Geometrie jako příležitost k rozvoji žákovských kompetencí

Geometrie jako příležitost k rozvoji žákovských kompetencí

František Kuřina

Studijní materiály k projektu Operační program Rozvoj lidských zdrojů č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů © JČMF 2006

SU



MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

OBSAH 1. Úvod 2. Specifické rysy školské geometrie 3. Transmise, instrukce a konstrukce 4. Kultivace kompetencí 5. Čtenářská a grafická gramotnost 6. Motivace jako významná složka vzdělávání 7. Dvojí role aplikačních úloh 8. Problémové úlohy jako nejvýznamnější prostředek kultivace kompetencí 9. Témata pro samostatnou práci 10. Závěr

1. Úvod Cílem této práce je představit geometrii na základní škole a nižším gymnáziu jako příležitost k rozvíjení kompetencí řešením úloh. Úlohy jsou členěny do čtyř kategorií. V první kategorii jsou zařazeny úlohy, jimiž testujeme a rozvíjíme porozumění geometrickému jazyku, znalost geometrické terminologie a úroveň rýsování žáků (Kapitola 5.). Do druhé kategorie jsou zařazeny úlohy motivační. Řešením těchto úloh chceme ukázat možnost získat pro geometrii i žáky, kteří se o matematiku nezajímají. Tyto úlohy vycházejí z reality, vyžadují minimum školských poznatků a snad mohou zaujmout svými výsledky (Kapitola 6.). Třetí kategorie obsahuje úlohy, které jsme nazvali aplikační. Nejde v nich o skutečné aplikace matematiky v praxi, ale především o využití již probraného matematického učiva k řešení úloh (Kapitola 7.). Poslední kapitola obsahuje tzv. problémové úlohy. K jejich řešení potřebujeme obvykle dobrý nápad; právě tím mohou zaujmout i žáka, který si příliš v matematice nelibuje. V žádném případě by neměly být tyto úlohy zdrojem hodnocení žáků, leda hodnocení kladného, projeví-li žák při jejich řešení iniciativu, vytrvalost, soustředění či dokonce tvořivost (Kapitola 8.). Kategorie úloh nepředstavují klasifikaci. Úloha motivační může být pro některého žáka úlohou problémovou, úlohu aplikační můžeme vidět např. jako úlohu, v níž stačí porozumět textu. To je přirozené: charakter úlohy je dán úrovní učiva, do něhož úlohu zasadíme, vyspělostí žáka a ovšem také stylem práce učitele. Prioritně je publikace určena učitelům matematiky. Zaujme-li vás její tématika, pocítíte-li, že práce s tímto textem vám pomůže při vaší práci pedagogické, budu spokojen. Publikace je zařazena do textů podporovaných granty ESF. K tomu účelu jsou navržena v poslední kapitole témata pro samostatnou práci. Ať se vám práce ve škole dobře daří. V Hradci Králové 28. II. 2006

František Kuřina

strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA

Společnost učitelů matematiky JČM F

Literatura * Text byl vytvořen v rámci grantu ESF Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě školního vzdělávacího programu. AJ, TO SE PODDÁ, TO JE ZVYK DĚŤÁTKO ROVNĚŽ ODMÍTNE PRS MATČIN V PRVNÍ OKAMŽIK A PAK MU RÁDO PŘIVYKNE. A TAK I VÁM SE NAPOSLEDY NEBUDE CHTÍT OD ŇADER VĚDY J. W. GOETHE ([11], s. 92)

2. Specifické rysy školské geometrie Geometrie je obor matematiky, který má zajímavé postavení v historii vědy, a to jak svými podněty, tak i vývojem, současným stavem disciplíny a jeho odrazem ve školské matematice. V této práci se budeme zabývat pouze tzv. elementární geometrií. Zájemce o hlubší pohled na současnou geometrii odkazujeme na velmi zajímavé pojednání Ivana Koláře v časopise Matematika – fyzika – informatika [3], historické aspekty vývoje geometrie je možné detailně studovat např. z nedávno vyšlé knihy německých autorů C. J. Scriba a P. Schreibera 5000 Jahre Geometrie [4]. První geometrické podněty jsou spjaté s praxí člověka, s problémy jeho života. Sám název geometrie odkazuje na problematiku měření Země, řešily se ovšem především praktické problémy spjaté se zásobováním, přírodními katastrofami, zavlažováním půdy, cestováním, obchodem, výstavbou sídel a kultovních objektů, … Geometrie tak od samého začátku souvisela s aplikačními obory, jako je např. stavitelství a astronomie, později ovšem i fyzika, strojírenství, … Je zajímavé, že kromě zmíněných praktických podnětů ke geometrickému uvažování lze v historii sledovat i aspekty estetické a kultovní. Několik tisíc let trvající vývoj „praktické“ matematiky, který lze stěží dostatečně detailně rekonstruovat, přerostl ovšem např. v „antickou“ vědu, v geometrii reprezentovanou Euklidovým dílem Základy ze 3. století před naším letopočtem. Toto dílo vyšlo česky před 100 léty [5]. Připomínám, že dobré poučení o historii matematiky můžeme nalézt např. v nové práci Jaroslava Folty [6]. Otevřeme-li Euklidovy Základy, zjistíme, že v geometrii se řeší konstrukční, početní a důkazové úlohy spjaté s určitou strukturou. Základy jsou budovány deduktivně a je pozoruhodné, proč o mnoho století předstihly v tomto směru ostatní matematické disciplíny. Zdá se, že hlavní příčina této skutečnosti tkví v charakteru geometrie:   

geometrické problémy bývají názorné, geometrické úvahy podněcuje intuice, logické úvahy jsou podpořeny představami.

Strukturální pohled na geometrii byl dovršen až ve 20. století v díle německého matematika Davida Hilberta, který odstraňuje určité nedostatky Euklidových Základů a buduje geometrii jako strukturu s primitivními pojmy bod, přímka, incidence, relace mezi a relace shodnosti. Tato struktura je izolovaná od ostatní matematiky. Ukotvení geometrie v matematice 20. století provedl Hermann Weyl tím, že ukázal, jak lze geometrii budovat pomocí vektorového prostoru. strana 3 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Nedostatkem běžných přístupů k vyučování matematice bývá snaha zprostředkovat část hotové matematické disciplíny (geometrie, aritmetiky, algebry, matematické analýzy, …) studentům. Nerespektuje se přitom obvykle historická cesta, kterou lidstvo k matematice dospělo. Nemyslím ovšem, že vyučování má kopírovat historii, ale mělo by si z ní vzít poučení. Co je charakteristické pro utváření geometrie? Chápeme-li matematiku ne jako strukturu, ale spíše jako její hledání (jak to formuloval např. jeden z významných současných matematiků Phillip Griffith) a jako prostředek k řešení problémů, jak před časem napsal Paul Halmos, je účelné vnímat geometrii spíše jako soubor určitých dovedností, určitých umění, určitých kompetencí. Geometrii (ale i ostatní matematické disciplíny) tak můžeme nazírat jako    

umění VIDĚT, umění SESTROJOVAT, umění DOKAZOVAT, umění POČÍTAT,

Tato umění vedla historicky nejen k řešení významných matematických i nematematických problémů, ale hrála rozhodující roli i při konstrukci jednotlivých matematických oborů. Tato umění jsou přitom spjata s bytostně lidskými činnostmi typu: zajímat se o své okolí, řešit problémy, klást otázky a hledat na ně odpovědi, hrát si a dělat experimenty, snažit se porozumět věcem, dělat chyby a napravovat je, prožívat úspěchy i neúspěchy, tvořit, … Jsem přesvědčen, že tuto lidskou dimenzi matematiky můžeme pěstovat od první třídy základní školy. Bohužel se nám to příliš nedaří. Orientace současné reformy vzdělávání u nás odstartovaná Bílou knihou [7] nám dává příležitost i k zlepšení vyučování matematice. Na souboru úloh geometrického charakteru chceme naznačit, jak je to konkrétně možné.

3. Transmise, instrukce a konstrukce Připomeňme si nejdříve ideu tří světů jako prostředku k charakteristice vzdělávacího procesu. Hmotný svět, který nás obklopuje, je tzv. fyzikální svět (svět přírody a svět technických výtvorů). Lidstvo v průběhu své historie vytvořilo svět nový, svět kultury. Je to svět vědeckých, technických a uměleckých idejí. Matematika je součástí světa kultury, je však aplikovatelná ve fyzikálním světě, v přírodě, medicíně, technice, … Matematika je ovšem také, podobně jako kterákoliv jiná věda, pomocí fyzikálního světa šířena (knihy, časopisy, internet, …). Prostředníkem mezi různými oblastmi světa kultury, ale také mezi světem kultury a světem fyzikálním, jsou duševní světy lidí (řemeslníků, techniků, vědců, umělců, žáků, studentů). Úkolem školy je především kultivace žákovských a studentských duševních světů. Je omylem tradiční pedagogiky, že duševní světy žáků můžeme kultivovat „přeléváním“, transmisí poznatků z duševního světa učitele do duševních světů žáků, což může pobíhat „jevově“ jako přenesení poznatků z učebnic, učebních textů nebo tabule do poznámkových sešitů žáků (tento proces může být ovšem výrazně technicky modernizován). Takovéto přelévání, podpořené navíc mocenskými prostředky (známkování, odměny, tresty, …) se i v naší škole vyskytuje, má však obvykle charakter poznání formálního. Jeho výsledky jsou reprodukovatelné u zkoušek, zřídkakdy však jsou použitelné v aplikacích. Jakékoli netriviální aplikace vyžadují vhled do problematiky, porozumění situacím. Takovéto poznání je utvářeno aktivitou toho, kdo poznává, aktivitou studenta a neobejde se tedy bez motivace, bez probuzení a udržení zájmu o problematiku. strana 4 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Transmisivní poznání odpovídá encyklopedickému pojetí školy (kdo se kdy narodil a co napsal, …). Vzdělávání orientované na vymezený soubor dovedností může mít charakter instruktivní. Příklady instruktivně pojaté výuky jsou dobře známé: jak upéci bábovku, jak provést dělení dvou přirozených čísel, jak řešit soustavu lineárních rovnic, … Je zřejmé, že toto pojetí vzdělání se může uplatnit v přípravě úzce specializovaných činností a jeho hlavními oporami jsou paměť a nácvik (trénink i opakování – jako „matka moudrosti“). Vidí-li učitel jako hlavní výsledek své pedagogické práce přípravu žáků na zkoušky orientované „encyklopedicky a výkonnostně“, bude v jeho třídách převládat transmisivní a instruktivní styl: taková jsou fakta, takto řeš daný úkol, to si zapamatuj… Má-li učitel kultivovat duševní svět žáka, musí rozvíjet jeho kompetence. To se neobejde bez toho, aby dával žáku podněty k vytváření představ a k rozvíjení zájmu o problematiku tak, aby si žák kladl otázky, prováděl experimenty, hledal v literatuře, pracoval. Konstruktivní přístupy k vyučování umožňují pěstovat kompetence žáků v nejrůznějších směrech, zejména v oblasti rozvíjení myšlení, řešení úloh, rozvíjení zkušeností, abstrahování a zobecňování. Vážným problémem takto pojatého vyučování je praxe školy ve třídě, v níž určitá část žáků nemá o nic zájem, školu vidí jako nutné zlo a necítí potřebu se jakkoliv rozvíjet. Hlavní vzdělávací problémy netkví v oboru, ale mají charakter společenský. Rysy konstruktivních přístupů, pro něž je charakteristické, že se matematika rodí v duševním světě žáka na základě různých podnětů, je možné sledovat od Sokrata přes Komenského, Piageta, Deweye a řadu současných autorů. Podrobnější výklad této problematiky může čtenář najít v knize [8]. Problematika aktivního přístupu ke vzdělávání není přitom vůbec nová. Připomeňme, jak jeden z našich největších matematiků 20. století Eduard Čech formuluje požadavky na vyučování geometrii v roce 1955 [10]. „Myslím, že je třeba se ve vyučování geometrie (na základní škole) řídit čtyřmi principy: 1. Učivo i jeho zpracování má vzbuzovat co největší zájem. Nejde ani tak o to něco naučit, ale docílit toho, aby se děti na vyučování těšily. Je třeba, aby se děti naučily milovat geometrii. 2. Vyučování nutno vést tak, aby co nejvíce dávalo příležitost k vlastní aktivní činnosti žáků. Touha po aktivní činnosti je v tomto věku něco nezadržitelného. 3. Nelze tomuto učení nedat konkrétní náplň. Ty věcné poznatky je nutno uspořádat tak, aby se při pozdějším vyučování znovu a znovu vyskytovaly. 4. Je nutné, aby se žáci ve formě ukázek seznámili s něčím, v čem ještě není systém, ale co poskytuje obrázek o tom, jak to bude vypadat později.“ Nemyslím, že se nám za půl století od formulace těchto slov podařilo žáky získat pro geometrii. Skoro se mi zdá, že je dnes situace horší než tehdy (kdy jsem osobně začínal svou učitelskou kariéru). Zčásti je to možná způsobeno přesvědčením některých učitelů, že je nutné naučit se nejdříve „správnému“ matematickému myšlení ve formě „definice, věta, důkaz“ a pak teprve klást otázky po souvislosti matematických pojmů s reálným světem a po jejich smyslu. V tomto směru se můžeme poučit u oklik, bloudění a úspěchů v historickém vývoji matematiky. Výrazným příkladem nevhodné orientace školské matematiky „na vědu“ byla etapa tzv. modernizace vyučování matematice, která ovlivnila negativně vyučování matematice u nás po roce 1976. Tzv. „množinový“ přístup ke geometrii znamenal, že dítě má vycházet z představy o bodu a prostoru jako množině bodů a na základě těchto představ mají být budovány další pojmy. Např. trojúhelník byl zaváděn takto: Jsou dány tři body A, B, C, které neleží v přímce. Trojúhelník ABC je množina všech bodů X prostoru, že X náleží úsečce AY a zároveň bod Y náleží úsečce BC [12]. Protože se autoři snažili zavádět všechny pojmy názorně, modelovali body v prostoru např. kuličkami, plastickou strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


hmotou atp. a tím vznikaly představy, které jsou zcela v rozporu se základními vlastnostmi přímky jako množiny bodů (mezi každými dvěma různými body leží nekonečně mnoho bodů). Připomeňme, že zmíněná etapa modernizace vyučování se nesla na celosvětové vlně „množinového opojení“. Dnes bychom se neměli nechat svést k podobné módní vlně „opojení kompetencemi“, ale měli bychom posuzovat vzdělávání rozumně, a to jak z hlediska žáků, tak i z hlediska postavení matematiky ve společnosti, jmenovitě nezapomínat na to, že kompetence lze rozvíjet jedině v radostné práci s žáky. To je ovšem neobyčejně obtížné. K realizaci tohoto dlouhodobého úkolu by měly přispět i texty vytvářené v grantech ESF. Naše reforma podnícená Bílou knihou chápe „pracovní činnosti“ pouze v duchu minulých století (každodenní činnosti, práce s materiálem, nástroji a nářadím, orientace v technologiích, bezpečnosti práce, zdravého pracovního prostředí, … ([9], s. 32). Rád bych se mýlil, ale ze studia Bílé knihy a ostatních materiálů s reformou spojených jsem nabyl dojmu, jako by kategorie „duševní práce“ neexistovala. Podle mého názoru je výchova žáků k plnění povinností, k zodpovědnému řešení úkolů a k práci významnou složkou práce školy. Znát postup a diskutovat o možnostech nestačí v praxi a nemělo by stačit ani ve škole.

4. Kultivace kompetencí Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání [9] vymezuje především tzv. klíčové kompetence, které mají být „klíčem k úspěšnosti žáka v celoživotním učení, v práci, zájmové činnosti i osobním životě“ (s. 31). Člení se, jak známo, do čtyř oblastí: učení, řešení problémů, komunikace a pracovní spolupráce. Základní otázka zní: JAK KONCIPOVAT ŠKOLU? aby byli žáci způsobilí orientovat a řídit své učení, používat správné pojmy, operovat s termíny a symboly, uvádět věci do souvislostí, vyvozovat závěry, třídit informace, číst s porozuměním, pracovat s učebnicemi, samostatně se učit, identifikovat problémy, samostatně a kriticky myslet, formulovat své myšlenky, komunikovat? Odpověď je podle mého názoru tato: kompetence můžeme účinně rozvíjet pouze v PRACOVNĚ pojaté škole, v níž žák řeší úlohy a problémy a o rozvíjení kompetencí uvědoměle usiluje. Žák by měl cítit potřebu samostatně a kriticky myslet, formulovat své myšlenky, komunikovat, … Měli bychom ho vést k tomu, aby se poučil z neúspěchů a chyb, měl by však být koneckonců úspěšný. Dobře vedené vyučování matematice usilovalo o kultivaci kompetencí vždycky. Ne ovšem vždycky úspěšně a zpravidla ne explicitně. Úkol, před kterým stojí naše reforma školy, je obtížný. V dalších kapitolách této publikace nabízím soubor geometrických úloh, na nichž lze podle mého názoru přesvědčení kompetence rozvíjet. strana 6 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Materiál ke kultivaci klíčových kompetencí vymezují dosti volně, jako očekávané kompetence v jednotlivých vzdělávacích oblastech a jako tzv. učivo, příslušné rámcové programy. Bohužel náznak cesty od učiva ke kompetencím v těchto textech chybí. Proto se v této práci snažíme ukázat aspoň na čtyřech úlohách (G14, M8, A6, P35) podrobněji příklady rozvíjení kompetencí. Je nutné si uvědomit, že geometrie (ale vlastně celá matematika) poskytuje k tomuto úkolu, tak jak je formulován v příslušných dokumentech, neobyčejně mnoho využitelných možností. Problém je ovšem v tom, zda dokážeme v praxi, v podmínkách, které nejsou ideální (mnoho žáků, rozptýlenost zájmů, rušivé vlivy, …) práci ve třídě k rozvíjení kompetencí důsledně orientovat. Vytvářet reálné podmínky pro kultivaci kompetencí je základní otázkou úspěšné realizace současné reformy.

5. Čtenářská a grafická gramotnost Někteří žáci jsou neúspěšní při řešení úloh, protože není u nich na náležité úrovni rozvinuta dovednost číst s porozuměním text úlohy. To je ovšem především záležitost jazykového vzdělání; matematika k této problematice přispívá hlavně znalostí terminologie. Tato stránka nečiní obyčejně, věnuje-li jí učitel přiměřenou péči, žádné zvláštní potíže. O osvojení terminologie se můžeme přesvědčit komunikací s žáky a řešením „úloh na rýsování“. Žáci tímto způsobem prokazují, že jsou schopni verbální geometrickou komunikaci spojit s vizuálními reprezentacemi příslušných pojmů a vztahů, s kreslením nebo rýsováním obrázků. Obrázky hrají v geometrii významnou roli, některé úlohy právě rýsováním řešíme. Měli bychom se snažit, aby rýsování byla pro žáky přitažlivá činnost, zejména je nutno tolerovat manuální neobratnost některých žáků. Narýsované útvary jsou modely geometrických pojmů a jsou významné pro jejich správné chápání. Představu o pojmu si zpravidla vytváříme daleko snáze podle obrázku než např. podle verbálně nebo dokonce symbolicky formulované definice. V této kapitole uvedeme příklady úloh, v nichž je rýsování nebo kreslení podstatnou složkou. Podle probíraného učiva a konkrétní situace ve třídě bude patrně mnohdy nutné zařadit posloupnost jednodušších úloh, které se váží ke studované tématice. Tyto úlohy si každý učitel bez potíží sám vytvoří. Nám zde půjde o ukázku úloh poněkud náročnějších. U každé úlohy uvádím komentář k jejímu řešení. Cílem těchto komentářů je připomenutí těch rysů úlohy, o nichž bychom měli podiskutovat s žáky. Žákům, jimž činí porozumění textu úlohy potíže, je třeba věnovat zvláštní pozornost. Všichni žáci by však měli mít příležitost řešit úlohy samostatně. Jen v úvodu do problematiky je účelné společné rozebírání textu úloh a postupu jejich řešení. Mnohé napoví otázky žáků, k jejich kladení bychom měli žáky vést. G1 Rýsování přímek a) Narýsujte úsečku AB dlouhou 6 cm a body C, D, které ji dělí na 3 shodné části. b) Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC se stranou dlouhou 6 cm a jeho výšku CD (D je pata výšky na straně AB). c) Narýsujte čtverec ABCD se stranou dlouhou 6 cm. d) Narýsujte všechny přímky, které procházejí některými dvěma z bodů A, B, C, D v úlohách a, b, c. Výsledkem úlohy d) je v prvém případě jediná přímka p = AB = AC = CD = .., ve druhém případě můžeme narýsovat 4 přímky, ve třetím 6 přímek. strana 7 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


G2 Rýsování kružnic Narýsujte všechny kružnice, z nichž každá prochází některými třemi z bodů A, B, C, D z úlohy G1 a, b, c. V prvním případě žádná kružnice požadovaných vlastností neexistuje, v druhém případě existují kružnice 3. Dbáme na přesné rýsování (střed kružnice, která prochází např. body A, C, D je středem úsečky AC, …). Ve třetím případě existuje kružnice jediná (kružnice opsaná čtverci ABCD). G3 Dotýkající se kružnice Narýsujte a) rovnostranný trojúhelník, b) čtverec, c) pravidelný šestiúhelník se stranou dlouhou 4 cm a všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které mají středy v některém z vrcholů narýsovaného trojúhelníku, čtverce nebo šestiúhelníku. Při přesném rýsování mají kružnice se středy v sousedních vrcholech např. šestiúhelníku vnější dotyk a vznikne pěkný geometrický obrázek. G4 Průsečíky dvou kružnic Narýsujte kružnice k(S; r) a m(O; r) a jejich průsečíky P, Q. Ověřte, že přímky SO a PQ jsou k sobě kolmé. Určete druh čtyřúhelníku SPOQ. Řešte pro případ 3 |SO|=r a |SO|= r. 2 Výsledný čtyřúhelník je kosočtverec. G5 Tři půlkružnice Narýsujte geometrický útvar K ohraničený třemi půlkružnicemi podle obr. 1. Dbáme na to, aby žáci rýsovali poloměr r dostatečně velký (např. 3 cm), účelné je porovnání různě velkých „kapek“ (propedeutika podobnosti: mají stejný tvar, ale různou velikost). Obr. 1

Obr. 2


SU

 MA


G6 Tři kružnice Narýsujte kružnice k(S; 4 cm), m(M; 3 cm), n(N; 2 cm) tak, aby každé dvě z těchto kružnic měly vnější společný dotyk. Již u úloh tohoto typu je účelné vést žáky k tomu, aby si nakreslili od ruky obrázek výsledné situace (obr. 2). Z něho by měli vyčíst, že platí: |MT| + |TS| = 3 cm + 4 cm = 7 cm, |MH| + |HN| = 3 cm + 2 cm = 5 cm, |SD| + |DN| = 4 cm + 2 cm = 6 cm. Začneme tedy konstrukcí trojúhelníku SMN, v němž známe délky všech stran. G7 Vnitřní dotyk kružnic Narýsujte kružnice k(S; 4 cm), m(M, 3 cm), n(N; 2 cm) tak, aby každé dvě z nich měly vnitřní dotyk. Úlohu je účelné začít opět komunikací (vnější s celou skupinou žáků, dvou žáků nebo učitele s žákem, měli bychom vést žáky k tomu, aby si při samostatném řešení úloh kladli otázky sami pro sebe a hledali na ně odpovědi). Základní otázka zní: Co znamená, že kružnice mají vnitřní dotyk? Uvědomí-li si žáci, že jedna z kružnic musí být částí vnitřní oblasti větší kružnice a že středy kružnic a bod jejich dotyku leží v jedné přímce, dojdou k náčrtu situace (obr. 3), z něhož je vidět konstrukce. Obr. 3 Obr. 4

G8 Kružnice „připsané“ trojúhelníku Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC se stranou dlouhou 5 cm a všechny kružnice, z nichž každá se dotýká přímek AB, AC, BC. Úloha je vhodná k ověřování přesnosti rýsování. Kromě kružnice vepsané trojúhelníku ABC existují tři kružnice, které se dotýkají trojúhelníku ABC „zvnějšku“. G9 Řetěz kružnic Narýsujte několik shodných kružnic tak, aby se každá dotýkala některé z dalších a středy těchto kružnic aby ležely a) na dané přímce, b) na dané kružnici, c) na libovolné nakreslené křivce k. strana 9 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Mají-li být středy kružnic na přímce, leží na této přímce i body dotyku sousedních kružnic. Při řešení úloh b), c) vedeme žáky ke konstrukci na obr. 4. G10 Spirála Narýsujte spirálu složenou z půlkružnic podle obr. 5. Vyčíst informace z obrázku je dovednost, kterou je účelné rozvíjet; pomůže to někdy i při řešení složitějších úloh. Zde je vhodné všimnout si otázky „proč na sebe půlkružnice plynule navazují“ (mají v příslušných bodech společnou tečnu). Obr. 6

Obr. 5

G11 Ozdobná okna Narýsujte „výplň“ čtvercového a kruhového okna podle obr. 6. U čtvercového okna si stačí uvědomit, že hledané kružnice jsou vepsány trojúhelníkům, u kruhového okna musíme aspoň jeden takový trojúhelník sestrojit. Ze souměrnost konstrukce vyplývá, že malé kružnice se dotýkají velké ve středech „čtvrtkružnic“ (na obr. 6 je jeden takový bod označen T) a tečny kružnice k v těchto bodech určují třetí strany trojúhelníků, jimž jsou hledané kružnice vepsány. G12 Zdvojení čtverce Narýsujte libovolný čtverec a čtverec, který má dvojnásobný obsah. Úlohu je možné řešit na základě této myšlenky: Čtverec můžeme rozdělit úhlopříčkou na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Čtverec dvojnásobného obsahu se tedy musí skládat ze 4 takovýchto trojúhelníků (obr. 7). Můžeme ovšem postupovat i na základě výpočtu. Pro stranu x hledaného čtverce platí x2 = 2a2, x = a 2 . Tato délka je velikostí úhlopříčky čtverce se stranou délky a, jak vypočítáme pomocí Pythagorovy věty. strana 10 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Obr. 7

Obr. 8

G13 Souměrnosti Nakreslete útvar, který je a) osově souměrný, ale není středově souměrný, b) středově souměrný, ale není osově souměrný, c) je středově i osově souměrný. Existuje útvar, který má dva různé středy souměrnosti? Řešení prvních tří úloh je zřejmé, např. písmena K, S, O (ve vhodném provedení). Otázka existence útvaru se dvěma středy souměrnosti je zajímavější. Má-li útvar U středy souměrnosti S, O, pak musí útvaru U náležet s libovolným bodem X bod X´ tak, že |XX´| = 2|SO| , tedy musí sám v sebe přejít v posunutí (obr. 8). Takový útvar nemůže být omezený, je jím např. pás roviny nebo vhodný „nekonečný“ ornament. G14 Obraz kružnice Narýsujte kružnici k(S,r) a její k sobě kolmé průměry AB, CD. K libovolnému bodu X kružnice k sestrojte bod X´ polopřímky SX tak, že úsečka SX´ má velikost rovnou vzdálenosti bodu X od přímky AB. Jaký geometrický útvar vytvoří body X´, probíhá-li bod X kružnici k? Úloha je dobrou příležitostí k ověření toho, jak žáci rozumějí textu úlohy, zda umějí převádět její verbální znění do vizuálního vyjádření, zda znají příslušné pojmy (zde např. kružnice, průměr, kolmé průměry, vzdálenost bodu od přímky, polopřímka, …) a dovedou s nimi pracovat. Každá dílčí otázka, každé nedopatření, každá chyba je příležitostí k plodné komunikaci. Kompetence vnímat různě situace, diskutovat o nich a řešit jednoduché dílčí úlohy zde můžeme rozvíjet na zcela elementární úrovni. Významným krokem při řešení úlohy bude např. konstrukce bodu X´, jestliže bod X splyne s některým z bodů A, B, C, D. Výrazně se zde uplatňuje samostatné a kritické myšlení. Snad v každé skupině žáků, s nimiž jsem řešil úlohu, se vyskytl zcela nesprávný závěr: Když bod X probíhá kružnicí k, probíhá bod X´ kružnicí soustřednou. Otázka proč tomu tak nemůže být, je opět podnětem ke kritickému uvažování a korekci výsledků. Symetričnost konstrukce napomáhá provést odhad výsledku, jeho prověření pak vede ke kritickému uvažování. Podaří-li se již při řešení této úlohy dovést některé žáky k „logické“ argumentaci, je to velmi cenné (tato problematika je námětem úlohy P33). Úloha je příležitostí k rozvíjení snad všech klíčových kompetencí. Výsledek řešení (obrazem kružnice jsou dvě kružnice) je sám o sobě překvapivý a můžeme ho demonstrovat např. modelováním v Cabri geometrii. strana 11 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


5. Motivace jako významná složka vzdělávání Motivaci chápeme především jako prostředek k probuzení zájmu o vzdělávání. Za nejvýznamnější považujeme vnitřní kladnou motivaci, tedy zažití úspěchu, radosti, uspokojení spjatého s řešením úlohy, ze spolupráce se spolužáky, z diskuse s učitelem nebo jeho pochvalou. S matematikou, o níž nám zde jde především, prožíváme uspokojení z výsledku nebo z úspěšné cesty k němu. U výsledku může jít o eleganci nebo estetickou hodnotu, o radost z toho, že zvládnutá metoda dává spolehlivé výsledky. Může jít samozřejmě také o dobré pocity z toho, že výsledek můžeme aplikovat např. v jiné disciplíně nebo v praxi. Nejhlubší motivací je však patrně radost ze šťastného nápadu a z dobře provedené práce. Z tohoto hlediska jsou pro motivaci nejcennější úlohy problémového charakteru, kterými se budeme zabývat v 8. kapitole. V této kapitole mají být motivací pro matematiku jednoduché úlohy, v nichž matematické pojmy „vyrůstají z reality“, a úlohy s překvapivým výsledkem. M1 Kreslíme ohrady Body A, B, C, D, E na obr. 9 a 10 představují kůly na louce. Nakreslete uzavřenou ohradu tak, že některé dva z kůlů spojíte úsečkou. Obr. 9

Obr. 10

V prvním případě dostaneme ohradu jedinou: má tvar pravidelného pětiúhelníku ABCDE (obr. 11). Ve druhém případu existují ohrady 4: jsou to vrcholy pětiúhelníků ABCDE, ACBDE, ABDCE a ABDEC (obr. 12). Obr. 11

Obr. 12


SU

 MA


Úloha je příležitostí k tomu, aby si žáci na začátku studia geometrie ověřili základní poznatek, že dva různé body A, B určují jedinou úsečku AB. Dále poznávají, že uzavřená lomená čára (čára složená z úseček, které na sebe navazují a která začíná a končí v témže bodě) dělí rovinu na dvě části. Omezená z těchto částí je část louky ohraničená nakreslenou ohradou. To je možné zdůraznit např. jejím vybarvením pastelkou. S některými žáky je ovšem možné diskutovat o tom, kdy vznikne ohrada s kůly A,B,C,D,E jediná a kdy kůly nevytyčují ohradu jednoznačně. Výsledek je možné nakreslit, zdůvodnění však přesahuje učivo základní školy. Dobrou motivací může být pro některé žáky vytváření modelů a tvorba překvapivých výsledků. Ukažme to aspoň na jedné úloze. M2 Čtyři shodné trojúhelníky Rozdělte čtverec o straně 8 cm na 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky podle obr. 13. Trojúhelníky vystřihněte a ze všech 4 složte a) obdélník, b) kosočtverec, c) rovnoběžník, který není obdélníkem, d) trojúhelník a další obrazce. Experimentování vede k poznávání vlastností geometrických útvarů, poslední část úlohy může rozvinout hravou tvořivost žáků. Na obr. 14 jsou nakresleny některé výsledky (a) větrníky, b) lodě, c) pila, d) schody, e) stromy). Obr. 13

Obr. 14a

Obr. 14b

Obr. 14c

Obr. 14d

Obr. 14e


SU

 MA


M3 Knoflík Kolika způsoby je možné přišít knoflík se čtyřmi dírkami? Tato úloha je příležitostí k tomu, abychom vysvětlili řadu věcí, které jsou typické pro aplikace matematiky. Text úlohy není zcela jasný. Naskýtá se několik otázek. Např.: Co znamená přišít knoflík? Odpovědi nebudou jednoznačné, diskuse by měla vyústit v konvenci, např.: Přišít knoflík znamená, že z každé dírky vychází aspoň jeden steh. Která dvě přišití budeme považovat za různá? Zde je opět řada možných přístupů. Např. na hotovém obleku bychom považovali přišití na obr. 15 za různá, kdybychom vytvářeli „sbírku“ všech přišití, budou to přišití stejná. Podobně není jasné, zda „symetrická“ přišití jsou různá či stejná (obr. 16). Možná dohoda: Různá jsou taková přišití, která nelze „ztotožnit přemístěním“, tedy přišití „osově souměrná“ nejsou totožná, přišití na obr. 16 jsou různá. Úloha je vhodnou motivační úlohou, neboť se „mohou chytit“ všichni žáci (jistě již od 6. třídy). Všichni žáci patrně neurčí všechna řešení. Úlohu můžeme přirozeně obměňovat. Knoflík se třemi dírkami lze přišít jen dvěma způsoby (obr. 17), s rostoucím počtem dírek se řešení stávají nepřehlednými. Obr. 15

Obr. 16

Obr. 17

Teoretická podstata úlohy souvisí ovšem s teorií grafů, o níž se můžete poučit např. z knihy [1]. Na elementární geometrické úrovni jde o rýsování úseček. To můžeme procvičovat na řadě úloh; uveďme zde aspoň dvě. M4 Úsečky Zvolte libovolně 3 (4, 5, 6) různých bodů a narýsujte všechny úsečky s krajními body v některých dvou z nich. Otázka „Kolik úseček jste narýsovali?“ může být zodpovězena „experimentálně“, může být ovšem i podnětem k elementární kombinatorické úvaze, kterou lze provádět patrně jen s vyspělými žáky: Každý ze 6 bodů můžeme spojit s každým z 5 zbývajících bodů. Protože tímto způsobem 1 započítáme každou úsečku dvakrát, je na obrázku šesti různých bodů možných . 6. 5 = 15 2 úseček.


SU

 MA


M5 Výšivka Dokreslete vyšívání nakreslené na obr. 18. Na úloze je možné ukázat i určitou estetickou hodnotu geometrie. Že geometrie souvisí s uměním, si můžeme uvědomit při řadě příležitostí. Zde připomeňme pěkný článek J. Nešetřila [2]. Obr. 18

Všechny uvedené úlohy jsou vhodné ke kultivaci komunikace (diskuse o otázkách, které s řešením úloh souvisejí), k rozvíjení spolupráce mezi žáky (srovnávání počtu řešení úlohy) a k nácviku modelování úseček rýsováním. Úlohy jsou rovněž příležitostí k určování počtu řešení úlohy a k jejich klasifikaci. M6 Čtvercové organismy Ze čtvercové „buňky“ vypučí na začátku každého nového roku z některé její strany další s ní shodný čtverec. Nakreslete na čtverečkovaný papír všechny druhy nejvýše pětiletých organismů. Podobně jako v úloze M3 i zde půjde na počátku o dohodu, které dva organismy budeme pokládat za různé. Budeme-li předpokládat, že u organismů nerozlišujeme „líc a rub“, povede experimentování žáků ke konstrukci „společenství“ 21 prvků nakresleném na obr. 19. Podobně jako studium živočichů v přírodě vede k poznání různých druhů, můžeme i naše společenství Q studovat podle různých kritérií. Uveďme několik možností, vaši žáci přijdou jistě na další. 1. Q = Q1  Q2  Q3  Q4  Q5, kde Qi znamená množinu organismů starých i let. 2. Q = S0  S1  S2  S4, kde Si znamená množinu organismů, které mají i os souměrnosti. První z uvedených klasifikací můžeme interpretovat i geometricky. Organismy staré i let mají obsah i jednotkových čtverců. strana 15 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Úloha je příkladem „pojmotvorného“ procesu, který je ovšem na množině Q, např. ve srovnání s přírodními nebo jazykovými úvahami, velmi prostý. Skutečnost, že studium vlastností prvků množiny Q vede k jejímu rozkladu, je ovšem poučná. Obr. 19

Obr. 20

M7 Zrcátko jako stvořitel Nakreslete několik útvarů, které vzniknou vhodným přiložením rovinného zrcátka k organismu 15 z obr. 19. Útvar 15 sám není osově souměrný, pomocí zrcátka však z něho můžeme vytvořit nekonečně mnoho nových souměrných útvarů. Některé jsou nakresleny na obr. 20. Vhodné „zrcátko“ si mohou žáci vyrobit ze „zrcadlové tapety“, která bývá v prodeji v obchodech s tapetami, tím, že jí kousek nalepí na rovnou destičku, např. na trojúhelník, pomocí něhož rýsují. Úloha je opět příležitostí „pro každého“. Méně aktivní žáky můžeme podněcovat vhodnými otázkami, např.: Může pomocí zrcátka vzniknout z organismu 15 křížek (organismus 21)? Pomocí „hraní“ se zrcátkem je možné probudit zájem o geometrii i u žáků, kteří k matematice příliš netíhnou. Na vhodné kresbě či fotografii zvířete vytvářejí např. dvouhlavou zrůdu, zvíře bez hlavy či zrůdu s 8 nohami, … Odtud se můžeme vrátit ke geometrii (konstrukce obrazu bodu v osové souměrnosti, konstrukce kolmice k přímce, …). Jeden z možných pohledů na množinu Q je „pohled mnohoúhelníkový“. Podle počtu stran lze klasifikovat organismy na čtyřúhelníky (1, 2, 3, 5, 8 10), šestiúhelníky (4, 6, 13, 11, …), … Tradiční školní pohled na tuto problematiku lze motivovat další úlohou, která ovšem může být pro některé žáky zajímavým problémem.


SU

 MA


M8 Podivný mnohoúhelník Nakreslete mnohoúhelník, který má tuto vlastnost: Z některého bodu jeho vnitřku není vidět žádná jeho strana celá. Můžeme si dovolit v textu úlohy užít i pojmy, které nejsou dosud zavedeny? Pokud jsou tyto pojmy svázány se zkušeností žáků, je to dokonce účelné. V této úloze jde např. o otázku „vidění celé strany“. Diskuse opřená o reálnou zkušenost, „že není vidět za roh“, může být transformována do geometrického jazyka a modelována planimetricky. Obvykle docházejí žáci k závěru, „že takový mnohoúhelník nakreslit nejde“, že úloha nemá řešení. Diskuse o opaku může mít zajímavý průběh a vede k rozvíjení kritičnosti, spolupráce, k formulování hypotéz, hledání variant řešení a posléze i k hledání „technicky“ zajímavých výsledků. Proces orientace v názorném, ale pro žáky (ale i pro studenty) obtížném problému, s prožitím úspěchu a pochopením výsledku je cennou možností učit se překonávat překážky. Na obr. 21 je nakreslena situace, kdy z bodu P je vidět celá strana CD pětiúhelníku ABCD, ale není vidět celá jeho strana AB. Dvě možná řešení úlohy jsou nakreslena na obr. 22. Obr. 21

Obr. 22

M9 Stavba z krychlí Na obr. 23 je nakreslen nárys a bokorys stavby z krychlí. Z jakého nejmenšího (největšího) počtu krychlí je možné tuto stavbu vytvořit? Úloha je opět příležitostí k experimentování, k formulování závěrů a opravám omylů. Minimální počet potřebných krychlí je, za předpokladu, že stavba se může skládat z několika oddělených budov, 6 (obr. 24), maximální počet použitých krychlí je 20 (obr. 25). Obr. 24

Obr. 25


SU

 MA


M10 Čtvercový půdorys a nárys Určete několik těles, jejichž půdorys i nárys je čtverec (obr. 26). Každý žák patrně přijde na to, že hledaným tělesem může být krychle. Přirozená otázka zda musí být „krychle celá“, vede k představě trojbokého hranolu (obr. 27). Odtud je již malý krok k závěru, že „šikmá“ stěna nemusí být částí roviny a dostáváme tak další možná řešení (jedno z nich je na obr. 28). Jen žáci s dobrou představivostí přijdou na to, že do dvou čtverců se může promítnout i válec vepsaný do krychle (obr. 29). Obr. 26

Obr. 27

Obr. 28

Obr. 29

M11 Naše republika Zjistěte si údaje o rozloze, obvodu a počtu obyvatel naší republiky a řešte tyto úlohy. a) Jak velký čtverec má stejnou rozlohu jako naše republika? b) Jak dlouhá silnice šířky 10 m má stejnou rozlohu jako naše republika? c) Na jak velké čtvercové náměstí by se mohli „nahustit“ všichni obyvatelé naší republiky? d) Kolik lidí by bylo třeba na vytvoření „řetězu“ po celé naší hranici? Žáci jistě s radostí vytvoří model umístění maximálního počtu obyvatel na m2 a vypočtou pak, kolik obyvatel se „vejde“ na km2. Podobně je třeba experimentálně zjistit, řetěz kolika lidí bude mít např. délku 10 m, a další část úlohy řešit výpočtem. Odvážné žáky můžeme provokovat k odhadům výsledků.

6. Dvojí role aplikačních úloh Termín aplikace budeme v této práci chápat ve dvojím významu. První spočívá v tom, že matematické poznatky, matematický aparát, tedy matematiku, kterou žáci zvládli, aplikují na řešení úloh. Přitom to mohou být úlohy jakéhokoliv druhu, tedy i úlohy z „virtuálního“ světa, který může vykazovat i rysy ne příliš realistické. Tuto hru žáci zpravidla akceptují a není důvod, proč bychom se takovýmto úlohám měli úzkostlivě vyhýbat, mají-li nějaké přednosti (ukazují např. souvislost matematických jevů, kterou bychom v realitě hledali obtížně nebo s úrovní vstupních dat znemožňující řešení úloh v přijatelném čase). V zásadě by se ovšem neměli žáci setkávat jen s aplikacemi tohoto typu. Měli by poznat i aplikace matematiky na jevy ze života společnosti, z různých vědních disciplín, ze sportu, umění,… Nelze zastírat, že s úlohami tohoto typu jsou problémy, už proto, že reálná problematika bývá složitější, než se hodí k relativně rychlému proniknutí do podstaty souvislostí. Zdá se, že se často musíme spokojit s pseudoaplikacemi, které skutečné reálné problémy neřeší, ale pouze naznačují směr, v němž je možné matematiku použít. strana 18 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Lze přirozeně uvítat, dokáže-li učitel matematiky využít přirozené prostředí školy, místa, zaměření oblasti, … k tvorbě úloh, s jejichž tématikou se mohou žáci setkat mimo školu. V takovýchto případech hrají aplikační úlohu i roli motivační. Z tohoto hlediska mohou aplikační úlohy sloužit i jako výzva ke studiu nové matematické problematiky, dokážeme-li u žáků vzbudit zájem o to, jak „aktuální“ problém vyřešit. A1 Obsah čtverce a obdélníku Čtverec má obsah 100 cm2. O kolik procent se liší od obsahu tohoto čtverce obsah obdélníku, který má jednu stranu o 2% větší a druhou stranu o 2% menší než jsou strany daného čtverce? V úloze jde o základní aplikace pojmu procento. Pokud se vyskytnout žáci, kterým se zdá, že by obsah obdélníku měl být stejný jako obsah čtverce, zařadíme úlohu, pomocí níž je možné nahlédnout, že tomu tak není. Stačí nakreslit čtverec a obdélník konstruovat např. tak, že jednu jeho stranu zvětšíme, druhou zmenšíme o 50%. A2 Délka úhlopříček kosočtverce Vypočítejte délky úhlopříček kosočtverce z úlohy G4. Ze souměrnosti konstrukce vyplývá, že průsečík M úhlopříček SO, PQ kosočtverce půlí každou z nich. Dále počítáme podle Pythagorovy věty. A3 Vlnitý plech Na obr. 30 jsou nakresleny dva profily vlnitého plechu. V kterém případě je spotřeba plechu menší? Odhad potvrďte výpočtem. Úlohu můžeme řešit pro zvolený poloměr r, např. r = 6 cm, pak i pro libovolné r.

Obr. 30

A4 Obvod a obsah Vypočítejte obsah a obvod geometrického útvaru tvaru kapky z obr. 1. Úlohu opět řešíme na dvou úrovních: pro r = 4 cm a pro libovolné r.


SU

 MA


A5 Obsah součástky Vypočítejte plošný obsah součástky nakreslené na obr. 31. Úlohu nám pomůže vyřešit „výrobní princip“. Součástku můžeme vyrobit, když od „plného D“ odečteme půlkruh (obr. 32). Obsah součástky je tedy 300 mm2. Obr. 31

Obr. 32

A6 Vzdálenosti na mapě Na obr. 33 je nakreslen ukazatel vzdušných vzdáleností k místům A, B, C zobrazeným na mapě (obr. 34). Zakreslete do mapy místo S, kde se nalézá ukazatel. Obr. 34

Obr. 33

Úloha je typickou „pseudoaplikační“ úlohou, neboť na ukazatelích nejsou obvykle vzdušné vzdálenosti. Přesto však má úloha didaktický smysl, neboť vede žáky k představě o reálné situaci a jejím zobrazení na mapě a v nákresně. strana 20 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Chceme-li žáky výrazněji motivovat, můžeme se pokusit o ne zcela realistickou interpretaci typu: Výsadkář (čaroděj) přistál u ukazatele vzdáleností do míst A, B, C, která můžeme najít na mapě. Pak je vhodná diskuse o tom, zda známe vzdálenost místa, v němž se nalézáme, od míst A, B, C, kde takové místo leží, zda bude určeno, … Teoretické pozadí úlohy je ovšem v ilustraci věty, že shodné zobrazení roviny je určeno „dvěma shodnými trojúhelníky“, která se ve školské geometrii modifikuje do věty (sss) o shodnosti trojúhelníků. Úloha vede k rozvíjení kompetence modelovat reálné situace geometricky, analyzovat problém, odhadnout a interpretovat výsledky a hodnotit je. Zajímavá může být i diskuse o existenci řešení, přesnosti rýsování a jejím smyslu. A7 Rozkládací stůl Deska rozkládacího stolu ABCD se má nejdříve pootočit kolem čepu S v rovině ABC do polohy A´BĆ´D´ a pak se získá překlopením jedné části dvojité desky okolo hrany A´D´ stůl s obdélníkovou deskou BĆĆ1B1 podle obr. 35. Určete polohu čepu S, kolem něhož se deska otáčí. Má-li se v otočení dostat bod A do bodu A´, leží střed S na ose úsečky AA´, ze stejných důvodů náleží bod S ose úsečky BB´. Kdyby bod S „padl“ mimo desku stolu, nebyly by rozměry stolu vhodné pro navrhovanou konstrukci. Obr. 35

Obr. 36

A8 Cestička Na obr. 36 jsou nakresleny dvě cesty přes obdélníkovou louku. Která zaujímá větší plochu? Znají-li žáci vzorec pro obsah rovnoběžníku, je řešení ihned patrné. Uvědomí-li si, že trojúhelníky AGD, ECF a CEB jsou shodné, je řešení této úlohy podnětem k odvození vzorce pro obsah rovnoběžníku. A9 Objem kmene Dokažte, že obsah lichoběžníku je roven součinu délky střední příčky a výšky. Je objem komolého kužele roven součinu obsahu středního řezu a výšky kužele (obr. 37)? Pro rovnoramenný lichoběžník je tvrzení patrné z obr. 38. Představíme-li si komolý kužel jako těleso vzniklé otáčením rovnoramenného lichoběžníku kolem osy o (obr. 39), vidíme, že objem válce, jehož podstavou je střední řez kužele, není roven objemu rotačního kužele. strana 21 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Vyšrafované trojúhelníky na obrázku mají sice stejný obsah, ale rotací trojúhelníku PNB vznikne těleso většího objemu než rotací trojúhelníku PMC. Obr. 37

Obr. 38 Obr. 39

A10 Rozdělení republiky Na vhodné mapě České republiky sestrojte rozdělení celého území podle (vzdušných) vzdáleností od sídel krajských úřadů. Kritérium pro rozdělení území podle vzdušných vzdáleností je příliš formální. Přesto porovnání výsledku s realitou je zajímavé. Geometrickým podkladem úvahy je ovšem určení množiny bodů, které jsou stejně vzdáleny od dvou různých bodů, resp. blíže k jednomu bodu ne k druhému. A11 Obr a trpaslík Trpaslík vysoký 70 cm váží 10 kg. Kolik asi váží obr, který je čtyřikrát větší (tj. čtyřikrát „širší, delší i vyšší)? Existence obra Fina Cajanuse vysokého 283 cm je historicky doložena. Protože každý rozměr obra je čtyřikrát větší, je objem, a tedy i hmotnost obra 43 = 64 krát větší než hmotnost trpaslíka.

7. Problémové úlohy jako nejvýznamnější prostředek kultivace kompetencí V úvodu této kapitoly je účelné připomenout, že každé dobré matematické vzdělávání musí být nutně diferencované. Minimální požadavky osnov, které v konečné podobě mají podle navrhované koncepce tvořit v rámci rámcových programů školy samy, by měli zvládnout všichni žáci. Jde přitom o řešení úloh, na něž stačí porozumění příslušným pojmům a zvládnutí potřebných algoritmů. Problémové úlohy, které jsou námětem této kapitoly, mají sloužit ke zvýšení úrovně samostatného a kritického myšlení a rozvíjení schopnosti řešení úloh, které může dosahovat i charakteru tvořivosti. Je přirozené, že řešení problémových úloh je spjato s hledáním metod a způsobů, jak se s nimi vyrovnat, a je samozřejmé, že v tomto procesu budou žáci dělat chyby. Je třeba pomáhat jim chyby najít a poučit se z nich. Z toho vyplývá, že takovéto vyučování nabývá charakteru individuální práce s žáky, je neobyčejně náročné a souvisí s opravdovým učitelským uměním. Z druhé strany by mělo být jasné, že o řešení problémových úloh by se měli pokoušet všichni žáci. strana 22 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


U některých úloh je možné, že má dobrý smysl i dílčí řešení, na které všichni stačí, vyřešit úlohy kompletně se však podaří jen nejlepším. V našem textu je řada úloh, kdy na „šťastný“ nápad může přijít každý. Úlohy této kapitoly tedy nejsou určeny jen „dobrým“ žákům; mohou být motivací pro všechny. P1 Tři spojnice Na čtvercové destičce na obrázku 40 máme spojit bod A s bodem B, bod C s bodem D a bod E s bodem F tak, aby se žádné dvě spojnice neprotínaly. Je to možné? Představa, že spojnice bodů A, B rozděluje destičku na dvě části, je správná. Začneme-li však s konstrukcí spojnic bodů C, D a E, F, vidíme, že úloha má řešení (obr. 41). Obr. 40

Obr. 41

P2 Shodnost útvarů Sestrojte geometrické útvary U, V, které mají zároveň tyto tři vlastnosti: 1. útvar U je částí útvaru V, 2. útvar U je shodný s útvarem V, 3. útvar V není částí útvaru U. Většina řešitelů dojde obvykle k závěru, že geometrické útvary požadovaných vlastností neexistují, neboť si představí dva útvary podle obr. 42, z něhož usoudí, že shodnost útvarů U, V znamená, že U = V a tedy že útvar V je částí útvaru U. Tento závěr je ovšem mylný, neboť je vázán na představu omezených útvarů. Shodné úhly U, V umístěné podle obr. 43 splňují všechny tři vlastnosti požadované v úloze. Obr. 42

Obr. 43


SU

 MA


P3 Několik úseček Nakreslete šest úseček tak, aby každá protínala právě tři ze zbývajících. Řešte úlohu pro osm a sedm úseček. Řešení první úlohy je lehké a po chvíli experimentování by každý žák, který rozumí textu, měl úlohu vyřešit. Z možných výsledků zde uveďme „mříž“ na obr. 44. Řešení úlohy pro 8 úseček je mnohem obtížnější. Dvě možná řešení jsou nakreslena na obr. 45 („kapesníček“ a „2 hvězdičky“). Sedm úseček splňující podmínky úlohy se nedaří nakreslit. Vysloví-li některý žák otázku, zda „to vůbec jde“, dokládá tím svoji vyspělost. Na okraj poznamenejme, že podobnou otázku si položil genius Lobačevskij r. 1826 při studiu problému rovnoběžek a bylo to vyvrcholení snah najít důkaz pátého Euklidova postulátu, které trvaly více než 2 000 let. Otázka „Proč nemá úloha řešení pro 7 úseček“ je velmi obtížná, ale i na ni může některý hloubavý žák najít odpověď. Výraznou pomocí může být otázka: Kolik dvojic protínajících se přímek se v úloze vyskytuje? Protože na každé přímce se podle textu vyskytují průsečíky se třemi přímkami a na základě této úvahy počítáme každý průsečík dvakrát, byly v prvních dvou příkladech počty 1 1 1 21 . 3. 6 = 9, .3.8 = 12, v posledních pak by se měl počet průsečíků rovnat číslu .3.7 = , 2 2 2 2 což není možné. Obr. 44

Obr. 45a

Obr. 45b

P4 Tři úsečky Sestrojte lomenou čáru složenou ze čtyř úseček, která prochází danými devíti body na obr. 46a. Omezení, která si obvykle řešitel dává, jsou podobného typu jako v úloze P2. Zde omezujeme svou pozornost na čtverec „vymezený“ vyznačenými body. Vyjdeme-li „za jeho hranice“, najdeme řešení např. podle obr. 46b. Obr. 46a

Obr. 46b


SU

 MA


P5 Obvod trojúhelníku Určete obvod vyšrafovaného trojúhelníku ABC na obr. 47, je-li dán poloměr kružnice k r=4 cm a „délka tečny“ |AT|= 6 cm. Na první pohled se zdá, že uvedené dva údaje nestačí k určení obvodu trojúhelníku. Ze souměrnosti kružnice ovšem vyplývá, že v označení podle obr. 48 platí: |AT| = |AE| = 6 cm, |CT| = |CD|, |BE| = |BD|. Obvod trojúhelníku ABC je tedy |AC| + |CD| +|AB| + |BD| = 12 cm.

Obr. 47

Obr. 48

P6 Obsahy trojúhelníků Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami 8 cm a 2 cm a výškou 5 cm je rozdělen úhlopříčkami na čtyři trojúhelníky. Vypočítejte jejich obsahy (obr. 49). Kompetenci komunikovat rozvíjíme vhodnými otázkami. Zde se nabízejí např. otázky: 1. Jsou některé trojúhelníky na obr. 49 shodné? 2. Jsou některé trojúhelníky podobné? 3. Mají některé trojúhelníky stejné obsahy? Kladné odpovědi na poslední dvě otázky mohou vést k řešení. Platí  ABU ~  CDU (neboť stejně označené úhly jsou shodné), poměr výšek těchto trojúhelníků je roven poměru odpovídajících stran. Výšku 5 cm máme tedy rozdělit v poměru 8 : 2 = 4 : 1. Dále je řešení zřejmé. Vyšrafované trojúhelníky mají stejný obsah. K zdůvodnění tohoto tvrzení stačí vhodný pohled:  ADU je částí trojúhelníku ABD,  BCU je částí trojúhelníku ABC. Protože trojúhelníky ABD, ABC mají stejný obsah (proč?), mají stejný obsah i trojúhelníky ADU a BCU (proč?). Obr. 49

Obr. 50


SU

 MA


P7 Dělení čtverce Vypočítejte obsahy trojúhelníků a čtyřúhelníku, na něž dělí čtverec ABCD o straně a = 12 cm úsečky DB a CS, kde S je střed strany AB (obr. 50). Čím začít je otázka, která může někdy orientovat bezradné žáky k řešení. Zde je patrně účelné všimnout si, že trojúhelníky DCP a BSP jsou podobné. Na základě toho můžeme určit výšky těchto trojúhelníků ke stranám DC a SB, pak jejich obsahy a řešení lze snadno dokončit. P8 Shodné úsečky Na ramenech AC, BC rovnoramenného trojúhelníku ABC sestrojte body X, Y tak, aby úsečky AX, XY, YB byly shodné (obr. 51). Někdy pomůže úlohu modifikovat na úlohu jednodušší. V tomto případě by taková úloha vznikla, kdybychom místo rovnoramenného trojúhelníku uvažovali trojúhelník rovnostranný (body X, Y by byly středy stran AC, BC). Na naší úloze můžeme s žáky přesvědčivě podiskutovat o smyslu rozboru: Jsou-li X, Y body, které splňují podmínky úlohy, pak … (trojúhelník AXY je rovnoramenný a přímky XY a AB jsou rovnoběžné). Zajímavou úlohu dostaneme, jestliže vynecháme požadavek, že trojúhelník ABC je rovnoramenný. Tato úloha ovšem mírně přesahuje učivo základní školy. Obr. 51

Obr. 52

P9 Poloměr kružnice vepsané Vypočítejte poloměr kružnice vepsané trojúhelníku se stranami 8 cm, 15 cm a 17 cm. Zde by dobrým podnětem k řešení mohla být otázka, zda daný trojúhelník není pravoúhlý. Protože 152 + 82 = 172 je podle věty obrácené k větě Pythagorově zdůvodněna kladná odpověď. 1 1 Nyní můžeme vyjádřit dvojím způsobem obsah daného trojúhelníku: .15.8 = (15r + 8r + 17r). 2 2 Odtud určíme hledaný poloměr. To je vhodná úloha rozvíjející umění vidět souvislosti.


SU

 MA


P10 Dělení trojúhelníku Rozdělte trojúhelník na dvě části stejného obsahu. Jedno řešení by měli najít všichni žáci, kteří znají vzorec pro obsah trojúhelníku (těžnice trojúhelníku). K rozdělení trojúhelníku na trojúhelník a lichoběžník téhož obsahu je nutno všimnout si podobnosti výsledného trojúhelníku s trojúhelníkem původním a pak porovnat obsahy obou trojúhelníků (obr. 52). P11 Obvod a obsah Rozhodněte, zda platí: a) Čtverec s větším obvodem má i větší obsah. b) Obdélník s větším obvodem má i větší obsah. Svá tvrzení zdůvodněte. V příkladě a) je zřejmá kladná odpověď. Má-li čtverec větší obvod, má i větší stranu, a tedy i obsah. V případě b) je odpověď negativní. Obdélník „nudlička“ může mít libovolně velký obvod a zároveň libovolně malý obsah. P12 Dva mnohoúhelníky Nakreslete dva mnohoúhelníky, které mají po řadě rovnoběžné a shodné všechny strany, ale nejsou shodné. Ačkoliv se na první pohled zdá, že takové mnohoúhelníky nemohou existovat, není tomu tak, jak je vidět z obr. 53. Obr. 53

Obr. 54

P13 Bod vně mnohoúhelníku Nakreslete mnohoúhelník, který má tuto vlastnost: z některého bodu jeho vnějšku není vidět žádná jeho strana celá. S podobnou úlohou jsme se již setkali v kapitole o motivaci (úloha M8). Z obr. 22, kde jsou nakreslena řešení této úlohy, bychom snadno usoudili, že hledaný mnohoúhelník neexistuje. Položíme-li si otázku, zda bod P na obr. 22 nemůže ležet vně trojúhelníku, můžeme dojít k řešení např. podle obr. 54. strana 27 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


P14 Rotační těleso Nakreslete těleso, které vznikne rotací obdélníku kolem jeho úhlopříčky. Řešení úlohy usnadní modelování takového tělesa z obdélníkové kartičky. Popis výsledku je dobrým cvičením v představivosti (obr. 55). Vhodným startem k řešení úlohy je zobrazení obdélníku v určité poloze a v poloze otočené kolem jeho úhlopříčky o 180o. Výsledné těleso je sjednocením dvou rotačních kuželů (s vrcholy v „pólech“ S a J) a dvou komolých rotačních kuželů se společnou menší podstavou r. Obr. 55

Obr. 56

P15 Obdélníky stejného obsahu Dokažte, že obdélníky ABCD a AEFG sestrojené podle obr. 56 mají stejný obsah. Zřejmě stačí ověřit, že mají stejný obsah vyšrafované obdélníky EBCP a DPFG. Toto tvrzení zdůvodníme, uvědomíme-li si, že od shodných trojúhelníků ABQ a QGA odejmeme shodné trojúhelníky AEP, PDA a PCQ, QFP. P16 Hvězdičky Narýsujte vyšrafované části rovnostranného trojúhelníku a čtverce podle obr. 57 a vypočítejte jejich obvody a obsahy. Obvody vyšrafovaných útvarů jsou zřejmé, uvědomíme-li si, že jde u trojúhelníků o tři šestiny a u čtverce o čtyři čtvrtiny kružnice. K výpočtu obsahu potřebujeme ovšem určit nejdřív obsah rovnostranného trojúhelníku a obsah čtverce. Obr. 57

Obr. 58


SU

 MA


P17 Dělení čtverce Rozdělte čtverec na čtyři shodné části. Kolik řešení má úloha? Tři řešení patrně může najít každý žák (dělení úhlopříčkami, středními příčkami a rovnoběžkami s jednou stranou). Experimentování (např. na čtverečkovaném papíře) přináší další možnosti. Objeví některý žák, že řešení je nekonečně mnoho? Stačí „vhodnou“ čáru, která spojuje bod obvodu čtverce s jeho středem, pootočit o 90o, 180o a 270o (obr. 58). Po diskusi s žáky dojdeme k závěru, že vhodná je taková čára, která se neprotíná se žádnou z otočených čar. P18 Osa úhlu? Určete množinu všech bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od daných polopřímek VA, VB. V této úloze jde o pojem vzdálenosti bodu od polopřímky, který není zaveden. Vyjdeme-li z přirozené představy, že vzdálenost bodu P od útvaru U je velikost nejmenší úsečky PX, kde X je libovolný bod útvaru U, dojdeme k poznání, že vzdálenost bodu od polopřímky VA musíme zavést různě v polorovině kA a v polorovině k ní opačné podle obr. 59. Množinou bodů, které mají stejnou vzdálenost od polopřímky VA jako od polopřímky VB je úhel  spolu s osou o úhlu AVB. Obr. 59

Obr. 60

P19 Thaletova kružnice Je dána úsečka AB. Vyšetřete množinu vrcholů C všech pravoúhlých trojúhelníků ABC. V úloze je nutno uvážit, že vrcholem pravého úhlu může být bod A, bod B nebo bod C. V prvém případě je množinou vrcholů C přímka a kolmá k přímce AB (s výjimkou bodu A, obr. 60), v druhém případě přímka b (s výjimkou bodu B), v posledním případě pak kružnice k s průměrem AB (mimo bodů A, B). P20 Šachovnice Kolik čtverců je nakresleno na šachovnici? Nejdříve bychom se měli zabývat otázkou velikosti čtverců. Nejmenší nakreslený čtverec je „jednotkový“, takových je 64, největší čtverec má stranu 8 jednotek a je jediný. strana 29 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Nyní je třeba spočítat, kolik je na šachovnici čtverců o stranách 2, 3, …, 7. Tyto výsledky můžeme získat na základě představy o posouvání čtverce do všech možných poloh. Pro čtverec se stranou 3 jsou všechny možnosti naznačeny na obr. 61. Těchto poloh je 6.5=30. Obr. 61

Obr. 62

P21 Dělení čtverce Rozdělte a) čtverec, b) trojúhelník na lichoběžníky. Rozdělte čtverec na lichoběžníky, které nejsou pravoúhlé. Úloha a) je velmi jednoduchá (obr. 62). Řešení úlohy b) je sice jednoduché, ale cesta k výsledku na obr. 63 může představovat řadu neúspěšných experimentů. Výsledek b) umožňuje řešit poslední úlohu, např. podle obr. 64. Obr. 63

Obr. 64

Obr. 65

P22 To není krychle Nakreslete síť neprůhledného mnohostěnu nakresleného na obr. 65. Všechny hrany tohoto tělesa jsou viditelné. Z toho, že všechny hrany tělesa jsou viditelné, plyne, že mnohostěn má 8 stěn. Jedna stěna je šestiúhelník, který na obrázku tvoří obrys mnohostěnu, a „nad“ tímto šestiúhelníkem je v prostoru umístěna čtvercová stěna, kterou spojují se šestiúhelníkem 4 stěny lichoběžníkové a 2 stěny trojúhelníkové. Úloha je náročná na prostorovou představivost, ze sítě pak lze těleso vymodelovat.


SU

 MA


P23 Obsah čtverce Jakou část obsahu čtverce představuje vyšrafovaný čtyřúhelník (E, F, G, H jsou středy stran čtverce ABCD, obr. 66). Nejdříve bychom měli vést žáky k zdůvodnění výsledku, že vyšrafovaný čtyřúhelník je čtverec. Takovéto jednoduché úlohy jsou dobrým začátkem rozvíjet kompetenci argumentovat, zdůvodňovat 1 tvrzení. Z řady možností jak dokázat výsledek (malý čtverec má obsah rovný obsahu velkého 5 čtverce) připomeňme elegantní řešení podle obr. 67. Je ovšem třeba dokázat, že vyšrafované trojúhelníky jsou shodné. Obr. 66

Obr. 67

Obr. 68

P24 Kružnice a trojúhelník Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte kružnice se středy v bodech A, B, C tak, aby každé dvě měly vnější dotyk. Pokusy zvolit poloměr některé z kružnic nevedou k cíli. I zde se vyplatí vyjít z předpokládaného řešení podle obr. 68 a poloměry kružnic vypočítat z podmínek x + z = c, x + y = b, y + z = a, kde a, b, c jsou velikosti stran trojúhelníku ABC. P25 Výška trojúhelníku Vypočítejte délku výšky k přeponě v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami 3 cm a 4 cm. Důležitou funkci hraje výška trojúhelníku ve vzorci pro jeho obsah. Protože obsah našeho trojúhelníku je 6 cm2 (trojúhelník je polovinou obdélníku) a tento obsah 1 můžeme vyjádřit i pomocí výšky v k přeponě, platí 12 = c.v . Určíme-li c (podle Pythagorovy 2 věty), můžeme určit i v. P26 Musí to být obdélník? Obsah čtyřúhelníku ABCD je roven číslu S = |AB|. |BC|. Musí být ABCD obdélníkem? Nemusí, čtyřúhelník ABCD může být např. deltoidem (obr. 69). strana 31 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


P27 Musí to být rovnoběžník? Obvod čtyřúhelníku ABCD je roven číslu o = 2 (|AB| + |BC|). Musí být tento čtyřúhelník rovnoběžníkem? Negativní odpověď můžeme demonstrovat na deltoidu z úlohy P26, stačí ovšem, aby součet dvou sousedních stran |AD| + |DC| se rovnal součtu sousedních stran |AB| + |BC|. Takovýchto možností je nekonečně mnoho. Obr. 69

Obr. 70

P28 Hranol Existuje hranol, který má shodné všechny stěny, ale nemá shodné všechny hrany? Existuje hranol, který má shodné všechny hrany, ale nemá shodné všechny stěny? Úloha je vhodná k zopakování geometrické terminologie. Protože boční stěny libovolného hranolu jsou rovnoběžníky, vyplývá z požadavku shodnosti všech stěn našeho tělesa, že hranol bude rovnoběžnostěnem (obr. 70). Označíme-li délku boční hrany písmenem h, plyne ze shodností boční stěny a horní podstavy, že aspoň jedna z hran EF, FG má rovněž délku h. Je-li to např. hrana FG, je čtyřúhelník FGCB kosočtverec a všechny hrany našeho mnohostěnu musejí být shodné. Odpověď na druhou otázku je kladná. Např. pravidelný šestiboký hranol, jehož výška je shodná se stranou šestiúhelníka podstavy má shodné všechny hrany, ale nemá shodné všechny stěny (obr. 71). Obr. 71

Obr. 72


SU

 MA


P29 Síť dvou těles Sestrojte síť tělesa nakresleného na obr. 72 (ke krychli je připojen čtyřboký jehlan se shodnými hranami). Sestrojte síť tohoto tělesa a ukažte, že existuje další těleso s touž sítí. Druhé těleso získáme, když od krychle jehlan odejmeme. P30 Délky osy úhlu V pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a, b protíná osa pravého úhlu přeponu v bodě D. Vypočítejte délku úsečky CD (obr. 73). Úsečku CD můžeme chápat jako úhlopříčku ve čtverci CQDP podle obr. 74. Z podobných trojúhelníků BPD a DQA můžeme určit stranu x čtverce CQDP a odtud i úhlopříčku CD. Obr. 73

Obr. 74

P31 Objem čtyřstěnu Vypočítejte objem čtyřstěnu EGBD, jehož vrcholy jsou vrcholy dané krychle podle obr. 75. 2 3 Z částí oddělených z krychle můžeme sestavit čtyřboký jehlan s objemem a . Objem 3 1 čtyřstěnu EGBD je tedy a3. 3 Obr. 75

Obr. 76


SU

 MA


P32 Nárys a půdorys Nakreslete tělesa podle jejich půdorysu a nárysu (obr. 76). Příklady výsledků jsou na obr. 77. Každá z úloh má více řešení. Obr. 77

Obr. 78

P33 Obraz kružnice Řešte znovu úlohu G14. Dokažte: Probíhá-li bod X kružnicí k, probíhá bod X´ kružnice m, n s průměry CS a SD. Hypotézu známou z řešení úlohy G14 je nutno dokázat. K tomu stačí ukázat, že obraz X´ libovolného bodu X kružnice k leží na některé z kružnic m, n (obr. 78). Protože podle konstrukce jsou trojúhelníky SXP, CSX´ shodné (podle věty sus), je u vrcholu X´ pravý úhel, jehož ramena procházejí body C, S. X´ leží tedy na Thaletově kružnici s průměrem CS. Podobně dokážeme, že libovolný bod Y´ kružnice m (nebo n) vznikl popsanou konstrukcí. P34 Mezikruží, čtverec a obdélník a) b) c) a)

Sestrojte kruh, který má stejný obsah jako dané mezikruží. Sestrojte čtverec, který má stejný obsah jako dva dané čtverce. Sestrojte obdélník, který má stejný obsah jako dva dané obdélníky. Vyjádříme-li podmínky úlohy vzorci, dostaneme (v označení podle obr. 79):  R2 -  r2 =  (R2 – r2) =  x2 . Odtud je zřejmé, že poloměr x je podle Pythagorovy věty odvěsnou v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou R a jednou odvěsnou r. Tato konstrukce je patrná z obr. 80. b) Zde jde o bezprostřední aplikaci Pythagorovy věty (obr. 81). c) Umístíme-li dané obdélníky podle obr. 82 (obdélníky ABCD, BEFG), můžeme výsledný obdélník AEXY sestrojit podle konstrukce uvedené v úloze P15.


SU

 MA


Obr. 79

Obr. 81

Obr. 80

Obr. 82

P35 Dva čtverce Vypočítejte obsah společné části dvou shodných čtverců (obr. 83). Vrchol jednoho je ve středu druhého. Úloha je podnětná svou srozumitelností a řadou možností, jak přistupovat k jejímu řešení. Analýza geometrických souvislostí ukazuje na různé způsoby, které můžeme při řešení využít. Dosud patrně žáky neřešený problém (vypočítat obsah „obecného čtyřúhelníku“) vede k otázkám: na jaké útvary, jejichž obsah umíme vypočítat, můžeme čtyřúhelník rozdělit (2 nebo 3 trojúhelníky, lichoběžník a trojúhelník, obdélník a trojúhelník), jak doplnit čtyřúhelník na „vhodný“ obdélník, jak pootočit jeden ze čtverců tak, aby bylo patrné řešení. Originální řešení spočívá v nápadu prodloužit 1 strany SM, SP čtverce SMNP (obr. 84). Vyšrafovaný čtyřúhelník zaujímá celého čtverce. 4 Provádět rozbor, komunikovat o situaci, diskutovat o různých přístupech a hodnotit je, vést k originálním řešením – to vše jsou cenné a reálné možnosti, které nabízejí úlohy tohoto typu.


SU

 MA


Obr. 83

Obr. 84

P36 Dva obdélníky O kolik procent musíme zmenšit druhou stranu obdélníka, jestliže jsme jednu jeho stranu o 25% zvětšili a obsah obdélníku má zůstat nezměněn? Výsledek, že druhou stranu musíme o 25% zmenšit, je přirozeně nesprávný. Druhou stranu musíme zmenšit o 20%, jak odvodíme výpočtem. Obr. 85

Obr. 86

P37 Tyč ve výtahu Jak dlouhá tyč se vejde do výtahu, který má tvar kvádru na obr 85? Nejdelší tyč bude mít délku tělesové úhlopříčky kvádru. K jejímu určení můžeme aplikovat Pythagorovu větu na trojúhelníky ABD a HDB (obr. 86). P38 Hmotnost kladiva Poznáte, co je na obr. 87? Kolik váží toto kladívko, je-li z oceli (1 dm3 váží 7,5 kg)? Rozměry na obrázku jsou v mm. Kolikrát těžší by bylo „kladivo“, kdyby rozměry na obrázku byly v cm? V úloze jde o „rozklad“ kladívka na geometrické útvary, jejichž objem umíme vypočítat. Protože se každý rozměr při změně měřítka zvětší desetkrát, zvětší se objem tisíckrát.


SU

 MA


Obr. 87

P39 Třetiny čtverce Na obr. 88 je čtverec rozdělen různými způsoby na části stejného obsahu. Vypočítejte v každém případě délku x. Řešení v jednotlivých případech dostaneme, uvědomíme-li si, že příslušný díl (obdélník, 1 trojúhelník, čtverec, čtvrtkruh, …) má obsah rovný obsahu čtverce. 3 Obr. 88

P40 Poloviny šestiúhelníku Obr. 89

Obr 90

a) Na obr. 89 je nakreslen šestiúhelník ABCDEG složený ze tří čtverců. Sestrojte po řadě body A, B, C, D, E, F, G, H úsečku, která dělí šestiúhelník na dvě části stejného obsahu. b) Rozdělte šestiúhelník ABCDEG na tři a na čtyři shodné části. strana 37 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


a) Řešení pro body C, G je zřejmé (obr. 90). Úsečku AX, která dělí šestiúhelník na dvě části stejného obsahu, sestrojíme, vypočítáme-li délku |GX| (z podmínky, že obsah trojúhelníku AGX 3 3 je , obr. 91). Podobně sestrojíme úsečku DY z podmínky, že lichoběžník DEGY má obsah 2 2 (obr. 92). b) K rozdělení šestiúhelníku na 4 shodné části je účelné pracovat s čtverečkovaným papírem (obr. 93). Obr. 91

Obr. 92

Obr. 93

P41 Poloměr kružnice Vypočítejte poloměr malé kružnice, která se dotýká ramen pravého úhlu a kružnice poloměru 1 podle obr. 94. Žáci by měli soustředit pozornost na trojúhelník PST. V něm můžeme určit přeponu PS jednak podle Pythagorovy věty ( 2 ), jednak jako součet velikostí úseček |PO| = x 2 , |OD| = x, |DS |= 1. Výpočtem pak získáme výsledek 2 1 x= . 2 1 Obr. 94

Obr. 95


SU

 MA


P42 Dva šestiúhelníky Dokažte: Má-li pravidelný šestiúhelník vepsaný kružnici k obsah 3 cm2, má pravidelný šestiúhelník opsaný téže kružnic obsah 4 cm2. Překvapivý výsledek, že obsah „šestiúhelníkového prstýnku“, který by měli žáci narýsovat, je 1 cm2, zdůvodníme výpočtem. Odpovídající si úsečky v šestiúhelníku opsaném a vepsaném jsou v poměru 2 : 3 (obr. 95), neboť |SP´| = r, |SP| =

r 3 . 2

P43 Pravidelný dvanáctiúhelník Sestrojte pravidelný dvanáctiúhelník vepsaný kružnici s poloměrem r a vypočítejte jeho obsah. Konstrukce je patrná z obr. 96, neboť dvanáctiúhelník je složen z 12 rovnoramenných 360 o 1 r trojúhelníků, jejichž ramena svírají úhel = 30o. Protože je v = |AP| = |AC| = , platí 12 2 2 pro obsah S pravidelného dvanáctiúhelníku: 1 r S = 12 . r . = 3r2. 2 2 K tomuto, patrně nečekanému, výsledku jsme došli velmi jednoduše. Jestliže řeší úlohu někdo zcela samostatně, nemusí přirozeně na postup, který jsme uvedli, přijít. Připomeňme zde řadu „správných“ výsledků řešení této úlohy, které jsem při různých příležitostech získal. Můžete se pokusit uvést je všechny na tvar 3r2 a odhadnout postup, jímž autoři k výsledku došli. S = 6r2 sin 30o, S = 12 r2 sin 15o cos 15o S = 12 r2 sin 75o cos 75o S = 6 r2

2  3 sin 75o,

12r 2 sin 30 o cos15 o , 2 sin 75 o r2 S = 12 2 3 2 3 , 4 1 1 S = 3r2 1 , o sin 75 16 sin 2 75 o S=

S = 12 . S = 6r2 .

r 4 2  3 . 2  3 .(2  2  3 (2  2  3 ) , 16 sin 30 o sin 2 30 o . 1  . sin 75 o 4 sin 2 75 o

Touto poznámkou chceme ilustrovat, že větší rozsah matematických poznatků nemusí vést k „lepšímu“ řešení. Neznámý čínský matematik vyřešil někdy kolem r. 300 n. l. úlohu „bez počítání“, konstrukcí 3 čtverců podle obr. 97. strana 39 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Obr. 97

Obr. 96

P44 Tři kružnice Na obr. 98 jsou sestrojeny shodné kružnice k, m, n, které se dotýkají. Vypočítejte délku tětivy AB, kterou na kružnici m vytíná tečna kružnice n, která prochází středem kružnice k. Zde bychom si měli všimnout, že úsečka SP je střední příčkou trojúhelníku OQT a délku |SB| můžeme vypočítat pomocí Pythagorovy věty. Obr. 98

P45 Hra Život Hru Life od amerického matematika Johna Conwaye můžeme považovat za propedeutiku několika matematických pojmů (zobrazení, hranice, okolí, souvislost, periodičnost, …).

Pravidla hry Hraje jeden hráč na čtverečkovaném papíru. Každý čtverec má právě osm tzv. sousedních čtverců (jsou to ty čtverce, které s ním mají neprázdný průnik). Geometrický útvar složený z několika čtverců považujeme za „buněčný organismus“, který se vyvíjí podle těchto genetických zákonů: 1. Na konci každého období odumírají ty buňky, které mají nejvýše jednu, nebo aspoň čtyři sousední buňky. 2. Buňky, které mají právě dvě nebo tři sousední buňky, přežívají do dalšího období. 3. Na volných polích, které mají právě tři sousední buňky, se rodí nové buňky. strana 40 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Při hře postupujeme takto: na volné části čtverečkovaného papíru označíme tečkami výchozí stav. Velkou tečkou vyznačíme ty buňky, které přežívají, křížkem ty, které umírají a nakonec velkou tečkou ty, které se nově rodí. Příklad vývoje čtyřbuněčného organismu je nakreslen na obr. 99. Po třech změnách se vývoj organismu zastavil, organismus je stabilní. Obr. 99

Na obr. 100 jsou nakresleny osudy jiného čtyřbuněčného organismu. Po devíti změnách přejde organismus do „kmitajícího stavu“ čtyř čtverců ve vertikální nebo horizontální poloze. Obr. 100


SU

 MA


Určete osudy organismů nakreslených na obr. 101. Obr. 101

Organismus A po dvou obdobích vymírá, organismus B se po prvním období dostává do stabilního stavu, organismus C kmitá, organismus D je neměnný.

9. Témata pro samostatnou práci V tomto textu je uvedena řada úloh, které mohou podle mého názoru přispívat k rozvíjení kompetencí žáků. K realizaci tohoto cíle je ovšem třeba prověřit naznačené náměty v praxi. Z tohoto důvodu navrhuji k samostatnému zpracování tato témata: 1. Geometrie v 6. (7., 8., 9.) ročníku jako systém řešení úloh. 2. Konstrukční úlohy na základní škole. 3. Systém geometrických motivačních úloh. 4. Systém úloh na porozumění textu a rýsování. 5. Aplikační úlohy v geometrickém vzdělávání. 6. Problémové geometrické úlohy. 7. Konstruktivní přístupy k vyučování geometrie. Ilustrace na systému příprav. 8. Konstruktiví přístupy k vyučování geometrii. Rozbor experimentálního vyučování. 9. Rozvíjení myšlení ve vyučování geometrii. 10.Problémy geometrického vyučování.

10. Závěr Práce vychází z přesvědčení, že vyučování, které má přispívat ke kultivaci kompetencí, je vyučování, při němž je žák aktivní, a to ne formálně vypěstovanou pseudoaktivitou, ale prací. Organizovat žákovskou práci je přirozeně obtížné, a má-li být vyučování úspěšné, musí žák pracovat s chutí, s elánem, s přesvědčením o smysluplnosti takové práce. Pokuste se ukázat, že je to možné. Jste-li přesvědčeni, že to možné není – v podmínkách našeho uspěchaného světa – že žák se v nejlepším může něco formálně nadřít, aby vyhověl požadavkům školy, ale že ideje získávání kompetencí je pedagogickou iluzí, snažte se to prokázat.


SU

 MA


Literatura [1] MATOUŠEK, J., NEŠETŘIL, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Praha 1998. [2] NEŠETŘIL, J.: Strom jako matematická struktura – i v umění. Souvislosti, O4, 2005, s. 183. [3] KOLÁŘ, I.: Postavení geometrie v současné matematice. Matematika – fyzika – informatika, č. 8, 1996. [4] SCRIBA, C. J., SCHREIBER, P.: 5 000 Jahre Geometrie, Springer, Berlin 2001. [5] Eukleidovy Základy. JČM, Praha 1907. [6] FOLTA, J.: Dějiny matematiky I., NTM, Praha 2004. [7] Národní program rozvoje vzdělávání v České republice. Bílá kniha, MŠMT, Praha 2001. [8] HEJNÝ, M., KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika. Portál, Praha 2001. [9] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. VÚP. Praha 2002. [10] ČECH, E.: Počáteční studium vyučování geometrii. VÚP, Praha 1955 . [11] GOETHE, J., W.: Faust. F. Borový, Praha 1949. [12] KABELE, J., JANKŮ, M.: Metodický text pro učitele k učebnici Matematika pro 2. ročník ZŠ. SPN, Praha 1976.


SU

 MA


Geometrie jako příležitost k rozvoji žákovských kompetencí

Recommend Documents