Functies Verdieping
6N-3p 2013-2014 gghm
Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken.
Y
f ( x) x
X
f ( x) x 2
Y
X
f ( x) x 3
Y
X
Y
f ( x)
1 x
X
Y
f ( x) x
X
Welke van deze functies kun je (lijn)spiegelen in de Y-as? ...................................................................... Welke functies kun je puntspiegelen in de oorsprong? ......................................................................
Even en oneven functies Definitie
- Een functie heet een even functie als de grafiek in de Y-as gespiegeld kan worden. - Een functie heet een oneven functie als de grafiek in de oorsprong ge(punt)spiegeld kan worden.
TIP: Als je een figuur gaat puntspiegelen in een punt dan is dat hetzelfde als dat je de figuur 180o draait om het spiegelpunt. Oefening 1 a Ga na of f ( x) 3 2 x 2 een even of oneven functie is. b Is f ( x) 5 x3 10 x een even of oneven functie? c En f ( x) 5 x3 10 x 5 ? d e f
2 x2 1 even / oneven / geen van beide is. x Ga na of f ( x) 10 x misschien een even of oneven functie is. Ga na of f ( x) x 2 5 x3 even / oneven / geen van beide is. Ga na of f ( x)
Misschien is het je al opgevallen; als je alleen naar de grafiek kijkt dan neem je bij sommige functies snel de verkeerde beslissing. Je kunt echter ook het functievoorschrift gebruiken om te beslissen of een functie misschien even of oneven is. Als voorbeeld kijken we naar de functie f ( x) x 2 3 Dit is een even functie, je kunt de grafiek immers spiegelen in de Y-as. Als we alleen naar het functievoorschrift kijken dan valt op dat als je b.v. x = 2 neemt dat daar hetzelfde uitkomt als wanneer je x = –2 neemt: f (2) 22 3 7 en f (2) (2) 2 3 7 Om zeker te weten dat dit bij alle mogelijke waarden voor x klopt doen we het volgende: Neem een ‘getal’ a, Bereken de functiewaarde die bij deze a hoort, dus f (a) berekenen, Doe dit ook voor –a, dus f ( a ) berekenen, Zijn de uitkomsten hetzelfde dan is f ( x) een even functie. Voorbeeeld f ( x) x 2 3 f (a) a 2 3 f (a ) (a)2 3 a 2 3 Uitkomst is hetzelfde dus f ( x) is een even functie. Oefening 2 Gebruik nu de f (a) / f ( a) methode toe voor de functies uit oefening 1
Definitie Bij een even functie is f (a) f (a)
Of een functie oneven is kun je ook algebraïsch controleren. Als je in een oneven functie een x-waarde uitrekent en je doet dat ook met de tegengestelde x-waarde dan moet er steeds het tegengestelde uitkomen. Voorbeeld: f ( x) x 3 f (2) 23 8 en f (2) (2)3 8 dus f (2) f (2) of f (10) 103 1000 en f (10) (10)3 1000 dus f (10) f (10) en ook f (a ) a 3 en f (a ) (a)3 a 3 dus f (a) f (a)
Definitie Bij een oneven functie is f (a) f (a)
Oefening 3 Controleer alle functies uit oefening 1 of ze oneven zijn of niet.
LET OP Het stappenplan om algebraïsch na te gaan of een functie even / oneven is of niet is dus als volgt:
Oefening 4 Ga van de volgende functies na of we even, oneven of geen van beide zijn: a f ( x) 3 x 2 2 x
c
3x 2 2 x x f ( x) 3x 5
d
f ( x) 3x 5
b
f ( x)
Transformaties Een transformatie in de wiskunde is een verandering van de functie / grafiek. We behandelen enkele ‘eenvoudige’ transformaties. Verticale verschuiving Plot de grafiek van f ( x) x 2 met de GRM. Stel het venster zo in dat –10 ≤ X ≤ 10 en –100 ≤ Y ≤ 100
Ga nu met de cursor vlak in de buurt van de top van de parabool staan. De cursor verandert in een pijltjeskruis.
Je kunt nu de grafiek ‘oppakken’ en verplaatsen. Verplaats de grafiek ALLEEN naar boven of naar beneden en kijk goed hoe het functievoorschrift verandert.
Schrijf je observatie hieronder op: Als de grafiek naar boven dan: . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... Als de grafiek naar beneden gaat dan: . . . . . . . . . . . . ........................................... ...........................................
Regel:
Als de grafiek van f ( x) verticaal verplaatst wordt over c eenheden naar boven dan is het functievoorschrift g ( x) van de beeldgrafiek g ( x) f ( x) c
(als je dus naar beneden schuift is de waarde van c dus negatief!) Oefening 5 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie g ( x) : a De grafiek van f ( x) 2 x 3 wordt 3 eenheden naar boven geschoven. b De grafiek van f ( x) 2 x 3 10 wordt 5 eenheden naar boven geschoven. c De grafiek van f ( x) 10 2 x 2 wordt 3 eenheden naar boven geschoven. d De grafiek van f ( x) 2 x 2 5 x 3 wordt 5 eenheden naar beneden geschoven. e
De grafiek van f ( x) 2 x 2 5 x 3 wordt 3 eenheden naar beneden geschoven.
f
De grafiek van f ( x) 2 x 2 5 x 3 wordt 3 eenheden naar beneden geschoven. 3 De grafiek van f ( x) wordt 13 eenheden naar boven geschoven. 2x 4
g
Horizontale verschuiving
Een grafiek van een functie kun je ook horizontaal verschuiven. Plot de grafiek van f ( x) x 2 met de GRM. Stel het venster zo in dat –25 ≤ X ≤ 25 en –100 ≤ Y ≤ 100
Ga nu met de cursor vlak in de buurt van de top van de parabool staan. De cursor verandert in een pijltjeskruis.
Je kunt nu de grafiek ‘oppakken’ en verplaatsen. Verplaats de grafiek ALLEEN naar links of naar rechts en kijk goed hoe het functievoorschrift verandert.
Schrijf je observatie hieronder op: Als de grafiek naar rechts gaat dan: . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... Als de grafiek naar links gaat dan: . . . . . . . . . . . . ........................................... ...........................................
Regel:
Als de grafiek van f ( x) horizontaal verplaatst wordt over c eenheden naar rechts dan is het functievoorschrift g ( x) van de beeldgrafiek g ( x) f ( x c) (als je naar links schuift is het functievoorschrift van de beeldgrafiek dus g ( x) f ( x c) ) Vuistregel:
Voorbeeld Gegeven
Bij horizontaal verschuiven vervang je ‘x’ door ‘x–c’ bij schuiven naar rechts En bij schuiven naar links vervang je ‘x’ door ‘x+c’.
f ( x) 3 x 2 4 x 1
Gevraagd
Het functievoorschrift van de beeldgrafiek als de grafiek van f ( x) horizontaal 3 eenheden naar rechts verschoven wordt.
Oplossing:
3 eenheden naar rechts betekent ‘x’ vervangen door ‘x–3’ Dus wordt g ( x) ( x 3) 2 4( x 3) 1 Uitwerken geeft g ( x) x 2 6 x 9 4 x 12 1 x 2 2 x 2
Oefening 6 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie g ( x) : (je hoeft de uitkomst nog niet te vereenvoudigen)
f ( x) 2 x 3 wordt 3 eenheden naar rechts geschoven. f ( x) 2 x 3 10 wordt 3 eenheden naar links geschoven. f ( x) 10 2 x 2 wordt 2 eenheden naar links geschoven. f ( x) 2 x 2 5 x 3 wordt 5 eenheden naar rechts geschoven.
a b c d
De grafiek van De grafiek van De grafiek van De grafiek van
e
De grafiek van f ( x) 2 x 2 5 x 3 wordt 3 eenheden naar rechts geschoven. 3 De grafiek van f ( x) wordt 13 eenheden naar rechts geschoven. 2x 4 Hier WEL vereenvoudigen!!
f
Eigenschap: Als je een grafiek bij een functie verschuift, horizontaal of verticaal, dan verandert de vorm van de grafiek niet.
Verticale vermenigvuldiging
Je kunt een grafiek van een functie ook vermenigvuldigen. We kijken naar een vermenigvuldiging ten opzichte van de X-as. De ‘hoogte’ (de functiewaarde) van de grafiek wordt telkens met een bepaald getal vermenigvuldigd. Bij grafiek van f(x) hiernaast staan 7 stippellijntjes. De lengte van de lijntjes is de Y-waarde (= functiewaarde) van de grafiek op dat punt. Als de grafiek met 3 vermenigvuldigd wordt ten opzichte van de Y-as dan worden de lijnstukjes allemaal drie keer zo groot om de beeldgrafiek g(x) te krijgen. Maak alle lijnstukjes drie keer zo groot en teken de beeldgrafiek g(x) zo goed mogelijk.
Hiernaast staat een andere grafiek. De beeldgrafiek is ontstaan door de grafiek hiernaast vertikaal met 2 te vermenigvuldigen. Teken (construeer) de beeldgrafiek.
Je hebt nu grafisch vermenigvuldigd. We kunnen de zaak ook weer algebraïsch bekijken. Als je de grafiek verticaal vermenigvuldigd met een factor c dan wordt het functievoorschrift van de beeldfunctie dus ook met c vermenigvuldigd. Regel:
Als de grafiek van f ( x) verticaal vermenigvuldigd wordt met een factor c dan is het functievoorschrift g ( x) van de beeldgrafiek g ( x) c f ( x)
Voorbeeld: Geef het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x) als f ( x) 3x 2 2 x verticaal met factor 3 vermenigvuldigd wordt. Oplossing: g ( x) 2 f ( x) 2 (3 x 2 2 x) 6 x 2 4 x
Oefening 7 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x): a f ( x) 3 2 x 2 wordt verticaal vermenigvuldigd met 4, b vermenigvuldig f ( x) 5 x 3 10 x in de Y-richting met factor –2 c d
2 x2 1 wordt t.o.v. de X-as met 4 vermenigvuldigd x f ( x) 10 x verticaal vermenigvuldigen met factor 10. f ( x)
Oefening 8 Gegeven is f ( x) x 2 a geef het functievoorschrift g(x) van de beeldgrafiek als de grafiek van f ( x) vier eenheden naar rechts geschoven wordt. b geef het functievoorschrift h(x) van de beeldgrafiek als de grafiek van g ( x) drie eenheden naar beneden geschoven wordt. c Geef het functievoorschrift k(x) van de beeldgrafiek als de grafiek van h(x) met factor 2 ten opzichte van de X-as vermenigvuldigd wordt. d Plot de grafieken van f(x), g(x), h(x) en k(x) en maak een schets. e Wat kun je zeggen over de vorm van een grafiek bij verschuiven? En bij vermenigvuldigen? f Wat kun je zeggen over de plaats van de nulpunten bij verticaal vermenigvuldigen?
Horizontale vermenigvuldiging
Bij het horizontaal vermenigvuldigen van een grafiek wordt niet de afstand tot de X-as vermenigvuldigd maar de afstand tot de Y-as. Hieronder staat de grafiek van een functie f(x). Vermenigvuldig de grafiek van f(x) horizontaal (ten opzichte van de Y-as) met factor 2
Vermenigvuldig de grafiek hieronder horizontaal met factor 2
Als we weer algebraïsch gaan vermenigvuldigen geldt voor horizontaal vermenigvuldigen de volgende regel: Als de grafiek van f ( x) horizontaal vermenigvuldigd wordt met een factor c dan is x het functievoorschrift g ( x) van de beeldgrafiek g ( x) f c
Voorbeeld: Geef het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x) als f ( x) 3x 2 2 x horizontaal met factor 2 vermenigvuldigd wordt. Oplossing: 2
x x x g ( x) f 3 2 3( 12 x) 2 2( 12 x) 43 x 2 x 2 2 2
Oefening 9 Geef steeds het functievoorschrift van de beeldfunctie g(x): a f ( x) 3 2 x 2 wordt horizontaal vermenigvuldigd met 3, b vermenigvuldig f ( x) 5 x 3 10 x in de X-richting met factor 2 c f ( x) 4 x 3 wordt t.o.v. de X-as met –4 vermenigvuldigd d
f ( x) 10 x horizontaal vermenigvuldigen met factor 10.
Oefening 10 Gegeven is de functie f ( x) 2 x 3 4 a Maak een schets van de (standaard)grafiek van y x 3 b Maak nu een schets van de grafiek van f(x), zonder de GRM te gebruiken. Oefening 11 Gegeven zijn de functies f ( x) 2 x 2 8 x , g ( x) x 2 4 x , h( x) x 2 4 x 4 en k ( x) ( x 2) 2 4( x 2) 4 a Leg uit welke transformaties steeds zijn toegepast bij de pijltjes: f ( x) g ( x) h( x) k ( x) b Plot en schets de grafieken van de functies met de GRM. c De grafiek van k(x) lijkt erg op de grafiek van een standaardfunctie, welke? d Herleid k(x). oefening 12 We gaan uit van de standaardgrafiek y x . a Maak een schets van de standaardgrafiek. b vermenigvuldig de standaardgrafiek verticaal (= t.o.v. X-as) met –1 en geef het bijbehorende functievoorschrift k(x) c vermenigvuldig k(x) horizontaal met –1 en geef het bijbehorende functievoorschrift l(x) d Vermenigvuldig l(x) verticaal met –1 en geef het bijbehorende functievoorschrift m(x)
Absolute waarde
Plot de functie f ( x) 0,5 x 2 met de GRM. Maak hiernaast een schets. (denk aan de vensterinstellingen)
Maak het scherm leeg en plot nu de functie g ( x) 0,5 x 2 De rechte strepen (“absoluut-strepen”) zijn in te voeren door de ‘format’toets, naast de 9, te gebruiken. Maak ook weer hiernaast een schets.
Wat is de invloed van de absoluutstrepen? ............................................................................ ............................................................................ Gegeven is de functie h( x) x Schets hiernaast de grafiek van de functie i ( x) x zonder de rekenmachine te gebruiken. Controleer je antwoord met de GRM.
oefening 13 Gegeven is de functie f ( x) x 2 4 x en g ( x) f ( x) a b
Plot en schets de grafiek van f(x). Schets nu, zonder de GRM te gebruiken, de grafiek van g(x).
oefening 14 a b
1 zonder de GRM te gebruiken. x controleer je antwoord m.b.v. de GRM.
Schets de grafiek van f ( x)
oefening 15 a Plot de grafiek van f ( x) sin( x) Stel het venster in met 3,5 X 3,5 en 1,5 Y 1,5 Zorg ervoor dat de GRM ingesteld staat op graden en niet op radialen. Maak een schets. b Maak in dezelfde figuur met kleur een schets van g ( x) sin( x)
oefening 16 a Leg uit waarom f ( x) x 2 4 gelijk is aan g ( x) x 2 4 b
Is f ( x) x 2 4 ook gelijk aan g ( x) x 2 4 ? Waarom?
Stijgen en dalen
Het gedrag van een functie kun je beschrijven in termen van stijgen en dalen. Het is in vele gevallen belangrijk om te weten hoe een grafiek bij een functie verloopt. Denk maar aan de winst van een onderneming of de groei van ziektekiemen, het verloop van bevolkingsaantallen, etc. We onderscheiden de volgende gevallen: Grafiek / functie is constant
Grafiek/functie neemt gelijkmatig toe of af (lineaire daling / stijging)
Grafiek / functie neemt steeds meer of minder toe of af (afnemende of toenemende daling / afnemende of toenemende stijging)
Geef hiernaast bij elk voorbeeld aan om wat voor soort stijging / daling het gaat.
Met deze benamingen kun je nu het verloop van een grafiek beschrijven. De grafiek hiernaast is eerst constant(I), dan is er een toenemende stijging(II) gevolgd door een afnemende stijging(III) en dan weer een toenemende daling(IV) gevolgd door een afnemende daling(V) waarna de grafiek weer toenemend stijgt(VI) en tenslotte een constante stijging(VII).
Geef nu in de figuur hierboven aan welke gebieden bedoeld worden.
Oefening 17 a Plot de grafiek van f ( x) x3 4 x 2 3 x 10 . Maak een schets. b Beschrijf zoals in het voorbeeld hiervoor het verloop van de grafiek.
Oefening 18 a Plot de grafiek van f ( x) 3 x 9 b Beschrijf het verloop van de grafiek
Oefening 19 Maak een schets van de grafiek van f ( x) 0, 25 x 2 5 x a b Beschrijf het verloop van de grafiek c Wat gebeurt er precies tussen de stijging en de daling?
Hellingen
We hebben gezien dat de stijging of daling van een grafiek belangrijk kan zijn. Tot nu toe hebben we gekeken hoe een grafiek stijgt of daalt. Nu gaan we kijken hoeveel een grafiek stijgt of daalt. Dit doen we aan de hand van een voorbeeld. Iemand maakt een rit van 2 uur met de auto. Er wordt een grafiek gemaakt van de afgelegde afstand tijdens de rit van 2 uren. Dat geeft de volgende grafiek:
Beantwoord nu de volgende vragen: De rit duurde twee uren. Welke afstand werd er afgelegd? Bereken de gemiddelde snelheid over de hele rit. Wat was de gemiddelde snelheid in het eerste uur? Wat was de gemiddelde snelheid in het eerste halfuur? Waar werd sneller gereden, in het eerste halfuur of in het laatste halfuur? Hoe zie je dat aan de grafiek?
We kijken nu naar een klein deel van de grafiek. Het deel tussen Tijd = 1,5 uur en Tijd = 2 uur. De gemiddelde snelheid tussen 1,6 uur en 1,9 uur: De helling van de lijn is hier ongeveer 64
De gemiddelde snelheid tussen 1,7 uur en 1,9 uur: De helling van de lijn is hier ongeveer 54
De gemiddelde snelheid tussen 1,8 uur en 1,9 uur De helling van de lijn is hier ongeveer 41
De snelheid op T = 1,9 uur. De helling van de (raak)lijn is hier ongeveer 27
Teken de raaklijn aan de grafiek (op de vorige bladzij) op Tijd = 0,5 Uur. Teken ook de raaklijn aan de grafiek op Tijd = 1,5 Uur. Wat hebben de twee raaklijnen te maken met de snelheid van de auto?
Bij een tijd-afstandsgrafiek is de snelheid gelijk aan de helling van de grafiek. Je kunt de snelheid berekenen door de helling van de raaklijn te berekenen.
Met de GRM Plot de grafiek van de functie f ( x) 150 x 2 50 x 3 Vensterinstellingen : 0,1 < X < 2 –10 < Y < 250
Druk op de ‘MENU’ knop, Kies 7: Punten en lijnen Kies 2: Punt op
Klik vervolgens op de grafiek van f(x) en dan nogmaals ergens op de grafiek. Je hebt nu een punt gemaakt dat altijd op de grafiek ligt.
Druk op de ‘MENU’ knop, Kies 7: Punten en lijnen Kies 2: Raaklijn
Klik op het punt dat je hiervoor op de grafiek gemaakt hebt. Er wordt een raaklijn aan de grafiek getekend.
Om nu de helling van de raaklijn te berekenen gaan we als volgt te werk: Druk op de knop ‘MENU’, Kies 8:Meting, Kies 3:Helling
Klik op de raaklijn die je hiervoor gemaakt hebt. En klik nu op de plaats waar je het getal (de helling) op het scherm wilt hebben.
Druk nu op de ‘esc’ –knop om het punt met raaklijn op de grafiek te verplaatsen en je zult zien dat de berekende helling mee verandert.
Op welke tijd was de snelheid het hoogst? ............................................................................ Hoeveel km hadden ze toen afgelegd? ............................................................................
De grafiek van de helling. In het voorgaande heb je gezien dat de helling van een grafiek een interessant gegeven kan zijn. We gaan nu wat dieper in op de helling van een willekeurige grafiek.
Plot de grafiek van f ( x) x 2 Neem als vensterinstellingen: –10 < x < 10 en –10 < y < 110 Maak weer een punt op de grafiek waarin je de raaklijn tekent. Laat de GRM de helling van de raaklijn berekenen. Het handigste is het wanneer je de coördinaten van het punt en de bijbehorende helling ergens midden op het scherm zet. Als je nu het punt over de grafiek beweegt dan kun je de coördinaten aflezen en ook de bijbehorende helling. Vul nu de onderstaande tabel in. Probeer de x-waarden zo nauwkeurig mogelijk in te stellen voordat je de y-waarde en de helling invult.
x-waarde
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y-waarde helling van de grafiek
Om te zien of er een verband bestaat tussen de helling van de grafiek van f ( x) x 2 en de bijbehorende x-waarde moet je de grafiek van de helling tekenen in het assenstelsel op de volgende bladzij. De grafiek van van f(x) is ook alvast getekend.
Beantwoord de volgende vragen: Geef de formule die hoort bij de grafiek van de helling (de hellingsgrafiek) ............................................................................ f(x) is een kwadratische functie, de grafiek is een parabool. Wat voor soort grafiek is de hellingsgrafiek? ............................................................................ Wat voor soort functie hoort bij de hellingsgrafiek? ............................................................................ Als de grafiek van f(x) daalt (links van de Y-as) wat is er dan met de hellingsgrafiek aan de hand? ............................................................................ En als de grafiek van f(x) stijgt? ............................................................................
Oefening 20 Plot de grafiek van g ( x) x 3
En doe hetzelfde als we met de grafiek van f ( x) x 2 gedaan hebben. Vul onderstaande tabel in en teken in onderstaand assenstelsel weer de hellingsgrafiek. Beantwoord ook weer de vragen. x-waarde
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y-waarde helling van de grafiek
Geef de formule die hoort bij de grafiek van de helling (de hellingsgrafiek) ............................................................................ g(x) is een derde machtsfunctie. Wat voor soort grafiek is de hellingsgrafiek? Wat voor soort functie hoort bij de hellingsgrafiek? ............................................................................ De grafiek van g(x) stijgt alleen maar. Hoe zie je dit terug in de hellingsgrafiek? ............................................................................
Uit het voorgaande blijkt dat er een verband bestaat tussen de grafiek en zijn helling. Het tekenen van de hellingsgrafiek laat dit verband zien. De TI-nspire kan bij elke grafiek de grafiek van de helling zelf tekenen. De manier is eigenlijk eenvoudig: Vul in het formule-invoer-veld de functie in waarvan je de hellingsfunctie wilt plotten. We nemen nu als voorbeeld de functie g ( x) x 3 Stel het venster in op –5 < X < 5 en –70 < Y < 70
d f1(x) dx –toets gebruiken.
Voer vervolgens in f2(x)= Hierbij moet je de
t
De TI tekent meteen de hellingsgrafiek:
Wil je nu de hellingsgrafiek van bijvoorbeeld f ( x) 5 x3 15 x 2 30 plotten dan hoef je alleen f1(x) aan te passen:
Oefening 21 Plot nu de hellingsgrafiek van g ( x) 5 x3 15 x 2 30 . Probeer de verschillen en overeenkomsten met de hellingsgrafiek van f(x) hierboven te verklaren.
Oefening 22 In de volgende afbeeldingen staat steeds de grafiek van een functie. Maak telkens een schets van de hellingsfunctie.
Oefening 23 Hieronder zijn een paar grafieken getekend van de hellingsfunctie. Maak een schets in elk assenstelsel van de functie zelf.
Oefening 24 Geef in de grafieken van oefening 22 steeds aan waar de helling 0 is en waar de helling het grootst is.
Differentiëren
We hebben gezien dat de hellingsfunctie altijd één graad lager is dan de originele functie. Als f ( x) x 2 dan was de hellingsfunctie (meestal ‘afgeleide functie’ of ‘afgeleide’ genoemd) gelijk aan 2x. We noteren de hellingsfunctie of afgeleide functie als f’(x). Dus als f ( x) x 2 dan is f '( x) 2 x Verder hebben we hiervoor ook al gezien dan als f ( x) x 3 dat f '( x) 3 x 2 Als je te maken hebt met machtsfuncties dan kun je heel makkelijk, zonder GRM, de hellingsfunctie bepalen. Regel voor het bepalen van de afgeleide functie: Als f ( x) x n dan is f '( x) n x n 1 Voorbeeld :
f ( x) x8 dan is f '( x) 8 x81 8 x 7
Oefening 25 Bepaal van de onderstaande functies de afgeleide functie: a f ( x) x 4 b g ( x) x10 c h( x ) x 5 x 8
We breiden de bovenstaande regel een beetje uit: als f ( x) c x n dan is f '( x) c n x n 1 Voorbeeld:
f ( x) 5 x 3 dan is f '( x) 5 3 x31 15 x 2
Oefening 26 Bepaal de afgeleide functie van onderstaande functies: a f ( x) 4 x3 d f ( x) 4 x 10 b f ( x) 15 x e f ( x) 3x 4 4 x5 c f ( x) 3 x 2 f f ( x) 7 x3 5
Raaklijnen
Met de rekenmachine is het vrij makkelijk om een raaklijn aan een grafiek te tekenen en de vergelijking van de raaklijn te vinden. Zonder GRM is dit ook niet zo moeilijk. Je hebt een formule nodig en de helling van de grafiek. Voorbeeld: Uitwerking:
Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f ( x) 4 x 3 x 2 in het punt met x = 1 Eerst de helling van f(x) in x = 1 bepalen met de hellingsfunctie. f '( x) 4 3 x 2 2 x 12 x 2 2 x Hellingsfunctie: Bij x = 1 is de helling f '(1) 4 3 12 2 1 10 En bij x = 1 is de functiewaarde: f (1) 4 13 12 3 En de vergelijking van de raaklijn wordt nu: y 10 ( x 1) 3 Herleiden: y 10 x 10 3 en dus y 10 x 7
De algemene wiskundige regel: De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in het punt met x = a is:
y f '(a ) ( x a) f (a)
Oefening 27 Gegeven is de functie f ( x) 2 x 2 a Bepaal, zonder gebruik te maken van de GRM, de vergelijking van de raaklijn bij x = 1 b Controleer met de GRM of het antwoord dat je bij a gegeven hebt juist is.
Oefening 28
2x 1 x 1 Bepaal met de GRM de helling van de grafiek van g(x) bij x = 4 Bepaal de vergelijking van de raaklijn zonder gebruik te maken van de GRM.
Gegeven is de functie g ( x) a b
Oefening 29 Gegeven is h( x) 0,5 x 4 4 x 2 a Bepaal het functievoorschrift van de afgeleide functie. b Bereken de helling van h(x) bij x = 3. Daalt of stijgt de grafiek bij x = 3? En bij x = 1? c Bereken ook de helling van h(x) bij x = 2. Daalt of stijgt h(x) hier?
Oefening 30 Gegeven is de functie f ( x) x 2 4 x a Bepaal f’(x) b Welke helling heeft de grafiek van f(x) als je precies in de top van de grafiek kijkt? c Voor welke waarde van x is f’(x) = 0 ? d Bereken de coördinaten van de top van f(x). e Controleer je antwoord met de GRM.
Gemengde oefeningen 1 Hieronder staan grafieken. Geef steeds aan of de bijbehorende functies even, oneven of geen van beide zijn.
2 Schets hieronder in de assenstelsels achtereenvolgens de grafiek van een even functie, een oneven functie en een functie die geen van beide is (eigen inbreng, niet de functies van de vorige opdracht!)
3 Gegeven is de functie f ( x) 2 x 3 96 x a Ga met een berekening na of f(x) even, oneven of geen van beide is. b Bereken de snijpunten met de Y-as c Bereken de snijpunten met de X-as. d Maak een tabel en teken de grafiek. e Geef het domein van f(x) f Bepaal f’(x) g Bereken voor welke x er geldt f’(x)=0 h Geef de coördinaten van de toppen van f(x).
4 Gegeven is de functie g ( x) 4 x 2 6 x en het punt P(1 , –2) a Laat zien dat het punt P op de grafiek van g(x) ligt. b Bereken de helling van de grafiek in dit punt (met de GRM of anders). c Geef de vergelijking van de raaklijn in P aan de grafiek .
5 Gegeven is de functie f ( x) 4 x 2 6 Geef steeds het functievoorschrift g(x) van de beeldgrafiek als: a de grafiek van f(x) over 2 eenheden naar boven geschoven wordt. b de grafiek van f(x) over 3 eenheden naar links geschoven wordt. c de grafiek van f(x) verticaal met 3 vermenigvuldigd wordt. d de grafiek van f(x) horizontaal met 4 vermenigvuldigd wordt. e de grafiek van f(x) eerst 4 eenheden naar rechts geschoven wordt en dan verticaal met 2 vermenigvuldigd wordt. f de grafiek van f(x) eerst verticaal met 2 vermenigvuldigd wordt en daarna 4 eenheden naar rechts geschoven wordt.
6 Een productiemaatschappij maakt CD’s en rekent een prijs per CD die afhankelijk is van het te leveren aantal. Het verband wordt gegeven door: p 0, 003q 16, 25 Hierin is p de verkoopprijs per CD en q het aantal CD’s. De productiekosten K van één CD (in euro’s) hangen af van het aantal CD’s dat gemaakt wordt. Dit verband wordt gegeven door de formule: 4500 K 0, 25 q a b c d e f
Bereken de winst per CD bij q = 5000. Hoe groot is dan de totale winst? 4500 direct de winst Leg uit dat je met de formule W 0, 003q 16, 00 q uit kunt rekenen bij elk aantal geproduceerde CD’s. Hoe groot is de maximale winst per CD? Schets in één figuur de grafieken van p, K en W. Geef in je tekening aan hoe je het antwoord van opdracht c) zowel in de grafieken van p en K als in de grafiek van W kunt terugvinden. De formule voor de totale winst is TW 0, 003q 2 16, 00q 4500 . Is de totale winst ook maximaal als de winst per CD maximaal is? Licht je antwoord toe.
7 Gegeven is de functie h( x) x 4 1,5 x3 x 2 a Plot en schets de grafiek van h(x) waarbij –1,5 < x < 2,5 b Geef in de schets nauwkeurig aan waar de grafiek toenemend stijgend, afnemend stijgend, toenemend dalend, afnemend dalend of constant is.
8 Van een product is de opbrengst TO gegeven door de formule TO 48q 0, 006q 2 waarbij q het aantal verkochte artikelen is en TO de totale opbrengst in euro’s. a b c d e f
Plot de grafiek van TO. Vensterinstellingen opschrijven. Voor welke waarden (ongeveer) van q is de bovenstaande formule zinvol? Bereken de opbrengst bij 2000 producten. Bereken de extra opbrengst als de productie toeneemt van 2000 tot 2001 stuks. Bepaal de helling van de grafiek bij q = 2000. Wat valt op? Bij welke aantallen geproduceerde artikelen is de extra opbrengst minder dan 25 euro?
9 Een vuurpijl wordt afgeschoten. De baan van de pijl wordt door de volgende functie beschreven: h 3t 2 37.5t Waarin h de hoogte is waarop de vuurpijl zich bevindt na t seconden. a b c d
Plot en schets de grafiek van de hoogte. Na hoeveel seconden komt de vuurpijl weer op de grond? Wat is de maximale hoogte van de vuurpijl? Na hoeveel seconden is de snelheid van de vuurpijl het grootst?
10 Gegeven zijn de functies f ( x) x 2 10 x 27 en g ( x) x 2 2 x a Bereken (zonder GRM) de nulpunten van f(x). b Bereken (zonder GRM) de coördinaten van de top van f(x). c Doe hetzelfde voor g(x) d Welke translatie(s) moet je toepassen op de grafiek van f(x) om de grafiek van g(x) als beeld te krijgen?
11
2 x 18 x5 Bereken de snijpunten van de grafiek met de assen (dus zonder GRM). Geef de vergelijking van de horizontale asymptoot. Geef ook de vergelijking van de verticale asymptoot. Maak een tabel en teken de grafiek.
Gegeven is de functie f ( x) a b c d
12 Een bepaalde tropische koorts veroorzaakt een kortdurende verandering van de lichaamstemperatuur van de patiënt. Het verloop van de lichaamstemperatuur wordt beschreven door de volgende formule: T 37 0, 2 (5 d ) d 2 Hierbij is T de temperatuur in C en d het aantal uren dat de patiënt ziek is. Als de patiënt weer een temperatuur heeft van 37C is de koortsaanval voorbij, daarna geldt de formule ook niet meer. a Bereken na hoeveel uur de koortsaanval voorbij is. b Bereken na hoeveel tijd de patiënt de maximale temperatuur bereikt en geef deze temperatuur ook. Een lichaamstemperatuur van boven de 40C wordt vaak als kritiek gezien. c Bereken hoelang (in minuten nauwkeurig) de situatie van de patiënt kritiek is.
13 Gegeven zijn de functies f ( x) x 2 3 x 2 en g ( x) 4 x 7 . a Bereken de nulpunten van de grafiek van f. b Bereken de coördinaten van de top van de grafiek van f. c Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f en g. Rond de coördinaten zo nodig af op twee decimalen. d Los op: f ( x) g ( x)
14 Gegeven zijn de functies f ( x) x3 3 x 2 x 4 en g ( x) 2 x 3 . a Teken op roosterpapier de grafieken van f en g voor 1 x 3 b hoeveel nulpunten heeft f op het interval 1 x 3 ? c Bereken de coördinaten van de snijpunten van f en g op 3 decimalen nauwkeurig. d Bereken exact (zonder GRM) het nulpunt van g. e Bereken (met GRM) alle nulpunten van f, op 3 decimalen nauwkeurig. f Bereken de coördinaten van het maximum op 1 x 3
Antwoorden Oefening 1 a f ( x) 3 2 x 2 is even b f ( x) 5 x3 10 x is oneven c f ( x) 5 x 3 10 x 5 ? Niet even en niet oneven. d e f
2x2 1 is oneven x f ( x) 10 x is niet even en niet oneven f ( x) x 2 5 x3 lijkt oneven maar de functie is niet oneven en niet even!
f ( x)
Oefening 2 a f ( a ) 3 2a 2 f (a) 3 2(a ) 2 3 2a 2 b f (a) 5a 3 10a f (a ) 5(a )3 10 a 5a 3 10a c f (a) 5a 3 10a 5 f ( a) 5( a)3 10 a 5 5a 3 10a 5 d
e f
2a 1 a 2(a ) 2 1 2a 2 1 2a 2 1 f (a ) a a a f (a) 10 a
f (a) f ( a) dus f(x) is even f (a) f ( a) dus f(x) is niet even f (a) f ( a) dus f(x) is niet even
2
f (a)
f ( x) 10 a 10 a f (a) a 2 5a 3 f (a ) ( a) 2 5( a )3 a 2 5a 3
f (a) f ( a) dus f(x) is niet even
f (a) f ( a) dus f(x) is niet even f (a) f ( a) dus f(x) is niet even
Oefening 3 a f ( a ) 3 2a 2 f (a) 3 2(a ) 2 3 2a 2 f (a) f ( a) dus f(x) is niet oneven. 3 b f (a) 5a 10a f (a ) 5(a )3 10 a 5a 3 10a f (a) f ( a) dus f(x) is oneven. 3 c f (a) 5a 10a 5 f ( a) 5( a)3 10 a 5 5a 3 10a 5 f (a) f ( a) dus f(x) is niet oneven. d
e
2a 2 1 f (a) a 2(a ) 2 1 2a 2 1 2a 2 1 f (a ) a a a f (a) 10 a f ( x) 10 a 10 a
f
f ( x) a 5a 2
3
f (a) f (a) dus f(x) is oneven.
f (a) f (a) dus f(x) is niet oneven.
f (a ) ( a) 2 5( a )3 a 2 5a 3
f (a) f ( a) dus f(x) is niet oneven.
Oefening 4 a f (a) 3a 2 2a f (a) 3(a) 2 2 a 3a 2 2a Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. 3a 2 2a f (a) b a 3( a) 2 2 a 3a 2 2a f (a ) a a Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. c f (a) 3a 5 f (a ) 3 a 5 3a 5 Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. f (a) 3a 5 d
f (a) 3 a 5 3a 5 Niet gelijk, niet tegengesteld dus f(x) is niet even en niet oneven. Oefening 5 a
g ( x) 2 x3 3
e
g ( x) 2 x 2 5 x 3 3 2 x 2 5 x
b
g ( x) 2 x 3 10 5 2 x 3 15
f
c
g ( x) 10 2 x 2 3 13 2 x 2
g
g ( x) 2 x 2 5 x 3 3 3 g ( x) 13 2x 4
d
g ( x) 2 x 2 5 x 3 5 2 x 2 5 x 2
Oefening 6 a g ( x) 2( x 6)3
d
g ( x) 2( x 5) 2 5( x 5) 3
g ( x) 2( x 3) 2 5( x 3) 3 3 3 g ( x) 2( x 13) 4 2 x 22
b
g ( x) 2( x 3)3 10
e
c
g ( x) 10 2( x 2) 2
f
Oefening 7 a
g ( x) 4 (3 2 x ) 12 8 x
b
g ( x) 2(5 x3 10 x) 10 x3 20 x d
2
2
c
2 x2 1 8x2 4 g ( x) 4 x x
g ( x) 10
10 x 10 10 x
Oefening 8 a g ( x) ( x 4) 2 b h( x) ( x 4) 2 3 c k ( x) 2( x 4) 2 6 d zie hiernaast. e Bij verschuiven, horizontaal en vertikaal, blijft de vorm van de grafiek gelijk. Bij vermenigvuldigen verandert de vorm van de grafiek meestal. f De nulpunten (snijpunten met de X-as) blijven op hun plaats bij verticale vermenigvuldiging.
Oefening 9
c
x f ( x) 3 2( ) 2 3 2( 13 x) 2 3 92 x 2 3 x x f ( x) 5( )3 10( ) 5( 12 x)3 10( 12 x) 85 x3 5 x 2 2 3 f ( x) 4 4 x 16 x3
d
f ( x) 10
a b
Oefening 10
x 10 101 x 10
Oefening 11 f ( x) verticaal verm. met 0,5 g ( x) a g ( x) verticaal 4 eenheden omhoog schuiven h( x) h( x) horizontaal 2 eenheden naar re schuiven k ( x)
b
c d
De grafiek van k(x) lijkt op de grafiek van y x 2 k ( x) ( x 2) 2 4( x 2) 4 k ( x) x 2 4 x 4 4 x 8 4 k ( x) x 2 4 x 4 x k ( x) x 2
oefening 12 a zie hiernaast b k ( x) x c
l ( x) x
d
m( x ) x x
Oefening 13 a Vensterinstellingen opschrijven!!
oefening 14
oefening 15 a Vensterinstellingen!
b
oefening 16 a De grafiek van f ( x) x 2 4 ligt helemaal boven de X-as, het is immers een dalparabool. De absoluutstrepen hebben dan dus geen invloed! b De grafiek van f ( x) x 2 4 ligt gedeeltelijk onder de X-as (bergparabool!!) De grafiek van g ( x) x 2 4 ligt boven de X-as (behalve de nulpunten). f ( x) x 2 4 is dus niet gelijk aan g ( x) x 2 4 .
Oefening 17 a zie hiernaast Vensterinstellingen opschrijven!! b De grafiek is eerst afnemend dalend, dan toenemend stijgend, dan afnemend stijgend en tenslotte toenemend dalend.
Oefening 18 a zie hiernaast (vensterinstellingen!) b De grafiek is steeds afnemend stijgend
Oefening 19 a zie hiernaast ( ……………….!) b De grafiek is eerst afnemend stijgend en dan toenemend dalend. c Tussen de stijging en de daling loopt de grafiek héél kort horizontaal
Oefening 20 –4 x 64 y 48 helling
–3 27 27
–2 8 12
–1 1 3
0 0 0
1 1 3
2 8 12
3 27 27
4 64 48
Oefening 21 De helling-grafiek van g ( x) 5 x3 15 x 2 30 is exact dezelfde als de hellingsgrafiek van f ( x) 5 x3 15 x 2 30 . Het verschil tussen f(x) en g(x) is alleen maar een verticale verschuiving van 60 eenheden. De helling van de beide grafieken is niet veranderd!
Oefening 22
Oefening 23
Oefening 24 Zie afbeeldingen hierboven. Grootste helling: Bij het de kruisjes Helling 0 bij de open rondjes.
Oefening 25 a f '( x) 4 x 5
b
Oefening 26 a f '( x) 4 3 x 2 12 x 2 b f '( x) 150 x 9 c f '( x) 6 x1 6 x
g '( x) 10 x 9
c
d e f
h '( x) 5 x 4 8 x 7
f '( x) 4 f '( x) 12 x 3 20 x 4 f '( x) 21x 2
Oefening 27 a f '( x) 4 x raaklijn:
b
f '(1) 4 1 4 en f (1) 2 12 2 y f '(a ) ( x a ) f (a ) y 4 ( x 1) 2 y 4x 2 Grafiek plotten (venster!), punt op de grafiek maken, raaklijn laten tekenen en dan helling van de raaklijn meten. Daarna de lijn y 4 x 2 erbij plotten.
Oefening 28 a Grafiek plotten (venster!), punt op de grafiek maken, raaklijn laten tekenen en dan helling van de raaklijn meten. Bij x = 4 is de helling ongeveer –0,333 b Je weet nu f '(4) 0,333 en f (4) 3 Dus de raaklijn in (4 , 3) wordt: y 0,333 ( x 4) 3 dus y 0,333 x 4,332 Oefening 29 Gegeven is h( x) 0,5 x 4 4 x 2 a h '( x) 2 x 3 8 x b h '(3) 2 33 8 3 54 24 30 Bij x = 3 daalt de grafiek want de helling is negatief. h '(1) 2 13 8 1 2 8 6 Bij x = 1 stijgt de grafiek, de helling is immers positief. c h '(2) 2 23 8 2 16 16 0 h(x) daalt niet en stijgt ook niet. De grafiek loopt horizontaal.
Oefening 30 Gegeven is de functie a f '( x) 2 x 4 b Precies op de top van de grafiek (bergparabool!) loopt de grafiek horizontaal. De helling is daar dus 0. c f’(x) = 0 2 x 4 0 2 x 4 x2 Dus voor x = 2 is f’(x) = 0, ofwel de top zit bij x = 2. d f (2) 22 4 2 4 coördinaten van de top: (2 , 4) e zie hiernaast.
Uitwerking gemengde oefeningen
1 De grafieken zijn achtereenvolgens oneven, even en geen van beide.
2 De oneven grafiek moet te puntspiegelen zijn in de oorsprong, De even grafiek moet spiegelsymmetrisch zijn in de Y-as. Een grafiek die noch even noch oneven is, mag dus niet aan één van bovenstaande eisen voldoen.
3 a
b c
f (a) 2a 3 96a f (a ) 2( a)3 96 (a) f (a ) 2a 3 96a f ( a ) (2a 3 96a) 2a 3 96a f (0) 2 03 96 0 0 2 x 3 96 x 0 2 x( x 2 48) 0 2 x 0 ( x 2 48) 0 x 0 of x 48 of x 48
f (a) f (a) dus niet even f (a) f (a) dus f(x) is oneven. snijpunt met de Y-as is (0 , 0)
snijpunten met de X-as: (0, 0) , ( 48, 0) en ( 48, 0)
d x y
–10 1040
–8 256
–6 -144
–4 -256
–2 -176
0 0
2 176
4 256
e
Df
f g h
f '( x) 6 x 2 96 f’(x) = 0 6 x 2 96 0 6 x 2 96 x 2 16 en x 4 x 4 f (4) 2 43 96 4 256 en f (4) 256 Dus de coördinaten van de toppen zijn (4 , 256) en (–4 , –256)
6 144
8 -256
4 a b
c
g (1) 4 12 6 1 2 dus P(1 , –2) ligt op de grafiek. Met GRM: -plotten, -punt op grafiek maken -raaklijn in dat punt maken -helling meten Zonder GRM: g '( x) 8 x 6 g '(1) 8 1 6 2 helling in P is dus 2 raaklijn: y g '(1) ( x 1) g (1) y 2 ( x 1) 2 y 2x 4
5 a b c d e
g ( x) 4 x 2 4 g ( x) 4( x 3) 2 6 g ( x) 3 (4 x 2 6) 12 x 2 18 1 x x2 g ( x) 4 ( ) 2 6 4 6 x 2 6 4 16 4 2 g ( x) 2 4( x 4) 6 8( x 4) 2 12
6 a
b
4500 4500 0, 25 0, 25 1,15 q 5000 p 0, 003q 16, 25 0, 003 5000 16, 25 1, 25 euro Prijs per CD: Winst per CD: 1,25 – 1,15 = 0,10 euro Totale winst is dus 5000 · 0,10 = 500 euro Winst per CD is : 4500 W p K (0, 003q 16, 25) ( 0, 25) q Haakjes wegwerken vereenvoudigen: 4500 W 0, 003q 16, 25 0, 25 q 4500 W 0, 003q 16, 00 q Productiekosten per CD:
K
c
De maximale winst per CD is het maximum van W. GRM, formule invoeren, plotten, grafiek analyseren, maximum. Geeft ( 1.22E+3,8.64 ) als maximum: Venster: –1 < X < 5000 en –1 < Y < 10
d
De maximale winst per CD wordt behaald bij een productie van 1220 CD’s. De maximale winst bedraagt 8,65 euro. Venster: –1 < X < 5000 en –1 < Y < 17
e
f
In de grafiek van W is het gewoon het maximum in de grafiek. In de grafieken van p en K is het punt te vinden door de pgrafiek evenwijdig te verschuiven totdat het de raaklijn is geworden aan de grafiek van K. De totale winst is niet maximaal als de winst per CD maximaal is. De winst per CD was maximaal bij een productie van 1220 stuks. GRM, formule invoeren, plotten, grafiek analyseren, maximum. Geeft ( 2.67E+3,1.68E+4 ) als maximum. De totale winst is dus maximaal bij een productie van 2670 stuks. De totale winst is dan 16800 euro.
7 a
venster en
–1,5 < x < 2,5 –3 < y < 3
b
Voor –1,5 < x < 0 is de grafiek afnemend stijgend. Voor 0 < x < 0,8 is de grafiek toenemend stijgend Voor 0,8 < x < 1,47 is de grafiek afnemend stijgend En voor 1,47 < x < 2,5 is de grafiek toenemend dalend.
