FINANČNÍ MATEMATIKA
Jarmila Radová KBP VŠE Praha
Osnova • Jednoduché úročení • Diskontování – krátkodobé cenné papíry – Metody vedení a výpočtu úroku z běžného účtu – Skonto
• Složené úrokování • Budoucí hodnota anuity – spoření
• Současná hodnota anuity – důchody
Literatura • Základní – Radová J., Dvořák P., Málek J.: Finanční matematika pro každého (7. vydání) – Radová J. a kol.: Finanční matematika pro každého - příklady – Radová J., Chýna V., Málek J.: Finanční matematika v příkladech – Cipra T.: Finanční matematika v praxi
Metody finanční matematiky Preference investora při investování: - raději více peněz než méně - raději méně rizika než více - raději (stejná suma) peníze dříve než později
Časová hodnota peněz souvisí s 3. preferencí investora - finanční metoda - slouží k porovnání různých peněžitých částek z různých období - současná a budoucí hodnota peněz - spojena s důležitými finančními pojmy jako úrok a úroková míra
Časová hodnota peněz Úrok odměna za dočasnou ztrátu kapitálu (když jeden subjekt půjčí druhému), za riziko spojené se znehodnocením kapitálu (např. inflací), za nejistotu, že kapitál nebude splacen v dané lhůtě a výši. Úrok je také cena vypůjčeného kapitálu pro dlužníka Úroková míra (sazba) je procentuální vyjádření výše úroku k celkové výši půjčeného kapitálu
Základní druhy úrokové míry • nominální úroková míra –úrokové období
• efektivní úroková míra • zvažovaná úroková míra • vnitřní výnosové procento
Typy úročení dle způsobu připisování úroku - jednoduché úročení - složené úročení
dle doby placení úroku - polhůtní či dekursivní úročení - předlhůtní či anticipativní úročení
Jednoduché úročení polhůtní • úročí se stále pouze základní částka, vyplacené úroky se k ní nepřičítají.
K 0 . p .t ú = 360 . 100
ú = K0 ⋅ i ⋅ n
Doba uložení -v
letech
dny n = délka roku Počet dní v čitateli může být uveden podle kódů: • ACT – skutečný počet dní smluvního vztahu bez prvního dne; • 30E – celý měsíc • 30A – liší se od 30E maximálně o 1den konec smluvního vztahu je na 31. den v měsíci a začátek není 30. nebo 31.den. Délka roku ve jmenovateli je uvedena: • rok jako 365 dnů (resp. 366 v přestupném roce); • rok jako 360 dnů.
Standardy - konvence Kombinace uvedených možností •
ACT/365 (anglická metoda) skutečný počet dnů úrokového období (čitatel) a délka roku 365 (resp. 366) dnů; • ACT/360 (francouzská či mezinárodní metoda) skutečný počet dní v čitateli zlomku, ale délka roku (ve jmenovateli) se započítává jako 360 dnů; • 30E/360 (německá či obchodní metoda) kombinaci započítávání celých měsíců jako 30 dnů (v čitateli) a délky roku (ve jmenovateli) jako 360 dnů.
Příklad • Na kolik se zúročí 10 tis. Kč při různých standardech a úrokové míře 10 % p.a. v období • od 15.1.1996 do 7.9.1996, • od 10.1.1997 do 3.3.1997 a • od 29.10.1999 do 31.12. 1999.
Excell Počet dnů n při různých standardech Od Do ACT 30E 30A ACT/360 ACT/365 30E/360 30A/360 15.1.1996 7.9.1996 236 232 232 0,6556 0,6448 0,6444 0,6444 10.1.1997 3.3.1997 52 53 53 0,1444 0,1425 0,1472 0,1472 29.10.1999 31.12.1999 63 61 62 0,1750 0,1726 0,1694 0,1722 Kn při různých standardech ACT/360 ACT/365 30E/360 30A/360 10 655,56 10 644,81 10 644,44 10 644,44 10 144,44 10 142,47 10 147,22 10 147,22 10 175,00 10 172,60 10 169,44 10 172,22
Excell - vzorce
Základní rovnice pro jednoduché úročení polhůtní • Budoucí hodnota
K n = K 0 ⋅ (1 + i ⋅ n )
• Současná hodnota
K
0
Kn = 1+ i⋅n
• Míra výnosu
Kn − K0 i= K0 ⋅n
Příklad Půjčka ve výši 200 000 Kč se splácí měsíčně částkou 10 000 Kč plus úrok s měsíční úrokovou mírou 1% ze zůstatku. Jaká je celková úroková platba? Výsledek: 21 000
Příklad • Půjčili jste si peníze. • Věřitel Vám nabídne 3 možnosti splácení: – za 11 měsíců 2000, – za 8 měsíců 1900, – za 2 měsíce 200 a za 12 měsíců 1800.
• Kterou možnost zvolíte, činí-li běžná úroková sazba 16 % p.a.? • Výsledek: 2. varianta
Řešení • Přes současnou hodnotu
Kn K0 = 1+ i ⋅ n • 1744,19 • 1716,87 • 1746,53
Příklad • Půjčili jste si 150 000 EUR na dům. Roční úroková sazba je 8,5 %. Měsíčně budete splácet 1208 EUR po dobu 25 let. Jakou hodnotu domu zaplatí první splátka (o kolik se sníží dluh po prvním měsíci splácení)? • Výsledek: 145,50
Řešení: • nejprve zjistíme úrok
ú = K0 ⋅ i ⋅ n • 1062,50 • pak úmor 145,50
Příklad • Zájemce má možnost zaplatit za nákup pozemku – okamžitě 50 000 EUR – za rok 54 000 EUR.
• Hotovost může reinvestovat při úrokové sazbě 7,2 % p.a. • Která varianta je pro něj výhodnější?
Řešení • 3 možnosti – nejčastěji PV Kn K0 = 1+ i ⋅ n
• Lépe okamžitě
Jednoduché úročení předlhůtní diskont - souvisí s eskontem směnek a obchodování s krátkodobými cennými papíry, - diskont je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky - počítá se z budoucí hodnoty pohledávky
Výpočet obchodního diskontu • směnečná suma • diskontní sazba • doba od eskontu do splatnosti
D = K n ⋅ id ⋅ n
Obchodní diskont • Vyplacená částka
K 0 = K n − D = K n ⋅ (1 − i d ⋅ n) • Ekvivalence úrokových měr i id = 1+ i ⋅ n
id i= 1 − id ⋅ n
Grafické znázornění srovnání dvou typů úročení Jednoduché úročení polhůtní
Diskont
K1 = K0.(1 + i.t)
Kob = K1.(1 - d.t) K1
K1 K1.d
K0.i
ú
D K0
K0 0
1 Jaká doba uplynula
0
1 Jaká doba zbývá do
Příklad • Banka odkoupila směnku znějící na 230 000 Kč s dobou splatnosti 1 rok. • Jakou byla diskontní sazba banky, jestliže za směnku vyplatila 200 000 Kč? • Možnosti: 8%, 10%, 15%, žádná • Výsledek: ???
Řešení • Diskontní sazba Kn − K0 id = Kn ⋅n
• Míra výnosu Kn − K0 i= K0 ⋅n
Příklad Potřebujete získat kapitál od banky na 1 rok. Banka vám nabízí 2 možnosti: a) úvěr polhůtně úročený za úrokovou sazbu 8% p.a., b) odkup směnky, kterou vlastníte, za diskontní sazbu 7,5% p.a.. Směnka je splatná za rok. Rozhodněte, co je pro vás výhodnější. Výsledek: iekv = 8.11% nebo id(ekv) = 7,41%
Řešení • Spočteme odpovídající diskontní sazbu pro i = 8 % a porovnáme s danou diskontní sazbou 7,5 % (7,41%) i id = 1+ i ⋅ n
• Spočteme odpovídající úrokovou sazbu pro id = 7,5 % a porovnáme s danou polhůtní sazbou 8% (8,11%) id i= 1 − id ⋅ n
Příklad • Stavební firma vydala směnku znějící na částku 1 650 000 se splatností 1.6. Obchodní společnost – zakoupila tuto směnku 8.3. při diskontní sazbě 9,5 %. – 5.4. směnku prodala při diskontní sazbě 9,3 %.
• Jaká byla míra zisku pro tuto obchodní společnost. • Výsledek: 10,13% p.a.
Řešení •
Spočteme nákupní cenu směnky – částku po srážce obchodního diskontu (mezi 8.3. a 1.6. t uplyne 85 dnů): K = K ⋅ 1 − i ⋅ 360 – 1 612 990 • Spočteme prodejní cenu směnky – částku po srážce obchodního diskontu (mezi 5.4. a 1.6. uplyne 57 dnů): – 1 625 704 • Výnosnost 0
Kn − K0 i= K0 ⋅n
n
d
Složené úročení • U jednoduchého úročení úroky narůstají lineárně, nevznikají úroky z úroků • U složeného úročení se úroky přičítají k původnímu kapitálu a úročí se ze zúročeného kapitálu • Úročí se pouze polhůtně
Budoucí hodnota kapitálu Výpočet složeně úročeného kapitálu předpoklady: a) úrokovací období je jeden rok b) ukládá se celý počet úrokových období (let) Ponecháme stejné značení
Rok
Stav kapitálu na konci roku
1
K1 = K0 + K0 .i
= K0 .(1 + i)
2
K2 = K1 + K1.i = K1.(1 + i)
= K0 .(1 + i)2
3
K3 = K2 + K2.i = K2.(1 + i)
= K0 .(1 + i)3
…
………
……
n-1
Kn-1= Kn-2 + Kn-2.i = Kn-2.(1 + i)
= K0 .(1 + i)n-1
Vzorce • Základní rovnice pro složené polhůtní úročení
K n = K 0 ⋅ (1 + i ) Kn K0 = (1 + i ) n
i=n
Kn −1 K0
n
Příklad Jaká byla úroková sazba z vkladu, jestliže částka 2 mil. Kč uložená po dobu 2 let vzrostla na 2 163 200 Kč. Úroky byly připisovány jednou ročně a ponechány na účtu a dále úročeny stejnou sazbou. Výsledek: 4% Řešení: i=
n
Kn −1 K0
Předpoklady a) úrokovací období je jeden rok - X b) ukládá se celý počet úrokových období (let) • V praxi úrokové období může být kratším než 1 rok, tzn. Úroky jsou připisovány častěji než jednou za rok • Úrokové období může být pololetní, čtvrtletní, měsíční,… • Stav kapitálu na konci roku, když během 1 roku úroky jsou připisovány m-krát, bude určen následovně
Část roku
Stav kapitálu na konci příslušné části roku
1
K1/m = K0 + K0 .i /m
= K0 .(1 + i/m)
2
K2/m = K1/m+K1/m.i/m = K1/m(1+i/m)
= K0 .(1+1/m)2
3
K3/m=K2/m+ K2/m.i/m = K2/m.(1+i/m)
= K0 .(1+ i/m)3
…
………
……
m
Km/m=Km-1/m+Km-1/m.i/m=Kn-1(1+i/m) = K0 .(1+i/m)m
Budoucí hodnota - obecněji • Km/m = K1 , • stav kapitálu za n let, – je-li úrok připisován m-krát za rok
•
i K n = K 0 ⋅ 1 + m
m*n
• Z toho i ostatní veličiny stejně
Příklad • Podnikatel dluží bance – 200 000 Kč splatných za rok a – 300 000 Kč splatných za 2 roky.
• Disponuje dostatečným obnosem, který není schopen lépe investovat, proto okamžitě vyrovná dluh. • Kolik zaplatí, jestliže banka účtuje 15 % úrokovou sazbu s půlročním úročením a dovoluje předčasné splacení bez sankcí? • Výsledek: 397 706,-
Řešení • Sečteme současnou hodnotu první a druhé splátky. K0 =
200 000 0,15 1 + 2
2
+
300 000 0,15 1 + 2
4
= 397 706,68
Příklad • Osoba si půjčila 50 000 Kč. Dluh má splatit formou dvou stejných splátek za rok a za dva roky. Jaká je velikost splátek při úrokové sazbě 6 % p.a. a ročním připisování úroků? • Výsledek: 27 272,-
Řešení • 3 možnosti – současná hodnota – budoucí hodnota – míra výnosu a a 50 000 = + 1 + i (1 + i )2
Příklad • Jaký byl počáteční kapitál a úroková sazba, při které byl uložen, víme-li, že po roce byl jeho stav 100 000 a po dvou letech 110 000? • Řešení: 100 000 = K 0 ⋅ (1 + i ) 110 000 = K 0 ⋅ (1 + i )
• z toho i, kapitál
2
Zdanění úroku • pro jednoduché úročení
Kn = K0 + K0 ⋅ i ⋅ n − K0 ⋅ i ⋅ n ⋅ d K n = K 0 (1 + (1 − d ) ⋅ i ⋅ n )
• pro složené úročení i ⋅ (1 − d ) K n = K 0 ⋅ 1 + m
n⋅ m
Příklad • Která alternativa je pro uložení kapitálu na 3 roky při ročním připisování úroků nejvýhodnější: – neměnná úroková sazba 5 % p.a., – proměnné zúročení, stoupající meziročně ze 4 % p.a. na 5 % p.a. resp. 6 % p.a., – pevné zúročení 4 % p.a. a na konci 3. roku bonus ve výši 3 % z uspořené částky?
• Úroky i bonus jsou ve všech třech případech zdaněny patnácti procenty. • Výsledek: 3. varianta
Řešení • porovnáme varianty K n = K 0 ⋅ (1 + 0,05 ⋅ 0,85) = 1,13300 ⋅ K 0 3
K n = K 0 ⋅ (1 + 0,04 ⋅ 0,85) ⋅ (1 + 0,05 ⋅ 0,85) ⋅ (1 + 0,06 ⋅ 0,85) = 1,13292 ⋅ K 0
K n = K 0 ⋅ (1 + 0,04 ⋅ 0,85) ⋅ (1 + 0,03 ⋅ 0,85) = 1,13370 ⋅ K 0 3
Předpoklady a) úrokovací období je jeden rok - X b) ukládá se celý počet úrokových období (let) - X
Nechť počáteční kapitál K0 je uložen na dobu n, kdy n je kladné, ale není celé číslo lze vždy n zapsat takto: n = [n] + (n –[n]) Kde: [n] je celá část čísla n, značí počet ukončených období, kdy je kapitál uložen n – [n] je desetinná část čísla n, značí necelou část jednoho období (n – [n]) < 1
Smíšené úročení Kapitál na konci celých [n] období se úročí složeně, tedy: K[n] = K0.(1 + i)[n] Konečný stav kapitálu Kn je kapitál na konci [n] celých období K[n] jednoduše zúročený na zbytek (n –[n]) období, tedy: Kn = K0.(1 + i)[n].{1 +(n –[n]).i} Poznámka: Nezapomenout upravit úrokovou míru tak, aby odpovídala délce období.
Příklad: Kolik činí splatná částka, je-li uloženo 30 tis. Kč na 3 roky a 8 měsíců při neměnné úrokové sazbě 5,5% p.a.. Úrokové období je: a) roční b) pololetní a c) čtvrtletní. Řešení: a) Kn = 30tis.(1 + 0,055)3.(1 + 0,055.8/12) = 36518,91 Kč b) Kn= 30tis.(1+0,055/2)3.2+1.(1+(0,055/2).(2/6)) = 36606,40 Kč
c) Kn= 30tis.(1+0,055/4)3.4+2.(1+(0,055/4).(2/3)) =
36 653,57 Kč
d) Kn = 30tis.(1+0,055/4)(3.12+8)/3 = 36 652,81 Kč c) – d) = 0,76 Kč
