Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze #9 – Základní experimenty akustiky
Úloha: Jméno:
Ondřej Finke
Kruh:
FE
Datum měření:
3.11.2014
Klasifikace: Skupina:
4
1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte, jakou vlastní a vyšší harmonické frekvence má struna napjatá zátěží 5kg o délce 1 metr víte-li, že její lineární hustota je ς = 0.0162 kg·m-1. (b) Do vzorce z předchozího úkolu dosaďte délku struny v praktiku a spočítejte totéž. Ověřte experimentálně pro prvních 10 rezonančních frekvencí. Z naměřených vyšších harmonických frekvencí zpětně dopočítejte lineární hustotu (použijte metodu nejmenších čtverců) a porovnejte s uvedenou konstantou. Dopočítejte rychlost šíření vlnění na struně. (c) Pro cca 10 různých frekvencí v rozsahu 2 až 6 kHz hledejte interferenční minima (nebo maxima) prodlužováním a zkracováním Quinckovy trubice. Vyneste do grafu závislost vlnové délky zvuku (prodloužení trubice) na frekvenci. Z naměřených údajů dopočítejte rychlost zvuku proložením naměřených hodnot s errorbary vhodnou funkcí. (d) Najděte vlastní frekvence Helmholtzova dutinového rezonátoru. Vyneste závislost vlastní frekvence na objemu rezonátoru (změnou objemu rezonátoru provádějte vléváním vody). Vodu přilévejte po 50ml a pouze do poloviny objemu. Pro hledání vlastní frekvence využijte Fourierovské frekvenční analýzy. Z naměřených hodnot určete rychlost zvuku proložením naměřených hodnot vhodnou funkcí. 2. Použité přístroje a pomůcky Struna, frekvenční generátor, generátor mechanických kmitů, Quinckova trubice, reproduktor, mikrofon, osciloskop, skleněná baňka, rozhraní COBRA, teploměr, metr. 3. Teoretický úvod 3.1 – Zvuk a kmitavý pohyb Kmitavý pohyb je fyzikální děj. Při tomto ději se v závislosti na čase periodicky mění charakteristické veličiny. Tyto veličiny mohou být například poloha, rozměr, tlak, rychlost apod. Zvuk je jedním z příkladů kmitavého pohybu. Zdroj zvuku působí na částice vzduchu (nebo jiné látky ve které zdroj působí), které se poté v těsné blízkosti periodicky přibližují či vzdalují. Tyto změny se od zdroje poté šíří k dalším a dalším částicím. Ve vzduchu se zvuk šíří přibližonou rychlostí v = 340 m·s-1. Přesná hodnota je (1), v =(331.57+0.607⋅t)m⋅s−1
(1)
kde t je teplota. Šíření vzduchu můžeme popsat vlnoplochou. Matematicky ji lze popsat vlnovou -1-
rovnicí, což je parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Speciální případ harmonické postupné vlny poté vyjádříme (2), f (t)= A⋅sin(ω⋅t +ϕ)
(2)
kde A je amplituda, ω je úhlová frekvence, t je čas a φ je fáze vlny. 3.2 – Skládání vln Může nastat situace, kde se dvě vlny popsané rovnicí (2) setkají ve stejném prostředí (může i více vln). Budeme dále předpokládat, že vlny mají stejnou amplitudu. V tuto chvíli může nastat jev zvaný interference, čili skládání vln. Pomocí vzorce pro sčítání dvou sinu můžeme sečíst obě vlny a získat (3), f (t)=2 A sin(
ω1 +ω2 ϕ1+ ϕ2 ω1−ω2 ϕ1−ϕ2 t+ )cos ( t+ ) 2 2 2 2
(3)
Při skládání může nastat několik speciálních případů. 1) Vlny jsou stejné a mají stejnou fázi. Tato možnost způsobí, že se vlny kompletně sečtou tak, že vznikne jedna vlna (2) s dvojnásobnou amplitudou. 2) Vlny jsou stejné, ale mají opačnou fázi. Tento případ se nazývá destruktivní interference a výsledná vlna je nulová. 3) Vlny mají stejnou fázi, ale různé úhlové frekvence, které jsou si velmi blízké. Při tomto případu vzniknou takzvané zázněje a amplituda vzniklé vlny se mění s časem. 3.3 – Fourierova transformace Každý reálný signál lze popsat součtem několika (případně nekonečno ale spočetně mnoha) harmonickými funkcemi za použití rozkladu do Fourierovy řady (4). a0 ∞ +∑ a sin(nω t)+ bn cos(n ω t) 2 n=1 n Konstanty an a bn vypočítáme pomocí integrálů (5) a (6). f (t)=
(4)
t2
2 an = ∫ f (t)cos(n ω t)dt T t
(5)
1
t2
2 bn = ∫ f (t) sin(n ω t )dt T t 1
4. Postup měření 4.1 – Stojaté vlnění na struně
Obr. 1 – Vyobrazení měřící aparatury pro měření stojatého vlnění na struně. Převzato z [2] -2-
(6)
Na obrázku (Obr. 1) nalezneme měřící soustavu. Závaží pověšené na struně má velikost 5kg. Lineární hustotu struny vyjádříme pomocí vzorce (7), f n=
√
√
n T 1 T =an ; a= ρ 2L 2L ρ
(7)
kde ρ je lineární hustota struny, L délka struny, n počet uzlů a T napínací síla. Před začátkem měření jsme z (7) vypočítali první rezonanční frekvenci naší struny a od této hodnoty jsme poté na generátoru vlnění vždy nastavovali celočíselný násobek této hodnoty. Uzle byly vždy vidět v určitém malém rozsahu rezonančních frekvencí, tento rozsah jsme zaznamenali. Měření jsme provedli celkem pro 10 rezonančních frekvencí. Amplitudu jsme při měření upravovali tak, aby vždy byly dobře vidět uzle. Měření se muselo provádět v rozsahu 10Hz až 300Hz, aby se nepoškodila struna. Také se během měření hýbat s aparaturou. 4.2 – Quinckova trubice Jedná se o dvoucestný interferometr, kde můžu měnit délku jednoho ramene. Jako zdroj signálu použijeme zdroj z úlohy o stojaté vlně na struně. Při měření jsme pracovali v rozsahu frekvencí 2 až 4 kHz. Nastavíme libovolnou frekvenci a poté pomocí osciloskopu nalezneme maximum. Vzdálenost mezi jednotlivými frekvencemi poté změříme. Maxima zvolíme kvůli tomu, že mikrofón snímající zvuk z trubice je náchylný na Obr. 2 - Quinckova trubice, rušení a při hledání maxim není rušení tolik znát. Pro každou převzáno z [2] frekvenci nalezneme 6 maxim. Při posunutí trubice o vzdálenost d musí zvuk projít vzdálenost 2d. Z toho odvodíme vzdálenost závislost vlnové délky a vzdálenost maxim jako λ = 2·Δd. Frekvenci známe z generátoru. Rychlost zvuku z získáme jako v = f · λ. Pro naše měření si vztah zapíšeme jako (8). λ=
v f
(8)
4.3 – Helhmoltzův rezonátor
Obr. 3 – Aparatura pro Helhmoltzův rezonátor, převzato z [2] Helhmoltzova rezonance je rezonance mechanického vlnění plynů v uzavřené dutině. Jako zdroj pro reproduktor opět použijeme zdroj ze stojatého vlnění na struně. Mikrofón poté přes rozhraní COBRA připojíme do počítače. Na počítači data zpracovává program PHYWE, který provádí rychlou fourierovu transformaci (fast fourier transformation). Při měření pozorujeme píky ve -3-
fourierovském spektru a tam, kde dosáhne maximální amplitudy se nachází rezonanční frekvence. Opět si zapíšeme drobné okolí frekvence u píku. Tímto zajistíme, že do měření zahrneme i chybu. Při měření měníme objem baňky vždy přilitím 50ml vodu. Pomocí rovnice (9) získáme hodnotu rychlosti zvuku. 1 v f =a ; a= 2π √V
√
π r2 l+1.4 r
(9)
V tomto vzorci je v rychlost zvuku, l délka hrdla baňky, r poloměr hrdla baňky a V objem dutiny. 5. Vypracování 5.1 – Stojaté vlnění na struně Na výpočet využijeme vzorec (7), kde máme známé hodnoty T = 49.05 N a L = (1.223 ± 0.001) m. f1 [Hz] 21.5
42.1
62.3
88.0
109.8
132.0
155.0
177.1
199.1
223.0
f2 [Hz] 22.5
45.0
66.5
89.7
110.7
132.9
157.2
179.7
201.7
225.3
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[-] 1
Tab. 1 – f1 - frekvence, kde začala být znát rezonanční frekvence, f2 - frekvence, kde přestala a n počet uzlů. Hodnoty zaneseme do grafu (Obr. 4). Proložíme-li tyto hodnoty lineární funkcí dostaneme pro konstantu hodnotu A = (21.79 ± 0.16). Rovnice má tedy tvar (10) f (n)=(21.79±0.16) n
(10)
Obr. 4 – Měření frekvence módů struny. Nyní z rovnice (7) a hodnoty A = (21.79 ± 0.16) získáme ρ = (0.0173 ± 0.0002) kgm-1. Rychlost -4-
spočítáme jako v =√ T /ρ , čili v = (53.24 ± 0.4) m·s-1. 5.2 – Quinckova trubice Hodnoty zaneseme do tabulky (Tab. 2). #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f [Hz] 2338
2000
2500
2750
3000
3200
3400
3600
3800
4000
λ
0.137
0.142
0.126
0.109
0.110
0.084
0.083
0.084
0.086
[m] 0.148
Tab. 2 – f – frekvence, při které jsme měřili. λ – vypočítaná vlnová délka pro danou frekvenci. Zaneseme výsledky do Grafu (Obr. 5), ze kterého vynecháme hodnotu číslo 7 z toho důvodu, že střední kvadratická chyba aritmetického průměru při měření vlnových délek u této frekvenci byla prakticky ¼ této hodnoty.
Obr. 5 – 1/f – převrácená hodnota frekvence. λ – vlnová délka s errorbary Výsledná hodnota konstantního členu a ve fitu se rovná rychlosti zvuku v z rovnice (8). Tato hodnota je tedy v = (315 ± 9) m·s-1. 5.3 - Helhmoltzův rezonátor #
1
2
3
4
5
6
7
8
V [ml]
1000
950
900
850
800
750
700
650
f0 [Hz]
175.5
180.8
183.5
187.5
193.3
200.6
208.3
214.6
f1 [Hz]
176.2
181.8
184.2
188.2
194.2
201.7
209.2
215.1
Tab. 3 – V – objem lahve, f0 – začátek rezonance, f1 – konec rezonance -5-
Naměřené hodnoty zaneseme do tabulky (Tab. 3) a vytvoříme graf (Obr. 6).
Obr. 6 – V – Objem lahve, f – naměřená frekvence. Z fitu tohoto grafu dostaneme funkci (11) 5.50±0.02 (11) √(V ) Nyní z rovnice (9) a hodnot r = 0.0187 m a l = 0.07 m (tyto hodnoty naleznu v [2]) vypočítáme rychlost zvuku v = (309.2 ± 0.2) m·s-1. f=
6. Diskuze V prvním měření mohla největší chyba vzniknout hlavně nestabilitou místnosti. Projela-li tramvaj, došlo k otřesům, které mohli mít vliv na stabilitu experimentu. Při pozorování uzlů na struně jsme používali papír, proti kterému byly uzle lépe znát. Z toho plyne další chyba, uzle byly velmi špatně vidět a tím pádem se špatně odhadovalo jestli už nastala rezonanční frekvence, nebo ne. Druhé měření bylo podle mě ze všech nejméně přesné. Prvně se na oscilátoru špatně odhadovalo, kdy přesně nastává maximum, které jsme si zvolili z důvodu, že hledání minima bude ještě více ovlivněno okolím a proto bude ještě těžší. Za druhé to bylo jednoznačně rušení z okolí, v praktikách byl neustálý šum a každý zvuk se projevil na osciloskopu. Za třetí to bylo velmi špatné ovládání samotné trubice. Srovnáme-li naší rychlost zvuku s hodnotou zapsané v teoretickém úvodu, zjistíme, že se liší o 25 metrů za sekundu, což je opravdu velký rozdíl. Během třetího měření nám nejdříve nefungoval přístroj, který konvertoval signál do počítače a proto jsme museli měření opakovat. Při měření jsem si všiml, že tenká trubička ve, které byl umístěn mikrofón měla na svém konci blanku z vody, která mohla zkreslovat příchozí zvuk a tím upravovat naše výsledky. Další vliv jistě byl způsobený hlukem s okolí. Srovnáme-li výsledek opět s rychlostí zvuku, kterou máme v teoretickém úvodu zjistíme, že se liší dokonce o 31 metrů za -6-
sekundu. To je opět velký rozdíl a důkaz, že naše měření bylo velmi nepřesné. Příště bych primárně změnil hlučnost v praktiku, která si myslím, že na pokusy se zvukem má největší vliv. 7. Závěr Při prvním měření získáme lineární hustotu struny ρ = (0.0173 ± 0.0002) kgm-1 a rychlost šíření vlny v = (53.24 ± 0.4) m·s-1. V druhém měření jsme naměřili rychlost zvuku jako v = (315 ± 9) m·s-1. Ve třetím měření jsme poté naměřili hodnotu v = (309.2 ± 0.2) m·s-1. 8. Použitá literatura [1] Chyby měření. In: [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/CHYBY1n.pdf [2] Základní experimenty akustiky. [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/126/mod_resource/content/5/09-140920-akustika.pdf
-7-
