Gecijferdheid 8 Meten 2 – Verbanden en grafieken Complexe meetproblemen Oppervlakte en inhoud bij (ronde) figuren en objecten Gelijkvormigheid en congruentie Samengestelde grootheden Hoeken en graden Fahrenheit – kelvin - Celsius Rekenen met snelheid, tijd en afstand (licht en geluid) Toepassingen
(Redeneren met ) Verbanden, grafieken en diagrammen
Bij deze reader wordt veelvuldig verwezen naar het boek: Meten en Meetkunde, ThiemeMeulenhoff, Van Zanten e.a. isbn: 978 90 06 95506 4
tot de inhoud van de stof hoort ook het boekje “Meetkundige begrippen en kenmerken van figuren.” Gecijferdheid 8
( N@tschool ).
1
Inhoud Inleiding
3
H1: Oppervlakte en inhoud van meetkundige vormen en figuren 1.1 Het verhoudingsgetal Pi (π ). 1.2 Oppervlakte en inhoud van ‘ronde’ meetkundige figuren.
4 4 6
H2: Relatie tussen omtrek – oppervlakte - inhoud
11
H3: Verhoudingen 12 3.1 Gelijkvormigheid en Congruentie 3.2 Samengestelde grootheden
13 15
H4: Samenhang (verpakking, hoeken/graden, grafieken, breuken, Tera – nano, F-K-C.)
18
H5: Rijke problemen
22
H6: Verbanden, grafieken en diagrammen
27
H7: Redeneren met grafieken en diagrammen
38
Begrippenlijst
44
Gecijferdheid 8
2
Inleiding Gecijferdheid 8: Meten 2 – Verbanden en grafieken In het eerste deel van deze cursus vindt de verdieping plaats van de cursus Gecijferdheid2 (basiskennis en -vaardigheden Meten) die in jaar 1 heeft plaatsgevonden. De verhoudingsgetallen π (pi) en Φ (fi) worden ontdekt. Een verstrengeling van meetkunde en meten vindt plaats, zoals het berekenen van en redeneren over omtrek, oppervlakte en inhoud van meetkundige vormen en figuren aan de hand van de gegeven formules, maar ook het analyseren van gelijkvormigheid en het redeneren over hoeken krijgt de aandacht. Het rijtje voorvoegsel uit het metrieke stelsel wordt uitgebreid met Mega, Giga, Tera en micro, Nano en pica. De relatie tussen “graden Fahrenheit”, “kelvin” en “graden Celcius” wordt geleerd. Berekeningen met een aantal samengestelde grootheden zoals bevolkingsdichtheid, soortelijk gewicht en snelheid (ook geluidsnelheid en lichtsnelheid) passeren de revue en tot slot komen de rekenvaardigheden samen in een verzameling “rijke problemen” waarbij kennis uit diverse domeinen en de verschillende gecijferdheid-modules moet worden gebruikt. In het tweede deel van deze cursus gaat het over verbanden, grafieken en diagrammen. Het maatschappelijk belang van het domein van ‘verbanden, grafieken en diagrammen’ wordt steeds groter. Het gaat hierbij om het selecteren van representaties (plaatjes, schema’s, figuren, tabellen, diagrammen) om informatie weer te geven. Een voorbeeld: de streepjes bij het turven van de bestelling representeren de kopjes koffie die besteld zijn. Maar het gaat vooral ook om het lezen en begrijpen van informatierepresentaties en het selecteren en waarderen van informatie, zoals het doorzien van misleidende weergaven. Door de opgaven te maken en met je medestudenten en te bespreken met de docent krijg je meer greep op de enorme variëteit aan complexe meetproblemen. Wij wensen je veel plezier met het ontwikkelen van jouw professionele gecijferdheid. Docenten Rekenen & Wiskunde Let op: (1) Bij deze cursus hoort ook het boekje dat op N@tschool staat “Meetkundige begrippen en kenmerken van figuren.” (2) In deze reader wordt veelvuldig gewerkt met teksten en opgaven uit het boek Meten en Meetkunde, ThiemeMeulenhoff, isbn: 978 90 06 95506 4. De opdrachten waarbij dit boek nodig is, worden aangegeven met het icoontje
Gecijferdheid 8
3
H1: Oppervlakte en inhoud van meetkundige vormen en figuren 1.1 Het verhoudingsgetal Pi (π ). Pi (π) is een verhoudingsgetal dat een oneindig aantal decimalen heeft. Voor het gemak wordt vaak 3,14 gebruikt of bij iets nauwkeuriger rekensommen het getal 3,14159.
π geeft de verhouding weer tussen de diameter van een cirkel en zijn omtrek. Die verhouding staat vast en is ongeveer 3,14. (Wanneer je de omtrek deelt door de diameter kom je uit op ongeveer 3,14) Bij alle opgaven in deze reader kun je voor π het getal 3,14 gebruiken.
Opdracht 1.1.1: Meet van verschillende ronde voorwerpen zo nauwkeurig mogelijk de diameter en de omtrek. Schrijf de resultaten in de tabel. Reken bij elk voorwerp uit omtrek : diameter = op 1 decimaal nauwkeurig.
Koffiebekertje bovenkant
diameter
omtrek
omtrek : diameter =
6,8 cm
22 cm
3,2 cm
Cirkel B
Cirkel C
Cirkel D
Cirkel E
Gecijferdheid 8
4
Opdracht 1.1.2: Beredeneer en controleer in jouw tabel van opdracht 1.1.1 dat als omtrek : diameter = π , dat dan ook geldt dat
omtrek = π x diameter.
Opdracht 1.1.3: Bereken en vul in (gebruik voor π het getal 3,14 en gebruik een rekenmachine): Omtrek cirkel diameter straal 1
2
2 3 4
2 18,84 12
Opdracht 1.1.4: De middencirkel van een voetbalveld heeft een straal van 9,15 m. Kunnen alle spelers (22) op deze cirkel staan zonder elkaar aan te raken? Licht toe met een berekening. Opdracht 1.1.5: 1. De diameter van pizza A is twee keer zo groot als de diameter van pizza B, dan is de omtrek van pizza A ………………….. zo groot als de omtrek van pizza B (vul in.) 2. Ik teken met een passer een cirkel A met straal r. Ik maak nu de straal 3x zo groot en teken een nieuwe cirkel B. De omtrek van cirkel B is ………….…. zo groot als de omtrek van cirkel A. (vul in.) 3. De omtrek van pizza C is anderhalf keer zo groot als de omtrek van pizza D. De straal van pizza C is dan ………………….……… zo groot als de straal van pizza D (vul in.)
A
4. Stel de aarde -even voor het gemak- voor als een mooie bol. Stel dat om de aarde een touw A gespannen is zoals op het plaatje is getekend. Ik wil een nieuw touw B om de aarde spannen dat overal 1 meter van de grond af komt, hoeveel meter is dat nieuwe touw B dan langer dan touw A?
Gecijferdheid 8
5
1.2
Oppervlakte en inhoud van ‘ronde’ meetkundige figuren.
Hiernaast staat het formuleblad dat ook bij de WISCAT toets van Cito gebruikt wordt.
(In het boekje “Meetkundige begrippen” kun je bij alle platte figuren de formules vinden voor omtrek en oppervlakte.) In opgave 1.1. 2 heb je ontdekt dat de omtrek van een cirkel is kan worden uitgerekend met de formule Omtrek cirkel = π x diameter. Het symbool van vermenigvuldigen (de “x”) wordt soms in formules weggelaten. Ook op dit formuleblad wordt soms wel een “x” geschreven (bij de cilinder en de kegel) en soms niet. Dat verklaart de formule Omtrek cirkel = π d. Opgave 1.2.1: Wellicht heb je altijd geleerd dat de omtrek van een cirkel 2 π r is. Leg uit waarom 2 π r hetzelfde getal oplevert als π d De oppervlakte van een cirkel kun je berekenen door de straal te vermenigvuldigen met de halve omtrek. Ga maar na.
Gecijferdheid 8
6
Opgave 1.2.2: Bij de oppervlakte van een cirkel staat de formule π r2. Als ik een cirkel heb met een straal van 3 cm, wat is dan de juiste berekening voor de oppervlakte? Kies tussen manier a of manier b? Manier a: Manier b:
oppervlakte is 3,14 x 9 = 28,26 cm2 oppervlakte is 3,14 x 6 = 18,84 cm2
Opdracht 1.2.3: Bereken en vul in (gebruik voor π het getal 3,14 en gebruik een rekenmachine): Oppervlakte cirkel straal 1
1
2
2
3
78,5
4
6
Opdracht 1.2.4: a) De diameter van pizza A is twee keer zo groot als de diameter van pizza B, dan is de oppervlakte van pizza A ………………….. zo groot als de oppervlakte van pizza B (vul in.) b) Ik teken met een passer een cirkel A met straal r. Ik maak nu de straal 4x zo groot en teken een nieuwe cirkel B. De oppervlakte van cirkel B is ………….…. zo groot als de oppervlakte van cirkel A. (vul in.) c) De oppervlakte van pizza C is negen keer zo groot als de oppervlakte van pizza D. De straal van pizza C is dan ………………….……… zo groot als de straal van pizza D (vul in.)
Inhoud bol: Om de inhoud van een bol uit te rekenen kan de volgende formule gebruikt worden: Inhoud bol = 4/3 π r3
Gecijferdheid 8
7
Opgave 1.2.5: Als ik de inhoud van een bol met een straal van 3 cm wil uitrekenen, wat is dan de juiste berekening? Kies tussen manier a of manier b? Manier a: Manier b:
inhoud is 4/3 x 3,14 x 9 = 37,68 cm2 inhoud is 4/3 x 3,14 x 27 = 113,04 cm2
Opdracht 1.2.6: Bereken en vul in (gebruik voor π het getal 3,14 en gebruik een rekenmachine): Inhoud bol straal 1 2
1 33,493
3
3
Inhoud cilinder : Inhoud cilinder = π r2 x h
Als je de formule nader bestudeert dan zie je dat er eigenlijk staat: De inhoud van een cilinder = de oppervlakte van de cirkel x de hoogte van de cilinder. Opdracht 1.2.7: Bereken en vul in (gebruik voor π het getal 3,14 en gebruik een rekenmachine): Inhoud cilinder straal hoogte 1
1
10 cm
2
2
10 cm
3
2
20 cm
4
50,24
5
200,96
1 16 cm
Opdracht 1.2.8: Om deze doos zit een zwart lint gebonden. a) Hoeveel cm is deze cilinder hoog? b) Hoeveel cm is de straal? c) Hoeveel cm is de totale lengte van dit lint? d) Bereken de inhoud van deze cilinder. Gecijferdheid 8
8
Opdracht 1.2.9: Een soepblik heeft een inhoud van 1 liter. Ik maak een nieuw blik met een diameter die twee keer zo groot is. Hoeveel liter past er dan in? Opdracht 1.2.10: Een soepblik heeft een inhoud van 2 liter. Ik maak een nieuw blik dat 2 keer zo hoog is. Hoeveel liter past daar in? Opdracht 1.2.11: Een pilaar heeft een doorsnede van 1 m en is 3 meter hoog. Ik wil de zijkant volledig beplakken met een reclameposter. Wat is de minimale oppervlakte van die poster? (geef je antwoord in m2 .)
Inhoud kegel:: Om de inhoud van een kegel uit te rekenen kan de volgende formule gebruikt worden: Inhoud kegel = π r2 x 1/3 h
Als je de formule nader bestudeert dan zie je dat er eigenlijk staat: De inhoud van een kegel = de oppervlakte van de cirkel x 1/3 van de hoogte van de kegel. Als je deze formule vergelijkt met de formule van de inhoud van een cilinder dan zie je dat de inhoud van een kegel één-derde deel is van de cilinder met datzelfde grondvlak. Opdracht 1.2.12: Bereken en vul in (gebruik voor π het getal 3,14 en gebruik een rekenmachine): Inhoud kegel straal hoogte 1
1
10 cm
2
2
10 cm
3
2
20 cm
4
1
16 cm
5
2
16 cm
Opdracht 1.2.13: Controleer of bij opgave 1.2.7 alle inhouden inderdaad drie keer zo groot zijn als bij opgave 1.2.12 Gecijferdheid 8
9
Opdracht 1.2.14: Diameter is 10 cm
Bekijk de roomspuitzak op het plaatje hiernaast. Hij is tot 18 cm hoog met roomkaas gevuld. De diameter daarboven is 10 cm. Bereken de hoeveelheid roomkaas in ml.
18 cm
Opdracht 1.2.15: Hiernaast zie je een plaatje van een katoenen puntmuts. Netjes platgedrukt zie je een gelijkbenige driehoek met basis 25 cm en hoogte 30 cm. Bereken de minimale oppervlakte van het stukje katoen. Tip: maak een tekening en bedenk eerst of je wel een formule nodig hebt?
Opdracht 1.2.16: Bekijk het plaatje hiernaast van een “trechterfilter” waarmee gebruikte olie wordt gefilterd om te hergebruiken. In deze trechter zit een filter dat de hele kleine vaste deeltjes nog uit de olie filtert. Als de trechter wordt volgegooid met olie zal de inhoud hééél langzaam doordruppelen in de pot en blijven de fijne deeltjes achter op het filter. De trechter heeft boven een diameter van 20 cm en de diepte is 15 cm. Ik heb een blik met 2 liter vervuilde olie. Past de inhoud in één keer in de trechter? Licht toe.
Gecijferdheid 8
10
H2: Relatie tussen omtrek – oppervlakte - inhoud Opdracht 2.1: blz. 60 bovenaan: maak opgave uit Alles Telt, groep 6. Opdracht 2.2: Geef achter elke stelling aan of het “Waar” is of “Niet waar” a) Als figuur A een grotere omtrek heeft dan figuur B, dan heeft figuur A ook altijd een grotere oppervlakte dan figuur B…… waar of niet-waar? b) Als figuur A een grotere oppervlakte heeft dan figuur B, dan heeft figuur A ook altijd een grotere omtrek dan figuur B…… waar of niet-waar? Opdracht 2.3: Blz. 9 het A4 probleem: lees de activiteit door en probeer met berekeningen antwoord te geven op de volgende vragen: Ik heb 2 vellen karton A en B. De lengte van beide vellen is 30 cm en de breedte 15 cm. Ik maak van beide vellen een ronde koker; bij vel A wordt de korte kant de hoogte van de koker en bij vel B wordt de lange kant de hoogte van de koker. (zie plaatje). Ik vul beide kokers met rijst. a) De oppervlakte van de beide kokers blijft gelijk (waar of niet waar?) licht toe met berekening. b) In koker A kan meer rijst dan in koker B (waar of niet waar?) Licht toe met een berekening tip: kijk ook naar de formule voor Inhoud van cilinder A
B
Opdracht 2.4: a. Een cirkel heeft een omtrek van 6,28 dm. Bereken de oppervlakte van deze cirkel op cm2 nauwkeurig. b. Een cirkel heeft een oppervlakte van 50,24 dm 2. Bereken de omtrek van deze cirkel in cm nauwkeurig. c. Een cirkel heeft een omtrek van 3140 cm. Bereken de oppervlakte van deze cirkel op cm2 nauwkeurig. Opdracht 2.5: a. Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 400 cm2. Bereken de omtrek van deze tegel. b. Een vierkante tegel heeft een omtrek van 60 cm. Bereken de oppervlakte van deze tegel. Opdracht 2.6: Van een gelijkzijdige driehoek maak ik alle zijdes 2 keer zo groot. Gecijferdheid 8
11
a. Hoeveel keer zo groot wordt dan de omtrek? b. Hoeveel keer zo groot wordt dan de oppervlakte? tip: maak een tekeningetje Opdracht 2.7: Van een rechthoekige driehoek maak ik alle zijdes 2 keer zo groot. a. Hoeveel keer zo groot wordt dan de omtrek? b. Hoeveel keer zo groot wordt dan de oppervlakte? tip: maak een tekeningetje Opdracht 2.8: Van een willekeurige driehoek maak ik alle zijdes 5 keer zo groot. a. Hoeveel keer zo groot wordt dan de omtrek? b. Hoeveel keer zo groot wordt dan de oppervlakte? c. Wat gebeurt er met de omtrek en met de oppervlakte als ik alle zijdes n keer zo groot maak? * dan wordt de omtrek ……. keer zo groot * dan wordt de oppervlakte ……. keer zo groot Opdracht 2.9: Geldt deze relatie ook bij vierkanten, rechthoeken en ruiten? Licht toe. Opdracht 2.10: Mars heeft een diameter van ongeveer 6800 km. De diameter van de aarde is ongeveer twee keer zo groot. De inhoud van de aarde is dan ongeveer: a. 2 keer zo groot als die van Mars. b. 6 keer zo groot als die van Mars. c. 8 keer zo groot als die van Mars. d. 9 keer zo groot als die van Mars Beredeneer het juiste antwoord.
Gecijferdheid 8
12
H3: Verhoudingen Opdracht 3.0.1: Blz.69: WiG, groep 6. Hoe lang is de sneeuwman ongeveer? Schrijf een redenering op waarbij je voor de lengte van één voet van een volwassen mens 30 cm als uitgangspunt neemt. Opdracht 3.0.2: Blz. 68: Pluspunt, groep 7. Beantwoord de vragen a t/m c Opdracht 3.0.3: Een toren van 30 meter geeft een schaduw van 12 meter. Naast de toren staat een boom die een schaduw geeft van 5 meter. Hoe hoog is die boom? 3.1
Gelijkvormigheid en Congruentie
Opdracht 3.1.1: Bekijk de tekening hieronder. Je ziet een grote driehoek en een kleintje daarin. Dit plaatje staat model voor een hellingspercentage (gecijferdheid 3 “stijgingspercentage van 17%”), maar ook voor de projectie van een schaduw (zie vorige opgave), maar ook voor viseerlijnen (Gecijferdheid 7), maar ook voor “gelijkvormigheid”
a. Geef dit figuur betekenis vanuit de “stijgingspercentage”, d.w.z. geef de horizontale lijn betekenis en wat betekent dan de verticale lijn? b. Vergelijk dit figuur met de opgave 3.0.2. Welke lijn stelt de schaduw van de boom voor en welke lijn stelt de hoogte van de boom voor? Wikipedia: Gelijkvormigheid is een begrip uit de meetkunde. Twee meetkundige figuren worden gelijkvormig genoemd als de een congruent is aan het beeld van de ander onder een vergroting (of verkleining) vanuit een punt. Congruent: Eenvoudig gezegd zijn twee figuren congruent als zij na een geschikte verplaatsing precies op elkaar passen
Gecijferdheid 8
13
Opdracht 3.1.2: In de definitie hierboven wordt de zinsnede “onder een vergroting vanuit een punt” gebruikt. a. b. c. d.
Wat wordt in bovenstaand beeld “vergroot” Vanuit welk punt? Wat is het “beeld”? Hoeveel keer zo groot is “het beeld” ten opzichte van de kleine driehoek? qua zijdes? qua oppervlakte?
Opdracht 3.1.3: Bekijk de figuren hieronder
. a. Welke figuren zijn “congruent”? Verbind die figuren met een lijntje. b. Welke figuren zijn “gelijkvormig”? Verbind die figuren met een lijntje.
Gecijferdheid 8
14
3.2
Samengestelde grootheden
Bij samengestelde grootheden denken we meestal aan snelheid (de afstand per tijdseenheid, bijv. km/uur of m/s), maar het betreft elke mogelijke combinatie van twee of meer grootheden en hun onderlinge verhouding. Vaak hebben we die verhouding nodig om gemakkelijker vergelijkingen te kunnen maken. Bijvoorbeeld bij tanken: “Prijs per Liter” of bij de groetenboer “prijs per gewicht” Opdracht 3.2.1 “bevolkingsdichtheid” (aantal inwoners per km2) Mongolië heeft een oppervlakte van ongeveer 1,5 miljoen km 2. Er wonen ongeveer 3.000.000 mensen. Nederland heeft een oppervlakte van ongeveer 40.000 km 2. a) Bereken de bevolkingsdichtheid van Mongolië (het dunst bevolkte land ter wereld.) b) Bereken de bevolkingsdichtheid van Nederland. Opdracht 3.2.2: Blz. 110: lees tekst over “soortelijk gewicht.” a. zoek uit het soortelijk gewicht van a) koffiemelk, b) pindakaas c)benzine of terpentine. b. als een vloeistof blijft drijven op water, wat betekent dat dan voor het soortelijk gewicht van deze vloeistof? c. Als een olietanker olie lekt op zee, blijft de olie drijven. Kun je één verklaring geven waarom olie niet zinkt? Opdracht 3.2.3: de Body Mass index (BMI). Blz. 193 – 194: Lees het artikel op blz. 194. De BMI is dus je lichaamsgewicht gedeeld door het kwadraat van je lichaamslengte. In die zin is het dus ook een samengestelde grootheid. a) Schrijf een formule op voor BMI b) Als je een BMI onder de 18 hebt en je bent 1,76 m lang, wat is dan je gewicht? c) Bereken je eigen BMI
Gecijferdheid 8
15
Opdracht 3.2.4: De marathon (42,195 km) van Rotterdam werd in 2012 gewonnen door Y. Adhane in een tijd van 2:04:48. Op de tweede plaats eindigde G. Feleke met een tijd van 2:04:58. a) Bereken de gemiddelde snelheid van Feleke (km/uur). b) Hoeveel meter voorsprong had Adhane op Feleke toen hij als winnaar over de finish ging?
Opdracht 3.2.5: Op de WK afstanden schaatsen op 24 maart 2013 won Jan Smeekens de 500 meter sprint in een tijd van 34.80 De nummer twee, Joji Kato, schaatste een tijd van 34.92 a) Bereken de gemiddelde snelheid van Joji Kato (km/uur). b) Hoeveel meter voorsprong had Smeekens op Kato toen hij als winnaar over de finish ging?
Gecijferdheid 8
16
Opdracht 3.2.6: Geluidsnelheid en lichtsnelheid Bij onweer zie je eerst een bliksemschicht en pas later hoor je de knal. Geluid plant zich voort met een snelheid van ongeveer 345 meter per seconde. Licht plant zich voort met een snelheid van ongeveer 300.000 kilometer per seconde. a) Bereken de geluidsnelheid in km/uur . b) Bereken de lichtsnelheid in km/uur c) Als je op 5 km afstand van een onweersbui staat, hoeveel tijd zit er dan tussen het zien van de bliksem en het horen van de knal? d) Bedenk een vuistregel waarmee je door de seconden te tellen tussen lichtflits en donderknal, meteen de afstand kan schatten tussen jou en de onweersbui.
Opdracht 3.2.7: De geluidsnelheid in water is ongeveer 1480 m/s. Met echopeiling wordt een geluidsignaal naar de bodem van de zee gestuurd. Op grond van de tijd tussen het verzenden en terugontvangen van dit signaal kan de afstand berekend worden. a) Bereken hoeveel milliseconden verstrijken tussen verzenden en ontvangen als de afstand tot de bodem 100 meter is? b) Als na 0,5 seconden het signaal is terugontvangen, hoe groot is dan de afstand tot de bodem?
Gecijferdheid 8
17
H4: Samenhang (verpakking, hoeken/graden, grafieken, breuken, Tera – nano, F-K-C.)
Opdracht 4.1: Blz. 59. Onderaan, RekenRijk groep 8: In welk(e) bakje(s) past precies 1 liter? Opdracht 4.2: Een fabrikant heeft het idee om melkpakken te maken die gemakkelijk stapelbaar in de koelkast kunnen. Voor een literpak kiest hij voor de vorm van een soort “pizzadoos” . De verpakking is 20 cm breed en 20 cm lang. Bereken de hoogte in centimeters.
Opdracht 4.3: In een container van 4,00 m x 2,50 m x 2,00 m worden dozen opgeslagen. De dozen zijn 12 dm lang, 80 cm breed en 0,4 m hoog. Hoeveel dozen kun je in de container kwijt? Licht je antwoord duidelijk toe.
Opdracht 4.4: In een grote doos van 85 cm lang, 60 cm breed en 45 cm hoog breed worden kleine doosjes geplaatst. De kleine doosje zijn 6 cm lang, 6 cm breed en 6 cm hoog. Hoeveel kleine doosjes kun je in de grote doos plaatsen? Licht je antwoord duidelijk toe.
Opdracht 4.5 (uit Rekentijger7A, Zwijsen): a) Op de klok is het 10 uur precies. Bereken de hoek tussen de grote en de kleine wijzer. b) Op de klok is het 10 over 10. Bereken de hoek tussen de grote en de kleine wijzer. tip: bedenk eerst hoeveel graden de kleine wijzer gedraaid is in de tijd tussen 10 uur en 10 over 10.
Opdracht 4.6: Gegeven is de onderstaande driehoek. Hoeveel graden is hoek A? A 35
Gecijferdheid 8
35
18
Opdracht 4.7: Bekijk de ster hiernaast. De sterpunten zijn gelijkzijdige driehoeken. Beredeneer a) Hoeveel graden is elke hoek van de sterpunten? b) Hoeveel graden is dan elke hoek van de zeshoek in het midden?
Opdracht 4.8: Beredeneer hoeveel graden elke binnenhoek is in deze regelmatige 5-hoek. Tip: Beredeneer hoeveel graden de buitenhoeken zijn als je weet dat je na 5 keer draaien 360° bent gedraaid. Opdracht 4.9: Blz. 69. Onderaan Pluspunt groep 8: a) 4,150 kg = …… gram b) Floris woog 4,150 kg op 1…… c) Floris is magerder geworden in de maand …… d) Lotje was zwaarder dan Floris op 1 …… e) Het verschil in gewicht tussen Floris en Lotje was het grootst op 1 …… Opdracht 4.10: De oppervlakte van het hele buitenste vierkant is 240. Beredeneer hoe groot de oppervlakte is van de kleine blauwe driehoek.
Gecijferdheid 8
19
Opdracht 4.11: Blz. 71. Onderaan RekenRijk groep 7: Je ziet hier 2 maatbekers met een verschillende onderverdeling. Schrijf bij elke letter de juiste breuk en het juiste kommagetal. breuk
Kommagetal (liters)
a b c d e f g h i j k l m n
Gecijferdheid 8
20
Opdracht 4.12: “Giga groot!” en “Nano klein!” Blz. 79: Lees blz. 79 en bestudeer de tabel onderaan. Er zijn 3 nieuwe voorvoegsels voor GROTE getallen, nl. Mega (miljoen), Giga (miljard) en Tera (biljoen). Ook zijn er 3 nieuwe voorvoegsels voor KLEINE getallen, nl. micro (miljoenste), Nano (miljardste) en pico (biljoenste) a) waarom is 0,000001 een “miljoenste” en niet een “honderdduizendste”? b) zoek op internet wat “nanotechnologie” betekent. De dikte van één haar is ongeveer …. Nm.? c) hoeveel Gigabyte passen in een Terabyte? d) Vul in: 2 mm = …… Nanometer e) Vul in met de wetenschappelijke notatie: 2 nanoseconde = …… seconde Opdracht 4.13: Lichtjaren Grote afstanden in het heelal worden uitgedrukt in lichtjaren. Eén lichtjaar is de afstand die het licht aflegt in één jaar. Dat is ongeveer 9,46 biljoen kilometer a) Reken zelf eens na hoeveel kilometer het licht in 1 jaar aflegt. b) Hoe zou je deze afstand in km noteren met de wetenschappelijke notatie? c) De ster die het dichtst bij de aarde staat heet Proxima Centauri. De afstand is 4,3 lichtjaren. Bereken hoeveel kilometer dat is (noteer in wetenschappelijke notatie). d) De maan staat ongeveer 1,3 lichtseconden van de aarde. Bereken hoeveel km dat is.
Opdracht 4.14: Celsius (°C) – Fahrenheit (°F) – kelvin (K) In Amerika wordt de temperatuur uitgedrukt in graden Fahrenheit. De formule om de graden Fahrenheit om te rekenen naar graden Celsius is: (Temperatuur in °F – 32 ) x 5 : 9 = temperatuur in °C Natuurkundigen meten de temperatuur liever in kelvin. De formule om van Kelvin om te rekenen naar °C is: Temperatuur in kelvin – 273,15 = temperatuur in °C a) Welke formule kun je opstellen om van °C terug te rekenen naar °F? b) Welke formule kun je opstellen om van °C terug te rekenen naar kelvin? c) Water gaat koken bij 100 °C. Bij hoeveel °F is dat dan? Hoeveel kelvin? d) Hoeveel °F is het bij °C? Gecijferdheid 8
21
H5: Rijke problemen Opdracht 5.1: Ik maak van karton een Tetraëder met ribbe 4. Wat is de totale oppervlakte van dit stuk karton?
Opdracht 5.2: regenval in millimeters? Blz. 46. Pluspunt groep 8 ‘rijk probleem’: Als er regen is gevallen, wordt de hoeveelheid door het KNMI aangeduid in millimeters. Bijvoorbeeld : “er is 2 mm regen gevallen” betekent dat op een oppervlakte van 1 m2 de hoogte van het opgevangen regenwater 2 mm was. Het betreft dus eigenlijk een samengestelde grootheid “millimeter per vierkant meter”. a) Als er 2 mm regen is gevallen, hoeveel liter is dat dan per vierkante meter? b) Hoeveel liter is er dan gevallen op een achtertuintje van 9 bij 6 meter? c) Hoeveel liter is er dan gevallen op een voetbalveld (ong. 0,5 ha)? d) Beantwoord nu de vraag uit het boek: Op een dag valt 4 mm regen op Texel. Stel dat dit water verzameld zou kunnen worden. Hoeveel keer kan ik daarvan in bad? tip: maak eerst een schatting van de oppervlakte van Texel (zie kaartje met schaalaanduiding), bereken dan hoeveel liter regenwater is gevallen, maak dan een schatting van de inhoud van een bad. Opdracht 5.3: Rekenen met weken, maanden, jaren: a) Ik was in 2013 op een dinsdag jarig. Beredeneer dat ik volgend jaar op een woensdag jarig ben. b) het is vandaag vrijdag 15 maart 2013, welke dag is het over 2000 dagen? (datum en weekdag) c) hoeveel dagen zitten tussen 1 maart 2010 en 1 maart 2014?
Gecijferdheid 8
22
Opdracht 5.4: Een vel A4-papier is afgeleid van een standaardmaat A0. Een A0 papier heeft een oppervlakte van 1 m2. Door dit A0 papier precies te halveren ontstaat een A1 papier, de helft daar weer van is een A2 enzovoorts. a) Hoeveel keer halveren levert een A4? b) Welke oppervlakte heeft een A4? c) Controleer door de lengte en de breedte van een A4 te meten of jouw antwoord bij (b) klopt. d) De aanduiding “80grams papier” betekent dat één A0 vel 80 gram weegt. Laat zien met een berekening dat een A4-tje dan 5 gram weegt. Opdracht 5.5:De Pas-spiegel Blz. 159 – 162. Lees het probleem goed door en probeer de diverse oplossingen te begrijpen. Beantwoord vervolgens de volgende vraag: a) Als ik 1,80 meter lang ben, hoe hoog moet een passpiegel dan zijn om mijzelf precies van top-tot-teen te kunnen zien in de spiegel? b) Leg uit met een tekening zoals in opdracht 3.1.1
Opdracht 5.6:Suikerzakjes, verpakkingen: Blz. 163 – 164 : Bereken aan de hand van de 3 plaatjes van de drie verpakkingen welke van de drie verpakkingen de kleinste oppervlakte heeft, welke de grootste? Oppervlakte suikerzakje:
…… cm2
Oppervlakte suikerstick:
…… cm2
Oppervlakte suikerpiramide:
…… cm2
Gecijferdheid 8
23
Opdracht 5.7: het “voordeel” van de binnenbocht: Bij schaatsen strijden de tegenstanders op een baan zoals hieronder getekend is. Vaak hoor je “hij heeft nog het voordeel van de binnenbocht”. De binnenbocht kun je beschouwen als een halve cirkel
Het verschil in diameter tussen binnenbocht en buitenbocht is 5 meter. Bereken hoeveel meter de buitenbocht méér is dan de binnenbocht.
Opdracht 5.8
Gecijferdheid 8
24
Opdracht 5.9
Gecijferdheid 8
25
Opdracht 5.10
Gecijferdheid 8
26
H6: Verbanden, grafieken en diagrammen Representaties Het maatschappelijk belang van het domein van ‘verbanden, grafieken en diagrammen’ wordt steeds groter. Het gaat hierbij om het selecteren van representaties (plaatjes, schema’s, figuren, tabellen, diagrammen) om informatie weer te geven. Een voorbeeld: de streepjes bij het turven van de bestelling representeren de kopjes koffie die besteld zijn. Maar het gaat vooral ook om het lezen en begrijpen van informatierepresentaties en het selecteren en waarderen van informatie, zoals het doorzien van misleidende weergaven. De startbekwame leerkracht kan gangbare grafieken en schema’s gebruiken om informatie die zich daarvoor leent te representeren, en kan grafieken lezen en vergelijken en informatie uit grafieken op hun waarde schatten. Hierbij gaat het bijvoorbeeld om: keuze van assen en schaal bij (lijn)grafieken, en voor (niet) passende soort grafieken. Kleurgebruik in de grafiek, bepaalde effecten kunnen daardoor in ‘t oog springen. De suggestie van continuïteit in situaties waarin hiervan geen sprake is (zijn er tussen hele getallen in ook bestaande waarden? 1 ½ kind bestaat niet…). We onderscheiden twee verschillende soorten grafieken: continue grafieken en discrete grafieken: - Bij een continue grafiek zijn alle tussenliggende waarden mogelijk, bijvoorbeeld: tussen 2 en 3 graden Celsius ligt 2,5 graden Celsius, en tussen 2 en 2,5 graden Celsius ligt 2,25 graden Celsius enzovoorts. Een continue grafiek kan dus een lijngrafiek zijn. - Bij een discrete grafiek zijn tussenliggende waarden niet mogelijk (1 ½ kind…). Een discrete grafiek is dus eigenlijk nooit een lijngrafiek, maar bijvoorbeeld wel een staafgrafiek (soms is het wel iets dat lijkt op een lijn: bijvoorbeeld allemaal puntjes op de hele getallen, waartussen je wel een lijn zou kunnen denken). Meer algemeen moeten bij het maken van grafieken keuzen gemaakt worden over: Welke representatie op een bepaald moment de meest geschikte is. Hoe de representatie gebruikt wordt om data zo effectief mogelijk weer te geven. Hoe de gekozen representatie past bij de doelgroep. Juist omdat spreadsheetprogramma’s als Excel het mogelijk maken informatie eenvoudig weer te geven in grafieken, is het noodzakelijk kennis te hebben over de vraag, welke grafische representaties bij verschillende situaties passend zijn. Gecijferdheid 8
27
Naast de lijngrafiek kennen we bijvoorbeeld ook de volgende soorten grafieken: Cirkeldiagram, histogram, staafdiagram, stengel- of bladdiagram (= steelbladdiagram) En ook: blokdiagram, stroomdiagram (flowchart), spreidingsdiagram en beelddiagram Lijngrafiek: In een lijngrafiek wordt de ontwikkeling van een variabele (een veranderende waarde op de y-as of verticale as) weergegeven, meestal in de tijd (of een andere variabele op de x-as of horizontale as). Dit voorbeeld is niet compleet: een complete grafiek heeft een duidelijke titel, benoemde assen en een legenda (Wat zouden deze lijnen kunnen weergeven?). Cirkeldiagram: Een cirkeldiagram is een grafiek ofwel diagram in de vorm van een cirkel, waarbij de verdeling van bepaalde gegevens worden weergegeven. Dit kunnen absolute gegevens zijn (bijv. aantallen) of relatieve gegevens (bijv. percentages). Dit voorbeeld mist nog een duidelijke titel en een legenda (Waar zouden de percentages op kunnen slaan?). Histogram: Een histogram is een representatie van een frequentieverdeling (hoeveelheidsverdeling) van verschillende groepen (in klassen gegroepeerde data; de kolommen, in dit geval jaren) op een continue (doorlopende) schaal (in dit geval de tijd in jaren). Het verschil tussen de kolommen betreft de oppervlakte, waarbij de breedtes gelijk zijn. Dit voorbeeld mist naast de titel een benoemde y-as (Wat zouden de getallen op de verticale as kunnen betekenen?). Staafdiagram: Een staafdiagram is de tegenhanger van de histogram, maar dan met de frequentieverdeling van data op een discrete schaal (in dit geval twee groepen data per jaar – het betreft in dit voorbeeld ook jaartallen, maar omdat er per jaar twee staven worden weergegeven is er geen sprake van een continue schaal). De hoogte van de staven geeft de frequentie van de data aan. Dit voorbeeld mist een titel en een benoemde y-as (Bedenk zelf een titel en een benoemde y-as). Steelbladdiagram:
4 457 5 022 6 044 7 011 8 123 9 0 8 Gecijferdheid
6889 5669 34889 8
Een steelbladdiagram (of stengel- of bladdiagram) is een overzichtelijke representatie van een reeks getallen, schematisch weergegeven. Zonder verdere informatie (duidelijke titel) is niet duidelijk wat deze verdeling betekent. De getallen voor de lijn (de steel) kunnen bijvoorbeeld eenheden zijn en de getallen achter de lijn (de bladeren) de tienden. Zo kan op deze manier bijv. een overzicht gegeven worden van de tentamencijfers van dit vak van vorig jaar: 4,4 - 4,5 - 4,7 - 5,0 - etc. 28
Blokdiagram: Een blokdiagram is een representatie van een proces, een systeem of een toestand. Een voorbeeld hiervan is een respresentatie van het systeem van een organisatie: een organogram. Het diagram is meestal enkel opgebouwd uit rechthoekige blokken en de verbindingen daartussen hebben geen specifieke richting. Ook een blokdiagram heeft een titel.
Stroomdiagram: Noem een getal
getal ≤5
True
Schrijf: “ Het cijfer” getal “ is een onvoldoende.”
False
getal ≥6
True
Schrijf: “ Het cijfer” getal “ is een voldoende.”
False
Einde
Een stroomdiagram (of flowchart) is een representatie van een proces, waarbij de mogelijke paden van het doorlopen van het proces wordt weergegeven volgens afgesproken symbolen (voor de liefhebber is een beknopt overzicht te vinden op: http://www.richardrandall.com/business/flowcharting.html) Een stroomdiagram bevat over het algemeen een startpunt, eindpunten, invoer, uitvoer, mogelijke paden en beslissingen. Dit is een voorbeeld van een stroomdiagram (zonder titel!) om een waarde (‘voldoende’ of ‘onvoldoende’) aan een cijfer te koppelen en dat te noteren.
Spreidingsdiagram: Een spreidingsdiagram (of puntenwolk) is een representatie van meerdimensionale steekproef. Hiermee wordt bedoeld: het weergeven van data op ten minste twee variabelen. Deze data kan afkomstig zijn van verschillende proefpersonen (bijv. van een steekproef onder studenten: het aantal studie-uren per week en het aantal studiepunten per blok) of van verschillende steekproeven van één object (bijv. van een steekproef in een winkel: het aantal bezoekers en de dag van de week). Elke steekproef levert één punt op in de grafiek en alle punten samen vormen een wolk. In een spreidingsdiagram kun je mogelijk een lijn ontdekken in de puntenwolk, waarmee je het verband kunt voorspellen tussen de verschillende variabelen (bijv. met meer studie-uren per week haal je meer studiepunten blok, zoals te zien in het voorbeeld – met verzonnen data). Dit voorbeeld mist een titel en benoemde assen. Beelddiagram:
januari februari maart april mei
= 100 vluchten
Gecijferdheid 8
Een beelddiagram is een representatie van gegevens door middel van beelden. De legenda geeft aan waar een beeld voor staat (in dit geval staat het beeld van een vliegtuig voor 100 vluchten). Je kunt zo makkelijk in een keer zien hoeveel vluchten (afgerond op honderden?) er per maand waren en zo makkelijk gevens visueel met elkaar vergelijken. Dit voorbeeld mist een duidelijke titel (Waaraan moet deze dan voldoen?).
29
Wiskundetaal Bij het domein informatieverwerking en verbanden speelt taal een grote rol bij het vertalen en lezen van informatie in grafieken (en omgekeerd). Onder de specifieke wiskundetaal valt bijvoorbeeld: De namen van grafieken en begrippen die daarbij worden gebruikt zoals: assen: de horizontale as en verticale as in een grafiek legenda: de uitleg van kleuren, afkortingen, symbolen, etc. van een grafiek. dalen en stijgen: het verloop van een (lijn-)grafiek en de betekenis hiervan. Overige begrippen die worden gebruikt bij het ordenen en representeren van informatie, zoals: gemiddelde: de gemiddelde waarde van meerdere variabelen (berekenen van het rekenkundig gemiddelde: som van alle waarden delen door het aantal waarden). sectoren: delen van een grafiek graden en minuten: als eenheden van resp. temperatuur en tijd, maar ook als meetkundige begrippen bij hoeken (een hoek bestaat uit (een deel van) 360 graden, een graad bestaat uit 60 minuten). variabelen: een variabele is een grootheid die waargenomen/gemeten wordt en verschillende waarden kan hebben. Als er een verband is tussen twee dingen, zoals aantal uren huiswerk maken en de score op een toets, dan zijn er twee variabelen: variabele 1 is het aantal uren huiswerk, variabele 2 is de score op de toets. absoluut: gegevens die los gezien worden van andere dingen zijn absoluut. relatief: gegevens die gezien moeten worden in relatie tot iets anders zijn relatief. Formele begrippen die op zich niet tot de leerstof van de basisschool worden gerekend, maar waar de startbekwame leerkracht wel betekenis aan kan geven in verband met het ordenen en duiden van informatie, zijn bijvoorbeeld: mediaan: de mediaan is het middelste element van een verzameling; bij een reeks getallen dus het middelste getal of (bij een even aantal getallen) het gemiddelde van de middelste twee getallen. modus: de modus is het element van een verzameling die het vaakst voorkomt; bij een reeks getallen dus het getal dat het vaakst voorkomt. causaal verband: een verband tussen twee variabelen noemen we een causaal verband als de ene variabele de oorzaak (cause) is van de andere variabele. Bijvoorbeeld: als het regent (het ene), worden de straten nat (het andere). significant verband: een verband tussen twee variabelen noemen we een significant verband als er tussen de ene variabele en de andere variabele een verband is dat niet alleen op toeval is gebaseerd. Bijvoorbeeld: lengte en leeftijd tussen 0 en 16 hebben een significant verband (hoe ouder, hoe groter: dit is niet op toeval gebaseerd). Of een verband wel of niet significant is, is te berekenen met statistische formules en/of rekenprogramma’s. Sommige verbanden zijn zowel causaal als significant (zie de voorbeelden hierboven). Echter niet altijd, bijvoorbeeld: Causaal, niet-significant verband: Ik heb een lot gekocht voor de loterij Gecijferdheid 8
30
(oorzaak) en ik heb een prijs gewonnen (gevolg). Er is dus een causaal verband tussen het kopen van een lot en het winnen van de prijs. Echter, er is geen significant verband tussen het kopen van een lot en het winnen van de prijs; de kans dat je een prijs wint is zo klein dat dit gebaseerd is op toeval. Niet-causaal, significant verband: Volgens de statistieken worden er meer baby’s geboren in het voorjaar. Het is te berekenen met statistische formules dat dit niet op toeval is gebaseerd. Echter, er is geen causaal verband tussen het voorjaar en de geboorte van baby’s; je kunt niet zeggen dat het voorjaar de oorzaak is van een geboortegolf. Kennis van informatieverwerking en verbanden die niet tot de leerstof van de basisschool hoort, maar waarover de startbekwame leerkracht wel beschikt met het oog op het volgen van leerling-vorderingen, betreft bijvoorbeeld de grafische weergave van gegevens uit leerlingvolgsystemen. Wiskundige middelen Het werken met grafische representaties doet een beroep op het onderzoekend leren door leerlingen. Grafieken geven een abstract beeld van de werkelijkheid: een plaatje met informatie die je hebt geselecteerd. In het onderwijs grijpt het ontwikkelen van grafieken daarom aan bij deze werkelijkheid. Kinderen leren zo grafieken kennen door bijvoorbeeld stroken van hun eigen lengte te maken en naast elkaar te hangen of door kaartjes neer te leggen om de stand bij te houden. Geleidelijk worden grafieken op zichzelf staande representaties. Leerkrachten leren kinderen daarnaast om een bij een situatie passende grafiek te kiezen. Greep krijgen op informatie betekent dat deze geordend moet worden. Dat kan gebeuren in de vorm van grafieken of in de vorm van schema’s. Schema’s ontstaan door getallen (en andere gegevens) enigszins gestructureerd te noteren. Vanuit een kladje ontstaat stukje bij beetje een overzichtelijk schema, waar het plaatje bijdraagt aan de betekenis en de getallen of gegevens en het overzicht over het geheel. Deze manier van werken zorgt ervoor dat de dagelijkse praktijk wordt weergegeven met wiskundige middelen. Manipulatie Bij de interpretatie van grafieken en diagrammen, moet je altijd goed de bedoeling van de maker in de gaten houden. Door grafieken te manipuleren kunnen verschillen opties beïnvloed worden, zoals in de onderstaande voorbeelden te zien is:
Gecijferdheid 8
31
Originele grafieken:
Gemanipuleerde grafieken:
Sport groep 7
Sport groep 7 Voetbal
Voetbal
Zaalsport
Zaalsport
Tennis
Tennis
Hockey
Hockey
Vechtsport
Vechtsport
Opdracht 6.1: Bekijk de representaties uit de inleiding op bladzijde 3. Overleg in een groepje van 4 studenten en beantwoord voor elke representatie de volgende vragen: a) Welke context hoort bij deze representatie (waar zou het over
kunnen gaan)? Cirkeldiagram: Histogram: Staafdiagram: Steelbladdiagram: Lijngrafiek:
Gecijferdheid 8
32
b) Welke informatie kun je uit de representatie
halen? Cirkeldiagram: Histogram: Staafdiagram: Steelbladdiagram: Lijngrafiek:
c) Als je deze context in een van de andere 4 representaties zou hebben
weergegeven, welke informatie zou dan verloren gaan? Cirkeldiagram i.p.v. histogram:
Histogram i.p.v. steelbladdiagram:
Staafdiagram i.p.v. lijngrafiek:
Steelbladdiagram i.p.v. cirkeldiagram:
Lijngrafiek i.p.v. staafdiagram:
Gecijferdheid 8
33
Modus, mediaan, gemiddelde. Als er onderzoek gedaan wordt, zijn onderzoekers vaak geïnteresseerd in het gemiddelde, maar ook in de modus en de mediaan. De modus is de score die het vaakst voorkomt (ook wel ‘modaal’ genoemd). De mediaan is de middelste waarneming. Voorbeeld: Voor een toets zijn de volgende scores gehaald
cijfer 5 6 7 8 9
aantal studente 3 n 10 8 6 3
De modus is hier het cijfer 6, omdat dit cijfer het vaakst voor komt. De mediaan is hier het cijfer 7, het middelste getal of het gemiddelde van middelste twee getallen! (5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9) Het gemiddelde kun je uitrekenen door alle scores bij elkaar op te tellen en dan te delen door het aantal studenten: (3 x 5 + 10 x 6 + 8 x 7 + 6 x 8 + 3 x 9) : 30 = (15 + 60 + 56 + 48 + 27) : 30 = 206 : 30 = 6,87 (afgerond op 2 decimalen) Opdracht 6.2: Je hebt een toets afgenomen in groep 6. Hieronder staan de resultaten van de toets.
cijfer
Aantal leerlingen
4 5 6 7 8 9 10
2 1 11 5 7 0 4
d) Bepaal de modus.
e) Bepaal de mediaan.
f)
Bepaal het gemiddelde.
Gecijferdheid 8
34
Opdracht 6.3.1: Hoe heet de meest passende representatie bij de volgende contexten? We willen weten: a) het gemiddelde, de modus en de mediaan van de leeftijd van de
studenten in de klas in maanden. b) wat het percentage studenten is dat tot nu toe alle studiepunten heeft
gehaald. c) of er een causaal of significant verband is tussen het gewicht van
watten en de inhoud ervan d) of er een verband is tussen de wiscat score en de voorbereidingstijd e) welk vak op de Pabo het meest wordt gewaardeerd in de klas f)
wat het effect van een nieuwe rekenmethode is op de CITO-scores
g) hoe de gemiddelde studenttevredenheid verandert gedurende 5 jaren h) de verwachte temperaturen in de komende week i)
een telefoonketen voor de klas
j)
de CITO-resultaten van de leerlingen in jouw stageklas
k) het gemiddelde van de CITO-resultaten van de leerlingen in jouw
stageklas l)
de CITO-resultaten van de leerlingen in jouw stageklas van hun hele basisschool
m) Verzin bij de representaties die je nog niet hebt genoemd een relevante
vraag Opdracht 6.3.2: Voer opdracht 6.3.1a, 6.3.1b en 6.3.1c uit (eventueel met fictieve gegevens). Maak daarbij de relevante representaties en schrijf daarbij conclusies.
Gecijferdheid 8
35
Opdracht 6.4: Een ijsjesverkoper rekent voor een hoorntje € 0,20 en voor elk bolletje € 0,50. a) Hoeveel kost een ijsje met 3 bolletjes?
b) Schets een lijngrafiek waarin je op de horizontale as het aantal bolletjes zet
en op de verticale as de prijs.
c) Een concurrent rekent voor een hoorntje € 0,40 en voor elk bolletje € 0,40.
Geef dit weer in dezelfde lijngrafiek als hierboven met een stippellijn.
d) Bij hoeveel bolletjes ben je goedkoper uit bij de concurrent? Licht toe.
e) Wat zou een reden kunnen zijn voor de concurrent om deze prijsstelling te
hanteren?
Gecijferdheid 8
36
Opdracht 6.5: (verwerking) Zoek 3 artikelen op (tijdschrift, krant, …) waarin een grafiek of diagram is afgebeeld. Beschrijf bij elk artikel het volgende: - Welke informatie uit het artikel kun je inderdaad aflezen uit de grafiek? - Welke informatie kun je nog meer uit de grafiek halen? - Vind je de representatie geschikt, of zou jij een andere hebben gekozen? - Wat moet een leerling weten en kunnen om deze grafiek te kunnen interpreteren en na te gaan of de tekst erbij klopt? Opdracht 6.6: (verwerking) Bestudeer uit Basisvaardigheden Rekenen Hoofdstuk 11, paragraaf 2, en maak de bijbehorende opgaven.
Voor de liefhebbers De NVPI, de branche vereniging de entertainmentindustrie, heeft voor haar cijfers over 2010 gepubliceerd: “Muziekalbums hebben een goed jaar achter de rug. De verkoop van albums op CD is voor het eerst sinds albums jarenmet niet26% gedaald, van digitale terwijl de verkoop steeg." Het gaat dus goed! De reguliere daling van CD’s valt weg, digitale albums met meer dan 25% gestegen! Ben jij het hiermee eens? Licht toe.
Verkopen in stuks (mln) Albums (fysiek) Singles (fysiek) Muziek-dvd Albums (digitaal)(digitaal) Singles Totaal Audio
2010
2009
7,28 0,22 0,78 0,53 2,79 11,6
7,43 0,26 0,95 0,42 2,57 11,6
% -2,0 -16,0 -17,5 26,0 8,9 -0,2
Eventueel extra oefenen: Moor, de M., & Uittenbogaard, W. (2009). Basisvaardigheden Rekenen. Groningen: Noordhoff Uitgevers. 11.1
Gecijferdheid 8
37
H7: Redeneren met grafieken en diagrammen
Opdracht 7.1: Bekijk de olieproductie van Brent veld Noordzee vanaf 1975 tot en met 2005.
a) Hoeveel vaten olie werd er maximaal per dag geproduceerd?
b) Wanneer was dat?
c) Waarom begint de grafiek bij 1975?
d) In welke jaren was er een stijging te zien in de olieproductie?
e) Hoeveel is de olieproductie gedaald tussen 1985 en 1995?
f) Gerald zegt dat de gemiddelde olieproductie tussen 1975 en 2005
ongeveer 200 vaten per dag is geweest. Klopt dat?
g) Gerald verwacht dat de olieproductie de komende jaren weer zal stijgen,
omdat hij aan de grafiek kan zien dat hij na een dal weer stijgt. Wat denk jij? Gecijferdheid 8
38
Opdracht 7.2: Bekijk het percentage immigranten dat nog in Nederland woont, naar jaar van immigratie. (Iemand die vanuit het buitenland in Nederland is komen wonen, noemen we een immigrant. Iemand die vanuit Nederland verhuist naar het buitenland, noemen we een emigrant.)
De lijn van de Antilianen loopt onderaan. De lijn van de Surinamers stopt in 1972. De lijn van de Marokkanen ligt op het einde bovenaan. De lijn van de Turken ligt aan het einde onderaan. a. Waarom beginnen alle lijnen bij 100 %?
b. Waarom lopen de jaren af in deze grafiek?
c. Welke groep emigreert het vaakst vanuit Nederland? Licht toe.
d. Waarom is deze grafiek gemaakt, wat wil de maker aantonen?
Gecijferdheid 8
39
Opdracht 7.3: Bekijk hieronder de uitslag van de Tweede Kamerverkiezingen in 2006 en 2010
a. Waarom is hier gekozen voor deze representatie? (en hoe heet deze?)
b. Welke partij is absoluut gezien het hardst gegroeid?
c. Welke partij is relatief gezien het hardst gegroeid? Opdracht 7.4: Bekijk hieronder de statenverkiezingen in Zeeland van 2007
Draai met de klok mee om de taartpunten de matchen met de politieke partij. Het CDA (de eerste) heeft de taartpunt rechtsboven. a. Waarom is hier gekozen voor deze representatie? (en hoe heet deze?)
b. Noem drie verschillende combinaties van partijen die met elkaar een meerderheid vormen, eentje zonder het CDA, eentje zonder de PVDA en eentje zonder de VVD. Gecijferdheid 8
40
Opdracht 7.5: Hieronder zie je een afbeelding van resultaten van een groep Pabo-studenten en een andere groep studenten die het onderdeel hoofdrekenen van wiscat hebben gemaakt (maximaal kon je 15 punten scoren). Jantine zegt dat Pabo-studenten meer dan 2x zo goed zijn in hoofdrekenen. Wat vind jij van deze conclusie?
Opdracht 7.6: De leerlingen in de klas doen een proefje met het vullen van verschillende voorwerpen met water, waarbij de kraan continu dezelfde hoeveelheid water per seconde geeft. De voorwerpen hebben allemaal dezelfde hoogte. Voorwerp 1 is een limonadeglas in de vorm van een cilinder. Voorwerp 2 is een vaas die hetzelfde grondvlak heeft als het limonadeglas en in de hoogte steeds breder wordt. Voorwerp 3 is een vaas die in de hoogte steeds smaller wordt en waarbij de doorsnede van de bovenkant hetzelfde is als die van het limonadeglas. Voorwerp 4 is een bolvormige vaas, waarbij de onderkant en de bovenkant dezelfde doorsnede hebben als het limonadeglas. a. Maak een tekening van de 4 voorwerpen
voorwerp 1
voorwerp 2
voorwerp 3
voorwerp 4
b. Welk voorwerp is het eerst gevuld? Welk het laatst?
Gecijferdheid 8
41
c. Schets voor elk voorwerp een lijngrafiek waarbij de horizontale as de tijd weergeeft, en de verticale as hoogte van het water.
Het vt-diagram en het st-diagram De v staat De s staat weg. De t verstreken
in de natuurkunde voor snelheid. in de natuurkunde voor afgelegde staat in de natuurkunde voor tijd.
Je kent de formule s = v · t misschien nog wel van de middelbare school: de afgelegde weg kun je berekenen door de snelheid te vermenigvuldigen met de verstreken tijd. Een vt diagram (een grafiek met snelheid en tijd) kan er op verschillende manieren uit zien. Als de snelheid constant blijft, krijg je een horizontale lijn (als je naar rechts gaat op de grafiek, ofwel: de tijd verstrijkt, dan blijft de grafiek even hoog, ofwel: dan blijft de snelheid gelijk). Als de snelheid steeds lager wordt, krijg je een dalende lijn. Als de snelheid steeds hoger wordt, krijg je een stijgende lijn. Voor een st diagram (een grafiek met afgelegde weg en tijd) geldt het volgende: Als de snelheid constant blijft, krijg je een stijgende rechte lijn (als je naar rechts gaat op de grafiek, ofwel: de tijd verstrijkt, dan gaat de grafiek steeds hoger, ofwel: dan leg je steeds meer afstand af). Als de snelheid steeds lager wordt, krijg je een stijgende lijn die steeds minder snel stijgt (een kromme lijn, een bolle vorm). Als de snelheid steeds hoger wordt, krijg je een stijgende lijn die steeds sneller stijgt (een kromme lijn, een holle vorm).
Gecijferdheid 8
42
Opdracht 7.7: Bij onderstaande figuren is er geen eenheid of grootheid bij de verticale assen geplaatst. De helft van de onderstaande figuren (figuur 1, 2 en 3) is een vt-diagram. De andere helft (figuur 4, 5 en 6) een st-diagram. Er hoort telkens een vt-diagram bij een st- diagram. Beargumenteer welke grafieken bij elkaar horen. 1 2 3
v
v
t 4 s
v
t
t
5
6
s
s
t
t
t
Voor de liefhebbers Global warming Boven het plaatje hiernaast staat dat de temperatuur al tien jaar niet meer stijgt. Als jij zou willen onderzoeken of dat waar is, welke informatie zou je dan nog meer willen hebben?
Eventueel extra oefenen: Basisvaardigheden Rekenen: 11.2
Gecijferdheid 8
43
Begrippenlijst (met verwijzing naar de bladzijde waar dit begrip (voor het eerst) aan de orde komt) A A4 probleem ............................................ 11 B Body Mass index ................................... 15 C Celsius (°C) – Fahrenheit (°F) – kelvin (K) ............................................................. 21 Congruent ................................................. 13 G gelijkvormig ............................................. 13 Geluidsnelheid........................................ 17 Giga (miljard)............................................. 21 graden en hoeken.................................. 18 I Inhoud bol................................................... 7 Inhoud cilinder.......................................... 8 Inhoud kegel .............................................. 9 L Lichtjaren .................................................. 21 lichtsnelheid ............................................ 17
Gecijferdheid 8
M Mega (miljoen) ..........................................21 micro (miljoenste) .....................................21 N Nano (miljardste) ......................................21 O Omtrek cirkel .............................................6 Oppervlakte cirkel ...................................7 P Pas-spiegel ...............................................23 Pi (π)..............................................................4 R regenval in millimeters? .....................22 Rekenen met weken, maanden, jaren ...................................................................22 S soortelijk gewicht ..................................15 T Tera (biljoen) .............................................21
44
