Machten Inhoud Machten 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Machten en machtsverheffen Even en oneven machten Vermenigvuldigen van machten Delen van machten Macht van een macht Machten van producten Machten van breuken Substitueren (=vervangen van een letter door een getal) Wortels en machten met gebroken exponenten Machten en wortels van een negatief getal Rekenen met machten met gebroken en negatieve exponenten Vergelijkingen met machten
rekenen met machten
1 van 10
Machten 1
Machten en machtsverheffen
53 is een macht ( een macht van vijf) Het uitrekenen van de macht: 53 = 5 ×5 × 5 = 125 noemen we machtsverheffen. Uitspraak: "als ik 5 tot de derde macht verhef, krijg ik 125" Verheffen tot de tweede macht heet ook : kwadrateren: voorbeeld:
62 = 36
spreek je uit als:
"6 in het kwadraat is 36 " of: "als ik 6 kwadrateer, krijg ik 36" 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,..... zijn de kwadraten. De exponent = 3
Namen: 53
Het grondtal = 5
Spreek uit : 'vijf tot de derde' of: 'vijf tot de derde macht' voorbeelden: 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
61 = 6
Afspraak: Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en delen; vermenigvuldigen en delen gaan weer voor optellen en aftrekken. voorbeeld.:
2
5 · 2 3 – 2 · 4 = 5 · 8 – 8 = 40 – 8 = 32
Even en oneven machten:
3
2 noemen we een oneven macht, want de exponent 3 is oneven. 24 is een even macht, want de exponent is even. Een oneven macht van een negatief getal is negatief: (-2) 3 = (-2) × (-2) × (-2) = - 8 Een even macht van een negatief getal is positief: (-3) 4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = +81
rekenen met machten
2 van 10
3
Vermenigvuldigen van machten:
Als we twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen, krijgen we weer een macht met hetzelfde grondtal. De nieuwe exponent is de som van de exponenten: voorbeeld
32 33 = 33 333 = 33333 = 35
dus:
32 33 = 32+3 = 35
Ook:
35 34 = 35+4 = 39 25 26 2 = 25 26 21 = 2 5+6+1 = 2 12 b b3 b2
= b1 b3 b2 = b1+3+2 = b6
4a5 (-2a2) = 4(-2)a5a2 = -8 a7 = -8a7
4
Delen van machten:
Als we twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar delen, krijgen we een macht met hetzelfde grondtal. De exponent is het verschil van de oorspronkelijke exponenten. 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 125 2 55 5 1 5 Het enige dat we gedaan hebben is de teller en de noemer twee maal door 5 delen. De breuk is vereenvoudigd.
voorbeeld:
67 67 3 6 4 3 6
Nu meteen:
64 6 4 3 61 6 3 6
Als we dit idee voortzetten levert dat: 64 6 4 4 60 ; 4 6
64 1 64
maar ook: a0 = 1
In het algemeen geldt:
60 = 1
conclusie:
voor elke a 0
Dit laatste kun je mooi zien in de volgende tabel waarbij de uitkomst steeds 3 keer zo groot is. x 3x
5
-3
-2
-1
1 27
1 9
1 3
1 3
0 1
2 9
3 27
4 81
5 243
Macht van een macht:
Een macht van een macht is een macht met hetzelfde grondtal; de exponent is het product van de exponenten. voorbeeld:
rekenen met machten
(a2)3 = a2·a2·a2 = a2+2+2 = a2·3 = a6
3 van 10
(a5)3 = = a5·3 = a15
en zo meteen:
6
Machten van producten:
Als we een product tot een macht verheffen, moeten we elke factor van dat product tot die macht verheffen. voorbeeld:
(2a)3 = (2a) · (2a) · (2a) = 2·2·2·a·a·a = 8a3
en nu directer:
(-3c)3 = (-3)3·c3 = -27c3 (-2p)4 = (-2)4·p4 = 24p4 = 16p4 (5ab)3 = 125a3b3
7
Machten van breuken:
Als we een breuk tot een macht verheffen moeten we de teller en noemer tot die macht verheffen. 4
voorbeeld:
2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 3 3 3 3 3 3 3 3 34 3
dus:
24 2 4 3 3
Zo ook:
a2 3 b
4
3
4
(a 2 ) 4 a 8 3 4 12 (b ) b
3
8 3 512 2 8 26 Let op: 2 3 ) (= 18 27 27 3 3 3
De regels tot nu toe op een rij:
n
a n a m a nm ;
8
an an n m n m nm n n n a a ; ( a ) a ; ( ab ) a b ; ; a0 1 n m a b b
Substitueren (=vervangen van een letter door een getal):
voorbeeld:
substitueer p = 3 in invullen geeft:
p3 - p2 3 - 3 = 27 – 9 = 18
voorbeeld:
substitueer c=-2 in Invullen levert:
-c2 - c -(-2)2 - (-2) = -4 + 2 = -2
voorbeeld:
substitueer a=-3 in Invullen levert:
a3 + 2a2 (-3)3 + 2(-3)2 = -27 + 29 = -27 +18 = -9
rekenen met machten
3
4 van 10
2
9
Wortels en machten met gebroken exponenten:
Als we de net behandelde regels van machten toepassen op machten met gebroken exponenten levert dat het volgende: 1
1
1
52 52 52
voorbeeld:
1
12
51 5
1
er geldt dus: 52 52 5 we weten ook* dat 5 5 5 * zie het boekje “wortels” 1
1
1
1
23 23 23 23
voorbeeld:
1
1
13 13
}
1
52 5
21 2
1
1 23 23 23 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 Spreek uit: “2 tot de macht één derde is de derdemachtswortel uit 2” 1 In het algemeen geldt: ( a 0 en n 0 en geheel): an n a
er geldt dus: we weten ook dat
}
2
Wat betekent 5 3 ? 2
1
2
1
5 3 5 3 (5 3 ) 2
5 3
2
of:
2
1
5 3 (5 2 ) 3 3 5 2
( 3 25 )
In het algemeen geldt: ( m, n 0 en geheel):
m
a n n a m ( n a )m
Machten met de rekenmachine: hiervoor maak je meestal gebruik van de knop xy of ^ 2
Voorbeeld: 27 3 tik je in als 27^(2÷3) of 27 xy (2÷3) en het antwoord is 9 (ga na).
Denk aan de haakjes: als je tikt 27^2÷3 dan wordt van links naar rechts gerekend 27 2 en krijg je en dat is 243 3 Met de grafische rekenmachines van TI kun je in het menu “math” alle mogelijke wortels berekenen:
5
(0,3) 3 kun je op twee manieren benaderen met de rekenmachine.
1) (-0,3)^(3÷5) ≈ -0,486
2) 5
x
(-0,3^3) ≈ -0,486
In de grafische rekenmachine moet alles onder de wortel tussen haakjes. Oudere boeken en docenten gebruiken vaak de streep (“vlag”) om aan te geven wat onder de wortel staat. bijvoorbeeld
10
10 3 2
is hetzelfde als
(10 3 2) en dat is 4 (ga na).
Machten en wortels van een negatief getal :
Hogeremachtswortels: rekenen met machten
5 van 10
voorbeeld:
3
8 2
want tenslotte is
(-2)3 = -8
maar: 4 16 ? kan onmogelijk want er zou moeten gelden: ( ?)4 = -16 maar dat kan natuurlijk nooit! Conclusie:
11
onevenmachtswortels van negatieve getallen bestaan wel, maar evenmachtswortels van negatieve getallen bestaan niet.
Rekenen met machten met gebroken en negatieve exponenten:
Soms moet je wortels schrijven als macht en omgekeerd. Ook zal je machten moeten kunnen vereenvoudigen. 3
voorbeeld 1: voorbeeld 2:
1
5
12
a 5 (a 5 ) 3 a 3
a 3 : a 2 a 3 :
2
( a 3 a1 a 3 a 3 a 2
)
2
a 1 a 3 a 3 a 2 a 3 2 a 5 2 1 a
in voorbeeld 2 gebruiken we: ”delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde” am a mn n a
Zo zie je dat voor elke m en n (ook negatief!) geldt: nu gaat voorbeeld 2 veel sneller: a 3 : a 2 a 3( 2 ) a 5 1
voorbeeld 3: x 2 x x 2 x 2 x
( 2 12 )
x
2 12
1
1 1 1 a a2 voorbeeld 4: a a 3 1 a2 3 a6 a a3 2 1 23 1 31 2 voorbeeld 5: 8 (23 ) 3 2 3 25 32
3
voorbeeld 6: voorbeeld 7:
12
5 5 1 1 1 5 x 2 5x 2 x x2 x4 36 x 4 36 x 4 4 1 12 21 4 9 x 2 ( 9 x 2 9 1 1 9 x 1 4x x x x2 x2
x)
Vergelijkingen met machten:
A. Vergelijkingen waarbij je het grondtal moet berekenen (machtsvergelijkingen): Je past de rekenregels van de machten toe: voorbeeld 1: x-1 = 7
rekenen met machten
6 van 10
1 7 dus x 17 x andere oplossing: links en rechts tot de macht -1:
oplossing:
x 7 1
( x 1 ) 1 7 1 en ( x 1 ) 1 x 1 1 x1 x geeft voorbeeld 2: oplossing:
1 7
1
x2 3 x 3
geeft (links en rechts kwadrateren) x = 9
andere oplossing: 1 1 1 2 x 2 3 geeft (links en rechts kwadrateren) ( x 2 ) 2 32 dus x 2 x1 x 9 voorbeeld 3: los zonder rekenmachine op: x 2 12
dus het omgekeerde (2 12 ) 1
5 2 5
2
1 2
x 32 2 = (25 ) 5 (25 ) 5
toets in (2 12 )
x
5 2
32
links en rechts tot de macht
1 geeft: 2 12
1
((25 ) 5 ) 2 2 2 4
en nu met de rekenmachine: x
of
1 2 12
2 12
2 12
32 geeft x 32
1 2 12
toets in 32^(1÷ (2 12 ) ) en je krijgt 4.
(32) geeft ook 4 1
x= a n n a . De vergelijking x n a heeft als oplossing Soms is er geen oplossing. Bedenk een voorbeeld Soms is er meer dan één oplossing. Bedenk een voorbeeld B. Vergelijkingen waarbij je de exponent moet berekenen. (exponentiële vergelijkingen) De oplossing van zo'n vergelijking vind je door te proberen links en rechts van het = teken machten met hetzelfde grondtal te krijgen. voorbeeld :
42 3 x 8
Oplossing:
(22 ) 2 3 x 23 dus 2 4 6 x 23
22 ( 2 3 x ) 23 dus dus 4+6x=3
dus x= 16
Opmerking: Als het niet lukt om links en rechts machten met hetzelfde grondtal te krijgen los je deze vergelijkingen op met behulp van logaritmen.
voorbeeld: De oplossing van de vergelijking 2x = 5 is x 2 log(5) dit zit natuurlijk iets boven de 2. Met de rekenmachine tik je in: log(5)÷log(2) ≈ 2,32 We gaan hier niet verder op in.
rekenen met machten
7 van 10
OEFENOPGAVEN (zonder rekenmachine, tenzij anders vermeld) 1 Bereken: a 53 b (-2)3 c (-3)4 d (-1)100
= = = =
2 Bereken: a 2324 = b 54:5 = ( 13 ) 4 = c d
( 52 )3 =
3 Schrijf als(een produkt van) machten: a 2a2bbaa = b 27c3ccc = c 0,001 = 1 d = 81 1 e = 100 000 4 Vereenvoudig: a (ab)4 b (a+b)2 c (-a2b)3 d. (a2+b)2 e. x(-x2)x3
= = = = =
5 Vereenvoudig: a4 = a a2 2
b c d
3a 2 3 4b a 3b 4 = a 2b 8a 3b 4 = 2 a 4b 2
6 Bereken: a 2-3 b 3-2 c 5a-3 d (5a)-3 e (-a)-4 f (-1)3
=
7 Bereken: a ( 12 )3
=
b
1 1 3
( )
=
c
( 14 ) 4
=
d
( 14 ) 4 =
e
( 23 ) 2
8 Schrijf als één macht: a a2a-4 = b b-3b3 = c (x-2)3 = a3 = c a5 x2 d = x 3 9 Schrijf als een macht met negatieve exponent: a 13 = 1 = b x3 c 18 = 10 a b
Schrijf zonder negatieve exponent: = a-2 -1 2 -3 3 a b =
11a
Benader met de rekenmachine: 1 2 12 3 = 12 3 = Bereken (nu weer zonder)
11b
12 1 3
12 a b
= = = = = =
rekenen met machten
=
8 van 10
12
3
1 3
Schrijf als macht: 3 a = 3
x4
=
c
x
d e
x x = x2 3 x =
5
=
6
13 a b c
Schrijf met wortelteken: 1 a4 = 1 13 a = 2 34 a =
14
Bereken:
a b c d e
6 = 3 = 3
c
4
d
4
2 3
1 12
9
=
= =
f g
(52 122 ) 2
a b c d e f
b
9
3
15
16 Schrijf als een som van machten (indien mogelijk): a 3 xx x =
2 2 3 1 4 2
= 1
=
Schrijf als een macht of als een product van machten 1 = x3 3 = x4 3 = x
e 17 a b c
Los op: x 2 36 1 3x 2 12 1 3x 2 5
18 a b
Los op: 3x 3 13 x 9
(a 3 ) = 1 3 x = x 2 x = 3x 2
rekenen met machten
3x 2 x x x 3 x3 x x2 x2 2x x3 4 x 3x3 x
9 van 10
c
2x
d
14 x 1
e f g
2 x 1 32 4 x 1 8 2 x 2 x 32 2 x
1 2
2
= = = =
ANTWOORDEN 1
125, -8, 81, 1
2
27 = 128, 53 = 125,
3
22a3b2, 34c4, 10-3, 3-4, 10-5
4
5
4 4
2
11a 11b 1 81
,
8 125
a b , a +2ab+b (!), -a6b3, a4+2a2b+b2 (!),
2 9a 4 3 4b of 4a-1b2 a, , ab , 6 16b a
6
1 8
,
1 9
, 3,
5 1 , , 3 125a 3 a
,
1 , 1 a4
x 2,
x
16 9
2 13
1 79 , 27, 2 14 , 16, 13 1
1 12
15 x 3 , 3 x 4 , 3 x 2 , a 23
x , 1 2
1 12
2 3
x
,
1 12 2
1
16 3x x , 3 x x 2 , 3x 2 x 3 ,
, 256, 2 14
1
1 8
8
a 2 , b0 1, x 6 , a 2 , x5
17
1 6
9
31 ,
x 3 , 2 3
18
1 2
10
1 , a2
a2 3b 3
kan niet uitgewerkt, 4 x 2 3 x
EINDE
rekenen met machten
11
x 2,
a , a 3 a ( 3 a 4 )
14 216, 9,
7
1 256
21
x3,
a 2 4 a 3 ( 4 a11 )
-x6
2
4
5,241 144
4
1
12 a 3 , 13
2
2,289 12
10 van 10
2 12
en 16 2 oplossingen , 16, , 2, 12 , 0, 4,
1 2
9 25
, 2 12
