Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1
1
Úvod
Následující text popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na emailu jiri.lipovskyzavináč uhk.cz.
2
Teorie
Nyní se budeme zabývat lineárními diferenciálními rovnicemi 1. řádu s netriviální pravou stranou, tedy y 0 + g(x)y = f (x). Nejdříve nalezneme obecné řešení homogenní rovnice (rovnice bez pravé strany) y 0 + g(x)y = 0. Toho dosáhneme separací proměnných (viz příslušný studijní text). Příslušné obecné řešení homogenní rovnice má u sebe konstantu. Druhým krokem bude variace této konstanty. Představíme si, že místo této konstanty je funkce závislá na x a dosazením do původní rovnice tuto konstantu vypočteme.
3
Příklady
Příklad 3.1. Řešte rovnici xy 0 + 3y = x2 . Řešení: Nejdříve vypočteme řešení homogenní rovnice xy 0 + 3y = 0. Z Z 3 dy =− dx , y x ln y = −3 ln x + ln c , c y= 3. x Nyní si představíme, že místo konstanty c máme funkci c(x). Proto výraz y(x) = c(x) x3 dosadíme do původní rovnice. c0 (x) c(x) c(x) − 3 4 x + 3 3 = x2 , x3 x x 1 c0 = x4 ⇒ c(x) = x5 + C2 , 5 1 2 C2 y(x) = x + 3 . 5 x x
Příklad 3.2. Řešte rovnici y = x(y 0 − x cos x).
1
Řešení: Homogenní rovnice: y = xy 0 , Z dy dx = , y x ln |y| = ln |x| + C1 , Z
y = cx . Variace konstanty: y = c(x)x , 0
c(x)x = xc (x)x + xc(x) − x2 cos x , c0 (x) = cos x , c(x) = sin x + c2 , y(x) = (c2 + sin x)x . Příklad 3.3. Řešte rovnici xy 0 + (x + 1)y = 3x2 e−x . Řešení: Homogenní rovnice:
Z
xy 0 + (x + 1)y = 0 , Z dy 1 =− 1+ dx , y x ln |y| = −x − ln x + c1 , c y(x) = e−x . x
Variace konstanty: y(x) = c0 (x)e−x − c(x)e−x −
c(x) −x e , x
c c(x) −x e + ce−x + e−x = 3x2 e−x , x x c0 (x) = 3x2 ⇒ c(x) = x3 + c2 , c2 −x y(x) = x2 + e . x
Příklad 3.4. Řešte rovnici y 0 =
y 3x−y 2 .
Řešení: Rovnici si upravíme do tvaru 3x − y 2 dy = 1, y dx což odpovídá rovnici x0 (y) =
3x −y. y 2
Najdeme tedy x jako funkci y. Homogenní rovnice: 3x x0 = , y Z Z 3 dx = dy , x y ln |x| = 3 ln |y| + c1 , x = cy 3 . Variace konstanty: x(y) = c(y)y 3 , c0 (y)y 3 + 3c(y)y 2 = 3c(y)y 2 − y , c0 (y) = −y −2 , c(y) = y −1 + c2 , x(y) = y 2 + c2 y 3 . Příklad 3.5. Řešte rovnici y 0 + ay = emx . Řešení: Homogenní rovnice: y 0 + ay = 0 , Z dy = − adx , y ln |y| = −ax + c1 ,
Z
y = ce−ax . Variace konstanty: y(x) = c(x)e−ax , c0 (x)eax − ac(x)e−ax + ac(x)e−ax = emx , 1 e(a+m)x + c2 , c0 (x) = e(a+m)x ⇒ c(x) = a+m 1 y(x) = emx + c2 e−ax , a 6= −m . m+a 2
Příklad 3.6. Řešte rovnici y 0 + 2xy = 2xe−x . Řešení: Homogenní rovnice: y 0 + 2xy = 0 , dy = −2xdx , y ln |y| = −x2 + c1 , Z
2
y = ce−x . 3
Variace konstanty: 2
y(x) = c(x)e−x , 2
2
2
2
c0 (x)e−x + c(x)(−2x)e−x + 2xc(x)e−x = 2xe−x , c0 (x) = 2x
⇒
c(x) = x2 + c2 , 2
y(x) = (x2 + c2 )e−x . Příklad 3.7. Řešte rovnici xy 0 + 2y = 3x, y(0) = 0. Řešení: Homogenní rovnice: xy 0 + 2y = 0 , dy 2 = − dx , y x ln |y| = −2 ln |x| + c1 , c y= 2. x Z
Variace konstanty: y(x) =
c(x) , x2
c(x) 2c(x) c0 (x) + (−2)x 3 + = 3x , x2 x x2 0 2 3 c (x) = 3x ⇒ c(x) = x + c2 , c2 y(x) = 2 + x . x
x
Z počáteční podmínky c2 = 0
⇒
y(x) = x .
Příklad 3.8. Řešte rovnici y 0 + y cos x = sin x cos x, y(0) = 1. Řešení: Homogenní rovnice:
Z
y 0 + y cos x = 0 , Z dy = − cos xdx , y ln |y| = − sin x + c1 , y = ce− sin x .
4
Variace konstanty: y(x) = c(x)e− sin x , 0
c (x)e
− sin x
+ (− cos x)c(x)e
− sin x
+ c(x)e
− sin x
cos x = sin x cos x ,
0
Z c(x) =
c (x) = sin x cos xesin x , Z sin x cos xesin x dx = tet dt = (At + B)et , ⇒
A + At + B = t
A = 1, B = −1 ,
t
c(x) = (t − 1)e + c2 = (sin x − 1)esin x + c2 , y(x) = sin x − 1 + c2 e− sin x , y(0) = 1
⇒
1 = −1 + c2
⇒
c2 = 2 ,
y(x) = sin x − 1 + 2e− sin x . Příklad 3.9. Řešte rovnici (1 − x2 )y 0 + xy = 1, y(0) = 1. Řešení: Homogenní rovnice: (1 − x2 )y 0 + xy = 0 , Z dy x = dx , 2 y x −1 1 ln |y| = ln |x2 − 1| + c1 , 2 p y(x) = c |x2 − 1| . √ Z počáteční podmínky y(x) = c(x) 1 − x2 . Variace konstanty: Z
p p 1/2(−2x) (1 − x2 )c0 (x) 1 − x2 + (1 − x2 )c(x) √ + xc(x) 1 − x2 = 1 , 1 − x2 3
c0 (x) = (1 − x2 )− 2
⇒
c = 2(1 − x2 )−1/2 + c1 , p y(x) = 2 + c1 1 − x2 .
x Příklad 3.10. Řešte rovnici y 0 − y cos sin x = 2 sin x.
Řešení: Homogenní rovnice: cos x = 0, y0 − y Z Z sin x dy cos x = dx , y sin x ln |y| = ln | sin x| + c1 , y = c sin x .
5
Variace konstanty: y(x) = c(x) sin x , c0 (x) sin x + c(x) cos x − c(x) cos x = 2 sin x , Z c(x) = 2 dx = 2x + c2 , y(x) = (2x + c2 ) sin x . Příklad 3.11. Řešte rovnici y 0 + xy = x. Řešení: Homogenní rovnice: y 0 + xy = 0 , Z dy = − x dx , y x2 ln |y| = − + c1 , 2
Z
y = ce−
x2 2
.
Variace konstanty: y(x) = c(x)e− 2
0
c (x)e
− x2
2
− c(x)xe
− x2
c(x) =
xe
x2 2
x2 dx = u = , 2
,
2
+ xc(x)e
− x2
= x,
c0 (x) = xe
Z
x2 2
x2 2
, Z x2 du = xdx = eu du = eu = e 2 + c2 , y(x) = 1 + c2 e−
Příklad 3.12. Řešte rovnici y 0 =
y−1 x(x−1) .
Řešení: Homogenní rovnice: y , x(x − 1) Z Z Z dy 1 1 1 = dx = − dx , y x(x − 1) x−1 x x−1 ln |y| = ln + c1 , x x−1 y=c . x y0 =
6
x2 2
.
Variace konstanty: x−1 , x 0 c(x) 1 x−1 x−1 = 2 − + c(x) , c0 (x) x x x (x − 1)x 0 c(x) x−1 1 x − (x − 1) 0 = 2 − c (x) + c(x) , x x2 x (x − 1)x 1 , c0 (x) = − (x − 1)2 1 c(x) = + c2 , x−1 1 x−1 x−1 y(x) = + c2 = 1 + c3 . x x x y(x) = c(x)
Příklad 3.13. Řešte rovnici y 0 + 3y = e2x . Řešení: Homogenní rovnice: y 0 + 3y = 0 , Z dy = − 3dx , y ln |y| = −3x + c1 ,
Z
y = ce−3x . Variace konstanty: y(x) = c(x)e−3x , c0 (x)e−3x + c(x)e−3x (−3) + 3c(x)e−3x = e2x , c0 (x) = e5x , 1 c(x) = e5x + c2 , 5 1 y(x) = e2x + c2 e−3x . 5 Příklad 3.14. Řešte rovnici y 0 + y = cos x. Řešení: Homogenní rovnice:
Z
y0 + y = 0 , Z dy = − 1 dx , y ln |y| = −x + c1 , y = ce−x .
7
Variace konstanty: y(x) = c(x)e−x , c0 (x)e−x + c(x)e−x (−1) + c(x)e−x = cos x , Z 1 c(x) = ex cos xdx = ex (sin x + cos x) + c2 , 2 1 y(x) = (sin x + cos x) + c2 e−x . 2 Příklad 3.15. Řešte rovnici xy 0 −
y x+1
= x.
Řešení: Homogenní rovnice: y , x+1 Z Z Z dy 1 1 1 = dx = − dx , y (x + 1)x x x+1 x + c1 , ln |y| = ln x + 1 x y=c . x+1 xy 0 =
Variace konstanty: y(x) = c(x) xc0 (x)
x , x+1
x x+1−x c(x)x + c(x)x − = x, x+1 (x + 1)2 (x + 1)2 x+1 1 c0 (x) = =1+ , x x c(x) = x + ln |x| + c2 , x (x + ln |x| + c2 ) . y(x) = x+1
Příklad 3.16. Řešte rovnici (2ey − x)y 0 = 1. Řešení: Použijeme triku, že hledáme řešení x(y) jako funkce od y. x0 = −x + 2ey . Homogenní rovnice: x0 = −x , Z dx = − dy , x ln |x| = −y + c1 ,
Z
x = ce−y .
8
Variace konstanty: x(y) = c(y)e−y , 0
c (y)e
−y
= −c(y)e−y + 2ey , Z c(y) = 2e2y = e2y + c2 ,
− c(y)e
−y
x(y) = c2 e−y + ey . Příklad 3.17. Řešte rovnici x2 y 0 + 3 − 2xy = 0. Řešení: y(x) =
1 + c2 x2 . x
Příklad 3.18. Řešte rovnici y 0 + 2xy = 2x3 . Řešení:
2
y(x) = x2 − 1 + c2 e−x . 2
Příklad 3.19. Řešte rovnici y 0 + 2xy = 2xe−x . Řešení:
2
y(x) = (x2 + c2 )e−x . Příklad 3.20. Řešte rovnici y 0 − 2xy = 3x2 − 2x4 . Řešení:
2
y(x) = x3 + c2 ex . Příklad 3.21. Řešte rovnici xy 0 + (1 − x)y = xex . Řešení:
y(x) =
c2 1 x+ 2 x
ex .
Příklad 3.22. Řešte rovnici y 0 + (y − 2 sin x) cos x = 0. Řešení: y(x) = 2(sin x − 1) + c2 e− sin x . Příklad 3.23. Řešte rovnici y 0 − 2xy = x s počáteční podmínkou y(0) = 1. Řešení:
2
3ex − 1 y(x) = . 2 Příklad 3.24. Řešte rovnici (1 + x2 )y 0 + xy = (1 + x2 )5/2 . Řešení:
y(x) =
2x3 x5 + + x + c2 5 3
9
√
1 . 1 + x2
Příklad 3.25. Řešte rovnici y 0 + y = ex s počáteční podmínkou y(0) = 2. Řešení: y(x) =
1 x (e + 3e−x ) . 2
Příklad 3.26. Řešte rovnici y 0 + y = e−x s počáteční podmínkou y(0) = 3. Řešení: y(x) = (x + 3)e−x Příklad 3.27. Řešte rovnici y 0 −
2x 1+x2 y
= 1 s počáteční podmínkou y(0) = 1.
Řešení: y(x) = (arctg x + 1)(1 + x2 ) . Příklad 3.28. Řešte rovnici y 0 + Řešení:
1 x2 y
= 0 s počáteční podmínkou y(−1) = 2.
1
y(x) = 2e1+ x , Příklad 3.29. Řešte rovnici y 0 +
1 1+x y
x ∈ (−∞, 0) . = 0 s počáteční podmínkou y(0) = 1.
Řešení: y(x) = (1 + x)−1
x > −1 .
Příklad 3.30. Řešte rovnici y 0 +y cos x = e− sin x s počáteční podmínkou y(0) = 1. Řešení: y(x) = (x + 1)e− sin x . Příklad 3.31. Řešte rovnici y 0 + y = 2x + 1. Řešení: y(x) = 2x − 1 + c2 e−x .
4
Rovnice, které lze převést na lineární
Nakonec se budeme zabývat rovnicemi, které lze vhodnou úpravou převést na lineární. Prvním příkladem je Bernoulliova rovnice y 0 + a(x)y = b(x)y n . Nejdříve tuto rovnici vydělíme y n a poté použijeme substituci z = Příklad 4.1. Řešte rovnici y 0 + 2xy = 2x3 y 3 .
10
1 y n−1 .
Řešení: Zvolíme substituci z = y −n+1 , 1 − z 0 + 2xz = 2x3 . 2 Homogenní rovnice: 1 − z 0 + 2xz = 0 , Z Z 2 dz = 4x dx , z 2
z = ce2x . Variace konstanty: 2
z = c(x)e2x , 2 2 2 1 − c0 (x)e2x − 2c(x)xex + 2c(x)xex = 2x3 , 2 Z 1 2 3 −2x2 c(x) = −4x e dx = t = −2x2 , dt = −4xdx = (2x2 + 1)e−2x + c2 , 2 2 1 z(x) = x2 + + c2 e2x = y −2 , 2 1 y(x) = ± q . x2 + 12 + c2 e2x2
Druhou rovnicí je Ricattiova rovnice y 0 + a(x)y + b(x)y 2 = c(x) . Jestliže známe jedno její partikulární řešení y1 (x), lze ji substitucí y = y1 + z převést na Bernoulliovu rovnici.
5
Použitá a doporučená literatura 1. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 2003, kapitola 1.4 2. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma11-12/Brz ves/difrov.pdf, kapitola 1.3
11
