SKL Nomor 3 : Memahami bangun datar, bangun ruang, garis sejajar, dan sudut, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah. 1. Menyelesaikan soal dengan menggunakan teorema Pythagoras Teorema Pythagoras : “kuadrat hipotenusa (sisi terpanjang) suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah dari kuadrat sisi-sisi yang lain” Perhatikan gambar disamping, rumus Pythagoras yang A berlaku berdasarkan gambar disamping adalah : a. sudut B → sudut siku-siku b. sisi AC → sisi di depan sudut siku-siku merupakan sisi c cm b cm terpanjang (hipotenusa) c. Rumus Pythagoras : AC 2 = AB 2 + BC 2 atau b 2 = c 2 + a 2 Dari rumus tersebut dapat diperoleh rumus lain : B a cm C AB 2 = AC 2 − BC 2 atau c = b 2 − a 2 BC 2 = AC 2 − AB 2 atau a 2 = b 2 − c 2 Tripel Pythagoras : “pasangan tiga buah bilangan dimana kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain”, jadi misannya p,q, r merupakan tripel Pythagoras dan p merupakan bilangan terbesar maka berlaku : p2 = q2 + r 2 → p = q2 − r2 2. Menghitung luas bangun datar Nama Bangun A B
Rumus Luas dan Keliling Persegi Panjang : L = AB x BC K = 2( p + l) = p x l p = panjang l = lebar
D
C A
s
B
s D A
C
s = panjang sisi Segitiga L = ½ x Alas x Tinggi = ½xaxt
C
A
tinggi Tinggi B
C Alas
Bujursangkar / Persegi L = AB x BC K=4xs = s x s = s2
K = AB + BC + AC
B
C alas
1
A
Jajar genjang L = alas x tinggi
B tinggi
K = 2( AB + BC)
D
C alas p
A
B
Trapesium L = ½ x t x jumlah sisi yang sejajar L = ½ x t x ( p + q)
tinggi
K = AB + BC + CD + AD D
q
C
A D
Belah ketupat L = ½ x BD x AC L = ½ x d1 x d2
B C A D
B
K = 2 (AB + BC) d1 = diagonal pertama d2 = diagonal kedua Layang-layang L = ½ x DB x AC L = ½ x d1 x d2 K = 2(AB + CD) d1 = diagonal pertama (DB) d2 = diagonal kedua (AC) Lingkaran L = πr2 K = 2πr
C
r
π = 22/7 atau 3,14 r = jari-jari lingkaran
3. Menghitung keliling bangun datar dan penggunaan konsep keliling dalam kehidupan seharihari Satu kali putaran roda = keliling roda 4. Menghitung besar sudut pada bidang datar Persegipanjang dan persegi • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua sudut yang berhadapan sama besar = 90° Segitiga • Jumlah besar ketiga sudutnya = 180° Jajargenjang 2
• Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar • Dua pasang sisi yang berdekatan jumlahnya = 180° Trapesium • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • ∠ ADC+ ∠ DAB = 180° dan ∠ ABC + ∠BCD = 180° Belah ketupat • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar Layang-layang • Jumlah besar keempat sudutnya = 360° • Sepasang sudutnya sama besar → ∠DAB = ∠DCB 5. Menghitung besar sudut yang terbentuk jika dua garis berpotongan atau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain.
1 4
5 8
2 3
9 12
Hubungan antara dua sudut : bertolak belakang : ∠ 1 = ∠ 3; ∠ 2 = ∠ 4 berpelurus : ∠ 1 + ∠ 2 = 180°; ∠ 2 + ∠ 3 = 180°; ∠ 3 + ∠ 4 = 180° ∠ 4 + ∠ 1 = 180° berpenyiku : ∠ a + ∠ b = 90°
6 7 10
11
∠ 5 = ∠ 9, ∠ 6 = ∠ 10, ∠ 8 = ∠ 12 ∠ 7 = ∠ 11 Dalam sepihak : ∠ 7 + ∠ 10 = 180° ∠ 8 + ∠ 9 = 180° Luar sepihak : ∠6 + ∠ 11 = 180° ∠ 5 + ∠ 12 = 180° Dalam berseberangan : ∠ 7 = ∠ 9; ∠ 8 = ∠ 10 Luar berseberangan : ∠ 6 = ∠12; ∠5 = ∠11 Sehadap :
6. Menghitung besar sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran ⇒ Sudut pusat pada sebuah lingkaran adalah sudut yang terbentuk dari dua buah jari-jari lingkaran dengan titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran. ⇒ Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang terbentuk dari A dua buah tali busur yang berpotongan tepat pada keliling B Sudut AOB (∠AOB) adalah sudut pusat dengan titik sudut O (O D juga sebagai titik pusat lingkaran) O keliling Sudut DCE (∠ DCE) adalah sudut keliling dengan titik sudut C yang berada pada C lingkaran E ⇒ Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling : “Besarnya sudut pusat sama dengan dua kali besarnya sudut keliling yang menghadapi busur yang sama” atau “ Besarnya sudut keliling sama dengan setengah kali besar sudut pusat yang 3
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
menghadapi busur yang sama” Contoh : Perhatikan gambar disamping : A B ∠ ΑΟΒ → sudut pusat menghadapi busur AB ∠ ACB → sudut keliling menghadapi busur AB, karena kedua sudut menghadapi busur yang sama yaitu busur AB maka berlaku : O ◊ ∠ ΑΟΒ = 2 x ∠ ACB; atau ◊ ∠ ACB = ½ x ∠ ΑΟΒ C Sifat sudut keliling : ◊ Sebuah sudut keliling yang menghadapi diameter lingkaran merupakan sudut siku-siku (90°) ◊ Dua sudut keliling yang menghadapi busur yang sama adalah sama besar. Segiempat talibusur adalah segiempat yang terbentuk dari empat buah tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran. A B Sifat-sifat segiempat talibusur : ◊ Jumlah besar dua sudut yang berhadapan pada segiempat talibusur E O sama dengan 180° ==> ∠ABC + ∠ ADC = 180°; ∠ DAB + ∠ BCD = 180° ◊ Hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah perkalian sisi- D sisi yang berhadapan (sifat Ptolomeus) ==> AC x BD = (AB x CD) + C (AD x BC) ◊ Hasil kali bagian-bagian diagonalnya sama ==> AE x EC = DE x EB Sudut antara dua tali busur : Sudut dalam adalah sudut yang terbentuk karena dua tali busur A berpotongan di dalam daerah lingkaran. Besarnya sudut dalam sama dengan jumlah dua sudut keliling yang menghadapi busur yang terletak C D E diantara kaki-kaki sudutnya. ◊ Talibusur AB berpotongan dengan talibusur CD di titik E yang terletak di dalam daerah lingkaran, maka sudut CEB dan sudut AED disebut sudut dalam. Karena kedua sudut saling bertolak belakang maka besar kedua sudut sama. B ◊ ∠ CEB ==> sudut dalam menghadapi busur CB ∠ AED ==> sudut dalam menghadapi busur AD ∠ CDB ==> sudut keliling menghadapi busur CB ∠ ABD ==> sudut keliling menghadapi busur AD, maka berlaku : ∠ CEB = ∠ AED = ∠ CDB + ∠ ABD Sudut luar adalah sudut yang terbentuk karena dua tali busur A berpotongan di luar daerah lingkaran. Besarnya sudut luar sama dengan selisih dua sudut keliling yang menghadapi D busur yang terletak diantara kaki-kaki sudutnya. ◊ Talibusur AB berpotongan dengan talibusur CD di titik E B yang terletak di luar daerah lingkaran, maka sudut AED dan sudut BEC disebut sudut luar. Karena kedua sudut C berimpit maka besar kedua sudut sama. E ◊ ∠ ΒEC ==> sudut luar menghadapi busur BC ∠ AED ==> sudut luar menghadapi busur AD 4
∠ CDB ==> sudut keliling menghadapi busur BC ∠ ABD ==> sudut keliling menghadapi busur AD, maka berlaku : ∠ ΒEC = ∠ AED = ∠ ΑBD - ∠ ΒDC 7. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kesebangunan Gambar dan model berskala, foto dan peta jarak pada peta skala = jarak sebenarnya panjang pada model / gbr / foto lebar pada model / gbr / foto tinggi pada model / gbr / foto = = panjang sebenarnya lebar sebenarnya tinggi sebenarnya Bangun-bangun yang sebangun Syarat dua bangun yang sebangun : ■ Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ■ Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Syarat dua segitiga yang sebangun : A ■ Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sebanding (S, S, S) P ■ Dua sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga B sama besar (Sd, Sd) C ■ Satu sudut sama besar dan dua sisi yang mengapit sudut itu sebanding (S, Sd, S) Jika terdapat dua segitiga sebangun maka perbandingan ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. Contoh ==> jika Q R segitiga ABC dan segitiga PQR sebangun maka berlaku : AB BC AC = = K PQ QR PR N Rumus-rumus dalam segitiga siku-siku 2 2 2 ■ KM = KL + LM (teorema pythagoras) 2 ■ LN = KN x NM 2 ■ LM = MN x MK L M 2 ■ KL = KN x KM 8. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kongruensi Sifat kongruensi : Jika dua bangun datar sisi lurus kongruen maka : Sisi-sisi yang bersesusian pada kedua bangun datar sama panjang. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun datar sama besar. Syarat dua segitiga kongruen : Ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sama panjang (S, S, S) Terdapat satu sudut pada kedua segitiga sama besar dan dan dua sisi yang mengapit sudut itu pada kedua segitiga sama panjang. (S, Sd, S) Terdapat dua sudut pada kedua segitiga sama besar dan satu sisi pada kedua segitiga sama panjang. (Sd, S, Sd)
5
9. Menentukan unsur-unsur bangun ruang sisi datar H Kubus Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang yaitu AB=BC=CD= E F AD=AE=EF=BF=CG=GH=DH=EH=AD Mempunyai 12 diagonal sisi yang sama panjang yaitu : AC=BD= D AF=BE=AH=DE=DG=CH=BG=CF=EG=FH Mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang yaitu : A B AG=HB=CE=DF Mempunyai 8 titik sudut. Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegi yaitu : ABCD, ABFE, ADHE, DCGH, BCFG, dan EFGH. Balok. H Mempunyai 12 rusuk yaitu AB=CD=EF=GH; AD=BC=FG=EH; AE=BF=CG=DH E F Mempunyai 12 diagonal sisi yaitu : AC=BD=EG=HF; AF=BE=CH=DG; BG=CF=AH=DE D Mempunyai 4 diagonal ruang yang sama panjang yaitu : AG=HB=CE=DF A B Mempunyai 8 titik sudut. Mempunyai 6 buah sisi yaitu : ABCD ≅ EFGH, ABFE ≅ DCGH, BCGF ≅ ADHE. Prisma Nama dari prisma tergantung pada bentuk alasnya. Prisma dengan alas F segi-n maka : D banyaknya rusuk = 3 x n banyaknya sisi = n + 2 Contoh prisma segitiga. Banyaknya rusuk = 3 x 3 = 9, yaitu AB, BC, AC, AD, BE, CF, DE, C EF, DF. Banyaknya sisi = 3 + 2 = 5, yaitu ABC (alas), ABDE, BCEF, A ACFD, DEF (tutup) Banyaknya diagonal sisi = 6 yaitu AE = BD; AF = CD; BF = AE T Limas Nama limas tergantung pada bentuk alasnya. Jika limas mempunyai alas segi-n maka namanya adalah limas segi-n dan mempunyai rusuk sebanyak 2 x n, mempunyai sisi sebanyak n + 1. Contoh limas segi-4 : Banyaknya rusuk = 2 x 4 = 8, yaitu : AB, BC, CD, AD, AT, BT, D CT, DT E Banyaknya sisi = 4 + 1 = 5, yaitu : ABCD (alas), ABT, BCT, CDT, ADT A T B TE disebut tinggi limas Kerucut Kerucut adalah limas dengan alas berupa lingkaran. T disebut titik puncak kerucut. AB disebut diameter alas kerucut (d) A AC = CB disebut jari-jari alas kerucut (r) C TC disebut tinggi kerucut 6
G
C
G
C
E
B
C
B
TA = TB disebut garis pelukis (s) 10. Menentukan jaring-jaring bangun ruang Jaring-jaring adalah rangkaian sisi-sisi dari sebuah bangun ruang yang dapat disusun kembali menjadi bentuk bangun ruang tersebut secara berurutan. Bentuk bangun ruang Contoh salah satu jaring-jaring bangun ruang
Kubus :
H E
F
D
C G
H
E A E H
B F F
E
C
A
B
H
G
E
G
H
D Balok :
H
G
F D
G
H
D
C
G
H
E
A
B
F
E
C
Prisma segitiga :
F D
E C
D
F
A
C
F
B
E
D
A
B
E
T
Limas segi-4 :
D
T D
C
T D
E
C
T
A
E
B
T
Kerucut :
A
T
r
s
s
r
• B
A
B r
r
A
A s
s T
7
11. Menghitung volume bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung 12. Menghitung luas permukaan bangun ruang sisi datar dan sisi lengkung Bentuk bangun ruang Rumus Volume dan Luas Permukaan Kubus :
H E D A
Balok :
Volume = s x s x s = s3 Luas permukaan = 6 x s2 s ==> panjang rusuk
G F s C s B
s
H
Volume = p x l x t Luas permukaan = (2xpxl) + (2xpxt)+(2xlxt) = 2(pl + lt + pt)
G
E
F t C l B
D A
p
Prisma segitiga :
p ==> panjang; l ==> lebar; t ==> tinggi Volume = Luas alas x tinggi Luas permukaan = (2 x L alas)+(K alas x t)
F D
E
L alas ==> Luas alas (tergantung bentuk alas) K alas ==> Keliling alas (tergantung bentuk alas) t ==> tinggi Prisma
t C A
B
Limas segi-4 :
T
Volume = 1/3 x L alas x t Luas Permukaan = L alas+LTBC+LTCD+LTAD+LTAB
E
L alas ==> luas alas tergantung bentuk alas L TBC ==> luas segitiga TBC L TCD ==> luas segitiga TCD L TAD ==> luas segitiga TAD L TaB ==> luas segitiga TAB L segitiga = ½ x alas segitga x tinggi segitiga
D A
C F B
Kerucut :
T s
s t
r
A
r
B
Volume = 1/3 x πr2 x t Luas permukaan = L alas + L Selimut = πr2 + πrs = πr(r + s) Luas selimut = πrs π ==> 22/7 atau 3,14 r ==>jari-jari alas kerucut s ==> garis pelukis t ==> tinggi kerucut
8
SKL Nomor 4 : Memahami konsep dalam statistika, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. 1. Menentukan ukuran pemusatan dan menggunakan dalam menyelesaikan masalah seharihari ➢ Ukuran pemusatan jumlah data Rerata rata−rata atau mean = banyaknya data Modus adalah data yang paling sering muncul, sekelompok data, terdapat kemungkinan lebih dari satu modus dalam sekelompok data. Median adalah data yang terletak ditengah-tengah dari sekelompok data yang telah diurutkan. 2. Menyajikan dan menafsirkan data Pengertian Populasi : seluruh obyek yang ingin diteliti Sampel : bagian dari populasi yang dipilih secara acak sebagai obyek yang diambil data penelitiannya. Biasanya penggunaan sampel dengan pertimbangan populasi terlalu besar jika diteliti secara menyeluruh. Pengambilan sampel harus dilakukan secara acak agar sampel dapat benar-benar mewakili populasi penetilian. Penyajian data hasil penelitian Tabel frekuensi adalah tabel yang menyajikan banyaknya data (frekuensi) setiap data hasil penelitian. Diagram batang adalah sebuah diagram yang menggambarkan data hasil penelitian dengan menggunakan persegipanjang. Banyaknya data digambarkan dengan panjangnya persegipanjang yang disajikan. Diagram garis adalah diagram yang berupa garis yang menghubungkan titik-titik koordinat data hasil penelitian dengan banyaknya data tersebut. Diagram lingkaran adalah diagram berupa lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring lingkaran. Luas setiap juring menggambarkan banyaknya data hasil penelitian atau persentasenya. Contoh : Data pekerjaan orang tua siswa SDN 08 Jatiasih adalah PNS 25 orang, TNI/POLRI = 20 orang; Wiraswasta = 15 orang; Pedagang = 30 orang; Petani = 10 orang. Tabel Frekuensi : Diagram Batang Data Pekerjaan Orangtua Siswa SDN 08 Jatiasih Pekerjaan orang tua
Frekuensi
35
PNS
25
25
TNI/POLRI
20
Wiraswasta
15
Pedangang
30
Petani
10
Jumlah
100
30 20 15 10 5 0
PNS
TNI/ Wira POLRI swasta
9
Peda gang
Petani
10 Diagram garis :
Diagram Lingkaran PNS 25% 900
35 30
TNI/ POLRI 20% 720
540 Wiraswasta 10% 360 1080 15% Petani Pedagang
25 20 15
30%
10 5 0 PNS
TNI/ Wira Peda Petani POLRI swasta gang
Perhitungan sudut pusat setiap juring PNS ==> 25/100 x 3600 = 900 20 0 0 TNI / POLRI ==> /100 x 360 = 72 15 0 Wiraswasta ==> /100 x 360 = 540 Pedagang ==> 30/100 x 3600 = 1080 Petani ==> 10/100 x 3600 = 360
Perhitungan Persentase : 25 /100 x 100% = 25% 20 /100 x 100% = 20% 15 /100 x 100% = 15% 30 /100 x 100% = 30% 10 /100 x 100% = 10%
Selamat belajar untuk masa depan yang cemerlang, Tak ada cara belajar yang lebih baik selain mencoba dan terus mencoba
10
