Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha:
#2 – Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku
Jméno:
Ondřej Finke
Kruh:
FE
Datum měření:
15.12.2014
Klasifikace: Skupina:
4
1. Pracovní úkoly (a) DÚ: V domácí přípravě odvoďte vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b. (b) DÚ: V domácí přípravě odvoďte vzorec pro výpočet modulu pružnosti ve smyku G a moment setrvačnosti základního systému torzního kyvadla Io. (c) Změřte závislost relativního délkového prodloužení ΔL/L ocelového drátu na napětí při zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu. (d) Změřte závislost průhybu z na velikosti síly F při zatěžování i odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu. (e) Změřte závislost úhlu zkroucení φ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku drátu G. (f) Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému Io a modul pružnosti ve smyku G ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou. 2. Použité přístroje a pomůcky Stojan s indikátorovými hodinkami a ocelovým drátem, zařízení na měření modulu pružnosti v tahu z průhybu nosníku, zařízení na měření modulu pružnosti ve smyku z torze drátu statickou a dynamickou metodou, mikrometr, kontaktní měřítko, stopky, závaží. 3. Teoretický úvod F Δl =E S l
(1)
Vztah (1) představuje Hookův zákon, kde iF je podélná síla působící na tělese o průřezu S, Δl/l je relativní prodloužení a E je Youngův modul pružnosti v tahu. Ten je určen vlastnostmi materiálu. Při deformaci tělesa smykem působí síla F tečně k horní podstavě. Modul pružnosti pak přejde to tvaru (2), F δl =G S l
(2)
kde δl/l je posunutí horní podstavy ve směru působící síly. Při deformaci tělesa smykem se změní -1-
tvar tělesa ale jeho objem zůstane stejný. Pomocí modulů pružnosti G a E můžeme získat vzorce i pro některé speciální případy. Uvažujeme-li čistý ohyb nosníku (nosník se nestlačuje a nenatahuje). Máme-li ohyb s poloměrem křivosti R tak se vnitřní část nosníku stlačuje a vnější natahuje. Díky tomu dostaneme moment silové dvojice. Uvedeme-li vztah pro průhyb nosníku položeného na dvou břitech (4), kde L je vzdálenost mezi břity a F působící síla. −Fl 3 Δ z= 48 EI
(4)
Tento vzorec předpokládá pouze malé průhyby 1/R<<1. Válec, který je zkroucený podél své osy se snaží narovnat do původní polohy. Každý elementární váleček, ze kterých je měřený válec složen je deformován ve smyku. Z toho získáme pro válec délky L a poloměru R, s modulem pružnosti ve smyku G závislost momentu sil působící na podstavu a úhlu zkrutu φ (5). M =G
π R4 ϕ 2L
(5) Obr 1 - Torze válce kruhového průřezu převzatá z [2]
4. Postup měření 4.1 Měření Youngova modelu pružnosti pomocí prodloužení drátu Na začátek měření zatížíme měřený drát závažím o váze 500g. Budeme měřit Δl v závislosti na napětí. Pásovým měřítkem změříme délku drátu l a a mikrometrickým šroubem průměr drátu 2r. Poté budeme postupně přidávat závaží a měřit Δl na indikátorových hodinkách. Stejně tak budeme zapisovat Δl i při postupném sundavání jednotlivých závaží. 4.2 Měření Youngova modelu pružnosti pomocí průhybu nosníku Nosník leží na dvou břitech ve vzdálenosti L od sebe. Tuto vzdálenost změříme a pomocí mikrometrického šroubu také zjistíme šířku a výšku měření tyče. Zatížíme-li střed tyče silou F, pak pro její průhyb bude odpovídat vzorci (4), kde plošný moment setrvačnosti vypočítáme jako (6). Okulárním mikrometrem měříme průhyb nosníku, kde jeden dílek představuje průhyb o 0.0253mm. I=
ab3 12
(6)
Samostatné měření pak provedeme stejně jako u první úlohy postupným přidáváním a ubíráním závaží. 4.3 Měření modulu pružnosti ve smyku G statickou metodou Pro toto měření platí vztah (5). Na spodním konci drátu je upevněna kruhová deska opatřená stupnicí. Na tuto desku jsou navinuta dvě vlákna, která zatížíme stejnými závažími a o hmotnosti Z, poloměr desky je a a moment síly obou závaží je 2Zga. Úhel stočení φ změříme pomocí stupnice na desce. Měření opět provedeme pro pro postupné přidávání a ubírání závaží. 4.4 Měření modulu pružnosti ve smyku G dynamickou metodou Na drát o délce L a poloměru R je upevněna tyč, na niž lze přidat do různých vzdáleností závaží ve tvaru válce. Tato sestava se chová jako torzní oscilátor. Během měření jsme umístili válce nejdříve -2-
do vzdálenosti a1 a poté do vzdálenosti a2. Poté jsme měřili jednotlivé periody kmitů, ze kterých poté získáme vztah pro K (7) a moment setrvačnosti Io (8), kde pro jednotlivá I platí (9). K=4 π 2
I 1−I 2
2
I0 =
(7)
T 21 −T 22 2
I 2 T 1−I 1 T 2 2
(8)
2
T 2−T 1 2
m h I i = (r 21 +r 22 + )+ Ma 2 4 3
(9)
Modul pružnosti ve smyku G poté vyjádříme jako (10). G=
2 LK π R4
(10)
5. Vypracování 5.1 Měření Youngova modelu pružnosti pomocí prodloužení drátu m
[g] 500
600
700
800
830
800
700
600
500
0
Δl [mm] 0.66
0.80
0.93
1.06
1.09
1.09
0.97
0.84
0.71
0.01
Tab. 1 – Naměřené hodnoty, kde m je váha působící na drát a Δl je prodloužení drátu. Délku drátu jsme určili jako L = (100.5 ± 0.1) cm a jeho šířku 2R = (0.21 ± 0.01) mm.
Obr. 2 – graf závislosti prodloužení Δl na hmotnosti m. Pro parametr funkce f(x) A získáme hodnotu A = (0.00134 ± 0.00002). Dosazením do (1) pak získáme E = (200 ± 7) Gpa. -3-
5.2 Měření Youngova modelu pružnosti pomocí průhybu nosníku m
[g] 100
Δz [mm] 0.0253
200
300
330
300
200
100
0
0
0.0253
0.1265
0.1265
0.0253
0.0506
0.0253
Tab. 2 – Naměřené hodnoty, kde m je váha působící na drát a Δz je prohyb tyče. Rozměry nosníku máme a = (9.94 ± 0.02) mm, b = (3.94 ± 0.02) mm a L = (49.80 ± 0.05) cm.
Obr. 3 – graf závislosti prodloužení Δz na hmotnosti m. Pro parametr funkce f(x) A získáme hodnotu A = (0.00026 ± 0.00006). Dosazením do (4) a (6) pak získáme E = (510 ± 117) Gpa. 5.3 Měření modulu pružnosti ve smyku G statickou metodou m
[g] 100
Δφ
[rad] 0.209
200
300
200
100
0
0.367
0.559
0.471
0.262
0
Tab. 3 – Naměřené hodnoty, kde m jsou váhy závaží působící na drát a Δφ je úhel kroucení drátu. Parametry pro statickou metodu jsou L = (66.5 ± 0.5) cm, 2a = (9.9 ± 0.1) cm a 2R = (3.0 ± 0.1) mm. Na grafu (Obr. 4) je k nalezení závislost stočení drátu na hmotnosti závaží. Tu nafitujeme funkcí F(x) = Ax, kde pro parametr A platí A = (0.0020 ± 0.0001). Podle vzorce (5) pak dostaneme G = (141 ± 8) Gpa.
-4-
Obr. 4 - závislost stočení drátu Δφ na hmotnosti závaží m. 5.4 Měření modulu pružnosti ve smyku G dynamickou metodou Náš experiment měl tyto parametry m = (111 ± 1) g, M = (128 ± 1) g, h = (8.01 ± 0.01) mm, r1 = (4.00 ± 0.01) mm, r2 = (24.75 ± 0.01) mm, L = (55.0 ± 0.1) cm, R = (0.25 ± 0.05) mm, a1 = (11.4 ± 0.1) cm, a2 = (8.3 ± 0.1) cm, T1 = (13.1 ± 0.1) s a T2 = (10.2 ± 0.1) s. Dosazením do vzorců (7), (8), (9) a (10) získám setrvačnost základního systému I0 = (0.0014 ± 0.0003) Kgm2 a modul pružnosti ve smyku G = (32 ± 5) Gpa. 6. Diskuze 6.1 Měření Youngova modelu pružnosti pomocí prodloužení drátu Při měření se mi špatně odečítalo z indikátorových hodinek a proto jsme mohli špatně zaznamenat skutečnou změnu prodloužení. V Místnosti také docházelo k otřesům, které měli patrně vliv na celé měření. Tabulková hodnota pro ocel je 220 Gpa. Je vidět, že námi naměřená hodnota se tomuto výsledku blíží. 6.2 Měření Youngova modelu pružnosti pomocí průhybu nosníku Již z tabulky a grafu je vidět, že naměřené hodnoty nepůsobí příliš dobrým dojmem. Výsledek, který se liší oproti tabulkové hodnotě přibližně o 300Gpa je toho jenom důkazem. Mikroskop byl velmi citlivý na okolní chvění a proto jsem mohl hodnoty přečíst špatně. Pro příště bych také zvolil větší váhový rozdíl závaží. Tím by na tyč působila větší síla a ta se spíše prohnula. 6.3 Měření modulu pružnosti ve smyku G statickou metodou Tabulková hodnota pro modul pružnosti ve smyku je 85 Gpa. Je vidět, že naše hodnota je skoro dvakrát větší. Provázky na kladkách jsme měli po kontrole asistentem umístěné správně a tak nevím, čím mohla tato chyba vzniknout. 6.4 Měření modulu pružnosti ve smyku G dynamickou metodou U tohoto měření jsme naopak dosáhli hodnoty dvakrát menší, než je tabulková. Zde si myslím, že -5-
největší chyba vznikla nepřesností měření periody kmitů kyvadla, kterou jsme měřili pouze koukáním na kyvadlo a stopováním na stopkách. Jelikož ještě navíc nebyla jasná chvíle, kdy kyv skončil je možné, že jsme tímto způsobem získali velikou chybu. 7. Závěr Při měření modulu pružnosti E jsme dosáhli hodnot E1 = (200 ± 7) Gpa a E2 = (510 ± 117) Gpa. Při měření modulu pružnosti ve smyku jsem získal statickou metodou výsledek G = (141 ± 8) Gpa a dynamickou metodou G = (32 ± 5) Gpa pro setrvačnost základního systému I0 = (0.0014 ± 0.0003) Kgm2. 8. Použitá literatura [1] Chyby měření. In: [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/CHYBY1n.pdf [2] Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku. [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08].Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/98/mod_resource/content/6/02141014-pruznostsmyk.pdf [3] ŠTOLL, Ivan. Mechanika. Vyd. 3. V Praze: České vysoké učení technické, 2010, 209 s. ISBN 978-80-01-04554-1. [4] MIKULČÁK, Jiří. Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2007, 206 s. ISBN 978-807-1963-455.
-6-
