Matematika ve starověku Seminární práce XD16HVT, FEL ČVUT Mgr. David Vít, 6.12.2006 Úvod Cílem seminární práce je shrnout základní informace o matematických znalostech nejstarších vyspělých starověkých civilizací, které předcházely starořecké kultuře, zejména se zaměřením na starověký Egypt a Mezopotámii, se zmínkou o dalších starověkých civilizacích. Na problematice je nejvíce fascinující zjištění, na jaké úrovni byly tehdejší matematické znalosti, jakým způsobem se tyto vědomosti používaly, jak ovlivnily znalosti v pozdějším období a zejména ta skutečnost, že tyto znalosti jsou více než 4000 let staré. Uvedená problematika je velmi zajímavá a je škoda, že není příliš popularizovaná mimo odborné kruhy. Domnívám se, že prezentace současných matematických poznatků s historickým pozadím a různým náhledem a přístupem k této problematice může vést ke zlidštění matematiky, která je neoprávněně vnímána pouze jako náročný a nezáživný školní předmět, který stejně nikdo nepotřebuje k běžnému životu. Stať
1 Matematika jako indikátor vyspělosti civilizace Dovolím si tvrdit, že úroveň znalosti matematiky je jedním z nepříliš často sledovaných, ale přitom zásadních měřítek kulturní vyspělosti dané civilizace, a to zejména z toho důvodu, že, aniž si to člověk přímo uvědomuje, determinuje přístup k syntetickému i analytickému řešení různých problémů v aplikovaných oborech i běžném životě. Nemám pouze na mysli zjevné případy z běžného života, kdy si spotřebitelé nejsou schopni spočítat svou míru zadlužení, ale především to, jak matematické myšlení umožňuje formalizovat různé induktivní a deduktivní myšlenkové postupy. Z popularizačního hlediska se postavení matematiky ve fyzice ve své knize O povaze fyzikálních zákonů věnuje nositel Nobelovy ceny za fyziku, Richard P. Feynman, z jehož zamyšlení ocituji následující myšlenku: „...matematika není pouhý jazyk. Matematika je jazyk a zároveň způsob uvažování. Je to jako jazyk plus logika. Matematika je nástroj myšlení. Je to vlastně velká sbírka výsledků něčího pečlivého myšlení. Matematika může spojit jednu větu s druhou. Například mohu říci, že síla míří k Slunci.Mohu také říci, že planeta se pohybuje a že když nakreslím čáru od Slunce k planetě a jinou po určitém intervalu, například po 3 týdnech, potom plocha, kterou průvodič planety opíše, je stále stejná během těchto tří týdnů jako během příštích tří týdnů. Mohu podrobně vysvětlit obě tyto věty, ale nemohu vysvětlit, proč znamenají obě totéž. Enormní složitosti přírody, s jejími legračními zákony a pravidly, z nichž každý by vám byl vysvětlen, jsou ve skutečnosti velmi propleteny. Bez matematiky nevidíte cesty, kterými vám v tomto velkém množství různých tvrzení dovoluje logika přejít od jednoho k druhému.“ Lidé si ani často neuvědomí, že při řešení problémů ve svém oboru automaticky aplikují postupy matematického myšlení, které významně ovlivňují celkový přístup i výsledek řešeného problému. Z dochovaných starověkých matematických záznamů je zřejmé, proč při tehdejších řešeních dnešních úloh nebyli řešitelé schopni dosáhnout výsledků, které my již známe. Bylo to způsobeno právě tím, že tehdejší matematické znalosti jim nedaly vhodný
aparát, s jehož pomocí by to dokázali. Hlavní příčinou byl takzvaný babylonský přístup, který je založen na znalosti dílčích poznatků a jejich vzájemných souvislostí, bez specifikace elementárních faktů – axiomů. Moderní matematika vycházející z řeckého pojetí naopak buduje poznatky na základě vhodně zvolených elementárních axiomů a dalších souvislostí a vztahů z nich vyplývajících. A toto je právě základní princip, který se uplatňuje v moderních vědních disciplínách. Z toho důvodu lze starověké Řecko považovat za milník vzniku moderní matematiky, a proto jsem jej záměrně nezahrnul do práce věnující se starověké matematice. Řecká matematika je tedy základem současného matematického pojetí, kdy je samozřejmě zajímavé zjišťovat historické pozadí a způsob objevení jednotlivých matematických objevů, ale nevyskytují se v ní tak překvapivé poznatky a postupy při znalosti tehdejší výchozí úrovně poznání jako v matematice starověkého Egypta a Mezopotámie. Po vrcholném řeckém období nastává v evropském matematickém poznání úpadek v době kolem 7. století po Kristu, který je charakteristický pro římsko-latinskou kulturu. Teprve renesanční návrat k zapomenutým antickým znalostem způsobil, stejně jako v ostatních vědních oborech, po několika staletích úpadku opětovný rozvoj matematického zkoumání a vznik matematiky jako vědy tak, jak ji známe dnes. I toto je jeden z důvodů, proč je starověká matematika tak udivující vzhledem k historickému kontextu starověkých kultur a proč je dokladem toho, že z úrovně matematických znalostí můžeme snadno usuzovat na celkovou kulturní vyspělost sledované civilizace.
2 Prameny zkoumání a jejich vliv na naše znalosti o starověké matematice Naše současné znalosti o matematice ve starověku pocházejí z písemných záznamů, které však většinou nedovolují přesné určení původu poznatku. Vypracované metody se mechanicky používaly a předávaly celá tisíciletí, takže původ lze určit pouze na základě případných vedlejších příznaků. Jednotlivá společenství byla územně ohraničená, takže metoda nemusela být známá mimo jeho hranice a navíc mohla být navždy zapomenuta z důvodu válek a přírodních katastrof. Lze tedy snadno dokladovat nezávislé objevení obdobného poznatku a mnohdy i ve zcela odlišném kontextu. Povrchní zkoumání dostupných informací o jednotlivých civilizacích by mohlo vést k ukvapenému závěru, že mezopotámská civilizace byla ze všech starověkých kultur nejvyspělejší. Ve skutečnosti nejsme oprávněni toto tvrdit, protože vycházíme pouze z dochovaných informací. A právě tyto byly ovlivněny kvalitou a materiálem dochovaných památek. Například čínské a indické starověké záznamy byly zapisovány na bambus a kůru, které podléhaly zkáze mnohem více než egyptské papyry a ve srovnání s nimi prakticky nezničitelnými mezopotámskými vypalovanými hliněnými deskami. Naše současné informace o egyptské matematice pocházejí z nápisů na kamenech (zhruba z doby 3300 před Kr. pochází nejstarší nápis čísla na kameni), z Rhindova (nebo Ahmosova či Londýnského, cca 1850 před Kr.) papyru s 87 úlohami, z Moskevského (nebo Goleniščevova, cca 1650 před Kr.) papyru s 25 úlohami, z Káhúnských papyrů, dřevěných tabulek, z koženého svitku a Berlínského papyru. Tyto zápisy obsahují různé řešené úlohy, jednalo se pravděpodobně o části sbírek řešených úloh. O matematických znalostech Egypťanů svědčí také další papyry či svitky z aplikovaných vědních oborů, například plánů konstrukcí pyramid. Nápisy na vlastních egyptských stavbách jsou převážně účetní písařské zápisy, tedy jakési účetní knihy o stavu hospodářství v daných letech, které nám příliš mnoho informací o matematických znalostech neposkytují.
Naproti tomu svědectví mezopotámské kultury se nám zachovala v nesouměřitelně větším rozsahu. Existuje velké množství hliněných tabulek s matematickými texty, v současné době jich je přečtena pouze malá část. Zatím bylo přečteno a rozluštěno asi 400 tabulek, mimo jiné proto, že větší zájem o dešifrování mezopotámských textů se objevil teprve po roce 1916. Nepochybně tedy můžeme v této oblasti nejbližších letech očekávat další překvapivé objevy. Většina textů je psána klínovým písmem v akkadském jazyce a většinou pocházejí z 18.-16. století před Kristem, nejstarší texty pocházejí z posledního sumerského období, zhruba roku 2100 před Kr. Do roku 2003 byla u nás hlavním zdrojem informací z oblasti starověké matematiky hojně citovaná Kolmanova1 kniha, která u nás vyšla v roce 1969 v nákladu 3000 výtisků. V roce 2003 zpracoval autorský kolektiv pod vedením doc. Bečváře knihu Matematika ve starověku, Egypt a Mezopotámie, která na 370 stranách detailně shrnuje obsah podstatné části známých fragmentů egyptských a velký výběr z mezopotámských matematických textů včetně podrobného analytického rozboru provedených postupů řešení nalezených úloh.
3 Detailní pohled na egyptskou matematiku 3.1 Čísla a číselná soustava a základní početní operace Egypťané používali desítkovou nepoziční soustavu, tzn. pro jednotky vyšších řádů se používaly odlišné symboly. Symboly zahrnovaly čísla včetně mocnin 10 až do řádu 107. Jednička byla reprezentována znakem měřící hole, desítka znakem kravích pout na nohy, stovka znakem měřičského provazce na dělení pole na 100 loktů, 1000 znakem květu lotosu, 10 000 znakem ukazováku, 100 000 znakem pulce, milion znakem boha Hora a 10 milionů znakem Slunce. Čísla v daném řádu byla opakována symbolem znaku příslušného řádu. Jediný výraznější pokrok byl zaznamenám v postupném vývoji hieroglyfického písma, přes hieratické do démotického, které vzhledově připomíná spíše něco jako arabské znaky. Každopádně se jednalo o výrazné zjednodušení zápisu čísel. Egypťané měřili stavby v celých loktech (asi 45 cm), nepotřebovali ve svém stavitelství měřit zlomky délek, ale v zeměměřičství se na zlomky loktů měřilo. Základní početní operace se prováděly poměrně zajímavě. Sčítání se provádělo shrnutím jednotlivých číslic v daném řádu a náhradu případných deseti za odpovídající symbol vyššího řádu, při odečítání bylo občas jednotku vyššího řádu nutno nahradit deseti jednotkami nižšího řádu. Jedná se tedy o algoritmus sčítání a odčítání pod sebou tak, jak se učí na našich základních školách. S osobitou egyptskou metodou násobení jsem se v minulosti setkal v binárním programování v assembleru. Jeden činitel součinu je postupně zdvojnásobován a u vhodných násobků je poznamenána čárka. Tyto násobky jsou sečteny. V podstatě získáme nenulové bity tvořící jednoho z činitelů a násobky touto druhého činitele touto mocninou dvojky. Výsledné násobky pak pouze sečteme do výsledku. U násobení větším čísel se používalo i zdesateronásobování. Obdobné metody byly použity i pro dělení beze zbytku a umocňování. Rozdíl mezi operacemi je ovšem možno rozlišit pouze z celkového kontextu příkladu. Princip této metody vychází z dobrého pochopení lineární závislosti, která tvoří podstatu dnešního použití trojčlenky Jako zlomky se objevují nejprve ½, ¼, později 1/3, 2/3, ¾ a 5/6, pro něž existovaly speciální symboly. Později se objevily takzvané kmenné zlomky 1/n. Každé kladné racionální číslo bylo 1
Autor je známý také svým otevřeným dopisem Brežněvovi z roku 1976, kdy mu oznámil vystoupení z KSSS. V témže roce emigroval do Švédska.
uvedeno jako součet několika čísel, z nichž se skládalo. Pro počty s těmito čísly se používaly úplně stejné metody jako pro operace jako s čísly přirozenými. Pro dělení obilí se používala takzvaná Horova oka, což byly speciální zlomky podílů mocnin dvojky: ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32 a 1 /64, pro něž existovaly také zvláštní symboly. Stejně tak byly užívány i další symboly pro některé jiné měřící jednotky. Znalost zlomků 1/n a 2/3 umožnila objevit obecné dělení, které je založeno na rozkladu na kmenné zlomky, což je současná metoda vyučovaná v lineární algebře a využívaná například při výpočtu primitivních funkcí z racionální lomené funkce.
3.2 Aritmetické a algebraické úlohy Egypťané neznali rovnice tak, jak je známe dnes. V početních úlohách hledali neznámé číslo nazývané množství nebo hromada. Pro řešení lineárních rovnic používali buď metodu přímého dělení, nebo metodu falešného předpokladu, která se dnes nazývá „regula falsi“. Jednou z úloh na Moskevském papyru je příklad „2x + x = 9 (x=3)“, který je nadepsán „metoda výpočtu množství“ a postup končí odpovědí „hle, 3 je to, o čem se hovoří. Nalezl jsi správně.“. Písař se tuto metodu naučil jako algoritmus a potom ji byl schopen používat s jinými hodnotami obdobného zadání. Byly nalezeny i úlohy vedoucí na aritmetickou a geometrickou posloupnost a neúplnou kvadratickou rovnici bez lineárního členu. Opět jsou použity metody chybného předpokladu. Je zřejmé, že tyto úlohy byly založeny na řešení typických praktických početních úloh. Zajímavou skupinu tvoří úlohy o chlebu a pivu, které se obecně zabývají různými přepočty chlebů a piva a které užívají navíc převodní koeficienty mezi jednotkami. Dále byly nalezeny některé praktické úlohy, jako metoda výpočtu mísení obětního chleba, sčítání prací výrobce sandálů, dělení dobytka, počítání krmiva pro drůbež či úloha na dělení délky stěžně. Souhrnně je můžeme označit za aplikované úlohy.
3.3
Geometrické úlohy
Na úvod bych uvedl jednu z úloh z Moskevského papyru, která je nazvána „Metoda výpočtu trojúhelníka“. Zadán je trojúhelník o obsahu 20 s poměrem stran 2½, podle zadání se má nalézt délka základny a výšky. Postup řešení je popsán následovně: „Zdvojnásob [obsah] plochy, vyjde 40. Počítej s [tím] 2½, vyjde 100. Vypočti [z toho] odmocninu, vyjde 10. Proveď 1 : 2½, to, co vyjde je 1/3 1/15. Vypočti 10 z 10, vyjde 4. Je to 10 na délku a 4 na šířku.“. Podobně jsou popsány i další úlohy. I mírně odlišně formulované příklady zapsané v dnešní symbolice stejným zápisem měly vlastní postup řešení. To vše dosvědčuje algoritmický charakter postupů řešení úloh. Geometrické metody se týkaly úloh, které vedly k výpočetu obsahu obdélníka, trojúhelníka, lichoběžníka a kruhu, výpočet rozměrů z obsahu a jejich poměrů, výpočet objemů kvádru, válce a komolého jehlanu, výpočet výšky z daného objemu a rozměrů podstavy, velikost úhlu mezi základnou a stěnou jehlanu, výpočet výšky jehlanu ze znalosti velikosti podstavy a úhlu svíraného se stěnou, výpočet povrchu poloviny pláště válce. Egypťané ve výpočtech empiricky určili hodnotu čísla = 256 : 81 3,1605, což je s přesností 0,63%. Hodnota čísla byla pravděpodobně vypočtena metodou aproximace obsahu kruhu čtvercovou mřížkou. Geometrické úlohy se v praxi aplikovaly v měřičských úlohách. Zajímavá je i otázka, jakým způsobem byly vytyčovány pravé úhly u impozantních staveb chrámů a pyramid. Předpokládá se, že Egypťané znali pravoúhlý trojúhelník se stranami 3, 4 a 5, čísly tvořícími nejmenší pythagorejskou trojici, hovoří se o takzvaných napínačích provazů. Další možností bylo vykreslování pravidelného šestiúhelníka dovnitř kruhu - každé
dnešní dítě na základní škole si podobný obrázek samo nakreslí, pokud dostane do ruky kružítko. Po dokreslení vznikne mezi čtveřicí vrcholů takovéhoto šestiúhelníka obdélník s poměrem stran 1:3. S takovýmto obdélníkem se pak snadno daly zakreslit rohy stavěného chrámu. Navíc v geometrii byli Egypťané schopni zobrazit půdorysy i nárysy staveb.
4 Detailní pohled na mezopotámskou matematiku 4.1 Čísla a číselná soustava a základní početní operace V prehistorickém období (cca v 8. tisíciletí před Kr.) byly na Blízkém Východě užívány malé hliněné „geometrické“ modely, které se nazývaly tokeny, které zřejmě sloužily k záznamu množství zemědělských komodit. Každý token měl specifický tvar a reprezentoval určité množství (například malou či velkou jednotku množství obilí). Tokeny byly ukládány do neprůhledných hliněných obálek a byly zapečeťovány. Aby bylo možno rychle zjistit zaznamenané množství příslušné plodiny, byly na vnější straně obálky tyto tokeny otištěny. Základ mezopotámského početního systému vzniknul pravděpodobně postupným vývojem ze systému těchto obálek a datuje se do období přelomu 3. a 4. tisíciletí před Kr. Používanou číselnou soustavu lze charakterizovat jako aditivní nepoziční šedesátkovou kombinovanou s nepoziční desítkovou soustavou, ve které byly používány jednotky o základech 1, 10, 60, 600, 3 600, 36 000, 216 000. Pro každý základ existovaly, podobně jako v Egyptě, zvláštní symboly, a více jednotek bylo zobrazováno tak, že se jejich symbol opakoval. Pro nulu zpočátku neexistoval žádný symbol, takže zápisy byly nejednoznačné, například zápis (5,6,3) mohl znamenat buď 5.602 + 6. 60 + 3, 5.603 + 6.602 + 3.60 nebo 5.604 + 6.60 + 3 a další, přičemž význam zápisu bylo nutno pochopit z celkového kontextu zadání úlohy. Tento problém je patrný i v některých početních chybách, které byly objeveny na již dešifrovaných tabulkách. Nula však nebyla v běžných výpočtech příliš potřebná, protože šedesátková soustava nepotřebuje pro zápis běžných čísel tolik nul, jako desítková. Zhruba ve druhém tisíciletí před Kr. se v astronomických tabulkách chybějící řád začal vyznačovat malou mezerou v zápisu čísla a v osmém století před Kr. se namísto mezery objevil symbol malého klínku. Ve čtvrtém století před Kr. se objevil znak dvojitého klínku, který určoval polohu nuly, a za ním následoval zápis záporných řádů. Výjimka existovala pouze na začátku a na konci čísla, takže stále existovala určitá nejednoznačnost zápisu, ale u mnohem menšího počtu případů. Dále došlo ke sjednocení zápisu a pro zápis vyšších řádů se začaly používat stejné symboly jako pro nižší řády. Původní nepoziční číselná soustava se postupně přeměnila na poziční. Záporná a iracionální čísla nebyla v Mezopotámii používána. Vliv šedesátkové soustavy se zachoval i v evropské kultuře a používá se třeba při měření času či úhlů, nebo můžeme připomenout středověkou početní míru kopa. Tím, že se jednalo o poziční soustavu, bylo snadné v ní provádět různé početní operace včetně operací se zlomky pomocí jednoduchých algoritmů, takže se později používala i k výpočtům na abaku. Zajímavé je, že babylonská šedesátková soustava vznikla postupným přechodem z původní desítkové přes výše zmíněnou soustavu smíšenou. V Mezopotámii, narozdíl od Egypta, nebyla zaznamenávána početní schémata, ale pouze konečné výsledky, slovní zápis početních operací byl například následující: „1 10 a 26 40 dej dohromady a dostaneš 1 36 40“. Tento zápis znamenal 1.602 + 10. 60 + 26.602 + 40. 60 = 1.602 + 36. 60 + 40. Sčítání a odčítání bylo zřejmě prováděno po jednotlivých řádech analogicky našemu sčítání a odčítání pod sebou, narozdíl od egyptské metody převádění násobení na zdvojnásobování sčítání. Odečítání bylo označováno jako „odejmi“ nebo „odeber“. Rovněž násobení bylo pravděpodobně prováděno po řádech naprosto identicky s naší ruční početní metodou, samozřejmě s tím rozdílem, že my používáme soustavu o
desítkovém základu. Mezopotámské algoritmy nemohly vyžadovat pouhou znalost malé násobilky, protože v šedesátkové soustavě by se jednalo o 1 770 součinů. Pro násobení byly využívány početní tabulky, které většinou obsahují v záhlaví konkrétního násobitele a vybrané součiny (například 23 či 40 násobenců). Většina tabulek má uvedeny i odkazy na navazující tabulky. Pro dělení byla používána operace násobení převrácenou hodnotou, například „(2, 5). Vezmi (5). Převrácené je (12). Vynásob (12) dvojkou. Dostaneš (24). Přičti (1). Dostaneš (25). Převrácené k (25) je (2, 24). Vynásob (2, 24) a (12). Dostaneš (28, 48). Převrácené k (2, 5) je (28, 48).“. Pro účely rychlého dělení existovaly tabulky reciprokých hodnot. Pokud neexistuje dělení beze zbytku, bylo uvedeno buď, že výsledek neexistuje, nebo existuje odhad přibližné hodnoty převráceného čísla. Ty je možno objevit v aproximačních tabulkách. Další druhy tabulek obsahují také druhé a třetí mocniny přirozených čísel, odmocniny, součty druhých a třetích mocnin apod.
4.2 Aritmetické a algebraické úlohy Ze staršího období se zachovaly úlohy vedoucí na aritmetickou posloupnost, většinou se týkají dělení majetku mezi předem stanovený počet lidí, kde jsou zadány určité podmínky. Například jedna z úloh zní: „(10) bratrů, (1) a 2/3 miny stříbra, bratr nad bratrem dostává část, kolik, nevím. Díl osmého bratra je (6) šekelů. Bratr za bratrem dostává kolik?“. Úkolem je najít diferenci aritmetické posloupnosti a všechny její členy, pokud je dána hodnota osmého členu. Řešení je popsáno následovně: „Ty svým způsobem: vypočti převrácenou hodnotu (10), počtu lidí, získal jsi (0; 6). Vynásob (0; 6) a (1) a 2/3 miny stříbra. (10) šekelů jsi získal. Zdvoj (10). Dostaneš (20). (6), část osmého bratra, zdvoj. (12) jsi získal. Odečti (12) od (20). (8) získáváš. (8) si udrž v paměti. (1) a (1), ša-ap-li-a-am2 sečti, (2) jsi získal. (2) zdvoj. (4) jsi získal. (1) a (4) sečti. (5) jsi získal. (5) od (10), počet lidí, odečti. (5) jsi získal. Vypočti převrácenou hodnotu od (5). (0; 12) jsi dostal. (0; 12) vynásob (8). Získal jsi (1; 36). (1; 36) je to, čím se liší bratr od bratra.“ Další objevené úlohy se týkají geometrické posloupnosti či součtu druhých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Velmi propracovanou částí byla aplikace úrokového počtu. V Mezopotámii byly velmi rozvinuté různé obchodní transakce. Chamurabbiho zákony například stanovovaly maximální úrokové míry – 20% pro peněžní a 331/3 % pro obilní půjčky. Například úročení úvěrů z kreditních karet ve výši, ve které ji účtují dnešní české banky, trestaly mezopotámské zákony propadnutím celé pohledávky. Mezopotámští písaři používali zvláštní finanční tabulky, například pro jednoduché či složené úrokování. Některé tabulky sloužily zřejmě k procvičování početních postupů, protože obsahují i následnou početní zkoušku. Některé tabulky obsahovaly sbírky jiných typů úloh, například lineárních rovnic. Jedna z úloh byla formulována následovně: „Nalezl jsem kámen, ale neznám jeho hmotnost. Poté, co jsem přidal 1/7 a ještě 1/11 toho všeho, je to (1) mina. Jaká byla původní hmotnost kamene? Původní hmotnost kamene byla 2/3 mina, (8) gin a (22) a ½ še.“ Nalezeny byly i příklady vedoucí na soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých či řešená úloha dvou rovnic o dvou neznámých, pro jejíž řešení byla použita metoda chybného předpokladu (známá i z egyptských papyrů) v kombinaci s originální mezopotámskou substitucí, která je založena na myšlence, že při řešení rovnice x + y = 2h se dvěma neznámými x a y, mezi nimiž je stanovena další podmínka, je možno použít substituci x = h + w a y= h – w, kde w je nově zavedená neznámá. Dále byly řešeny i úlohy vedoucí na kvadratické rovnice, které ale nikdy neměly záporné koeficienty. Obecné řešení nebylo tehdejšími matematiky objeveno, úlohy byly převáděny substitucemi a eliminacemi na kanonické tvary s tím, že byly známy základní vztahy pro (a+b).(a-b) a (ab)2. Další typy úloh vedou na bikvadratické a kubické rovnice, 2
Neznámý výraz, který se dosud nepodařilo přeložit.
většinou opět s využitím substitucí a eliminací a řešením kanonických tvarů. Svým způsobem všechny tyto úlohy svou formou zadáním a řešením připomínají naše současné aplikace a postupy integrálního počtu, jak jsou vyučovány v aplikované matematické analýze. Tedy můžeme říci, že existovaly známé třídy řešitelných úloh, na něž se řešitel pokoušel svou konkrétní úlohu převést. Celkově lze konstatovat, že mezopotámská aritmetika byla na velmi vysoké úrovni.
4.3 Geometrické úlohy Dochované geometrické úlohy pocházejí zhruba z 18. století před Kr. a často se jedná a praktické postupy ze stavitelství, zeměměřičství či dalších oblastí. Některé úlohy vypadají velmi uměle a zřejmě sloužily pouze jako školní pro výuku a procvičování postupů, mimo jiné obsahují zvolené číselné hodnoty tak, aby se při řešení daly provádět snadné početní operace, především dělení a odmocňování. Mezopotámci znali způsob přesného výpočtu obsahu čtverce, obdélníka i pravoúhlého trojúhelníka. U rovnoramenného trojúhelníka byl výsledek většinou pouze přibližný, neboť rozměry byly zadávány délkami stran a nikoliv výškou. Byly nalezeny i obtížnější úlohy, například rozdělení trojúhelníka na trojúhelník a lichoběžník tak, aby jejich obsahy byly stejné. Při úlohách na obsah kruhu a obvod kružnice byla převážně používána přibližná hodnota čísla 3 a na některých tabulkách 31/8. Pro mnohé může být velmi překvapivá informace, že v Mezopotámii byla známa Pythagorova věta již v době mezi 18.-16. stoletím před Kr., tedy zhruba 1 000 let před Pythagorem. Na Pythagorovu větu je formulováno mnoho příkladů, které se týkají úloh vedoucích na kvadratické rovnice. Jeden z příkladů na její aplikaci zní: „(1, 0) je obvod. (2) je to, co jsem spustil. Jaká je délka rozdělení?“. Jedná se o nalezení délky tětivy kružnice o obvodu 60 jednotek, která odtíná úseč o délce 2 jednotky. Z několika úloh vyplývají náznaky, že mezopotamští matematici pravděpodobně znali i Thaletovu větu. Jedna z nejznámějších tabulek z tohoto období obsahuje 15 pythagorejských trojic, což jsou přirozená čísla splňující Pythagorovu větu. Není ovšem zatím zřejmé, k čemu tato tabulka sloužila. V prostorové geometrii byly známy postupy výpočtu objemu krychle, kvádru, hranolu a klínu, dále komolého kužele, objemů válce či skruže a praktické úlohy na výpočty různých parametrů hrází a náspů.
5 Obecný pohled na starověkou matematiku Historikové dějin matematiky se pokoušejí historické matematické znalosti strukturovat podle současných matematických oborů. Zjišťují se tedy různé formy zápisů a reprezentace čísel, číselné soustavy, aritmetické operace, algebraické metody, základy geometrie a další aplikované znalosti. Další zajímavou věcí jsou způsoby zadání matematických úloh a způsob aplikace těchto metod v reálném životě. Velmi důležitou oblastí bylo stavitelství a zeměměřičství, neboť po pravidelných záplavách se musely pozemky pokaždé znovu vyměřovat. Jednalo se o důležitou úlohu, protože například Chammurabbiho zákoník stanovoval sousedovi, který neoprávněně posunul hranici pozemku, trest 100 ran holí, uříznutí prstu, měsíce nucených prací a trojnásobné náhrady výměry poškozenému. Matematické znalosti se šíří převážně prostřednictvím škol, ve starověkém Egyptě i Mezopotámii se jednalo o školy písařské. Písaři měli v té době výsadní postavení, mnohdy se rekrutovali z řad potomků vysokých palácových úředníků. Učitelé patřili mezi velmi vážené osoby. Žáci se učili především opisováním textů a učili se uvedené postupy zpaměti.
Lze rovněž zdůraznit, že matematické poznatky byly zaměřeny na praktické oblasti využití, jednalo se tedy o počty, měřičství, astronomii a stavitelství. Mezi dílčími znalostmi nebyly hledány souvislosti, protože známé postupy dokázaly pokrýt většinu oblastí běžného života. Odtud právě pramení termín babylonská škola, který se používá pro takovýto způsob poznání. Jelikož výuka byla zaměřena na vyučování zpaměti, není většinou známo, jakým způsobem byly konkrétní matematické postupy objeveny. Jelikož každý člověk je chybující, byly také v některých nalezených úlohách objeveny i písařské či početní chyby. Dále z podobností egyptských a mezopotámských úloh a metod je pravděpodobné, že obě kultury spolu musely udržovat vzájemný vědecký styk. Velmi zajímavé je srovnání některých použitých metod se současnými postupy. Některá řešení obsahují zbytečně komplikované kroky, vybrané úlohy pro přibližné výpočty hodnot naproti tomu obsahují aproximační algoritmy podobné současným. S určitou dávkou nadsázky lze konstatovat, že egyptské a mezopotámské postupy řešení připomínaly zápis algoritmu v jakémsi programovacím jazyce, který byl po dosazení vstupních proměnných interpretován příslušným písařem řešícím aplikovanou úlohu. Dokonce i zápisy úloh připomínají algoritmus programu. Hlavní rozdíl mezi egyptskou a mezopotámskou matematikou spočíval kromě rozdílů v číselných soustavách a početních operací především v celkovém pojetí matematiky. Zatímco egyptská matematika vycházela z geometrických poznatků, základem mezopotámské matematiky byly algebraické operace a vztahy. V každém případě byla úroveň matematického poznání obou civilizací výrazně odlišná od matematických znalostí starého Řecka a pozdějších kultur, ačkoliv mnohé elementární poznatky jsou obdobné. Konkrétně vliv stop mezopotámského matematického dědictví je patrný i v pozdějších kulturách blízkého a středního východu. Právě algebraická metoda myšlení se stala základem právě zmiňované matematiky ve starověkém Řecku, Indii a pravděpodobně i v Číně. Do Evropy se pak algebraická metoda myšlení dostala prostřednictvím Arabů. Nabízí se tedy samozřejmě domněnka, že právě Mezopotámie je základem kořenů evropské vzdělanosti, ačkoliv třeba evropské zákonodárství je rozhodně ovlivněno kulturou římskou. Celkový vliv mezopotámské civilizace byl ale mnohem výraznější spíše v Asii, protože mnohé prvky této kultury se zachovaly v zemích jako Malajsie, Čína a dalších dodnes. Jak jsem již naznačil v části věnované dostupným pramenům, vzhledem k tomu, že ostatní starověké kultury zapisovaly své poznatky na méně odolné materiály, zachovalo se z tohoto období příliš málo svědectví. Ze známých nálezů je zřejmé, že například Asyrská či Chetitská civilizace čerpaly z poznatků mezopotámské matematiky. V Indii se objevil nepoziční desítkový systém, který se postupně změnil na systém poziční a došlo také k objevu nuly. V Číně, kam se až v 8. století po Kr. pravděpodobně z Indie dostává znalost nuly, dochází také k postupnému zavedení desítkového pozičního systému, zajímavostí je také ruční provádění většiny početních operací pomocí tyčinek na početní desce, a to včetně násobení, dělení, odmocňování, řešení úloh vedoucích na rovnice a početních operací s velkými čísly. V Číně dále dochází na přelomu letopočtu k objevu záporných čísel a zajímavé metody řešení lineárních rovnic Fang-Čcheng, která je obdobou Gaussovy eliminační metody. Dále je možno zmínit civilizaci středoamerické Mayské civilizace, která v době kolem 4. století před Kr. používala dvacítkový poziční systém s nulou a pro zápis čísel využívala pouze tří znaků (můžeme mluvit o ternárně kódovaných číslicích). Nejvyšší mayské známé zapsané číslo je 1 841 641 600 dní (t.j. 5 042 277 let). Nejsou známy žádné nálezy zápisů zlomků. Dochované záznamy svědčí o tom, že Mayové dobře ovládali početní operace s velmi velkými čísly. V uvedené oblasti existovala i Aztécká a Incká civilizace, která užívala dvacítkovou nepoziční soustavu. Bohužel se o žádné z těchto civilizací nedochovalo příliš mnoho svědectví, protože většina zachovaných památek, napsaná především na kůře, byla spálena španělskými dobyvateli, kteří je považovali za pohanské ďábelské čarodějnictví.
Některé starověké početní metody možná mohou působit v dnešní době komicky, ale musíme si uvědomit, že mnohem později axiomaticky vybudovaná matematika prošla obdobím 2000 let vývoje a objevila obecné zákonitosti. Závěrem bych chtěl položit následující otázku - jaký rozdíl je mezi starověkým mezopotámským písařem řešícím praktickou úlohu dle některého popsaného početního postupu a dnešním inženýrem řešícím současnou aplikovanou úlohu. Někteří autoři dokonce označují babylonské metody za inženýrský způsob myšlení. Žádná odvozování, důkazy, vzorce, vše je jen aplikace již dříve objevených přesných postupů a pracuje se převážně s konkrétními čísly. Někde na začátku ovšem byl určitě nějaký matematik, který oběma metodám položil základ tím, že je odvodil a dokázal. Matematika urazila za zmíněných 4 000 let obrovský kus cesty a je otázkou, jak se na naše dnešní matematické poznatky a metody budou lidé dívat za dalších 4 000 let. Závěr Výzkum zachovaných matematických poznatků starověkých civilizací umožňuje hlubší pochopení celkové technické vyspělosti těchto civilizací a pomáhá vysvětlit postupy, kterými bylo dosaženo mnohdy impozantních výsledků v aplikovaných oborech (například egyptské či mayské pyramidy). Dále nám poskytuje lepší představu o obecné struktuře těchto starověkých kultur a ukazuje třeba na velký kulturní a vědecký propad v evropských zemích mezi antikou a renesancí. Hlavním přínosem je ovšem zjišťování souvislostí mezi rozvojem různých vědeckých a technických disciplín a matematických metod a myšlení, na nichž jsou tyto disciplíny založeny. Zajímavý je také vliv mezopotámské šedesátkové soustavy na naši civilizaci, kde se vůbec nepozastavujeme nad tím, že některé veličiny počítáme po šedesátkách. Z praktických aplikací historických nálezů bych ještě zmínil celkovou popularizaci matematiky spolu s poskytnutím historického kontextu jednotlivých pojmů a postupů. Použité prameny a literatura
FEYNMAN, RICHARD P. O povaze fyzikálních zákonů, sedmkrát o rytmech přírodních zákonů. 2. doplněné vydání Praha: AURORA, 2001. ISBN 80 85974 86 X. KOLMAN, ARNOŠT Dějiny matematiky ve starověku Praha: Academia, 1969. 50711-875 BEČVÁŘ, Jindřich, BEČVÁŘOVÁ, Martina, VYMAZALOVÁ, Hana Matematika ve starověku, Egypt a Mezopotámie. 1. vydání Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80 7196 255 4. KLÍMA, Josef Společnost a kultura starověké Mezopotámie. 1. vydání Praha: Nakladatelství československé akademie věd, 1963. 21 010 62. KLENGELOVÁ BRANDTOVÁ, Evelyn Starověký Babylón. 1. vydání Praha: Nakladatelství Vyšehrad, 1983. 33 634 83. AVDIJEV, Vsevolod I. Dějiny starověkého východu. 1. vydání Praha: SNPL, 1955. 33 634 83. Autorský kolektiv: ANTONOVOVÁ, K.A., BONGARD-LEVIN, G.M., KOTOVSKIJ, G.G. Dějiny Indie. 1. vydání Praha: Nakladatelství Svoboda, 1980. 25 091 80.
