Finanční a pojistná matematika ve škole Jarmila Ranošová, Allianz pojišťovna, a.s., Praha Rozhodla jsem se na Exodu vystoupit s tímto příspěvkem a nabídnout jej do sborníku z následujících důvodů: Až do rok 2000, kdy jsem nastoupila do České pojišťovny, jsem se s finanční a pojistnou matematikou nikdy nesetkala. A to mi zpětně připadá hodně zvláštní – od roku 1980, 8. třídy ZŠ jsem se díky MO o matematiku opravdu zajímala, studovala jsem na gymnáziu se zaměřením na matematiku, řešila několik korespondenčních seminářů, jezdila na soustředění, pak se seminářů účastnila jako vedoucí, vystudovala matematiku na VŠ, včetně postgraduálního studia a posléze matematiku na VŠ učila. Strávila jsem tedy 20 let svého života s matematikou, ale přesto jsem v roce 2000 musela přiznat, že neznám ani základní pojmy, neumím, nerozumím… Setkají se s finanční matematikou dnešní studenti? Z mého malého soukromého průzkumu plyne, že jen v malé míře nebo vůbec ne. Je to tak v pořádku? Ano, hodin matematiky se zpravidla učitelům zdá málo, učiva, které je třeba probrat naopak hodně. Ale v praktickém životě se finanční a pojistnou matematikou se setká každý. Více než kdy dříve si lidé berou hypotéky, uzavírají pojištění, spoří. Není to zvláštní? Proč je tedy právě tato část matematiky na školách Popelka? Shodneme-li se v tom, že by bylo dobré učit na ZŠ a SŠ více z této části matematiky, nastoupí otázka, co učit a jak to učit. Tento příspěvek je jistý pokus o odpověď. Text je psán pro učitele matematiky, nikoli pro žáky či studenty, jako námět. Učitel na základní škole by mohl spočítat jednoduché příklady na spoření a úvěr na konkrétních číslech při výuce násobení, dělení, mocnin. Studenti střední školy pak podle mého názoru mohou zvládnout skoro vše, co je v tomto příspěvku. Vždyť pro většinu platí, že střední škola je poslední místo, kde se s finanční matematikou mohou potkat. Mnozí půjdou studovat medicínu, jazyky nebo třeba odbornou matematiku ☺ a tam finanční a pojistnou matematiku skutečně nepotkají. Je tu ještě jedna otázka: Je finanční a pojistná matematika pro studenty základní a střední školy a pro učitele přitažlivá a zajímavá ? Mám-li být upřímná, myslím, že u mne by na střední škole v porovnání s těmi úžasnými myšlenkami o čtyřrozměrné krychli, nekonečných množinách, Kleinově láhvi, rozhodně nepatřila mezi favority. Přesto je mým přesvědčením, že jsem se s ní potkat měla. Ale když jsem učila, potkala jsem více studentů, které z matematiky zaujala jen to, co se zdálo užitečné, třeba kombinatorika, protože rádi sázeli a viděli, nač ta teorie je, kdežto u jiných částí matematiky to neviděli. Pro takové studenty by finanční a pojistná matematika mohla atraktivitu matematiky výrazně zvýšit a to i partií, které vypadají nepraktické. Skoro každý se s ní potká a skoro nikdo ji nerozumí Žena 26 let: Hypotéka 20 let 1,000,000 Kč Výpočet: 1,000,000/20=50,000 Kč ročně Muž 50 let: kapitálové pojištění smrti a dožití 10,000 jednorázové pojistné, technická úroková míra 6 procent, 5 let Výpočet: 10000.(1.06)5=13 382 Mýty o finanční a pojistné matematice „Móc složitá, tomu normální člověk nikdy neporozumí…“ „To bude jednoduché, kdybych to potřeboval, tak to hravě vymyslím…“ Spoření Začněme příkladem, se kterým ve výuce pravděpodobně pracujeme:
70
K
0 P
1
2
T
P
P
P
T-1
T
P
Na počátku každého roku uložíme P korun, kolik budeme mít na konci 5. roku, (roku T)? Nejspíš se dočkáme odpovědi 5*P (T*P). Nicméně o úrocích už každý slyšel, takže když zavedeme obvyklé značení i úroková míra q úrokovací faktor q = 1 + i dostaneme: K = Pq + Pq 2 + ...Pq T a jsme u geometrické řady. Takový příklad obvykle v učebnicích nechybí, s malým kouskem finanční matematiky se tedy středoškolský student potká, ale tady taky většinou skončí. Úvěr K
0
1 P
2
T -
P
P
T-1 P
T P
Dohodnutým způsobem je na tomto obrázku zakreslený úvěr. Půjčíme-li si K korun - držme se příkladu z počátku – řekněme 1,000,000 korun, a budeme splácet T – řekněme 20 – let. Kolik má být splátka tohoto úvěru ? Kdybychom nespláceli úvěr, ale místo toho peníze spořili, měli bychom na konci:
P + P q + Pq 2 + ...Pq T −1 Pokud by poskytovatel úvěru peníze místo toho, aby nám je půjčil, uložil, měl by
Kq T Splátka se tedy bude rovnat
Kq T K P= = , 2 T −1 2 1 + q + q + ...q v + v + ...v T −1 + v T Kde v je diskontní faktor rovný převrácené hodnotě q. Příslušné výpočty je výhodné provádět v excelu a nechat studenty samotné spočítat, že v našem případě např. pro K=1,000,000 i = 0% n=20 let je P = 50,000 korun, K=1,000,000 i = 4% n=20 let je P = 73,581.75 korun, K=1,000,000 i = 6% n=20 let je P = 87,184.56 korun, K=1,000,000 i = 10% n=20 let je P = 117,459.62 korun, K=1,000,000 i = 0% n=15 let je P = 66,666.67 korun, K=1,000,000 i = 4% n=15 let je P = 89,941.10 korun, K=1,000,000 i = 6% n=15 let je P = 102,962.76 korun, K=1,000,000 i = 10% n=15 let je P = 131,473.78 korun.
71
Nabízí se další experimenty a diskuze se studenty, jaký úvěr by volili oni. Výpočet, který jsme odvodili je ovšem netto výpočet, bez poplatků a přirážek. Na internetu lze nalézt různé hypotéční kalkulačky a studenti tedy mohou porovnat naše výpočty s jejich výsledky a odhalit pokud se liší, proč to tak je (počítají s ročními splátkami na konci roku) ? Když už úvěr nějakou dobu – řekněme 5 let splácíme, je přirozené se ptát, kolik nám ještě zbývá zaplatit a kolik už jsme zaplatili. Studenti už z předchozích výpočtů nabudou zkušenost, že zbývá-li nám platit ještě 15 let 15P nebude správná odpověď. A platili-li jsme 5 let nebudou ani tvrdit, že máme zaplaceno 5P. Kolik tedy zbývá ještě zaplatit ? Určitě by bylo vhodné tento úkol nechat studenty přemýšlet nad touto otázkou doma. Původně jsme si vzali úvěr K a platilo:
K = P(v + v 2 + ...v T −1 + v T ), (řekněme, T=20) teď už nám zbývá platit jen S (řekněme15) let, za to bychom dneska dostali při stejné úrokové míře úvěr
P(v + v 2 + ...v S −1 + v S ), Takže, to je to, co máme ještě splatit, současná hodnota nezaplacené části našeho úvěru. A zaplatili jsme už
P(v S +1 + v S + 2 ...v T ), je to sice T-S splátek, číslo je to ale mnohem menší než P*(T-S). Kam zmizl rozdíl těchto částek ? Zaplatili jsme jimi dohodnutý úrok. Nemusí vždy platit, že peníze dostaneme v jednom okamžiku a vkládáme ve stejných částkách několik let.
Finanční tok – cash flow Uvažujme obecnou situaci – někdy peníze dostaneme bereme jako kladné číslo, někdy zaplatíme – bereme jako záporné číslo, jde vlastně o konečnou posloupnost jejímiž složkami jsou reálná čísla. F
FT FT-2
0
1
2 F
T-2
T-1
T
FT-1
F
CF = ( F0 , F1 , F2 , F3 ,...FT ). V případě úvěru a spoření jsme dostatečně ohmatali, že budou-li na několika místech stejná čísla P budou mít ve skutečnosti jinou hodnotu. Navíc, mluvíme-li o hodnotě, měli bychom ihned říci o kterém časovém okamžiku mluvíme. Předpokládáme-li konstantní úrokovou míru řekněme pro jednoduchost 10 procent. Jakou hodnotu má 1000 korun, které jsem dostal před rokem? Dnes má dneska hodnotu 1100 (uložil jsem ji a banka mi ji naúročila).A jakou cenu má 1000 korun, které dostanu za rok ? Kolik by mi dneska půjčili, abych to tou tisícikorunou splatil ? Bylo by to 1000/1.1 tedy 909 korun. Samozřejmě ve skutečném světě, jak už jsme poznamenali výše, přibudou poplatky, přirážky apod. a především nikdo neví, jaké bude aktuální procento. Určitě se ale bude měnit a nezůstávat konstantní.
72
Přesto budeme v našich úvahách stále uvažovat konstantní úrokovou míru. Rozmyslíme –li si vše za předpokladu konstantní úrokové míry je to dobrý start pro přemýšlení nad obecnou měnící se úrokovou mírou. Takže předpokládejme dále konstantní úrokovou míru i =0.1. Jakou hodnotu má 1000 korun, které jsem dostal před dvěma lety a uložil a jakou 1000 korun, které dostanu za 2 roky ? Ano, správná odpověď, je 1000*(1.1)2 a 1000*(1.1)-2 . Nebo zapíšeme-li to raději v písmenkách Pq 2 , Pv 2 .
Současná hodnota budoucího finančního toku (present value) Obecně současná hodnota budoucích finančního toku CF je rovna .
PV ( CF , i ) =
T
∑
k=0
Připomeňme
F k .v
k
q = (1 + i ), v = 1 / q = 1 /(1 + i ).
Víme-li jistě, že nás čeká finanční tok CF a že úroková míra bude stále i a že si bez jakéhokoliv omezení můžeme za při úroku i půjčit, je to za těchto idealizovaných podmínek totéž jako bychom měli hodnotu PV (přesně hodnotu PV bychom dostali půjčenou, a našim CF bychom ji splatili). Současná hodnota finančního toku není nic jiného než hodnota polynomu, jehož koeficienty jsou velikosti složek v jednotlivých letech. Polynomy na střední škole běžně učíme, stojí podle mého názoru za zvážení, zda studenty neseznámit s touto aplikací. Současná hodnota budoucího finančního toku je ovšem polynomická funkce, kde nás zajímá jen kousek reálné osy – nezapomínejme, že v=1/(1+i), i je úrok.
Budoucí hodnota budoucího finančního toku (future value) Má ovšem – stejně jako jsme to udělali u spoření, uvažovat i budoucí – konečnou cenu cash flow:
FV ( CF , i ) =
T
∑
k=0
Zřejmě platí:
F k .q T − k
PV ( CF , i ) = FV ( CF , i ). v T Stojíme-li před rozhodnutím, zda přijmou finanční tok CF, podle čeho se rozhodneme ? Máme třeba na výběr mezi jednou a druhou půjčkou, mezi jedním a druhým finančním tokem, jak se rozhodneme ? Srovnání některých finančních toků je zcela jasné. Jistě si každý radši zvolí finanční tok (1000,1000, 1000) než (-1000,-1000, -1000). Tak ovšem reálné rozhodování vypadá jen velmi zřídka.
Závislost současné hodnoty na i Jak tedy porovnat dva finanční toky, kde to není takhle jasné ? Ano, máme přece PV. A pokud nejsme nuceni v našem rozhodování zvažovat jiné okolnosti (třeba, že potřebujeme delší půjčku, protože sice jsme si spočítali, že kratší by byla výhodnější, ale vyšší splátky bychom nezaplatili), PV nám dá dobrou odpověď na to, co zvolit. Dobrou, ovšem pouze za předpokladu že známe i ! Ale ve skutečnosti i neznáme. Je tedy rozumné si rozmyslet, jak PV na i závisí. Čili vlastně kreslíme graf funkce – funkce složené – vnější funkce je polynom, vnitřní je 1/(1+i) na i. Na střední škole se grafy funkcí zabýváme, nabízí se tedy možnost přidat tuto interpretaci.
73
Jak takové grafy PV v závislosti na i mohou vypadat ? Třeba takto: PV
irr
i
PV
i irr
Na rozmyšlenou: Jak vypadají grafy pro úvěr a jak pro spoření ? Označení irr je použito pro průnik s osou x, pro tuto úrokovou míru je současná hodnota rovna 0. (V příkladech nahoře je to tedy ta úroková míra na které je úvěr či spoření sjednáno.) Máme-li dva finanční toky, PV A
B
Irr_(A-B)
Irr_A
i
Irr_B
Na našem obrázku při malém i až do Irr_A jsou výnosné oba CF, do Irr_(A-B) je výnosnější A, pak je výnosnější B, od Irr_A je už výnosný jen B a od Irr_B žádný z nich.
Hodnota finančního toku v čase t Předpokládejme, že máme finanční tok, jehož počáteční hodnota je nula a pracujme s fixním úrokem. Jaká je jeho hodnota v čase t ? t
∑ Fk .(1 + i) t −k + k =0
T
∑ F .v
k = t +1
k
k −t
=?
Snadnou úpravou zjistíme, že t
∑ Fk .(1 + i) t −k + k =0
T
∑ F .v
k = t +1
k
k −t
=
T t (1 + i ) t ∑ Fk .(1 + i ) t − k + ∑ Fk .v k −t = (1 + i ) t .PV (CF ) = 0 k = t +1 k =0
takže za uvedených předpokladů hodnota v čase t celého CF je rovna 0. 74
Tedy hodnota budoucího CF (Fk, k>t) se rovná hodnotě minulého CF (Fk, k=
Od finančnictví k pojišťovnictví Pojištění pro případ života a smrti: Muž, 40 let, pojištění na 15 1et na 1 000 000 Kč. Jaké bude pojistné bez nákladů (netto pojistné) a jaké s náklady ? Klient v pátém roce umře
Klient se dožije konce pojištění
Jak ale odhadneme kolik lidí umře a kolik se dožije konce pojištění ? Použijeme k tomu úmrtnostní tabulky. Měl by středoškolák vědět, že existují úmrtnostní tabulky ? Měl by jim rozumět ? Tabulky lze stáhnout ze stránek českého statistického úřadu: http://www.czso.cz/csu/edicniplan.nsf/p/4002-03. Číslo qx udává pravděpodobnost toho, že osoba, která byla živa na počátku věku x zemře do věku x+1. Vezmeme-li všechny klienty daného věku, pohlaví a pojistné doby dohromady, budou finanční toky vypadat nějak takto:
Někteří klienti umírají a těm (jejich pozůstalým) je vypláceno pojistné plnění, většina ale žije platí pojistné a získávají plnění až při dožití. Kolik je netto pojistné ? Nejde o nic jiného než zase o finanční toky: Označme jednpojistné pojistné na jednotkovou pojistnou částku.
PV (CF ) = PV ( smrti ) + PV (dožití ) − PV ( pojistné ) tj. PV ( jednpojistné ).P = PV ( smrti ) + PV (dožití ) P = ( PV ( smrti ) + PV (dožití )) / PV ( jednpojistné ) 75
Kromě qx, použijeme ještě px pravděpodobnost přežití ve věku x, tedy pravděpodobnost, že jedinec, který byl naživu ve věku x, se dožije věku x+1. Platí px+ qx = 1. Označme l0 počet klientů na začátku pojištění, l1 po roce, l2 po 2 letech, l20 po 20 letech. lx klientů zaplatí pojistné, lx*qx klientů zemře, lx+1= lx*px. Nyní postupujeme přesně jako při výpočtu splátky úvěru, podle rovnice nahoře, podrobný výpočet je proveden v excelu. Z excelu si přečteme, že splátka pojistného je v tomto případě 33,412.66 korun ročně, při technické úrokové míře 4.5 procenta, a 41,349.02 při technické úrokové míře 2.4 procenta Klient ze začátku našeho příkladu by měl pojistnou částku nikoli 13 382 korun, jak si spočítal, ale 12,261.86. (za předpokladu, že náklady pojišťovny byly strženy bokem a nezapočítány do oněch 10,000. V úmrtnostních tabulkách jsou rovnou spočítány komutační čísla.
PV ( smrt _ 1) = (d x .v + d x +1 .v 2 + d x + 2 .v 3 + ... + d x +T −1 .v T ) / l x = = (d x .v x +1 + d x +1 .v x + 2 + d x + 2 .v x +3 + ... + d x +T −1 .v x +T ) /(l x v x ) = (C x + C x +1 + C x + 2 + ... + C x +T −1 ) / D x = ( M x − M x +T ) / D x = A1xT PV (dožití _ 1) = (l x +T v x +T ) /(l x v x ) = (C x + C x +1 + C x + 2 + ... + C x +T −1 ) / D x = D x +T / D x = 1 AxT 1 PV ( pojistné _ 1) = ((l x v x + l x +1v x +1 + l x +T −1v x +T −1 ) /(l x v x ) = ( D x + D x +1 + D x + 2 + ... + D x +T −1 ) / D x = ( N x − N x +T ) / D x = a xT
čili P=
M x − M x +T + D x + T A1 + AxT 1 K = xT K N x − N x +T a xT .
Všechny výpočty byly doposud bez nákladů, náklady se započítávají zpravidla takto: počáteční alfa náklady- náklady na počátku pojištění – procento z pojistné částky např. 5%, na začátku pojištění správní náklady beta – každoroční náklady na správu pojištění – procento z pojistné částky např. 0.6 % inkasní náklady gama náklady spojené s inkasem pojistného např. 5%. Pro milovníky vzorečků – brutto očistné se pak počítá třeba takto:
B=
1 AxT + AxT 1 +α + β 1 a xT K (1 − γ )a xT .
Tak jako jsme progresivní a regresivním způsobem mohli určit jakou hodnotu v čase t mělo minulá a budoucí část finančního toku, můžeme to udělat i tady:
V (t ) = Vnetto (t ) − V NPN (t ) = ( A1x +t ,T −T + Ax +t ,T −t 1 ).K − Pa x + t ,T −t −
α a x ,T
a x + t ,T −t
Spočítáme tak rezervu: Pro klienta hodnota budoucího CF za dohodnutých podmínek = hodnota minulého CF za dohodnutých podmínek = „jeho peníze“. Na ni založen výpočet odkupného (tj.,kolik peněz klient dostane, když smlouvu stornuje), změny pojištění, a podobně. Pozor na V_NPN – rezervu na počáteční náklady – sjednejte si to, co opravdu chcete, při snížení částky, pojišťovny tuto rezervu nezmenší! Pro pojišťovnu hodnota závazku 76
– tolik peněz klientovi kryje. Pokud je úrok na trh výše než je TÚM, připisuje pojišťovna klientovi podíly na výnosech, při výpočtu se vychází z rezervy. Úmrtnostní tabulky jsou důležité nejen pro pojištění ale i pro důchody a musí se z nich vycházet při důchodové reformě.
Tradiční a moderní produkty Tradiční jsme teď počítali: klient ví, kolik platí, ví, kolik má na konci garantováno, v ideálním případě ví, jak se připisují podíly na výnosech. V moderních produktech má klient účet, strhává se poplatek za riziko a poplatky na správní a počáteční náklady, úrok může ale nemusí být garantovaný. Pokud není úrok garantovaný, klient může mít možnost zvolit si fondy, kde se budou jeho peníze zhodnocovat, takové produkty se prodávají pod označením investiční pojištění. Rizika pojištění z pohledu pojišťovny Pojišťovna přebírá rizika klienta, sama ovšem rizika podstupuje. Jaká rizika to jsou ? Jde-li o malou pojišťovnu s malým množstvím pojistek, může pojistná událost znamenat pro pojišťovnu velkou ztrátu. Pojišťovny se snaží mít velké množství pojistek, navíc si velké částky si pojišťovny pojišťují u zajistitelů (pojišťoven pojišťoven). Pojišťovna může používat špatné úmrtnostní tabulky, lidský život se prodlužuje, úmrtnostní tabulky používané v minulosti, dnes neodpovídají realitě. Pojišťovny proto aktuální tabulky různými způsoby upravují. Ztráty pojišťovny jsou hrazeny z peněz pojišťovny. Dalším rizikem je špatně odhadnutá technická úroková míra – ten úrok, na kterém je pojistné spočítáno. Je-li úrok na trhu větší, pojišťovna připisuje klientům podíly na zisku. Je-li ale menší, pojišťovna tento rozdíl hradí ze svých peněz. Proto je technická úroková míra volena konzervativně a pojišťovny ve větší míře nabízejí produkty, kde investiční riziko nese klient.
Finanční tok jako produkt S finančním tokem se často setkáváme jako s produktem, který nám nabízí finanční instituce: spoření (např. stavební), hypotéka, pojištění jsou příklady takových produktů. Známe jednotlivá F? Víme, co je garantováno, co může finanční instituce změnit? Víme o všech poplatcích? Může pojišťovna zavést moderní produkt, kde nezveřejní všechny poplatky? Kdo si jej koupí, kupuje vlastně zajíce v pytli a zajíce v pytli si racionální klient nekoupí. Teoreticky. Prakticky např. jeden z dobře prodávaných produktů v ČR má poplatky, které pojišťovna není ochotna zveřejnit, ani pokud se o ně výslovně zajímáte. Diskuse Patří finanční a pojistná matematika na základní a střední školu? V jaké podobě, v jakém rozsahu? Co by mělo být cílem? Tady jsou nabízené odpovědi: Ano, jako aplikace toho, co se učí a jako základní orientace toho, jak se finanční a pojistné produkty počítají. Cílem by mělo být vychovat přemýšlivého klienta, občana a člověka. Poděkování Těšilo mne být na Exodu, po letech se znovu dostat do prostředí podobného soustředěním seminářů, které se mi před lety tak líbilo. Děkuji organizátorům a držím palce do další práce. Zvláštní poděkování patří PaedDr. Janu Žabkovi, se kterým jsem o tomto tématu vedla večerní diskuze a který už dříve vyzkoušel přímo ve své učitelské praxi počítat se studenty hypotéku. Pro zájemce je k dispozici excelovský soubor s některými výpočty použitými v tomto článku. 77
Na jakékoliv reakce se těším na e-mailu
[email protected].
Literatura Tomáš Cipra: Pojistná matematika Ekopress, Praha, 1999
78
