FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN SIFAT-SIFATNYA
SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Disusun Oleh : Eka Andhi Wijaya 05305141016
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2012
i
FUNGSI BERVARIASI TERBATAS DAN SIFAT-SIFATNYA
SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Disusun Oleh : Eka Andhi Wijaya 05305141016
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2012
ii
SURAT PERNYATAAN Yang bertanda tangan di bawah ini, saya : Nama
:
Eka Andhi Wijaya
NIM
:
05305141016
Program Studi
:
Matematika
Fakultas
:
MIPA
Judul Skripsi
:
Fungsi Bervariasi Terbatas dan Sifat-sifatnya
Menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau telah digunakan sebagai persyaratan penyelesaian studi di perguruan tinggi lain, kecuali pada bagian-bagian tertentu yang saya ambil sebagai acuan. Apabila ternyata terbukti pernyataan ini tidak benar, sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan yang berlaku.
Yogyakarta, 20 September 2011 Yang Menyatakan,
Eka Andhi Wijaya NIM.05305141016
v
HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto “Man shabara zhafira. (Siapa yang sabar akan memetik hasilnya.)”. “Telah Pasti Datangnya Ketetapan Allah, Maka Janganlah Kamu Meminta Agar Disegerakan (Datang)Nya”. (QS. An Nahl: 1). “Dan sesungguhnya satu kesulitan itu tidak akan pernah mengalahkan dua kemudahan. Tidak usah takut dengan kesulitan. Sebab, kesulitan akan menguatkan hati, membuatmu bisa merasakan nikmatnya sehat, membulatkan tekad, mengangkat kedudukan dan memunculkan kesabaranmu.” (DR. ’Aidh Abdullah Al-Qarni) Persembahan Tugas Akhir ini dipersembahkan untuk: Apak Mukirman – eMak Hindun tercinta,terima kasih atas kasih sayang,motivasi, do’a dan nasihatnya. Adik-Adikku (Dian Budhi Santoso,Adhi Bagus Wiranto,Mutia Indah Lestari & Alfia Hasanah ) serta Orang Terkasih yang selalu mendukung,memberi dan menjadi semangat. Mbah Putri,Mbah Kakung (Alm), Nyai (Alm), Engkong (Alm) terimakasih atas kasih sayang yang kalian berikan untuk cucumu ini. Keluarga besar padhe Nadi, padhe Lan, padhe Bakin, dan juga seluruh keluarga besar yang ada di Karawang, terimakasih atas dukungan,do’a, dan semangat. The Graet Team of Nineteen Group dan Juga saudaraku ( KMS Taufik Rahman,Singgih Purnomo,Lina Hidayati) terimakasih atas pengertian kalian, motivasi,dukungan,semangat dalam penyelesaian skripsi ini. (Ayo kita jadi PENGUSAHA SUKSES yang DERMAWAN!!). Teman-teman Matematika Reguler 2005 terimakasih atas persahabatannya selama ini, semoga ukhuwah ini akan selalu terjaga dunia akhirat.
vi
Fungsi Bervariasi Terbatas dan Sifat-Sifatnya Oleh : Eka Andhi Wijaya (05305141016) ABSTRAK
Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mendeskripsikan sifat dan struktur fungsi bervariasi terbatas yaitu dengan memaparkan dan menjelaskan definisi, menganalisis dan membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku dalam fungsi bervariasi terbatas pada interval , . Jika , adalah suatu interval, maka dapat diambil titik-titik , , , … , ∈ , dengan ⋯ dan dibentuk menjadi partisi pada , . Selanjutnya himpunan titik-titik , , … , disebut sebagai partisi pada , , dan himpunan dari semua partisi pada , disimbolkan dengan , . Diberikan fungsi : , ⟶ , fungsi f dikatakan bervariasi terbatas (bounded variation) pada , , jika terdapat konstanta 0 dengan sifat untuk setiap partisi P = {x0 , x1 ,..., xn } pada , berlaku ∑ "| ! | # . Variasi fungsi f pada , yang terkait dengan partisi P = {x0 , x1 ,..., xn } pada , ditulis $%& , , dengan $%& , ∑ "| ! |. Selanjutnya total variasi fungsi pada , , dituliskan Tab ( f ) = sup Vab ( f , P) . Fungsi Bervariasi P∈π [ a ,b ]
Terbatas mempunyai sifat-sifat diantaranya adalah : (1) Himpunan semua Fungsi Bervariasi Terbatas tertutup terhadap operasi perkalian skalar, operasi penjumlahan, dan operasi perkalian. (2) Fungsi yang bervariasi terbatas pada interval , juga bervariasi terbatas pada setiap subinterval , . (3) Fungsi yang monoton pada interval , , bervariasi terbatas pada interval , . (4) Fungsi yang monoton bagian demi bagian pada interval , , bervariasi terbatas pada interval , . (5) Jika fungsi f bervariasi terbatas pada , maka f terbatas pada , . (6) Jika fungsi f kontinu dan turunan f terbatas pada , maka f bervariasi terbatas pada , .
Kata kunci : partisi, fungsi terbatas, bounded variation, dan total variasi.
vii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb. Segala syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat, karunia, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir Skripsi yang berjudul “Fungsi Bervariasi Terbatas dan Sifat-sifatnya”. Tugas Akhir Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Dalam menyelesaikan Tugas Akhir Skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Dr. Hartono, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta dan selaku dosen pembimbing utama yang berkenan memberikan waktu dan bimbingan serta dengan penuh kesabaran memberi pengarahan dalam penyusunan skripsi. 2. Ibu Atmini Dhoruri, MS. selaku dosen pembimbing pendamping yang berkenan memberikan waktu dan bimbingan serta dengan penuh kesabaran memberi pengarahan dalam penyusunan skripsi. 3. Bapak Dr.Agus Maman Abadi, selaku Koordinator Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah mendukung kelancaran studi dan memberikan motivasi dalam penyusunan skripsi.
viii
4. Bapak H.Tuharto, M.Si., selaku dosen pendamping akademik dan orang tua , yang telah memberikan dukungan, saran, kritik yang memotivasi penulis untuk menjadi lebih baik dalam menjalani proses perkuliahan. 5. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan ilmunya kepada penulis. 6. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga amal dan kebaikan dari semua pihak mendapatkan balasan dari Allah SWT. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini jauh dari sempurna. Untuk itu, kritik dan saran yang bersifat membangun senantiasa diharapkan. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Amin.
Penulis
Eka Andhi Wijaya NIM.05305141016
ix
DAFTAR ISI
Halaman Judul…………………………………………………………..
i
Halaman Persetujuan…………………………………………………...
iii
Halaman Pengesahan………………………………………………….
iv
Halaman Pernyataan………………………………………………….
v
Halaman Persembahan………………………………………………….
vi
Abstrak ……………………………………………………………….
vii
Kata Pengantar………………………………………………………….
viii
Daftar Isi………………………………………………………………...
x
Arti lambang dan Singkatan……………………………………………
xii
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Permasalahan……………………………..
1
B. Batasan Masalah…………………………………………..
4
C. Rumusan Masalah…..……………………………………..
4
D. Tujuan Penulisan…………………………………………..
4
E. Manfaat…………………………………………………….
5
BAB II. DASAR TEORI 2.1 Sifat-sifat dan Topologi Bilangan Real……………………
6
2.2 Limit Fungsi …………………………..…………………...
18
2.3 Fungsi Kontinu…………………………………………….
22
x
2.4 Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas ……………… ……
23
2.5 Turunan (Derivative) Fungsi ………………………......…..
25
BAB III. PEMBAHASAN 3.1 Definisi Fungsi Bervariasi Terbatas ..………………………..
31
3.2 Sifat dan Teorema Fungsi Bervariasi Terbatas..……………..
37
BAB IV. PENUTUP 4.1 Kesimpulan……………….………………………………….. 60 4.1 Saran……..……………….………………………………….. 62
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………........ 63
xi
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN Lambang
Artinya
□
akhir bukti
ℝ
himpunan semua bilangan real
ℕ
himpunan semua bilangan asli
ℚ
himpunan semua bilangan rasional
p⇒q
jika p maka q
p⇐q
jika q maka p
p⇔q
p jika dan hanya jika q
a∈ A
a elemen A
a∉ A
a bukan elemen A
<
kurang dari
>
lebih dari
≤
kurang dari atau sama dengan
≥
lebih dari atau sama dengan
A⊂ B
A subset sejati B
A⊆ B
A subset B
a
nilai mutlak a
∅
himpunan kosong
A
ukuran himpunan A
∪
gabungan
∩
irisan
sup
supremum atau batas atas terkecil
inf
infimum atau batas bawah terbesar
A∖ X
himpunan yang elemennya anggota himpunan A tetapi bukan anggota X
f : [ a, b ] → ℝ
fungsi f dari [a,b] ke himpunan bilangan real
xii
N r ( x)
persekitaran x dengan jari-jari r
P = {x0 , x1 ,..., xn }
titik partisi
Vab ( f , P )
variasi fungsi f pada [ a, b] terkait dengan partisi P
Tab ( f )
total variasi fungsi f pada [ a, b]
π [ a, b ]
koleksi semua partisi pada [ a, b]
',
koleksi semua fungsi kontinu pada [a, b]
' ,
himpunan
fungsi-fungsi
yang
terdiferensial
turunannya kontinu pada [a, b]
BV [ a, b]
koleksi semua fungsi yang bervariasi terbatas pada [ a, b]
xiii
dan
