F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzervativním polem je gravitační silové pole. Ke gravitační síle existuje potenciální energie taková, že gravitační síla je minus gradientem této energie. Equation Chapter (Next) Section 1

Gravitační zákon  Dvě tělesa se vždy vzájemně přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich gravitačních hmotností. Tento fakt plyne přímo z definice gravitační hmotnosti jakožto schopnosti těles se vzájemně přitahovat: F  m1m 2 .

(5.1)

Gravitační síla je, jak objevil Isaac Newton v 17. století, nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi tělesy, tedy F

1

. r2 Oba dva vztahy můžeme sloučit do jednoho jediného zákona F G

(5.2)

m1m 2

, (5.3) r2 kde G je koeficient úměrnosti, který nazýváme gravitační konstanta. Její první měření pochází od Henryho Cavendishe z roku 1798. Na vodorovném rameni zavěšeném na vlákně mel dvě olověné koule o hmotnostech přibližně 0,75 kg. K těm střídavě přibližoval velké olověné koule o hmotnosti 158 kilogramů a za pomoci zrcátka umístěného na svislém závěsu pozoroval zkroucení tohoto závěsu vlivem přitahování. Současná hodnota gravitační konstanty je G = (6,6742 ± 0,0010)×10−11 m3·s−2·kg−1. Gravitační konstanta je nejméně přesně změřenou fundamentální konstantou. Z komunistické éry přetrvalo v některých textech značení gravitační konstanty řeckým písmenem kapa (ϰ). Často je uspořádání takové, že jedno z těles má výrazně větší hmotnost než ostatní (například sledujeme pohyb planet kolem Slunce nebo pohyb družic kolem Země). Hmotnější těleso pak umístíme do středu souřadnicové soustavy a předpokládáme, že menší těleso jeho pohyb ovlivní minimálně:

V silovém předpisu je nyní r vzdálenost testovacího tělesa do počátku souřadnic. Vzhledem k tomu, že síla má být derivací potenciální energie, musí být potenciální energie úměrná ±1/r. Znaménko určíme tak, aby síla působila ve směru menších r, tj. bude platit modrá křivka F G

mM r

2

;

Wp   G

mM . r

(5.4) F5-2

Povšimněte si, že gravitační energie je záporná a se vzdalováním těles roste. To je na první pohled divné, očekávali bychom, že gravitační energie bude se vzdalováním slábnout. Pokud si ale povšimneme, že Wp sice roste, ale k nule, je vše v pořádku. V absolutní hodnotě skutečně gravitační potenciální energie slábne. Pokud budeme chtít opravdu řešit pohyb těles, nestačí nám jen znalost velikosti gravitační síly, ale musíme znát její jednotlivé složky. Vypočtěme z potenciální energie například x-ovou složku síly: Fx  

W p x



mM   G x  x2  y2  z2 

   GmM  x 2  y 2  z 2 x  





 GmM (2 x)(1/2) x 2  y 2  z 2



3/2

 G

mM r3



1/2



x.

Analogicky určíme ostatní složky:

Fx   G Fy   G Fz   G

mM r3 mM r3 mM

x, y,

(5.5)

z. r3 Pokud chceme sledovat pohyb tělesa o hmotnosti m, musíme řešit pohybové rovnice m  x  G m  y  G m  z  G

mM r3 mM r3 mM

x, y,

(5.6)

z. r3 Nezapomeňme, že r = (x2+y2+z2)1/2, soustava je tedy nelineární a nejvhodnější je numerické řešení. Povšimněte si, že hmotnost testovacího tělesa se na obou stranách pohybové rovnice vykrátí (pokud je jeho setrvačná hmotnost rovna gravitační) a výsledný pohyb nebude na hmotnosti tělesa záviset. Matka uvolněná z kosmické lodi se kolem Slunce bude pohybovat po stejné dráze jako celá planeta. Nalezněme velikost síly odpovídající složkám (5.5): F  F F 

Fx2

 F y2

 Fz2



G 2m 2 M 2

x

2

2

y z

2



G 2m 2M 2

G

mM

. r r r2 Velikost síly tedy vyjde tak, jak ji známe z gravitačního zákona. Vztah pro sílu (5.5) můžeme zapsat také ve tvaru mM r (5.7) F  G 2 . r r Síla má velikost GmM/r2 a míří ve směru jednotkového vektoru −r/r, tedy směrem ke středu souřadnic. 6

  F5-3

4

Zapamatujte si: ̶

Gravitační síla je v poli centrálního tělesa dána předpisem F  G

̶

mM r ; r2 r

F G

r2

.

Potenciální energie má tvar (je záporná a s rostoucí vzdáleností roste k nule) Wp   G

̶

mM

mM . r

Sílu můžete vždy získat jako záporně vzatý gradient potenciální energie.

  Tíže  Pokud probíhá pohyb v těsné blízkosti povrchu Země, nevyužijeme z gravitačního zákona celou křivku. Pohybujeme se maximálně několik kilometrů nad zemí nebo pod zemí. Pro takovéto pohyby postačí nahradit skutečnou závislost pouhou tečnou.

K tomu využijeme Lagrangeovu větu o přírůstku zapsanou pro potenciální energii: W p  W p ( R )  r  R 

 mM

(5.8)

r  R . R2 Konstanta W0 je nepodstatná, potenciální energii můžeme posunout o jakoukoli konstantu a síla působící na těleso se nezmění (je derivací potenciální energie). Rozdíl r‒R má význam výšky nad povrchem. Pro lineární závislost máme finální vztah W p  W0  W p ( R)  r  R   W0  G

W p  W0  mgh ;

g G

M

(5.9) . R2 Jde o tíži, tíhové zrychlení na povrchu můžeme určit z hmotnosti a rozměru tělesa. Jiné nám vyjde na Zemi, jiné na Měsíci a jiné při povrchu Slunce.

Zapamatujte si: ̶

Tíže je lineární aproximací gravitace u povrchu tělesa. ̶

Tíže roste lineárně se vzdáleností. V nekonečnu by tíhová energie měla nekonečnou hodnotu, ale tam již tato aproximace neplatí. ̶

U rotujícího tělesa se do tíhového zrychlení zahrnují i odstředivé jevy. F5-4

Coulombův zákon  Vzájemné působení dvou nábojů je velmi podobné gravitaci. Síla je úměrná nábojům obou těles a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Potenciální energie je opět nepřímo úměrná vzdálenosti obou těles: F

q1q 2 4 0 r

Wp 

;

2

q1q 2 . 4 0 r

(5.10)

Pro různé znaménko nábojů vyjde potenciální energie záporná, tedy přitažlivá, jako tomu bylo u gravitace. Pro opačná znaménka nábojů vyjde potenciální energie kladná a náboje se budou odpuzovat. Z historických důvodů je konstanta úměrnosti označena v soustavě SI jako 1/4πε0, kde ε0 se nazývá permitivita vakua

 0  8,854 10 12 C 2 N 1m 2

(5.11)

Pokud je jeden náboj výrazně větší než druhý, můžeme ho opět umístit do počátku souřadnicové soustavy, r potom bude mít význam vzdálenosti testovacího náboje q od počátku souřadnic, kde je náboj Q. Vztah (5.10) přejde na F

qQ 4 0 r

;

2

F

r ; 4 0 r r qQ

2

Wp 

qQ 4 0 r

.

(5.12)

Zkontrolujte si, že síla má pro dva souhlasné náboje správný směr (tedy od počátku souřadnicové soustavy).

Zapamatujte si: Coulombova síla je odpudivá pro shodné náboje a přitažlivá pro náboje opačných znamének. Tomu odpovídá vyjádření potenciální energie a síly pro centrální náboj: F

F5-5

qQ

4 0 r

2

;

F

r ; 4 0 r r qQ

2

Wp 

qQ

4 0 r

.