Matematika pro šikovné třeťáky – dvojková soustava Jarmila Ranošová Allianz pojišťovna a.s., ZŠ Chodov, Praha Abstract The author taught lessons of mathematics one hour weekly for selected group of 8 - 9 years old childern (the third class of elementary school) gifted for mathematics in ZS Chodov Praha. The topic “binary numary system” was included. For motivation the riddle: “Up to what number is it possible to calculate using fingers on one hand?” was chosen. Childern offered different system of calculating, the system leading to binary code was supported in the group by the author. After explaining the system childern prepared different hypes how to learn the system quickly: world description, pictures of hands showing different numbers, picture with one hand thumb with 0, …, small finger with 16, showing powers of 2 represented with the finger. Connection with informatics was taught – group of childerns performed one computer, each child representing one bit. Showing numbers up to 31 with fingers means to use combination of fingers, some of them are known in our culture as gestures with different meaning. The author describes how this point was faced. Other possible and more aligned approaches to the topic are mentioned. Ve školním roce 2007/2008 jsem učila na ZŠ Chodov jednu hodinu týdně skupinku 15 dětí. Šlo o děti nadané na matematiku, jedno z těchto dětí je má dcera Hedvika. Podobně se dětem v dalších ročnících věnovali jiní učitelé, mj. prvákům ing. Luděk Beneš, Ph.D. (syn v 1.A) a paní učitelka Dagmar Marvanová. V průběhu školního roku jsme se zabývali řadou témat, jedním z nich byla i dvojková soustava. Hádanka Položila jsem dětem hádanku z matematického folklóru: „Do kolika umíte napočítat na prstech jedné ruky?“ Samozřejmě se ihned ozvala odpověď „Do pěti“. A děti ihned ukázaly klasické počítání na prstech. A taková odpověď je správná. „Ano, opravdu takhle se na prstech do pěti počítá.“ Kuba ovšem místo klasického počítání, kdy počet zdvihnutých prstů souhlasí s ukazovaným číslem, skoro ihned předvedl počítání, kdy zdvihnutý palec znamená jedničku, ukazováček dvojku, prostředníček trojku, prsteníček čtyřku a malíček pětku. Kuba dostal pochvalu mimořádnou a děti byly povzbuzeny hledat svoje způsoby, jak na prstech hezky napočítat do pěti. Když ale napočítáme do pěti třeba Kubovým způsobem, stačí nám vždycky jen jeden zdvižený prst, nemohli bychom tedy už pomocí dvou prstů označit třeba nějak šestku? Zrodil se ve třídě nápad a - zatím částečné - porozumění problému bylo tu. Najednou děti pocítily, že těch možností, jak ukázat číslo, je hodně. Ale teď jak na to? Přetrvalo přesvědčení, že zdvihnuté a ohnuté prsty musí číslo reprezentovat nějak „rozumně“ – tedy Kubovo počítání do pěti děti braly, ale když jsem zkusila navrhnout podobný princip s přehozenou trojkou a dvojkou, ozvala se vlna nesouhlasu. Děti v tom za chvíli měly nepořádek a diskuze, co je a co není „rozumný“ zápis 6, 7, 8,… nevedly k žádným cílům a navíc to vypadalo, že zaberou velkou část hodiny. Už loni a i v tomto školním roce jsme se potkali s kombinatorickými problémy a už loni jsme spolu s dětmi přišli k „principům“: „Místo velkého problému malý.“ „Systém!“ Snažila jsem se naše „principy“ připomenout, ale marně. Téma jsem na zbytek hodiny opustila a věnovala se „obyčejnější“ matematice.
78
Lehčí hádanka Další hodinu jsem přišla s novou hádankou: „Do kolika umíte napočítat čítat na dvou prstech? Na palci a ukazováčku?“ Děti ěti se smály – oproti minule lehká hádanka. Kuba ochotně ochotn nabídl „starou“ odpověď:: „Palec jednička, jedni ukazováček ek dvojka.“ No a oba zdvihnuté prsty pak označily ily trojku. A žádný zdvihnutý prst? Ozval se i nápad, že by to mohla být čtyřka, děti jej ale zavrhly jako nerozumný – viz nahoře. Z tohoto průběhu jsem měla ěla radost – směřovali jsme, kam jsem chtěla. ěla. „Dobře „Dob děti, do kolika umíte napočítat na třech ech prstech? Na palci, ukazováčku ukazová a prostředníč edníčku?“ Strhla se velká diskuze o to, jak by teď ď na třech t prstech měla la vypadat trojka. Objevily se hned dva „rozumní kandidáti“ – zdvihnutý prostředníček, prost jak navrhoval Kubaa už minule a zdvihnutý palec a prostředníček ek tak jak jsme to použili u dvou prstů. prst . „Ano, u dvou prstů prst nám nic jiného nezbývalo, ale teď máme lepší možnost,“ argumentoval Kuba. Povzbudila jsem děti, d ať si to vymyslí podle svého doma a ve škole jsem podpořila podpo la trojku jako palec a ukazováček, ukazová s tím že to není jediná dobrá cesta. Kuba se mračil. mra Na zdvihnutý prostředníček edníček zbyla čtyřka. Došli jsme ještě k pětce, tce, šestce a sedmičce. sedmi Tak děti, pojďme me si spolu vyzkoušet naše nové počítání po do sedmi. Symboly a gesta I. Děti se začaly aly uculovat, některé trochu červenat, ervenat, a ozval se chichot. Zdvihnutý prsteníček prstení má přeci eci docela jiný význam než čtyřku. „Ale, paní učitelko, itelko, Topolánek takhle ukazuje, uka že je Kalousek jednička.“ http://cs.wikipedia.org/wiki/Mirek_Topol%C3%A1nek Tak a co teď? Tohle jsem dopředu edu nepromyslela. „No, ale to on se jen vymlouvá, to je sprosté slovo“, zčervenala jedna holčička. čka. „Děti, „D znáte nějaké slovo, které má dva různé ůzné významy?“ Děti D se od lechtivého tématu odloučily odlou neochotně. Několik slov se dvěma ma významy jsem ze třídy t vyloudila. „A takhle je to se vzty vztyčeným ukazová ukazováčkem. Má alespo dva významy. alespoň A protože většina v lidí zná jen ten, co se mezi slušné lidi nehodí, budeme takhle čtyřku u ukazovat jen mezi námi. Jasné? Takže ne, že dneska nastoupíte do jídelny se zdviženým ukazová ukazováčkem a budete tvrdit, že to znamenalo, že chcete čtyři knedlíky. O čtyřii knedlíky si v jídelně řeknete stejně jako jindy, paní kuchařky kucha takhle počítat neumí.“ Pokušení bylo ale příliš íliš velké, už o další přestávce p uměly ly tu novou čtyřku čty děti ze všech tří třetích tříd. Všechny tři učitelky čitelky itelky mi spolu napsaly mail, ve kterém žádaly, abych napříště nap lépe zvážila, zda je vhodné takové věci v děti učit a zda je to k něčemu emu dobré. dobr Psala jsem zpátky odpověď s omluvou, s vysvětlením vysvě dvojkové soustavy, s jejím využití v informatice.
79
Obrana svého nápadu Děti pak už bez problémů přijaly řijaly počítání po ítání do 31. Jen Kuba dál bránil svůj svů přístup jako „rozumnější“. Podpořila ila jsem, že začátek za je velmi rozumný, ať navrhne postup dál. Obrázek nahořee ukazuje jeho pokus, dál se už nedostal. Taháky Další hodinu jsme hráli hru. Děti Dě byly rozděleny leny do 4 skupin, každá skupina se usadila v jednom rohu třídy ídy a vyslala jednoho posla ke mně, mn poslovi jsem řekla číslo, ten běžel b ke své skupině, tam číslo íslo ukázal, jak jsme se naučili, nau ili, na prstech a skupina jej napsala na papír a někdo další mi jej přinesl inesl zkontrolovat. Než jsme začali za ali hrát, dostaly skupiny za úkol nakreslit si nápovědu. du. Je velmi zajímavé srovnat sro jednotlivé nápovědy: Kačka: nápověda slovní popis
Kuba: nápověda da obrázek ukazovaných jednotlivých čísel:
80
Lucka: zjednodušený obrázek ruky, skoro poziční zápis
Hedvika, Jirka: zápis „řádů“
Všechny taháky plnily svůj účel – s dětmi jsme si povídali jaké mají výhody a nevýhody.
Jiné soustavy Najednou Hedviku napadlo – a co kdyby použila ne dvě polohy prstů ohnutý a natažený, ale ještě by mohl být prst ohnutý do poloviny, no to by mohla napočítat do podstatně víc než 31. Povídala jsem si s ní o tom pak doma. Odvodila si sama trojkovou soustavu. Ještě jeden Hedvičin nápad mne velmi zaujal. Do šesti počítáme normálně jako v první třídě na levé ruce – palec 1, palec a ukazováček 2, palec, ukazováček prostředníček 3,…celá ruka a palec pravé ruky 6. Jenže, protože tu první ruku chtěla znovu použít, rozhodla se, že 6 bude jen palec pravé ruky a celou levou ruku máme znovu k dispozici. Oba palce tedy znamenají 81
sedmičku, palec a ukazováček první ruky a palec na druhé ruce 8, atd. až se dostaneme k 11. Palec a ukazováček pravé ruky ukazují 12. Prsty první ruky ukazují jednotky – nultý řád, prsty druhé ruky „šestky“, první řád – na obou rukou se tedy lehce (na rozdíl od dvojkové nemluvě o trojkové soustavě) dopočítáme do 35. Tucty: Celá věc mi připadala na tolik přirozená, že jsem chvíli přemýšlela, jestli podobné počítání nemohlo vést k půltuctům. Původ počítání na tucty se ale vysvětluje jinak – byť také v počítání na prstech: http://www.myty.info/view.php?cisloclanku=2007100001 Na každém prstu máme tři články – vezmeme si ukazováček až malíček a máme 12 článků, ty si očíslujme – palec pak ukáže, který článek zrovna chceme vybrat. Zapojíme li do hry druhou ruku, na které budeme ukazovat, kolik už máme celých tuctů, dostaneme se k 60, tedy kopě, když to budeme ukazovat “klasicky“ a k veletuctu, když použijeme stejnou „článkovou“ metodu. Další velmi rozumná počítání na prstech mezi lidmi používaná viz. [3]-[9]. Informatika Zpátky do školy. Na další hodinu jsem přinesla starý děrný štítek, obrázek děrné pásky a povídali jsme si o počítačích a o jejich historii. Vysvětlila jsem co je to bit a pak jsme si na 3 počítače zahrály. Každý počítač měl jen 4 bity – ty tvořily 4 děti - a jako správný bit měl každý jen dvě možnosti - postavit se nebo si dřepnout. Jak uložíme do počítače číslo? Jasně jako když jsme jej ukazovali na prstech. Tak všechny tři počítače vyzkoušíme. A když už máme v počítači čísla, naučíme je také sčítat. Jiný přístup Do třídy se zastavil Luděk Beneš – „To jsou bity v počítači, okomentovala jsem stojící a dřepící děti.“ „Dobrý nápad, to naučím prváky.“ Když jsem se pak ptala, jak na to šel a jak mu to šlo, popsal, že přímo začal u počítačů, což je už pro prváky velmi motivující a postupně přidával bity, když už na číslo nestačily. Paní učitelka Mgr. Dagmar Marvanová se při své rozšiřující výuce jiným číselným soustavám také dostala a to způsobem, který se mi velmi líbí: Celé třídě povídala o tom, že naše zapisování čísel souvisí s tím, že máme deset prstů na ruce, děti si kreslily člověka s deseti prsty, číslo zapisovaly jako počet celých lidí a prstů. Nejšikovnější děti ve třídě ovšem dostaly za úkol pracovat s mimozemšťany, kteří nemají 10 prstů, ale 6 nebo 8, nebo třeba jenom dva. Tyto dvě motivace vedou k porozuměním jiných soustav přímočařeji, hádanku bych zařadila později. Další přístupy k dvojkové a trojkové soustavě lze nalézt např. v [1]. Symboly a gesta II. Hedvice se počítání na prstech zalíbilo a důkladně si jej zapamatovala. Jednou jsme navštívili kostel pražského Jezulátka. „Mami, proč to Jezulátko ukazuje sedmičku?“, zeptala se. Náš průvodce po kostele P. Petr Šleich, převor karmelitánů, kteří u Jezulátka sídlí, se otázce trošku podivil, ale po jedné větě mu byla jasná. (Před teologickou fakultou vystudoval matfyz.) Pak jí ale ochotně odpověděl: „Sedmička je přece šťastné číslo a Jezulátko takhle žehná.“ 82
Já ovšem Hedviku učím, aby přemýšlela, co kterým symbolem je asi v dané situaci míněno. Není nutno vidět čísla všude ☺. Literatura: [1] Milan Hejný a kol: Teória vyučovania matematiky 2, Slovenské pedagogické nakladatelstvo, Bratislava 1990 [2] http://www.myty.info/view.php?cisloclanku=2007100001 (o tuctech) [3] http://www.cs.iupui.edu/~aharris/chis/chis.html (Chisenbop is a method of doing basic arithmetic using your fingers. It is attributed to the Korean tradition, but it is probably extremely old, as the soroban and abacus use very similar methods. Probably these other devices were derived from finger counting.) [4] http://ancienthistory.about.com/od/abacus/qt/FingerNumbers.htm (Finger Numbers and Finger Counting How fingers may have been used to count By N.S. Gill, About.com) [5] http://www.iit.edu/~smart/sandest/digital_numerics.htm (Digital Numerics, by: Estellvenia Sanders) [6] http://www.advart.net/cestovani/2009-Cina/postrehy.php (Počítání na prstech používané v Číně) [7] http://usa.qex.cz/Ameri%C4%8Dan%C3%A9 (Počítání na prstech používané v USA) [8] http://www.gymnachod.cz/~preclik/download/ od_pocitani_na_prstech_k_napierovym_hulkam.pdf (Jan Preclík: Od počítání na prstech k Napierovým hůlkám) [9] http://praha.astro.cz/crp/0209a.phtml (Alena Šarounová: Jak se dříve počítalo)
83
