Matematika pro šikovné třeťáky - nekonečno Jarmila Ranošová Allianz pojišťovna a.s., ZŠ Chodov, Praha Abstract The author taught lessons of mathematics one hour weekly for selected group of 8 - 9 years old children (the third class of elementary school) gifted for mathematics in ZS Chodov Praha. After discussion about big numbers the children wanted to discuss infinity. The author decided first asked children, what their image of infinity was, and prepared a simple questionnaire for them. The questionnaire was given to children in first and third class of elementary school. In the article children’s answers are introduced and analyzed. Children answers are divided into 7 groups “universe”, ”mathematics”, “time”, ”countable”, ”uncountable”, ”repeating and cycling” and “spiritual”. In the answers of smaller children the idea of infinity is often connected with idea of unsharpness. Ve [4] jsou popsány hodiny matematiky, které jsem vedla v roce 2007 každé úterý 8.00-8.45 pro vybrané děti druhých tříd ZŠ Chodov nadané na matematiku. Jedno z těchto dětí je má dcera Hedvika. Ve školním roce 2007/2008 jsem s těmito dětmi pokračovala ve třetí třídě; jedním z témat, kterým jsme se na přání dětí zabývaly, je nekonečno.
Nekonečno Na nekonečno jsme s dětmi narazily už v druhé třídě – loni jsem na přání dětí do hodin zařadila téma „Velká čísla“. Ve druhé třídě měla otázka „Do kolika umíš napočítat?“ stále magickou moc. Ve třídě se objevila otázka nekonečna. To je přece ještě větší než googolplex! Přemýšlela jsem, zda a jak s dětmi o nekonečnu mluvit. Ve druhé třídě jsem se u slova nekonečno tvářila tajemně a slíbila se k tomu vrátit, viz [4]. Ve třetí třídě jsem se k tématu vrátila. Co a jak má smysl říci dětem o nekonečnu? Rozhodla jsem se, že než budu cokoli říkat já, zjistím, jakou představu o nekonečnu mají děti. Připravila jsem pro děti dotazník, nad otázkami jsem dlouho přemýšlela, ale na konec jsem došla k názoru, že otázky musí být co nejjednodušší, abych dětem žádnou představu otázkami nenabízela. S takto malými dětmi se nemůžeme ani ptát na geometrii, s tou se teprve začínají zabývat. V dotazníku tedy byly následující body: • Napiš, jak si představuješ nekonečno. • Co je nekonečné? • Čeho je nekonečně? • Na druhou stranu papíru nakresli, jak si představuješ nekonečno. Mluvila jsem o nekonečnu s Dagmar Marvanovou, učitelkou prváků, a ta mi potvrdila, že nekonečno láká děti už v první třídě. Dohodly jsme se, že zadá stejný dotazník i prvákům. Na dotazník odpovídalo 20 prváků a 16 třeťáků, dotazník si vyplnila ještě jedna studentka tercie osmiletého gymnázia (moje starší dcera). Do jaké míry jsou odpovědi reprezentativní pro prváky a třeťáky, nevím, bylo by zajímavé zopakovat dotazník s jinými dětmi.
71
Odpovědi po prvním hrubém setřídění ukazuje následující tabulka. Tab. 1 Celkem 1A 3BC 3A Celkem vesmír
Celkem
1A
3BC
3A
36
20 10
6
25
11
6
prázdnota, smrt, tma
3
2
1
0
8
lidí, sladkostí, peněz, samolepek, kytek, stromů, kroků, stop dlouhé čekání na něco, co pak nastalo
19
10
7
2
zeměkoule, koule
3
3
0
0
11
11
0
0
roky, dny, čas
3
1
1
1
řada čísel
10
3
6
1
přímky
3
0
3
0
osmička, nula, kruh
10
1
7
2
černá díra, díra
2
0
0
2
přímka
8
0
6
2
nemá začátek
2
0
2
0
listí, láva, prach,jídlo, pití, peníze
5
2
3
0
rodí/umírají, vývoj
2
0
1
1
ležatá osmička
5
1
2
2
slunce
2
1
1
0
hvězdy
5
1
2
2
moc a moc velké
2
2
0
0
učení, domácí úkoly, škola
5
3
1
1
mraky
1
0
1
0
to, co nemá konec/nikde nekončí
5
1
2
2
1
0
1
0
velké číslo
4
3
1
0
trpělivost, závist, láska… mračno přímek
1
0
1
0
vzduch
4
0
2
2
chyb
1
0
1
0
svět
4
3
1
0
nic
1
0
0
1
dlouhé čekání a není jasné, jestli to nastalo
4
3
1
0
je toho hrozně moc
1
1
0
0
mysl/chytrost/myšlenky
4
0
3
1
ve Vietnamu
1
1
0
0
nebe, moře, plocha
4
3
0
1
jádro
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
voda
3
0
2
1
písnička
posvátný život, Bůh, Ježíšek
3
2
1
0
život
Pojem nekonečna se u takto starých dětí tvoří. Jsou všechny odpovědi smysluplné? Nad odpověďmi: „nekonečno je ve Vietnamu,“ a „nekonečné je, když piju mléko“ jsem zaváhala. Jsou to odpovědi vietnamské žákyně 1. třídy. Možná nemá dostatečnou znalost češtiny? Došla jsem ale k tomu, že to mohou být odpovědi rozumné, Vietnam tu může nést podobnou představu jako třeba „nebe“, něco nepředstavitelně vzdáleného, země za obzorem. Pití mléka, pro dítě, které mléko nemá rádo a má za zády autoritu, která trvá na vypití plného hrnku, může vést k představě – „ ať piju jak piju, po dalším hltu hrnek stejně prázdný nebude“, podobně jako je silná představa, že „moře nebude prázdné, ať z něj kapičku vody odebereme, kolikrát chceme“, do tabulky nahoře jsem ji zařadila do kategorie „dlouhé čekání na něco, co pak nastalo“, spolu s odpověďmi „když jedeme na Moravu“, „když čekám v družině a máma nejde a nejde,“ „nemůžu dokončit ten sloupeček z matematiky“…(Na Moravu nakonec rodina dojede, máma přijde a pití mléka taky skončí.) Nějaký poukaz na nekonečno u ostatních odpovědí mi byl srozumitelný, došla jsem tedy k závěru, že všechny odpovědi na nekonečno nějakým způsobem ukazují, žádná odpověď nebyla zcela nesmyslná. 72
O odpovědích jsem pak diskutovala s třeťáky – z 16 dětí se vydělila „radikální skupina“ asi 5 dětí, těch, kteří se opravdu hodně zajímají o vědu a jsou podle mého názoru opravdu nadaní na matematiku, které část odpovědí odmítly jako špatné a žádaly, abych je obodovala 0 body. Občas přesvědčily celou skupinu, občas ne. Podrobněji se k tomu vrátím v jednotlivých bodech. Odpovědi jsem poté setřídila podle témat, jak ukazuje druhá tabulka. Toto rozdělení je subjektivní a zařazení některých odpovědí do dané kategorie budu i tady diskutovat. Přesto nám pomůže odpovědi pojmout z nadhledu. Zvolila jsem následující kategorie: Vesmír, matematika, čas, počitatelné (lidi, kytky, ...), nepočitatelné (prach, láva, peníze), opakování, nemateriální. Projděme a okomentujme jednotlivé kategorie: Kat. 1
Kat. 2
1 vesmír
černá díra hvězdy jádro slunce svět vesmír
2 5 1 2 4 25
2 matematika
moc a moc velké mračno přímek nebe, moře, plocha nic přímka přímky řada čísel velké číslo Zeměkoule, koule
39 2 1 4 1 8 3 10 4 3
3 čas
dlouhé čekání a není jasné, jestli to nastalo dlouhé čekání na něco, co pak nastalo je toho hrozně moc nemá konec/nikde nekončí nemá začátek rodí/umírají, vývoj roky, dny, čas
4 počitatelné
lidí, sladkostí, peněz, samolepek, kytek stromů, kroků, stop
5 nepočitatelné
listí, láva, prach, jídlo, pití, peníze mraky učení, domácí úkoly, škola voda vzduch život
6 opakování
ležatá osmička osmička, nula, kruh písnička
7 nemateriální
chyb mysl/chytrost/myšlenky posvátný život, Bůh, Ježíšek prázdnota, smrt, tma trpělivost, závist, láska… ve Vietnamu
36 4 11 1 5 2 2 3 28 19 19 5 1 5 3 4 1 19 5 10 1 16 1 4 3 3 1 1 13
Opakování Odpovědi „ležatá osmička, nula, kruh, písnička…“ jsem zařadila do kategorie „opakování“, děti svou některé odpověď doplnily i vysvětlením – kruh, ležatá osmička – můžu chodit pořád dokola a nikde neskončí. Podobně nekonečné písničky „Pes jitrničku sežral…“, „Deset malých černoušků…“. Vždycky mohu přidat další sloku, ještě jednou obejít kruh a podobně. Je tady tedy zastoupena představa potenciálního nekonečna (nekonečno spojeno s ideou „vždy lze pokračovat dál“ – toto chápání nekonečna se objevovalo už ve starověké matematice – Eukleides takto definoval přímku – jako rovnou čáru, kterou mohu jakkoliv prodloužit), kdy vždy lze pokračovat dál jakkoliv daleko a kdy ale navíc potkáváme stále totéž. Děti odsouhlasily, že to lze dělat stále dál, nicméně radikální skupině se odpověď zdála podezřelá – ukazovaly na to, že ale to co děláme pořád je vlastně konečné, nekonečná je jen možnost opakování. Počitatelné a nepočitatelné Početné byly odpovědi: „lidí, sladkostí, peněz,
samolepek, kytek, stromů, kroků, stop“. Obhájci tvrdili, že „vždy se dá udělat ještě jeden krok“, „vytisknout ještě jedna samolepka“ (poukaz na potenciální nekonečno), „kytky rostou pořád a všude“, …(pořád a všude by mohl být pokaz na aktuální nekonečno – nekonečno vnímané jako celek najednou „vidíme“ celé nekonečno – takto chápeme přímku my). 73
Radikální část třeťáků odmítla tyto odpovědi jako špatné. Bohatší diskuse se rozvinula kolem odpovědí jako „Listí, láva, prach, jídlo, pití, peníze, voda, vzduch…“ (z gramatického pohledu většinou nepočitatelné podstatné jména, nebo slova označující nějakou látku). Prach je přece všude, objevuje se pořád… Stejná radikální část ovšem přišla s informacemi, že i atomů ve vesmíru je konečný počet a když je prach z atomů tak, že to snad může být i ostatním jasné, že je ho konečný počet. Uchýlila jsem se k pohádce – odsouhlasila jsem radikální skupině, že lidí, sladkostí, samolepek… je „v našem světě“ jenom konečný počet, ale můžeme si představit pohádkovou zemi, kde jich bude nekonečně mnoho, o takové zemi jsem potom vyprávěla – viz. níže. Vesmír Nejčastější odpověď vůbec byl „vesmír“. Do svých odpovědí ji zahrnulo 26 dětí z 36. Tato odpověď, domnívám se, znamená ve skutečnosti u většiny dětí „prostor“. Jde o to že se táhne do nekonečna na všechny strany „všude“. Pokud by se ukázalo, že náš vesmír je konečný, představa nekonečna do všech stran okolo by podle mého názoru u většiny dětí zůstala. Utvrzují mne v tom odpovědi 14leté studentky („vesmír (3D), plocha (2D), přímka (1D).“) a diskuse s třeťáky, kde Patrik přinesl informaci, že vesmír je možná konečný a děti navrhovaly, že pak je nekonečné to, v čem se nachází ten konečný vesmír. Odpověď „vesmír“ by si tedy možná zasloužila být ve stejné kategorii jako „plocha“, tedy v kategorii matematika. Další mnohem méně časté odpovědi z kategorie vesmír byly „hvězdy“ (mohli bychom zařadit do počitatelných), „slunce“, „svět“ (něco hodně velkého), černá díra (představa nekonečného padání). Matematika Domnívám se, že představa „obloha“ a „moře“ v sobě u dětí nese především představu „plochy“, „nekonečno 2D“ (i když u obojího bychom poukazů na nekonečno v nějaké podobě našli více – např. „moře“ jako nekonečně mnoho kapiček, „nebe“ jako něco nedosažitelného – něco za obzorem). „Nekonečno1D“ je v odpovědích zastoupeno jako „přímka“, mohli bychom tu přidat ještě odpověď „čas“ (slovo čas se objevilo pouze dvakrát – zařadila jsem do kategorie čas, spolu s dalšími odpověďmi odkazujícími na plynutí času). Budeme-li číst odpověď vesmír jako „prostor“ a zahrneme jej do kategorie „matematika“, kam už jsem před tím zahrnula všechny představy „plochy“ a odpovědi „přímka“ stane se tato kategorie nejpočetnější. 74
Zastavme se u dalších odpovědí této kategorie: „velké číslo“ – vnímám je jako to nekonečno, po kterém děti volaly, když jsme si povídaly o velkých číslech – nějaké číslo, kam, až dopočítám, definitivně vyhraju soutěž „do kolika umíš počítat“, protože dál už se dopočítat nejde. Odpověď se objevuje u prváků; u třeťáků jen jednou, v diskusi jí skupina třeťáků odmítla jako špatnou, se zdůvodněním, že žádné takové číslo není, i když se objevil nápad dát to číslo za všechna ostatní. (A pak bychom jej mohli interpretovat třeba jako „omega“ nejmenší nekonečný ordinál.) „Řadu čísel“, „přímku“, „mračno přímek“, odsouhlasili všichni jako správné. Ideu „koule“ jako nekonečna bychom mohli zařadit do kategorie „opakování“. My si povídáme o nekonečnu v matematice. Co je rozumné říci třeťákům? Nahoře jsem se zmínila o pohádkové zemi, kde je nekonečně hodně květin, samolepek, …Taková pohádková země mi pak posloužila, abych mohla děti seznámit s ideou Hilbertových nekonečných hotelů (u nás nekonečných zámků). Děti „viděly, ale nevěřily“, na příklad reakce Patrika byla „chápu, jak se tam naskládají, ale je to divné“. – Tedy děti měly stejný pocit jako Galileo a později Cantor. Čtenáře, který není s tématem seznámen, odkážu na literaturu [1], [2], [5], [7] a další. Nemateriální Nekonečno není pojem jen matematický, matematika si jej nemůže přivlastnit, matematika přeci neobsahuje všechnu pravdu o světě. Ve světě okolo evidujeme nekonečno – takové, jak tomu pojmu obecně rozumíme - jen v náznacích. Podíváme-li se do historie, uvidíme, že matematika tu brala inspiraci v teologií a filozofií. Nekonečno, tak jak mu současná matematika rozumí, v matematice „zabydlel“ Bolzano a Cantor a jejich práce se na křesťanskou teologii odvolávají. Je tedy divné, jak malá část odpovědí je nemateriálních. Zatímco Bolzano či Cantor by na otázku, co je nekonečné, pravděpodobně odpověděli „Bůh“, v odpovědích dětí se tato možnost objevila jen jednou – u jedné žákyně třetí třídy, napsaná malým písmem a v závorce a to až poté, co jsem třeťákům řekla, že mají psát všechno, co si představují a neomezovat se jen na „vědu“. Nabízí se vysvětlení, že je to proto, že v Česku se k víře v Boha hlásí jen malá část obyvatel. Nicméně svou skupinu dětí znám a znám i část prváků a tak vím, že ve skupině jsou děti z rodin, kde jsou k víře v Boha vedeni, zastoupeni v podstatně větší míře. Absence těchto odpovědí je způsobena pravděpodobně spíš tím, že „ve škole se o Bohu nemluví“. A i jiných „nemateriálních“ odpovědí bylo málo. Považuji je ovšem za kvalitní, za zaznamenání stojí, že se tu nekonečno projevuje jako pozitivní (láska, posvátný život), tak negativní (závist), dokonce vzbuzující hrůzu (smrt, tma, prázdnota). Čas Představa nekonečného času je kvalitní a u dětí se objevila v podobě: “roky, dny“, vývoj „umírají se/rodí“.
75
Radikální skupina i představu nekonečného života na Zemi odmítla – přinesli informaci, kdy přibližně se život na Zemi objevil a kdy skončí, podobně upozornili na „velký třesk“ a možnost, že i trvání vesmíru bude konečné. Mne nejvíce zaujaly odpovědi zahrnující neostrost. Tyto odpovědi se vyskytovaly u třeťáků jen ojediněle, u prváků však patřily k nejčastějším. Uveďme příklady: „Čekání na kamaráda.“ „Že v družině čekám a čekám a máma nejde.“ „Nikdy nemohu ten sloupeček dokončit z matematiky.“ „Když zasadím kytku a ona neroste.“ „Dělání domácích úkolů.“ „Čekání na léto“. „Nekonečné je, když piju mléko.“ „Když jedu na Moravu.“ Radikální skupina tyto odpovědi jednoznačně označila za špatné. Máma přeci na konec přijde, na Moravu dojedeme a mléko taky nemůžu pít zas tak moc dlouho – vždyť by se zkazilo a navíc musím do školy, spát… Děti radikální skupiny prezentovaly názory odpovídající současnému chápání nekonečna v matematice. Zaujalo mně jejich skoro bojovné naladění, snaha vysvětlit „jak je to doopravdy“ a skoro povýšený postoj „oni to nechápou, my jo“. Než se k odpovědím spojujícím nekonečno s neostrostí postavíme stejně, ocitujme toto: Viz. [6], str. 130: „Infinitní matematiku lze občas aplikovat a to s nemalým úspěchem. V takových případech však nejde o aplikaci poznatků získaných v matematice o absolutním nekonečnu na toto nekonečno nacházející se v reálném světě, ale o jeho aplikaci na jev neostrosti. Tak na příklad poznatky o matematickém kontinuu můžeme aplikovat na betonový kvádr proto, že molekuly, ze kterých se skládá, nám splývají do jednoho souvislého celku a ne snad proto, že by tento kvádr byl kvádrem geometrickým; o tom, že jim není, bychom se přesvědčili, kdybychom mohli vidět jednotlivé molekuly.“ „Na aplikovatelnosti jevu nekonečna na jev neostrosti se zakládá možnost aplikací infinitní matematiky.“ Odvolávali jsme se na Cantora a Bolzana, poučenější čtenář se setkal s Zermelo-Frankelovým axiomatickým systémem teorie množin a ví, že současná matematika stojí na teorii množin a vlastně se stala její součástí. Petr Vopěnka v 70. a 80. letech spolu se svými studenty rozvinul alternativní teorii množin (AST alternative set theory). Alternativní teorii množin pracuje s polomnožinami – polomnožina se od množiny liší tím, že není ostře určeno, zda prvek patří do polomnožiny či nepatří (Vopěnkův oblíbený příklad polomnožiny: vezměme posloupnost Charles Darwin … „opičák Charlie“, od Charlese Darwina konstruujeme 76
posloupnost předků až k „neandrtálcům“ „opicím“, skončíme u opičáka „Charlieho“. Opici se může narodit jen opice, otcem člověka může být jen člověk – přesto v této posloupnosti jsou jak lidé, tak opice. Toto pojetí stojí na neostrosti.) Co je zajímavé pro naše téma: v AST jsou všechny množiny formálně konečné, Zermelo Fraenklův axiom nekonečna je nahrazen negací, avšak množiny mohou obsahovat jako svou podtřídu polomnožiny a takové množiny se pak v AST nazývají nekonečné. U Vopěnky by odpovědi “velké číslo“, „pití mléka“, „lidí“, „prachu“, vlastně všechny odpovědi, které radikální skupina v souladu se současnou matematikou zamítla, byly správné. Jde ovšem o jiné pojetí nekonečna, Vopěnka mu říká „přirozené nekonečno“. Znovu [6]: „Spoluúčast jevu nekonečna na jevu neostrosti umožňuje nejen vykládat jev neostrosti prostřednictvím absolutního nekonečna studovaného v klasické matematice, ale také naopak vykládat jen nekonečna z jevu neostrosti. To je jeden z vedoucích záměrů alternativní teorie množin…. Nebudeme však naše zkoumání podřizovat klasickým představám o nekonečnu, nekonečno o které nám půjde, je nekonečno přirozené, ne nekonečno absolutní. Zákonitosti, kterým podléhá přirozené nekonečno, se nemusí shodovat a ani se neshodují se všemi zákonitostmi, které byly přisouzeny absolutnímu nekonečnu. “ Přestože Vopěnkova alternativní teorie množin (a podobné další teorie množin) zůstaly na okraji matematiky a není pravděpodobné, že by nahradily klasickou teorii množin, stojí tato teorie za připomenutí tady podle mého názoru už proto, abychom k jiným (nesprávným) představám přistupovali s pokorou. Pojem, jak mu rozumíme v matematice dnes, se vyvíjel (a do budoucna se možná vyvíjet bude), respektujme vývoj u dětí. Na závěr – opravdu děti pojmu rozumí, nebo bez porozumění papouškují, co kde slyšely? Na základě toho, co slyší děti okolo, si o pojmu dělají vlastní představu. Podle mého názoru nejde jen o papouškování, ale už u prváků o smysluplnou představu. Odpovědi, které by nijak na nekonečno neukazovaly, jsem nenašla. Radikální skupina třeťáků argumentovala z pohledu dnešního porozumění nekonečna v matematice zcela správně. To by bez porozumění, oč jde, také nebylo možné. Literatura: [1] John D. Barrow: Kniha o nekonečnu, Paseka, Praha, 2007 [2] Jindřich Bečvář a kol: Seznamujeme se s množinami, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, 1982 [3] Milan Hejný a kol: Teória vyučovania matematiky 2, Slovenské pedagogické nakladatelstvo, Bratislava 1990 [4] Jarmila Ranošová: Matematika pro šikovné druháky. In VAGASKÝ, Martin (ed.). Zborník príspevkov z Letnej školy z teórie vyučovania matematiky PYTAGORAS 2007. Bratislava 2007. [5] Raymond Smullyan: Satan, Cantor a nekonečno, Mladá fronta, Praha 2008 [6] Petr Vopěnka: Úvod do matematiky v alternativnej teórii množin, Alfa, Bratislava, 1989 [7] Štefan Znám a kol: Pohľad do dejín matematiky, Alfa, Bratislava, 1986
77
