Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha:
#10 – Lineární harmonický oscilátor a Pohlovo kyvadlo
Jméno:
Ondřej Finke
Kruh:
FE
Datum měření:
10.11.2014
Klasifikace: Skupina:
4
1. Pracovní úkoly (a) Změřte tuhost pružiny statickou metodou a vypočítejte vlastní úhlovou frekvenci pro dvě různá závaží. (b) Změřte časový průběh tlumených kmitů pro dvě závaží, ověřte platnost rovnice (4) proložením dat a z parametrů proložení vypočítejte vlastní frekvenci volného oscilátoru. (c) Změřte závislost amplitudy vynucených kmitů na frekvenci vnější síly v okolí rezonance pro dvě závaží, proložením dat ověřte platnost vztahu (6) a z parametrů proložení vypočítejte vlastní frekvenci volného oscilátoru. (d) Porovnejte výsledky vlastní frekvence ze všech tři předchozích úkolů. (e) Změřte tuhost pružiny Pohlova kyvadla. (f) Naměřte časový vývoj výchylky kmitů kyvadla pro netlumené kmity. Za použití výsledků tohoto a minulého úkolu vypočítejte moment setrvačnosti I. (g) Změřte koeficient útlumu pro několik zvolených hodnot tlumícího proudu. Závislost vyneste do grafu. Pozorujete-li při nějaké hodnotě tlumícího proudu kritický útlum, změřte jeho průběh a ověřte, že je kyvadlo skutečně kriticky tlumeno, nepozorujete-li ho, extrapolací grafu určete hodnotu tlumícího proudu, při kterém dochází ke kritickému tlumení. 2. Použité přístroje a pomůcky Experimentální stojan s pružinou a motorkem, tlumící magnety, rotační pohybové senzory Pasco, sada závaží, regulovaný zdroj 0-30V, digitální tachometr CEM AT-6, PC, programy DataStudio a GNUplot, Pohlovo kyvadlo. 3. Teoretický úvod 3.1 – Lineární harmonický oscilátor Lineární harmonický oscilátor (LHO) je jakékoliv těleso, které v čase provádí opakující se harmonický pohyb. Jeho stabilní poloha odpovídá stavu s minimální potenciální energií U(x), kde x je zobecněná souřadnice. Potenciální energie pro LHO je ve tvaru (1), 1 2 U ( x)= k x 2
(1)
V našem případě bude LHO realizováno pomocí závaží zavěšeného na pružince a tím pádem bude konstanta k představovat tuhost pružiny. Sestrojíme-li pohybovou rovnici pro LHO ve tvaru (2),
-1-
m x¨ +kx=0 (2) můžeme snadno nahlédnout, že se jedná o lineární diferenciální rovnici druhého řádu u které nalezneme řešení jako (3). x (t)= A cos (ω t+ α ) (3) Pro tento výsledek má A význam amplitudy, α počáteční fáze oscilátoru a ω je úhlová frekvence. Pohyb oscilátoru může být ovlivňován externími silami a tím se bude i měnit jeho pohybová rovnice. LHO může být například ovlivňován vnější silou závislou na čase, tato situace se nazývá LHO s vynucenými kmity. V jiném případě může naopak docházet k tlumeným kmitům, do pohybové rovnice (2) přibude ještě třetí člen a řešení se změní na (4). x (t)= A e−λ t cos( √ω 20−λ 2 t+ α )
(4)
Posledním případem, kterým se budeme zabývat jsou vynucené kmity s tlumením, zde řešení nalezneme ve tvaru (5), kde b se rovná (6). x (t)= Ae−λ t cos (ω t + α )+ b cos( γ t + δ ) b( γ )=
2γ λ f ; tan δ = 2 2 2 2 2 γ −ω 20 m √ ( ω −γ ) + 4 λ γ 2 0
(5) (6)
3.2 – Pohlovo kyvadlo Schéma Pohlova kyvadla nalezneme na obrázku (Obr.1).
Obr.1 – Schéma Pohlova kyvadla, převzato z [2] Jedná se o torzní kyvadlo, při odvození pohybové rovnice vyjdeme z Eulerových setrvačníkových rovnic. Osa rotace kyvadla je upevněna a tím se nám počet rovnic zredukuje na jednu, kterou můžeme zapsat ve tvaru (7).
ϕ¨ (t)+2
C D ϕ˙ (t)+ ϕ ( t)=0 2I I
(7)
To je obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, čili řešení bude vždy lineární kombinací dvou nezávislých řešení. Základní typy řešení závisí na vztahu konstant C/2I a D/I. Při případu malého útlumu ( D/I > C/2L ≥ 0) dostaneme řešení jako (9).
ϕ (t)=ϕ max e
−Ct 2I
sin( ω t +ϕ 0 )
-2-
(9)
Dalším případem je kritický útlum, kdy se konstanty rovnají. Tvar řešení je potom (10)
ϕ 1( t)=e
−Ct 2I
; ϕ 2 (t )=te
−Ct 2I
(10)
Reálně tato situace vypadá, že kyvadlo se vrátí do stabilní polohy aniž by překmitlo. Poslední je poté případ silného útlumu, kdy platí, že √ D /I
ϕ 1=e
−Ct 2I
sinh(dt ); ϕ 2=e
−Ct 2I
2
cosh (dt) ; kde d=√(C /2 I ) −(D/ I )
(11)
4. Postup měření 4.1 – Lineární harmonický oscilátor Aparatura je na obrázku (Obr. 2). Skládá se z dvou senzorů, z pružinky s proměnným závažím a motorku na produkci vnější síly. První senzor zaznamenává časový průběh vnější síly a druhý senzor oscilace. Program, který zaznamenává data se jmenuje DataStudio, návod na jeho používání je v [3]. Při měření jsme vždy měřili střídavě s dvěma závažími o hmotnosti 20 a 40 gramů. Při měření tuhosti pružiny pouze odečteme prodloužení z x, které způsobí závaží hmotnosti m. Výsledek získáme rovnicí (12), kde g je tíhové zrychlení. mg=−kx
(12)
Během měření časového průběhu jsme na pružinku dali zvolené Obr. 2: LHO převzato z [3] závaží, vynulovali senzory a zapnuli snímání dat. Poté jsme udělili systému počáteční výchylku a nechali kmitat do zastavení, tento postup jsme poté zopakovali s druhým závažím. Měření časového průběhu tlumených kmitů s budící silou jsme prováděli po zapojení motorku na budící sílu. Začali jsme tak, že při postupném zvyšování napětí na motorku jsme hledali přibližně přibližně místo, kde nastává rezonanční frekvence. Poté nastavíme toto napětí, umístíme závaží. Zkontrolujeme, že máme vynulované senzory a zapneme ukládání dat. Přibližně po 20 periodách kmitů vypneme zaznamenávání dat a zaznamenáme amplitudu. 4.2 – Pohlovo kyvadlo Schéma aparatury je již k nalezení na obrázku (Obr.1). Při měření jsme opět používali dvě závaží o hmotnostech 20 a 40 gramů. Všechny měření jsme prováděli stejně jako u LHO. Měření útlumu kmitání pomocí cívek na Pohlově kyvadle jsme měřili tak, že jsme vždy umístili závaží na konec kyvadla a nastavili hodnotu tlumícího proudu, v našem případě vždy po 0.25 A, poté jsme zapnuli měření dat a udělili kyvadlu počáteční výchylku. Po ustálení pohybu jsme měření vypnuli. 5. Vypracování 5.1 – Lineární harmonický oscilátor Jako první jsme provedli měření tuhosti pružiny, data jsme zanesli do tabulky (Tab.1) a pomocí jednoduché úpravy vzorce (12) jsme získali výsledek. Výsledek po zprůměrování je k = (13.4 ± 0.8) Nm-1.
-3-
x
[mm] m
[g] k
15.107
20
14.182
30.959
40
12.675
[Nm-1]
Tab 1. m je hmotnost přidaného závaží, x výchylka a k tuhost pro dané závaží Měření časového průběhu je vidět u přiložených grafů (Obr. 3) a (Obr. 4).
Obr. 3 – Tlumené kmity s závažím o hmotnosti 20g. Fit je ve tvaru (4) a pro hodnoty konstanty platí A = (65 ± 0.8), B = (1.19 ± 0.01), C = (16.09 ± 0.01), D = (5.28 ± 0.01) a E = (-61.65 ± 0.04).
-4-
Obr. 4 – Tlumené kmity pro závaží s hmotností 40 gramů. Fit je opět tvaru (4) a pro konstanty platí A = (25.5 ± 0.2), B = (0.82 ± 0.01), C = (13.66 ± 0.01), D = (1.86 ± 0.01) a E = (-76.91 ± 0.04). Hodnoty časového průběhu tlumených kmitů s budící silou zaneseme do tabulky (Tab. 2). Závaží na pružině o hmotnosti 20g A
[mm] 9.511
11.526
31.332
21.448
11.563
7.199
5.371
U
[V] 11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
f
[Hz] 2.338
2.387
2.568
2.652
2.765
2.902
3.002
18.802
19.657
29.064
28.281
5.595
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
2.133
2.242
2.393
2.403
2.518
Závaží na pružině o hmotnosti 40g A
[mm] 8.915
U
[V] 9.5
f
[Hz] 1.933
Tab. 2 – A představuje amplitudu, U napětí na motorku a f frekvenci motorku
Obr. 5 – Průběh tlumených kmitů s budící silou. Závaží o hmotnosti 20g. Fit je ve tvaru (6) a pro konstanty platí A = (2 ± 5), B = (6.14 ± 0.25) a C = (-0.03 ± 0.05)
-5-
Obr. 6 – Průběh tlumených kmitů s budící silou. Závaží o hmotnosti 40g. Fit je ve tvaru (6) a pro konstanty platí A = (11 ± 4), B = (5.5 ± 0.2) a C = (0.01 ± 0.03) 5.2 – Pohlovo kyvadlo Tuhost pružiny změříme stejně jako u LHO a hodnoty zaneseme do tabulky (Tab.3). Pomocí vzorce (12) jsme získali výsledek. Výsledek po zprůměrování je D = (2.46 ± 0.1) Nm-1. x
[mm] m
[g] D
79.987
20
2.45
158.939
40
2.47
[Nm-1]
Tab 3. m je hmotnost přidaného závaží, x výchylka a D tuhost pro dané závaží Z hodnoty fitu (podle vzorce (9)) pro netlumené kmity určíme hodnotu vlastní úhlové frekvence jako ω02 = 6.59 rad.s-1. a moment setrvačnosti podle I = D/ω02 jako I = 0.057 kg.m2. Útlum Pohlova kyvadla jsme měřili v rozmezí 0.25 A až 2.00 A. Větší proud nám již nedovolovali cívky, které tlumení realizovali, neboť by se zničili. Koeficient útlumu získáme pro jednotlivé kmitání vždy pomocí fitu z grafu, který jsme získali při měření. Výslednou závislost delta na proudu vyneseme do grafu (Obr. 7). Provedeme-li fit této závislosti zjistíme, že funkce, která těmto hodnotám nejlépe odpovídá je funkce exponenciální. Budeme proto předpokládat exponenciální závislost. Při našem měření jsme nepozorovali kritický útlum, ačkoliv pro proud o hodnotě 2 Ampérů to bylo již velmi blízko.
-6-
Obr. 7 – Závislost dekrementu útlumu na proudu v tlumících cívkách 6. Diskuze Při měření tuhosti pružiny muselo dojít k velké chybě, neboť výsledné hodnoty by měli být co nejvíce stejné ale nám vychází velmi odlišné. V tuto chvíli nejsem schopen říct z jakého důvodu toto nastalo, jestli se jedná o velký váhový rozdíl, nebo jenom chyba způsobená naší nedbalostí. Měření časového průběhu mohlo být nejvíce ovlivněno otřesy místnosti a tím ovlivnit přesnost senzorů. Největší chyba nastala u měření průběhu tlumených kmitů s tlumící silou a to do takové míry, že chyba některých parametrů podle programu GNUplot přesáhla 150%. Podle mého názoru bylo toto jednoznačně způsobeno hrubostí našeho měření, kdybychom naměřili alespoň dvakrát více měření s mnohem menšími rozdíly v napětí na motorku, jistě bychom dosáhli přesnějšího výsledku. U Pohlova kyvadla mohla opět nastat velká chyba při otřesech místnosti a tím změny průběhu experimentu. Během fitování grafu závislosti dekrementu útlumu na proudu v tlumících cívkách jsem nejdříve chtěl použít lineární funkci, výsledky z této funkce byly opět velmi zvláštní a teprve při drobnějším zkoumání jsem si uvědomil, že se jedná spíše o funkci exponenciální. S méně naměřenými hodnotami bychom nebyli schopni si této závislosti všimnout. 7. Závěr Při měření LHO jsme zjistili, že naše pružina má tuhost k = (13.4 ± 0.8) Nm-1 a pro obě závaží se nám podařilo ověřit platnost rovnice (4). Platnost rovnice (6) se podařilo lépe u závaží s hodnotou 40 gramů. Kvůli monstrózní chybě fitu při měření tlumených kmitů s budící silou jsem nepočítal vlastní frekvenci LHO, neboť by byla nesmyslná. Pohlovo kyvadlo má podle našich měření tuhost D = (2.46 ± 0.1) Nm-1 a jeho moment setrvačnosti I = 0.057 kg.m2. Kritický útlum jsme nepozorovali ale jeho hodnota bude nad 2 Ampéry. -7-
8. Použitá literatura [1] Chyby měření. In: [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/CHYBY1n.pdf [2] Pohlovo kyvadlo. [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/130/mod_resource/content/6/10-20140922-pohl.pdf [3] Lineární harmonický oscilátor. [online]. FJFI v Praze, 2014 [cit. 2014-11-08]. Dostupné z: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/129/mod_resource/content/5/10-20140922-lho.pdf
-8-
