Fungsi Peluang Gabungan

Fungsi Peluang Gabungan MA3181 Teori Peluang 15 September 2014 Utriweni Mukhaiyar

Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ingin diasuransikan dengan kategori-kategori yang berbeda. Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan. •Banyak lantai •Kekuatan bangunan •Banyak lift •Tinggi bangunan •Banyak pintu/tangga •Luas bangunan darurat •Luas taman/daerah hijau •Banyak ruangan bangunan •.... •... KONTINU DISKRIT

Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi bangunan. Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y. f(x
Ilustrasi Misalkan peubah acak X1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2 menyatakan banyak lift, peubah acak X3 menyatakan banyak ruangan. f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bersama /serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari X1, X2, dan X3. f(10, 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 10 lantai, 15 lift dan 50 ruangan.

Fungsi Peluang Gabungan D I S K R I T

1. P(X=x, Y=y)  0 untuk semua (x, y) 2. P( X  x, Y  y )  1

 x

y

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

P[( X , Y )  A]   f ( x, y ) A

K O N T I N U

1. f(x, y)  0 untuk semua (x, y)   2.



f ( x, y )dxdy  1

 

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

P[( X , Y )  A]   f ( x, y)dxdy A

Contoh 1 O Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3

pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, hitung: a. Fungsi peluang gabungan f(x,y) b. P[(X,Y)A] dimana A adalah daerah {(x,y)|x + y  2} Jawab: a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah; (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1). f(3,0) artinya peluang terambil 3 jeruk dan 1 pisang. Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah : 8C4 = 70. Banyak cara yang mungkin, terambilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : 3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f(3,0)=3/70.

f ( x, y ) 

3

Cx  2C y  3C4 x  y

3  3  2       x  y  4  x  y    , x  0,1, 2,3, y  0,1, 2 8      4

Solusi 1 8

C4

O Distribusi fungsi peluangnya: x

y

b.

f(x,y)

0

1

2

3

h(y)

0

0

3/70

9/70

3/70

15/70

1

2/70

18/70

18/70

2/70

40/70

2 g(x)

3/70 5/70

9/70 30/70

3/70 30/70

0 5/70

15/70 1

P[( X , Y )  A]  P( X  Y  2)  P( X  0, Y  1)  P( X  0, Y  2)  P( X  1, Y  0)  P( X  1, Y  1)  P( X  2, Y  0)  f (0,1)  f (0, 2)  f (1, 0)  f (1,1)  f (2, 0) 2 3 3 18 9 35 1        70 70 70 70 70 70 2

Contoh 2 O

Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: 2  ( x  2 y ), 0  x  1, 0  y  1 f ( x, y )   3  0, x, y lainnya 

a. Selidiki apakah f(x,y) adalah fungsi peluang. b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah.

Solusi 2  

1 1

1

1

1 2 1 2 1 a.  f ( x, y)dxdy   ( x  2 y)dxdy  ( x  4 yx) dy   (1  4 y)dy 3 3 3 0   0 0 0 0 1 1 1 2  ( y  2 y )  (1  2)  0 3 3 0 1

f(x,y) adalah fungsi peluang. 1/2 1/2

b. P( X  0.5, Y  0.5) 

 0 0

1/2



 0

1/2

1/2 2 1 2 ( x  2 y)dxdy   ( x  4 yx) dy 3 3 0 0

1/2 11 11 11 1 1 1  2     2 y  dy   y  y    3 4 3 4   0 3 4 2 4 8

Fungsi Marjinal Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x,y). Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y). O Untuk X dan Y diskrit.

g ( x)   f ( x, y)   P( X  x, Y  y ) y

y

h( y)   f ( x, y)   P( X  x, Y  y ) x

x

 Untuk X dan Y kontinu. 

g ( x) 







f ( x, y )dy

dan

h( y ) 





f ( x, y)dx

Contoh 3 O Perhatikan Contoh 1. O Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari

distribusi peluang f(x,y) masing-masing adalah distribusi peluang marjinal dari X dan Y. O Jawab : 2 3 5 1 g (0)  f (0, 0)  f (0,1)  f (0, 2)  0     70 70 70 14 3 18 9 30 3     70 70 70 70 7 9 18 3 30 3 g (2)  f (2, 0)  f (2,1)  f (2, 2)      70 70 70 70 7 3 2 5 1 g (3)  f (3, 0)  f (3,1)  f (3, 2)   0   70 70 70 14 g (1)  f (1, 0)  f (1,1)  f (1, 2) 

Solusi 3 O Distribusi peluang peubah acak X adalah : x

0

1

2

3

g(x) = P(X=x)

1/14

6/14

6/14

1/14

 Dengan cara yang sama diperoleh distribusi

peluang peubah acak Y adalah : y

0

1

2

h(y) = P(Y=y)

3/14

8/14

3/14

Contoh 4 O Perhatikan Contoh 2. Tentukan, a. fungsi peluang marjinal untuk X

b. fungsi peluang marjinal untuk Y c. peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu

kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan.

Jawab : a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g(x)  1 1 2 2 2 2 g ( x)   f ( x, y )dy   ( x  2 y )dy  ( xy  y )  ( x  1)  0 3 3 3 0  0 2  ( x  1), 3

0  x 1

Solusi 4 b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h(y) 

2 21 2  1 21  h( y )   f ( x, y )dx   ( x  2 y )dx   x  2 yx     2 y   0 3 32  0 32   0 1 4   y, 0  y 1 3 3 1

c. Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan adalah P(X<1,5). 1.5

1

2 1 2 2 1 1 P( X  1.5)   g ( x)dx   ( x  1)dx  x  x  (1  2)  0 3 3 3 0 3  0 1

Peluang Bersyarat O Misalkan X dan Y adalah peubah acak,

diskrit atau kontinu. O Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika diberikan X=x adalah:

f ( x, y) f ( y | x)  , g ( x)

g ( x)  0

O Peluang bersyarat dari peubah acak X jika

diberikan Y=y adalah:

f ( x, y ) f ( x | y)  , h( y )

h( y )  0

Bebas Statistik O Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai

fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) dengan fungsi peluang marjinal masingmasingnya adalah g(x) dan h(y). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,

f ( x, y)  g ( x)h( y) untuk semua (x, y) di dalam daerah definisinya.

Contoh 5 O Perhatikan Contoh 1. O Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika

diberikan Y = 1. Hitung P(X=0|Y=1) O Jawab :

f ( x, y ) f ( x,1) , h( y )  0 yaitu f ( x |1)  h( y ) 8 14 f (0,1) 2 70 1 f (1,1) 18 70 9 f (0 |1)    , f (1|1)    8 14 8 14 20 8 14 8 14 20 f (2,1) 18 70 9 f (3,1) 2 70 1 f (2 |1)    , f (3 |1)    8 14 8 14 20 8 14 8 14 20  Distribusi peluang bersyarat : f ( x | y) 

P(X=0|Y=1)

x

0

1

2

3

f(x|1)

1/20

9/20

9/20

1/20

Contoh 6 O Perhatikan Contoh 2. O Apakah peubah acak X dan Y saling bebas?

O Karena,

2  1  2 g ( x)h( y )   ( x  1)  (1  4 y)   (4 xy  4 y  x  1) 3  3  9 2  ( x  2 y )  f ( x, y ) 3 O Maka X dan Y tidak saling bebas secara

statistik.

Kovariansi Dua Peubah Acak O Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi

peluang gabungan f(x,y) O Kovariansi dari X dan Y adalah:

Cov( X , Y )  E[( X   X )(Y  Y )]

Cov(X, X) = Var(X) Cov(Y, Y) = Var(Y)

 E[ XY ]  E[ X ]E[Y ] dengan,

Variansi adalah kovariansi terhadap diri sendiri

 

E[ XY ] 

  xyf ( x, y)dydx

   

E[ X ] 

  xf ( x, y)dydx

 

 

dan

E[Y ] 

  yf ( x, y)dxdy

 

Korelasi Dua Peubah Acak O Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi

peluang gabungan f(x,y) O Korelasi dari X dan Y adalah:

Corr ( X , Y )  

 XY Cov( X , Y )   Var ( X )Var (Y )  X  Y

Referensi  Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The    

Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Hogg, McKean, and Craig, Introduction to Mathematical Statistics, New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2005. Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7th Ed., USA: Thomson, 2008. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. 20