnic spočívá v tom, že Key Maths učebnice byly navrženy tak, aby rozvíjely schopnosti žáků různých úrovní. Pro Y7 je například vydána učebnice Key Maths 71 , Key Maths 72 , Extra Resource 7 a Special Resource 7. Učebnice Key Maths 72 obsahuje stejný učební materiál jako učebnice Key Maths 71 , jen zde využívá diferenciace a je zde přidáno více různých a náročnějších cvičení. Extra Resource 7 je učebnice určena pro nadanější děti a vyskytují se v ní cvičení, které žáky posunují co možná nejvýše. Naopak, Special Resource je kniha pro méně schopné žáky. Podobný stupeň diferenciace se vyskytuje u všech tří ročníků Y7, Y8, Y97 i v elektronických zdrojích Key Maths ICT, kde mají žáci na výběr celkem ze tří úrovní. (Key Maths and the Framework for teaching mathematics, 2001) Anglické učebnice tedy podporují diferenciaci a individualizaci ve výuce. V jednotlivých ročnících žáci využívají tři typy učebnic různých úrovní. Pro následné

7

Year 7, Year 8, Year 9

35

srovnání českých a britských učebnic byly vybrány učebnice střední úrovně, tedy Key Maths 72 , Key Maths 82 a Key Maths 92 a to z toho důvodu, že předkládají, stejně tak jako české učebnice, základní učivo (vyžadující kurikulem) plus učivo lehce rozšiřující. V instrukcích textu Key Maths and the Framework for teaching mathematics (2001) nakladatelství sady Key Maths zastává názor, že zmíněná sada prostředků pokrývá národní kurikulum a rámcové osnovy pro vyučování matematiky. Sadu tvoří: 

Početní balíčky (Numeracy resource packs), které představují soubor příkladů, nacházejí se v sekci Otázky a odkazují na jednotlivé kapitoly učebnice. Tyto soubory příkladů obsahují jednodušší i těžší příklady.



Extra zdroj 7 (Extra resource 7) je učebnice, která doplňuje učebnice Key Maths 71 a Key Maths 72 , viz výše.



Příručka pro učitele (Teacher file), vydaná ke každému ročníku (Y7-Y9) zaručuje nezbytnou podporu pro všechny Key maths prostředky. Například všechny klíčové cíle rámcového vzdělávání matematiky jsou v této příručce zahrnuty. Příručka obsahuje také klíčová slova, které by si žáci v rámci daného ročníku matematiky měli osvojit.



Sekce matematické činnosti (Maths Activities section) se nachází v každé příručce pro učitele. Každá sekce se skládá z několika cvičení, aktivit a úkolů, které se zaměřují na další používání a uplatňování matematiky.



CD a podporující učitelský balíček (CD-ROM and Teacher Support Pack (ICT))



Domácí podpora na CD (Home Support CD ROM) slouží k tomu, aby si mohli žáci sami vybírat úroveň obtížnosti a zkoušet se posunout dále v daném ročníku. Často se této podpory využívá ve formě domácích úkolů.



Důkazový balíček (Proof packs) klade větší důraz na matematické důkazy. Důkazy můžeme studovat jako samostatnou jednotku nebo zároveň se souvisejícími kapitolami v učebnicích.



Časopis (Keyed-In Magazine) je komplexní matematický online časopis, který vychází každý týden. Najdeme v něm řadu soutěží a zajímavých aktivit.

3.3

Grafy funkcí v českých a anglických učebnicích

Z učiva o grafech funkcí bylo vybráno několik kapitol, které jsou v práci využity ke srovnání české a anglické řady učebnic. Mezi tyto kapitoly patří: pravoúhlý souřadný 36

systém v rovině; graf konstantní funkce; graf lineární funkce; graf přímé úměrnosti; grafické řešení soustavy lineárních rovnic a kapitola o využití grafu funkcí v praxi. Každou tuto kapitolu můžeme ještě rozčlenit do tří částí. První část se vždy týká anglických učebnic a jejich podání vybraného učiva žákům. Druhá část prezentuje podání učiva českými učebnicemi a poslední část shrnuje a srovnává anglickou a českou řadu učebnic, vztahující se k vybranému tématu.

3.3.1 Pravoúhlý souřadný systém v rovině Anglické učebnice Se zavedením pravoúhlého souřadného systému v rovině se setkáváme v anglických učebnicích pro Y7. Učivo se zavádí po rozšíření oboru přirozených čísel na čísla celá. V anglické učebnici Key Maths 72 (Baker, 2000) je pravoúhlý souřadný systém v rovině popsán pro žáky následujícím způsobem: „Můžeme narýsovat dvě číselné osy, které jsou na sebe kolmé a označíme je jako osa 𝑥 a osa 𝑦. Tyto dvě číselné osy se protínají v nulové hodnotě, které říkáme počátek.“ Autoři dále seznamují žáky s rozdělením pravoúhlého souřadného systému v rovině na čtyři kvadranty a zdůrazňují popisování kvadrantů proti směru hodinových ručiček. Následují cvičení na polohu bodů v rovině a orientaci v kvadrantech. Cvičení jsou založena na orientaci souřadnic jednotlivých bodů a úkolem žáků je zaznačit body do souřadnicového systému a určit, ve kterém kvadrantu, popřípadě na které ose, se jednotlivé body nacházejí. Příklady jsou zpestřeny různými obrazci, které v souřadnicovém systému body vytvoří. Souřadnice bodu v anglické učebnici značíme pomocí kulatých závorek, př. 𝐴 (3,0). Příklad 1 z učebnice Key Maths 72 (Baker, 2000) Zadání: Narýsuj osy 𝑥, 𝑦. Zaznač do soustavy souřadnic v centimetrové čtvercové síti body v tomto pořadí. Následně je spoj. a) (5,1), (4,0), (2,1), (2,4), (0,1) b) (0,1), (−3,0), (−4, −1), (0, −1) c) (0, −1), (2, −2), (2, −1), (4, −1), (5, −2), (5,1) d) Oko (−2,0)

37

Řešení:

Obrázek 5: Řešení příkladu 1

České učebnice Česká učebnice Aritmetika pro 7. ročník také zavádí polohu bodu v rovině. „Polohu bodu v rovině určuje dvojice souřadnic. Souřadnice zjišťujeme na ose 𝑥 a na ose 𝑦.“ (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 63) Zdůrazněno je zde určení a zápis souřadnic bodu, vysvětleno čtení a zápis bodu pomocí souřadnic. V českých učebnicích se setkáváme s označením souřadnic v hranatých závorkách, např. 𝐵 [5,7]. Příklad 2 z učebnice Aritmetika pro 7. ročník (Rosecká, Čuhajová, 1998). Žáci v příkladu 2 pozorují polohu bodu v rovině (graf 15) a zaznamenávají ji. Jejich úkolem je například přečíst souřadnice všech bodů vyznačených v soustavě souřadnic; ukázat na osách 𝑥, 𝑦 souřadnice jednotlivých bodů; určit souřadnice bodů zobrazených červenou tečkou v soustavě souřadnic; najít souřadnice bodu 𝑀, 𝑁, 𝑂, 𝑃 a podobně. Učebnice nabízí i úlohy, kdy je v souřadnicovém systému načrtnut libovolný útvar a

úkolem

žáků

je

určit

souřadnice

bodů

38

na

vyznačeném

útvaru.

Například:

„Napiš souřadnice bodů A, B, C, D, které jsou vrcholy lichoběžníku ABCD.“ (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 63)

Graf 15: Graf k příkladu 2

Srovnání V obou případech je pravoúhlý souřadný systém v rovině zaveden ihned po probrání učiva o celých číslech. České učebnice zařazují učivo do sedmého ročníku, anglické učebnice do Y7. Žáci se seznamují s pojmy pravoúhlý souřadný systém, osa 𝑥, osa 𝑦, počátek souřadnicové soustavy, poloha bodu a souřadnice bodu. Obě učebnice předkládají jak příklady na nalezení souřadnic bodů, tak i příklady, kde žáci hledají polohu bodu na základě předem zadaných souřadnic a zakreslí tento bod do pravoúhlého souřadného systému. Pro zpestření v obou učebnicích najdeme obrazce složené z několika bodů. Žáci jednotlivé obrazce buď vykreslují dle zadaných souřadnic bodů (příklad 1) nebo hledají souřadnice již vykreslených bodů v obrazcích (příklad 2). Jak už bylo zmíněno, anglické učebnice označují souřadnice bodu v kulatých závorkách, vybrané české učebnice v závorkách hranatých. Existují však i jiné řady českých učebnic, kde se můžeme setkat s označením souřadnic bodu v závorkách kulatých.

39

Anglické učebnice ještě navíc žáky seznamují s pojmem kvadrant a označení kvadrantu v pravoúhlém souřadném systému v rovině. V příkladech jsou přidány úlohy na určení, ve kterém kvadrantu se body nachází. V českých učebnicích se pojem kvadrant objevuje poprvé až v ročníku devátém.

3.3.2 Graf konstantní funkce Anglické učebnice S náznakem grafu konstantní funkce se u anglických učebnic setkáváme už v Y7. Nesetkáváme se však přímo s předpisem konstantní funkce. Žáci přicházejí na zápis a graf konstantní funkce pomocí přímek v souřadnicovém systému zadaných několika body, což nám znázorňuje příklad 3. Příklad 3 z učebnice Key Maths 72 (Baker, 2000). Zadání:

Graf 16: Graf k příkladu 3

40

a) Opiš a doplň souřadnice do tabulky Červená přímka

Modrá přímka

(…, 4)

(4, …)

(…, 3)

(3, …)

(…, 2)

(2, …)

(…, 1)

(1, …)

(…, 0)

(0, …)

(…., -1)

(-1, …)

(…., -2)

(-2, …)

b) Napiš, čeho sis všiml: 1) o 𝑥-ových souřadnicích červené přímky 2) o 𝑦-ových souřadnicích modré přímky c) Předpis pro červenou přímku je 𝑥 = 2 Předpis pro modrou přímku je 𝑦 = 3 Označ přímky tímto předpisem v pravoúhlé soustavě souřadnic. Z příkladu je patrné, že modrá přímka znázorňuje graf konstantní funkce procházející bodem 3 na ose 𝑦. V učebnici se dokonce nachází předpis pro tuto funkci ve tvaru 𝑦 = 3. Nikde ale není zmíněno, že se jedná o graf konstantní funkce. Jelikož doposud v učebnici nebyl zaveden pojem funkce, žáci přicházejí na předpis i červené přímky. Ta však grafem funkce není, jelikož nesplňuje podmínku, aby pro každé 𝑥 existovalo právě jedno 𝑦. V anglických učebnicích jsou typy těchto příkladů hodně zastoupeny. Na podobných příkladech jsou vysvětleny i průsečíky dvou přímek a následně zápis jejich souřadnic. Stejné učivo je poté připomenuto a procvičeno na příkladech v učebnicích pro Y8. České učebnice České učebnice se zabývají grafem konstantní funkce až v ročníku devátém, po zavedení pojmu funkce. Teorie uvádí, že grafem konstantní funkce je přímka, která je rovnoběžná s osou 𝑥. Žáci si předpis konstantní funkce osvojují na příkladu 4. 41

Příklad 4 z učebnice Algebra pro 9. ročník (Rosecká, Čuhajová, 2000, s. 82). Zadání: Sleduj grafy konstantních funkcí a urči jejich rovnice.

Graf 17: Graf konstantních funkcí k příkladu 4

Srovnání Anglické učebnice pracují s grafem konstantní funkce, jen nepředkládají žákům pojem funkce. Důraz je kladen na porozumění rovnice přímky 𝑦 = 𝑏, kde 𝑏 ∈ ℝ. Jelikož doposud nebyli žáci seznámeni s pojmem funkce, není divu, že jejich úkolem v příkladu je také porozumění rovnice ve tvaru 𝑥 = 𝑎, kde 𝑎 ∈ ℝ. V českých učebnicích je přímo zmíněno, že grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou 𝑥 a její předpis vypadá následovně: 𝑦 = 𝑏, kde 𝑏 ∈ ℝ. V kapitole o zavedení funkcí je v českých učebnicích pojem funkce definován a vysvětlen. Na základě toho žáci z grafu poznají, zda jde o graf funkce nebo ne. Žáci studující matematiku podle českých učebnic by tedy poznali, že přímka zadaná rovnicí 𝑥 = 𝑎, kde 𝑎 ∈ ℝ není grafem funkce.

42

3.3.3 Graf přímé úměrnosti Anglické učebnice Anglické učebnice postupují se zavedením jednotlivých grafu funkcí velmi pomalu a nepřímo. V Y7 se poprvé žáci setkávají s grafem přímé úměrnosti ihned po zavedení souřadnicového systému. K sestrojení grafu přímé úměrnosti žáci přicházejí neobvyklým způsobem. Odvození předpisu přímé úměrnosti učebnice prezentuje následující příklad 6. Příklad 6 z učenice Key Maths 72 (Baker, 2000, s. 256). Zadání: Mějme soustavu souřadnic v centimetrové čtvercové síti v rozpětí od −5 do 5. Potřebuješ znát jenom jeden pár souřadnic pro všechny otázky v tomto cvičení. Řešení: a) Zakresli do soustavy souřadnic tyto body: (4,4), (3,3), (2,2), (1,1) a (0,0). b) Umísti pravítko na všechny body. Narýsuj přímku, která všemi zmíněnými body prochází. Přímku protáhni do třetího kvadrantu. c) Níže napiš souřadnice třech bodů na přímce ve třetím kvadrantu. Všechny body by se měly ležet na přímce. U všech bodů by měla být hodnota 𝑦-ové souřadnice stejná jako hodnota 𝑥-ové souřadnice. Píšeme 𝑦 = 𝑥. d) Označ přímku rovnicí 𝑦 = 𝑥. Tato rovnice označuje předpis pro každý bod, který se na přímce nachází. e) Přepiš tabulky a doplň ji. 𝒚=𝒙 𝒙

-4

-3

-2

𝒚

-1

1 2

0

-1

1

2 2

3

4 4

Stejně jako u grafu konstantní funkce, tvoříme graf na základě několika bodů a tabulky. Žáci vytváří rovnici přímky a tuto rovnici poté ověřují. Opět zde ale není zmíněn ani pojem funkce, ani pojem přímé úměrnosti. Z tabulky je zřejmé, že přímka s touto rovnicí vždy prochází počátkem a že hodnota 𝑥-ové souřadnice pro každý bod tohoto grafu se rovná hodnotě 𝑦-ové souřadnice. 43

Přímá úměrnost má však předpis ve tvaru 𝑦 = 𝑘𝑥, kde 𝑘 je koeficient přímé úměrnosti (nebo–li konstanta úměrnosti) V příkladu 6 byl koeficient přímé úměrnosti roven jedné (𝑘 = 1). S koeficientem přímé úměrnosti, který se nerovná jedné (𝑘 ≠ 1) pracují autoři anglických učebnic až v Y8. Cílem následujících příkladů je naučit žáky sestrojit graf přímé úměrnosti, uvědomit si význam přímé úměrnosti a vytvořit formuli pro tuto funkci. Autoři učebnic začínají zmíněnou problematiku příkladem 7. Příklad 7 z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 5). Zadání: David se zúčastnil závodu s názvem „Sponzorovaná chůze“, který škola pořádá. Závod spočívá v tom, že David bude sponzorován svou rodinou a to ve výši 2£ (libry) za jednu míli. Čím více mílí ujde, tím více peněz uspoří a může je věnovat na charitativní účely. Jeho práci zaznamenává následující tabulka. Počet mil

1

2

Množství £

2

4

3

4

Řešení: a) Přepis tabulku do sešitu. b) Doplň zbývající údaje v tabulce. Níže vidíš graf sestavený dle tabulky. Pozoruj u grafu červené čáry. Kolik liber David dostane, když ujde 5 mil, 6 mil?

Graf 18: Graf závislosti liber na mílích

44

Příklad prezentuje průběh přímé úměrnosti. Podle grafu a zmíněných červených „čar“ si žáci uvědomí, že čím více David ujde mil, tím více liber dostane. Čím více se zvýší počet mil, tím více se zvýší počet liber. K procvičení v učebnici slouží ještě tři příklady podobného typu. Následuje zápis závislosti pomocí formule. Formule

Předpis označujeme v algebře jako formule.

Příklad

Nicky dostane 3£ za jednu míli. Celkovou částku (total), kterou dostane, vypočítáme tak, že vynásobíme 3£ počtem mil, co Nicky ujde (𝟑£ × počet 𝐦il). Zkráceně můžeš psát: 𝒕 = 𝟑 × 𝒎. Vzpomeň si, že v algebře můžeš znak pro násobení vynechat. Předpis vypadá následovně: 𝒕 = 𝟑𝒎.

Předpis funkce přímé úměrnosti autoři učebnice zadávají pomocí formule. Z formule 𝑡 = 3𝑚 lze vidět závislost celkové částky (total) na počtu mílí, které Nicky ujde. Na příkladech z praxe je následně procvičen zápis tvorby podobných formulí. Ve stejné učebnici pro Y8 později na tvorbu formulí navazuje kapitola, ve které je připomenut graf, kterým je přímka ve tvaru 𝑦 = 𝑥. Následně se žáci učí přímku zadanou formulí zakreslit do grafu. Příklad 8 z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 214). Zadání: Katy má za úkol klast jednotlivé žetony na určitá místa na mřížce, pro která platí, že 𝑦-ová souřadnice se rovná dvěma × 𝑥-ová souřadnice. Značí si jednotlivé vzniklé body do mřížky. Když je poté spojí, vznikne přímka. a) Vyznač body do tvé mřížky, jak to měla Katy za úkol. Spoj je. Spojením bodů vznikne přímka. b) Opiš: Rovnice této přímky je 𝑦 = 2 × 𝑥 V algebře píšeme: 𝑦 = 2𝑥 c) Popiš přímku rovnicí v mřížce. Žáci dále procvičují zakreslení přímek do pravoúhlé soustavy souřadnic dané rovnicemi 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 3𝑥. Na základě těchto přímek vykreslených v grafu určují, která přímka je „strmější“. 45

Řešení: Při určování souřadnic bodu ležících na přímce se často v anglických učebnicích setkáváme místo tabulky se schématem. Schéma pro rovnici 𝑦 = 3𝑥 vypadá následovně:

Vlož 𝑥-ovou souřadnici.

Dostaneš 𝑦-ovou souřadnici.

Žáci obdrží body (0,0), (𝟏, 𝟑), (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟗), spojí je a dostanou graf funkce 𝑦 = 𝟑𝑥.

Graf 19: Graf funkce y = 3x

Ostatní příklady procvičují konstrukci grafů přímé úměrnosti s konstantou úměrnosti různou od jedné (𝑘 ≠ 1). České učebnice České učebnice problematiku přímé úměrnosti předkládají také v sedmém ročníku. Stejně jako u učebnic anglických se objevuje graf přímé úměrnosti i v českých učebnicích poprvé hned po probrání učiva o zavedení pravoúhlého souřadného systému v rovině. Graf přímé úměrnosti je v učebnici Aritmetika 7 prezentován na příkladech z praxe. 46

Nevyskytuje se zde předpis funkce přímé úměrnosti. Přímá úměrnost je vysvětlena jako závislost, což ukazuje například příklad 9. Příklad 9 u učebnice Aritmetika 7 (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 64). Zadání: 1 kg mrkve stojí 20 Kč. a) Vyjádření závislosti ceny zboží na jeho hmotnosti tabulkou x počet (kg)

1

y cena (Kč)

20

2

3

4

5

6

7

…

100

b) Grafické znázornění v pravoúhlém souřadném systému.

Graf 20: Graf závislosti ceny na hmotnosti

Hmotnost zboží (kg)

znázorňujeme na ose x

Cenu zboží (Kč)

znázorňujeme na ose y

Úkoly: a) Z grafu přečti cenu za 3,5 kg mrkve. b) Z grafu přečti, kolik kg mrkve koupíme za 50 Kč. Následně žáci řeší podobný příklad. Rozdíl je v tom, že tentokrát graf přímé úměrnosti sestavují sami. Stejně tak jako v anglických učebnicích, i zde je cílem autorů, aby si žáci uvědomili, že se jedná o závislost jedné veličiny na druhé, kdy se při zvýšení hodnoty jedné veličiny zvýší i hodnota veličiny druhé.

47

Učivo o přímé úměrnosti je v českých učebnicích ještě zastoupeno v ročníku devátém. V učebnici nalezneme kapitolu, ve které jsou zopakovány dosavadní znalosti o přímé úměrnosti na dalších příkladech z praxe (příklady podobné příkladu 9). Učivo je však rozšířeno o předpis dané funkce. Žákům je uveden příklad, kdy zjišťují, jak závisí celková částka, kterou platíme za benzín na množství koupeného benzínu. Žáci tvoří tabulku, ze které vyplývá závislost: čím více litrů benzínu koupí, tím více 𝐾č zaplatí. V učebnici je tento vztah popsán jako přímá úměrnost. Výpočet pro cenu benzínu u následujícího příkladu vypadá následovně 𝑦 = 30 ∙ 𝑥. Zápis přímé úměrnosti k tomuto příkladu čteme následovně: „Cena, kterou zaplatíme za benzín, závisí na množství koupeného benzínu nebo také, že cena v Kč zaplacená za benzín je funkcí množství benzínu v litrech.“ (Rosecká, 2000, s. 70) Až se žáci seznámí s předpisem lineární funkce, snadno odhalí i předpis přímé úměrnosti 𝑦 = 𝑘𝑥 (𝑘 ≠ 0, 𝑥 ∈ ℝ). Následující příklad 10 navádí žáky, aby si uvědomili, že přímá úměrnost je zvláštním případem lineární funkce. „Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) procházející počátkem 𝑂 [0,0] pravoúhlé soustavy souřadnic.“ (Rosecká, 2000, s. 83) Příklad 10 z učebnice Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 83)

Graf 21: Grafy lineárních funkcí k příkladu 10

Úkolem žáků je vybrat z grafu 21 grafy přímé úměrnosti a určit, zda jsou grafy rostoucí nebo klesající. Za povšimnutí stojí grafy lineárních funkcí, které jsou s grafy přímé 48

úměrnosti na obrázku rovnoběžné. Zde už autoři žáky připravují na rovnici lineární funkce a její následné posunutí po ose 𝑦. Další příklady jsou založeny na správném přiřazení předpisu ke grafu funkce, příklad 11. Příklad 11 z učebnice Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 78) 𝒙

Zadání: Funkce 𝑓(𝑥) je vyjádřena rovnicí 𝒚 = 𝟑 , 𝑥 ∈ ℝ a také tabulkou. Rozhodni, na kterém obrázku je graf dané funkce a zdůvodni své rozhodnutí.

x

0

1

3

4

6

…

y

0

1 3

1

4 3

2

…

Graf 22: Grafy lineárních funkcí k příkladu 11

Řešení: Důležité je, aby si žáci uvědomili, že zápis 𝑦 =

𝑥 3

1

je stejný, jako zápis 𝑦 = ∙ 𝑥. 3

Jde o předpis přímé úměrnosti. Graf 1 (červený) neprochází počátkem, tudíž se nejedná o graf přímé úměrnosti. Z výběru je vyřazen. K výběru zbývá graf modrý a zelený, jelikož

49

znázorňují grafy přímé úměrnosti. Tabulka udává, že přímka prochází bodem [3,1]. Tímto bodem prochází pouze graf modrý, a proto se stává hledaným grafem. Srovnání Obě řady učebnic seznamují žáky s problematikou přímé úměrnosti už v sedmých ročnících ihned po zavedení souřadného systému. Obě učebnice se shodují v podání přímé úměrnosti prostřednictvím příkladů z praxe, jako je například závislost ceny určitého množství (nebo hmotnosti) jablek na daném množství jablek. Anglické učebnice zavádějí předpis funkce přímé úměrnosti formulí, kdy pracují i s konstantou úměrnosti různou od jedné. Oproti českým učebnicím, které vždy k určení souřadnic bodů ležících na přímkách využívají tabulky, anglické učebnice zavádějí a více využívají výše zmíněné schéma. České učebnice více lpí na předpisu funkce přímé úměrnosti a předpis zadávají rovnicí. Vedou žáky k nalezení vzájemného vztahu mezi funkcí lineární a funkcí přímé úměrností. Kladou důraz na zapamatování si, že graf přímé úměrnosti prochází počátkem pravoúhlé soustavy. Žáci podle českých učebnic sestrojí graf přímé úměrnosti i určí předpis této funkce z grafu.

3.3.4 Graf lineární funkce Anglické učebnice Graf lineární funkce už byl svým způsobem zaveden v anglických učebnicích v Y7, když autoři poukazovali na graf přímé úměrnosti. Jak už bylo zmíněno, přímá úměrnost je zvláštních případem lineární funkce. Co se ale týče zavedení grafu lineární funkce a jejího předpisu, s tímto učivem se žáci seznamují až v Y8. Žáci z učiva o grafu přímé úměrnosti rozpoznají, který graf je tzv. „strmější“ a orientují se v jednotlivých předpisech přímé úměrnosti. K zavádění grafu lineární funkce používají žetony a soustavu souřadnic s centimetrovou čtvercovou sítí. K prvnímu cvičení se váže následující text z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 216). „Markus se dívá na žetony poskládané na čtvercové síti. Poskládal je na čtvercovou síť tak, že hodnota 𝑦-ové souřadnice = hodnotě 𝑥-ové souřadnice + 1. Rovnice této přímky je 𝑦 = 𝑥 + 1.“

50

Příklad 12 z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 216). Zadání: Budeš potřebovat nějaké žetony. a) Vytvoř

soustavu

souřadnic

s centimetrovou

čtvercovou

sítí.

Použiješ

ji pro všechny otázky z tohoto cvičení. b) Pomocí žetonů ve čtvercové síti vytvoř přímku, která má rovnici 𝑦 = 𝑥. Označ přímku touto rovnicí. c) Nyní polož další žetony do čtvercové sítě, tak, jako to udělal Markus (z úvodního textu). Pamatuj: 𝑦-ová souřadnice = 𝑥-ová souřadnice + 1 d) Označ tyto body. Spoj je v jednu přímku. e) Opiš a doplň rovnici pro tuto přímku. 𝑦 = ⋯+ ⋯ f) Označ přímku touto rovnicí.

Graf 23: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = 𝑥 + 1

Příklad směřuje k rozšíření funkce přímé úměrnosti na funkci lineární funkce a využívá posunutí grafu po ose y. Následné cvičení vedou k procvičení sestrojení grafů 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1; 𝑦 = 𝑥 + 2; 𝑦 = 𝑥 + 3, 𝑦 = 𝑥 + 4, apod. pomocí žetonů. V těchto je vždy 51

graf funkce posunut směrem nahoru (do kladných hodnot). Pomocí již zmíněného schématu (pod příkladem 8) žáci zjišťují možnost pohybu grafu funkce po ose 𝑦 i ve směru záporných hodnot a jsou schopni do souřadného systému čtvercové sítě načrtnout přímku danou například rovnicí 𝑦 = 𝑥 − 2. Jsou schopni s grafem funkce pohybovat ve směru osy 𝑦. Následují příklady zaměřené na průsečík grafu lineární funkce (přímky) s osou 𝑦. Žáci hledají, ve kterých bodech graf lineární funkce protíná osu 𝑦. Obecný předpis pro lineární funkci opět v anglických učebnicích nenajdeme, stejně tak jako pojem funkce. Předpis lineární funkce je tedy opět zadán rovnicí. Příklad 13 z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 218). Zadání: Matthew ví, že se přímka s předpisem 𝑦 = 𝑥 + 𝟑 protíná s osou 𝑦 ve 3. Chce zjistit, zda pravidla posouvání po ose 𝑦 platí i pro předpis přímky 𝑦 = 𝟐𝑥 + 𝟑. Použije schéma pro snadnější zakreslení grafu do souřadného systému. a) Opiš a doplň schéma.

b) Nachystej si souřadnicovou soustavu se čtvercovou sítí. Zakresli do grafu body (𝟏, 𝟓), (𝟐, 𝟕), (3, … ). Spoj je v jednu přímku. Označ přímku rovnicí 𝑦 = 𝟐𝑥 + 𝟑. Platí stále stejné pravidlo? Schéma pomáhá žákům rozdělit si příklad na dvě části. První část je založena na práci s konstantou úměrnosti a druhá se znamená posunutí grafu po ose 𝑦. Učebnice dále nabízí poměrně velké množství příkladů zaměřených na schopnost načrtnutí grafů do souřadného systému dle zadané rovnice. Samozřejmě se vyskytují i úlohy opačné. V učebnicích jsou zakresleny jednotlivé grafy lineárních funkcí a žáci k nim přiřazují jejich rovnici. Zpočátku si pomáhají grafy přímé úměrnosti, které jsou s hledanými grafy rovnoběžné., jak ukazuje příklad 14.

52

Příklad 14 z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 221). Zadání: Napiš rovnici červené přímky z grafu 24.

Graf 24: Graf funkce 𝑦 = 3𝑥 a graf funkce 𝑦 =?

Červená přímka je rovnoběžná s přímkou danou rovnicí 𝑦 = 𝟑𝑥. Tím pádem bude rovnice červené přímky vypadat tímto způsobem 𝑦 = 𝟑𝑥 + ⋯ Červená přímka na ose y prochází 2. Rovnice červené přímky tedy musí být 𝑦 = 𝟑𝑥 + 𝟐 Následně je učivo procvičeno. V učebnici například najdeme předkreslené čtyři grafy lineárních funkcí a čtyři různé předpisy zadané rovnicí. Úkolem žáků je přiřadit správný předpis jednomu grafu lineární funkce. České učebnice České učebnice také pracují s grafy lineárních funkcí dříve, než je jejich rovnice zavedena. Nejdříve žáky seznamují s pojmem funkce, dále s jejím definičním oborem a monotónností (která v anglických učebnicích prozatím zmíněna nebyla). Příklad 15 uvádí dosavadní znalosti žáků o grafech lineární funkce.

53

Příklad 15 z učebnice Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 80) Zadání: Sestroj grafy funkcí a) 𝒇: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏, 𝒙 ∈ ℝ b) 𝒈: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟏, 𝒙 ∈ ℝ Řešení a): Sestavíme tabulku, sestrojíme graf. Hodnoty proměnné 𝑥 se zvětšují, x

-1

0

1

2

3

y

-1

1

3

5

7

funkční hodnoty 𝑦 se také zvětšují.

Graf 25: Graf funkce 𝑦 = 2𝑥 + 1

Pro funkci určenou rovnicí 𝑦 = 2𝑥 + 1 platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné 𝑥, zvětšují se funkční hodnoty 𝑦 – funkce je rostoucí. Řešení b): Sestavíme tabulku, sestrojíme graf. Hodnoty proměnné 𝑥 se zvětšují, x

-1

0

1

2

3

y

3

1

-1

-3

-5

funkční hodnoty 𝑦 se zmenšují.

54

Graf 26: Graf funkce 𝑦 = −2𝑥 + 1

Pro funkci určenou rovnicí 𝑦 = −2𝑥 + 1 platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné 𝑥, zmenšují se funkční hodnoty 𝑦 – funkce klesající. Žáci 9. ročníku sestaví graf funkce pouze na základě tabulky a funkčního předpisu (aniž by předem věděli, jaký útvar je grafem konkrétní funkce). Určí definiční obor funkce, rozpoznají, zda je funkce klesající nebo rostoucí na základě grafu funkce. Neznají však jednotlivé typy funkcí a jejich grafy. Z toho důvodu je zavedena kapitola o lineární funkci. Úvod do kapitoly o lineární funkci nabízí následující příklad 16. Příklad 16 z učebnice Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 81) Zadání: Narýsuj graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2. Aleš nakreslil graf:

Běta nakreslila graf:

Graf 28:Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2

Graf 27: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2 na

na množině ℕ

55

množině ℝ

a) Urči, který z definičních oborů patří ke grafu Aleše a který ke grafu Běty: 𝐷1 = ℝ

𝐷3 = (−∞, 0)

𝐷2 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}

𝐷4 = ⟨0, +∞)

b) Urči hodnotu funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥 + 2 pro 𝑥 = −2 Na základě tohoto příkladu zjistí, že Bětin graf je graf lineární funkce a jeho definičním oborem je množina reálných čísel. V učebnici Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 81) se nachází shrnutí znalostí k lineární funkci.

Funkci, jejímž grafem je přímka nebo její část, nazýváme lineární funkce. Lineární funkce je vyjádřena vzorcem: 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒒, 𝑥 ∈ ℝ 𝒌… koeficient lineárního členu, 𝑘 ≠ 0 𝒒… absolutní člen, pro 𝑞 = 0 jde o přímou úměrnost. Grafem lineární funkce je přímka, která prochází bodem ⌈0; 𝑞 ⌉ a) Je-li 𝑘 > 0 … graf rostoucí funkce b) Je-li 𝑘 < 0… graf klesající funkce

Autorka učebnice upozorňuje na možnost využití programu 9𝑃. Žáci mají možnost v hodinách matematiky využívat informační technologie. V matematickém programu (vytvořeného k českým učebnicím zmíněné řady) žáci mohou do obecného předpisu lineární funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞 dosazovat za 𝑘 různé číselné hodnoty při stálé hodnotě 𝑞. Pozorují, k jakým změnám dochází. Srovnání Anglické učebnice přímo navazují na rovnici představující přímou úměrnost. V Y8 opakují rovnici přímky 𝑦 = 𝑘𝑥. Navazují konkrétními příklady, kde je rovnice přímky ve tvaru 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Přidává se tedy koeficient 𝑞, který představuje posunutí grafu po ose 𝑦. Zavedení grafu lineární funkce probíhá pomocí žetonů a čtvercové sítě v souřadnicovém systému. Ke zjištění souřadnic bodů ležících na přímce jsou opět využity schémata místo 56

tabulek. Žáci zjišťují, v jakém bodě se přímka protíná s osou 𝑦. Anglické učebnice jsou v této kapitole bohaté na množství příkladů. Procvičeny jsou základní příklady na sestrojení grafu lineární funkce dle zadaného předpisu (pomocí schémat) a poté i zjištění předpisu přímky na základě grafu. Žáci začínají zjišťovat předpisy funkce nejprve pomocí grafů přímé úměrnosti, které jsou s grafy lineární funkce rovnoběžné. Opět nedochází k zavedení pojmu funkce. Na teorii jsou mnohem bohatší učebnice české. Před zavedením grafu lineární funkce jsou žáci seznámeni s pojmem funkce, graf funkce, definiční obor funkce, klesající, rostoucí a lineární funkce. Uvědomí si, že grafem lineární funkce je přímka, jelikož definiční oborem je množina reálných čísel, ne množina přirozených čísel, jak představuje Alešův graf (příklad 16). Žáci tedy ovládají obecný předpis lineární funkce, z grafu i z předpisu určí, zda je funkce klesající nebo rostoucí, jaký je její definiční obor a určí alespoň pár bodů, které na přímce (grafu lineární funkce) leží.

3.3.5 Grafické řešení soustavy rovnic Anglické učebnice V anglické učebnici pro Y9 najdeme shrnutí dosavadních znalostí o grafech lineární funkce (včetně přímé úměrnosti). Při zavádění grafu přímé úměrnosti v učebnicích autoři zadávají předpis funkce pomocí formule a stejný postup využívají i při řešení soustav dvou lineárních rovnic, jak početně, tak graficky. Novým učivem žáky provází příklad 17. Příklad 17 z učebnice Key Maths 92 (Baker, 2001, s. 287) Zadání: Alex a Tom si v Klubu mládeže koupili jídlo. Alex si koupil dvě sušenky a jednu minerálku za 10 pencí. Tom si koupil jednu sušenku a dvě minerálky za 14 pencí. Zjisti, jaká je cena jedné sušenky a jedné minerálky. Alexova rovnice je 2𝑠 + 𝑚 = 10

Tomova rovnice je 𝑠 + 2𝑚 = 14

Když 𝑠 = 0 ⇒ 𝑚 = 10

Když 𝑠 = 0 ⇒ 𝑚 = 7

Když 𝑚 = 0 ⇒ 𝑠 = 5

Když 𝑚 = 0 ⇒ 𝑠 = 14

Tím jsme získali dva body na přímce:

Tím jsme získali dva body na přímce:

(0,10) a (5,0).

(0,7) a (14,0).

57

Obrázek 6: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 17

Řešení: Z grafu vidíme, že se přímky protínají v bodě (2,6). To znamená, že 𝑠 = 2 a 𝑚 = 6. Tedy cena jedné sušenky je 2 pence a cena jedné minerálky je 6 pencí. Zkouška:  2𝑠 + 𝑚 = 2 × 2 + 6 = 10

 𝑠 + 2𝑚 = 2 + 2 × 6 = 14

Žáci řeší soustavu dvou rovnic o dvou neznámých tedy nejprve graficky. Uvědomují si, že k určení přímky stačí znát dva body. Výsledkem řešení soustav rovnic je jejich průsečík. Anglické učebnice danou problematiku řeší pouze na příkladech z praxe, při kterých využívají předpis funkce formulí. Vhodnou ukázkou je ještě zadání příkladu 18. Příklad 18 z učebnice Key Maths 92 (Baker, 2001, s. 288) Zadání: Využij graf k vyřešení slovní úlohy: Škola prodává dva typy kalkulátorů. Jedením typem je základní model, druhým typem je kalkulátor vědecký. Cena jednoho základního a jednoho vědeckého kalkulátoru je celkem 10 liber. Cena tří základních a dvou vědeckých kalkulátorů je celkem 24 liber. Zjisti, kolik liber stojí jeden základní kalkulátor a kolik stojí jeden vědecký kalkulátor. České učebnice České učebnice seznamují žáky s grafickým řešením soustavy rovnic až v 9. ročníku. Učivo je zařazeno po probrání lineární funkce. Žáci tedy znají předpis lineární funkce a umí s ním pracovat. Ví, že grafem lineární funkce je přímka, která je dána dvěma body. Rosecká 58

(2000, s. 85) v učebnici uvádí: „Řešit soustavu rovnic znamená najít hodnotu dvou neznámých 𝑥 𝑎 𝑦, tak, aby splňovaly obě rovnice zároveň.“ Soustavy lineárních rovnic v pravoúhlé soustavě souřadnic žáci řeší dle učebnice Algebra 9 (2000, Rosecká) pomocí lineárních funkcí, jak ukazuje řešený příklad 19: Příklad 19 z učebnice Algebra (Rosecká, 2000, s. 85) Zadání: Řeš graficky soustavu dvou lineárních rovnic: 2𝑥 + 𝑦 = 0 −𝑥 + 𝑦 = −3 Řešení: Každá z obou rovnic soustavy udává závislost proměnných 𝑥 a 𝑦. V obou případech vyjádříme, jak závisí 𝑦 na 𝑥: 𝑦 = −2𝑥

𝑦=𝑥−3

Vidíme, že obě závislosti jsou lineární funkce (grafem jsou přímky), Sestavíme tabulky. Grafy obou lineárních funkcí zakreslíme do jednoho obrázku, abychom zjistili, jestli mají společný bod. Tabulky: x

0

-2

x

0

3

y

0

4

y

-3

0

Graf:

Obrázek 7: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 19

Vidíme, že narýsované přímky jsou různoběžné. Protínají se v bodě 𝐴 (souřadnice 𝑥 = 1, 𝑦 = −2) 59

Odpověď: Řešením dané soustavy je jediná dvojice čísel: 𝑥 = 1, 𝑦 = −2 Z příkladu 19 je zřejmý postup, který žáci využívají při grafickém řešení soustavy rovnic. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých má vždy buď jedno řešení (řešením je průsečík dvou různoběžek) nebo žádné řešení (přímky jsou rovnoběžné) nebo nekonečně mnoho řešení (přímky splývají). Žáci s českými učebnicemi této teorie využívají a už podle grafu dokáží odhadnout, zda má soustava řešení a popřípadě kolik. Nechybí zde ani praktické využití zmíněné teorie. Žáci mají možnost v učebnici nahlédnout na řešený příklad, který odkazuje na grafické řešení soustavy rovnic (příklad 20). Příklad 20 z učebnice Algebra (Rosecká, 2000, s. 87) Zadání: V 7 hodin ráno vyjel z Jihlavy cyklista. Jel rychlostí 20 𝑘𝑚/ℎ. V 8 hodin 30 min za ním ze stejného místa stejným směrem vyjelo auto rychlostí 80 𝑘𝑚/ℎ. V kolik hodin a v jaké vzdálenosti od Jihlavy se setkají? Řešení: Řešení příkladu je opět na stejném principu. Jde o vytvoření tabulky závislosti času na vzdálenosti pro cyklistu a poté pro auto. Tabulkami zjistíme souřadnice bodů, které leží na dvou vzniklých polopřímkách. Tyto polopřímky se v určitém bodě protínají a průsečík polopřímek je řešením slovní úlohy.

3.3.6 Využití grafů funkcí v praxi Anglické učebnice V anglických učebnicích nacházíme několik kapitol, které prezentují vhodné využití grafu funkcí na příkladech z praxe. Graf funkce může být například vyžit při převodu jednotek. V anglické učebnici se nachází graf, který znázorňuje převod liber na franky (příklad 21). Příklad 21 z učebnice Y8 (Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 2). Zadání: Třída 8J je v Paříži na výměnném pobytu. Žáci se rozhodli svým přátelům koupit z Paříže nějaký dárek. Všechny ceny jsou ale uvedené ve francích. Žáci si chtějí převést cenu na libry. K dispozici mají graf převodu liber na franky.

60

Úkoly: 1. Anne si koupil model Eiffelovy věže. Stál 12 franků. Najdi na spodní ose grafu 12 franků. Přečti cenu Eiffelovy věže v librách na boční ose grafu. 2. Ned si koupil pohlednici Paříže. Její cena je 8 franků. Kolik liber stála tato pohlednice? 3. Terry si chce koupit tři čokoládové bonboniéry. Jedna stojí 16 franků. a) Kolik stojí jedna bonboniéra v librách? b) Kolik budou stát všechny tři bonboniéry celkem v librách? c) Terry má 50 franků. Má dostatek peněz, aby si koupil tři bonboniéry a ještě model Eiffelovy věže?

Převod liber na franky 3 2,5 2

Libra 1,5 1 0,5 0 0

4

8

12

16

20

24

Frank Graf 29: Graf závislosti liber na frankách

Učebnice připravuje žáky na praktický život. Autoři žákům předkládají, že grafem prezentující převod jedné jednotky na druhou jednotku je vždy přímka. V učebnici mají žáci zobrazen graf reprezentující převod km na míle a převod amerických dolarů na libry. Podobně jako v příkladu 21 s grafy žáci pracují. Úkolem žáků je uvědomit si závislost jedné veličiny na veličině druhé. Další kapitola nese název „Cestovní grafy“. Jsou to grafy vyjadřující závislost vzdálenosti na čase. Příkladem může být graf 30, který byl využit i v empirickém šetření. 61

Příklad 22 z učebnice Y8 (Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 2) Zadání: Graf 30 ukazuje průběh Paulovy cesty do školy. a) Paul začal jít. Jak dlouho šel? b) Paul se zastavil v obchodě si koupit propisku. (1) Jak dlouho se Paul zdržel v obchodě? (2) Jak se jeho zastávka v obchodě projevila na grafu? c) Paul si uvědomil, že je dost hodin a do školy nestíhá. Začal utíkat. Jak dlouho běžel? d) Kolik času Paulovi zabrala cesta do školy? e) Jak daleko Pavel do školy cestoval?

Graf ukazující Paulovu cestu do školy 3

2 Vzdálenost (km) 1

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Čas (min) Graf 30: Graf zobrazující Paulovu cestu do školy

Žáci plní i opačné úkoly. Dle zadaného příběhu sestrojují graf závislosti vzdálenosti na čase. Příklad 23 z učebnice Y8 (Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 2) Zadání: Pan Brown jel autem 30 min rychlostí 70 𝑚𝑖𝑙/ℎ. Poté se zastavil na oběd. Obědval 30 minut. Po obědě jel dalších 45 minut rychlostí 60 𝑚𝑖𝑙/ℎ. Během poslední hodiny jeho jízdy zpomalil a jel rychlostí 40 mil/h.

62

Úkol: Zakresli cestu pana Browna do grafu a použij graf k tomu, abys zjistil, kolik mil pan Brown za svou cestu ujel. České učebnice Jak už bylo zmíněno u grafu přímé úměrnosti, autoři učivo prezentují nejprve na příkladech z praxe. První příklady závislosti (přímá a nepřímá úměrnosti) se objevují už v 7. ročníku. V 9. ročníku si poté žáci závislost připomínají. Příklady z běžného života slouží jako úvod do nového učiva o funkcích. Základním pojmem je zde závislost. V učebnici Algebry pro 9. ročník (Algebra (Rosecká, 2000, s. 85)

nalezneme

příklady

z běžného

života vyjadřující právě závislost: 

Cena jízdenky na železnici závisí na vzdálenosti stanice, do které se chcete dopravit;



Délka prodloužení pružiny závisí na jejím zatížení;



Výška rtuťového sloupce závisí na okolní teplotě;



Doba, za kterou se postaví zeď, závisí na množství lidí, kteří staví;



Elektrický odpor měděného drátu délky 1m závisí na jeho průřezu.

„Budeme sledovat rozmanité závislosti dvou veličin a různými způsoby jejich závislost vyjadřovat početně i graficky. To vše v kapitole Funkce. Každou závislost dvou veličin můžeme vyjádřit grafem, tabulkou nebo rovnicí (vzorcem). Funkce vyjádřené graficky pomáhají např.: programovat tvary součástek; zobrazovat křivky staveb; navrhovat dráty raket; sledovat závislosti dvou veličin v mnoha oborech.“ (Rosecká, 2000, s. 85) Shrnutí Při pouhém nahlédnutí do anglických učebnic je zřejmé, že jsou tyto učebnice založeny především na praktických příkladech. Autoři anglických učebnic žákům během ročníku několikrát grafy funkcí připomínají. Žáci několikrát do roka řeší příklady graficky. Lpí se na uvědomění si vzájemnosti dvou veličin. České učebnice také předkládají příklady z praxe, někdy ale pouze slovně. V učebnici je daleko méně praktických příkladů, než v učebnicích anglických. Většinou se nachází příklad z praxe v úvodu kapitoly, poté ale už žáci řeší ostatní příklady podle naučeného postupu řešení.

63

3.4

Statistické grafy a diagramy v českých a anglických učebnicích

Z učiva o statistických diagramech a grafech byly vybrány dvě kapitoly. Kapitoly slouží

ke

srovnání

české

a

anglické

řady

učebnic.

Řadíme

zde

kapitolu

o sloupcových grafech a koláčových diagramech. Opět je každá kapitola rozdělena do tří částí – první představuje pojetí anglických učebnic, druhá českých učebnic a poslední část srovnává učebnice na základě vybraného tématu.

3.4.1 Sloupcový graf Anglické učebnice Anglické učebnice žáky seznamují se sloupcovým grafem už v Y7. Na začátku učebnice Key maths 72 (Baker, 2000) se nachází kapitola o statistice, ve které je sloupcový graf představen jako graf, který je vytvořen ze sloupců. Každý sloupec reprezentuje část dat. Následují cvičení, ve kterých se učí žáci se sloupcovým grafem pracovat. Příklad 24 z učebnice Key maths 72 (Baker, 2000, s. 3) Zadání: Sarah namalovala sloupcový graf.

Způsob dopravy třídy 7M do školy 12 11 10 9 8 7 Počet žáků 6 5 4 3 2 1 0 auto

autobus

vlak

kolo

pěšky

Způsob dopravy Graf 31: Způsob dopravy třídy 7M do školy

a) Kolik žáků chodí do školy pěšky? b) Jaký je nejčastější způsob dopravy žáků do školy? Jak to poznáš ze sloupcového grafu? 64

c) Kolik dětí celkem navštěvuje třídu 7M? Další příklad žákům představuje tzv. sloupcový graf vodorovný, který se řadí do skupiny grafů sloupcových. V tomto grafu jsou sloupce znázorněny vodorovně. Příklad 25 z učebnice Key maths 72 (Baker, 2000, s. 4) Zadání: Kevin dělal ve třídě 7M šetření. Ptal se žáků, jaká je jejich nejoblíbenější barva. O šetření nakreslil graf s vodorovnými sloupky.

Nejoblíběnější barva žáků třídy 7M Zelená Červená Modrá

Oblíbená barva

Žlutá Fialová Oranžová Růžová

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Počet žáků Graf 32: Nejoblíbenější barva žáků třídy 7M

a) Jaká je nejoblíbenější barva ve třídě? b) Kolik lidí si vybralo červenou barvu? c) Kolik žáků Kevin oslovil celkem? Další kapitola učebnice Y7 se zabývá sloupcovými grafy, ve kterých řadíme zjištěné hodnoty do určitých intervalů. Poté tvoříme sloupcový graf. Příklad 26 byl použit při empirickém šetření. Příklad 26 z učebnice Key maths 72 (Baker, 2000, s. 3) Zadání: Ve třídě 9. B si žáci měřili rozpětí paží od špičky prstu levé ruky po špičku prstu pravé ruky. Hodnoty jednotlivých měření v centimetrech jsou tyto:

65

132 138 142 123

129 136 143 131

147 144 140 135

127 143 137 135

128 133 148 130

124 141 136 140

134 139 146 138

139 130 151 133

Úkoly: Vyplňte tabulku: Interval (cm)

Zařazení naměřené hodnoty do příslušného intervalu

Celkový počet naměřených hodnot v intervalu

120 - 124 125 - 129 130 - 134 135 - 139 140 - 144 145 - 149 150 - 154 Celkem:_____ a) Vytvořte sloupcové

Délka rozpažení u žáků

grafy, které vyjadřují

9. B

kolik žáků s rozpětím svých paží, se vyskytuje v daném intervalu. b) Který interval je zastoupen ve třídě největším počtem žáků? ____________

Žáci rozdělí jednotlivé naměřené hodnoty do tabulky, sečtou, kolikrát se v každém intervalu vyskytuje počet naměřených hodnot a následně tyto hodnoty zaznačí

66

do sloupcového grafu. Autoři učebnice upozorňují, že se v tomto případě mezi sloupci ve grafu mezery nevyskytují. V anglických učebnicích pro Y8 jsou sloupcové grafy připomenuty a procvičeny na podobných příkladech, jaké byly výše uvedeny. Žáci dle zadání tvoří sloupcové grafy nebo čtou z grafů potřebné informace. V učebnici pro Y9 je učivo opět opakováno. Přidána je však kapitola o tzv. „zavádějících grafech a diagramech“. Kapitola naráží na možné zneužití grafů. Graf je prostředek prezentace jednotlivých dat, který je jednoduchý pro orientaci a lepší představivost. Bohužel, reklamy, politici, prodejci aj. často předkládají grafy, které jsou zkreslené, neúplné nebo dokonce i zavádějící. Autoři učebnice Key Maths 92 (Baker, 2001) radí: „Někdy jsou grafy a diagramy použity ke zmýlení lidí. Změna měřítka grafu může mít velký vliv na vzhled samotného grafu. Když budete číst statistické grafy či diagramy, měli byste se vždy pozorně podívat na měřítko.“ Příklad 27 je vhodným příkladem. Příklad 27 z učebnice Key Maths 92 (Baker, 2001, s. 183) Zadání: Robert prodává horská kola. Chtěl by více rozšířit svůj prodej, včetně obchodu. Potřebuje si půjčit peníze z banky. V bance chce bankovnímu manažerovi dokázat, jak rychle jeho prodej kol vzrůstá. V tabulce a grafech vidíme jeho prodej kol za posledních 6 měsíců. Měsíc Počet prodaných kol

Leden

Únor

Březen

Duben

Květen

Červen

26

28

30

34

44

56

Robert namaloval dva sloupcové grafy. Graf A využívá celou stupnici. V grafu B stupnice začíná na 25. Tyto dva grafy ukazují naprosto stejné informace. Vypadají ale velmi odlišně, protože jejich stupnice na ose 𝑦 jsou různé. Který graf ukáže Robert bankovnímu manažerovi? Svůj výběr zdůvodni.

67

Graf A 60 50 40 Počet 30 prodaných kol 20 10 0 Leden

Únor

Březen Duben Květen Červen

Měsíc Graf 33: Sloupcový graf A k příkladu 27

Graf B 55 50 45 Počet 40 prodaných kol 35 30 25 Leden

Únor

Březen Duben Květen Červen Měsíc

Graf 34: Sloupcový graf B k příkladu 27

Grafy představují stejné informace, přesto vypadají jako grafy odlišné. Robert s jistotou ukáže bankovnímu manažerovi graf B, ve kterém vypadá, že prodej počtu kol prudce roste. Podle grafu B je Robert velmi úspěšný prodejce. Podobným způsobem politici například dokazují, jak se za poslední roky zvýšila minimální mzda, prodejci v reklamách potřebu jejich produktu a podobně. Tato kapitola nejen, že žáky obohacuje o teoretické znalosti sloupcového grafu, ale dává jim „radu do života“. Autoři anglických učebnic učí žáky praktickému využití získaných znalostí a vědomostí. České učebnice České učebnice představují sloupcový (vodorovný) graf už v 6. ročníku. S grafem žáci pracují v rámci procvičení učiva o dělení desetinných čísel. 68

Příklad 28 z učebnice Aritmetika 6 (Rosecká, Čuhajová, 2007, s. 61) Zadání: Prohlédni si tabulku, kde jsou ceny 1 litru benzínu přepočítané na naše koruny. Vzhledem k průměrným příjmům je však pro nás benzín dražší než pro lidi z většiny zemí západní Evropy. To vše pochopíte, až budete znát ekonomiku a) Máš 100 Kč. Kolik litrů benzínu koupíš u nás, ve Francii, v Polsku, v Německu atd..? b) Řidič motorového vozidla načerpal do auta benzín (1 litr za 22,30 Kč). Kolik litrů načerpal, když na 1100 Kč dostal nazpět 442, 50 Kč? c) Z tabulky vyčti, ve kterých zemích bude stačit 300Kč na zaplacení 10 litrů benzínu.

Ceny benzínu v Evropě (ceny za litr 95 oktanového benzínu v r. 97) Polsko ČR Španělsko Švýcarsko Německo Belgie Dánsko Nizozemí Francie Finsko Itálie Švédsko Norsko

15,41

Ceny jsou uvedeny v Kč.

20,9 23,6 23,9 26,9 28,4 29,9 31 31,1 31,6 32,1 32,1

35,5 Obrázek 8: Ceny benzínu v Evropě v r. 1997

Pro šestý ročník je příklad jediný, ve kterém žáci pracují se sloupcovým grafem. Autoři učebnic však tento graf označují pro žáky jako „tabulku“. V 7. ročníku za kapitolou o procentech jsou vybrány tři základní grafy a diagramy (dle českých učebnic diagramy): obdélníkový diagram, kruhový diagram a sloupkový diagram. „U sloupkového diagramu znázorňujeme počet procent jako část výšky sloupce, kterou jsme zvolili za 100%“. ((Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 68) Žáci pracují se sloupcovými diagramy vyjádřené procenty, což ukazuje graf 35.

69

100% 80%

70 %

60%

30 %

40% 20% 0%

Graf 35: Sloupcový graf vyjádřený procenty

V 7. ročníku se poté ještě v kapitole Opakování vyskytuje jeden příklad, ve kterém žáci pracují se sloupcovým (vodorovným) grafem.

Příklad 29 z učebnice Aritmetika 7 (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 83) Zadání: Průměrná měsíční mzda (1. pol. 1997 v ČR) Zdravotnictví Školství Peněžnictví Stavebnictví Průmysl Zemědělství 0

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Graf 36: Průměrná měsíční mzda v r. 1997

a) Přečti z grafu průměrné měsíční mzdy pracovníků v jednotlivých odvětvích našeho hospodářství v r. 1997. Údaje zapiš. b) Vypočítej, o kolik procent byla v roce 1997 průměrná měsíční mzda ve stavebnictví vyšší než v zemědělství. V sedmém ročníku už autoři používají pojem „graf“. Příklad 29 směřuje žáky na čtení informací z grafu a také na procvičení výpočtu procent. V učebnici osmého ročníku 70

se nachází několik příkladů na procvičení manipulace se sloupcovým grafem. V ročníku devátém, v kapitole o statistice jsou představeny čtyři základní statistické grafy či diagramy, mezi něž sloupcový graf patří. Autoři v učebnici rozlišují sloupcový graf svislý a vodorovný a na příkladech ukazují žákům jejich rozdíl. Příklad 30 z učebnice Aritmetika 8 (Rosecká, 2010, s. 106) Zadání: Ve firmě OMEGA

měli za 1. Pololetí r. 1998 tyto měsíční tržby: Pozoruj, jak jsou

údaje z tabulky znázorněny pomocí dvou sloupcových diagramů (svislým a vodorovným). Měsíc

Tržba (Kč)

IV.

19800

I.

20500

V.

18000

II.

12200

VI.

23000

III.

15300

Graf sloupcový svislý 25000 20000 15000 Kč 10000 5000 0 I.

II.

III.

IV.

V.

Měsíc Graf 37: Graf sloupcový svislý k příkladu 30

71

VI.

Graf sloupcový vodorovný VI. V. IV. Měsíc III. II. I. 0

5000

10000

15000

20000

25000

Kč Graf 38: Graf sloupcový vodorovný k příkladu 30

Shrnutí Anglické učebnice nabízí více příkladů k procvičení sloupcových grafů, název grafu, jeho krátká charakteristika a způsob konstrukce. Žáci grafy tvoří a zároveň i z nich umí vyčíst potřebné informace. Všechny příklady jsou propojeny s praxí, aby žáci viděli, při jakých možnostech mohou v budoucnu sloupcové grafy využít. České učebnice nabízí méně příkladů k procvičení (je však možné, že další příklady k procvičení nalezneme v pracovním sešitě). České učebnice oproti anglickým nepodávají charakteristiku sloupcového grafu ani neuvádějí jeho konstrukci. České učebnice rozlišují mezi sloupcovým grafem svislým a sloupcovým grafem vodorovným. Sloupcové grafy, kde je nutné zjištěná data roztřídit do několika intervalů, se bohužel v českých učebnicích vůbec nevyskytují. Stejně tak, jako anglické učebnice, i české pracují s příklady z praxe a vedou žáky k dalším využití sloupcového grafu v budoucnu.

3.4.2 Koláčový diagram Anglické učebnice Co se týče koláčových diagramů, anglické učebnice na ně kladou stejný (ne-li větší) důraz, jako na grafy sloupcové. V učebnici pro Y7 má koláčový diagram dokonce svou kapitolu. U koláčového diagramu kruh představuje celý soubor. Jednotlivé výseče představují jeho jednotlivé části. Pro žáky v ročníku Y7 jsou v učebnici připraveny jednoduché koláčové diagramy. Žáci se zde s diagramem seznamují, učí se z nich číst a znalosti propojují s učivem o zlomcích. 72

Příklad 31 z učebnice Key maths 72 (Baker, 2000, s. 7) Zadání: Koláčový diagram zobrazuje, jak žáci ze třídy 7D obědvají. a) Napiš, co představuje největší výseč koláčového diagramu. b) Vyjádři skupinu, která obědvá sendviče, zlomkem. c) Osm žáků 7D obědvá sendviče. Kolik je celkově žáků ve třídě 7D?

Jak žáci 7D obědvají

Sendviče Oběd mají doma

Školní kantýna

Graf 39: Koláčový graf zobrazující, jak žáci 7D obědvají

V příkladu si musí žáci uvědomit, že zelená část (počet žáků, kteří mívají na oběd sendviče) je

1 4

z celkového počtu. V zadání za c) je řečeno, že sendviče obědvá

celkem 8 žáků. Třídu 7D navštěvuje 4 ∙ 8 = 32 žáků. Učebnice pro Y8 žáci opakují učivo z Y7. V samostatné kapitole o koláčovém diagramu dochází k rozšíření učiva. Plocha kruhu představuje celý získaný soubor. Tedy 360° představuje 100%. V učebnici se nachází přímý postup, jak ze získaných dat koláčový graf vytvořit. Příklad 32 z učebnice Key maths 82 (Baker, 2001, s. 59) Třicet lidi na ulici bylo dotazovaných, jaké národní noviny čtou. Výsledky z výzkumu představuje tabulka. Tvým úkolem je podle této tabulky sestrojit koláčový graf. The Guardian

8

Daily Mirror

7

The Times

3 73

The Sun

6

Daily Express

6

1. Rozděl 360° na menší díly. Na výzkumu se podílelo celkem 30 lidí, můžeme psát 360° ÷ 30 = 12°. To znamená, že každá osoba zaujímá 12° z celkového kruhu. 2. Spočítej, jak velký úhel bude každá výseč zaujímat. Pomůže ti tato tabulka Noviny

Počet lidí

Postup

Úhel

The Guardian

8

8 × 12° =

96°

Daily Mirror

7

7 × 12° =

84°

The Times

3

3 × 12° =

36°

The Sun

6

6 × 12° =

72°

Daily Express

6

6 × 12° =

72°

Celkem

30

360°

3. Zkontroluj, zda úhly po sečtení dají dohromady 360°. 96° + 84° + 36° + 72° + 72° = 360°

A) Narýsuj kruh. Označ střed.

B) Narýsuj první úhel (96°).

Vyznač poloměr kruhu.

74

C) K úhlu 96° přičti další úhel 84°.

D) Pokračuj tak dlouho, dokud nezaplníš celý kruh.

E) Vybarvi jednotlivé výseče a přidej legendu.

Další příklady procvičují zmíněný postup sestrojení koláčového diagramu. V učebnici pro Y9 je postup sestrojení opakován. Další příklady jsou zaměřeny na čtení dat z koláčového grafu, včetně odhadu, kolik procent která kategorie (výseč kruhu) zastupuje. Příklad 33 z učebnice Key maths 92 (Baker, 2001, s. 178) Zadání: Koláčový graf ukazuje, jakým způsobem žáci obědvají. a) Procentově odhadni, kolik žáků si kupuje oběd ve školní jídelně. b) Procentově odhadni, kolik žáků si nosí zabalený oběd z domu.

75

oběd doma

oběd z domu

školní kantýna

Graf 40: Graf prezentující způsob obědu žáků

Řešení: a) Výseč pro „školní kantýnu“ je menší, než polovina kruhu. Procentově bude tedy menší než 50%. Odhad je 45%. b) Výseč pro „oběd z domu“ je o něco větší než čtvrtina kruhu. Procentově bude tedy větší než 25%. Odhad je 30%. České učebnice V 7. ročníku se žáci na začátku školního roku učí zlomky, na konci ročníku poté procenta. K výuce zmíněných vyučovacích témat jsou často doporučovány právě koláčové diagramy. V českých učebnicích najdeme první zmínku až tedy v 7. ročníku. Aniž by žákům byly koláčové diagramy jakkoliv vysvětleny či popsány, žáci s nimi pracují. K výuce procent jsou použity diagramy ve tvaru kruhu, čtverce, obdélníku, šestiúhelníku, které představují celek 100% (obrázek 9). Učivo o procentech je tedy vysvětlovány nejprve na diagramech. Vhodnou ukázkou je příklad 34.

Obrázek 9: Procentové diagramy

Příklad 34 z učebnice Aritmetika 7 (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 67) Zadání: Co dovedeš přečíst ze zprávy, kterou připravily 2 obce? Rozloha pozemků, které k obcím patří:

76

Graf 41: Grafy rozloh pozemků

Diagramům zobrazeným procenty je v učebnici pro 7. Ročník věnována celá kapitola s názvem Diagramy (procenta). Jak už bylo uvedeno v kapitole 3.4.1, je mezi diagramy kromě sloupkového grafu zařazen i dle českých učebnic kruhový diagram. „U kruhového diagramu počet procent odpovídá určité části kruhu (kruhové výseči).“ (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 68) V učebnici je koláčový diagram přímo znázorněn a popsán. Následuje příklad, ve kterém si žáci osvojí práci s tímto typem diagramu a zapojí zde i znalosti o procentech. Příklad 35 z učebnice Aritmetika 7 (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 72) Zadání: V České republice se každý rok vyrobí zhruba 1 160 000 tun obalů. Procentový kruhový diagram ukazuje podíl jednotlivých materiálů na obalech.

Podíl materiálů na obalech kov 8% ostatní 8% papír 45%

plasty 14% sklo 25%

Graf 42: Podíl jednotlivých materiálů na obalech

77

a) Kolik tun skleněných obalů se u nás ročně vyrobí? b) Kolik tun papírových, plastových, kovových a ostatních se u nás ročně vyrobí? c) Kolik tun papíru seberete na vaší škole, když pořádáte sběr odpadkových surovin? d) Kolik kg papíru připadá při sběru průměrně na jednoho žáka vaší třídy? V učebnici pro 7. ročník nalezneme ještě na konci jeden příklad, který pracuje s kruhovým diagramem vyjádřeným v procentech. Jde o příklad z praxe. Žáci v příkladu čtou informace zadané koláčovým diagramem. Ačkoliv učebnice nepopisuje, jak kruhový diagram sestrojit, přesto to autoři učebnice po dětech požadují. Příklad 36 z učebnice Aritmetika 7 (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 76) Zadání: Prozkoumej procentový diagram, který uvádí výdaje čtyřčlenné rodiny, která žije v bytě. Poté do sešitu zakresli po dohodě s rodiči jednoduchý nebo podrobnější diagram udávající vaše měsíční výdaje domácnosti. zdraví 1%

další výdaje (např. služby) 13% vzdělání 1% úspory 8%

Výdaje domácnosti bydlení

bydlení 17%

strava ošacení doprava

volný čas 7%

volný čas

doprava 9% ošacení 9%

strava 35%

vzdělání úspory další výdaje (např. služby)

Graf 43: Měsíční výdaje domácnosti

Autoři učebnic 8. ročníku využívají znalosti žáků ze 7. ročníku a v kapitole Základy statistiky opakují práci s koláčovým diagramem. Tentokrát je ale koláčový diagram upraven na prstencový. Ukázkou je příklad 37.

78

Příklad 37 z učebnice Aritmetika 8 (Rosecká, 2010, s. 97) Zadání: Prohlédni si statistiku zpracovanou Českým statistickým úřadem (ČSÚ) ve formě diagramu. Čti údaje.

Soukromí podnikatelé v ČR (k 31.12.97) Severočeský 11,10%

Severomoravs ký 15,89%

Západočeský 8,56% Jihočeský 6,63%

1 223 195 podnikatelů

Jihomoravský 18,39%

Středočeský 11,22% Východočeský 11,80%

Hl. m. Praha 16,41%

Graf 44: Počet soukromých podnikatelů v jednotlivých krajích

Srovnání Z pohledu srovnání řad českých i anglických učebnic bylo zjištěno, že anglické učebnice věnují koláčových diagramům mnohem větší pozornost. Anglické učebnice postupují v tomto učivo pomalými krůčky. Nejprve žákům představí samotný diagram, popíšou, co a jak diagram zobrazuje. Následně učebnice přecházejí k procentovému koláčovému diagramu, kdy vysvětlují, že celý kruh představuje celek 100%. V učebnicích je podrobně znázorněn postup, jak přesně sestrojit koláčový graf v procentech. Autoři učebnic kladou také důraz na odhad počtu procent z celku, která jednotlivé kruhové výseče představují. Nechybí zde ani příklady, ve kterých žáci procvičují čtení z grafu a zpracování předložených informací. České učebnice samotným diagramům pozornost věnují, ale mnohem méně, než učebnice anglické. Práce s diagramy je využita až po probrání učiva o procentech, kdy se žáci setkávají s dvěma hlavními diagramy (diagramy a grafy): koláčovými a sloupcovými. Učivo je tedy procvičeno převážně na procentových diagramech, kdy úkolem žáků je většinou určit počet procent, kterou představuje daná kruhová výseč. Jeden příklad po žácích požaduje sestrojení koláčového diagramu, ovšem není zde zmíněn přesný postup, jak diagram sestrojit. Oproti anglickým učebnicím ale české učebnice pracují i s alternativou koláčového grafu a to s grafem prstencovým na praktickém příkladu. 79

3.5

Závěrečné srovnání učebnic

S řadami učebnic, které byly ke srovnání vybrány, pracují čeští i angličtí žáci ve věku 11 – 16 let ve svých základních školách. Učebnice byly srovnány z pohledu učiva grafů funkcí a statistických grafů a diagramů. Už na první pohled jsou učebnice rozdílné. Výhodou u anglických učebnic je obsah velkého množství informací a příkladů k procvičení, oproti učebnicím českým. Rozdíl dle mého názoru spočívá v tom, že nakladatelství českých učebnic nabízí k učebnicím ještě pracovní sešity. Anglické učebnice příklady k procvičení obsahují samy o sobě. Další výhodou anglických učebnic je jejich barevnost, propracovat, systematičnost a hlavně přehlednost. Ta z mého pohledu u českých učebnic chybí. Jsou sice pěkně ilustrovány, ale mezi textem a příklady jsou minimální mezery, což často způsobí nepřehlednost a zmatenost. Nevýhodu anglických učebnic vidím v jejich váze (za kterou může právě velké množství informací a příkladů k procvičení). Učebnice jsou poměrně těžké a jejich každodenní nošení do školy může být pro žáky nepříjemné. Učivo o grafech funkcí je v anglických učebnicích řešeno a nabízeno zcela jiným způsobem, než v učebnicích českých. Kapitola, ve které se české a anglické učebnice shodují v jejich podání, se týče zavedení souřadného systému v rovině. Zde můžeme říci, že obě učebnice prezentují učivo velmi podobným způsobem. Zásadní rozdíl učebnic spočívá v tom, že v žádné z anglických učebnic nenajdeme pojem funkce. Učebnice sice s grafy funkcí pracují, pojem funkce ale v učebnicích vysvětlen není. Žáci si dle učebnic uvědomují pouze závislost jedné jednotky na jednotce druhé. Nerozeznají však, zda se jedná o graf funkce či ne. Žáci v Anglii hodně pracují s centimetrovou čtvercovou sítí v souřadném systému a grafy funkcí sestrojují a uvědomují si na základě žetonů, které do čtvercové sítě kladou. Tímto způsobem se naučí pracovat s grafem konstantní funkce. Autoři anglických učebnic používají k tvorbě grafu přímé úměrnosti žetony. Graf přímé úměrnosti je ale v anglických učebnicích poměrně hodně vysvětlen a ilustrován na praktických příkladech. V učebnicích se také nachází i předpis grafu přímé úměrnosti. Podobně je zaveden graf lineární funkce. Grafem je přímka, k jejímu sestrojení stačí znát pouze dva body – tohoto postupu anglické učebnice využívají. Aniž by autoři učebnic nabízeli žákům obecný předpis lineární funkce, přesto žáci umí s tímto předpisem pracovat. V anglických učebnicích je předpis funkce udáván formulí. Při řešení soustav rovnic v anglických učebnicích autoři opět využívají předpis přímky pomocí formule a řeší soustavu rovnic pouze graficky. Grafy v učebnicích slouží k řešení praktických příkladů. 80

České učebnice k učivu o grafech funkcí přistupují jiným způsobem. Učebnice zavádějí přímo pojem funkce a graf funkce. Žáci tedy rozliší, zda konkrétní graf je opravdu grafem funkce či není. Znají základní vlastnosti funkce a čtou tyto informace z jejich grafů. Autoři českých učebnic lpí na názvech jednotlivých funkcí a jejich předpisech. Předpisy jsou následně rozebírány (viz lineární funkce). Praktické příklady také v učebnicích nalezneme, ale bohužel v daleko menším zastoupení, než v učebnicích anglických. Grafy funkcí se ale v České republice nevyučují pouze v matematice. Jedná se o učivo, které je zastoupeno ve více předmětech, například fyzice a chemii. Anglické učebnice seznamují žáky s grafy funkcí už od Y7. České učebnice ale většinu učiva o grafech funkcí nabízejí až v učebnicích pro 9. ročník. České učebnice se liší od anglických také svým obsahem vzdělávání. Předkládají žákům (kromě zmíněných kapitol) také graf funkce nepřímé úměrnosti, graf kvadratické funkce, v devátém ročníku grafy goniometrických funkcí (které už ale do RVP ZV nejsou zařazeny) a také již zmíněné vlastnosti jednotlivých funkcí. Tyto témata se v anglických učebnicích nenachází. Oproti tomu ale v anglických učebnicích nalezneme slovní úlohy, které jsou řešeny pouze graficky nebo dle návodu žáci dokáží sestrojit graf lineární funkce, jejíž předpis je zadán implicitně. Učivo o grafech funkcí bylo dle mého názoru více teoreticky řešeno v českých učebnicích a anglické učebnice více využívaly praktických příkladů. U učiva o statistických grafech a diagramech je situace opačná. Anglické učebnice více jednotlivé statistické grafy a diagramy představují, vysvětlují a procvičují. Samozřejmě k tomu využívají příklady z praxe. České učebnice obsahují kapitoly, které se těmito grafy a diagramy také zabývají, ovšem téměř vynechávají teorii a přecházejí rovnou k praxi. Obě řady učebnic kladou důraz na koláčové diagramy a sloupcové grafy. České učebnice ještě navíc pracují s bodovým a spojnicovým grafem. Anglické učebnice více kladou důraz na koláčový diagram a kromě toho ještě diagram rozptylový.

81

4 Empirické šetření Diplomová práce je zaměřena na porozumění a práci s grafy ve výuce matematiky. V rámci této práce bylo provedeno empirické šetření na základních školách, jehož základem je kvalitativní i kvantitativní zpracování testových úloh. Srovnáním anglické a české řady učebnic matematiky z pohledu grafu funkcí a statistických grafů a diagramů byly vybrány testové příklady z anglických učebnic, které byly použity při empirickém šetření na žácích českých škol. Následně byly testové příklady zhodnoceny v kvalitativní podobě. Výsledkem empirického šetření je shrnutí úspěšnosti českých žáků na základě analýzy testových úloh.

4.1

Cíle a dílčí cíle empirického šetření

Hlavním cílem empirického šetření je zjistit úspěšnost žáků devátého ročníku při řešení testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky. Dílčí cíle empirické části jsou: -

na základě srovnání české a anglické řady učebnic matematiky z pohledu učiva grafu funkcí a statistických grafů a diagramů sestavit soubor testových úloh, který je typický pouze pro anglické učebnice a odpovídá znalostem českých žáků;

-

získat výsledky o úspěšnosti řešení testových úloh jejich zadáním na základních školách

-

zhodnotit kvantitativně i kvalitativně jednotlivé řešení testových úloh Dílčím cílem empirické části je také zpracování česko-anglického slovníku v oblasti

grafů pro použití metody CLIL8 na 2. stupni ZŠ.

4.2

Metody empirického šetření

Empirické materiály byly získány na základě pedagogického pozorování, diskuze a analýzy pedagogických dokumentů. Z časových důvodů nebylo možné se všemi žáky vést po vyřešení testových úloh rozhovor a následně s každým žákem jednotlivé testové úlohy projít. Z toho důvodu byla na konci hodiny provedena krátká diskuze zaměřená k testovým úlohám. V rámci empirického šetření byla využita metoda analýzy pedagogických dokumentů. Analýzou pedagogických dokumentů je zde myšlena analýza testových úloh vypracovaných jednotlivými žáky. Cílem analýzy bylo vyhodnocení správnosti žákova řešení, ale také postup řešení a zjištění nejčastějších chyb či mezer v daném učivu.

8

Content and Language Integrated Learning, tj. obsahově a jazykově integrované učení

82

4.3 Empirické

Podmínky a průběh empirického šetření šetření

bylo

realizováno

na

čtyřech

základních

školách:

ZŠ a MŠ Kunín, ZŠ Tererovo náměstí 1, ZŠ Helsinská a ZŠ Stupkova. Počet respondentů empirického šetření byl 100 žáků devátého ročníku. Šetření bylo provedeno během čtrnácti dnů měsíce května roku 2016. Ve všech zmíněných školách byly testové úlohy zadány osobně. Úvodních pět minut vyučovací hodiny byli žáci s empirickým šetřením a jeho zpracováním seznámeni. K dispozici měli testovací příklady, čistý bílý papír, psací potřeby, pravítko s ryskou, a pokud požadovali, také kalkulátor. Žákům byla rozdělena čísla, jelikož některé příklady vyžadovaly řešení na čistý bílý papír zvlášť. Čísla pomáhala přiřadit řešení vypracované na papíru společně s testovými úlohami. Následujících 40 minut žáci úlohy řešili samostatně a na základě čísel i anonymně. Na závěr následovalo několik dotazů ze strany zadavatele a nabídnuty dotazy k jednotlivým příkladům či celkovému šetření ze strany žáků.

4.4

Testové úlohy

Soubor testových úloh byl přejat z anglických učebnic Key Maths a použit k testování českých žáků devátého ročníku. Byly vybrány typy příkladů, se kterými se podle srovnání učebnic čeští žáci obvykle ve výuce matematiky nesetkávají. První čtyři příklady žáci řešili v českém jazyce. První příklad byl zaměřen na graf přímé úměrnosti, konkrétně graf závislosti mil na kilometrech. Druhý úkol po žácích vyžadoval předpisy dvou lineárních funkcí a řešení soustavy dvou lineárních rovnic graficky i početně. Ve třetím příkladu žáci statisticky zpracovávali předem zadaná data do sloupcového grafu. Ve čtvrtém se měli žáci zamyslet, zda dva na první pohled odlišné grafy prezentují stejné informace. Tento příklad byl do šetření zařazen z toho důvodu, aby si žáci později uvědomili klam reklam a prodejců klamajících právě prostřednictvím grafů. Pátý, poslední příklad žáci řešili v anglickém jazyce. Byl zaměřen na orientaci a čtení z čárového grafu. Žáci devátých ročníků mají povinný anglický jazyk na základní škole několik let, anglický jazyk by pro ně neměl být v tomto šetření překážkou. Pátý příklad je zároveň vhodnou ukázkou, jak je možné používat v hodinách matematiky metodu CLIL. Soubor testových příkladů se nachází ve vázané příloze (příloha č. 1).

83

4.5

Výsledky empirického šetření

4.5.1 Zpracování dat Pro empirické šetření bylo použito celkem 100 ks souborů testových úloh. Návratnost úloh byla díky osobnímu zadávání stoprocentní. Sběr dat a jejich statistické vyhodnocení byl ukončen v květnu roku 2016. Ke zpracování získaných údajů byla použita analýza testových úloh. Pro lepší přehlednost byla analýza získaných dat názorně graficky zpracována a poté slovně popsána. Při analýze výsledků nebylo přihlíženo ke srovnání výsledků testových úloh na jednotlivých základních školách. Všichni žáci provádějící výzkum na různých základních školách vystupují jako jeden výzkumný vzorek.

4.5.2 Vyhodnocení úspěšnosti jednotlivých testových úloh žáků 9. ročníku První příklad První příklad byl zaměřen na sestrojení grafu závislosti mil na km. Příklad po žácích požadoval, aby podle zmíněných údajů z textu vyplnili tabulku, která slouží k jednoduššímu sestrojení grafu, aby sestrojili graf této závislosti a aby odpověděli slovně na dvě otázky. U příkladu bylo hodnoceno, zda žáci správně vyplnili tabulku, zda správně sestrojili graf, zda poznali, co je grafem sestrojené funkce a určili, o jakou funkci se jedná. Následující grafy ukazují výsledek testování a úspěšnost žáků. Vyplnění tabulky Většina žáků s vyplněním tabulky problém neměla, jak ukazuje graf 45. Některé žáky zmátla k vyplnění tabulka se třemi políčky. Ve třetím políčku většinou určovali, kolik je jedna míle kilometrů nebo kolik je patnáct mil kilometrů. Většina žáků správně přiřadila počet mil a počet km. Anonymní vyplnění tabulky žáka/žákyně ukazuje obrázek 10.

Obrázek 10: Ukázka vyplnění tabulky k příkladu 1

84

Úspěšnost vyplnění tabulky Neúspěšně 22%

Úspěšně 78%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 45: Úspěšnost při vyplnění tabulky u příkladu 1

Sestrojení grafu Na základě 78% procentní úspěšnosti ve vyplnění tabulky bylo očekáváno, že žákům nebude dělat sestrojení grafu problém. Bohužel si v mnoha případech neuvědomili správnou závislost mil na kilometrech a ve velké většině sestrojili graf závislosti kilometrů na mílích. Úspěšnost při sestrojení grafu ukazuje graf 46.

Úspěšnost při sestrojení grafu závislosti mil na km Úspěšně 30% Neúspěšně 70%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 46: Úspěšnost sestrojení grafu u příkladu 1

Obrázek 11 ukazuje správně sestrojený graf závislosti mil na km.

85

Obrázek 11: Ukázka sestrojení grafu závislosti mil na km

Graf funkce a název funkce Příklad 1 obsahoval dvě otázky, u kterých byla očekávaná slovní odpověď. První otázka zněla: Co je grafem této funkce? Odpovědi byly různé a všechny jsou zachyceny v grafu 47. 55% žáků odpovědělo přímka. Mezi tyto žáky patří žáci, kterým se podařilo sestrojit graf správné závislosti, bohužel i graf špatné závislosti. Pro všechny byla grafem funkce přímka. Velké množství žáků neodpovědělo na otázku vůbec, i když třeba správně graf sestrojili. Objevily se odpovědi typu parabola a hyperbola, které jsou řazeny mezi odpovědi chybné.

Co je grafem této funkce? Parabola 1%

Neodpověděl/a 43%

Přímka 55%

Neodpověděl/a

Hyperbola 1%

Přímka

Parabola

Hyperbola

Graf 47: Odpovědi na otázku: Co je grafem funkce?

Druhá otázka zněla: Jak zmíněnou funkci nazýváme? Možné odpovědi opět představuje graf 48. I když byla očekávaná odpověď přímá úměrnost, i lineární funkce nebo 86

rostoucí funkce jsou považovány za odpovědi správné. Chybné odpovědi se nevyskytovaly. 39% žáků však na otázku vůbec neodpovědělo.

Jak zmíněnou funkci nazýváme? Rostoucí 24%

Přímá úměrnost 12%

Lineární 25%

Neodpověděl/a

Neodpověděl/a 39%

Přímá úměrnost

Lineární

Rostoucí

Graf 48: Odpovědi na otázku: Jak zmíněnou funkci nazýváme?

Na základě chybného sestrojení grafu a opomíjení odpovědět na všechny otázky úlohy byla úspěšnost řešení prvního příkladu velmi nízká. Tuto (ne)úspěšnost zobrazuje graf 49.

Úspěšnost při řešení 1. příkladu Úspěšně 24% Neúspěšně 76%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 49: Úspěšnost řešení příkladu 1

Druhý příklad Druhý příklad byl zaměřen na předpis lineární funkce a řešení soustavy lineárních rovnic graficky i početně. U příkladu byl hodnocen předpis funkce 𝑓, předpis funkce 𝑔, 87

souřadnice průsečíku 𝑃, výpočet souřadnic průsečíku a zaznačení průsečíku do grafu. Řešení druhého příkladu (bez výpočtu souřadnic průsečíku) ukazuje obrázek 12.

Obrázek 12: Ukázka řešení druhého příkladu

Předpis funkcí 𝒇 a 𝒈 Ačkoliv tato úloha spadá do vzdělávacího obsahu základního vzdělávání, žáci s ní měli potíže. Většina žáků psala místo předpisu body, které na daných přímkách leží. Pouze 13% všech žáků dokázalo správně určit předpis funkce 𝑓 a 14% žáků správně určit předpis funkce 𝑔. Úspěšnost u příkladu byla očekávána vysoká vzhledem k tomu, že jde o učivo 9. ročníku a žáci by měli mít učivo procvičeno i vzhledem k přijímacím zkouškám. Ti, kteří správě určili předpisy dvou funkcí, je většinou určovali přímo z grafu bez poznámek. Někteří žáci postupovali pomocí obecné rovnice přímky, což znázorňuje následující obrázek 13.

88

Obrázek 13: Ukázka nalezení předpisu funkce 𝑓 a 𝑔

Průsečík Souřadnice průsečíku dvou grafů lineárních funkcí žáci z 50% zvládli určit správně. I když příklad požaduje výpočet souřadnic průsečíku 𝑃, ve většině případů souřadnice žáci vyčetli přímo z grafu. Pouze tři žáci z celkového počtu určili souřadnice průsečíku výpočtem pomocí soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Jejich postup je znázorněn na obrázku 12. Mnozí žáci určili souřadnice průsečíku, ale už nezaznačili průsečík přímo do grafu. Žáci tedy nevěnovali příkladům plnou pozornost a často zapomněli splnit všechny požadované úkoly. Úspěšnost řešení druhého příkladu je tedy velmi nízká. Úspěšný řešitel je ten, který vyřešil příklad celý a zaznačil všechny položky, jak bylo požadováno. Graf 50 je grafem úspěšnosti při řešení úlohy.

Obrázek 14: Ukázka nalezení souřadnic průsečíku

89

Úspěšnost při řešení 2. příkladu Úspěšně 3%

Neúspěšn ě 97% Úspěšně

Neúspěšně


Třetí příklad

Třetí příklad byl zaměřen na statistické zpracování získaných dat. Žákům byly předloženy naměřené hodnoty rozpětí paží od špičky prstu levé ruky po špičku prstu pravé ruky celkem 32 žáků. Cílem příkladu bylo vytvořit sloupcový graf, který naměřené údaje prezentuje. U tohoto příkladu bylo hodnoceno vyplnění tabulky, určení intervalu, který je zastoupen ve třídě největším počtem a samozřejmě sestrojení sloupcového grafu.

Tabulka Prvním úkolem žáků bylo vyplnit tabulku, která roztřídí naměřené hodnoty žáků. Žáci většinou správně zařadili naměřené hodnoty do příslušného intervalu, někteří ale kvůli nepozornosti špatně určili celkový počet naměřených hodnot v intervalu. Úspěšnost správného vyplnění tabulky představuje graf 51.

Úspěšnost při vyplnění tabulky Neúspěšně 31%

Úspěšně 69%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 51: Úspěšnost vyplnění tabulky u příkladu 3

90

Určení intervalu Žáci měli za úkolem určit interval, který je ve třídě zastoupen největším počtem žáků. Pokud žáci vyplnili správně tabulku, neměli problém s určením zmíněného intervalu. I přesto zde hrála roli nepozornost a někteří žáci, ačkoliv měli správně tabulku vyplněnou, zapomněli na tuto otázku odpovědět. V šetření se vyskytlo několik chybných odpovědí, většina z nich ale byla správná. Úspěšnost řešení prezentuje graf 52. Ukázka, jak žáci postupovali u vyplnění tabulky je zobrazena na obrázku 13.

Obrázek 15: Ukázka vyplnění tabulky u příkladu 3

Určení nejpočetnějšího intervalu Špatná (nebo žádná odpověď) 29%

Správně 71%

Správně

Špatně (nebo žádná odpověď)

Graf 52: Úspěšnost určení nejpočetnějšího intervalu u příkladu 3

91

Sestrojení grafu Většina žáků, kteří správně v tabulce určili celkový počet naměřených hodnot v intervalu, poté nemělo problém se sestrojením sloupcového grafu. Nejčastější chybou pro ostatní žáky bylo sestrojení spojnicového grafu nebo grafu bodového. Úspěšnost sestrojení grafu znázorňuje graf 53. Ukázku sestrojených grafů žáky ukazuje obrázek 16.

Sestrojení sloupcového grafu Neúspěšně 42%

Úspěšně 58%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 53: Úspěšnost sestrojení sloupcového grafu u příkladu 3

Obrázek 16: Ukázky sestrojení sloupcového grafu

Dle závěrečné diskuze s žáky a výsledků testových úloh byl tento příklad považován za nejjednodušší. Graf 54 ukazuje celkovou úspěšnost při řešení tohoto příkladu. Opět je úspěšným řešitelem žák, který splnil všechny požadované úkoly příkladu.

92

Úspěšnost při řešení 3. příkladu Neúspěš ně 45%

Úspěšně 55%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 54: Úspěšnost při řešení příkladu 3

Čtvrtý příklad Čtvrtý příklad byl zařazen v anglické učebnici pro Y8 v kapitole pod názvem „Missleading graphs“ (zavádějící aneb mylné grafy). Podle mého názoru se mnozí z českých žáků s tímto problémem setkali poprvé až prostřednictvím testových úloh. Příklad byl zařazen do testových úloh z toho důvodu, aby si žáci uvědomili možnost klamání prodejců, politiků aj. prostřednictvím grafů. V příkladu byly uvedeny dvě situace popsané slovně a dva grafy. Žáci měli za úkol přiřadit ke každé situace správný graf. Dalším úkolem bylo rozhodnout, zda grafy prezentují stejné informace nebo zda jsou grafy odlišné a tedy neprezentují stejné informace. Své rozhodnutí měli žáci slovně zdůvodnit. Přiřazení situace ke grafu Žáci z 71% správně přiřadili k situacím správné grafy. Do výseče „neúspěšně“ se řadí i ti žáci, kteří situace ke grafům vůbec nepřiřadili. První část příkladu byla tedy pro žáky poměrně jednoduchá. Obtížnější část tvořily další dva úkoly.

Přiřazení situace ke grafu Neúspěšně 29%

Úspěšně

Úspěšně 71%

Neúspěšně

Graf 55: Úspěšnost přiřazení situace ke grafu u příkladu 4

93

Otázka: Prezentují grafy stejné informace? Na otázku, zda grafy prezentují stejné informace, žáci odpovídali dvěma odpověďmi. Polovina výzkumného vzorku odpověděla ano, druhá polovina ne. Výzkumné šetření bylo zaměřeno převážně na vysvětlení, proč si žáci myslí, že grafy prezentují stejné informace. Z 50 žáků, kteří tvrdili, že grafy opravdu prezentují stejné informace, uvedlo 23 žáků správné vysvětlení, mezi které řadíme například tyto: 

„Sloupec počtu prodaných aut je jen jinak znázorněn.“



„Jinak znázorněné, ale jinak jsou stejné. Podle osy 𝑦 jsou různé.“



„Stupnice grafu 𝐵 má větší rozsah, ale křivka ukazuje stejné hodnoty v obou grafech.“



„Grafy jsou stejné, jen v jiném poměru.“



„Křivky ukazující míru prodeje by byly shodné, kdyby na ose 𝑦 bylo měřítko stejné.“



„Oba grafy představují shodné čísla, jen v jiném rozhraní.“



„Oba grafy označují stejný počet prodaných automobilů v daných měsících.“



„Oba grafy jsou v jiném měřítku.“



„Oba grafy označují úplně tu stejnou věc, akorát počet prodaných automobilů je v jiném měřítku na grafu 𝐴 a na grafu 𝐵.“



„Grafy se liší pouze tím, že na grafu A je počet prodaných automobilů zobrazován od počtu 38, zatímco na grafu 𝐵 je počet zobrazován od 0. Na obou grafech jsou počty prodaných aut stejné.“



„Počet prodaných automobilů v jednotlivých měsících je na obou grafech stejný.“



„Grafy začínají a končí na stejné hodnotě a průběh grafu je shodný také.



„Osa 𝑦 u obou grafů má jiné hodnoty.“



„Oba jdou ve stejném měsíci buď nahoru, nebo dolů a celkově rostou a mají stejné hodnoty, akorát v jiném měřítku (A má se zvětšeným měřítkem a B s celkovým velkým měřítkem).“

Někteří žáci, kteří si uvědomili, že grafy prezentují stejné informace, si počet prodaných aut hodnotově přímo do grafu zapisovali, jak uvádí obrázek 17 a 18.

94

Obrázek 17: Způsob řešení grafu A u příkladu 4

Obrázek 18: Způsob řešení grafu B u příkladu 4

Pouze 23 žáků tedy správně odpovědělo na otázku, zda grafy prezentují stejné informace a uvedli správně vysvětlení. Z tohoto počtu se bohužel některým z nich nepodařilo přiřadit správně k sobě situaci a graf. Proto je úspěšnost řešení čtvrtého příkladu dle grafu 56 podobná úspěšnosti řešení prvního příkladu.

95

Úspěšnost při řešení 4. příkladu Úspěšně 21%

Neúspěšně 79%

Úspěšně

Neúspěšně


Ke konci vyučovací hodiny měli žáci prostor na jakékoliv otázky ohledně empirického šetření nebo testových úloh. Největší počet otázek se pojil právě se čtvrtým příkladem, kdy žáky zajímalo, jestli grafy opravdu stejné informace prezentují. Ke čtvrtému příkladu tedy vedla diskuze ve všech třídách účastnících se empirického šetření. Společně s žáky byla situace s grafy rozebrána a byly uvedeny příklady, kdo a kde podobných grafů využívá nebo někdy spíše zneužívá. Pátý příklad Pátý příklad se od všech ostatních testových úloh odlišoval jazykem, ve kterém byl zadán. K zadání byl využit anglický jazyk. V příkladu se vyskytoval graf čárový (v anglických učebnicích veden jako graf „cestovní“) a otázky ke grafu. Graf představoval Paulovu cestu do školy a otázky byly zaměřeny na čtení informací z grafu. Graf se skládal celkem ze tří částí. První část grafu zobrazovala, jak Paul do školy vyrazil a šel pěšky. Druhá část grafu představovala jeho nákup propisky v obchodě a ve třetí části Paul nestíhal a začal do školy utíkat. Grafy níže rozebírají odpovědi žáků u jednotlivých otázek.

96

Otázka: Jak dlouho Paul šel?

Odpověď na otázku: a) Jak dlouho Paul šel? Úspěšně 42%

Neúspěšně 58%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 57: Úspěšnost řešení otázky a) příkladu 5

V této otázce žáci nejčastěji chybně uváděli dobu 45 minut, což je doba, za kterou se Paul dostal z domu do školy. Otázka ale po žácích požadovala pouze dobu, ve které Paul šel (bez obchodu a bez běhu). Otázka: Jak se projevilo Paulovo nakupování v grafu? Úspěšnost odpovědi na tuto otázku byla stejná jako u otázky první. U příkladu byla očekávanou odpovědí konstantní funkce. Mnoho žáků ale otázku pochopilo ve smyslu, že uvedou dobu z grafu, ve které byl Paul v obchodě. Nakonec i tato odpověď byla uznána za správnou. Mnoho žáků se nechalo strhnout anglickým zadáním a příklad je natolik zaujal, že i na otázky odpovídali v anglickém jazyce. Správně odpovědělo 42 žáků. Mezi nejčastější správné odpovědi se řadily tyto: 

„Rozpětí na grafu 20 – 35 minut.“



„Rovnou čarou.“



„Straigh line.“



„Graph shows straight line between 20 min and 35 min.“



„20 – 30 min konstantní funkce.“



„Čára se zastavila, nevzrůstá.“



„Rovnoběžná čára s osou x představuje přestávku v obchodě.“

97

Odpověď na otázku: b1) Jak se projevilo Paulovo nakupování v grafu?

Úspěšně 42%

Neúspěšně 58%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 58: Úspěšnost řešení otázky b1) příkladu 5

Otázka: Jak dlouho Paul nakupoval? Podle grafu 59 je zřejmé, že tato otázka žákům problém ve velkém případě nedělala. Chybné odpovědi byly způsobeny anglickou bariérou a záměnou slovního spojení „how long“ a „how far“ (jak dlouho a jak daleko). Mezi neúspěšné odpovědi jsou opět řazeni i žáci, kteří na otázku vůbec neodpověděli.

Odpověď na otázku: b2) Jak dlouho Paul nakupoval?

Neúspěšně 29% Úspěšně 71%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 59: Úspěšnost řešení otázky b2) příkladu 5

98

Otázka: Paul měl zpoždění a musel začít běžet. Jak dlouho běžel? Úspěšnost odpovědi na tuto otázku je sice menší než u otázek předchozích, stále ale z větší části žáci odpověděli správně. Mnoho špatných odpovědí způsobilo, že si žáci neuvědomili složení grafu ze třech částí.

Odpověď na otázku: c) Jak dlouho Paul běžel?

Neúspěšně 40%

Úspěšně

Úspěšně 60%

Neúspěšně

Graf 60: Úspěšnost řešení otázky c) příkladu 5

Otázka: Jak dlouho Paul cestoval do školy? Touto otázkou si mnoho žáků uvědomilo rozdělení grafu na tři části. Někteří, kteří původně chybovali v první otázce, svou odpověď kvůli této otázce měnili. Bohužel, v této otázce převažují neúspěšné odpovědi nad odpověďmi úspěšnými, jak ukazuje graf 61.

Odpověď na otázku: d) Jak dlouho Paul cestoval do školy?

Úspěšně 46%

Neúspěšně 54%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 61: Úspěšnost řešení otázky d) příkladu 5

99

Otázka: Když Paul z domu vyšel v 8:05 am, v kolik hodin dorazil do školy? U této otázky je opět počet úspěšných odpovědí větší než počet neúspěšných odpovědí.. V některých z odpovědí žáci špatně čas přičetli k času, kdy Paul domov opustil. Z vlastního pohledu se domnívám, že žáci v tomto případě pořádně nerozuměli zadání kvůli jazykové bariéře. Graf 62 zobrazuje úspěšnost odpovědí žáků v této otázce.

Odpověď na otázku: e) V kolik hodin Paul dorazil do školy? Neúspěšně 42%

Úspěšně 58%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 62: Úspěšnost řešení otázky e) příkladu 5

Otázka: Jak daleko Paul do školy cestuje? U této otázky odkazuji na otázku - Jak dlouho Paul nakupoval. Opět si zde žáci velmi často pletli slovní spojení Jak daleko a Jak dlouho. I přesto ale počet úspěšných odpovědí převýšil počet odpovědí neúspěšných. Graf 63 je grafem úspěšnosti řešení.

Odpověď na otázku: f) Jak daleko Paul do školy cestuje?

Úspěšně 52%

Neúspěšně 48%

Úspěšně

Neúspěšně

Graf 63: Úspěšnost řešení otázky f) příkladu 5

Úspěšnost řešení posledního (pátého) příkladu odpovídá úspěšnosti řešení první otázky tohoto příkladu, tedy 42%. Opět je za úspěšného řešitele považován ten žák, který všechny otázky v úloze odpověděl správně. 100

Pátý příklad obsahoval navíc ještě jednu otázku. Otázka už se netýkala příkladu a čtení z grafu, ale porozumění matematického textu v anglickém jazyce. Žáci měli vybrat jednu z možností, která nejvíce vystihovala jejich situaci při řešení pátého příkladu. Možnosti: a) Umím anglicky a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka do českého jazyka s porozuměním. Zadání jsem rozuměl a úlohu jsem mohl řešit. b) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka jen částečně. Zadání úlohy jsem ale porozuměl a úlohu jsem řešil. c) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka jen částečně.

Nedostatečné znalosti anglického jazyka způsobily, že jsem

nerozuměl zadání úlohy a úlohu jsem nemohl vyřešit. Podle grafu 64 je zřejmé, že anglický jazyk nebyl pro většinu žáků překážkou k vyřešení matematického příkladu zadaného v anglickém jazyce. 28% žáků nezvolilo žádnou odpověď. Žáci otázku často přehlédli.

Graf vystihující situaci žáků u 5. příkladu a) 35%

Bez odpovědi 28%

b) 30%

c) 7% a)

b)

c)

Bez odpovědi

Graf 64: Graf vyjadřující práci s anglickým jazykem

Obrázek 19: Správné odpovědi žáka u příkladu 5

101

4.6

Shrnutí empirického šetření

Na základě pedagogického pozorování, diskuze a analýzy jednotlivých žáky vypracovaných testových úloh mohou být sepsána určitá zjištění. Soubor testových úloh vytvořených k empirickému šetření byl vybrán z anglických učebnic pro žáky anglických škol věkově totožných s žáky devátých ročníků českých základních škol. Byly vybrány typy příkladů, se kterými se žáci většinou běžně v českých učebnicích matematiky nesetkají. Hlavním cílem empirického šetření bylo zjistit úspěšnost žáků devátého ročníku při řešení již zmíněných testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky. Jednotlivé úspěšnosti řešení jsou: 

celková úspěšnost řešení prvního příkladu byla 24%;



celková úspěšnost řešení druhého příkladu byla pouze 3%;



celková úspěšnost řešení třetího příkladu byla 45%;



celková úspěšnost řešení čtvrtého příkladu byla 21%;



celková úspěšnost řešení pátého příkladu byla 42%.

Na základě vzdělávacího obsahu a jednotlivých očekávaných výstupů v rámci vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace v RVP ZV bylo očekáváno, že úspěšnost u prvních třech příkladů bude vysoká. Bohužel, zmíněné očekávání bylo vyvráceno. Nízká úspěšnost řešení jednotlivých příkladů mohla být způsobena několika faktory. 

Na první faktor již upozornili sami žáci při řešení testových úloh komentářem „To jsme se neučili.“ nebo „To už je dávno, co jsme se to učili.“ Z komentářů vyplývá, že mnoho českých žáků řeší matematické úlohy na základě memorování si jednotlivých algoritmů či postupů řešení. Vzhledem k tomu, že zmíněným algoritmům často nerozumí, pouze si je memorují, dochází snadno k zapomnění postupu řešení či často čeští žáci nedokáží tento algoritmus přizpůsobit jinému typu příkladu.



Druhým faktorem je vzdělávací obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace v RVP ZV v ČR. Tento vzdělávací obsah byl srovnáván na základě českých a anglických učebnic matematiky. Jak už nastínila kapitola 3.5, anglické učebnice nelpí na obecných předpisech, vzorcích, názvech či memorování jednotlivých postupů. Snaží se žáky motivovat k samostatnému nalezení řešení jednotlivých úloh. V učebnicích se vyskytuje velké množství příkladů z praxe. Učivo o grafech funkcí je zaváděno paradoxně bez vysvětlení 102

pojmu funkce. Žáci pracují pouze s pojmem závislost.

Ačkoliv neví,

co je funkce a neznají jednotlivé názvy a předpisy funkcí, přesto dokáží jednotlivé příklady znázornit grafy funkcí a pracovat s nimi. 

Třetím faktorem je datum zadání empirického šetření. Testové úlohy byly žákům zadány v průběhu měsíce května roku 2016. Testové úlohy byly zadány žákům devátých ročníků, kteří už splnili příjímací zkoušky a byli přijati na střední školy. Uvědomuji si, že motivace k vyřešení jednotlivých testových úloh byla o to nižší.

U čtvrté a páté úlohy byla na druhou stranu očekávaná úspěšnost nízká, proto byly úlohy zařazeny až na konec souboru testových úloh. Dle mého názoru žáci, kteří k vyřešení matematických úloh nevyužívají naučené postupy, čtvrtý příklad zaujal. Tento poznatek byl usouzen ze závěrečné diskuze, která byla ve většině zaměřena na řešení čtvrté úlohy. Pátá úloha byla pro všechny žáky velkou výzvou. Když byla žákům předána informace, že je jedna úloha zadána v angličtině, žáci působili vystrašeně. Ačkoliv jejich reakce nebyly z počátku moc kladné, hodně žáků ze zajímavosti řešila příklad zadaný v anglickém jazyce jako první. Ze šetření lze vidět poměrně velká úspěšnost správných odpovědí jednotlivých otázek kladených v páté úloze. V závěrečné diskuzi poté žáci uváděli, že je doslova „bavilo“ řešit matematický příklad zadaný v anglickém jazyce. V tomto případě by bylo vhodné do hodin matematiky zařadit metodu CLIL. Metoda CLIL (obsahově a jazykově integrované učení) je jednou ze strategií dvojjazyčného vzdělávání a patří k významným trendům současného evropského školství. „Metoda CLIL plně integruje výuku učiva jak daného předmětu, tak i cizího jazyka. CLIL má výrazný interdisciplinární charakter, kdy dochází k propojení jazykové výuky a vyučovaného předmětu. Jazyk je prostředkem pro výuku vzdělávacího obsahu, a ten se pak naopak stává zdrojem pro výuku jazyků.“ (Baladová, 2012) Jedním z dílčích cílů empirické části bylo zpracování česko-anglického slovníku v oblasti učiva grafů pro použití metody CLIL na 2. stupni ZŠ v hodinách matematiky. Slovník se nachází ve vázaných přílohách (příloha č. 7). Jednotlivé ukázky řešení žáků testových úloh se rovněž nacházejí ve vázaných přílohách.

103

ZÁVĚR Hlavním cílem diplomové práce na téma „Grafy na 2. stupni ZŠ v několika českých a anglických učebnicích“ bylo na základě prostudované literatury objasnit základní grafy funkcí a statistické grafy a diagramy, srovnat anglické a české učebnice z pohledu zmíněného učiva a zjistit úspěšnost českých žáků devátého ročníku při řešení testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky. Teoretická část práce obsahuje přehled základních grafů funkcí a statistických diagramů (dále jen grafů), které jsou podle RVP ZV obsahem vzdělávání a které se popřípadě v českých učebnicích 2. stupně ZŠ vyskytují. Všechny grafy a diagramy byly vytvořeny v programu Microsoft Excel nebo GeoGebra. Následují dvě kapitoly, které objasňují očekávané výstupy v rámci učiva grafů v českém kurikulu (RVP ZV) i v anglickém kurikulu (pro klíčové období 3 a 4). Klíčová období byla vybrána na základě studia anglického školství, které je popsáno v kapitole Školský vzdělávací systém v Anglii, kde je rozebrána podrobněji školská soustava, financování školství a také reforma, která se zasloužila o vznik národního anglického kurikula. Na základě studia anglického školství byly v empirické části práci vybrány dvě řady učebnic – česká a anglická. Obě řady jsou určeny pro žáky ve věku 11-16 let. V České republice zde spadají žáci 2. stupně ZŠ, v Anglii žáci střední školy „secondary school“. Učebnice byly srovnány z pohledu učiva grafů a byly zjištěny určité odlišnosti: Liší se jak strukturou, tak především obsahem vzdělávání. Zásadní rozdíl učebnic spočívá v tom, že anglické učebnice oproti českým vůbec nepracují s pojmem funkce. Učebnice sice s grafy funkcí pracují, pojem funkce ale v učebnicích vysvětlen není. I přesto s těmito grafy angličtí žáci pracovat umí. Předpis funkce zadávají formulí. Druhým rozdílem je množství praktických příkladů a příkladů zaměřených na reálný život, převyšující v učebnicích anglických. Třetím rozdílem je zařazení učiva o grafech v Anglii během celého vyučovacího období (v rámci několika kapitol) oproti České republice, kde je učivo procvičováno v menším počtu kapitol a pouze jednou až dvakrát ročně. Posledním rozdílem je diferenciace výuky dle anglických učebnic, která podporuje individualizaci a samostatnou práci žáků. Prvním dílčím cílem empirického šetření bylo na základě srovnání české a anglické řady učebnic matematiky z pohledu učiva grafů sestavit soubor testových úloh, který je typický pouze pro anglické učebnice a odpovídá znalostem českých žáků. Zadáním testových úloh českým žákům devátých ročníků byly zjištěny výsledky o úspěšnosti řešení. Úspěšnost řešených úloh byla nízká, což mohlo být způsobeno třemi faktory: datem zadání, 104

memorováním postupů řešení a zařazením malého počtu praktických příkladů do vyučovacích hodin. Přesto se ale v počtu žáků našli jednotlivci, kteří testové úlohy zvládli vypracovat celé správně. K práci je přiložen Česko – anglický slovník, který je možné využít při metodě CLIL ve vyučovacích hodinách matematiky.

105

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ Literatura BAKER D. a kol. Key maths 72 . 2. vyd. Cheltenham: Stanley Thornes, 2000. ISBN 074875525X. BAKER D. a kol. Key maths 82 . 2. vyd. Cheltenham: Stanley Thornes, 2001. ISBN 074875525X. BAKER D. a kol. Key maths 92 . 2. vyd. Cheltenham: Stanley Thornes, 2001. ISBN 074875525X. CIZLEROVÁ, M., ZAHRADNÍČEK M., ZAHRADNÍČKOVÁ A. Matematika pro střední školy 4. díl: Funkce I. Brno: DIDAKTIS spol. s. r. o., 2014. ISBN 978-80-7358-214-2. HENDL, J Statistika v aplikacích. Vyd. 1. Praha: Portál, 2014. ISBN 978-80-262-0700-9. JANUROVÁ, E., JANURA M., SVOBODA Z. Matematika pro každého, aneb, Rychlokurz matematiky. Olomouc: Rubico, 2011. ISBN 978-80-7346-122-5. KOVÁŘÍČEK, V., URBANOVSKÁ E. Přehled evropského školství. 1. vyd. Olomouc: Rektorát Univerzity Palackého, 1989.

PARKER, P. Dictionary of mathematics. Editor Sybil. New York: McGraw-Hill, 1997. ISBN 0070524335. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 807196-196-5. ROSECKÁ, Z, ČUHAJOVÁ V. Aritmetika: učebnice pro 6. ročník. Ilustrace Jiří Růžička. Brno: Nová škola, 1997. ISBN 80-85607-54-9. ROSECKÁ, Z., ČUHAJOVÁ V. Aritmetika: učebnice pro 7. ročník. Ilustrace Jiří Růžička. Brno: Nová škola, 1998. ISBN 80-85607-74-3 106

ROSECKÁ,

Z. Algebra:

učebnice

pro

8.

ročník.

Brno:

Nová

škola,

2010.

Brno:

Nová

škola,

2000.

ISBN 80-85607-92-1. ROSECKÁ,

Z.

Algebra:

učebnice

pro

9.

ročník.

ISBN 80-7289-024-7 RÝDL, K. Inovace školských systémů. Vyd. 1. Praha: Nakladatelství ISV, 2003. ISBN 8086642178. VÁŇOVÁ, M. Vzdělávací systémy ve vyspělých evropských zemích: výstup stěžejního úkolu PedF UK v Praze. 1. vyd. Praha: Karolinum, 1994. ISBN 8070668482 VOŠICKÝ, Z., LANK V., VONDRA M. Matematika a fyzika: matematika, cvičení z matematiky, fyzika. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 2007. ISBN 978-80-253-0523-2. WALTEROVÁ, E. Kurikulum: proměny a trendy v mezinárodní perspektivě. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1994. ISBN 8021008466.

Elektronické zdroje About us. GOV.UK [online]. United Kingdom: Government UK [cit. 2016-04-21]. Dostupné z: https://www.gov.uk/government/organisations/department-for-education/about

BALADOVÁ, G. Výuka metodou CLIL. In: Metodický portál: inspirace a zkušenosti učitelů [online]. Praha: Národním ústavem pro vzdělávání, poradenským zařízením a zařízením pro další vzdělávání pedagogických pracovníků, 2012 [cit. 2016-06-09]. Dostupné z: http://clanky.rvp.cz/clanek/o/z/2965/vyuka-metodou-clil.html/ Citáty o škole. Citáty slavných osobností [online]. [cit. 2016-06-13]. Dostupné z: http://citaty.net/citaty-o-skole/

107

Dostupné typy grafů. Office [online]. Office, 2016 [cit. 2016-04-08]. Dostupné z: https://support.office.com/cs-cz/article/Dostupn%C3%A9-typy-graf%C5%AF-a6187218807e-4103-9e0a-27cdb19afb90#top KOCOURKOVÁ, Š., PASTOROVÁ M. Pojetí klíčových kompetencí v kurikulech vybraných zemí [online]. 1. vyd. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2011 [cit. 2016-04-25]. ISBN 978-80-87000-71-7. Dostupné z: file:///C:/Users/user/Desktop/Diplomka/Pojeti_klicovych_kompetenci_v_kurikulech_vybrany ch_zemi__web.pdf KOHOUT, V. Základní statistické pojmy. In: Fakulta pedagogická Západočeské univerzity v Plzni: Oddělení matematiky [online]. Plzeň, 2014 [cit. 2016-04-08]. Dostupné z: http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/letnisem/SS/stat10.pdf

Key Maths and the Framework for teaching mathematics [online]. United Kingdom: Nelson Thornes,

2001

[cit.

Dostupné

2016-04-27].

z:

http://fdslive.oup.com/www.oup.com/oxed/nt/kmks3_framework.pdf?region=international O nás. Nakladatelství Nová škola Brno [online]. Brno, 2013 [cit. 2016-04-27]. Dostupné z: http://www.novaskolabrno.eu/o-nas.aspx PARVEVA, T a kol. Matematické vzdělávání v Evropě: společná úskalí a politiky jednotlivých zemí[online]. Brusel: EACEA, 2011, 180 s. [cit. 2016-06-13]. ISBN 978-92Dostupné

9201-247-2.

z:

http://eacea.ec.europa.eu/education/eurydice/documents/thematic_reports/132CS.pdf PEJCHA, J. Komparace systémů hudebního vzdělávání v České republice a Velké Británii [online].

Brno,

2010

[cit.

2016-06-10].

Dostupné

z:

https://is.muni.cz/th/178595/ff_m/Diplomova_prace.pdf Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický

v

Praze,

2007.

126

s.

[cit.

2016-04-13].

Dostupné

WWW:. 108

z

The national curriculum in England: Key stages 3 and 4 framework document [online]. Department

for

education,

2014.

105

s.

[cit.

2016-04-20].

Dostupné

z:

https://www.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/381754/SECO NDARY_national_curriculum.pdf

SYNKOVÁ, Karolína. Funkce v matematice na střední škole [online]. Brno, 2015 [cit. 201604-07]. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/371642/pedf_m/

109

SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 1: Rozhodovací schéma pro tvorbu typu grafu ............................................. 18 Obrázek 3: Struktura vzdělávacího systému v Anglii k roku 2008/2009 .................... 25 Obrázek 4: Čtyři klíčové fáze podle národního kurikula ............................................ 28 Obrázek 5: Přehled vyučovacích předmětů v Anglických školách ............................. 29 Obrázek 6: Řešení příkladu 1 .................................................................................... 38 Obrázek 7: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 17 ........................... 58 Obrázek 8: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 19 ........................... 59 Obrázek 9: Ceny benzínu v Evropě v r. 1997............................................................. 69 Obrázek 10: Procentové diagramy ............................................................................. 76 Obrázek 11: Ukázka vyplnění tabulky k příkladu 1 ................................................... 84 Obrázek 12: Ukázka sestrojení grafu závislosti mil na km ......................................... 86 Obrázek 13: Ukázka řešení druhého příkladu ............................................................ 88 Obrázek 14: Ukázka nalezení předpisu funkce 𝑓 a 𝑔 ................................................. 89 Obrázek 15: Ukázka nalezení souřadnic průsečíku .................................................... 89 Obrázek 16: Ukázka vyplnění tabulky u příkladu 3 ................................................... 91 Obrázek 17: Ukázky sestrojení sloupcového grafu .................................................... 92 Obrázek 18: Způsob řešení grafu A u příkladu 4........................................................ 95 Obrázek 19: Způsob řešení grafu B u příkladu 4 ........................................................ 95 Obrázek 20: Správné odpovědi žáka u příkladu 5 .................................................... 101

110

SEZNAM GRAFŮ Graf 1: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 = 0) ....................................................................6 Graf 2: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0) ....................................................................6 Graf 3: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0) ....................................................................7 Graf 4: Graf přímé úměrnosti ......................................................................................8 Graf 5: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0) ..............................................................9 Graf 6: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0) ............................................................ 10 Graf 7: Změna grafu funkce 𝑦 = 𝑎𝑥2 v závislosti na změně koeficientu 𝑎................. 11 Graf 8: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑚2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑚 ........... 11 Graf 9: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑚2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑛 ............ 12 Graf 10: Bodový graf závislosti naměřené teploty na čase ......................................... 13 Graf 11: Sloupcový graf ukazující počet dětí v rodinách............................................ 14 Graf 12: Koláčový graf ukazující počet položek prodaných během oběda ................. 15 Graf 13: Prstencový graf ukazující počet položek prodaných v době oběda ............... 15 Graf 14: Spojnicový graf průměrné mzdy v ČR k 5. 6. 2015......................................16 Graf 15: Graf k příkladu 2 ......................................................................................... 39 Graf 16: Graf k příkladu 3 ......................................................................................... 40 Graf 17: Graf konstantních funkcí k příkladu 4 .......................................................... 42 Graf 18: Graf závislosti liber na mílích ......................................................................44 Graf 19: Graf funkce y = 3x ...................................................................................... 46 Graf 20: Graf závislosti ceny na hmotnosti ................................................................ 47 Graf 21: Grafy lineárních funkcí k příkladu 10 .......................................................... 48 Graf 22: Grafy lineárních funkcí k příkladu 11 .......................................................... 49 Graf 23: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = 𝑥 + 1 ...................................................................51 Graf 24: Graf funkce 𝑦 = 3𝑥 a graf funkce 𝑦 =? ....................................................... 53 Graf 25: Graf funkce 𝑦 = 2𝑥 + 1 .............................................................................. 54 Graf 26: Graf funkce 𝑦 = −2𝑥 + 1 ........................................................................... 55 Graf 27: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2 na množině ℝ ......................................................... 55 Graf 28:Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2 ................................................................................. 55 Graf 29: Graf závislosti liber na frankách ..................................................................61 Graf 30: Graf zobrazující Paulovu cestu do školy ...................................................... 62 Graf 31: Způsob dopravy třídy 7M do školy .............................................................. 64 Graf 32: Nejoblíbenější barva žáků třídy 7M ............................................................. 65 111

Graf 33: Sloupcový graf A k příkladu 27 ...................................................................68 Graf 34: Sloupcový graf B k příkladu 27 ...................................................................68 Graf 35: Sloupcový graf vyjádřený procenty ............................................................. 70 Graf 36: Průměrná měsíční mzda v r. 1997 ................................................................ 70 Graf 37: Graf sloupcový svislý k příkladu 30 ............................................................ 71 Graf 38: Graf sloupcový vodorovný k příkladu 30 ..................................................... 72 Graf 39: Koláčový graf zobrazující, jak žáci 7D obědvají .......................................... 73 Graf 40: Graf prezentující způsob obědu žáků ........................................................... 76 Graf 41: Grafy rozloh pozemků ................................................................................. 77 Graf 42: Podíl jednotlivých materiálů na obalech ...................................................... 77 Graf 43: Měsíční výdaje domácnosti ......................................................................... 78 Graf 44: Počet soukromých podnikatelů v jednotlivých krajích ................................. 79 Graf 45: Úspěšnost při vyplnění tabulky u příkladu 1 ................................................ 85 Graf 46: Úspěšnost sestrojení grafu u příkladu 1 ....................................................... 85 Graf 47: Odpovědi na otázku: Co je grafem funkce? ................................................. 86 Graf 48: Odpovědi na otázku: Jak zmíněnou funkci nazýváme? ................................ 87 Graf 49: Úspěšnost řešení příkladu 1 ......................................................................... 87 Graf 50: Úspěšnost řešení příkladu 2 ......................................................................... 90 Graf 51: Úspěšnost vyplnění tabulky u příkladu 3 ..................................................... 90 Graf 52: Úspěšnost určení nejpočetnějšího intervalu u příkladu 3 .............................. 91 Graf 53: Úspěšnost sestrojení sloupcového grafu u příkladu 3 ...................................92 Graf 54: Úspěšnost při řešení příkladu 3 .................................................................... 93 Graf 55: Úspěšnost přiřazení situace ke grafu u příkladu 4 ........................................ 93 Graf 56: Úspěšnost řešení příkladu 4 ......................................................................... 96 Graf 57: Úspěšnost řešení otázky a) příkladu 5 .......................................................... 97 Graf 58: Úspěšnost řešení otázky b1) příkladu 5 ........................................................ 98 Graf 59: Úspěšnost řešení otázky b2) příkladu 5 ........................................................ 98 Graf 60: Úspěšnost řešení otázky c) příkladu 5 .......................................................... 99 Graf 61: Úspěšnost řešení otázky d) příkladu 5 .......................................................... 99 Graf 62: Úspěšnost řešení otázky e) příkladu 5 ........................................................ 100 Graf 63: Úspěšnost řešení otázky f) příkladu 5 ........................................................ 100 Graf 64: Graf vyjadřující práci s anglickým jazykem .............................................. 101

112

SEZNAM TABULEK Tabulka 1: Systém třídění žáků podle věku vždy k 1. září věku dítěte........................ 27 Tabulka 2: Řada učebnic matematiky Nová škola Brno ............................................. 34

113

SEZNAM ZKRATEK aj.

a jiné

apod.

a podobně

atd.

a tak dále

mj.

mimo jiné

např.

například

resp.

respektive

RVP

Rámcový vzdělávací program

RVP ZV

Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání

tj.

tj

ZŠ

základní škola

CLIL

Content and Language Integrated Learning, tj. obsahově a jazykově integrované učení

Y7

Year 7

Y8

Year 8

Y9

Year 9

ČR

Česká republika

MŠMT

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

114

SEZNAM PŘÍLOH Příloha č. 1: Soubor testových úloh Příloha č. 2: Ukázka řešení první úlohy Příloha č. 3: Ukázka řešení druhé úlohy Příloha č. 4: Ukázka řešení třetí úlohy Příloha č. 5: Ukázka řešení čtvrté úlohy Příloha č. 6: Ukázka řešení páté úlohy Příloha č. 7: Česko – anglický matematický slovníček k učivu o grafech Příloha č. 8: Ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989

115

Příloha č. 1 – soubor testových úloh Milí žáci, jsem studentkou posledního ročníku na vysoké škole. Obracím se na Vás s prosbou vyplnění následujícího krátkého šetření zaměřeného na porozumění grafům. Prosím Vás o vyplněné pěti příkladů, přičemž vyplnění je čistě anonymní. Přesto bych byla ráda, kdybyste mi pomohli a zkusili se chvilku nad příklady zamyslet. Pozorně si u každého příkladu přečtěte zadání a odpovídejte na všechny kladené otázky. Na vyplnění máte celou vyučovací hodinu (45 min). Pokud nebudete čemukoliv rozumět, přihlaste se. Předem Vám moc děkuji za vyplnění. Bc. Petra Machýčková 1. Příklad V Anglii používají lidé k označení vzdálenosti jednotku „míle“. George navštěvoval v Anglii různé památky a ušel celkem 5 mil, což je v našich délkových jednotkách vzdálenost 8 km. Kate ušla po památkách v Anglii 10 mil, což se u nás rovná vzdálenosti 16 km. Počet mil a) Vyplňte tabulku závislosti mil na km. Počet km b) Sestrojte graf této závislosti samostatně na čistý bílý papír. Nezapomeňte označit všechny položky. c) Co je grafem této funkce? ____________________________________________ d) Jak zmíněnou funkci nazýváme? _______________________________________ 2. Příklad Před sebou vidíte dva grafy lineárních funkcí, 𝒇 a 𝒈. a) Napiš předpis červené funkce 𝑓: ________________________________________ b) Napiš předpis zelené funkce 𝑔: _________________________________________ c) Grafy znázorněných lineárních funkcí se protínají v bodě P. Jaké souřadnice má bod P? Souřadnice

bodu

P

výpočtem.

Výpočet

zjistěte napište

na čistý papír a zaznačte bod P i jeho souřadnice do grafu.

3. Příklad Ve třídě 9. B si žáci měřili rozpětí paží od špičky prstu levé ruky po špičku prstu pravé ruky. Hodnoty jednotlivých měření v centimetrech jsou tyto: 132 138 142 123

129 136 143 131

147 144 140 135

127 143 137 135

128 133 148 130

124 141 136 140

134 139 146 138

139 130 151 133

c) Vyplňte tabulku: Interval

Zařazení naměřené hodnoty do příslušného

(cm)

intervalu

Celkový počet naměřených hodnot v intervalu

120 - 124 125 - 129 130 - 134 135 - 139 140 - 144 145 - 149 150 - 154

Celkem:_____ d) Vytvořte sloupcové grafy, které vyjadřují kolik žáků s rozpětím svých paží se vyskytuje v daném intervalu. e) Který interval je zastoupen ve třídě největším počtem žáků? ____________

Délka rozpažení u žáků 9. B

4. Příklad Na vyznačené místo na začátku věty napište písmeno A (graf A) nebo písmeno B (graf B) podle toho, kterou situaci který graf označuje. _____ Manažer prodeje automobilů se snaží dokázat jednomu ze svých zaměstnanců, že prodej aut daného zaměstnance nevrůstá v jednotlivých měsících dostatečně rychle. ______Prodejce (zaměstnanec) se naopak snaží manažerovi dokázat, že prodej v jednotlivých měsících dostatečně vzrůstá. A)

B)

Reprezentují grafy stejné informace? (Zakroužkuj ANO nebo NE a napiš, proč si to myslíš.) ANO … proč? _______________________________________________________________ NE … proč? ________________________________________________________________

5. Příklad

The graph shows Paul´s journey from home to school. a) Paul started by walking. How long did he walk? _____________________________ b) Paul stopped at a shop to buy a pen. (1) How does this show on the graph? __________________________________________________________________ (2) How long did Paul stop? ______________________________________________ c) Paul was late and started to run. How long did he run? _________________________ d) How long did Paul´s journey take altogether? ________________________________ e) If he left home at 8:05 am, what time did Paul arrive at school? __________________ f) How far does Paul travel to school? ________________________________________ Úloha číslo 5 byla formulována v anglickém jazyce. Zakroužkujte jednu z následujících možností, která nejlépe vyjadřuje Vaši situaci při řešení úlohy č. 5: a) Umím anglicky a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka do českého jazyka s porozuměním. Zadání jsem rozuměl a úlohu jsem mohl řešit. b) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka jen částečně. Zadání úlohy jsem ale porozuměl a úlohu jsem řešil. c) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka jen částečně. Nedostatečné znalosti anglického jazyka způsobily, že jsem nerozuměl zadání úlohy a úlohu jsem nemohl vyřešit.

Příloha č. 2 – Ukázka řešení první úlohy

Příloha č. 3 – Ukázka řešení druhé úlohy

Příloha č. 4 - Ukázka řešení třetí úlohy

Příloha č. 5 - Ukázka řešení čtvrté úlohy

Příloha č. 6 - Ukázka řešení páté úlohy

Příloha č. 7 – Česko – anglický matematický slovníček k učivu o grafech

bod

point

čísla opačná

number patterns

definiční obor

domain

funkce

function

graf

graph

graf vyjadřující závislost

conversion graph

hodnota

value

klesající funkce

decreasing function

koláčový diagram

pie - chart

konstantní funkce

constant function

křivka

curve

kvadrant

quadrant

legenda (klíč)

key

lichá funkce

odd function

lineární funkce

linear function

mnoho řešení

many solutions

mřížka

grid

náleží

belongs

nemá řešení

non solutions

nepřímá úměrnost

inverse proportion

obecný tvar

general form

obor hodnot

range of values

osa x

axis x

osa y

axis y

počátek

origin

proměnná

variable

průsečík

point of intersection

předpis

rule

přímá úměrnost

direct proportion

rostoucí funkce

increasing function

rovnice

equation

rozptylový graf

scatter diagram

různoběžky

intersecting lines

sestrojit (graf)

plot

sloupcový graf

bar - chart

souřadnice

co-ordinates

soustava rovnic

simultaneous equations

sudá funkce

even function

určit, stanovit

determine

úměrnost

propotion

vzor

pattern

vzorec

formula

v rovině

in the plane

Příloha č. 8 – Ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989 (Kovaříček, Urbanovská, 1989)

ANOTACE Jméno a příjmení:

Petra Machýčková

Katedra:

Katedra matematiky

Vedoucí práce:

doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.

Rok obhajoby:

2016

Název práce:

Grafy na 2. stupni základních škol v českých a anglických učebnicích matematiky

Název v angličtině:

Graphs in lower secondary schools as presented in some Czech and English texbooks

Anotace práce:

Grafy,

z matematického

hlediska

používané

ke schematickému znázornění vztahů, postupů, závislostí nebo statistických údajů se staly problémovou oblastí matematiky. Uvedená diplomová práce uvádí základní grafy funkcí a statistické grafy a diagramy vyučující se na 2. stupni ZŠ České republiky. V práci je zároveň nastíněno fungování anglického školství, na jehož základě je postaveno srovnání české a anglické řady učebnic matematiky z pohledu učiva o grafech. Na základě srovnání dvou řad učebnic, které obsahuje škálu příkladů a grafů z učebnic vytvořených v programech GeoGebra nebo Microsoft Excel, byl sestaven soubor testových úloh přejatých z anglických učebnic a zadán českým žákům devátých ročníků základních škol. U testových úloh byla zjišťována úspěšnost řešení a také postup řešení jednotlivých úloh.

Diplomová práce obsahuje také česko-

anglický slovník k tématu, který je možný využít při metodě CLIL ve vyučovacích hodinách matematiky. Klíčová slova:

Graf, graf funkce, funkce, graf lineární funkce, graf kvadratické funkce, statistické grafy, diagramy, anglické školství, reforma, kurikulum v Anglii, anglické učebnice, české učebnice, CLIL, RVP ZV, matematika a její aplikace, testové úlohy, základní škola

Anotace v angličtině:

Graphs, mathematical terms used for schematic representation of relationships, processes, dependencies or statistical data become problematic areas of mathematics. Those thesis presents the basic function graphs and statistical charts and diagrams teaching in secondary school. The thesis contains an English education, based on which is based the comparison of Czech and English series of textbooks of mathematics dealing with graphs. Based on the comparison of the two series of textbooks that contains variety of examples and graphs from textbooks created in GeoGebra or Microsoft Excel was compiled test tasks taken from English textbooks and entered the Czech pupils. In the test tasks was determined by the success of solutions and process solutions to

individual

problems.

The

thesis

contains

also

a Czech-English dictionary on the topic, which can be used in CLIL lessons in mathematics. Klíčová slova v angličtině:

Graph, Graph of function, Function, Graph linear functions, Graph quadratic functions, Statistical graphs, Diagrams, English education, reform, Curriculum in England, English textbooks, Czech textbooks, CLIL, RVP ZV, Mathematics and its applications, Quiz questions, Secondary education

Přílohy vázané v práci:

Příloha č. 1 – Soubor testových úloh Příloha č. 2 – Ukázka řešení první úlohy Příloha č. 3 – Ukázka řešení druhé úlohy Příloha č. 4 – Ukázka řešení třetí úlohy Příloha č. 5 – Ukázka řešení čtvrté úlohy Příloha č. 6 – Ukázka řešení páté úlohy Příloha č. 7 – Česko – anglický matematický slovník k učivu o grafech Příloha č. 8: Ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989

Rozsah práce:

115 s.

Jazyk práce:

Český

Grafy na 2. stupni základních škol v českých a anglických učebnicích matematiky

Recommend Documents