Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Oddělení celoživotního vzdělávání
Závěrečná práce
Kapitánské úlohy v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ
Vypracovala: Mgr. Hana Andresová Vedoucí práce: doc. PhDr. Alena Hošpesová, Ph.D. České Budějovice 2016
Prohlášení Prohlašuji, že svoji závěrečnou práci jsem vypracoval samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených v seznamu citované literatury. Prohlašuji, že v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své závěrečné práce, a to v nezkrácené podobě elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na odhalování plagiátů.
České Budějovice, červen 2016
Mgr. Hana Andresová …………………………………………
2
Poděkování Děkuji doc. PhDr. Aleně Hošpesové, Ph.D., vedoucí mé závěrečné práce, za odborné vedení mé práce a rady při tvorbě závěrečné práce. Dále bych chtěla poděkovat všem žákům třetích a pátých tříd ze ZŠ Bílovice nad Svitavou, kteří se účastnili řešení úloh, které byly součástí praktické části závěrečné práce.
3
Anotace Závěrečná práce se zabývá netradičními slovními úlohami v hodinách matematiky na prvním stupni základní školy, zejména kapitánskými úlohami. Cílem této práce je poukázat na důležitost vedení žáků již na prvním stupni ZŠ k tomu, že matematické úlohy nemusí mít vždy číselné řešení. Řešením úlohy může být i sousloví nelze určit. Práce je rozdělena na dvě části. První část je část teoretická, která obsahuje teoretické vysvětlení a shrnutí typů slovních úloh. Druhá část je část praktická, obsahující výzkumné šetření řešení kapitánských úloh žáky třetích a pátých tříd základní školy.
Klíčová slova: slovní úloha, děle ní slovních úloh, úskalí při řešení úloh, řešení slov ní úlohy, kapitánské úlohy, ne lze určit , nemá řešení
Abstract The final work deals with unconventional verbal tasks in mathematics lessons in primary schools, especially captain's tasks. The aim of this work is to highlight the importance of keeping pupils at the primary school that math problems may not always have the numerical solution. The solution the job can be a phrase can not be determined. The work is divided into two parts. The first part is a theoretical part, which includes theoretical explanation and summary of the types of word problems. The second part is the practical part, including research survey solutions captain roles pupils third and fifth classes of primary school.
Key words: verbal task division word problems , difficulty solving problems , solving word problems , the captain's role can not be determined , no solution
4
Obsah 1
Úvod ................................................................................................................. 7
2
Teoretická část .................................................................................................. 8 2.1
Slovní úloha ................................................................................................ 8
2.2
Funkce slovní úlohy .................................................................................... 9
2.3
Dělení slovních úloh ................................................................................. 10
2.4
Fáze řešení slovní úlohy ............................................................................ 11
2.5
Úskalí řešení slovních úloh ....................................................................... 12
2.6
Nestandardní slovní úlohy ........................................................................ 14
2.6.1
Úlohy s antisignálem ......................................................................... 14
2.6.2
Kombinatorické úlohy ....................................................................... 15
2.6.3
Úlohy proti toku času ........................................................................ 16
2.7
2.7.1
Nedourčené kapitánské úlohy ........................................................... 17
2.7.2
Přeurčené kapitánské úlohy .............................................................. 17
2.8 3
Kapitánské úlohy ...................................................................................... 16
Nestandardní úlohy v RVP ZV ................................................................... 18
Praktická část .................................................................................................. 20 3.1
Cíle a výzkumné otázky ............................................................................ 20
3.2
Výzkumný vzorek ..................................................................................... 21
3.3
Zadání a výsledky výzkumného šetření ..................................................... 22
3.3.1
Zadání kapitánských úloh užitých ve výzkumném šetření .................. 22
3.3.2
Slovní úlohy přeurčené ...................................................................... 23
3.3.3
Slovní úlohy nedourčené ................................................................... 28
3.3.4
Výsledky výzkumného šetření vs. očekávané výstupy RVP ZV ............ 32
5
4
Závěr ............................................................................................................... 34
5
Seznam použitých zdrojů ................................................................................. 36
6
Přílohy ............................................................................................................. 38
6
1 Úvod Téma mé závěrečné práce jsem si vybrala na základě mých osobních zkušeností ze školního prostředí. Z pohledu žáka i učitele považuji slovní úlohy za jednu z nejméně oblíbených oblastí matematiky. Slovní úlohy kladou na svého řešitele vysoké nároky – musí se ovládat příslušné matematické operace, ale zároveň se musí orientovat v zadání úlohy. Já sama se při výuce matematiky snažím žákům ukázat, že slovních úloh není potřeba se bát. Ale zároveň jim chci poskytnout zajímavé a netradiční podněty, které je nutí do hloubky se zamyslet nad zadáním příkladů, úloh atp. Za jeden z takových podnětů považuji i kapitánské úlohy. Mnozí mí kolegové se podobným úlohám vyhýbají, protože je považují za zbytečné a pro žáky na prvním stupni dokonce nevhodné. Já se však domnívám, že právě žákům v mladším školním věku mohou ukázat správnou cestu při řešení slovních úloh. V této práci bych ráda vytvořila přehled typů netradičních slovních úloh, představila kapitánské úlohy a pokusila se srovnat, jak úlohy řeší žáci na konci prvního a druhého období 1. stupně základní školy.
7
2 Teoretická část Cílem teoretické části této závěrečné práce je vymezit základní pojmy, které se dotýkají problematiky slovních úloh. Hlavní důraz je kladen na kapitánské úlohy a jejich typy.
2.1 Slovní úloha Pojem „slovní úloha“ nemá jednotnou definici, autoři odborných publikací se v definicích velmi odlišují. Malinová (1983, s. 101) definuje slovní úlohu takto: „Slovní úlohou rozumíme obvykle úlohy aritmetické, algebraické nebo geometrické, formulované slovy nebo úlohy z praxe, jejichž řešení vyžaduje řešení aritmetické nebo algebraické či geometrické úlohy. Podle toho tzv. slovní úlohy dělíme v podstatě do dvou skupin. První skupinu tvoří úlohy matematické, které jsou vysloveny s minimálním použitím matematických symbolů, (…) Druhou skupinu tvoří úlohy, jejichž náměty jsou vzaty ze života, text popisuje nějakou reálnou situaci a vyúsťuje v nějaký reálný problém. Vyřešit předložený problém je možno opět v realitě nebo početně.“ Kuřina (1990, s. 61) charakterizuje slovní úlohu jako úlohu, „(…) ve které je obvykle popsána určitá reálná situace (např. s ekonomickou přírodní, fyzikální, společenskou a jinou tematikou) a úkolem řešitele je najít odpovědi na položené otázky.“ Novák a Stopenová (1993, s. 5) vymezují obecně matematickou úlohu jako „(…) zadání či situaci, podněcující řešitele (žáka) k uvědomělé činnosti, která směřuje k dosažení stanoveného cíle.“ Slovní úlohu potom chápou jako specifickou formu matematické úlohy. „Úlohy, jejichž předmětovou komponentu tvoří reálné objekty z nematematické oblasti, z životní praxe, popisující reálnou situaci, se označují jako slovní úlohy. Jednotlivé komponenty úlohy jsou formulovány v přirozeném jazyce, slovy, nikoliv matematickou symbolikou. Slovy jsou tedy vyjádřeny vztahy mezi podmínkami úlohy, tj. zadanými údaji, a otázkou úlohy, v níž je obsažen požadavek na řešení.“ 8
(Novák, Stopenová 1993, s. 13) Hejný (2003, s. 3) klade důraz na životní zkušenost a slovní úlohu vymezuje takto: „Termínom slovná úloha rozumieme matematickú úlohu, ktorá vyžaduje jazykové porozumenie a presah do životnej skúsenosti.“ Slovní úlohy jsou verbálně formulované matematické problémy. Jejich řešení je jednou z nejobtížnějších partií učiva matematiky na 1. stupni ZŠ. Řešení slovních úloh vyžaduje do značné míry abstraktní myšlení, které se na prvním stupni ZŠ teprve rozvíjí. Jedním z hlavních problémů při řešení slovních úloh je pochopení textu úlohy a následné přeložení reálné situace vyjádřené běžným jazykem do jazyka matematického vyučování. (Hošpesová, 2002, str. 39) Domnívám se, že slovní úlohu lze tedy chápat jako text, který verbálně popisuje představitelnou situaci a formuluje otázku, na kterou je možné na základě podaných informací, životních zkušeností a matematických metod odpovědět.
2.2 Funkce slovní úlohy Slovní úloha zejména převádí matematiku do života, do představitelných a známých situací a nutí řešitele, především pomocí matematických metod, jednotlivé situace řešit. Domnívám se, že jednou z hlavních funkcí slovních úloh je funkce motivační. Žáci mohou být pomocí zajímavého příběhu slovní úlohy vtaženi do děje a díky příběhu mohou mít velký zájem o vyřešení úlohy. Najednou nemají pocit, že jen neustále dokola počítají tytéž příklady (např. sloupečky příkladů v učebnici nebo pracovním sešitě). Tato funkce může být splněna pouze za předpokladu, že slovní úloha žáky zaujme. Další funkce slovní úlohy je práce s textem a s informacemi, tedy rozvoj čtenářské gramotnosti. Pokud žák usiluje o vyřešení slovní úlohy, musí tuto úlohu nejdříve pochopit. Toto pochopení spočívá v tom, aby žák uměl roztřídit informace z textu slovní úlohy na důležité a nedůležité (nadbytečné). Aby byl žák takového rozlišení schopen, je třeba nabízet žákům různé typy slovních úloh.
9
V neposlední řadě mají slovní úlohy funkci aplikační. Teoretické vědomosti, které žáci získali v hodinách matematiky nebo jiného vyučovaného předmětu, mohou nyní použít v praktické rovině. Mimo výše uvedené funkce je nezbytné zmínit i funkci komunikační – žáci jsou při řešení úlohy vedeni k vyjádření svého názoru, jeho obhájení a také k vyslechnutí názoru jiných.
2.3 Dělení slovních úloh Existuje velmi mnoho kritérií, podle kterých můžeme slovní úlohy rozdělit. Novák a Stopenová (1993, s. 9-18) rozdělují matematické úlohy (lze použít i na úlohy slovní) následovně: 1. podle matematického obsahu úlohy – aritmetické, algebraické, geometrické; 2. podle náročnosti na myšlenkové operace řešitele – vyžadující pamětní reprodukci (fakta, definice); 3. vyžadující jednoduché myšlenkové operace (jednoduché výpočty); 4. vyžadující složitější matematické operace (zdůvodnění); 5. vyžadující tvořivé myšlení (objevování na základně vlastních úvah); 6. podle způsobu jazykového vyjádření (úlohy zadané formou pokynu formulované větou rozkazovací, formou dotazu - formulované větou tázací); 7. podle charakteru požadavků na řešení (úlohy určovací, existenční, důkazové); 8. podle rozdělení na úlohy jednoduché a složené (podle počtu početních operací nutných k řešení).
Nejčastěji používané rozdělení slovních úloh je podle jejich kontextu – tedy podle obsahu a metod řešení.
10
2.4 Fáze řešení slovní úlohy Z definic uvedených v předchozí kapitole, vyplývá, že slovní úlohy jsou zadány slovní formulací matematické úlohy. Pro správné řešení úlohy musí řešitel jednoznačné rozlišit známé a hledané informace. Poté následuje přepis těchto informací do odpovídajících matematických operací. Vyřešením těchto operací získáme výsledek, který je nutno zakomponovat do slovní formulace jako odpověď na otázku či úkol, který řešiteli slovní úloha dává. V odborné literatuře lze nalézt mnoho rozdělení procesu řešení slovní úlohy. (Hošpesová, 2002, str. 39) rozděluje činnosti na pět fází: 1. Seznámení s úlohovou situací a její rozbor 2. Vytvoření matematického modelu slovní úlohy 3. Řešení matematického modelu situace 4. Kontrola 5. Interpretace výsledků Podrobněji tento proces rozebírá Hejný a Stehlíková (Praha, 1999: str. 39 - 51): 1. Tvorba kontextového prostředí - řešitel se snaží zorientovat v nové úloze, zamýšlí se nad tím, čeho se úloha týká 2. Mobilizace nástrojů - řešitel uvažuje, zda se s podobnou slovní úlohou někdy setkal, hledá v paměti zkušenosti a znalosti, které by mohl využít při řešení. 3. Ohodnocování aktivních myšlenek- řešitel vybírá důležité a nedůležité myšlenky, zabývá se typem slovní úlohy. 4. Evidence, selekce a organizace objektů – řešitel se zabývá informacemi v zadání, tedy tím, co ví a co naopak musí zjistit 5. Přechod k jazyku znaků – řešitel převádí informace z textu do symbolů a znaků. 6. Nabytí vhledu do souboru znaků – nejdůležitější etapa, řešitel zaznamenává vztahy mezi symboly. 7. Zapsání souboru vztahů v jazyce znaků.
11
Blažková, Matoušková, Vaňurová (2002, s. 4) uvádějí, že postup při řešení slovních úloh lze vyjádřit ve třech krocích: matematizace slovní úlohy, řešení matematické úlohy, konfrontace výsledku matematické úlohy se zadáním slovní úlohy.
Jednotlivé fáze řešení slovní úlohy samozřejmě nejsou jasně ohraničené, vzájemně se prolínají a řešitel se mnohdy vrací ke krokům předchozím. Pokud se podrobněji podíváme na jednotlivé fáze řešení slovní úlohy, můžeme je rozebrat následovně (při použití 5ti fázového modelu dle Hošpesové (Hošpesová, 2002, str. 39) : ad.1. V této fázi je nutné, aby si žák slovní úlohu několikrát přečetl, pokusil se abstrahovat věcnou stránku problému a nalézt vztahy mezi údaji a otázkou. ad.2. Tato fáze je nejdůležitějším a myšlenkově nejnáročnějším okamžikem řešení slovní úlohy. Ve škole se žák učí spíše hledat typ slovní úlohy, v kterém by mohl uplatnit nacvičený postup, než vhodné matematické vyjádření vztahů v úloze. Problém nastává při řešení nestandardních typů úloh. ad.3. S touto fází nemají žáci velké problémy, protože potřebné výpočty mají žáci již nacvičené. ad.4. Kontrolu bychom neměli omezovat pouze na kontrolu správnosti výpočtu. Měli bychom kontrolovat i správnost matematického vyjádření. (konfrontace zadání a výsledku a následné zvážení, zda je výsledek možný). ad.5. Nečiní žákům větší potíže, protože žák se vrací k již známé úloze a formuluje odpověď, popř. další úlohy podle podobného schématu.
2.5 Úskalí řešení slovních úloh Slovní úlohy jsou jednou z nejtěžších oblastí matematiky. Kladou na žáky veliké nároky – musejí chápat probíranou látku, ovládat způsob řešení příkladu a navíc se i orientovat v textu a umět z něj získat všechny důležité informace. 12
V odborné literatuře se touto problematikou zabývá například Rendl, Vondrová a kol. (2013, s. 50), kteří vystihují slovní úlohy jako tradiční těžkou oblast matematiky a podle výsledků dotazovaných učitelů shrnují nejčastější problémy, se kterými je možno se v praxi setkat. Jako první problém slovních úloh spatřují již jejich podání v učebnicích matematiky. Slovní úlohy jsou vesměs zadávány stejným způsobem, mají nízkou variabilitu a s tím souvisí i skutečnost, že žáci se na jejich řešení málo soustředí. Dochází pak k tomu, že žák jen vyhledává čísla a výrazy, která s matematickými operacemi souvisí - např. méně, více, dohromady apod. Žáci velmi často považují slovní úlohy za nudné, neboť se opakují stále ta stejná zadání. Žák pak ztrácí motivaci k jejímu řešení. Učitelé oproti tomu spatřují nejčastější příčiny neúspěchu v (ne)porozumění textu, nesrozumitelnosti (pro žáky) některých slov v zadání úlohy, neschopnost žáků vybrat z informací v textu ty, které jsou pro daný problém potřebné. Značná část učitelů si těchto signálů o problémech pozorně všímá a snaží se na nich aktivně pracovat. Základem je motivace dětí k činnosti, může se jednat o nějakou formu odměny za splněný úkol či soutěž, o dramatizaci, názornou ukázku, manipulaci s věcmi apod. K výběru informací se často používá postupné zkracování textu, podtrhávání důležitých informací, zdůrazňování podstatných částí (Rendl, Vondrová a kol., 2013). Může se také stát, že žák si najde svoji vlastní cestu řešení slovní úlohy. Na straně učitele se však setká s nepochopením, protože učitel vyžaduje svoji striktně danou strategii řešení. Hejný a Kuřina (2001, s. 146) ve své publikaci uvádí tento typ postojové strategie učitele. Takový učitel svoji výuku chápe jako práci, při které žákům předává informace a přesné postupy, které si žáci musí osvojit. Vše, co se odlišuje od učitelem uvedeného přesného postupu, je nežádoucí. Tím tento učitel potlačuje nápaditost žáků a jejich schopnost nalézat něco nového. Vede své žáky jen k tomu, aby říkali to, co chce slyšet, odmítá jiná řešení i nápady.
13
2.6 Nestandardní slovní úlohy Kategorii nestandardních slovních úloh se soustředěně věnuje práce V. Babákové (Babáková, 2007). Autorka zde definuje nestandardní úlohy jako takové úlohy, „(…) jejichž řešení do značné míry nezávisí na obvyklých postupech užívaných na našich školách. Vyžadují určitou míru rozumové vyspělosti žáků a také schopnost logického uvažování a tvůrčího myšlení. Cílem zařazení nestandardních úloh do vyučování je podporovat a rozvíjet logické myšlení a schopnost aplikovat osvojené matematické dovednosti.“ (Babáková 2007, s. 11, 12) Mezi nestandardní slovní úlohy jsou zařazeny slovní úlohy s antisignálem, úlohy proti toku času, úlohy kombinatorického typu a kapitánské slovní úlohy. V následujících podkapitolách se zmíním o některých typech nestandardních slovních úloh. Kapitánským slovním úlohám se budu věnovat podrobněji.
2.6.1 Úlohy s antisignálem Signály jsou běžnou součástí každodenního života, může se jednat o gesta, dopravní značky, označení různých míst apod. Také v matematice nám mohou signály mnohdy zjednodušovat proces řešení úloh. Jejich účinnost však závisí na tom, jak ukotvené jsou znalosti žáků a jak se svými znalostmi dokáží účinně pracovat. Pokud jsou žáci vedeni k používání signálů mechanicky, často se mohou stát záludným ukazatelem toho, jak povrchní a neukotvené znalosti žáků jsou a to především, když je v úloze použit antisignál. Antisignál chápe M. Hejný jako „(…) záludný signál, kde danému slovu neodpovídá jeho běžná operace, ale právě operace opačná, (…)“ (Hejný, Kuřina 2009 s. 159). Příklad úlohy se signálem: Tom nasbíral 3 kg třešní. Dan nasbíral o 2 kg třešní více. Kolik kg třešní nasbíral Dan?
14
Signální slovo „více“ vede řešitele k použití matematické operace sčítání a tak tomu také v této úloze je. Úloha se tedy dá označit za úlohu signální, protože použitý signál odpovídá operaci, pomocí které se úloha řeší. Příklad úlohy s antisignálem: Tom nasbíral 3 kg třešní a to je o 2 kg více než nasbíral Ivoš. Kolik kg třešní nasbíral Ivoš? Tato úloha je velice podobná úloze předchozí. Pokud žáci pracují se signálními slovy mechanicky, tedy dle schématu „slyším více → budu sčítat“, dopustí se chybné úvahy. „…úlohy s antisignálem jsou spolehlivý diagnostický nástroj pro identifikaci formální znalosti žáka.“ (Hejný, Kuřina 2009, s. 35) Úlohy s antisignálem pomáhají ověřit, zda u žáka nedochází k vytváření formalismů a zda je schopen plného porozumění úloze i v případě, že se v ní objeví signální slovo v roli antisignálu.
2.6.2 Kombinatorické úlohy Úlohy kombinatorického typu, jsou takové úlohy, které se týkají počtu možností seskupení prvků určité množiny. Kombinatorické úlohy, které se objevují v učebnicích pro první stupeň se obvykle dají řešit výčtem hledaných možností. Po řešitelích vyžadují experimentální řešení, zpravidla formou grafického znázornění, nebo zápisu do tabulky. Úlohy kombinatorického typu se velmi často objevují v zadáních nejrůznějších matematických soutěží (např. Pythagoriáda, Matematický klokan apod.). Příklad úloh kombinatorického typu: Tonda, Ema, Viktor, Anna, Matěj a Emil chodí do kroužku tenisu. Kolik různých herních dvojic mohou vytvořit? Samozřejmě je možné kombinatorické úlohy různě obměňovat a zvyšovat počet možností, popřípadě kombinovat tři různé vlastnosti, prvky.
15
2.6.3 Úlohy proti toku času Slovní úlohy, kdy čas plyne opačně tedy z budoucnosti, či přítomnosti do minulosti, od známého k neznámému, spadají do kategorie úloh proti toku času. V úlohách proti toku času jsou na řešitele kladeny vyšší nároky, především ohledně porozumění textu a celkové orientace v úloze. Tento typ úloh nemůže být řešen mechanicky a vyžaduje skutečný vhled do úlohy a její komplexní pochopení. Řešitelům mohou ke správnému pochopení úlohy, která plyne proti toku času, dopomoci schématické ilustrace, díky kterým se lépe orientují v časových obrazech, tzv. pásmech. Příklad slovní úlohy proti toku času: Robinson se chystá k obědu. Na talíři má připraveno několik kusů ovoce. Ovoce sbíral při posledních dvou výpravách do pralesa. Při druhé výpravě nasbíral 7 kusů ovoce, což bylo o 3 kusy méně, než při první výpravě. Kolik kusů ovoce má Robinson na talíři? Obtížnost této úlohy spočívá také v tom, že řešitelé musí postupně vyřešit dvě neznámé. Nejprve řeší, kolik ovoce Robinson objevil na první výpravě a potom teprve součtem získávají celkový počet kusů ovoce.
2.7 Kapitánské úlohy Kapitánské úlohy jsou takové případy slovních úloh, ve kterých se ptáme na údaj, který je v zadání slovní úlohy přímo obsažen, nebo se v zadání vůbec nevyskytuje a nelze na základě podaných informací zjistit. Tyto úlohy opět pomáhají rozbourávat naučené mechanické postupy a nutí řešitele ke čtení zadání úlohy s porozuměním. Svůj název získaly podle úloh typu: „Na loď nastoupilo 25 osob. Na první zastávce vystoupilo 13 osob a nastoupilo 17 osob. Kolik let je kapitánovi?" Mezi kapitánské úlohy lze zařadit i zcela nesmyslné úlohy. Kapitánskými úlohami se zabývala ve své diplomové práci mimo jiné i J. Ulčová (1995). V této práci jsem našla značnou část zdrojů pro práci s kapitánskými úlohami ve výuce. 16
Kapitánské slovní úlohy můžeme členit na dvě skupiny - úlohy nedourčené (podurčené) a úlohy přeurčené.
2.7.1 Nedourčené kapitánské úlohy Nedourčené úlohy jsou nejčastější variantou kapitánských úloh. Jsou to takové úlohy, kde ačkoli zadání napovídá řešiteli určitý početní výkon, otázka ve slovní úloze nemůže být zodpovězena. Požadovaný údaj nelze z uvedených faktů nijak zjistit. Příklad nedourčené slovní úlohy: Petra na oslavu pozvala 3 kamarády, 5 kamarádek a příbuzné. Kolik lidí bylo na oslavě? Modifikace této úlohy dala podobným úlohám název „Kapitánské“. Příklad: Loď je 12m dlouhá a 5m široká. Jak starý je kapitán? Pokud budou žáci k řešení úloh přistupovat stereotypně, bez hlubšího prozkoumání, mohou se vydat nesprávnou cestou a jejich úvaha může vypadat například takto: „V úloze vidím dvě čísla, tak je sečtu a napíšu odpověď. Kapitánovi je 17 let.“ Kapitánské úlohy jsou dobrým prostředkem pro ověření kvality porozumění úloze. Současně jsou kapitánské úlohy výborným zpestřením, protože žáci, kteří princip kapitánské úlohy odhalí, mají radost, že k výsledku dospěli bez počítání a podobnou úlohu vnímají jako chyták.
2.7.2 Přeurčené kapitánské úlohy Přeurčené úlohy obsahují nadbytečné údaje, nebo se dokonce ptají na údaj, který je již zodpovězen v zadání, případně je velmi jednoduše zjistitelný (jednoduchou početní operací či úsudkem). Dá se říct, že položená otázka v tomto typu úlohy je do značné míry matoucí. Příklad přeurčené slovní úlohy: Na palubě lodi bylo 26 koz a 17 ovcí. Při bouři se utopily 3 ovce. Kolik zbylo na lodi koz? 17
Je patrné, že při porozumění zadání nemusí žák dále nic počítat. Odpověď na otázku vidí ihned v zadání. V případě, že žák zadání slovní úlohy nerozumí a tápe, jaké informace si v textu vybrat, zaměří se na číselné hodnoty a provede s nimi určitou matematickou operaci.
2.8 Nestandardní úlohy v RVP ZV Od září roku 2007 vešel v platnost dokument Rámcový vzdělávací program základního vzdělávání (dále jen RVP ZV). Pro vzdělávací oblast Matematika a její aplikace se v RVP ZV doporučuje soustředit se především na aktivní činnosti, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a také pro užití matematiky v reálném životě. Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři tematické okruhy: 1. Čísla a početní operace 2. Závislosti, vztahy a práce s daty 3. Geometrie v rovině a v prostoru 4. Nestandardní aplikační úlohy a problémy Je tedy patrné, že nestandardní slovní úlohy, ke kterým patří i kapitánské úlohy, by měly být nedílnou součástí hodin matematiky. „Smyslem zařazení tohoto tematického okruhu je ukázat žákům na řešení aplikačních úloh, pokud možno zábavnou formou, potřebnost matematiky pro řešení praktických problémů, její využitelnost v nejrůznějších oborech a životních situacích, rozvíjet u žáků logické myšlení, a tím nejen zvýšit zájem o matematiku u žáků s matematickým nadáním, ale také podchytit tento zájem u žáků prospěchově slabších. Tomu napomáhají i takové úlohy a problémy, jejichž řešení vyžaduje a rozvíjí logické uvažování a je více či méně nezávislé na znalostech školské matematiky. Náročnost úloh a problémů by měla samozřejmě odpovídat jednak rozumové vyspělosti žáků vzhledem k jejich věku, ale také individuálním
18
schopnostem jednotlivých žáků. Zařazování úloh s různou náročností významně napomáhá realizaci individuálního přístupu k žákům a dává možnost realizace i slabším žákům. Při rozpracování vzdělávacího obsahu tematického okruhu Nestandardní aplikační úlohy a problémy je třeba mít stále na paměti, že tyto úlohy a problémy by měly prolínat všemi tematickými okruhy a měly by být organicky zařazovány do výuky v průběhu celého základního vzdělávání.“ (Brant, Houska, 2005, www.rvp.cz/clanek/253)
S autorem textu rozhodně souhlasím. Součástí matematického vzdělání by neměly být jen strohé sloupečky příkladů a tradiční slovní úlohy, ale i úlohy, nad kterými se žák musí hlouběji zamyslet. A právě za takové úlohy považuji úlohy kapitánské.
19
3 Praktická část 3.1 Cíle a výzkumné otázky Pro výzkumné šetření jsem vybrala soubor šesti úloh, které patří mezi úlohy kapitánské. Mým cílem bylo zjistit, jak tyto úlohy řeší žáci různého věku. Sledovala jsem, jak žáci z různých tříd prvního stupně ZŠ (žáci třetí a páté třídy) dokáží vyřešit zadané úlohy, jak se umí zorientovat v zadání úlohy. Hlavním cílem výzkumné části bylo zjistit, zda jsou žáci prvního stupně základní školy schopni řešit Kapitánské slovní úlohy. Tedy takové slovní úlohy, které buď nemají řešení, nebo jejich řešení je obsaženo již v zadání úlohy.
K dosažení výše uvedeného cíle bylo nezbytné: -
stanovení vhodného výzkumného nástroje a jeho administrace
-
zpracování a rozbor získaných dat
-
zhodnocení výsledků
Pro výzkumnou část mé závěrečné práce jsem stanovila následující předpoklady: -
Žáci prvního stupně základní školy jsou schopni z textu slovní úlohy získat důležité informace.
-
Žáci vyššího ročníku jsou při řešení kapitánských úloh úspěšnější než žáci nižšího ročníku.
-
Žáci, kteří dosahují výborného prospěchu v matematice, řeší kapitánské úlohy lépe než žáci s prospěchem slabším.
-
Přeurčené úlohy jsou pro žáky snazší než úlohy nedourčené.
20
3.2 Výzkumný vzorek Výzkumné šetření jsem prováděla na Základní škole Bílovice nad Svitavou, kde také v letošním školním roce vyučuji. Základní škola Bílovice nad Svitavou je mimobrněnská základní škola. V současné době má první stupeň 15 tříd a druhý stupeň 7 tříd. Výzkumný vzorek tvořilo 32 žáků základní školy Bílovice nad Svitavou. 16 žáků bylo z třetího ročníku, zbývajících 16 žáků bylo z ročníku pátého. Jde o žáky ve věku 8-10 let a 10-13 let.
Zastoupení jednotlivých žáků udává tabulka:
třída
Počet
Počet
Počet
Pololetní hodnocení z matematiky
žáků
dívek
chlapců
1
2
3
4
5
3.A
16
6
10
14
2
0
0
0
5.A
16
10
6
9
5
2
0
0
Žáci ze třetího ročníku pracují v hodinách matematiky s učebnicovou řadou Matematika pro 3. ročník od nakladatelství Didaktis. Také mají k dispozici Početníček od stejného nakladatelství. Žáci pátého ročníku pracují s učebnicemi a pracovními sešity nakladatelství Alter. Hodinová dotace výuky matematiky je v obou ročnících pět vyučovacích hodin za týden. V obou třídách jsem vyučujícím matematiky já. Mám tedy velmi jasný přehled o tom, jaké typy úloh jsou žákům z výuky známé.
21
3.3 Zadání a výsledky výzkumného šetření Pro výzkumné šetření jsem ze sbírky nestandardních úloh (Babáková, 2007) vybrala sadu šesti kapitánských úloh. Polovina úloh byla nedourčených a druhá polovina byly úlohy přeurčené. Každý žák, který se výzkumného šetření účastnil, dostal k vyřešení jednu úlohu každého typu. Žáci, sedící vedle sebe, měli vždy jiné zadání. Žáci byli před rozdáním zadání upozorněni, že mají pracovat v tichosti, samostatně a také, že se na nic nemají vyučujícího ptát, neboť veškeré informace jsou již obsaženy v zadání. (Tato podmínka měla eliminovat, aby bystřejší žáci upozornili ostatní, že v úloze údaje vedoucí k výsledku/řešení chybí nebo jsou naopak již řečeny.) V každé třídě jsem věnovala výzkumnému šetření jednu vyučovací hodinu. Počátečních 10 – 15 minut měli žáci na samostatné řešení slovních úloh. Svá řešení zaznamenali přímo pod zadání úlohy. Lístky se svým řešením mi odevzdali. Zbývající část hodiny jsme věnovali rozboru jednotlivých úloh. Rychlost řešení byla v obou třídách srovnatelná – samozřejmě s přihlédnutím k tomu, že žáci pátého ročníku čtou rychleji než žáci třetího ročníku. Všichni žáci pracovali samostatně, u žádného z nich nedošlo k porušení předem řečených pravidel. Žádný žák také neodmítl úlohy řešit – nikdo řešení nevzdal.
3.3.1 Zadání kapitánských úloh užitých ve výzkumném šetření Jak jsem již uvedla v předchozí části práce, vybrala jsem pro výzkumné šetření vždy dvojici slovních úloh pro každého žáka. První úloha je kapitánskou úlohou přeurčenou, druhá úloha je kapitánskou úlohou nedourčenou. Jednotlivé dvojice označím jako PL1-PL. V závorce za slovní úlohou je uvedeno správné řešení.
22
PL1: 1. Na lodi je 60 pirátů. Každý třetí pirát má skleněné oko, každý čtvrtý má dřevěnou nohu. Zbytek pirátů má místo ruky železný hák. Kolik je na lodi pirátů dohromady? (60 pirátů) 2. Dědeček chová už od 23 let slepice. Už třikrát za tu dobu toho chtěl nechat. Má totiž ještě 150 prasat, které ho stojí také hodně času. Jak starý je dědeček? (nelze určit)
PL2: 1. Sedlák měl 17 ovcí. Všechny kromě 9 mu zahynuly. Kolik mu jich zůstalo? (zůstalo mu 9 ovcí) 2. Na lodi kapitána Noema bylo 8 slepic; 10 prasat; 2 kočky; 4 psi a 6 kuřat. Kolik ovcí bylo na lodi? (nelze určit)
PL3: 1. Jsi pilot letadla. Do letadla nastoupí 15 lidí, v Brně jich 6 vystoupí a v Košicích 6 nastoupí. Letadlo má 18 okének a rozpětí křídel je 16 m. Jak se jmenuje pilot letadla? (ty – napíšeš své jméno) 2. Loď je 15 m dlouhá a 6 m široká. Jak starý je kapitán? (nelze určit)
3.3.2 Slovní úlohy přeurčené Správné řešení těchto úloh velmi záleželo na tom, jak pozorně si žáci pročetli zadání slovní úlohy. V mnohých případech žáci zaměňovali slova v zadání a snažili se již vyřešený příklad řešit pomocí matematických operací (nejčastěji sčítání a odčítání). Úspěšnost žáků v jednotlivých ročnících podle zvoleného PL je uvedena v grafech (Graf 1., Graf 2.):
23
Přeurčené kapitánské úlohy - 3.A 7 6 5 4 3 2 1 0
PL1
PL2 Správně
PL3 Špatně
Graf 1. Úspěšnost řešení přeurčených úloh ve třídě 3.A
Přeurčené kapitánské úlohy - 5.A 7 6 5 4 3 2
1 0 PL1
PL2 Správně
PL3 Špatně
Graf 2. Úspěšnost řešení přeurčených úloh ve třídě 5.A
24
Jak je patrné z grafů, starší žáci byli v řešení tohoto typu úloh úspěšnější. Domnívám se, že do jisté míry je to způsobeno i mírou čtenářské gramotnosti, kdy starší žáci jsou schopni snadněji vnímat psaný text. Celková úspěšnost při řešení přeurčených slovních úloh v jednotlivých ročnících je znázorněna v grafu (Graf 3., Graf 4.).
Přeurčené kapitánské úlohy - 3.A
Správně
Špatně
Graf 3. Celková úspěšnost řešení přeurčených úloh ve třídě 3.A
Graf 4. Celková úspěšnost řešení přeurčených úloh ve třídě 5.A 25
Je zajímavé, že u chybujících žáků se velmi často objevovala snaha si ze zadání udělat stručný zápis a až následně hledat řešení úlohy. Jak je patrné z grafů, více než polovina žáků třetího ročníku a tři čtvrtiny žáků z pátého ročníku zvládlo správně vyřešit předurčenou slovní úlohu kapitánského typu. Mezi žáky, kteří správně vyřešili tento typ úlohy, byli nejen žáci s výborným prospěchem z matematice, ale i žáci s prospěchem chvalitebným. Žáci s dobrým prospěchem v matematice slovní úlohu správně nevyřešili. Podíváme-li se podrobněji na jednotlivé slovní úlohy, můžeme sledovat několik typů stále se opakujících chyb.
PL1 1. Na lodi je 60 pirátů. Každý třetí pirát má skleněné oko, každý čtvrtý má dřevěnou nohu. Zbytek pirátů má místo ruky železný hák. Kolik je na lodi pirátů dohromady? (60 pirátů)
Jak můžeme vidět v Grafu 2., tato úloha byla bezchybně vyřešena všemi žáky pátého ročníku, kteří měli úlohu zadánu. U žáků třetího ročníku se objevilo jedno chybné řešení. Žákyně v tomto případě násobila jednotlivá pořadí pirátů celkovým počtem pirátů, takže jako řešení uvedla 480 pirátů. Je zajímavé, že si u daného příkladu zapsala zápis.
PL2 1. Sedlák měl 17 ovcí. Všechny kromě 9 mu zahynuly. Kolik mu jich zůstalo? (zůstalo mu 9 ovcí)
Žákům třetího ročníku dělalo řešení tohoto příkladu velké problémy. Nikdo z nich jej nevyřešil. Stále se u těchto žáků objevovala tatáž stejná chyba. Neuvědomili si význam formulace „kromě 9 mu všechny zahynuly“ a řešili slovní úlohu jako příklad na odčítání: 17 - 9 = 8.
26
Žáci pátého ročníku byli úspěšnější. Úlohu správně vyřešilo sedm žáků, jedna žákyně uvedla, že výsledný počet ovcí nelze určit a jeden žák vpočetl, že sedlákovi nezbyla ani jedna ovce (9 – 9 = 0). Domnívám se, že žáci pátého ročníku byli v řešení této úlohy úspěšnější, protože mají rozvinutější představu signálů a antisignálů ve slovních úlohách, tedy si dokázali uvědomit co formulace „všechny kromě 9 zahynuly“ znamená.
PL3 1. Jsi pilot letadla. Do letadla nastoupí 15 lidí, v Brně jich 6 vystoupí a v Košicích 6 nastoupí. Letadlo má 18 okének a rozpětí křídel je 16 m. Jak se jmenuje pilot letadla? (ty – napíšeš své jméno)
U této slovní úlohy byly procentuální počty správných řešení v jednotlivých ročnících vyrovnané. Může zde však dojít ke zkreslení závislosti, neboť PL3 řešili v páté třídě pouze tři žáci, zatímco ve třetí třídě žáků devět. Někteří žáci třetího ročníku měli tendenci ke správnému řešení úlohy, tedy svému jménu, připsat ještě matematický výpočet. Přikládám to tomu, že mají zakotveno, že v matematice se počítá a u slovní úlohy musí být výpočet. Pracují tedy podle naučeného algoritmu. Objevoval se výpočet 15 – 6 + 6 = 15. stejný výpočet uvedli i žáci, kteří u úlohy jméno pilota (sebe) neuvedli. Dvě žákyně pátého ročníku uvedly správné řešení úlohy, třetí uvedla, že neví, jak úlohu vyřešit.
27
3.3.3 Slovní úlohy nedourčené Slovní úlohy nedourčené jsou pro žáky složité zejména tím, že obsahují spoustu informací a děti mají problém se v nich zorientovat. Z běžných učebnic jsou zvyklé, že každý údaj má v zadání smysl a musejí ho při řešení úlohy použít. U nedourčených slovních úloh proto vznikl zádrhel. Údaje v textu napovídají určitý početní výkon, ale otázka se ptá na údaj, který ze zadaných údajů nemůžeme vypočítat, nebo naopak údaje v textu žákům nenapovídají žádný početní výkon.
Mladší skupina žáků, ze třetí třídy, se také s úlohami, které by neměly řešení, resp. výsledek nešel určit, setkali jen v několika případech. Starší žáci podobné typy úloh znají, neboť se jim podobná úloha objevuje jako „chyták“ v bonusových příkladech větších písemných prací. Níže uvádím grafy, ze kterých je patrné, jak byli žáci při řešení nedourčených úloh úspěšní. Pokud se podíváme na grafy úspěšnosti řešení těchto úloh v jednotlivých třídách, vidíme, že při řešení tohoto typu úloh více chybovali žáci obou ročníků. V případě třetí třídy dokonce správně úlohy vyřešili pouze čtyři žáci, v páté třídě sedm žáků.
Nedourčené kapitánské úlohy - 3.A 8 7 6 5
4 3 2 1 0 PL1
PL2 Správně
PL3 Špatně
Graf 5. Úspěšnost řešení nedourčených úloh ve třídě 3.A
28
Nedourčené kapitánské úlohy - 5.A 6 5 4
3 2 1 0 PL1
PL2 Správně
PL3 Špatně
Graf 6. Úspěšnost řešení nedourčených úloh ve třídě 5.A
Stejně jako u kapitánských úloh přeurčených, i zde byli mezi žáky, kteří správně vyřešili tento typ úlohy, nejen žáci s výborným prospěchem z matematiky, ale i žáci s prospěchem chvalitebným. Celková úspěšnost v rámci jednotlivých tříd je patrná z Grafu 7. a Grafu 8.
Nedourčené kapitánské úlohy - 3.A
Správně
Špatně
Graf 7. Celková úspěšnost řešení nedourčených úloh ve třídě 5.A
29
Nedourčené kapitánské úlohy - 5.A
Správně
Špatně
Graf 8. Celková úspěšnost řešení nedourčených úloh ve třídě 5.A
Pouze čtvrtina žáků třetích tříd zvládla vyřešit nedourčenou slovní úlohu kapitánského typu. V případě žáků páté třídy se úlohu povedlo vyřešit necelé polovině žáků. Podíváme-li se opět podrobněji na jednotlivé slovní úlohy, můžeme sledovat několik typů stále se opakujících chyb.
PL1: 2. Dědeček chová už od 23 let slepice. Už třikrát za tu dobu toho chtěl nechat. Má totiž ještě 150 prasat, které ho stojí také hodně času. Jak starý je dědeček? (nelze určit)
V Grafu 5. jsme mohli sledovat, že dva žáci třetí třídy uvedli chybné řešení. Jedna žákyně napsala, že dědečkovi je 20 let. Pokud by však konfrontovala zadání úlohy a svůj výsledek, pravděpodobně by došla k závěru, že věk dědečka je příliš nízký. Druhý z žáků neuvedl řešení, pouze zapsal k úloze otazník. Chybující žákyně pátého ročníku provedli stejný chybný výpočet. V úloze si vybrali číslo udávající dobu, po kterou dědeček chová slepice a vynásobili ji číslem 3
30
(„třikrát již chtěl chovu slepic nechat). Došly tedy k chybnému věku 69 let (23 . 3 = = 69).
PL2: 2. Na lodi kapitána Noema bylo 8 slepic; 10 prasat; 2 kočky; 4 psi a 6 kuřat. Kolik ovcí bylo na lodi? (nelze určit)
U této úlohy bylo zajímavé, že značná část žáků uváděla, že Noem nemá na lodi žádné ovce (nebo že má 0 ovcí). Ovšem to není správné řešení. Noem může mít na lodi ovce (nebo nemusí), ale v zadání úlohy se o ovcích nemluví. Tedy řešením úlohy je, že počet ovcí nelze určit. Stejná chyba se objevovala i u žáků pátého ročníku, počet 0/žádné uvedlo všech pět chybujících žáků.
PL3: 2. Loď je 15 m dlouhá a 6 m široká. Jak starý je kapitán? (nelze určit)
S tímto zadáním si poradili všichni páťáci. U třeťáků nastal podobný problém jako u úlohy z PL1. Žáci v zadání slovní úlohy spatřili dvě čísla a tak je sečetli. Vyšlo jim tedy, že kapitán má 21 let (15 + 6 =21). Je evidentní, že neuvažovali nad tím, že číselné údaje 15 a 6 mají u sebe uvedenou jednotku délky. A jednotky délky nelze přepočítávat na roky.
31
3.3.4 Výsledky výzkumného šetření vs. očekávané výstupy RVP ZV Srovnáme-li celkový počet správných řešení kapitánských úloh v obou ročnících, dojdeme ke zjištění, že starší skupina žáků byla celkově úspěšnější než žáci mladší. Toto zjištění je patrné z Grafu 9.
Graf 9. Celková úspěšnost žáků 3. A a 5. A při řešení kapitánských úloh
Očekávaným výstupem RVP ZV pro první stupeň má být v oblasti matematiky pro 2. období (tedy po ukončení 5. ročníku základní školy): „ Žák řeší jednoduché praktické slovní úlohy a problémy, jejichž řešení je do značné míry nezávislé na obvyklých postupech a algoritmech školské matematiky“. Z Grafu 9. je patrné, že rozdíl v úrovni schopnosti řešení nestandardních – kapitánských slovních úloh ve třetím a pátém ročníku ZŠ je viditelný.
32
Uvědomuji si, že formulovat obecné závěry ze sledovaného vzorku, není možné, nicméně v dílčích otázkách se objevily zajímavé souvislosti, které by stálo za to ověřit na větším vzorku. Velmi zajímavé by také bylo zopakovat stejné šetření za dva roky, kdy budou současní žáci třetího ročníku žáky pátého ročníku. Tedy na stejném výzkumném vzorku zkoumat posun v časovém horizontu.
33
4 Závěr V závěrečné práci jsem se zabývala slovními úlohami, zejména úlohami kapitánskými, a jejich řešením na 1. stupni základní školy. Celá práce je rozdělena na dvě části – na část teoretickou a praktickou. V teoretické části rozpracovávám pojem slovní úloha, funkce slovní úlohy, typy slovních úloh. Zmiňuji také fáze řešení slovních úloh a úskalí, která mohou při řešení úlohy nastat. Dále se také věnuji (třídění nestandardních) slovních úloh a jejich začlenění v rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání. V praktické části diplomové práce jsem provedla výzkumné šetření na vzorku kapitánských úloh. Chtěla jsem především zjistit, jak stejné úlohy řeší žáci různého věku a zda s přibývajícím věkem dosahují žáci lepších výsledků. Pro tyto účely jsem vytvořila pracovní listy vždy s jednou kapitánskou úlohou přeurčenou a jednou nedourčenou. Výzkumné šetření jsem provedla na Základní škole Bílovice nad Svitavou ve třetí a v páté třídě. Celkem jsem do výzkumu zapojila 32 žáků. Vypracované slovní úlohy jsem žákům zkontrolovala a pomocí přehledných grafů jsem znázornila, jak byli žáci úspěšní u jednotlivých úloh. Potvrdilo se, že žáci nižších tříd byli celkově méně úspěšní než žáci vyšších tříd. Zjistila jsem také, že jsou pro žáky snazší nedourčené úlohy než úlohy přeurčené. Největší problém žákům dělalo nalézt ve slovní úloze důležité informace a také poradit si s antisignály v zadání úlohy. Problém jim také činilo připustit, že úloha nemá řešení. Neustále se snažili hledat číselný zápis takové varianty výsledku. Domnívám se, že je třeba v této oblasti žáky rozvíjet již v 1. období na 1. stupni základní školy. Nestandardní slovní úlohy jsou založeny na postupech tvořivých, žák si nevystačí se známými principy řešení úloh. Díky své povaze jsou nestandardní úlohy vhodné pro všechny žáky. Domnívám se, že cíle práce byly naplněny. Zpracování závěrečné práce pro mě bylo přínosné. Rozšířila jsem své povědomí o možnosti využití netypických úloh
34
ve vyučování a také jsem nabyla přesvědčení, že je třeba se nestandardním úlohám ve výuce věnovat již od počátku prvního stupně základní školy.
35
5 Seznam použitých zdrojů BABÁKOVÁ, V.: Sbírka nestandardních typů úloh pro výuku matematiky na 1. stupni ZŠ. České Budějovice 2007. Diplomová práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta, Katedra matematiky. Vedoucí diplomové práce: doc. PhDr. Alena Hošpesová.
BLAŽKOVÁ, Růžena, Milena VAŇUROVÁ a Květoslava MATOUŠKOVÁ, 2002. Kapitoly z didaktiky matematiky: (slovní úlohy, projekty). 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita. 84 s. ISBN 80-210-3022-4.
HEJNÝ, M.: Anatómia slovnej úlohy o veku. Studie vzniklá z podpory grantu VZ J13/98/114100004 a GAČR 406/02/0829, publikována v podobě článku na konferenci v Ružomberoku. Ružomberok, 2003. (http://math.ku.sk/data/konferenciasub/pdf2003/Hejny.pdf)
HEJNÝ, M.; STEHLÍKOVÁ N.: Číselné představy dětí. Praha, Univerzita Karlova v Praze 1999. ISBN 80-86039-98-6.
HEJNÝ, Milan a František KUŘINA, 2001. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Vyd. 1. Praha: Portál. 187 s. Pedagogická praxe. ISBN 80-7178581-4.
HOŠPESOVÁ, A. (2002): Matematika pro všechny děti, České Budějovice: PF JČU. KUŘINA, F.: Umění vidět v matematice. Praha, SPN, 1990. ISBN 978-80-04-23753- 0.
NOVÁK, B.; STOPENOVÁ, A.: Slovní úlohy ve vyučování matematice na I. stupni ZŠ. Olomouc, Univerzita Palackého 1993. ISBN 80-7067-294-3.
36
RENDL, Miroslav a Naďa VONDROVÁ, 2013. Kritická místa matematiky na základní škole očima učitelů. 1. vyd. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta. 357 s. ISBN 978-80-7290-723-6.
ULČOVÁ, J.: Řešení kapitánských úloh různě starými dětmi, diplomová práce, České Budějovice, PedF v Českých Budějovicích 1995.
BRANT, J.: Netradiční aplikační úlohy problémy, Houska, 2005. (dostupné z www.rvp.cz/clanek/253)
37
6 Přílohy Příloha 1.: Žákovská řešení úloh
38
39
40
41
42
43
44
