Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

INTEGRAL LIPAT

1. Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kartesius Pada bagian ini, dipelajari integral lipat dua dalam ℝ2. Misalkan diketahui dua interval tertutup [a, b] dan [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua interval tersebut adalah himpunan: R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} yang merupakan suatu empat persegi panjang dengan titik sudutnya (a, c), (a, d), (b, c), dan (b, d). Selengkapnya perhatikan Gambar 1.(a), berikut:

(a)

(b) Gambar 1.

Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan xi i 0 dan n

 yi i0 yang sama banyaknya sehingga: n

a = x0 < x1 < ... < xn – 1 < xn = b dan c = y0 < y1 < ... < yn – 1 < y = d masing-masing membagi sama panjang interval [a, b] x [c, d]. Perhatikan bahwa, x 

ba d c dan y  dan pada setiap subinterval [xi, xi+1] dan n n

[yi, yi+1] dipilih masing-masing bilangan xi dan yi . Perhatikan Gambar 1.(b). Misalkan diketahui suatu fungsi dua variabel f(x, y). Bilangan yang menyatakan nilai integral lipat dua

 f ( x , y )dA R

1 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected] Blog: aswhat.wordpress.com

Menyatakan volume kotak dengan alas segi empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] dan tutup permukaannya z = f(x, y) dengan f(x, y) ≥ 0. Teorema 1. Misalkan f fungsi kontinu pada empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] , maka d b d    f ( x , y ) dxdy  f ( x , y ) dy dx  f ( x , y ) dx     dy R a c c a   b

E.O.T d b d    Perhatikan bahwa    f ( x , y )dy  dx    f ( x , y )dx  dy a c c a   b

kemudian disebut integral

berulang karena pada dasarnya integral tersebut merupakan bentuk pengulangan dari integral fungsi satu variabel. Contoh 1. Hitunglah integral

  x

2

 y 2 dxdy dengan R = [0, 1] x [0, 1].

R

Penyelesaian:

1 2  2 x  y dxdy  x  y dy       dx R 0 0  1

2

2

 Pertama akan diselesaikan terlebih dahulu integral yang berada di dalam tanda kurung. Karena diintegralkan terhadap y maka x adalah suatu konstanta. 1

1

1 3 1  2 2 0  x  y  dy   x y  3 y 0  x  3 2

2

 Hasil dari integral oertama kemudian diintegralkan lagi terhadap x dengan y suatu konstanta. 1

1

 2 1 1 3 1  2 0  x  3  dx   3 x  3 x 0  3 

1 1   2 2 2 2 x  y dxdy dapat pula diselesaikan berdasarkan bentuk  R  0  0  x  y  dx  dy

E.O.Q


Contoh 2. Suatu benda padat di bawah bidang z = x + y + 1 dibatasi oleh bidang x = 0, x = 1, y = 1, dan y = 3. Tentukan volume benda tersebut. Penyelesaian: Bentuk integral dari permasalahan tersebut adalah:

3  x  y  1 dxdy  x  y  1 dy       dx  0 1 [ o ,1]x[1,3]  1

Dengan menyelesaikan seperti Contoh 1, diperoleh volume benda padat tersebut = 7 satuan. E.O.Q. Contoh 3. Suatu lempengan tipis berbentuk segitiga yang dibatasi oleh garis x = 1, y = 2x dan sumbu-X mempunyai rapat massa ρ(x, y) = 6x + 6y + 6. Tentukan massa lempengan tersebut. Penyelesaian: 1 2x

1 2x

0 0

0 0

    x , y  dydx    6x  6 y  6 dydx 1

2x

  6xy  3 y 2  6 y  dx 0

0

1

  24 x 2  12x  dx 0

1

 8 x 3  6 x 2 

0

 14

E.O.Q.


Latihan 1. 1. Hitunglah integral lipat dua yang ditunjukkan pada R berikut: a.

 xy dA , dengan R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1} 3

R

b.

 2x

2

 3 y dA , dengan R = {(x, y)| -1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3}

R

2.

Hitung masing-masing integral berulang berikut: 2 3

a.

 9  x  dydx 0 0

 1

b.

  x sin y  dxdy 00


2. Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub Perhatikan Gambar 2 berikut:

(i)

(ii) Gambar 2.

(iii)

Misalkan R adalah suatu persegi panjang dengan koordinat polar. Misalkan z = f(x, y) adalah suatu permukaan pada R dengan f kontinu dan tak-negatif. Volume V dari benda di bawah permukaan f dan dia atas R seperti yang terlihat pada Gambar 2.(ii),, ditentukan oleh: V   f ( x , y )dA R

Dalam koordinat polar, suatu persegi panjang polar R berbentuk: R = {(r, θ): a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} Dengan a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π. Selanjutnya, perhatikan Gambar 3 berikut:

Gambar 3

Koordinat polar (r, θ) dari suatu koordinat (x, y) adalah x = r cos θ dan y = r sin θ, dengan r2= x2 + y2 Sehingga bentuk polar dari z = f(x, y) adalah z = f(r cos θ, r sin θ) dengan demikian, V   f ( x , y )dA   f (r cos , r sin )r drd R


R

Contoh 4.  /2

Hitunglah

 0

21cos 

2

y r dr d , dengan y = r sin θ.

Penyelesaian:  /2

 0

21cos 

2

y r dr d 

 /2

21cos 



2

0  /2





21cos 

2

0  /2

 



0  /2

r sin  r dr d

21cos 

2

  sin  





 r dr  d 

r 2 sin dr d

21cos 

2

0

Sinθ adalah parameter, sehingga dapat dikeluarkan

r sin  r dr d

2

  1 3 21cos       sin  r  d 3 2   0     /2  3 1     sin  2  2cos   8  d 3  0   /2



 /2



 0



1 3





3  sin  3 2  2cos  d   

 /2



sin 2  2cos  d  3

0

1 3



 /2

 /2

 sin  d 3 

  8 0

8 3

 /2

 sin d 0

8

 /2

d cos    sin d

 2  2cos  d cos   3  sin d 3

0

0

 /2

 /2

1 1 1 8 4   2  2cos      cos  3 2 4 3 0 0  /2

 /2

1 8 4 2  2cos   cos 24 3 0 0 1 4 4   8    2  2cos 2   2  2cos0      cos 2  cos0   24 3     4 4   1 8    2  2.0  2  2.1     0  1    24  3   1  8   24  44     24  3  1  8   16  256   24  3 8 22  10   3 3 

E.O.S.


Contoh 5.  /2

Hitunglah

 0

3

0

r 3 dr d

Penyelesaian:  /2

 0

1 4 3 0 r dr d  0  4 r 0 d    /2 81   d 4 0 81  /2   4 0 81  81   4 2 8 3

 /2

3

 

E.O.S.


Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Recommend Documents