Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu. Řešíme je v závislosti na typu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ – používá se v rovnicích, kde se levá i pravá strana rovnice dá upravit na mocninu se stejným základem. Pak lze využít věty: Věta: Platí-li a u = a v ⇒ u = v . (Rovnají-li se základy, rovnají se i exponenty.) B. Metoda vytýkání – používáme v rovnicích, kde se objevují součty nebo rozdíly mocnin se stejnými základy, u nichž exponenty při pohledu na neznámou stejně začínají, po vytknutí se dá rovnice vydělit číslem v závorce a vznikne typ A. C. Metoda substituční – používáme v rovnicích, kde se objevují mocniny se stejným základem, ale exponenty jsou typu 2p a p, tedy jeden je dvojnásobkem druhého. Po substituci obvykle vede na kvadratickou rovnici. D. Metoda logaritmická - používáme v rovnicích typu a r = b . Tuto metodu můžeme použít až po zvládnutí logaritmů.
Metoda převedení na stejný základ Cvičení 1. Řešte rovnici 2 x +3 = 8 . Obě strany rovnice lze vyjádřit mocninou o základu 2: 2 x +3 = 2 3 Použijeme větu a získáme porovnáním exponentů: x+3=3
x=0
Příklad 1. Řešte v R: 4 a) 5
2 x+ 5
x
4 27 e) ⋅ 9 8
1
b)
= 0,8 x −1
=
2 3
f)
2 x+7
413− x = 1024
2 2 x+2 −2=0 2 3 x −5
c) 5 x − 4 = 125
d) 0,125 =
g) 27 5 x − 6 ⋅ 81x = 9 x + 6
Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
1 4 x+ 2
Metoda vytýkání Cvičení 2. Řešte rovnici 4 x +1 − 8 ⋅ 4 x −1 = 32 . V rovnici se vyskytují součty mocnin a exponent začíná u x stejným koeficientem 1. Použijeme vytýkání mocniny s nejnižším exponentem tj. 4 x−1 . 4 x −1 4 2 − 8 = 32 V závorce se objevilo číslo, kterým je rovnice dělitelná, vydělíme rovnici osmi a tím ji převedeme na typ A . 4 x −1 = 4 x −1 = 1 x=2
(
)
Příklad 2. Řešte v R: a) 4 ⋅ 3 x +1 − 3 x −1 = 315
2
b) 5 ⋅ 4 x +1 − 4 x + 2 = 4 x −1 + 240
c) 3 2 x −1 + 3 2 x − 2 − 3 2 x − 4 = 315
Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Metoda substituční Cvičení 3. Řešte rovnici 25 2 x − 3 ⋅ 25 x = 10 . Exponent začíná různým koeficientem u x. Použijeme substituci za 25 x , protože rovnici lze zapsat ve tvaru
(25 )
x 2
( )
− 3 ⋅ 25 x − 10 = 0
x
Volíme novou proměnnou. Tedy 25 = y . Po substituci jsme získali kvadratickou rovnici y 2 − 3 y − 10 = 0 . Určíme její kořeny y1 = 5 , y2 = −2 a nezapomeneme se vrátit k substituci: 25 x = 5
25 x = −2
52 x = 5 x = 0,5
NŘ P = {0,5}
Příklad 3. Řešte v R: a) 4 x − 10 ⋅ 2 x−1 = 24
3
b) 4 x + 4 = 5 ⋅ 2 x
c)
x
81 +
27 = 12 x 81
Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Příklad 4. Určete průsečíky grafu funkce y = 3 ⋅ 23 x +1 − 24 s osami souřadnic. [Nápověda: Do rovnice dosadíme za proměnné postupně x = 0 a y = 0 .]
Soustavy exponenciálních rovnic Cvičení 4. Určete souřadnice průsečíků daných dvou funkcí, které jsou zadány rovnicemi f : y = 7 x +1 − 19 , g : y = 7 x + 23 . Určit průsečík dvou funkcí znamená najít bod, jehož souřadnice [x; y ] vyhovují oběma rovnicím současně. Nalezneme je tedy řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Použijeme dosazovací metodu a získáme: 7 x +1 − 19 = 7 x + 23 7 x ⋅ ( 7 − 1) = 42 7 x = 71 x =1 Dosazením do kterékoliv rovnice v soustavě dopočteme y = 30 .
Průsečík má tedy souřadnice P [1;30] .
Příklad 5. Určete souřadnice průsečíků daných dvou funkcí, které jsou zadány rovnicemi f : y = 5 x + 1 a g : y = 3 ⋅ 5 x −1 + 11 .
4
Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Příklad 6. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic: 4 x + y = 128 5 3 x − 2 y −3 = 1
Exponenciální nerovnice Při řešení exponenciálních nerovnic musíme dbát na základ mocniny, který ovlivňuje monotonii funkce a tedy řešení nerovnic. Je-li a ∈ (0;1) jde o funkci klesající a platí a r < a s ⇒ r > s (tedy při přechodu k exponentům
musíme u klesající funkce obrátit znak nerovnosti). Je-li a > 1 jde o funkci rostoucí a platí a r < a s ⇒ r < s (tedy při přechodu k exponentům u rostoucí funkce se znak nerovnosti nemění).
Cvičení 5. Řešte v R početně i graficky nerovnici 2 2 x +1 > 2 x + 2 . Protože základ je větší než jedna, platí:
2x +1 > x + 2 x >1 graficky: Sestrojíme do jednoho obrázku grafy funkcí na levé a pravé straně nerovnice, vypočítáme jejich průsečík a zvážíme, pro která x nabývá funkce na levé straně větších hodnot. Provedeme kontrolu zakreslených grafů a použijeme je k řešení. Funkce y = 22 x +1 je modrá. Funkce y = 2 x + 2 je zelená. Průsečík funkcí P [1,8] . Modrá funkce má větší funkční hodnoty pro x > 1 .
5
Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Příklad 3. Řešte v R: a) 5
6
4 x+1
+ 4 > 629
1 b) 4
2 x +3
1 ≤ 8
x+2
c) 4 x − 3 ⋅ 2 x < 4
Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
