REKENEN MET
MACHTEN 5N4p
EEBII 2013 ©GGHM
Inhoud
Herhaling: Exponentiele groei .................................................................... 3 Negatieve Machten ...................................................................................... 5 Gebroken machten....................................................................................... 7 Extra Oefeningen......................................................................................... 9 Hogere-machts functies ............................................................................... 10 Overzicht van de regels ............................................................................... 12
2
Herhaling: Exponentiële groei Bacteriën planten zich voort door tweedeling. Elke bacterie brengt twee nieuwe bacteriën voort door zich te delen. Bij een geschikte constante temperatuur kan de groei van het aantal bacteriën als volgt verlopen: tijd in uren aantal bacteriën
0 600
1 1200
2 2400
3 4800
4 9600
5 19200
6 38400
Het aantal bacteriën wordt elk uur twee keer zo groot. Dat zie je door opeenvolgende waarden in de tabel op elkaar te delen: 1200 2400 4800 9600 19200 38400 = = = = = =2 600 1200 2400 4800 9600 1920 Je moet dus steeds met factor 2 vermenigvuldigen om het volgende aantal te vinden: op tijdstip 0 (begin van het experiment) zijn er 600 bacteriën; na 1 uur zijn er 600 · 2 bacteriën; na 2 uur zijn er 600 · 2 · 2 = 600 · 22 bacteriën; na 3 uur zijn er 600 · 2 · 2 · 2 = 600 · 23 bacteriën; na 4 uur zijn er 600 · 2 · 2 · 2 · 2 = 600 · 24 bacteriën; enzovoort. Het aantal bacteriën groeit exponentieel met groeifactor 2 per uur. Voor het aantal bacteriën B na t uur geldt in dit geval de formule B(t) = 600 · 2t. Je ziet dat er machten worden gebruikt voor het herhaaldelijk vermenigvuldigen. In dit geval zijn het machten met grondtal 2, dit getal is de groeifactor per uur. Omdat de variabele t in de exponent zit, spreek je van exponentiële groei. De algemene formule die bij exponentiële groei hoort is: waarbij
N = B ⋅ gt
N = aantal op tijdstip t, B = begin-hoeveelheid g = groeifactor per tijdseenheid t = tijdstip
Opdracht 1 Deze opdracht gaat over het voorbeeld hierboven. a Wat versta je onder de 'groeifactor' per uur van het aantal bacteriën? b Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij? c Hoeveel bacteriën heb je na 12 uur? En hoeveel heb je er een uur later? d Hoeveel bacteriën heb je 3 uur later dan 12 uur na t0? De formule voor de bacteriegroei hierboven is B(t) = 600 · 2t. e Breng deze formule in beeld op je grafische rekenmachine. Zorg er voor dat er minstens 24 uur bacteriegroei in beeld komt. f Hoeveel bacteriën zijn er na 20 uur? g Op welk tijdstip zijn er meer dan 60000 bacteriën? h Op welk tijdstip is het aantal bacteriën dan weer verdubbeld (dus 120000 geworden)? Leg uit hoe je dat hebt berekend.
3
Opdracht 2 Het aantal inwoners van een dorp groeit volgens de formule N = 67000 · 1,024t. Hierin is: t de tijd in jaren, N het aantal inwoners van het dorp (afgerond op duizendtallen), t = 0 in het jaar 2000. a b
Met hoeveel procent per jaar groeit het aantal inwoners van het dorp volgens deze formule? In welk jaar heeft het dorp meer dan 100.000 inwoners als deze groei zo doorgaat?
Opdracht 3 Een krant zag in een reeks van jaren het aantal jaarabonnementen dalen. jaartal aantal abonnementen (×1000)
a
b
2000 970
2001 941
2002 913
2003 885
2004 859
2005 833
Stel op grond van deze tabel een zo goed mogelijk passende formule op die het verloop van het aantal duizenden abonnementen A als functie van de tijd t in jaren beschrijft. Neem t = 0 in het jaar 2000. Als het aantal jaarabonnementen onder de 500.000 zakt raakt de krant in problemen. In welk jaar is dat het geval als dit verloop niet wijzigt?
4
Negatieve machten We gaan nog even terug naar het eerste voorbeeld met de bacteriën. De beginhoeveelheid was 600 bacteriën, dat was op het tijdstip t = 0. Die 600 bacteriën zijn ook ergens vandaan gekomen, voordat er begonnen werd met het aantal bacteriën bij te houden waren er ook al een aantal bacteriën bij elkaar. Hoeveel bacteriën waren er 1 uur voordat men begonnen is? Of 2 uur voordat men begon te tellen, of hoeveel uur voor het begin van het experiment waren er minder dan 100 bacteriën? In de tijd vóór het begin van het experiment is de waarde van t negatief. Dus 1 uur voor het tijdstip 0 is t = −1, en 2 uur ervoor is t = −2, enz. Deze waarden kun je gewoon invullen in de formule en met de rekenmachine berekenen: t=0 B (0) = 600 ⋅ 20 = 600 t = −1 B (−1) = 600 ⋅ 2−1 = 300 t = −2 B (−2) = 600 ⋅ 2−2 = 150 etc. Schijnbaar kun je ook negatieve machten berekenen. Laten we eens kijken hoe we met machten rekenen, we nemen 5 als grondtal: 55
=
5·5·5·5·5 =
3125
54
=
5·5·5·5
=
625
53
=
5·5·5
=
125
52
=
5·5
=
25
51
=
5
=
5
0
=
1
=
1
=
??
=
??
5−2
=
??
=
??
5−3
=
??
=
??
5 5
−1
:5 :5 :5 :5 ? ? ? ?
De vraag is nu natuurlijk hoe we de open plaatsen invullen. Nou heel eenvoudig, we gaan door op de manier zoals we begonnen zijn; we delen steeds door 5 (het grondtal) en de uitkomsten schrijven we als machten. = 5 51 = 5 Hierbij moeten we dus breuken gebruiken. :5 Het laatste stukje van de tabel wordt nu dus:
5
50
=
1
5−1
=
1 5
=
1 5
5−2
=
1 52
=
1 25
5−3
=
1 53
=
1 125
= 1
:5 :5 :5 :5
Als je dus een getal tot een negatieve macht uit moet rekenen dan komt dat er op neer dat je 1 gedeeld door het getal tot de positieve macht uit moet rekenen.
6−2 =
Voorbeelden:
1 1 = 2 6 36
5−4 =
De algemene regel is dus:
g −a =
En je moet onthouden:
g0 =1
Opdracht 4 Bereken zonder rekenmachine: a 2−4 = b 4−3 = c 1−3 =
1 54
etc.
1 ga
( g ≠ 0)
10−2 = 10−5 =
d e
Bij het rekenen met (positieve) machten hadden we de volgende regels: g a ⋅ g b = g a +b
(g )
a b
= g a⋅b
Vooral bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen met variabelen was dit erg makkelijk: x3 ⋅ x 4 = x 7 zo is en
(x )
of
ab3 ⋅ a 2 = a 2b3
2 4
= x8
De regels gelden nu nog steeds, ook met negatieve machten! x −3 ⋅ x 6 = x 4 dus 2 −2 en ( x−3 ) = x−6 = x16 of ( x −3 ) = x6
Opdracht 5 Bereken, vereenvoudig en schrijf het antwoord zonder negatieve macht: x −2 ⋅ x3 ⋅ x 4 = a 2b −2 = a e b
x −3 ( x 4 y 2 ) =
f
c
x5 ⋅ x −5 =
g
d
a ⋅ b ⋅ a −5c3 ⋅ a 3 =
h
6
(a
)
−2 2 3
b
=
a −2 ( a 2 b − a 3 b 2 ) =
x −2 y −3 ( x 4 y 5 + x 5 y −1 ) =
Opdracht 6 Schrijf zonder negatieve machten, denk goed na! a 5 ⋅ x 2 ⋅ y −2 =
b
1 3
−1
⋅ ( a −2 ⋅ b 2 ) =
Opdracht 7 Schrijf met negatieve macht: 5 a x3 1 b 5x 2
c
2 x −3 ⋅ 3x =
d
2x −3 ⋅ 13 x =
6x = 3x 4 2 x2 y = 3xy 6
c d
Gebroken machten We gaan weer terug naar het voorbeeld van de bacteriën. De bijbehorende formule was: B(t) = 600 · 2t Met deze formule kun je het aantal bacteriën uitrekenen na een bepaald aantal uren. In de tabel hebben we dat gedaan voor 1, 2, 3, 4, 5 of 6 uur. Hoe zit dat nu met het aantal bacteriën na bijvoorbeeld 12 uur, 75 uur of 1 12 uur? Je kunt dan gewoon invullen in de formule en met de rekenmachine uitrekenen: 1 B( 12 ) = 600 ⋅ 2 2 ≈ 849 t = 12 t=
5
B( 75 ) = 600 ⋅ 2 7 ≈ 984
5 7
11
B( 12 ) = 600 ⋅ 2 2 ≈ 1697
t = 1 12
Laten we eens kijken hoe dit precies in elkaar zit, we kijken even naar de tabel die bij de functie B (t ) = 600 ⋅ 2t hoort. tijd in uren aantal bacteriën
0
1 2
600
1
3
4
5
6
1200
4800
9600
19200
38400
De factor waarmee je moet vermenigvuldigen om het aantal na een 12 uur te berekenen noemen we even g. Je zou nu dus kunnen zeggen dat g ⋅ g = 2 oftewel g² = 2 (waarom??) Als g² = 2 dan is g = 2 1
maar ook g = 2 2 1
dus is 2 2 = 2 Algemeen geldt dat :
1
g = g2
7
Opdracht 8 Bereken zonder rekenmachine: 1 a 42 = b
1
2 ⋅16 2 =
1
32 : 256 2 =
c
Opdracht 9 Schrijf zonder negatieve machten en zonder breuken in de macht: 1 1 −1 a x −2 + x 2 = b x2 ⋅ x 2 = c x 2=
Je weet dat kwadrateren het omgekeerde (inverse) is van worteltrekken, dus 2 ( x) = x of ook x2 = x Zo kun je ook spreken van het omgekeerde van een derde macht, dat is de ‘derdemachts’ wortel trekken. Dat ziet er dan uit als 3 x Het werkt net als bij kwadraten en wortels: want 4 · 4 = 16 16 = 4 en 3 want 3 · 3 · 3 = 27 27 = 3 4 want 5 · 5 · 5 · 5 = 625 625 = 5 etc. Opdracht 10 Bereken nu de volgende wortels, probeer het eerst zonder rekenmachine: 5 a d 169 = 1= 3 4 b e 8= 81 = 5 5 c f 32 = 1024 =
Ook de hogere machts wortels kun je schrijven als een grondtal met een gebroken macht. De regel is:
Voorbeeld:
n
5
1
g = gn 1
10 = 10 5 1
x = x3 etc. 3
Opdracht 11 Schrijf met een gebroken macht: 3 a 8= 4 b 81 =
c d
8
3⋅ 5 x = 3
a=
Extra Oefeningen Opdracht 12 Bereken met de rekenmachine en probeer de uitkomst te verklaren: 8 3 3 = a d 729 = 27 b c
3
−729 =
4
10 ⋅ 4 10 ⋅ 4 10 ⋅ 4 10 =
e
3
84 =
Opdracht 13 Schrijf zonder negatieve of gebroken machten en vereenvoudig zonodig: a
3x 2 ⋅ 2 x −1 ⋅ 23 =
e
( 8x )
b
−8x 3 ⋅ 12 x −1 =
f
4 x ⋅ ( 2 x2 ) =
c
( 2x ) = −3 ( 2x ) =
g
( 4x) ⋅ ( 2x)
d
3
h
1 3
= −1
−2
x
− 12
4
=
=
Opdracht 14 Schrijf de volgende uitdrukkingen met negatieve of gebroken machten: 2x 1 a d 2 x + 2x ⋅ x = − = x3 x 4 1 b = e x4 ⋅ x = x x c = f x⋅ 5 x = x
9
Hogere-machts functies Tot nu toe kennen we eigenlijk alleen de kwadratische functies en hun grafieken goed. Hoe zit dat nu met functies zoals f ( x) = x 3 of f ( x) = x 4 of f ( x) = x5 ?? Je gaat dit onderzoeken aan de hand van de opdracht hieronder:
Opdracht 15 a Plot met de rekenmachine de grafiek van : f ( x) = x 2 h( x ) = x 4 g ( x) = x3 i ( x) = x5 Maak van elke grafiek een schets in de vensters hieronder:
b
Kijk goed naar de vorm van de grafieken. Wat valt er op? Wat heb je gevonden? Vul de algemene regel hieronder verder in:
Als f ( x) = x n en n is een even getal dan heeft de grafiek de vorm van een ………………………. Als f ( x) = x n en n is een oneven getal dan heeft de grafiek de vorm van een ……………………….
10
Opdracht 16 Gegeven is de functie h( x) = x 4 en de horizontale lijn y = 500 a Teken de lijn in de schets van h(x) hierboven. b Hoeveel snijpunten hebben de grafieken? c Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking x 4 = 500 ? d Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking x 4 = 0 ? e Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking x 4 = −1000 Opdracht 17 a Plot en schets de grafiek van f ( x) = x 7 , kies een geschikt venster. b Hoeveel snijpunten heeft de vergelijking x 7 = 10000 ? c Hoeveel snijpunten heeft de vergelijking x 7 = 0 ? d Hoeveel snijpunten heeft de vergelijking x 7 = −5000 ? Opdracht 18 a Schrijf de vergelijking 2 x 4 − 100 = 0 in de vorm x 4 = ............ b Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking 2 x 4 − 100 = 0 ? c Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking 2 x 4 + 100 = 0 ? d Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking 5 x 5 + 40 = −60 ? e En de vergelijking 1,3 x8 + 7, 4 = 10 ? f En de vergelijking 2 x8 + 81 = 81 ?
11
Overzicht van de regels De volgende regels over rekenen met machten moet je kennen:
(g > 0)
Regels
Voorbeelden
g a ⋅ g b = g a +b
53 ⋅ 52 = 55
x 2 ⋅ x −3 = x −1
(ga )
( 52 )3 = 56
( x3 )−2 = x −6
50 = 1
x0 = 1
b
= g a⋅b
g0 =1
g −n =
1 gn
5−3 =
1
1
4
1
5 = 54
1 x2 1
5 = 52
g = gn
f ( x) = x n
x −2 =
1
g = g2 n
1 53
x = x2 3
1
x = x3
-Grafiek heeft ‘paraboolvorm’ als n even is
n>0
-Grafiek heeft ‘glijbaanvorm’ als n oneven is
12
