5.1.10
Řezy těles rovinou II
Předpoklady: 5109 Ne vždy nám vystačí spojování bodů a dělaní rovnoběžek. Například poslední příklad z minulé hodiny: K C’ D’ B’
A’ L
Rovnoběžné jsou pouze podstavy ⇒ nemůžeme pokračovat v řezu levou ani zadní stěnou.
M
C
D
B
A
Prohlédneme si jeden z příkladů z minulé hodiny: H G R P E
K
M
F
D
C O
A
N
B L
Trochu změníme zadání:
1
Př. 1:
Sestroj řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. H
H
G
R
G
P E
M
F
K
D
C
E
K
F
D
M
C
O L A B Jde o téměř stejný příklad jako v minulé hodině. Bod L neleží na hraně FB ale na hraně AB L v místě bodu N. Nové body KLM leží ve stejné rovině jako u původního příkladu ⇒ rovina řezu musí být stejná. H G N A
B
N
E
F
K
D
C
L
A H
A
Pomocí rovnoběžek se k řešení nedostaneme. Přímka KL musí určitě pokračovat do místa, kde ležel bod L v původním zadání. Jak toto místo najdeme? Určitě leží také na přímce BF. ⇒ protáhneme přímky KL a BF a hledáme jejich průsečík
B G
N
E
K
M
F
D
M
C
L
Získaný bod O leží také v pravé stěně ⇒ můžeme ho použít ke konstrukci řezu pravou stěnou.
B O
2
H
G
N
R E
K
M
F
D
• • • • • •
C
úsečka MO bod P rovnoběžka s MO bodem K bod R úsečka LP úsečka RN
P L
A
B O
Shrneme: Potřebovali jsme najít bod v pravé stěně. Věděli jsme: • přímka KL pravou stěnu protne • přímka KL protne přímku BF (obě leží v přední stěně) průsečík přímky KL s přímkou BF je hledaným bodem (leží v rovině řezu kvůli KL a leží v pravé stěně, kvůli přímce BF) Pravidlo třetí (Pravidlo protahování hran): Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. ⇒ Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana se protínají jednom bodě. ⇒ Pokud máme jednu úsečku řezu můžeme ji protáhnou do ostatních stěn. Průsečíky s ostatními stěnami najdeme tak, že protáhneme hranu, která: • leží v rovině, ve které leží protahovaná úsečka • leží v rovině, ve které potřebujeme najít další bod Př. 2:
Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Sestroj řez této krychle rovinou: a) S AB S BC S DH b) S BF S FG SGH c) S EF SCG S EH
a) S AB S BC S DH
3
H
E
G
Bod S DH leží v zadní stěně ⇒ hledáme průsečík přímky S AB S BC se zadní stěnou ⇒ protahujeme hranu, která leží v dolní podstavě (kde je přímka S AB S BC ) a v zadní stěně (kde je bod S DH ) ⇒ protahujeme hranu DC
F
SDH
D
C SBC
A
B
SAB H
E
G
F
SDH
L D
C K
M
• • • •
bod K úsečka S DH K bod L úsečka S BC L
• • •
rovnoběžka s S BC L bodem S DH bod M úsečka S AB M
SBC
A SAB b) S BF S FG SGH
B
SGH
H
G SFG
E
F
D
A
SBF
C
Bod SGH leží v zadní stěně ⇒ hledáme průsečík přímky S BF S FG se zadní stěnou ⇒ protahujeme hranu, která leží v pravé stěně (kde je přímka S BF S FG ) a v zadní stěně (kde je bod SGH ) ⇒ protahujeme hranu CG
B
4
K
SGH
H
• • • • • • • •
G SFG
E
F L
D
SBF
C
bod K polopřímka KSGH bod L rovnoběžka s S BF S FG bodem L bod M rovnoběžka s KSGH bodem S BF úsečka MN úsečka S FG SGH
M N A c) S AB S BF S EH H SEH E
B G
F
D
A
SAB
SBF
Bod S EH leží v horní stěně ⇒ hledáme průsečík přímky S AB S BF s horní stěnou ⇒ protahujeme hranu, která leží v přední stěně (kde je přímka S AB S BF ) a v horní stěně (kde je C
bod S EH ) ⇒ protahujeme hranu EF
B
H
G
SEH
• • • • • • •
L F
E
K
D
SBF
C
M A
SAB
B
5
bod K úsečka S EH K bod L úsečka S BF L rovnoběžka s S BF L bodem S EH bod M úsečka MS AB
Př. 3:
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestroj řez jehlanu rovinou KLM. V
V
K K
L
L D
D
C M
a) A a)
C M
B
b) A
B
V
Bod M leží v podstavě ⇒ hledáme průsečík přímky KL s podstavou ⇒ protahujeme hranu, která leží v zadní stěně (kde je přímka KL) a v podstavě (kde je bod M) ⇒ protahujeme hranu CD
K L D
C M
A
B V
K L R
D
N
C M
A
O
B
P b)
6
• bod N • polopřímka NM • bod O hledáme další bod v pravé stěně pomocí průsečnice s podstavou ⇒ prodlužujeme hranu DA • bod P • úsečka KP • bod R • úsečka RO
V
K
V levé i zadní stěně máme pouze po jednom bodu ⇒ zkusíme sestrojit průsečnici řezu s podstavou: první bodem je průsečík přímky LM s protaženou hranou BC (leží v pravé stěně a podstavě) druhým bodem je průsečík přímky KM s protaženou hranou AB (leží v přední stěně a podstavě)
L
D
C M
A
B V
S L
K
D
C M
A
P
body N, O přímka NO prodloužení DC bod P prodloužení DA bod R polopřímka PL polopřímka RK
B O N
R
V obou bodech předchozího příkladu jsme pro konstrukci řezu využili průsečnici řezu s rovinou podstavy (červená čárkovaná čára). U mnoha příkladu je výhodnější sestrojit nejdříve tuto průsečnici a poté protahováním hran dořešit zbytek řezu.
7
Př. 4:
Sestroj řezy těles rovinou KLM. Využij průsečnice této roviny s rovinou dolní podstavy. K
C’
H
G
D’
M E
B’
A’
F
L
L
M
D
C
D
C
K A
B
A
B
a) K
C’
D’ B’
A’
Z přímek ML a KL se ze spodní podstavou protne pouze přímka ML ⇒ protahujeme hranu, která leží v přední stěně (kde je přímka ML) a v dolní podstavě (kde chceme získat bod) ⇒ protahujeme hranu AB
L
M
C
D
B
A
K
C’
D’
• •
bod N rovnoběžka s přímkou KL bodem N hledáme další bod v zadní stěně pomocí průsečnice s podstavou ⇒ prodlužujeme hranu DC • bod O C • úsečka OK • bod P • úsečka PM
B’
A’ L P O
M
D
N A
B
b)
8
H
G
hledáme průsečíky s podstavou: • první bodem je průsečík přímky LK s protaženou hranou AB (leží v přední stěně a podstavě) • druhým bodem je průsečík přímky MK s protaženou hranou AD (leží v pravé stěně a podstavě)
M E
F L D
C
K A
B
H
M E
F L D
P
K O
A
B
N R
Př. 5:
• bod N, O • přímka NO hledáme další bod v zadní stěně pomocí průsečnice s podstavou ⇒ prodlužujeme hranu DC • bod P • polopřímka PM • bod S C hledáme další bod v pravé boční stěně pomocí průsečnice s podstavou ⇒ prodlužujeme hranu CB • bod R • polopřímka RL • bod T • úsečka ST
G
S T
Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Sestroj řez této krychle rovinou: a) S AB S BC S DH b) S BF S FG SGH c) S EF SCG S EH . Příklady řeš bez použití pravidla pro konstrukci rovnoběžek (Tedy pouze protahováním hran).
a) S AB S BC S DH
9
H
E
G přímka S AB S BC je průsečnicí roviny řezu z podstavou.
F
SDH
další bod v zadní stěně získáme protažením hrany DC
M D
C K
N
SBC
A
další bod v levé boční stěně získáme protažením hrany DA.
B
SAB
L b) S BF S FG SGH K
SGH
H
G
V původním řešení jsme hledali druhý bod v zadní stěně. Bod K jsme získali protažením úsečky S BF S FG a hrany CG (leží v pravé stěně jako S BF S FG a v zadní stěně, kde hledáme bod).
SFG E
F
Podobně najdeme bod N v podstavě jako průsečík přímek S BF S FG a BC (leží v pravé stěně jako S BF S FG a v zadní stěně, kde hledáme bod).
L
M
SBF
D O A
P
B
C
Polopřímku KSGH využijeme k nalezení druhého bodu (M) v podstavě jako průsečíku přímek KSGH a CD (leží v zadní stěně jako KSGH a v podstavě, kde hledáme bod).
N c) S EF SCG S EH .
10
H
G
SEH L F
E
K
D
SBF
C
N A
SAB
V původním řešení jsme hledali druhý bod v horní stěně. Bod K jsme získali protažením úsečky S AB S BF a hrany EF (leží v přední stěně jako S AB S BF a v horní stěně, kde hledáme bod).
B
Přímku S AB S BF využijeme i k nalezení druhého bodu (M) v pravé stěně jako průsečíku přímek S AB S BF a EA (leží v přední stěně jako S AB S BF a v pravé stěně, kde hledáme bod).
M
Př. 6:
Petáková: strana 90/cvičení 6 b) c) e) f) g)
Shrnutí: Další body řezu můžeme získat protažením už hotových částí řezu a vhodných hran řezaného tělesa.
11
