4. 4.1.
EZY NA KUŽELÍCH KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL
Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin
a mimo ni bod V. Všechny p ímky
jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvo í kruhovou kuželovou plochu. Tyto p ímky se nazývají povrchové p ímky, bod V se nazývá vrchol, kružnice k se nazývá ídící kružnice a p ímka jdoucí st edem S kružnice k a vrcholem V se nazývá st edná s.
Definice :
ást prostoru omezená kruhovou válcovou plochou a vrcholem V se
nazývá kruhový kužel. Definice : Je – li st edná kolmá k rovin
, vzniká kolmá kuželová plocha, resp.
kolmý kruhový kužel.
Kolmá kruhová kuželová plocha m že vzniknout také rotací povrchové p ímky p, která není k ose o kolmá a protíná jí v bod V, kolem osy o. Potom se nazývá rota ní kuželová plocha. Podobn kolmý kruhový kužel m že též vzniknout rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné své odv sny. Potom se nazývá rota ní kužel.
53
Pokud necháme rotovat pravoúhlý trojúhelník SAV s pravým úhlem u vrcholu S, rotací bodu A vznikne podstavná hrana kužele (kružnice k), jednotlivé polohy úse ky AV p i rotaci se nazývají strany kužele. Rotací úse ky AS se tvo í podstava válce (kruh). Osa rotace je zárove
osou válce a délka
úse ky SV je výška válce v. Bod V se nazývá vrchol.
Definice: Rovnostranný kužel je kužel, jehož pr m r podstavy se rovná délce jeho strany. Rotací úse ky AV získáme pláš kužele. „Rozst ihneme – li“ jej podél n které jeho strany a rozvineme - li jej do roviny, vznikne kruhová výse . Polom r výse e je délka strany válce s a velikost úhlu
α = 360 °
je ur ena vztahem :
r s
Pláš spolu s podstavou tvo í povrch kužele. Sí kužele je rozvinutý povrch do roviny. Definice: Rovina procházející vrcholem V kužele se nazývá vrcholová rovina. ezem vrcholové roviny a kužele je trojúhelník. P i ezech vrcholovou rovinou využíváme toho, že jedním z vrchol
ezného trojúhelníka je p ímo vrchol jehlanu.
Sta í tedy najít pr se nici podstavy a roviny ezu a zbytek ezu doplnit spojením s vrcholem V. Vrcholové roviny se op t využívá p i hledání pr se íku p ímky a kuželem.
54
4.2.
KONSTRUKCE
EZ
NA KUŽELÍCH
QUÉTELETOVA – DANDELINOVA V TA V ta : Rota ní kuželová plocha je pro ata rovinou, která není vrcholová ani kolmá k ose a která s rovinou podstavy rota ní kuželové plochy svírá úhel menší (resp. roven, resp. v tší) než povrchové p ímky, protíná kuželovou plochu v elipse (resp. parabole, resp. hyperbole), p i emž ohniska ezu jsou dotykové body kulových ploch vepsaných kuželové ploše a dotýkajících se roviny ezu.
elipsa –
>
parabola –
=
hyperbola –
<
d kaz : Obdobn jako u ezu na válci. Pro každý typ ezu se d lá zvláš . Parabolický ez : |MF| = |MM´|, nebo te ny z bodu ke kulové ploše jsou stejn dlouhé. V oto ení kolem bodu V p ejde MM´ v MM´. |MM´| = |Md| Platí tedy : |MF| = |Md| Dokázali jsme, že ezem je množina bod , která mají stejnou vzdálenost od daného bodu a dané p ímky, tedy parabola
55
D sledek : Pravoúhlým pr m tem eliptického, resp. parabolického, resp. hyperbolického ezu rota ní kuželové plochy do roviny kolmé k ose plochy je elipsa, resp. parabola, resp. hyperbola, jejichž jedním ohniskem je pr m t vrcholu kuželové plochy. Pro sestrojování ez na kuželích se dále využívá toho, že kružnice a kuželose ka jsou ve vzájemném vztahu st edové kolineace. ST EDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSE KOU ÚB ŽNÍKY A ÚB ŽNICE : Bod U´roviny, který ve st edové kolineaci odpovídá nevlastnímu bodu U
se nazývá
úb žník. P ímka u´, která odpovídá nevlastní p ímce u se nazývá úb žnice. Úb žnice je zárove
množinou
všech
úb žník
a
je
rovnob žná s osou kolineace, nebo nevlastní p ímka
a
úb žnice
mají
spole ný
bod
v nevlastním bod osy kolineace.
V ta : Ve st edové kolineaci rovinných polí existují dv
úb žnice. Orientovaná
vzdálenost st edu od jedné z nich je rovna orientované vzdálenosti druhé z nich od osy.
56
ST EDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSE KOU
V ta : St edovým pr m t kuželose ky ( i kružnice), jejíž rovina neprochází st edem promítání, je kuželose ka. V ta : Kuželose ka, v níž nevrcholová rovina protne kuželovou plochu, a kružnice podstavy kuželové plochy si odpovídají ve st edové kolineaci. St edem této kolineace je vrchol kuželové plochy a osou kolineace je pr se nice roviny ezu a roviny podstavy. V ta : Te ny a sdružené pr m ry kolineárních kuželose ek si navzájem odpovídají, st edy kuželose ek si ve st edové kolineaci neodpovídají. V ta : Nech kružnici k prvního pole odpovídá ve st edové kolineaci kuželose ka k´ druhého pole. Tato kuželose ka je elipsou (resp. parabolou, resp. hyperbolou) podle toho, zda úb žnice u prvního pole (pole kružnice k) nemá s kružnicí k žádný spole ný bod (resp. má s kružnicí k práv jeden spole ný bod, resp. má s kružnicí k dva r zné spole né body).
57
St edová kolineace mezi kružnicí a elipsou St edová kolineace je zadána osou o a st edem S. Dále je dána kružnice k a úb žnice stejného pole u (ta nesmí mít s kružnicí žádný spole ný bod, aby kolineární kuželose kou byla elipsa). Hledáme sdružené pr m ry elipsy k´. Ke kružnici k vedeme te ny m a n rovnob žné s osou kolineace o. jejich dotykové body M a N leží na pr m ru p kružnice, který je kolmý k ose o. Pr m ru p odpovídá pr m r p´. Obraz jeho pr se íku U s úb žnicí u je nevlastní bod U´
,
pr se ík s sou o je samodružný
bod. St ed O´ úse ky M´N´ je st edem kuželose ky k´. Druhý sdružený pr m r q´ prochází bodem O´ rovnob žn
s osou o (te ny m´ a n´ v bodech M´N´ jsou
rovnob žné s osou o, nebo m a n byly rovnob žné s osou o. Pro sdružené pr m ry elipsy platí: Te ny v koncových bodech jednoho pr m ru jsou rovnob žné s druhým pr m rem). K p ímce q´ a bodu O´ najdeme bod O a p ímku q. Její pr se íky P a Q s kružnicí k nám ur í body P´ a Q´, které omezí druhý sdružený pr m r elipsy k´.
58
St edová kolineace mezi kružnicí a parabolou St edová kolineace je zadána osou o a st edem S. Dále je dána kružnice k a úb žnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spole ný práv jeden bod, tedy musí být její te nou, aby kolineární kuželose kou byla parabola). Parabolu budeme sestrojovat lichob žníkovou konstrukcí (viz. vybrané konstrukce paraboly a hyperboly str. 61 ). Proto hledáme libovolné dv te ny i s body dotyku paraboly. Sta í tedy zvolit dva libovolné body M a N na kružnici k a v nich sestrojit te ny m a n. Jejich kolineární obrazy M´ N´ m´ a n´ nám sta í k vyrýsování paraboly podle lichob žníkové konstrukce. Protíná – li osa kolineace o kružnici k, je výhodné vzít za body M a N pr se íky osy o a kružnice k.
59
St edová kolineace mezi kružnicí a hyperbolou St edová kolineace je zadána osou o a st edem S. Dále je dána kružnice k a úb žnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spole né dva body, tedy musí být její se nou, aby kolineární kuželose kou byla hyperbola). Sestrojíme body M a N, které jsou pr se íky úb žnice u a kružnice k a v nich te ny m a n. T m odpovídají te ny m´a n´ s dotykovými body M´ a N´ v nekone nu, tedy asymptoty. Osy hyperboly p lí úhly asymptot. Hlavní osa je p ímka h´, její obraz h protne kružnici v bodech A a B, body A´ a B´ jsou hlavní vrcholy hyperboly k´. Osy hyperboly m žeme sestrojit také pouze z asymptot a jednoho bodu (pokud osa kolineace o protíná kružnici k, máme hned dva takové body X = X´ a Y = Y´), (viz. : vybrané konstrukce paraboly a hyperboly, str. 62 )
60
VYBRANÉ POUŽITÉ KONSTRUKCE PARABOLY A HYPERBOLY Lichob žníková konstrukce paraboly : Parabola je ur ena te nami p q s body dotyku P a Q. Hledáme její vrchol a osu. Spojíme body P a Q a st edem jimi ur ené úse ky vedeme p ímku o´ do bodu R (pr se íku te en p a q). P ímka o´ je sm rem osy paraboly. Dále body dotyku P a q vedeme rovnob žky m a n s p ímkou o´. Bodem R vedeme kolmici na o´. V jejím pr se íku s p ímkou m je bod M, v pr se íku s p ímkou n je bod N. Vzniknul tak lichob žník PQMN. Jeho úhlop í ky se protnou v bod V, jež je vrcholem hledané paraboly. P ímka o procházející bodem V rovnob žn
s o´ je osa paraboly.
Ohnisko F sestrojíme pomocí ohniskových vlastností paraboly (pr se íkem vrcholové te ny v a te ny q vedeme kolmici k te n q a v jejím pr se íku s osou o je ohnisko F).
61
konstrukce velikosti hlavní osy hyperboly : Hyperbola je ur ena asymptotami a jedním svým bodem. Hlavní a vedlejší osa p lí úhly asymptot. Bodem K vedeme rovnob žku s hlavní osou. Její pr se ík s vedlejší osou ozna íme O, pr se ík s asymptotou ozna íme P. Dále sestrojíme kružnici k (O;|OK| ). Velikost kolmice sestrojené z bodu P kolmo na hlavní osu je hledaná velikost hlavní poloosy a.
P i konstruování ez na kuželové ploše využíváme jak Quételetovy - Dandelinovy v ty, tak jejího d sledku (o kolmém pr m tu vrcholu kuželové plochy do ohniska kuželose ky ezu). Dále m žeme využít st edové kolineace mezi podstavnou kružnicí a kuželose kou ezu. Úb žnicí kružnice k, podle které poznáme, o jakou kuželose ku se jedná, je stopa roviny, která je rovnob žná s rovinou ezu a prochází vrcholem kuželové plochy. P i konstrukcích složit jších
ez
je pot eba využít n kterých speciálních
konstrukcí hyperboly a paraboly.
62
P íklad 26 : Sestrojte ez daného kužele rovinou
a sestrojte sí se íznuté ásti.
Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s p dorysnou (rovinou podstavy kužele) menší úhel než povrchové p ímky, ezem bude elipsa. V náryse se zobrazí do p ímky A2B2. Její nárys je rovnob žný se základnicí (poloha spádové p ímky), body A1B1 leží na ordinálách. Podle d sledku Quételetovy – Dandelinovy v ty se vrchol kužele v p doryse zobrazí do ohniska. Elipsu v p doryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Sí sestrojíme rozd lením podstavné kružnice na dílky a p enesením do nárysu. Skute nou velikost povrchových p ímek vy teme na povrchové p ímce rovnob žné s nárysnou. Skute nou velikost hlavní osy elipsy ezu vidíme v náryse, skute nou velikost vedlejší osy v p doryse.
63
64
P íklad 27 : Sestrojte ez daného kužele rovinou .
Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s p dorysnou (rovinou podstavy kužele) stejný úhel jako povrchové p ímky, ezem bude parabola. V náryse se zobrazí do p ímky A2X2=Y2. Její nárys je rovnob žný se základnicí body A1X1Y1 leží na ordinálách. Podle d sledku Quételetovy – Dandelinovy v ty se vrchol kužele v p doryse zobrazí do ohniska. Parabolu v p doryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností.
65
P íklad 28 : Sestrojte ez daného kužele rovinou .
Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s p dorysnou (rovinou podstavy kužele) v tší úhel než povrchové p ímky, ezem bude hyperbola. V náryse se zobrazí do polop ímek A2M2=M2´, B2N2=N2´ Její nárys je rovnob žný se základnicí body A1B1M1M1´ N2N2´ leží na ordinálách. Podle d sledku Quételetovy – Dandelinovy v ty se vrchol kužele v p doryse zobrazí do ohniska. Zbývá nejít asymptoty. Vedeme rovinu vrcholem V rovnob žnou s rovinou . Ta eže kužel v p ímkách a a b, které udávají sm r asymptot. P ímky m a n jdoucí st edem hyperboly rovnob žn s p ímkami a a b jsou asymptoty hyperboly. Hyperbolu v p doryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností.
66
P íklad 29 : Protn te daný kužel rovinou
v elipse.
Popis konstrukce : ez sestrojíme pomocí roviny , která prochází osou kužele kolmo k p dorysn i k rovin ezu. Ve sklopení v p doryse vidíme body A a B ezu, ohnisko se zobrazí op t do vrcholu. V p doryse elipsu sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Do nárysu p eneseme osy elipsy a dorýsujeme ji Rytzovou konstrukcí. Body p echodu viditelnosti pro nárys odvodíme z p dorysu na hlavní p ímce druhé osnovy.
67
P íklad 30 : Rovina je dána svojí p dorysnou stopou. Ur ete její nárysnou stopu tak, aby ezem byla parabola a ez sestrojte.
Popis konstrukce : P dorysná stopa roviny , která prochází bodem V a je rovnob žná s rovinou je te nou podstavy rovnob žnou s p dorysnou stopou roviny . Její nárysnou stopu najdeme pomocí hlavní p ímky, nárysná stopa roviny je s ní rovnob žná. P dorys ezu sestrojíme op t pomocí roviny . Nárys sestrojíme pomocí lichob žníkové konstrukce (pomocí te en m a n s body dotyku M a N). Bod p echodu viditelnosti T pro nárys odvodíme z p dorysu na hlavní p ímce druhé osnovy.
68
P íklad 31 : Protn te daný kužel rovinou .
Popis konstrukce : Pomocí roviny , která prochází bodem v rovnob žn s rovinou , zjistíme, že ezem je hyperbola a zárove ur íme sm ry asymptot a1 b1 pro p dorys. Zde hyperbolu sestrojíme op t pomocí roviny , která prochází vrcholem V a je kolmá k p dorysn . Ve sklopení najdeme polohu bod A a B. Bod V1=F1, a proto v p doryse hyperbolu dorýsujeme pomocí ohniskových vlastností. Její asymptoty n1 a m1 jsou rovnob žné s p ímkami a1 b1. Do nárysu p eneseme body A, B (ty však nejsou pro nárys hlavními vrcholy) a asymptoty m a n. V náryse hyperbolu dorýsujeme bu pomocí hlavních p ímek první osnovy, nebo podle konstrukce na str. 62. Body p echodu viditelnosti pro nárys leží na hlavní p ímce druhé osnovy.
69
P íklad 32 : Sestrojte ez kužele s podstavou v rovin obsahuje p ímku p.
vrcholovou rovinou, která
Popis konstrukce : Libovolným bodem na p ímce p vedeme p ímku v, která prochází vrcholem V. Poté hledáme pr se nici r roviny a vrcholové roviny ur ené p ímkami p a v metodou krycí p ímky (p ímky m a n). Pr se nice r protne podstavu kužele, zbytek ezu doplníme spojením s vrcholem kužele.
70
P íklad 33 : Sestrojte ez daného kužele rovinou .
Popis konstrukce : Podle polohy roviny ,která je rovnob žná s rovinou a prochází bodem V poznáme, že ezem je elipsa (nemá s podstavnou kružnicí žádný spole ný bod). Elipsu v p doryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 58. Sdružené pr m ry p eneseme do nárysu a zde elipsu vyrýsujeme pomocí sdružených pr m r (Rytzova konstrukce). Body p echodu viditelnosti TT´ pro nárys jsou v p doryse sestrojeny pomocí kolineace.
71
P íklad 34 : Protn te daný kužel rovinou v parabole a tento ez sestrojte.
, která je dána svojí p dorysnou stopou,
Popis konstrukce : Rovina ,která je rovnob žná s rovinou a prochází bodem V, má svojí p dorysnou stopu rovnob žnou s rovinou a je te nou podstavné kružnice. Parabolu v p doryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 59. V náryse pomocí lichob žníkové konstrukce. Bod p echodu viditelnosti T pro nárys je v p doryse sestrojen pomocí kolineace.
72
P íklad 35 : Sestrojte ez daného kužele rovinou .
Popis konstrukce : Podle polohy roviny ,která je rovnob žná s rovinou a prochází bodem V, poznáme, že ezem je hyperbola (má s podstavnou kružnicí spole né dva body). Hyperbolu v p doryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 60. V náryse je t eba najít velikost hlavní poloosy konstrukcí ze str. 62. Body p echodu viditelnosti TT´ pro nárys jsou v p doryse sestrojeny pomocí kolineace.
73
5. 5.1.
EZY NA KOULÍCH KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Definice : Množina všech bod
v prostoru, které mají od pevného bodu
S konstantní vzdálenost r (r > 0) se nazývá kulová plocha. Definice : Množina všech bod
v prostoru, které mají od pevného bodu
s vzdálenost menší nebo rovnu r (r > 0) se nazývá koule. Také kulovou plochu a kouli lze definovat pomocí rotací Definice : Kulová plocha vzniká rotací p lkružnice kolem svého pr m ru. Definice : Koule vzniká rotací p lkruhu kolem svého pr m ru.
Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející st edem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný st ed a polom r. V ta : Pravoúhlým pr m tem kulové plochy je kružnice. St edem této kružnice je pr m t st edu kulové plochy a polom r se rovná polom ru kulové plochy
74
Quételetova – Dandelinova v ta pro kosoúhlý pr m t kulové plochy : Kosoúhlým pr m tem kulové plochy je elipsa. St ed této elipsy je pr m tem st edu kulové plochy, její ohniska jsou pr m ty krajních bod který je kolmý k pr m tn . Délka vedlejší poloosy
pr m tu kulové plochy,
se rovná polom ru kulové
plochy.
5.2.
KONSTRUKCE
EZ
NA KOULÍCH
V ta :
ezem kulové plochy libovolnou rovinou je kružnice. Její st ed je
v pr se íku roviny ezu a kolmice vedené ze st edu kolové plochy k rovin
ezu.
Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející st edem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný st ed a polom r.
P i konstruování ez na kouli se používá pomocné roviny kolmé k rovin
75
ezu.
P íklad 36 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou .
Popis konstrukce : Protože je rovina kolmá k p dorysn , zobrazí se v p doryse kružnice ezu do úse ky A1B1. Do nárysu se kružnice zobrazí jako elipsa s hlavní osou C2D2, kde platí| C2D2| = | A1B1|, a vedlejší osou A2B2. Body TT´ p echodu viditelnosti pro nárys leží v p doryse na hlavní p ímce druhé osnovy.
76
P íklad 37 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou .
Popis konstrukce : St ed O kulové plochy je pr se íkem p ímky k. která je kolmá k rovin ezu a prochází bodem s, a roviny ezu (získáme ho pomocí krycí p ímky m). ez sestrojíme pomocí pomocné t etí pr m tny 3, která je kolmá jak k rovin ezu , tak k p dorysn a prochází body S a O. Ve sklopení vidíme polom r elipsy ( |(O)(S)| ). Do nárysu p eneseme body A, B (leží na hlavní p ímce první osnovy). Dále známe velikost hlavní osy na hlavní p ímce druhé osnovy jdoucí bodem O. V náryse elipsu dorýsujeme pomocí proužkové konstrukce. Body p echodu viditelnosti UU´ pro p dorys leží na hlavní p ímce první osnovy, body TT´ pro nárys na hlavní p ímce druhé osnovy.
77
P íklad 38 : Je dána rovina a v ní kružnice. Sestrojte pr m t kulové plochy, která obsahuje tuto kružnici a má st ed v rovin .
Popis konstrukce : St ed S kulové plochy leží na kolmici k k rovinám a , najdeme ho pomocí hlavní p ímky. Pokud vedeme pomocnou rovinu 3, která je kolmá jak k rovin ezu , tak k nárysn a prochází body S a O, m žeme ve sklopení ur it obraz kulové plochy (Sklopíme body S a O, zadanou kružnici i roviny a . Kulová plocha prochází pr se íky kružnice s rovinou .). Polom r ve sklopení se zobrazí ve skute né velikosti.
78
