Gecijferdheid I Cijfers en getallen, getalsystemen Basisbewerkingen: cijferen, kolomsgewijs rekenen, eigenschapsrekenen 1, Terminologie en gevarieerd rekenen
Reader bij PABBHR14X, Cij 1, Basisvaardigheden, handig rekenen (voorheen gecijferdheid 1, pabrcij1)
Inhoudsopgave Inleiding...................................................................................................................................... 2 Hoofdstuk 1 ................................................................................................................................ 3 Getallen .................................................................................................................................. 3 1.1 Cijfers en Getallen: decimaal positioneel getalsysteem .................................................. 3 1.2 Romeins getalsysteem: .................................................................................................... 5 1.3 Afronden bij kommagetallen: .......................................................................................... 5 1.4 Basisbewerkingen ............................................................................................................ 7 Meer lezen en oefenen .......................................................................................................... 8 Hoofdstuk 2 ................................................................................................................................ 9 2.1 Eigenschapsrekenen a...................................................................................................... 9 2.2 Eigenschapsrekenen b ................................................................................................... 16 Meer lezen en oefenen ........................................................................................................ 23 Hoofdstuk 3 .............................................................................................................................. 24 Kolomsgewijs rekenen, cijferen: Optellen, Aftrekken Vermenigvuldigen ........................... 24 3.1 Cijferend optellen en aftrekken ..................................................................................... 24 3.2 Kolomsgewijs optellen en aftrekken.............................................................................. 25 3.3 Cijferend vermenigvuldigen ........................................................................................... 26 3.4 Kolomsgewijs vermenigvuldigen ................................................................................... 26 3.5 Toelichting op Cijferend optellen, aftrekken en vermenigvuldigen .............................. 27 Meer lezen en oefenen ........................................................................................................ 33 Hoofdstuk 4 .............................................................................................................................. 34 4.1 Cijferend delen ............................................................................................................... 34 4.2 ‘Kolomsgewijs delen’ of ‘delen door herhaald aftrekken’: ............................................ 34 4.3 Oefenen met deelsommen ............................................................................................ 39 4.4 Gevarieerde oefeningen ................................................................................................ 42 Meer lezen en oefenen ........................................................................................................ 45 Hoofdstuk 5 .............................................................................................................................. 46 5.1 Terminologie .................................................................................................................. 46 5.2 Eenvoudige reeksen ....................................................................................................... 46 5.3 Gevarieerde opgaven ..................................................................................................... 47 Meer lezen en oefenen ........................................................................................................ 57 Literatuurlijst............................................................................................................................ 58 Bijlage 1: Uit “Kennisbasis Rekenen-Wiskunde”...................................................................... 59 Bijlag 2 Trainingsplan jaar 1 ..................................................................................................... 63
Gecijferdheid I
1
Inleiding Grote getallen, kleine getallen, ronde getallen, driehoeksgetallen, kommagetallen, geluksgetallen, ben jij ’handig met getallen’? Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Kun jij vlot en handig rekenen? Door de opgaven te maken en met je medestudenten en docent te bespreken krijg je meer greep op getallen en de basisbewerkingen. Een goede kennis van getallen en getalinzicht vormen de basis om te werken aan de verdere ontwikkeling van je professionele gecijferdheid. Je leert dat elke bewerking zijn eigen bijzonderheden kent en je leert dit te benutten om snel en handig te rekenen. Als de getallen groter worden en er geen handige rekenmanier gevonden kan worden, zul je een systematisch aanpak moeten beheersen om getallen op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen. Je leert kolomsgewijs te rekenen, waarbij je de betekenis van de cijfers en hun posities bekijkt en rekent met de concrete getalwaardes. Hierbij blijf je nadenken over de betekenis van de getallen en over de stappen die je doet tijdens het rekenproces. (Kost wel energie.) Je leert cijferen, waarbij je een standaard routine (programmaatje, algoritme) gebruikt waarmee je vlot allerlei bewerkingen kunt uitvoeren, zonder dat je er te veel over hoeft na te denken. (Kost minder energie en geheugen.) Je verkent en herkent een aantal eenvoudige getalreeksen.en hoe je getallenreeksen handig snel optelt. Door regelmatig je eigen antwoorden te controleren met een zakrekenmachine (ZRM) leer je ook dit apparaat routinematig te gebruiken. De boeken ‘Handig met getallen 2’ en ‘Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo’ bieden extra oefenstof. Aan het eind van ieder hoofdstuk staat welke delen uit deze boeken aansluiten bij de stof. Als je meer wilt oefenen: In de Mediatheek staan de basisschoolmethodes De Wereld in Getallen, Rekenrijk, Wis en Reken, Alles Telt, Wizwijs en Pluspunt met nog heel veel oefenopgaven! Voor extra uitleg kijk je in de handleidingen voor de leerkracht van de groepen 6, 7 en 8 waarin je vaak duidelijke en overzichtelijke toelichtingen vindt. Verder kun je gebruik maken van de rekenspellen op Rekenweb (www.rekenweb.nl). Op internet kun je ook nog andere oefeningen voor rekenvaardigheid vinden.
Wij hopen dat je met plezier met Gecijferdheid I aan de slag gaat!
Docenten Rekenen & Wiskunde
Gecijferdheid I
2
Hoofdstuk 1 Getallen 1.1 Cijfers en Getallen: decimaal positioneel getalsysteem Opdracht 0 Bestudeer voor les 2 de bijlage “Maatschappelijke relevantie getallen en hoofdbewerkingen” en noteer met name de eigenschappen van de basisbewerkingen die kunnen worden gebruikt bij het opereren met getallen, zoals de commutatieve eigenschap, de associatieve eigenschap, de distributieve eigenschap en het begrip “inverse relatie”.
Opdracht 1 a) welk getal is groter: de drie of de vijf? b) welk cijfer is groter: de drie of de vijf? c) wat is het verschil tussen een “cijfer” en een “getal”?
3
5
Wij rekenen met het decimaal positioneel getalsysteem. Dit betekent dat we met de cijfers 0 t/m 9 getallen maken (vandaar “decimaal”). De plaats van het cijfer in een getal bepaalt de waarde (vandaar “positioneel”).
Voorbeeld:
3 4 2 7, 3 2 6
D 1000
H 100
T 10
E, 1
3
4
2
7,
t 1/
10
3
h 1/
100
2
d 1/
1000
6
Dit getal heeft de waarde van : 3 duizend + 4 honderd + 20 + 7 + 3 tienden + 2 honderdsten + 6 duizendsten Wij spreken dit getal uit als: “Drieduizend
vierhonderdzevenentwintig driehonderdzesentwintigduizendsten”
Het voluit schrijven van getallen gebeurt volgens onderstaande regels (Genootschap Onze Taal, z.d.): Hele getallen in woorden worden aan elkaar geschreven, met de volgende uitzonderingen
Na duizend komt een spatie. Woorden als miljoen en miljard staan los.
Voorbeelden:
108: honderdacht
Gecijferdheid I
3
678: zeshonderdachtenzeventig 2013: tweeduizend dertien 2577: tweeduizend vijfhonderdzevenenzeventig / vijfentwintighonderdzevenenzeventig 17.053.980: zeventien miljoen drieënvijftigduizend negenhonderdtachtig
Het woord en kan eventueel als los woord worden toegevoegd na honderd of duizend:
108: honderd en acht 678: zeshonderd en achtenzeventig 2013: tweeduizend en dertien 2577: tweeduizend vijfhonderd en zevenenzeventig / vijfentwintighonderd en zevenenzeventig 17.053.980: zeventien miljoen drieënvijftigduizend negenhonderd en tachtig
Rangtelwoorden Rangtelwoorden zijn altijd zonder spatie:
108e: honderdachtste 2013e: tweeduizenddertiende 17.000.000e: zeventienmiljoenste
Breuken Volgens de officiële spelling (het Groene Boekje) worden de teller en de noemer los van elkaar geschreven:
1/3: een derde 2/5: twee vijfde(n) 27/100: zevenentwintig honderdste(n) 3 5/8: drie (en) vijf achtste(n)
Opdracht 2 Schrijf netjes uit hoe je onderstaande getallen formeel juist uitspreekt: a) 23,017 b) 106,0004 c) 2.000.000,107
Opdracht 3 Schrijf de volgende getallen juist op: a) tweemiljoenzesduizend-zeventientienduizendsten b) zesduizendvierhonderdzeven-zeventienhonderdsten
Gecijferdheid I
4
1.2 Romeins getalsysteem: De Romeinen gebruikten een geheel ander getalsysteem. Letters werden gebruikt om aantallen aan te geven. Een combinatie van letters levert dan een getal. MMXI betekent: tweeduizendelf.
Opdracht 4 Weet je het nog? Zet het juiste getal onder elke letter
I
V
X
L
C
D
M
Notabene: 4 = IV, 9 = IX
Opdracht 5 a) Welke getallen staan op deze arm? b) Kun jij jouw eigen geboortedatum schrijven met Romeinse cijfers? c) Reken met Romeinse getallen de opgave 146
+ 319 uit. Wat gaat er anders dan bij het optellen in een decimaal positioneel getalsysteem?
1.3 Afronden bij kommagetallen: Kommagetallen worden vaak afgerond. Een getal met veel cijfers achter de komma is moeilijk leesbaar. Bovendien zijn vaak alleen de eerste paar cijfers belangrijk (Beter rekenen, z.d.). Een voorbeeld:
93 : 16 = 5,8125 afgerond op twee cijfers achter de komma: 93 : 16 = 5,81 In dit geval laat je alle cijfers na de 1 weg.
Een ander voorbeeld:
62 : 9 = 6,888888... (een eindeloze reeks achten) afgerond op twee cijfers achter de komma: 62 : 9 = 6,89 In dit geval laat je alles na de tweede 8 weg. Omdat het eerstvolgende cijfer een 8 is, moet je het getal "naar boven afronden". Dat betekent dat je het laatste overblijvende cijfer groter maakt. De tweede 8 wordt een 9. Je rondt het getal af naar boven als het eerste weggelaten cijfer 5 of hoger is.
Gecijferdheid I
5
Afronden op hoeveel decimalen Een "krom" getal met veel decimalen (cijfers achter de komma) kun je op verschillende manieren afronden:
5,27439 is afgerond op tienden: 5,3 (naar boven afgerond) 5,27439 is afgerond op honderdsten: 5,27 5,27439 is afgerond op duizendsten: 5,274 5,27439 is afgerond op tienduizendsten: 5,2744 (naar boven afgerond)
Let alleen op het eerstvolgende cijfer Als je een getal moet afronden, let dan alleen op het eerstvolgende cijfer dat je weglaat. Als dat cijfer lager is dan 5, rond je omlaag af. Is dat cijfer 5 of hoger, rond je omhoog af. Alle volgende cijfers zijn niet van belang. Dus:
Afronden op een geheel getal: 11,4325698476 wordt 11 11,4982757812 wordt 11 11,5023485645 wordt 12 11,9998171544 wordt 12 Afronden op een cent: € 11,4325698476 wordt € 11,43 € 11,4982757812 wordt € 11,50 € 11,5023485645 wordt € 11,50 € 11,7852340985 wordt € 11,79 € 11,9998171544 wordt € 12,00
Tussentijdse afrondingen Pas op voor afrondingen halverwege je berekening. Daar kan de uitkomst van de gehele berekening last van hebben. Bijvoorbeeld: Wat kosten 9 strippen als een 15-strippenkaart € 7,70 kost? € 7,70 : 15 x 9 = 0,51333... x 9 = € 4,62 Als je tussentijds afrondt, wordt de uitkomst anders: € 7,70 : 15 x 9 = 0,51 x 9 = € 4,59 Als je in je berekening een deling en een vermenigvuldiging hebt zitten, kun je de volgorde ook omdraaien, als je maar weet wat je doet. Als je eerst vermenigvuldigt, heb je pas aan het eind met afronden te maken: € 7,70 : 15 x 9 = € 7,70 x 9 : 15 = € 69,30 : 15 = € 4,62 Moet je een deelsom uitrekenen op twee decimalen, zorg dan dat je de som uitrekent op drie decimalen en rond dan af naar twee decimalen.
Gecijferdheid I
6
-
1.4 Basisbewerkingen
+
x
:
Basisbewerkingen worden ook wel “hoofdbewerkingen” genoemd. Het betreft Optellen (hoeveelheden samennemen en dan het totaal bepalen), Aftrekken (is eigenlijk het verschil bepalen), Vermenigvuldigen (kun je zien als herhaald optellen) en Delen (meestal gezien als herhaald aftrekken) (Er zijn nog meer bewerkingen, zoals worteltrekken en machtsverheffen, maar die komen bij de cursus Gecijferdheid7 aan bod.) Volgorde van bewerkingen: Als een som uitgerekend moet worden waar meerdere bewerkingen in staan, is het wel handig om te weten welke bewerking eerst moet worden uitgevoerd. Bijvoorbeeld: 5 x 4 – 2 x 3=. als je achter elkaar doet: 5x4=20, 20-2=18 en dan 18x3 = 54 krijg je een andere uitkomst dan 5x4=20, 2x3=6 20 – 6= 14 Deze laatste manier is wat de meesten juist vinden (weet je nog: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord? Geldt dat nog tegenwoordig?) De meeste rekenmachientjes doen het op manier 1. Als je zeker wilt weten dat iedereen de juiste volgorde aanhoudt, kun je haakjes gebruiken: (5 x 4) – (2 x 3). Meneer van Dalen wacht op antwoord, wordt tegenwoordig niet meer gebruikt. De volgende afspraken zijn geldend: Hierbij worden de bewerkingen die op gelijke hoogte staan, uitgevoerd in de volgorde van de leesrichting.
1. 2. 3. 4.
haakjes machtsverheffen en worteltrekken vermenigvuldigen en delen optellen en aftrekken
Opdracht 6 Onderzoek wat jouw ZRM voor antwoord geeft bij: 3 x 6 – 6 x 3 =
Rekenkundige bewerkingen: de terminologie op een rijtje optellen opteltal + opteller = som, opteltal en opteller heten termen aftrekken aftrektal – aftrekker = verschil, aftrektal en aftrekker heten termen vermenigvuldigen vermenigvuldiger x vermenigvuldigtal = product vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal heten factoren delen deeltal : deler = quotiënt, rest quotiënt x deler + rest = deeltal Gecijferdheid I
7
Opdracht 7 Noem het ‘beestje’ bij de juiste ‘naam’: a) 24 + 29 = 53
opteltal is...... ,
53 heet de……
b) 107 – 19 = 88 19 heet de ……….,
het verschil is……
c) 16 x 25 = 400 het product is……,
het vermenigvuldigtal is……
d) 91 : 13 = 7
het quotient is……
91 heet ……,
e) ‘termen’ zijn getallen die worden… f)
Noem 2 factoren die samen 21 opleveren
Meer lezen en oefenen Moor, E. de., Uittenbogaard, W., Kemme, S. (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Paragraaf 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, 1.7, 2.1 Waard, J. van. (2013). Handig met getallen 2. Rosmalen: Uitgeverij Cantal. 4.2 oriëntatie op kommagetallen: Blz. 439 t/m blz. 441 t/m voorbeeld 1 (1. het gebruik van kommagetallen en 2. plaatswaarde en notatie) Blz. 444 t/m 447 (3. Kommagetallen uitspreken en uitschrijven en 4. Kommagetallen op de getallenlijn) 4.3 Rekenen met kommagetallen: Blz. 448 t/m blz 455 (1. De basisregels. Optellen/aftrekken/delen/vermenigvuldigen)
Gecijferdheid I
8
Hoofdstuk 2 2.1 Eigenschapsrekenen a
Gecijferdheid I
9
‘Handig rekenen’, ook wel ‘Eigenschapsrekenen’ genoemd, is de gevarieerde vorm van hoofdrekenen. Bij het rekenen maak je gebruik van eigenschappen van de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en van getalrelaties. Je zet 7 x 24 niet onder elkaar maar verdeelt 24 in 20 en 4: 7 x 24 = 7 x 20 + 7 x 4 = 140 + 28 = 168 of je denkt aan 7 keer 25, dat is 175 en dan 7 eraf: 7 x 24 = 7 x 25 - 7 x 1 = 175 - 7 = 168 Je zet 28 X 175 niet onder elkaar maar past de eigenschap Groter En Kleiner toe: 28 x 175 = 14 x 350 = 7 x 700 = 4900. Bij 7 : 2 1/2 = ga je niet vermenigvuldigen met het omgekeerde, maar pas je de eigenschap Groter Of Kleiner toe: 7 : 2 1/2 = 14 : 5 = 14/5 = 2 4/5 Om de leerstof duidelijk af te bakenen rekenen wij tot het Handig rekenen alleen de volgende eigenschappen: Termen veranderen, Compenseren, Wisselen, Schakelen, Verdelen en Samen nemen, Groter En Kleiner, Groter Of Kleiner Hieronder vind je een overzicht van deze eigenschappen:
Termen veranderen: Termen veranderen, +
Als je twee getallen optelt verandert het antwoord niet als je een getal bij één van de getallen optelt en van het andere getal aftrekt (de optelling wordt eenvoudiger door één van de getallen ‘rond’, dwz een 10-tal of een 100-tal te maken). 127 + 189 = (127 – 11) + (189 + 11) = 116 + 200 = 316 27,6 + 14,5 = (27,6 + 0,4) + (14,5 – 0,4) = 28 + 14,1 = (28 + 2) + (14,1 – 2) = 30 + 12,1 = 42,1 Gecijferdheid I
10
Termen veranderen, -
Als je twee getallen van elkaar aftrekt verandert het antwoord niet als je een getal bij beide getallen optelt of van beide getallen aftrekt (de aftrekking wordt eenvoudiger als je het tweede getal ‘rond’, dwz een 10-tal of een 100-tal, maakt). 325 – 179 = (325 + 21) – (179 + 21) = 346 – 200 = 146 63,8 – 26,4 = (63,8 – 0,4) – (26,4 – 0,4) = 63,4 – 26 = (63,4 + 4) – (26 + 4) = 67,4 – 30 = 37,4
Compenseren: Compenseren, +
Als je bij een optelling één van de getallen naar boven afrondt op een 10-tal of een 100-tal, moet je wat er te veel bij is gedaan er weer aftrekken. 166 + 185 = 166 + 200 – 15 = 366 – 15 = 351 28,4 + 32,7 = 30 –1,6 + 32,7 = 62,7 – 1,6 = 61,1 Compenseren, -
Als je bij een aftrekking het af te trekken getal naar boven afrondt op een 10-tal of een 100-tal, moet je wat er te veel af is gedaan er weer bij doen. 435 - 175 = 435 – 200 + 25 = 135 + 25 = 160 42,1 – 18,3 = 42,1 – 20 + 1,7 = 22,1 + 1,7 = 23,8 Gecijferdheid I
11
Wisselen: (commutatieve eigenschap, alleen bij + en x) Wisselen, + Bij het optellen van twee getallen mag je de volgorde verwisselen. Meestal zet je het grootste getal voorop. 27 + 85 = 85 + 27 = (85 + 15) + (27 – 15) = 100 + 12 = 112 Wisselen, x Bij het vermenigvuldigen van twee getallen mag je de volgorde verwisselen. Meestal zet je het kleinste getal voorop. 47 x 7 = 7 x 47 = 7 x 50 – 7 x 3 = 350 – 21 = 329 71/2 x 8 = 8 x 71/2 = 4 x 15 = 60
Schakelen: (associatieve eigenschap) Schakelen, + Bij het optellen van drie of meer getallen mag je zelf de volgorde kiezen. Je telt eerst die twee getallen op die samen een ‘rond’ getal zijn. 46 + 53 +34 = (46 + 34) + 53 = 80 + 53 = 133 31 + 78 + 20 + 69 + 22 = (31 + 69) + (78 + 22) + 20 = 100 + 100 + 20 = 220 Schakelen, x Bij het vermenigvuldigen van drie of meer getallen mag je zelf de volgorde kiezen. Je vermenigvuldigt eerst die twee getallen die eenvoudig te vermenigvuldigen zijn of een ‘rond’ getal als antwoord geven. 7 x 16 x 5 = 7 x (16 x 5) = 7 x 80 = 560 4 x 8 x 5 1/2 = (4 x 5 1/2) x 8 = 22 x 8 = 196 8 x 6 x 7 x 5 x 12,5 = (8 x 12,5) x (6 x 5) x 7 = 100 x 30 x 11 = 3000 x 7 = 21000
Verdelen: (distributieve eigenschap)
Gecijferdheid I
12
Verdelen, x & + Als je een getal vermenigvuldigt mag je dat getal schrijven als een optelling, zodat je twee ‘eenvoudige’ vermenigvuldigingen krijgt. De antwoorden tel je op. 8 x 42 = 8 x 40 + 8 x 2 = 320 + 16 = 336 7 x 12 1/2 = 7 x 12 + 7 x 1/2 = 84 + 3 1/2 = 87 1/2 Verdelen, x & Als je een getal vermenigvuldigt mag je dat getal schrijven als een aftrekking, zodat je twee ‘eenvoudige’ vermenigvuldigingen krijgt. De antwoorden trek je van elkaar af. 9 x 48 = 9 x (50 – 2) =9 x 50 – 9 x 2 = 450 – 18 = 432 4 x 7 5/6 = 4 x (8 – 1/6) = 4 x 8 – 4 x 1/6 = 32 – 4/6 = 31 2/6 = 31 1/3 Verdelen, : & + Als je een getal deelt mag je dat getal schrijven als een optelling, zodat je twee ‘eenvoudige’ delingen krijgt. De antwoorden tel je op. 654 : 6 = (600 + 54) : 6 = 600 : 6 + 54 : 6 = 100 + 9 = 109 35 : 2 1/2 = (25 + 10) : 2 1/2 = 25 : 2 1/2 + 10 : 2 1/2 = 10 + 4 = 14 Verdelen, : & Als je een getal deelt mag je dat getal schrijven als een aftrekking, zodat je twee ‘eenvoudige’ delingen krijgt. De antwoorden trek je van elkaar af. 582 : 6 = (600 – 18) : 6 = 600 : 6 – 18 : 6 = 100 – 3 = 97 65 : 3 = (66 – 1) : 3 = 66 : 3 – 1 : 3 = 22 – 1/3 = 21 1/3
Opdracht 8 Maak de volgende opgaven met gebruik van de eigenschappen termen veranderen, compenseren, wisselen, schakelen, verdelen en samen nemen, groter en kleiner en groter of kleiner. Schrijf er bij welke eigenschap je gebruikt: Som 1
97 + 58 =
2
545 + 87 =
3
86,9 + 43 =
4
75,6 + 28,9 =
Gecijferdheid I
Eigenschap(pen)
13
5
96 - 68 =
6
545 - 87 =
7
234 - 118 =
8
207 - 95,8 =
9
8 x 6 x 25 =
10
4 x 7 x 12 1/2 =
11
6x9x5
12
2 1/2 x 17 x 8 =
13
7 x 27 =
14
12 x 49 =
15
11 x 19 =
16
7 x 97 =
17
168 : 4 =
18
427 : 7 =
19
6448 : 8 =
20
39,2 : 4 =
21
1780 + 350 =
22
2895 + 1680 =
23
1245 – 495 =
24
5470 – 1290 =
Gecijferdheid I
14
25
12 x 95 =
26
99 x 99 =
27
12488 : 4 =
28
891 : 9 =
Gecijferdheid I
15
2.2 Eigenschapsrekenen b Samen nemen: Samen nemen, x & + Als je twee vermenigvuldigingen met een gelijk getal moet optellen mag je eerst de verschillende vermenigvuldigers bij elkaar optellen om daarna maar één vermenigvuldiging te maken. 37 x 65 + 23 x 65 = (37 + 23) x 65 = 60 x 65 = 6 x 650 = 6 x 600 + 6 x 50 = 3600 + 300 = 3900 3½ x 7½ + 6½ x 7½ = (3½ + 6½ ) x 7½ = 10 x 7½ = 75 Samen nemen, X & Als je twee vermenigvuldigingen met een gelijk getal van elkaar moet aftrekken mag je eerst de verschillende vermenigvuldigers van elkaar aftrekken om daarna maar één vermenigvuldiging te maken. 49 x 98 – 24 x 98 = (49 – 24) x 98 = 25 x 98 = 25 x (100 – 2) = 25 x 100 – 25 x 2 = 2500 – 50 = 2450 24,6 x 13,5 – 13,6 x 13,5 = (24,6 – 13,6) x 13,5 = 11 x 13,5 = (10 + 1) x 13,5 = 10 x 13,5 + 1 x 13,5 = 135 + 13,5 = 148,5 Samen nemen, : & + Als je twee delingen met een gelijke deler moet optellen mag je eerst de verschillende deeltallen bij elkaar optellen om daarna maar één deling te maken. 37 : 5 + 13 : 5 = (37 + 13) : 5 = 50 : 5 = 10 16,5 : 2,5 + 6 : 2,5 = (16,5 + 6) : 2,5 = 22,5 : 2,5 = 20 : 2,5 + 2,5 : 2,5 = 8 + 1 = 9 Samen nemen, : & Als je twee delingen met een gelijke deler moet aftrekken mag je eerst de verschillende deeltallen van elkaar aftrekken om daarna maar één deling te maken. 55 : 7 - 20 : 7 = (55 - 20) : 7 = 35 : 7 = 5 46,7 : 1,8 - 10,7 : 1,8 = (46,7 - 10,7) : 1,8 = 36 : 1,8 = 360 : 18 = 20
Gecijferdheid I
16
Groter En Kleiner: Groter En Kleiner, x Als je twee getallen vermenigvuldigt mag je het eerste getal met een ‘handig’ gekozen getal vermenigvuldigen als je het tweede getal door het gekozen getal deelt, en andersom. Je maakt de vermenigvuldiging ‘eenvoudiger’. 27 x 45 = (27 : 3) x (45 x 3) = 9 x 135 = (10 – 1) x 135 = 10 x 135 – 1 x 135 = 1350 – 135 = 1215 6,5 x 18 = (6,5 x 2) x (18 : 2) = 13 x 9 = 9 x 13 = 9 x (10 + 3) 9 x 10 + 9 x 3 = 90 + 27 = 117
=
Groter Of Kleiner: Groter Of Kleiner, : Als je twee getallen deelt mag je beide getallen met een ‘handig’ gekozen getal vermenigvuldigen of door een ‘handig’ gekozen getal delen. Je maakt de deling ‘eenvoudiger’. 3500 : 250 = (3500 : 10) : (250 : 10) = 350 : 25 = (4 x 350) : (4 x 25) = 1400 : 100 = 14 91/2 : 4 = (2 x 91/2) : (2 x 4) = 19 : 8 = 19/8 = 23/8 11 : 12/3 = (3 x 11) : (3 x 12/3) = 33 : 5 = 33/5 = 63/5
Opdracht 9 Formuleer in je eigen woorden wat de onderstaande begrippen betekenen en geef van elke eigenschap een voorbeeld: a) b) c) d) e) f)
De commutatieve of verwisseleigenschap bij optellen. De associatieve eigenschap bij optellen. De commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen. De associatieve eigenschap bij vermenigvuldigen. De distributieve of verdeeleigenschap voor vermenigvuldigen en optellen. De distributieve eigenschap voor delen.
Opdracht 10 Maak de volgende opgaven met gebruik van de eigenschappen termen veranderen, compenseren, wisselen, schakelen, verdelen en samen nemen, groter en kleiner en groter of kleiner. Schrijf er bij welke eigenschap je gebruikt: Som 1
(23 x 28) + (27 x 28) =
2
(63 x 78) + (37 x 78) =
3
(32 x 49) - (23 x 49) =
4
(11,9 x 7,6) + (7,6 x 8,1) =
Gecijferdheid I
Eigenschap(pen)
17
5
16 x 55 =
6
24 x 75 =
7
18 x 45 =
8
36 x 35 =
9
2 1/2 x 28 =
10
16 x 35 =
11
2 1/4 x 36 =
12
16 x 17 1/2 =
13
20 : 1/2 =
14
20 : 0,4 =
15
13,5 : 4,5 =
16
112 : 16 =
17
(27 x 59) + (73 x 59) =
18
(59 x 37) – (48 x 37) =
19
(528 : 7) – (38 : 7) =
20
(1733 : 25) + (267 : 25) =
Gecijferdheid I
18
21
18 x 75 =
22
12 x 95 =
23
24 x 25 =
24
32 x 49 =
25
7 1/2 : 2 1/2 =
26
18 : 4 1/2 =
27
9 1/2 : 2 1/2 =
28
10 : 1 1/4 =
Gecijferdheid I
19
Opdracht 11 Welke eigenschappen gebruiken de kinderen? Kies uit: Termen veranderen, compenseren, wisselen, schakelen, samen nemen, verdelen, groter & kleiner, groter of kleiner en ‘anders’. 187 – 98
197 + 50 + 3
5 x 42
Gecijferdheid I
20
16 x 25
4 x 99
195 : 5
98 + 45 + 2
Gecijferdheid I
21
5,4 + 1,9
480 : 8
50 : 0,25
80 x 1,5
5 x 22
Gecijferdheid I
22
Opgave 12a Opgavenmix Eigenschapsrekenen: Maak de volgende opgaven met gebruik van de eigenschappen termen veranderen, compenseren, wisselen, schakelen, verdelen en samen nemen, groter en kleiner en groter of kleiner. 1
548 + 237 =
2
742 – 285 =
3
2/5 x 12 x 25 =
4
4,19 x 6,34 + 6,34 x 5,81 =
5
83 : 6 – 29 : 6 =
6
1 1/2 x 198 =
7
1242 : 6 =
8
14 : 2 1/2 =
9
9,25 – 3,8 =
10
11,09 + 4,3 =
Opgave 12b Controleer je antwoorden met je ZRM
Meer lezen en oefenen Moor, E. de., Uittenbogaard, W., Kemme, S. (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Paragraaf 1.3 1.4, 1.5 Waard, J. van. (2013). Handig met getallen 2. Rosmalen: Uitgeverij Cantal. 4.3 Rekenen met kommagetallen: Blz. 456 t/m 472 (2. Handig rekenen met kommagetallen)
Gecijferdheid I
23
Hoofdstuk 3 Kolomsgewijs rekenen, cijferen: Optellen, Aftrekken Vermenigvuldigen Gebruik je ZRM om je antwoorden te controleren!
Opdracht 13
Starter: 1000 gooien Gooi negen keer met een dobbelsteen en plaats telkens het gegooide getal in een vakje. Tel de drie getallen van drie cijfers op. Wie zit het dichtst bij 1000?
3.1 Cijferend optellen en aftrekken
Werkwijze: □ je werkt van rechts naar links, □ je rekent alleen met de cijferwaarde, □ het inwisselen bij optellen noemen we ‘onthouden’, □ het inwisselen bij aftrekken noemen we ‘lenen’. Gecijferdheid I
24
3.2 Kolomsgewijs optellen en aftrekken
Werkwijze: □ je werkt van links naar rechts, (hoewel dit niet verplicht is, je mag ook van rechts naar links werken). □ je rekent met de plaatswaarde, □ bij het aftrekken reken je zonodig met tekorten. Optellen en aftrekken met kommagetallen: 256,82 + 45,3 = (cijferen)
256,82 + 45,3 = (kolomsgewijs)
254 ,6 – 116,95 = (cijferen)
254 ,6 – 116,95 = (kolomsgewijs)
Werkwijze optellen, aftrekken met kommagetallen: □ je zet de komma’s onder elkaar, □ je maakt de getallen ‘even lang’ door achter de komma nullen toe te voegen.
Gecijferdheid I
25
3.3 Cijferend vermenigvuldigen
Werkwijze: □ je werkt van rechts naar links, □ je rekent alleen met de cijferwaarde, □ het inwisselen bij vermenigvuldigen noemen we ‘onthouden’,
3.4 Kolomsgewijs vermenigvuldigen
Werkwijze: □ je werkt van links naar rechts (kan ook van rechts naar links), □ je rekent met de plaatswaarde. Vermenigvuldigen met kommagetallen:
Werkwijze: □ je haalt de komma’s uit de getallen door de getallen te vermenigvuldigen, □ je maakt de vermenigvuldiging, □ je plaatst de komma in het antwoord door te delen. Gecijferdheid I
26
3.5 Toelichting op Cijferend optellen, aftrekken en vermenigvuldigen Cijferen kun je omschrijven als het volgens standaardmethodes (algoritmen) uitvoeren van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit gebeurt met grote getallen en met kommagetallen. Het betreft getallen die je niet meer handig of uit het hoofd kunt uitrekenen.
Zet bij het optellen en aftrekken de getallen precies onder elkaar: tientallen onder de tientallen eenheden onder de eenheden, komma onder komma enzovoorts. 627,38 – 254,75 = ? H 6 2 3
T 2 5 7
E 7, 4, 2,
t 3 7 6
h 8 5 3
d
N.B.: H staat voor honderdtallen h staat voor honderdsten etc.
Maak bij het vermenigvuldigen met kommagetallen eerst een schatting van de grootte van de uitkomst. Daarna kun je de komma op de juiste plaats in het antwoord zetten. Een voorbeeld? 2,15 x 35,7 = ? Wanneer je gaat schatten krijg je als antwoord ‘ruim’ 70’. Je vermenigvuldigt immers ruim 2 (2,15) met ruim 35 (35,7). Nu ga je uitrekenen 215 x 357 = 76755 Het antwoord moet dus zijn 76,755 of Pas de volgende regel toe: De som van het aantal cijfers achter de komma in de vermenigvuldiger (2,15) en het vermenigvuldigtal (35,7) is gelijk aan het aantal cijfers achter de komma in het product (76,555). 2,15 x 35,7 = ? Bereken onder elkaar 215 x 357 = 76555 In 2,15 staan 2 cijfers achter de komma en in 35,7 staat 1 cijfer achter de komma. In het antwoord staan 2 + 1 = 3 cijfers achter de komma. Dus als 215 x 357 = 76555 is, dan is 2,15 x 35,7 = 76,555
Gecijferdheid I
27
Opdracht 14 Bereken door te cijferen: 1
523 + 742 =
2
732 – 461 =
3
486 + 674 =
4
582 -349 =
5
1269 + 1559 =
6
1724 – 574 =
7
17909 + 10092 =
8
12058 – 4739 =
9
25758 + 19856 =
10
23005 – 4296 =
Gecijferdheid I
28
Opdracht 15 Bereken kolomsgewijs: 1
528 + 257 =
2
450 – 135 =
3
750 + 573 =
4
782 – 356 =
5
1309 + 488 =
6
1450 – 639 =
2
1,8 x 38 =
Opdracht 16 Bereken door te cijferen: 1
17 x 45 =
Gecijferdheid I
29
3
32 x 67 =
4
0,24 x 36 =
5
8 x 327 =
6
4,6 x 8,1 =
7
63 x 208 =
8
2,05 x 0,45 =
9
307 x 589 =
10
0,124 x 985 =
Gecijferdheid I
30
Opdracht 17 Bereken kolomsgewijs: 1
8 x 57 =
2
0,6 x 4,2 =
3
14 x 27 =
4
1,7 x 2,3 =
5
75 x 92 =
6
0,58 x 6,4 =
Gecijferdheid I
31
Opdracht 18 Bereken het ontbrekende getal
Bereken
1
427 + ? = 523
2
27,8 + 1,295 =
3
? + 285 = 724
4
0,365 + 125,6 =
5
825 - ? = 339
6
1,208 + 54,09 =
7
? – 1438 = 752
8
7,09 – 2,567 =
9
12905 - ? = 1729,8
10
611 – 56,789 =
Gecijferdheid I
32
Meer lezen en oefenen Moor, E. de., Uittenbogaard, W., Kemme, S. (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Paragraaf 9.1 en 9.2 Waard, J. van. (2013). Handig met getallen 2. Rosmalen: Uitgeverij Cantal. 4.3 Rekenen met kommagetallen: Blz. 473 t/m 476
Gecijferdheid I
33
Hoofdstuk 4 kolomsgewijs rekenen, cijferen Delen 4.1 Cijferend delen
4.2 ‘Kolomsgewijs delen’ of ‘delen door herhaald aftrekken’:
Gecijferdheid I
34
Doordelen achter de komma:
Gecijferdheid I
35
Delen met kommagetallen:
Gecijferdheid I
36
Opdracht 19a Delen met rest. Reken kolomsgewijs: 1
1280 : 35 =
Maak eventueel eerst een tabel van 35
2
3742 : 80 =
Maak eventueel eerst een tabel van 80
3
6400 : 48 =
Maak eventueel eerst een tabel van 48
Gecijferdheid I
37
4
12009 : 82 =
Maak eventueel eerst een tabel van 82
5
9724 : 138 =
Maak eventueel eerst een tabel van 138
6
24875 : 375 =
Maak eventueel eerst een tabel van 375
Gecijferdheid I
38
4.3 Oefenen met deelsommen Opdracht 19b Werk de sommen van opgave 19a nu nog eens cijferend uit.
Opdracht 20a Doordelen en afronden op één cijfer achter de komma, kolomsgewijs: 1
135 : 4 =
Maak eventueel eerst een tabel van 4
2
667 : 18 =
Maak eventueel eerst een tabel van 18
Gecijferdheid I
39
3
275 : 3,2 =
Maak eventueel eerst een tabel van
4
82,9 : 1,25 =
Maak eventueel eerst een tabel van
5
26 : 0,85 =
Maak eventueel eerst een tabel van
Opdracht 20b Reken de sommen van opdracht 20a nu ook cijferend uit. Gecijferdheid I
40
Opdracht 21a Doordelen met afronden op drie cijfers achter de komma, kolomsgewijs!: 1
3:8=
Maak eventueel eerst een tabel van 8
2
2:7=
Maak eventueel eerst een tabel van 7
3
25 : 64 =
Maak eventueel eerst een tabel van 64
Opgave 21b Reken de opgaven van 21a nu ook cijferend uit. Gecijferdheid I
41
4.4 Gevarieerde oefeningen Opgave 22 Welk getal ontbreekt? Bereken het getal dat op de plaats van het vraagteken moet staan. 1
? : 16 = 25 rest 10
2
245 : ? = 18 rest 11
3
? : 75 = 38 rest 50
4
855 : ? = 35 rest ?
5
?? : ? = 15 rest 12 (?? en ? zo klein mogelijk)
Gecijferdheid I
42
Opgave 23 Bereken door te cijferen 2376 + 12686 =
23057 – 9708 =
13405,57 – 479,6 =
2,08 x 13,78 =
Bereken door kolomsgewijs te rekenen 725 – 354 =
Gecijferdheid I
47 x 62 =
43
Opgave 24 Bereken door te cijferen: Afronden op 1 decimaal 15865 : 36 =
538 : 64 =
2,7 x 5,09 =
48 x 89 =
Gecijferdheid I
44
Meer lezen en oefenen Moor, E. de., Uittenbogaard, W., Kemme, S. (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Paragraaf 9.3 en 9.4 Waard, J. van. (2013). Handig met getallen 2. Rosmalen: Uitgeverij Cantal. 4.3 Rekenen met kommagetallen: Blz. 477 t/m 484
Gecijferdheid I
45
Hoofdstuk 5 Terminologie, eenvoudige getallenreeksen, gevarieerde oefeningen 5.1 Terminologie Factor, vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal, product In de vermenigvuldiging 3 x 4 worden de getallen 3 en 4 factoren genoemd. De factor 3 noemt men de vermenigvuldiger; de factor 4 noemt men het vermenigvuldigtal. De som 3 x 4 past (bijvoorbeeld) bij drie bossen bloemen, waarbij elke bos uit 4 bloemen bestaat. Het zijn drie keer vier bloemen. Het antwoord van de som (12) is het totaal aantal bloemen. Hoewel het antwoord hetzelfde is, is de som 4 x 3 is dus echt anders! De uitkomst van de vermenigvuldigsom noemt men product, dat is hier 12. 3 x 4 (3 zakjes met 4 appels) Verdelen en opdelen Als 12 snoepjes worden verdeeld (uitgedeeld) onder 4 kinderen, dan krijgt eerst elk kind één snoepje en vervolgens krijgt elk kind nóg een snoepje. Tenslotte krijgt nog ieder kind een snoepje. Dit wordt genoemd ‘verdelen’. Bij verdelen is er een vast aantal groepjes (hier 4). Het aantal in één groepje (het aantal snoepjes dat ieder kind krijgt) staat niet vast. Pas als alle snoepjes verdeeld zijn, staat dit aantal (hier 3) vast. Als van 60 bloemen bossen worden gemaakt met elk 10 bloemen, dan wordt eerst de eerste bos gemaakt met 10 bloemen. Vervolgens wordt de volgende bos gemaakt met 10 bloemen. Dit gaat zo verder, totdat alle bloemen op zijn. Dit wordt genoemd ‘opdelen’. Bij opdelen is het aantal groepjes niet vast. Pas als alle bloemen op zijn, staat het aantal groepjes vast (hier 6). Bij opdelen staat het aantal in één groepje (hier het aantal bloemen in een bos) vast.
5.2 Eenvoudige reeksen Opdracht 25 Maak de volgende reeksen af: a) 2 4 6 8 ? ? ? ? b) 1 4 9 16 25 36 ? ? ? ? ?
Opdracht 26 Vul de juiste getallen op de plekjes waar een vraagteken staat: ? ? 28 35 42 ? ? 63
Opdracht 27 Kun je heel snel de getallen 1 t/m 6 optellen? En de getallen 1 t/m 10?
Opdracht 28 Op sportdag spelen 6 teams allemaal één keer tegen elkaar. Hoeveel wedstrijden worden er totaal gespeeld? Gecijferdheid I
46
5.3 Gevarieerde opgaven Vraag 1 TomTom Iemand koopt een TomTom voor 275 euro. Hij betaalt met 3 biljetten van 100 euro. De winkelier heeft geen wisselgeld en gaat 1 biljet van 100 euro bij zijn buurman wisselen. De koper krijgt de TomTom en 25 euro wisselgeld. Later blijken de biljetten van 100 euro allemaal vals te zijn. De winkelier vergoedt zijn buurman volledig. Wat is de schade van de winkelier?
Vraag 2 Post bestellen
60
62
64
66
Er zijn vier winkels op een rij met de huisnummers 60 t/m 66. De bakker woont niet in een hoekhuis. Het huis met de gele deur heeft een hoger nummer dan de slagerij. De deur van nummer 64 is groen (een van de andere deuren is bruin). De fietsenmaker heeft als buren de zaak met de blauwe deur en nummer 66. Welk huisnummer heeft de kapper?
Vraag 3 Maak de reeksen af:: 1 .. .4…9…16 ….? …..? …?…?...24…?…40…48...?...?…72 1…3…6…10…15…?...?
Gecijferdheid I
47
Vraag 4 (24 game) Bedenk bij elke kaart minstens één oplossing. Je mag optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en je moet elk getal precies één keer gebruiken! Zie ook www.rekenweb.nl
Gecijferdheid I
48
Vraag 5 (24-game) Bedenk bij elke kaart minstens één oplossing. Je mag optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en je moet elk getal precies één keer gebruiken!
Gecijferdheid I
49
Vraag 6 Maak de optelling; verschillende cirkels stellen verschillende cijfers voor:
Vraag 7 Maak 1 tot en met 10
2
3
5
7
Met de getallen 2, 3, 5 en 7 kan je veel getallen maken. Je mag de getallen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, Je moet elk getal één keer gebruiken, 11 maak je zo: 7 + 5 – 3 + 2 = 11 12 maak je zo: 3 x (7 – 5 + 2) = 3 x 4 = 12, bereken eerst het getal tussen de haakjes! 13 maak je zo: 7 + 5 – 2 + 3 = 13 Kan jij de getallen 1 tot en met 10 maken? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gecijferdheid I
50
Vraag 8 De lage dollar Ik koop in Nederland een vliegticket Amsterdam – New York voor 600 euro. Mijn vriendin koopt in New York een vliegticket New York – Amsterdam voor 777 dollar De koers is: 1 euro = 1,40 dollar Hoeveel euro is mijn vriendin goedkoper uit?
Vraag 9
57 krantenbezorgers stoppen dagelijks 10.700 kranten in de brievenbussen. Hoeveel kranten is dat gemiddeld per bezorger?
Vraag 10
Nieuw gazon aanleggen: € 4,75 per m². Wat kost een gazon van 135 m²?
Vraag 11 Kleren maken de man Bartjens gaat op visite bij de schout en schepenen. Hij staat voor zijn klerenkast en weet niet wat hij zal aantrekken. Hij heeft 4 broeken, 7 boezeroens, 5 dassen en 5 jassen. Hoeveel verschillende combinaties kan hij daarmee maken?
Gecijferdheid I
51
Vraag 12 Dit jongetje heeft ‘een klein bedrag veroverd’?! a) Maak eens een schatting van de grootte van dat bedrag in Zimbabwaanse dollars. b) Hoeveel is dat in euro’s, als je weet dat 500.000 ZD ongeveer € 1,15 is (juli 2008)?
Vraag 13 Ik heb twee getallen opgeschreven. Als ik ze optel komt er 25 uit, als ik ze met elkaar vermenigvuldig krijg ik 154. Om welke getallen gaat het?
Vraag 14 Crocs Ik koop een paar crocs voor 30 euro. Iedereen lacht me uit als ik ermee op school verschijn. Dus ik verkoop ze op marktplaats voor 40 euro. Plotseling wordt het een hype en draagt iedereen crocs. Ik kan gelukkig mijn eigen crocs nog terugkopen, maar moet er nu wel 50 euro voor betalen. Als de ergste hype voorbij is, kan ik ze net nog op tijd weer verkopen voor 60 euro. Hoeveel winst heb ik gemaakt? Gecijferdheid I
52
Vraag 15 Stoelen stapelen Een stapelbare plastic tuinstoel is 90 cm hoog. Een stapel van zes plastic tuinstoelen is 140 cm hoog. Hoe hoog is een stapel van 10 plastic tuinstoelen?
Vraag 16 Cijferen! a)
b)
c)
Gecijferdheid I
53
Vraag 17 Bartjens Rekendictee Een klas doet mee aan het Bartjens Rekendictee. De meisjes hebben gemiddeld 8,5 vragen goed. De jongens hebben gemiddeld 7,6 vragen goed beantwoord. Het gemiddelde van de totale klas is 8 vragen goed. Er zitten 12 meisjes in de klas. Hoeveel leerlingen telt deze klas?
Vraag 18 Bereken door te cijferen 638,08 + 86,975 =
47,064 – 18,74 =
4,6 x 8,25 =
0,7 x 1,06 =
Gecijferdheid I
54
Vraag 19 Bereken door te cijferen: a) 505 : 16 =
b) Afronden op 2 decimalen: 18 : 11 =
Vraag 20 Welk getal moet op de plaats van het vraagteken staan? 825 : ? = 24 rest 9
Vraag 21 Marktdag In de viskraam lagen vissen, daarnaast verkocht men kippen en tussen de kramen scharrelden ratten en katten. Het gehele tafereel overziend, zag ik 75 koppen, 14 vleugels en 38 poten. Hoeveel vissen lagen er op dat moment in de viskraam?
Vraag 22 Dobbelen Stel Joost van den Vondel gooit met twee dobbelstenen. Het product van de ogen die zich op de onderkant van de stenen bevinden is 18. Wat is het product van het aantal ogen dat hij gegooid heeft?
Vraag 23 Romeinse cijfers Bartjens leest in een boek pagina XXVI tot en met pagina XLV. Hoeveel pagina’s heeft hij dan gelezen?
Gecijferdheid I
55
Vraag 24 Maak de onderstaande opgaven met gebruik van eigenschappen van getallen en bewerkingen. Gebruikbij elke opgave minstens één van de volgende rekeneigenschappen: Termen veranderen, Compenseren, Wisselen, Schakelen, Verdelen of samen nemen, Groter en kleiner, Groter of kleiner. 1
67 + 28 =
2
664 + 178 =
3
84 – 37 =
4
621 – 287 =
5
9 x 69 =
6
576 : 8 =
7
44 x 37 – 17 x 74 =
8
440 : 65 + 210 : 65 =
9
4 : 2,5 =
10
11,2 : 5 =
Vraag 25 Nageslacht Op zekere dag sprak Willem Bartjens tot zijn kinderschare: ‘Onze Gerrit is nu drie keer zo oud als zijn zusje Sara. Over een jaar zijn ze samen 18 jaar. Hoe oud is Gerrit nu?’
Gecijferdheid I
56
Meer lezen en oefenen Moor, E. de., Uittenbogaard, W., Kemme, S. (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Paragraaf 1.8, 1.9, 2.2, 9.5
Gecijferdheid I
57
Literatuurlijst -
Beter rekenen. (z.d.). Afronden. Geraadpleegd op 17 juli 2014 van http://www.beterrekenen.nl/website/mob.php?pag=247
-
Genootschap onze taal. (z.d.). Getallen uitschrijven. Geraadpleegd op 17 juli 2014 van https://onzetaal.nl/taaladvies/advies/getallen-uitschrijven) Moor, E. de., Uittenbogaard, W., Kemme, S. (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de pabo. Groningen: Noordhoff Uitgevers. Waard, J. van. (2013). Handig met getallen 2. Rosmalen: Uitgeverij Cantal.
-
Gecijferdheid I
58
Bijlage 1: Uit “Kennisbasis Rekenen-Wiskunde” 2.1. Maatschappelijke relevantie van hele getallen Hele getallen komen in het dagelijks leven in veel situaties en in verschillende betekenissen voor. We doen regelmatig een beroep op ons begrip van en bewerkingen met hele getallen wanneer we de folders van de supermarkt bekijken, boodschappen doen, klussen, sporten, de krant lezen of TV kijken. We komen getallen tegen als het gaat om lengte, gewicht, oppervlakte, inhoud, tijd, voedsel, bladzijdenummers, temperatuur, geld, (huis)nummers, nummers op trein en bus, leeftijd, burgerservicenummer en samengestelde grootheden. Getalbegrip, kunnen redeneren en rekenen met getallen en daarbij getalrelaties kunnen toepassen, geeft een beter begrip van de numerieke wereld om ons heen. Het helpt ons de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Het speelt een belangrijke rol in de ontwikkeling van gecijferdheid. 2.2. Kennis van hele getallen De startbekwame leerkracht beschikt over kennis van en inzicht in het domein hele getallen. Daarbij gaat het om getallen, getalrelaties en redeneren en rekenen met hele getallen. De startbekwame leerkracht kan vlot hoofdrekenen en schattend rekenen. Hij kan standaardprocedures, waaronder de meest verkorte cijferalgoritmes, voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uitvoeren. Hij doorziet relaties tussen deze rekenwijzen en bewerkingen en kan deze verklaren. Hij kan bij verschillende situaties en opgaven een beredeneerde keuze maken tussen verschillende rekenwijzen, waaronder ook schattend rekenen en het gebruik van de rekenmachine. : : 2.2.2. Kenmerken van het getalsysteem Het Arabisch getalsysteem, dat nagenoeg wereldwijd gebruikt wordt, is een decimaal positioneel stelsel. Met behulp van slechts tien cijfersymbolen (1 tot en met 9 en 0) worden alle hele getallen geschreven. Het getal nul neemt een bijzondere positie in omdat het op zich niets representeert, maar wel een essentieel onderdeel is van het decimale positionele getalsysteem (vergelijk Kaplan, 1999). Verder gebruikt men de tien als bundeling en basis voor maatwisseling, waarbij we de positionele notatie hanteren: elk cijfer in een getal heeft zijn eigen plaatswaarde. Men gaat er van uit dat de keuze voor dit talsysteem is ingegeven door het gegeven dat de mens over tien vingers beschikt (Struik, 1990). Naast het decimale systeem zijn er nog andere getalsystemen en talstelsels bekend. Bijvoorbeeld het Romeins getalsysteem, waarvan nu nog sporen te vinden zijn. Pas vanaf de 14e eeuw komt het Arabisch getalsysteem langzaam in zwang (Keestra, 2006). Ook invloeden van het Babylonische zestigtallig stelsel zijn nog prominent aanwezig, bijvoorbeeld bij tijd- en hoekmeting. Een belangrijk verschil tussen het decimale stelsel en oudere getalsystemen als de Romeinse cijfers en het zestigtallige (sexagesimale) Babylonische systeem is dat bij deze laatste systemen de nul ontbreekt. De tientallige bundeling is in de Romeinse cijfers wel aanwezig, maar de positionele ordening ontbreekt gedeeltelijk; het is een additief systeem (Harn, 2005). Verder speelt het binair (tweetallig) talstelsel een belangrijke rol. Dit systeem, waarin alle getallen kunnen worden geschreven met enkel de cijfers 0 en 1, is belangrijk bij bijvoorbeeld informatieopslag in computers.
Gecijferdheid I
59
De startbekwame leerkracht beschikt over kennis van de verschillende betekenissen van getallen en van getalrelaties. Hij is op de hoogte van de overeenkomsten en verschillen tussen de verschillende getalsystemen. Hij overziet de specifieke eigenschappen van een systeem en heeft inzicht in het decimaal positioneel getalsysteem. Kennis die niet geheel tot de leerstof van de basisschool behoort, maar waar de startbekwame leerkracht wel over beschikt (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn van PO naar VO), betreft het kunnen verklaren van eigenschappen van getallen zoals de kenmerken van deelbaarheid. Verder is een startbekwame leerkracht in staat om getallen die zijn weergegeven in een ander talstelsel om te zetten in het decimale talstelsel en omgekeerd.
2.2.3. Redeneren en rekenen met hele getallen 2.2.3A. Eigenschappen van bewerkingen De basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kunnen uit allerlei situaties worden afgeleid. Alledaagse situaties kunnen vertaald worden naar kwantitatieve uitspraken, waar vervolgens mee gerekend kan worden. Optellen kan betekenissen hebben als samen nemen, aanvullen of toevoegen. Aftrekken betekent bijvoorbeeld eraf halen, aanvullen of het verschil bepalen. Vermenigvuldigen kan betekenissen hebben als herhaald optellen, combineren, gelijke sprongen maken en op schaal vergroten. Delen kan onder meer herhaald aftrekken, opdelen of uitdelen (groepjes maken) en verdelen (een verdeling aanbrengen) betekenen. Onderliggende wiskundige structuren zijn bijvoorbeeld de lijnstructuur, groepsstructuur en rechthoekstructuur (Freudenthal, 1983; Treffers e.a., 1999). Eigenschappen van de basisbewerkingen die kunnen worden gebruikt bij het opereren met getallen zijn bijvoorbeeld: -
De commutatieve of verwisseleigenschap bij optellen. De associatieve eigenschap bij optellen: bij optellen van drie of meer getallen kun je kiezen welke getallen je eerst optelt. De commutatieve bij vermenigvuldigen: je mag de volgorde van de factoren verwisselen. De associatieve eigenschap bij vermenigvuldigen: bij vermenigvuldigen van drie of meer getallen kun je kiezen welke getallen je eerst vermenigvuldigt. De distributieve of verdeeleigenschap voor vermenigvuldigen en optellen. De distributieve voor delen. De inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen.
Kennis die niet geheel tot de leerstof van de basisschool behoort, maar waar de startbekwame leerkracht wel over beschikt (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn van PO naar VO), betreft bijvoorbeeld het kunnen redeneren en rekenen met negatieve hele getallen. 2.2.3B. Schattend rekenen Schattend rekenen is het globaal bepalen van de uitkomst van een berekening met afgeronde getallen (Turkstra & Timmer, 1953; Sweers, 1996). Precies rekenen hoeft niet in elke situatie, soms is een globaal antwoord voldoende. Precies rekenen kan ook niet altijd, soms zijn de precieze gegevens niet of onvoldoende beschikbaar. Schattend rekenen is dus niet alleen het rekenen met afrondingen van precies gegeven getallen met de bedoeling een globaal antwoord te vinden. Het moet ook gebruikt worden als de benodigde gegevens niet of niet volledig beschikbaar zijn (Gribling e.a., 1994). Gecijferdheid I
60
Afronden van getallen vormt de basis van het schattend rekenen. Afronden van getallen vereist zicht op de grootte van getallen. Welk rond getal ligt er bij een getal in de buurt? Niet elke afronding is in elke situatie even zinvol. Dat is afhankelijk van de grootte van de getallen en de mate van nauwkeurigheid die de situatie vereist. Bij een berekening met afgeronde getallen kan worden aangegeven in welke orde van grootte de uitkomst kan afwijken van de uitkomst van de precieze berekening. Door een precieze berekening in te klemmen tussen twee berekeningen met afgeronde getallen is een schatting van het mogelijke antwoord te geven. De startbekwame leerkracht kan naar gelang situaties en opgaven een beredeneerde keuze maken tussen schattend rekenen en precies rekenen. Bij schattend rekenen kiest hij voor passende afrondingen. 2.2.3C. Cijferend rekenen Cijferend rekenen is schriftelijk rekenen volgens de meest verkorte standaardalgoritmes. Er is een standaardalgoritme voor (onder meer) cijferend optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (de zogenoemde staartdeling). Cijferen kan worden gebruikt bij het opereren met getallen waarmee niet vlot uit het hoofd gerekend kan worden. Bij cijferend optellen, aftrekken en vermenigvuldigen worden de getallen op schrift onder elkaar gezet. Er wordt dan van rechts naar links per cijferkolom met positiecijfers gerekend: eerst de eenheden, dan de tientallen en zo verder. Bij cijferend delen wordt van links naar rechts gerekend. Bij cijferend rekenen kan de positiewaarde van de cijfers in een bepaald opzicht buiten beschouwing worden gelaten (Freudenthal, 1983; Treffers & De Moor, 1990; Van den Heuvel-Panhuizen e.a., 2001). Een algoritme is een min of meer vaste, stapsgewijze procedure om bewerkingen routinematig uit te voeren. Algoritmes dienen ertoe een ingewikkelde reeks handelingen te vereenvoudigen waarbij een inzichtelijke, bewuste aanpak wordt vervangen door een automatisme. Mits de stappen in de juiste volgorde op de juiste manier worden uitgevoerd, leidt het altijd tot hetzelfde (goede) resultaat. In het dagelijks leven bestaan voor allerlei handelingen algoritmes, zoals veters strikken, koffiezetten en sommige handelingen bij het autorijden. Binnen rekenen-wiskunde zijn er meer algoritmes dan hier genoemd. Er zijn al voorbeelden uit de Egyptische oudheid bekend die standaardprocedures laten zien voor het vermenigvuldigen, waarbij een vorm van herhaald optellen werd gehanteerd (Struik, 1990). De startbekwame leerkracht beheerst zelf de standaardprocedures en algoritmes voor de vier hoofdbewerkingen. Hij doorziet de onderlinge relatie en samenhang tussen meer en minder verkorte procedures en tussen standaardprocedures en andere vormen van rekenen. 2.2.3D. Gebruik van de rekenmachine Om het rekenen zo efficiënt mogelijk te doen verlopen, heeft de mens gezocht naar nieuwe rekenmanieren en hulpmiddelen. Dat heeft naast algoritmes ook hulpmiddelen als de rekenmachine opgeleverd (Van den Heuvel-Panhuizen e.a., 2001). Om de rekenmachine te kunnen gebruiken, moet de taal ervan worden verstaan. Die taal verschilt soms nogal per machine (Van den Brink e.a., 1988; Vermeulen 2006). Bij de ene machine geeft het intoetsen van het sommetje 6 + 2 x 3 = als uitkomst 12 en op de andere 24. Dit maakt een doordenking van de afspraken over rekenregels nodig. De rekenmachine kan worden gebruikt om: -
Snel berekeningen te kunnen uitvoeren. Lastige berekeningen, bijvoorbeeld met grote getallen, uit te kunnen voeren. Uit het hoofd of op papier gemaakte berekeningen te controleren.
Gecijferdheid I
61
Kennis die niet geheel tot de leerstof van de basisschool behoort, maar die de startbekwame leerkracht wel doorziet (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn van PO naar VO) betreft bijvoorbeeld het uitvoeren van de meer geavanceerde bewerkingen met de rekenmachine met behulp van de procentenknop, gebruik van het geheugen en de notatie van getallen die te groot zijn voor het venster van de rekenmachine. 2.2.4. Wiskundetaal bij (hele) getallen De taal die gebruikt wordt bij (hele) getallen omvat aanduidingen voor de getallen, de telwoorden uit de telrij en de systematiek van het decimaal positioneel getalsysteem. Daarbij gelden formele regels die niet altijd onderling consistent zijn. Na twintig komt eenentwintig, na honderd komt honderdeen, na zeventig komt tachtig en geen achtig, na negentig komt geen tientig. We schrijven 23 maar we zeggen eerst de drie en dan de twintig, we schrijven 283, we zeggen tweehonderd drieëntachtig. Uitzondering is de uitspraak van bijvoorbeeld jaartallen; 1950 met de uitspraak negentienhonderd vijftig of negentien vijftig (vergelijk Uittenbogaard, 2008a). Begrippen waarmee relaties tussen getallen en hoeveelheden worden aangegeven zijn bijvoorbeeld meer, minder, evenveel, bijna, ruim, afgerond, ongeveer en gemiddeld. De formele rekentaal op de basisschool omvat begrippen waarmee getallen en bewerkingen worden beschreven, zoals eenheid, tiental, honderdtal, plaatswaarde, deler, deeltal, vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product en quotiënt. Verder worden bijvoorbeeld gebruikt erbij, samen, plus, eraf, verschil, min, keer, maal, verdelen en gedeeld door. De formele rekentaal omvat symbolen als +, -, x, :, =, ≈, <, >, (, ), H, T, E, ², ³. Formele begrippen die op zich niet tot de leerstof van de basisschool worden gerekend, maar waar de startbekwame leerkracht wel betekenis aan kan geven, onder meer in verband met het ordenen van leerstof, zijn bijvoorbeeld positioneel systeem, decimaal systeem, positiewaarde, ordinaal en kardinaal.
Gecijferdheid I
62
Bijlag 2 Trainingsplan jaar 1 Leer alle tafels van 1 t/m 20 uit het hoofd! Van de tafels boven 10 leer je t/m 5x (bv 5x14)
Tafelkennis 1 t/m 20 Let op: leer niet allen de producten: 8 x 9 = 72 Leer (nog belangrijker) de interne getalrelaties van een getal als 72. Bv: 72 = 2 x 36; 3 x 24; 4 x 18; 6 x 12; 8 x 9. Dat geeft je flexibiliteit bij het eigenschapsrekenen en het oplossen van verhoudings-, procent- en breukvraagstukken
Oefenen met +/- <100 Minstens geautomatiseerd (antwoord binnen 3 seconden), beter nog gememoriseerd (direct beantwoord)
Optellen en aftrekken tot 100 (geautomatiseerd) Type sommen: 38 + 25 = 47 + 28 =
83 – 27 = 74 – 36 =
N.B.: Er is een verschil tussen automatiseren en memoriseren. Bij automatiseren kun je zeggen hoe je de som hebt opgelost (bv 30 + 20 en 8 + 5 >> dus 63), terwijl je bij memoriseren direct het antwoord weet: als iemand je naar je naam/adres/pincode vraagt, hoef je ook niet na te denken. N.B.: Deze sommen moeten in groep 6 van de basisschool geautomatiseerd zijn. Oefenen met alle aanvullingen tot 100
Aanvullen tot 100 Voorbeeld: 1 + = 100 34 + = 100 83 + = 100 Niet over nadenken! Gememoriseerde kennis! N.B.: Deze sommen moeten in groep 6 van de basisschool geautomatiseerd zijn.
Oefenen met alle aanvullingen tot 1000
Aanvullen tot 1000 Voorbeeld: 182 + = 1000 456 + = 1000 Niet over nadenken! Gememoriseerde kennis! N.B.: Deze sommen moeten in groep 6 van de basisschool geautomatiseerd zijn.
Attitude aspect
Referentiematen bezitten (bv. oppervlakte CD is ± 100 cm2) Tot nu toe heb je misschien de wereld gewoon genomen zoals deze was. Stel jezelf in de komende periode allerlei vragen. Voorbeelden: o Een file van 8 km…. Hoeveel auto’s staan er dan op een tweebaansweg? o Op een terras drinkt een groep jongeren voor de vijfde keer een meter bier…. Hoeveel liter heeft ieder gedronken? o Hoe groot is mijn hand? o Wat weegt een volwassen kat? Een leerling in het basisonderwijs heeft er recht op, dat hij/zij een juf/meester heeft die op dergelijke vragen antwoord kan geven. Zulke vragen worden gesteld door kinderen! Je moet een leerkracht zijn die voeding kan geven aan deze natuurlijke nieuwsgierigheid!
Gecijferdheid I
63
Wanneer dit nog niet goed gaat: Oefenen met willekeurige getallen
Cijferend optellen / aftrekken (ook met kommagetallen) Belangrijk: getallen goed onder elkaar zetten. Eenheden onder de eenheden, tientallen onder de tientallen etc.
2578 488+ 3066 Wanneer dit nog niet goed gaat: Oefenen met willekeurige getallen
of
30778,55 446 30332,55
Cijferend vermenigvuldigen (ook met kommagetallen) Bij vermenigvuldigen hoef je de getallen niet mooi onder elkaar te zetten. Je werkt alsof er geen komma staat. Deze zet je na afloop van de berekening terug in het antwoord. In de kolom die ontstaat moeten eenheden en tientallen wel mooi onder elkaar komen!! 123,55 432x 24710 370650 4942000 5337360 Het antwoord is nog niet goed. Waar komt de komma? Beredeneerd: er moet een getal uit komen in de orde van grootte van 50 000. De komma komt dus tussen de 3 en 6. Truc: in de som staan in totaal twee cijfers achter de komma, dus in het antwoord ook Antwoord wordt dus 53373,60 >> 53373,6 Als de som 123,55 x 4,32 was geweest (in totaal vier cijfers achter de komma), was het getal qua cijfers exact hetzelfde geweest, maar het antwoord 100x zo klein, dus 533,736 Cijferend delen Het zou mooi zijn als je de oude staartdeling kent. Voorbeeld: 72,144 : 2,4 = 2,4 /72,144 \ komma uit deler halen! Beiden 10x zo groot maken. 24 / 721,44 \ 30,06 3 x 24 72 1 4 4 1 laten zakken. Na zakken: delen! 6 x 24 144 0
Oefenen met willekeurige breuken. Zelf te verzinnen>
Gecijferdheid I
Omzetten van willekeurige breuk in kommagetal 13/23 = 0,….. ja en dan? Het mooiste zou zijn, als je de oude staartdeling beheerst. 23 / 13,0000 \ 0,565 ≈ 0,57 5 x 23 = 115 150 na het derde cijfer achter de komma 6 x 23 = 138 stoppen en afronden. Wordt dan 120 ≈ 0,57 5 x 23 = 115 5
64
