Gazdas´ agi matematika II. vizsgadolgozat, megold´ assal, levelez˝ o k´ epz´ es Defini´ alja az al´ abbi fogalmakat! 1. Kvadratikus m´ atrix invert´ alhat´ os´ aga ´es inverze.
(4 pont)
Egy A kvadratikus m´ atrixot invert´ alhat´ onak nevez¨ unk, ha van olyan B (kvadratikus) m´atrix melyre AB = BA = E teljes¨ ul. Ezt a B m´ atrixot A inverz´ enek nevezz¨ uk ´es A−1 -gyel jel¨olj¨ uk. 2. Norm´alis eloszl´ as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye.
Legyenek m ∈ R, σ > 0. param´ eterekkel, ha az
(4 pont)
Valamely ξ : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o norm´ alis eloszl´ as´ u (m, σ 2 ) fξ (x) = √
(x−m)2 1 e− 2σ2 , 2πσ
x∈R
f¨ uggv´eny s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ξ-nek. 3. Felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg.
(4 pont)
Az A esem´eny felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ ege a B felt´etel mellett (azaz ha tudjuk, hogy a B esem´eny bek¨ovetkezett) P(A ∩ B) P(A | B) := , P(B) hacsak P(B) > 0. Fogalmazza meg az al´ abbi t´ eteleket! 4. A sz´els˝o´ert´ek m´ asodrend˝ u elegend˝ o felt´etele k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyre.
(4 pont)
Tegy¨ uk fel, hogy f : D ⊂ R2 → R az (x0 , y0 ) ∈ D bels˝o pont egy k¨ornyezet´eben k´etszer folytonosan differenci´alhat´o, ´es hogy ∂f ∂f (x0 , y0 ) = 0, (x0 , y0 ) = 0 ∂x ∂y azaz (x0 , y0 ) stacion´ arius pontja f -nek. Legyen 2 ∂ f ∂2f (x, y) (x, y) 2 ∂x∂y ∂x ∂2f (x, y) ∈ D. ∆1 (x, y) := (x, y), ∆ (x, y) := 2 2 ∂x 2 2 ∂ f ∂ f ∂y∂x (x, y) ∂y 2 (x, y) I. Ha ∆1 (x0 , y0 ) > 0, ∆2 (x0 , y0 ) > 0 akkor f -nek szigor´ u lok´ alis minimuma van (x0 , y0 )-ban, II. ha ∆1 (x0 , y0 ) < 0, ∆2 (x0 , y0 ) > 0 akkor f -nek szigor´ u lok´ alis maximuma van (x0 , y0 )-ban. III. ha
akkor f -nek nincs sz´ els˝ o´ ert´ eke (x0 , y0 )-ban. 5. V´arhat´o ´ert´ek tulajdons´ agai.
(4 pont)
Ha ξ ´es η val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´es a, b ∈ R, akkor • • • • • • • •
E(a ξ) = a E ξ (homogenit´ as) E(ξ + η) = E ξ + E η (additivit´ as) E(a ξ + b η) = a E ξ + b E η (linearit´as) ha ξ ´es η f¨ uggetlenek, akkor E(ξη) = E ξ · E η ha ξ ≤ η, akkor E ξ ≤ E η (monotonit´as) ha ξ ≥ 0, akkor E ξ ≥ 0 (pozitivit´as) | E ξ| ≤ Ep |ξ| E |ξη| ≤ E ξ 2 E η 2 (Cauchy-Schwartz egyenl˝otlens´eg)
Feladatok x4 + xy 2 − 2xy 4 sz´els˝o´ert´ek helyeit, ´es azok t´ıpus´ at.
6. Hat´arozza meg az f (x, y) =
((x, y) ∈ R2 ) f¨ uggv´eny stacion´arius pontjait, lok´ alis (15 pont)
Megold´ as. Az els˝ o parci´ alis deriv´ altak: ∂f ∂f = x3 + y 2 − 2y, = 2xy − 2x, ∂x ∂y ´ıgy a stacion´arius pontokat az x3 + y 2 − 2y = 0, 2xy − 2x = 0 egyenletrendszer megold´ asi adj´ ak. A m´ asodik egyenletb˝ol 2x(y − 1) = 0 ez´ert x = 0 vagy y = 1. Az els˝ o esetben az els˝o egyenletb˝ ol y(y − 2) = 0, innen y = 0 vagy y = 2. Ha y = 1 akkor az els˝o egyenletb˝ol x3 = 1 azaz x = 1. ´Igy 3 stacion´ arius pontunk van: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 2, x3 = 1, y3 = 1. A m´ asodik parci´alis deriv´altak: ∂2f = 3x2 , ∂x2
∂2f ∂2f = = 2y − 2, ∂y∂x ∂x∂y
∂2f = 2x. ∂y 2
Ez´ert ∆1 (x, y) = 3x2
∆2 (x, y) = 6x3 − (2y − 2)2 ,
´es ∆1 (0, 0) = 0 ∆1 (0, 2) = 0 ∆1 (1, 1) = 3
∆2 (0, 0) = −4 ∆2 (0, 2) = −4 ∆2 (1, 1) = 6.
Az (1, 1) pontban szigor´ u lok´ alis minimum van, a m´asik k´et stacion´arius pontban nincs sz´els˝o´ert´ek. 7. Sz´am´ıtsa ki a
∂f (x, y) ∂ 2 f (x, y) , parci´ alis deriv´altakat, ha ∂y ∂x∂y f (x, y) := x2 tg (x2 + xy 2 )
((x, y) ∈ R2 ).
Megold´ as. 1 2x3 y · 2xy = , cos2 (x2 + xy 2 ) cos2 (x2 + xy 2 )
∂f (x, y) ∂y
= x2
∂ 2 f (x, y) ∂x∂y
∂ = ∂x =
2x3 y cos2 (x2 + xy 2 )
6x2 y · cos2 (x2 + xy 2 ) − 2x3 y · 2 cos(x2 + xy 2 )(− sin(x2 + xy 2 ))(2x + y 2 ) . cos4 (x2 + xy 2 )
8. Sz´am´ıtsa ki az A> B, AC, CA m´ atrixokat (ha lehets´ eges), ha 0 −1 1 2 2 1 0 3 , B = −1 4 2 , A= 1 −2 1 0 0 −2 3
2 0 C= 0 3 1 20 (8 pont)
Megold´ as.
0 1 −2 −1 8 −4 1 , A> B = −2 −4 2 , A> = −1 0 1 3 0 −1 14 7 1 17 AC = 5 60 , CA = nem defini´alt −4 3 x1 + 2x2 − 3x3 = = 9. A Cramer szab´ allyal hat´ arozza meg x3 -at, ha 4x1 − 3x2 5x1 + 11x2 − 16x3 =
0 3 1.
(10 pont)
Megold´ as. A rendszer determin´ ansa, ´es ennek utols´o oszlop´at a szabad tagok oszlop´ara cser´elve kapott determin´ans: 1 2 1 2 0 −3 0 = −1. |A| = 4 −3 |A3 | = 4 −3 3 = −14 5 11 −16 5 11 1 amib˝ol x3 = −14/(−1) = 14. 10. Egy szab´alyos dob´ okock´ aval k´etszer dobunk. eredm´enye kett˝ ovel kisebb mint a m´ asodik´e?
Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy az els˝ o dob´ as (8 pont)
Megold´ as. A lehets´eges esem´enyek: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),...(6,6), ¨ osszesen 62 = 36 esem´eny. A kedvez˝ o esetek: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), n´egy eset, ´ıgy p = 4/36 = 1/9. 11. Egy r´eszv´eny kiindul´ o ´ ara 100 Ft. Egy ´ev m´ ulva vagy k´etszeres´ere n¨ovekszik az ´ara, vagy pedig egyharmad´ara cs¨ okken. Mindk´et lehet˝ os´eg ugyanolyan val´osz´ın˝ us´eg˝ u. A k¨ovetkez˝o k´et ´evben ugyanez t¨ort´enik, ´es a v´ altoz´ asok f¨ uggetlenek. Mi lesz h´arom ´ev m´ ulva a r´eszv´eny´ar eloszl´asa (azaz milyen ´ert´ekeket vesz fel ´es milyen val´ osz´ın˝ us´eggel), ´es mi lesz a r´eszv´eny´ar v´arhat´o ´ert´eke? (10 pont) Megold´ as. Jel¨olje ξ a r´eszv´eny ´ ar´ at 3 ´ev m´ ulva, akkor ξ egy diszkr´et val´oszin˝ us´egi v´altoz´o, melynek 200 100 1 3 3 1 , , , a megfelel˝ o val´ o szin˝ u s´ e gek , , , , ert a v´arhat´ o ´ert´ek ´ert´ekei (ld. az al´ abbi ´ abr´ at) 800, 400 3 9 27 8 8 8 8 ez´ 1 400 3 200 3 100 1 35300 E(ξ) = 800 · + · + · + · = . 8 3 8 9 8 27 8 216
12. Legyen ξ egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o a [−1, 6] intervallumon. Hat´arozza meg a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´et, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et, tov´abb´a a ξ ´es η := 2ξ − 5 v´ arhat´ o ´ert´ek´et! (8 pont) Megold´ as. A ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o 0 ha x+1 Fξ (x) = ha 7 1 ha
eloszl´asf¨ uggv´enye ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye x ≤ −1 −1<x≤6
( fξ (x) =
6<x
1 7 0
ha − 1 < x ≤ 6 egy´ebk´ent
Ez´ert a v´arhat´o ´ert´ekek 2 6 1 x 36 − 1 35 E(ξ) = x · dx = = = 7 14 −1 14 14 −1 Z
6
2 6 1 x − 5x 36 − 30 − (1 + 5) E(η) = (2x − 5) · dx = = = 0. 7 7 7 −1 −1 Z
6
.
13. A (ξ, η) val´osz´ın˝ us´egi vektorv´ altoz´ o lehets´eges ´ert´ekeit ´es a megfelel˝o val´osz´ın˝ us´egeket az al´abbi t´ abl´ azatban adjuk meg: HH
ξ
η
HH 0 H H
0 1 2
1
2p p p 2p p 3p
Hat´arozza meg p ´ert´ek´et! Sz´ am´ıtsa ki a ξ, η ´es ζ = ξ · η eloszl´as´at, v´arhat´o ´ert´ek¨ uket ´es varianci´ ajukat, tov´abb´a cov(ξ, η), corr(ξ, η) ´ert´ekeit. (13 pont) Megold´ as. 10p = 1, p = 1/10. ξ, η eloszl´asa P(ξ = 0) = 3p = 0, 3, P(ξ = 1) = 3p = 0, 3, P(ξ = 2) = 4p = 0, 4, P(η = 0) = 4p = 0, 4, P(η = 1) = 6p = 0, 6. A v´arhat´o ´ert´ekek ´es varianci´ ak: E ξ = 1 · 0, 3 + 2 · 0, 4 = 1, 1 E ξ 2 = 12 · 0, 3 + 22 · 0, 4 = 1, 9 var ξ = E ξ 2 − (E ξ)2 = 1, 9 − 1, 12 = 0, 69, E η = 1 · 0, 6 = 0, 6 E η 2 = 12 · 0, 6 = 0, 6 var η = E η 2 − (E η)2 = 0, 6 − 0, 62 = 0, 24. ζ = ξ · η lehets´eges ´ert´ekei: 0, 1, 2 ´es P(ζ = 0) = P(ξ = 0, η = 0) + P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) + P(ξ = 2, η = 0) = 0, 5, P(ζ = 1) = P(ξ = 1, η = 1) = 0, 2, P(ζ = 2) = P(ξ = 2, η = 1) = 0, 3, ez´ert
E ζ = E(ξ · η) = 1 · 0, 2 + 2 · 0, 3 = 0, 8 E ζ 2 = 12 · 0, 2 + 22 · 0, 3 = 1, 4 var ζ = E ζ 2 − (E ζ)2 = 1, 4 − 0, 82 = 0, 76 cov(ξ, η) = E(ξ · η) − E ξ · E η = 0, 8 − 1, 1 · 0, 6 = 0, 14, corr(ξ, η) = √
0, 14 cov(ξ, η) =√ ≈ 0, 34. 0, 69 · 0, 25 var ξ · var η
