Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
RNDr.Viera Kompanová
Námety na vyučovanie kvadratickej rovnice Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe
Banská Bystrica 2013
Vydavateľ:
Metodicko-pedagogické centrum, Ševčenkova 11, 850 01 Bratislava
Autor OPS/OSO:
RNDr.Viera Kompanová
Kontakt na autora:
Gymnázium Antona Bernoláka, ulica Mieru 307/23 , 029 01 Námestovo vkompanová@gmail.com
Názov OPS/OSO: Námety na vyučovanie kvadratickej rovnice Rok vytvorenia OPS/OSO:
2013
Odborné stanovisko vypracoval:
PaedDr. Katarína Poláčiková
Za obsah a pôvodnosť rukopisu zodpovedá autor. Text neprešiel jazykovou úpravou. Táto osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe/osvedčená skúsenosť odbornej praxe bola vytvorená z prostriedkov národného projektu Profesijný a kariérový rast pedagogických zamestnanancov. Projekt je financovaný zo zdrojov Európskej únie.
Kľúčové slová Kvadratická rovnica, diskriminant, korene kvadratickej rovnice, kvadratická rovnica v normovanom tvare, kvadratická rovnica bez absolútneho člena, rýdzokvadratická rovnica, vyučovacia hodina, pracovný list, interaktívna tabuľa, interaktívna aktivita, didaktický test.
Anotácia Informačné a komunikačné technológie (IKT) dnes zasahujú takmer do všetkých oblastí života človeka. Ich využívanie sa stáva samozrejmosťou aj pre žiakov základných i stredných škôl. Žiaci teda očakávajú, že sa s ich využívaním stretnú aj na vyučovacích hodinách. Je však veľmi dôležité, aby zaradenie prostriedkov IKT vo vyučovaní bolo dostatočne „citlivé“ a žiaci sami pocítili výhody ich využívania. Prejaví sa to zvýšením efektívnosti vyučovacieho procesu a zároveň získavaním nových zručností v ich využívaní žiakmi. Je samozrejmé, že všetky očakávania im môže splniť učiteľ, ktorý je tvorivý, sám dostatočne ovláda prácu s prostriedkami IKT a dokáže vytvoriť vhodné, zaujímavé a motivujúce úlohy. Touto OPS sme chceli ukázať, že aj matematiku dokážeme urobiť „hravou“ a zaujímavou vďaka nie príliš zložitým, ale účinným učebným pomôckam, ktoré podporujú modernizáciu vyučovania, zároveň umožňujú žiakovi pracovať samostatne, aj v skupine a učiteľovi zase poskytujú účinnú spätnú väzbu a vyhodnotenie. Cieľom tejto práce bolo poskytnúť učebné materiály učiteľom, metodicky popísať praktické a vyskúšané námety a materiály použité na vyučovacích hodinách na tému Kvadratická rovnica, tematického celku Rovnice a sústavy rovníc v 1. ročníku gymnázia. Použitie navrhovanej metodiky a predkladané pracovné listy sú v súlade s platnými učebnými osnovami a štandardami tak, aby sme splnili vyučovacie ciele.
OBSAH Úvod ..................................................................................................................................................
5
1 OPIS OPS NÁMETY NA VYUČOVANIE KVADRATICKEJ ROVNICE.....................
7
1.1 Kontext a rámec ...................................................................................................................
8
1.2 Špecifikácia cieľovej skupiny..........................................................................................
8
1.3 Teoretické východiská......................................................................................................
8
2 NÁMETY VYUČOVACÍCH HODÍN......................................................................................
13
2.1 Pracovný list č.1 interaktívny........................................................................................
13
2.2 Pracovný list č. 2..................................................................................................................
21
2.3 Pracovný list č. 3..................................................................................................................
24
2.4 Pracovný list č. 4 ................................................................................................................
28
Záver................................................................................................................................................
32
Zoznam bibliografických zdrojov.......................................................................................
33
ÚVOD Hlavnou úlohou dnešnej školy je vychovávať osobnosti slobodné a zodpovedné, citovo zrelé a rozumovo vyspelé, adaptabilné na podmienky 21. storočia. Jedným z dôležitých predpokladov ďalšieho úspešného štúdia, resp. zaradenia sa žiakov do života v týchto podmienkach je zvládnutie efektívneho využívania informačných a komunikačných technológií žiakmi. S tým je spojená aj potreba zavádzania nových spôsobov a metód vyučovania na školách. Pre učiteľa to znamená, že musí vedieť efektívne používať IKT nielen pre svoje vlastné štúdium a prípravu, ale aj v každodennom procese učenia. Na stredných školách stále pretrváva nedostatok komplexne metodicky spracovaných študijných materiálov pre konkrétne tematické celky s použitím efektívnych nástrojov IKT. Práca má slúžiť ako študijný materiál učiteľom a žiakom k téme Kvadratická rovnica tematického celku Rovnice a sústavy rovníc v 1. ročníku gymnázia. Túto tému sme zvolili preto, lebo sme chceli názorne a dynamicky sprístupniť učivo o kvadratických rovniciach s dôrazom na precvičovanie učiva. Chceli sme poukázať na to, že hoci kvadratická rovnica nie je pre žiakov veľmi zaujímavá, považujú ju za ťažšie učivo, pomocou vhodne zvolených, nie veľmi náročných interaktívnych i neinteraktívnycu aktivít, je možné u žiakov zvýšiť záujem o toto učivo. I na hodinách matematiky sme sa nažili využiť niektoré z možností, ktoré poskytuje interaktívna tabuľa. Na vytvorenie interaktívnych aktivít sme použili program ActivInspire a online testy, ktorými sme overovali vedomosti žiakov. V tejto osvedčenej pedagogickej skúsenosti /OPS/ sme okrem piatich stránok predvádzacieho zošitainteraktívneho pracovného listu vytvoreného v programe ActivInspire, troch jednoduchých didaktických online testov dostupných na internete popísali aj tri klasické pracovné listy. Učiteľ môže podľa potreby vyberať a kombinovať jednotlivé časti pracovných listov tak, ako mu to najlepšie vyhovuje. Predkladaná OPS Námety na vyučovanie kvadratickej rovnice pozostáva z opisu štyroch pracovných listov. Pre učiteľa sú vytvorené jednoduché metodiky, ktoré vychádzajú z vlastných skúseností vyučovania matematiky.
1 OPIS OPS NÁMETY VYUČOVANIA KVADRATICKEJ ROVNICE V súčastnej dobe je nutné, aby sme aj do školského prostredia prinášali množstvo moderných podnetov k tomu, aby sme ich pôsobením spolu s pôsobením učiteľa i samotných žiakov vybudovali u žiakov pevné, poznatkové základy a kvalitný funkčný systém využiteľných zručností v bežnom živote. Pokiaľ chceme realizovať prípravu žiaka na život v informačnej spoločnosti, musíme mu ponúknuť moderné nástroje, uľahčiť mu a spestriť prípravu na vyučovanie pomocou jemu blízkych prostriedkov. V súčasnosti na našich školách chýbajú kvalitné učebnice a zbierky úloh a preto tvorivý učiteľ sa snaží sám hľadať spôsoby a formy ako skvalitniť výchovnovzdelávací proces. V tejto predkladanej OPS sme sa snažili poukázať na to, že tak často spomínaná kvadratická rovnica sa dá priblížiť žiakom pútavo a hravo, pomocou jednoduchých moderných IKT prostriedkov. Predkladaná OPS pozostáva zo štyroch pracovných listov. Prvý pracovný list je pripravený na interaktívnu tabuľu a je spracovaný v programe AktivInspire. Obsahuje päť stránok predvádzacieho zošita. Zameraný je na nácvik základných pojmov, s ktorými sa pri riešení kvadratických rovníc stretávame. Pri tomto pracovnom liste sú popísané aj tri didaktické testy, ktoré slúžia na preverenie získaných vedomostí a zručností žiakov. Druhý pracovný list obsahuje úlohy väčšinou na rýdzokvadratickú rovnicu a rovnicu bez absolútneho člena. Tretí pracovný list pozostáva z úloh na kvadratickú rovnicu v normovanom tvare a z úloh zameraných na aplikáciu Vietových viet. Štvrtý pracovný list obsahuje úlohy slovné, aplikačné, ktoré vedú k riešeniu kvadratickej rovnice. K tomu, aby sme splnili cieľ vyučovacích hodín na tému Kvadratická rovnica, musíme vedieť a mať na zreteli cieľ vyučovania matematiky a metódy a formy vedúce k jeho dosiahnutiu. Cieľom vyučovania matematiky na strednej škole je, aby žiak:
získal schopnosť vedieť ju využívať vo svojom budúcom živote získal schopnosť správne argumentovať rozvíjal svoje logické a kritické myslenie komunikoval a spolupracoval v skupine pri riešení problému spoznal matematiku ako súčasť ľudskej kultúry
Metódy a formy, ktoré vedú k dosiahnutiu týchto cieľov sú predovšetkým tie, ktoré sú zamerané na :
správnu motiváciu žiaka tvorivosť učiteľa i žiaka individuálny prístup k žiakovi rozvoj samostatného učenia sa žiaka uplatnenie princípu sebavyjadrovania sa žiaka pestrosť a zaujímavosť úloh vyučovanie hrou súťaživosti žiakov
7
Vzájomným pôsobením týchto foriem a metód je správna aplikácia poznatkov o rovniciach, ktoré žiak získa a môže ich využívať nielen pri svojom ďaľšom štúdiu v predmete matematika, ale aj vo fyzike a ostatných predmetoch a samozrejme aj v reálnom živote. 1.1 Kontext a rámec Predkladaná OPS Námety na vyučovanie kvadratickej rovnice je zaradená do: Typ školy: Gymnázium – vyššie sekundárne vzdelávanie Východiská: pri realizácii tejto OPS učiteľ potrebuje počítač s pripojeniím na internet a s programom ActivInspire, interaktívnu tabuľu, dataprojektor, na jednu vyučovaciu hodinu počítač pre jedného, resp. dvojicu žiakov. 1.2 Špecifikácia cieľovej skupiny Kategória pedagogických zamestnancov: učiteľ Podkategória pedagogických zamestnancov: učiteľ pre úplné stredné všeobecné vzdelávanie Škola: gymnázium Ročník: prvý pre štvorročné štúdium, piaty pre osemročné štúdium Vzdelávacia oblasť: matematika a práca s informáciami Vyučovací predmet: matematika Tématický celok: Rovnice, sústavy rovníc a nerovníc Téma: Kvadratická rovnica 1.3 Teoretické východiská Názory na vyučovanie matematiky na gymnáziách z hľadiska rozsahu i obsahu sú v odbornej i laickej verejnosti rôzne. Matematika má kľúčové postavenie pri rozvoji logického, analytického a kritického myslenia, rozvoji schopností argumentovať, komunikovať a spolupracovať v skupine pri hľadaní riešení úloh. Žiaci by mali pochopiť, že matematika poskytuje často jediný nástroj na popísanie rôznych javov, faktov v ostatných prírodných i humanitných vedách. Metodika vyučovania matematiky musí umožniť žiakom, aby získavali matematické vedomosti, zručnosti špirálovite, prostredníctvom riešenia úloh s rôznorodým kontextom. Matematika na gymnáziách sa podieľa na rozvíjaní schopností študentov používať prostriedky IKT na vyhľadávanie, spracovanie a prezentovanie informácií, má rozvíjať zručnosti súvisiace s procesom učenia sa [9]. V predkladanej OPS sme sa pokúsili poukázať na to, že aj internet, didaktický softvér a interaktívnu tabuľu môžeme využiť na vyučovaní matematiky. Najideálnejšie je, ak žiaci na konkrétnej vyučovacej hodine pracujú v počítačovej triede, pričom pri jednom počítači pracujú najviac dvaja žiaci. Pri sledovaní didaktických cieľov môže učiteľovi 8
výrazne pomôcť, aj keď bude mať k dispozícii len jeden počítač, samozrejme s požadovaným softvérom a s pripojením na internet a žiaci budú mať možnosť sledovať obraz cez dataprojektor poprípade, na dostatočne veľkej obrazovke televízora. Nové trendy pri používaní moderných technológií vo vyučovaní potrebujú učiteľa, ktorý je informačne gramotný, vie aké možnosti mu dáva internet a výpočtová technika pri dosahovaní vyučovacích cieľov a je ochotný sa v tomto smere neustále ďalej vzdelávať. Pri využívaní počítačov vo vyučovaní zvyšujeme efektívnosť vyučovania najmä
individualizáciou vyučovania (učivo, metódy, čas) motiváciou žiakov (rôzne výzvy, pochvaly, poďakovania) objektívnosťou hodnotenia žiakov okamžitou spätnou väzbou veľkými zobrazovacími možnosťami automatizáciou pracovných výpočtov, elimináciou rutinných prác, úsporou času
Treba pripomenúť, že prínos informačných a komunikačných technológií možno zhrnúť takto:
počítače vytvárajú žiakom spoľahlivé a príťažlivé prostredie pre učenie sa, je pre nich lákavé a príťažlivé, dobrý didaktický softvér rešpektuje individuálne požiadavky žiakov, ich vlastné tempo a úroveň vedomostí motivácia k efektívnemu učeniu sa prostredníctvom počítača a internetu je jedným z najväčších prínosov týchto technológií práca s počítačom dáva žiakom možnosť byť úspešným aj tam, kde predtým neboli a často prežívali stres z neúspechu prostredníctvom internetu sa žiaci veľmi rýchlo dostanú k doteraz nevídane bohatým zdrojom informácií ( v tejto súvislosti je nutné žiakov naučiť informácie nielen efektívne vyhľadávať, ale aj triediť a spracovávať, prostredníctvom textových a grafických editorov sa žiaci môžu naučiť samostatne tvoriť, vytvárať projekty) práca s počítačom a internetom vytvára žiakom tvorivé prostredia pre rozvoj ich logického a kritického myslenia ( pri práci s PC žiak neustále musí premýšľať, ako čo najefektívnejšie uskutoční svoj zámer a dosiahne svoje predstavy, rozhodnutia musí vykonávať rýchle a okamžite vie, či sa rozhodol správne a pri chybnom kroku sa môže vrátiť a chybu opraviť)
K tomu, aby učiteľ mohol použiť túto OPS predpokladáme, že žiak vie:
riešiť lineárnu rovnicu dosadiť do vzorca pozná pravidlá na počítanie s mocninami aplikovať vzorce (A B)², A² - B² pracovať s výrazmi používať kalkulačku ovláda prácu na počítači ( Microsoft Word, Windows )
Materiálne a didaktické prostriedky:
interaktívna tabuľa 9
dataprojektor počítač pre každého žiaka prístup na internet softvér ActivInspire pripravené interaktívne aplikácie vytvorené učiteľom online test pracovné listy
Pri riešení kvadratických rovníc budeme používať ekvivalentné úpravy, ktoré si stručne pripomenieme. Ekvivalentné úpravy pre riešení rovníc: pripočítanie rovnakého čísla alebo rovnakého výrazu definovaného pre všetky hodnoty neznámej z množiny čísel, v ktorej rovnicu riešime k obom stranám rovnice vynásobenie rovnice nenulovým číslom alebo výrazom, ktorý je definovaný pre všetky hodnoty neznámej z množiny čísel, v ktorej rovnicu riešime a je rôzny od nuly výmena strán rovnice nahradenie jedného výrazu iným, ktorý sa mu rovná a je definovaný v definičnom obore rovnice K tomu, aby sme mohli používať jednotlivé pracovné listy a online testy, musíme vedieť vlastnosti a vzťahy, ktoré platia pre kvadratickú rovnicu. Kvadratická rovnica: Rovnicu ax² + bx + c = 0 (1) kde a, b, c ∈ R, a 0 voláme kvadratická rovnica s neznámou x. Člen ax² je kvadratický, člen, bx je lineárny a c je absolútny člen. Keby a = 0, tak rovnica (1) by nebola kvadratická, ale lineárna. Výraz ax² + bx + c sa volá kvadratický trojčlen. Rovnicu (1) riešime nasledovne : Najskôr vypočítame diskriminant D: D = b² - 4ac. Môže nastať jedna z troch možností: 1) D
0 vtedy má kvadratická rovnica (1) dva rôzne korene, pre ktoré platí: =
,
=
2) D = 0 vtedy má kvadratická rovnica (1) jeden dvojnásobný koreň, pre ktorý platí: = 3) D 0 tak v obore reálnych čísel kvadratická rovnica (1) nemá riešenie.
Dokázať tieto vzťahy možno úpravou ľavej strany rovnice na štvorec a využitím vzorca A² - B².
10
Pre kvadratickú rovnicu (1) platia Vietove vety / Francios Vieta 1540 – 1603/. Veta 1: Pre korene p² - 4q
0 platí:
, +
kvadratickej rovnice x² + px + q = 0, (2) kde p, q = - p,
R,
= q (3)
Kvadratickú rovnicu typu (2) voláme kvadratická rovnica v normovanom tvare. Veta 2: Ak platí (3) tak čísla platí x² + px + q = x² - ( +
,
sú korene kvadratickej rovnice = (x - )(x - )
x² + px + q = 0 lebo
Veta 3: Ak kvadratická rovnica ax² + bx + c = 0 kde a, b, c ∈ R, a 0 má korene potom pre každé x ∈ R platí : ax² + bx + c = a(x - )(x -
,
Obrátene, ak kvadratický trojčlen ax² + bx + c možno rozložiť na súčin a(x tak čísla sú korene rovnice (1).
,
)(x -
Uvedený rozklad sa volá rozklad kvadratického trojčlena na koreňové činitele. Ak kvadratická rovnica má dvojnásobný koreň , tak rozklad kvadratického trojčlena má špeciálny tvar ax² + bx + c = a(x - )².
príslušného
Riešenie neúplnej kvadratickej rovnice. Kvadratická rovnica bez absolútneho člena. Tak sa volá kvadratická rovnica (1), v ktorej sa c = 0, teda ax² + bx = 0, a, b ∈ R, a 0 .Túto rovnicu prevedieme na tvar: ax(x + ) = 0, ktorej korene sú : = . Naviac, ak b = 0 , tak = 0 a číslo 0 je dvojnásobný koreň. Rýdzokvadratická rovnica. Tak sa volá kvadratická rovnica (1), v ktorej sa b = 0, teda ax² + c = 0, kde a, c ∈ R, a 0. Po úprave dostaneme: x² = (4) a prepíšeme do tvaru : x² = d. Ak d 0 tak rovnica (4) nemá v obore reálnych čísel riešenie. Ak d 0 tak rovnca (4) má dva korene , =- . Ak naviac c = 0, tak = 0 a číslo 0 je dvojnásobný koreň.
11
12
2 NÁMETY VYUČOVACÍCH HODÍN Ako sme uviedli v predchádzajúcej kapitole predkladaná OPS Námety na vyučovanie kvadratickej rovnice poskytuje učiteľom matematiky k danému tematickému celku študijný materiál – pracovné listy s vhodnou množinou príkladov, z ktorých môže učiteľ podľa potreby vyberať. Úprava úloh do pracovných listov a ich využitie na hodinách matematiky umožňuje značne zefektívniť vyučovací proces. Pracovné listy sú určené jednak pre učiteľov, ktorým majú zjednodušiť a uľahčiť náročnú prácu s prípravou na vyučovaciu hodinu – učiteľ nemusí prehľadávať množstvo rôznych zdrojov, alebo vytvárať úplne nové úlohy, môže robiť efektívne výbery úloh, ich úpravy pretože sú spracované v elektronickej podobe. Žiaci získajú ucelený a prehľadný študijný materiál k danej téme. V tejto kapitole podrobne popisujeme predkladanú OPS Námety na vyučovanie kvadratickej rovnice s metodickými postupmi, návodmi a výsledkami riešení. OPS obsahuje štyri pracovné listy . Prvý pracovný list je pripravený na prácu na interaktívnej tabuli a na samostatnú prácu žiakov pri svojich počítačoch. V prípade, že technicky nie je možné vyučovaciu hodinu realizovať v počítačovej učebni, stačí, aby bol k dispozícii jeden počítač s nainštalovaným požadovaným softvérom a pripojením na internet a dataprojektor, resp. televízor s veľkou obrazovkou. Zvyšné tri pracovné listy možno použiť celé, alebo učiteľ si môže urobiť vlastný výber úloh, môže ich použiť ako zadanie na domácu prípravu, resp. ťažšie úlohy vybrať ako problémové, alebo dobrovoľné. Štruktúru vyučovacej hodiny, jej členenie a časovú dotáciu ponechávame na učiteľa, ktorý podľa aktuálnej situácie v triede sám najlepšie vie, aké spôsoby a formy vyučovacej hodiny zvolí. Pri každej úlohe sme uviedli výsledky a metodické poznámky, ktoré výber príkladov a možnosti ich použitia zjednodušujú. 2.1 Pracovný list č.1 – interaktívny Tento interaktívny pracovný list obsahuje 5 stránok predvádzacieho zošita vytvoreného v programe ActivInspire. Pri použití pracovného listu doporučujeme:
pracovať so skupinou žiakov maximálne 15 – vhodná je delená vyučovacia hodina. pripraviť si počítače s príslušným softvérom a pripojením na internet mať k dispozícii interaktívnu tabuľu, resp. televízor s veľkou obrazovkou oboznámiť dopredu žiakov s typom vyučovacej hodiny zaradiť túto vyučovaciu hodinu tak, aby žiaci už mali základné poznatky o kvadratickej rovnici
V prípade, že máme k dispozícii iba jeden počítač s príslušným softvérom, je možné použiť interaktívne cvičenia tak, že jeden žiak ich rieši pri počítači a obraz premietame na plátno, ostatní žiaci riešia do zošitov a sledujú zároveň riešenie spolužiaka na plátne. Návrh metodiky na použitie tohto pracovného listu sme spracovali do prehľadnej tabuľky/Tabuľka č. 1/, v ktorej sú popísané požadované informácie k tomu, aby sme predkladaný materiál mohli použiť na vyučovacej hodine.
13
Tabuľka č. 1 : Návrh metodiky vyučovacej hodiny Téma: O čom to bude Kvadratická rovnica Ciele: Čo sa žiak naučí používať vzťahy a vlastnosti platné pri riešení kvadratickej rovnice diskutovať o riešiteľnosti a počte riešení kvadratickej rovnice jednoduché situácie transformovať do matematických štruktúr, pracovať s matematickým modelom a výsledok dokáže vyhodnotiť
Kompetencie: Čo si žiak osvojí občiansku kompetenciu-rozvíjať schopnosť myslieť kriticky kľúčovú kompetenciu- presne sa vyjadrovať, argumentovať pri písomnej i ústnej komunikácii kľúčovú kompetenciu získať požadované zručnosti pri práci s počítačom Prostriedky: Čo použijeme interaktívna tabuľa dataprojektor počítač pre každého žiaka pripojenie na internet pripravené interaktívne aplikácie vytvorené učiteľom online didaktický test
Ročník: Koho učíme Prvý, SŠ - gymnázium Vstup: Čo sa vopred od žiaka očakáva, žiak vie riešiť lineárnu rovnicu dosadiť do vzorca ovláda vzorce (A B)², A² - B² upravovať výrazy pozná tvar všeobecnej kvadratickej rovnice a jej ostatné tvary riešiť jednoduché kvadratické rovnice používať kalkulačku ovláda prácu na počítači Didaktický problém: Čo budeme riešiť názorne a dynamicky sprístupniť učivo o kvadratickej rovnici s dôrazom na jeho uplatnenie pri riešení úloh kombinovať názorný a algebralický prístup pri analýze vzťahov rozvíjať zručnosti žiakov pri používaní IKT prostriedkov Metódy a formy: Ako to zrealizujeme didaktická hra individuálna a skupinová práca s podporou IKT riadený rozhovor
Vlastný zdroj Prvá interaktívna aktivita. Cieľom tejto aktivity – matematickej rozcvičky bolo zopakovať aritmetické operácie so zlomkami a podporiť pamäťové počítanie žiakov. Matematická rozcvička bola pripravená učiteľom v programe ActivInspire. Obsahovala šesť úloh, ktoré žiaci riešili spamäti. Žiaci boli rozdelení do dvoch skupín. Ten žiak, ktorý ako prvý vyriešil danú
14
úlohu správne, získal bod pre svoju skupinu. V prípade nesprávnej odpovede sa skupine odpočítal bod a odpovedať mohol žiak z druhej skupiny. Skórovanie bolo možné sledovať na interaktívnej tabuli. Žiak, ktorý získal pre svoju skupinu najviac bodov bol odmenený. Vytvorenie aktivity č. 1 pre učiteľa ktorý vie pracovať v prostredí programu ActivInspire nebolo príliš náročné a celú aktivitu spravilo efektívnejšou. Učiteľ sa nemusel zdržiavať zápisom úloh na tabuli, resp. zapisovaním výsledkov. V pripravenom predvádzacom zošite stačilo otvoriť príslušnú predvádzaciu stránku zošita a kliknutím na vhodné objekty stránky (číslo úlohy a odpoveď) sa ukázali zadania jednotlivých úloh, správne odpovede a tiež skóre pre zvolené skupiny. Kliknutím na text „správne, resp. nesprávne“ na stránke predvádzacieho zošita sa vypočítalo celkové skóre za príslušnú skupinu. Celú štruktúru stránky ukazuje Obr. 1. Nezanedbateľnou výhodou takto realizovanej matematickej rozcvičky bolo aj zvýšenie aktivity žiakov. Žiakom sa táto aktivita páčila, hoci počítanie spamäti veľmi neobľubujú. Treba ich postupne viesť aj k takýmto úlohám, pretože nielen rozvíjame ich logické myslenie ale zároveň ich vedieme k rýchlym a efektívnym postupom. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 5 minút. Po otvorení predvádzajúceho zošita sa na interaktívnej tabuli otvorila stránka zošita ako ukazuje Obr. 1.
Obr. 1 : Prvá stránka predvádzacieho zošita. Ďaľšie štyri interaktívne aktivity obsahujú úlohy na výpočet diskriminantu kvadratickej rovnice a jej koreňov. Rovnice sú vo všeobecnom tvare, bez absolútneho člena, rýdzokvadratická a aj v normovanom tvare. Žiaci mohli používať kalkulačku. Druhá interaktívna aktivita. Obsahovala šesť kvadratických rovníc, ktoré mal žiak rozdeliť na základe výpočtu diskriminanta na tie, ktoré majú diskriminant D a na tie, ktorých diskriminant je záporný. Po vypočítaní diskriminantu, žiak presunul číslo danej kvadratickej rovnice do
15
správneho kontajnera (na stránke je to kruh). Stránka je zobrazená na Obr. 2. V prípade, že žiak presunul kvadratickú rovnicu do nesprávneho kontajnera, táto sa vrátila na pôvodné miesto na stránke. Kontajner také riešenie neprijal. Úlohy 2, 3, 5, 6 majú D , úlohy 1, 4 zas D 0. Cieľom aktivity č. 2 bolo, aby žiak pochopil a následne vedel používať a zapamätal si vzorec na výpočet diskriminantu. Zároveň sme tým rozvíjali jeho numerické zručnosti. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 5 minút. Po otvorení predvádzajúceho zošita sa na interaktívnej tabuli otvorila stránka zošita ako ukazuje Obr. 2.
Obr. 2: Druhá stránka predvádzacieho zošita. Tretia interaktívna aktivita. Na stránke predvádzacieho zošita sa nachádzajú dva stĺpce (Obr. 3). Úlohou žiaka bolo vyriešiť šesť kvadratických rovníc v obore reálnych čísel. Rovnice sme vyberali tak, aby tam bola úplná kvadratická rovnica i neúplné kvadratické rovnice – rýdzokvadratická, bez absolútneho člena a aj v normovanom tvare. Zaradené rovnice mali jedno, dva, resp. žiadne riešenie. Riešenie žiak priamo vpísal do prázdneho okna a potom ho mohol porovnať so správnym riešením úlohy kliknutím na ikonku „správny výsledok“ v pravom stĺpci. Kliknutím na objekt sa odkrytá správna odpoveď opäť skryje. Cieľom tejto aktivity bolo, aby si žiak docvičil riešenie rôznych typov kvadratických rovníc. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 5 minút. Po otvorení predvádzajúceho zošita sa na interaktívnej tabuli otvorila stránka zošita ako ukazuje Obr. 3.
16
Obr. 3: Tretia stránka predvádzacieho zošita. Štvrtá interaktívna aktivita. Obsahovala päť kvadratických rovníc, ktoré mohol žiak riešiť ľubovoľným spôsobom. Výsledok napísal do príslušného riadku, pričom správne riešenie si mohol overiť výberom lupy na stránke zošita a jej premiestnením na koniec príslušného riadku, v ktorom napísal riešenie. Výber lupy sa uskutočnil kliknutím na objekt lupa (spodná časť stránky). Do tejto aktivity sme zaradili aj úlohu č.4, ktorej riešenie je iracionálne číslo. Na túto skutočnosť treba žiakov upozorniť ako aj na fakt, že skúšku správnosti je nutné predviesť s presným číslom, nie so zaokrúhleným. Odporúčame skúšku správnosti previesť na tabuľu a podobnú úlohu zaradiť ešte aj na samostatnú prácu resp. domácu úlohu, pretože žiaci s takýmito úlohami majú problémy. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 8 minút. Aktivita č. 4 je zobrazená na Obr. 4.
Obr. 4: Štvrtá stránka predvádzacieho zošita. 17
Piata interaktívna aktivita. Aktivita č. 5 zobrazená na Obr. 5 predstavuje známu hru pexeso. Obsahuje šesť úloh. Žiak najskôr musel vypočítať úlohu a následne k nej nájsť výsledok, alebo výsledku priradiť správne zadanie úlohy.Cieľom tejto aktivity bolo, aby žiak dokázal pracovať so základnými vzťahmi pre kvadratickú rovnicu. V tejto aktivite sme zvolili úlohy náročnejšie jednak preto, že v predchádzajúcích príkladoch mohol žiak získať potrebné zručnosti riešenia kvadratických rovníc a aj preto, lebo pexeso mohol riešiť aj tak, že odkryl všetky kartičky a jednoducho popáril úlohu s príslušným riešením. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 9 minút. Obsah piatej stránky predvádzacieho zošita je na Obr. 5.
Obr. 5: Piata stránka predvádzacieho zošita. Didaktické online testy kvadratická rovnica: Nasledovala dôležitá, pre žiakov významná časť vyučovacej hodiny, v ktorej dostali spätnú väzbu, overili si, ako dané učivo zvládli. K tomu, aby sme mohli overiť úroveň vedomostí žiakov, museli mať žiaci počítač s prístupom na internet. Na internetovej stránke [15] sme si otvorili interaktívny test, na výpočet koreňov kvadratickej rovnice Obr. 6. Test obsahoval 7 úloh, ktoré boli priraďovacie. Úlohy boli jednoduché a ak žiak poznal pravidlá pre riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare a neúplných kvadratických rovniciach, tak vyriešil tieto úlohy spamäti. Princíp tohto testu spočíval v tom, že žiak mal ku kvadratickej rovnici v pravom stĺpčeku priradiť korene z ľavého stĺpčeka. Po kliknutí na ikonu over správnosť, sa žiakovi potvrdila, resp. nepotvrdila správnosť riešenia a hneď aj videl svoju percentuálnu úspešnosť. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 3 minúty.
18
Obr. 6: Didaktický test č. 1. Druhý test Obr. 7, ktorý sa nachádzal na tejto internetovej stránke je test na rozklad kvadratickej rovnice na súčin pomocou Vietových viet. Test obsahuje osem úloh. V troch stĺpčekoch sú postupne napísané kvadratické rovnice, rozklad na súčin, do ktorého bolo treba vybrať správnu kartičku s opačnými koreňmi nachádzajúcimi sa v treťom stĺpčeku. O správnosti riešenia sa presvedčil žiak jednoducho tak, že súčin koreňových činiteľov roznásobil a výsledok porovnal s danou kvadratickou rovnicou. Doporučená časová dotácia tejto aktivity je 5 minút.
Obr. 7: Didaktický test č. 2. Tretí didaktický test Obr. 8 obsahuje desať úloh, ktoré sú zamerané na nácvik výpočtu diskriminantu a následne žiak musí odpovedať na otázku, koľko koreňov má príslušná kvadratická rovnica. Po vyriešení úlohy sa hneď môže žiak presvedčiť o správnosti riešenia. Časová dotácia testu sú 3 minúty.
19
Obr. 8: Didaktický test č. 3 Tieto tri didaktické testy si mohol spraviť každý žiak samostatne, pričom nesmel použiť kalkulačku. (Vyučujúci sa môže sám rozhodnúť, či dovolí žiakom použiť kalkulačku). Učiteľ môže odmeniť aktívnych žiakov známkou, ústnou pochvalou ap. Didaktické interaktívne testy majú žiaci radi, sú im blízke, sú jednou z možností ako vytvárať u žiakov kladný vzťah k matematike. Použité testy nie sú náročné na matematické zručnosti a poukazujú na potešenie i úžitok z riešenia matematických úloh. Aj menej nadaný žiak má pocit úspešnosti. Takýmito jednoduchými a zaujímavými ukážkami testov presviedčame žiakov o význame interaktívnych aplikácií, ktoré zvýrazňujú podiel matematiky v technických a prírodných vedách a rozširujú ich matematické poznatky. Týchto päť stránok pracovného zošita možno použiť na jednej vyučovacej hodine. I menej talentovaní žiaci ich stihli za 35 minút. Zvyšnú časť vyučovacej hodiny si robili online testy. Tí žiaci, ktorí nestihli dokončiť všetky tri testy na vyučovacej hodine (cca 15%), dokončili si ich na domácu úlohu. Popísané interaktívne aktivity zaujali žiakov, páčili sa im, vyučovacia hodina bola pre nich zaujímavá a hravá. Učiteľ na vyučovacej hodine pôsobil ako technik, koordinátor a poradca. Samozrejme, že pri dnešnom veľkom počte žiakov v triedach, nedostatku učebníc a vhodných zbierok úloh, nedostatku počítačov a interaktívnych tabúľ na školách, náročnej príprave učiteľa na vyučovanie nie je možné viesť väčšinu vyučovacích hodín takýmto spôsobom. Pri realizácii tejto OPS môžu nastať technické problémy-zlyhanie internetového pripojenia, porucha počítača, či zlá technická vybavenosť školy, ale aj slabá digitálna gramotnosť učiteľa. Overený prínos tohto interaktívneho pracovného listu je v tom, že jeho použitím rozvíjame logické, samostatné a kritické myslenie žiakov, rozvíjame zručnosti žiakov pri pri práci s IKT, vedieme žiakov k samostatnému riešeniu problémov.
20
Vyučovacie hodiny s použitím IKT sa stávajú pre žiakov zaujímavejšie, efektívnejšie. Žiaci si skôr zapamätajú nové poznatky, ktoré sú viazané na zážitok. Táto predkladaná OPS pomohla inovatívnymi, aktivizujúcimi metódami, hravou a nenáročnou formou pochopiť a utvrdiť u žiakov nové poznatky a vedomosti o kvadratickej rovnici. Učiteľovou prípravou nových edukačných materiálov zvyšujeme kvalitu vzdelávania. Je zrejmé, že využívanie IKT ako učebného prostriedku v edukačnom procese je v dnešnej modernej dobe nevyhnutné i napriek časovej náročnosti, ktorá je potrebná zo strany učiteľa. Popísaná časť OPS by mala byť nielen návodom ale aj inšpiráciou pre učiteľov, ako sa dá inovovať vyučovanie matematiky pomocou nenáročných prostriedkov, pretože novou výzvou funkčnej gramotnotnosti sa javí aj kompetencia, ktorá vo vyspelých krajinách tvorí jej nepriehľadnuteľnú súčasť a to je elektronická gramotnosť. 2.2 Pracovný list č.2 V tomto pracovnom liste sme pripravili úlohy na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare riešené pomocou diskriminantu a na rovnice v neúplnom tvare, ktoré sme riešili bez použitia vzorca pre diskriminant. Návrh metodiky na použitie tohto pracovného listu sme spracovali do prehľadnej tabuľky/Tabuľka č. 2/, v ktorej sú popísané požadované informácie k tomu, aby sme predkladaný materiál mohli použiť na vyučovacej hodine. Tabuľka č. 2 : Návrh metodiky vyučovacej hodiny Téma: O čom to bude Kvadratická rovnica Ciele: Čo sa žiak naučí používať vzťahy a vlastnosti platné pri riešení kvadratickej rovnice diskutovať o riešiteľnosti kvadratickej rovnice a počte jej riešení jednoduché situácie transformovať do matematických štruktúr pracovať s matematickým modelom a výsledok dokáže vyhodnotiť
Ročník: Koho učíme Prvý, SŠ - gymnázium Vstup: Čo sa vopred od žiaka očakáva pozná tvar kvadratickej rovnice pozná neúplné tvary kvadratických rovníc vie dosadiť do vzorca ovládať vzorce (A B)², A² - B² vie upravovať výrazy používať kalkulačku
Kompetencie: Čo si žiak osvojí občiansku kompetenciu-rozvíjať schopnosť myslieť kriticky kľúčovú kompetenciu- presne sa vyjadrovať, argumentovať pri písomnej i ústnej komunikácii kľúčovú kompetenciu používať matematiku vo svojom ďaľšom živote
Didaktický problém: Čo budeme riešiť názorne a dynamicky sprístupniť učivo o kvadratickej rovnici s dôrazom na jeho uplatnenie pri riešení úloh kombinovať názorný a algebralický prístup pri analýze vzťahov
21
Prostriedky: Čo použijeme pracovný list kalkulačka
Metódy a formy: Ako to zrealizujeme riadený rozhovor individuálna a skupinová práca frontálna práca Vlastný zdroj
1. V obore reálnych čísel riešte neúplné kvadratické rovnice: a) 64 x2 + 36 = 100 b) 3 x2 = 108 c) 81 - 9 x2 = 0 d) 5 x2 – 1 = 0 e)
x2 = 4 x
f) 0,3 – 4,8 x2 = 0 g) 3,2 x2 – 0,24 = 15,76 h) 0,1 x2 + 0,0001 x = 0
Metodické poznámky: Úlohy v príklade 1 odporúčame riešiť tak, že najskôr formou frontálneho opakovania pripomenieme riešenie rýdzokvadratickej rovnice a rovnice bez absolútneho člena a potom môžu žiaci samostatne dokončiť ostatné cvičenia, pretože ide o nenáročné numerické výpočty. Treba upozorniť žiakov, že používať vzťahy pre diskriminant nie je nutné. Správne riešenia: a) 1,-1, b) 6, -6, c) 3, -3, d)
,
, e) 0, , f) 0,25, -0,25, g)
2. Rozkladom na súčin riešte: a) 3 x - x² = 0 b) x² = 6 x
22
,-
, h) 0, 0,001
c) 2 - x² = 0 d) (x - 7 ) ² – 4 = 0 e) 3 - x² = 0 f) 5 x² – 25 = 0 g) x² + 5 = 0 h)
x³ – x = 0
Metodické poznámky: Úlohy v príklade 2 odporúčame riešiť spamäti, väčšina žiakov by to mala zvládnuť bez problémov. Odporúčame pracovať v skupinách, kde si jeden žiak druhému dávajú jednotlivé úlohy. Slabší žiaci môžu riešiť písomne. Učiteľ môže tieto úlohy zaradiť aj ako matematickú rozcvičku, poprípade didaktickú hru vhodnú pre celú triedu, alebo žiaci si môžu vo dvojiciach striedavo dávať jednotlivé úlohy. Úlohu h) riešime rozkladom, je dobré, ak žiakom vysvetlíme, že ide o kubickú rovnicu, ktorú dokážu vyriešiť so získanými poznatkami o kvadratickej rovnici. Správne riešenia: a) 0, 3, b) 0, 6, c)
,-
,
d) 5, 9 e)
, -
3. Pomocou diskriminantu riešte : a) 3 x² + 14 x – 5 = 0 b) 3 x² – 8 x + 2 = 0 c) 1 – x = 12 x² d) x² = 8 x + 7 e) 49 x² = 70 x – 25 f) 2 x² – 6 x + 3 = 0 g) 10 x = 5 x² – 5 h) 10 – 9 x + x² = 0 Metodické poznámky:
23
, f)
,-
,
g)
, h)
,-
,0
Príklady v úlohe č. 3 sú iba nácvikom aplikácie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice. Samostatná práca. Správne riešenia: a) -5, , b)
, c) - , , d) 4
, e) , f)
, g) 1
, h)
2.3 Pracovný list č.3 Kvadratická rovnica v normovanom tvare, Vietove vety. Tento pracovný list je zameraný na riešenie kvadratických rovníc vo všeobecnom i v normovanom tvare, na použitie Vietových viet pri riešení úloh a na rozklad kvadratického trojčlena. Obsahuje 12 úloh. Tie úlohy, ktoré sa dajú riešiť bez kalkulačky odporúčame riešiť spamäti. Úlohy sú v pracovnom liste zoradené od najjednoduhším po najťažšie. Posledné úlohy vyžadujú od žiakov potrebné numerické zručnosti a vedú k získaniu uceleného obrazu o kvadratickej rovnici. Doporučujeme ich riešiť najmä s talentovanými žiakmi na matematiku formou samostatnej práce. Nemusíme ich riešiť všetky, ponechávame na výber učiteľa, ktoré si vyberie. Návrh metodiky na použitie tohto pracovného listu sme spracovali do prehľadnej tabuľky /Tabuľka č. 3/, v ktorej sú popísané požadované informácie k tomu, aby sme predkladaný materiál mohli použiť na vyučovacej hodine. Tabuľka č. 3 : Návrh metodiky vyučovacej hodiny Téma: O čom to bude Kvadratická rovnica Ciele: Čo sa žiak naučí používať vzťahy a vlastnosti platné pri riešení kvadratickej rovnice jednoduché rovnice riešiť spamäti diskutovať o riešiteľnosti kvadratickej rovnice a počte jej koreňov jednoduché situácie transformuje do matematických štruktúr, pracuje s matematickým modelom a výsledok dokáže vyhodnotiť
Ročník: Koho učíme Prvý, SŠ - gymnázium Vstup: Čo sa vopred od žiaka očakáva pozná tvar kvadratickej rovnice pozná neúplné tvary kvadratických rovníc vie dosadiť do vzorca ovládať vzorce (A B)², A² - B² vie upravovať výrazy pozná a vie použiť Vietove vety používať kalkulačku
Kompetencie: Čo si žiak osvojí občiansku kompetenciu-rozvíjať schopnosť myslieť kriticky kľúčovú kompetenciu- presne sa vyjadrovať, argumentovať pri
Didaktický problém: Čo budeme riešiť názorne sprístupniť učivo o kvadratickej rovnici s dôrazom na jeho uplatnenie pri riešení úloh kombinovať názorný a algebralický
24
písomnej i ústnej komunikácii kľúčovú kompetenciu používať matematiku vo svojom ďaľšom živote Prostriedky: Čo použijeme pracovný list kalkulačka
prístup pri analýze vzťahov
Metódy a formy: Ako to zrealizujeme riadený rozhovor individuálna a skupinová práca frontálna práca Vlastný zdroj
1. Dané kvadratické rovnice riešte spamäti: a) x² - x – 12 = 0 b) x² + 8x + 15 = 0 c) x² - 9x - 22 = 0 d) x² + 3x – 40 = 0 e) x² - 21x + 20 = 0 f) x² - 11x + 24 = 0 g) x² - 9x + 14 = 0 h) x² + 6x – 27 = 0 i) x² - 10x + 25 = 0 j) x² - 24x + 144 = 0 Metodické poznámky: Jednotlivé úlohy môžu žiaci riešiť samostatne, ale tiež môžeme na spestrenie vyučovacej hodiny ich môžeme riešiť formou súťaže, resp. matematickej rozcvičky. Správne riešenia: a) 4, -3, b) -5, -3, c) -2, 11, d) 5, -8, e) 20, 1, f) 3, 8, g) 2, 7 h) -9, 3, i) 5, 5 j) 12, 12 2. Kvadratické trojčleny rozložte na súčin : a) x² - 10x + 9 b) 2 x² - 5x – 7 c) 2 x² - 5x + 2
25
d) 3 x² + 2x – 5 e) -3 x² + 13x – 4 f) 4x² - 4x + 5 Metodické poznámky: Najjednoduchšia je úloha a), v ostatných treba žiakov upozorniť na konštantu pri kvadratickom člene a aplikáciu Vietovej vety pri riešení takýchto úloh. Správne riešenia: a) (x-9)(x-1), b) (2x-7)(x+4), c) (2x-1)(x-2), d) (3x+5)(x-1), e) (3x-1)(x-1), f) nedá sa 3. Nájdite kvadratické rovnice, ktorých korene sú čísla: a) -1, 1/2
d)
2, - √2
b) -3, 2
e) 1 + √3, 1 - √3
c) 1/3, 1/3
f) -2 - √5, - 2 + √5
Metodické poznámky: tieto úlohy sú zamerané na nácvik Vietovej vety, preto je vhodné zvoliť jednu z nich ako vzorovú, najlepšie niektorú z a) – c). Posledné tri vyžadujú od žiakov znalosti vzorca A² - B² a tiež zručnosť pracovať s číslami v tvare odmocniny. Závisí od zdatnosti žiakov, či vyriešime všetky na tabuľu, alebo len jednu a ostatné môžu riešiť samostatne, resp. ich vôbec nebudeme riešiť. Správne riešenia: a) 2x²+ x – 1=0, f) x² + 4x – 1=0
b) x² + x – 6 = 0,
c) 9x² - 6x + 1 = 0,
d) x² - 2 =0,
e) x² - 2x – 2 = 0,
4. Riešte rovnice, o správnosti riešenia sa presvedčte skúškou správnosti: a)
-
=
b)
+
=0
c)
+
d)
- =
=
26
Metodické poznámky: Všetky úlohy vyžadujú znalosti nielen o riešení kvadratickej rovnice, ale tiež aj zručnosti potrebné pri úpravách algebralických výrazov. Väčšinu z nich odporúčame riešiť spoločne so žiakmi na tabuľu, pretože pri riešení takýchto úloh robia žiaci veľa numerických chýb. Všetky rovnice majú neznámu v menovateli, preto je dobré pripomenúť formou frontálneho opakovania ekvivalentné úpravy rovníc. V úlohe a) treba upozorniť na najmenšieho spoločného menovateľa a vzorec A² - B², riešenie kvadratickej rovnice je a -2, ale -2 nie je riešením rovnice a). Odporúčame tento prípad dôsledne rozobrať. Úloha c) nemá riešenie, hoci príslušná kvadratická rovnica má dve riešenia 0, -1, ale tie nepatria do definičného oboru rovnice. Správne riešenia: a) , b) -1, c) , d) 3 5. Aký je druhý koreň kvadratickej rovnice, ak x je premenná a parameter b R : a) 4 x² + bx + 2 =0 ,
= -1
b) 2 x² + bx + 1 =0 ,
=1
c) b x² - 4x + 1=0 ,
=1
d) x² - 13x + b =0 ,
= 12,5
e) 10x² - 33x + b =0 ,
= 5,3
Metodické poznámky: Pri riešení jednotlivých úloh musíme najskôr určiť hodnotu parametra b. Preto je vhodné upozorniť žiakov na tento fakt ako aj vysvetliť úlohu parametra v rovnici. Parameter sa vyskytuje postupne na všetkých pozíciách v daných rovniciach. Po jeho určení vypočítať druhý koreň rovnice je už jednoduché. Správne riešenia: a) b=6,
=
, b) b=-3,
= , c) b=3,
= , d) b=6,25,
= , e) b=-106,
= -2
6. Pre ktoré b
R kvadratická rovnica 2x² + bx + 1=0 nemá riešenie?
7. Pre ktoré b
R kvadratická rovnica x² + bx + 9 = 0 má jeden dvojnásobný koreň?
8. Pre ktoré b
R má kvadratická rovnica 4x² - (b – 1)x + 1= 0 jeden koreň?
Metodické poznámky:
27
Tieto tri úlohy sú v podstate úlohami s parametrom, ktorého funkciu už žiaci spoznali pri riešení úlohy 5. Úloha a) zdanlivo vedie ku kvadratickej nerovnici, ktorú žiaci ešte nevedia riešiť, ale podmienku pre diskriminant b² - 8 0 dokážu vyriešiť jednoduchou úvahou. V 6. a 7. Úlohe dostávame podmienku v tvare kvadratickej rovnice, ktorú už riešiť vieme. Rovnicu s takým parametrom, ktorá vedie k riešeniu všeobecnej kvadratickej nerovnice žiaci vo všeobecnosti ešte nedokážu riešiť. Správne riešenia: 6. Nikdy, 7. -6, 6,
8. -3, 5
9. Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú opačné čísla ku koreňom rovnice x² - 16x + 15=0. 10. Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú prevrátené čísla ku koreňom rovnice 2x² + x - 1 = 0. 11. Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorej korene o 3 väčšie ako korene rovnice x² - 6x + 8 = 0. 12. Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú štvorce koreňov rovnice x² +2 x - 15 = 0. Metodické poznámky: Pred riešením tejto skupiny úloh by sme navrhovali frontálne zopakovať so žiakmi pojmy opačné číslo, prevrátené číslo a štvorec čísla, ktoré zvyčajne žiaci zabúdajú. Štandardným postupom, t.z. vyriešiť dané rovnice a potom pomocou Vietových viet vytvoriť novú rovnicu dostaneme hľadanú kvadratickú rovnicu. Úlohy môžeme dať na skupinovú, resp. samostatnú prácu žiakov. Trochu ťažšia úloha je taká, v ktorej požadujeme výsledok bez riešenia danej rovnice a chceme získať požadovanú kvadratickú rovnicu len na základe Vietových viet. Po nájdení vzťahu medzi danými a hľadanými koreňmi príslušných rovníc môžeme tak úlohy vyriešiť bez poznania koreňov daných rovníc. Toto sťaženie odporúčame riešiť iba s talentovanými žiakmi, resp. vyriešiť spoločne jednu z daných úloh a ostatné môžeme dať ako problémové, poprípade dobrovoľné. Správne riešenia: 9. x²+16x +15 = 0, 10. x²-x –2 = 0, 11. x²-12x+ 35 = 0, 12. x² -34x +225 = 0 2.4 Pracovný list č.4 Pracovný list č. 4 - slovné úlohy sme zaradili k riešeniu kvadratickej rovnice preto, lebo matematizácia reálnych situácií spôsobuje žiakom značné problémy. V reálnom živote sa často stretávame s rôznymi situáciami, v ktorých je potrebné matematizovať úlohu a nájsť jej riešenie. Je to tiež jedna z hlavných úloh matematiky-pripraviť žiaka tak, aby dokázal používať získané matematické poznatky vo svojom budúcom živote.
28
Veľmi dôležitou spoločnou vlastnosťou všetkých úloh je to, že riešia problémy popísané slovne. S takýmito úlohymi sa žiaci môžu stretnúť doma, v škole, na ulici, či v prírode. Sú to slovné úlohy, ktoré väčšinou žiakom robia veľké problémy. Vo viacerých vidno využitie medzipredmetových vzťahov. Žiakom názorne ukazujú, prečo je dobré vedieť matematiku, kde ju v živote môžu využiť, ba čo viac, kde sa bez nej nemôžu zaobísť. Nemožno povedať, že by sa v našich učebniciach a zbierkach úloh nevyskytovali úlohy tohto typu, ale ich zastúpenie nemožno v žiadnom prípade považovať za dostatočné. Práve takéto úlohy by mohli napomôcť tomu, aby vyučovanie matematiky bolo zaujímavejšie a žiaci boli lepšie pripravení na riešenie problémov, s ktorými sa v živote stretnú. Žiak, ktorý je schopný používať matematiku v rôznych situáciách reálneho života musí mať isté matematické schopnosti a skúsenosti, ktorých súhrn možno považovať za jeho celkovú matematickú kompetenciu. Medzi typické matematické kompetencie patrí rozmýšľanie a usudzovanie, argumentácia, komunikácia, modelovanie reálnych situácií, položenie otázky a riešenie problému, reprezentácia získaných vedomostí a zručností, použitie symbolického, formálneho a technického vyjadrovania sa, použitie príslušných prístrojov a nástrojov. V tomto pracovnom liste je 18 slovných úloh. Ide o súbor úloh zameraných na vlastnosti čísel, jednoduchých geometrických útvarov a tiež je tam jedna fyzikálna a jedna stará indická úloha. Podobne, ako to bolo v predchádzajúcich pracovných listoch aj v tomto žiaci nemusia riešiť na vyučovacej hodine všetky príklady. Niektoré sú podobné, preto je vhodné povyberať a skombinovať úlohy tak, aby ich mohli riešiť samostane, resp. skupinovo. Návrh metodiky na použitie tohto pracovného listu sme spracovali do prehľadnej tabuľky /Tabuľka č. 4/, v ktorej sú popísané požadované informácie k tomu, aby sme predkladaný materiál mohli použiť na vyučovacej hodine. Tabuľka č. 4: Návrh metodiky vyučovacej hodiny Téma: O čom to bude Kvadratická rovnica Ciele: Čo sa žiak naučí používať vzťahy a vlastnosti platné pri riešení kvadratickej rovnice diskutovať o riešiteľnosti kvadratickej rovnice a počte jej riešení v úlohách z reálneho života jednoduché i komplikovanejšie situácie transformuje do matematických štruktúr, pracuje s matematickým modelom a výsledok dokáže vyhodnotiť
Ročník: Koho učíme Prvý, SŠ - gymnázium Vstup: Čo sa vopred od žiaka očakáva pozná tvar kvadratickej rovnice a vie ju riešiť pozná neúplné tvary kvadratických rovníc, ktoré vie riešiť vie dosadiť do vzorca ovládať vzorce (A B)², A² - B² vie upravovať výrazy používať kalkulačku
29
Kompetencie: Čo si žiak osvojí občiansku kompetenciu-rozvíjať schopnosť myslieť kriticky kľúčovú kompetenciu- presne sa vyjadrovať, argumentovať pri písomnej i ústnej komunikácii kľúčovú kompetenciu používať matematiku vo svojom ďaľšom živote Prostriedky: Čo použijeme pracovný list kalkulačka
Didaktický problém: Čo budeme riešiť názorne a dynamicky sprístupniť učivo o kvadratickej rovnici s dôrazom na jeho uplatnenie pri riešení úloh kombinovať názorný a algebralický prístup pri analýze vzťahov
Metódy a formy: Ako to zrealizujeme riadený rozhovor individuálna a skupinová práca frontálna práca Vlastný zdroj
1. Súčin dvoch za sebou idúcich prirodzených čísel je 306. Určte ich. 2. Obsah štvorca je 45 m². Aká je dĺžka jeho strany? 3. Obsah obdĺžnika je 420 dm², jeho obvod je 94 dm. Aké má dĺžky strán? 4. Súčet druhých mocnín troch za sebou idúcich nepárnych čísel je 155. Určte ich. 5. Ktoré číslo je o 240 väčšie ako jeho druhá odmocnina? 6. Ak zväčšíme stranu štvorca o 1, zdvojnásobí sa jeho obsah. Aká dlhá je strana štvorca? 7. Súčin čísla zväčšeného o 7 a čísla zmenšeného o 7 je 51. Pre ktoré čísla to platí? 8. Nájdi tri po sebe idúce prirodzené čísla, pre ktoré platí: druhá mocnina prostredného čísla je o 1 väčšia ako súčin dvoch krajných čísel. 9. Daný je štvorec s dĺžkou strany 10m. Jednu jeho stranu sme skrátili, druhú stranu o rovnakú dĺžku predĺžili. Dostali sme obdĺžnik, ktorého obsah je polovica obsahu štvorca. O koľko metrov sme jednu stranu štvorca skrátili a druhú predĺžili ? 10. Kruh s polomerom r a stredom S je kružnicou k s rovnakým stredom S rozdelený na dve časti – menší kruh a medzikružie, ktoré majú rovnaké obsahy. Určte polomer kružnice k. 11. Teleso padá voľným pádom. Za koľko sekúnd spadne o 100 metrov, ak na začiatku bolo v kľude. 12. Rozdiel dvoch kladných čísel 1, súčet ich druhých mocnín je 545. Určte tieto čísla.
30
13. Dĺžky strán obdĺžnika sú v pomere 7 : 3. Ak predĺžime kratšiu stranu o 3 cm a skrátime dlhšiu stranu o 7 cm, vznikne obdĺžnik s obsahom 63 cm². Určte rozmery daného obdĺžnika. 14. Dve dvojciferné čísla sa líšia len poradím číslic. Ich súčin je 1300, rozdiel 27. Ktoré sú to čísla ? 15. Vypočítajte súradnice spoločných bodov priamky y = x + 1 a paraboly y = x² - 1. 16. Dĺžka jednej odvesny pravouhlého trojuholníka sa rovná 75% dĺžky druhej odvesny. Určte obvod tohto trojuholníka, ak viete, že jeho obsah je 48 cm². 17. Súčet dvoch prirodzených čísel je 200 a ich súčin je 9357. Ktoré sú to čísla? 18. Stará indická úloha /Bháskary 1114 – 1185/. Stádo opíc sa rozdelilo pri hre na dve skupiny. Štvorec osminy ich počtu sa bavil skákaním po stromoch. Dvanásť opíc hlasno pokrikovalo. A teraz povedzte, koľko opíc bolo v stáde. Metodické poznámky: Nasledovných 18 slovných príkladov je zaradených za základné poznatky o kvadratických rovniciach. Žiaci nemajú veľmi radi slovné úlohy, preto učiteľ musí zaraďovať také, ktoré nejakým spôsobom zaujmú žiakov. Jednoducho treba apelovať na ich použiteľnosť v bežnom, reálnom živote, ale aj na iných predmetoch, najmä fyzike, chémii aj biológii, aby bolo zrejmé, aké metódy a myšlienkové postupy pri hľadaní odpovede je potrebné použiť. Inokedy majú žiaci písomne zdôvodniť svoje výsledky, čo opäť umožňuje pohľad na žiakove myšlienkové postupy. Úlohy sú otvorené, vyžadujú od žiaka kognitívne procesy vyššieho stupňa. Niekedy musia žiaci zapísať svoje výpočty podrobne, aby im rozumeli aj spolužiaci. Inokedy žiaci pri tabuli zdôvodňujú svoje myšlienky, čím rozvíjame ich uvažovanie, abstrakciu komunikačné a argumentačné schopnosti a v neposlednej rade aj originálny matematický prístup žiaka k riešeniu problému. Zaradené úlohy do tohto pracovného listu prepájajú a nenáročným spôsobom rozširujú učovo o riešní kvadratických rovníc, spájajú viacero žiakových poznatkov z rôznych častí matematiky. Pri riešení takýchto úloh odporúčame dôslednú analýzu problému, presný, podrobný a názorný zápis. Vtedy môžeme očakávať, že žiak úlohe porozumie a nebude sa k nej stavať odmietavo. Všetky úlohy v konečnom dôsledku vedú k riešeniu kvadratickej rovnice. Môžeme niekoľko z nich vyriešiť spoločne na tabuľu, iné zasa dať ako skupinovú, či samostatnú prácu, alebo niekoľko z nich zadať ako dobrovoľnú domácu úlohu, ktorú treba potom ohodnotiť. Toto rozhodnutie ponechávame na učiteľa. Treba ešte podotknúť, že úlohy nie sú zoradené podľa obtiažnosti. Tieto slovné úlohy priamo rozvíjajú žiakovu matematickú a čitateľskú gramotnosť, na ktoré sa v poslednom čase kladie veľký dôraz, ktoré mu umožnia samostatne pokračovať v rozvoji jeho ďalších kompetencií. Správne riešenia: 1. 17,18 , 2. , 3. 12, 35, 4. 5,7,9, -9, -7, -5, 5. 16, 6. 1 + , 7. 10, -10, 8. nekonečne veľa riešení, 9. 5 , 10. r, 11. g t², 12. 16, 17, 13. 6, 14, 14. 25, 52, 15.
,
, 16. 24
, 17. 75, 125, 18. 16, alebo 48.
31
ZÁVER V súčasnosti sa vo vyučovacom procese klasické vyučovacie hodiny nahrádzajú modernými formami vyučovania. Použitím vhodných nástrojov, učebných pomôcok, k akým patria aj prostriedky informačných a komunikačných technológií, je možné vyučovacie hodiny zefektívniť. Dôležitejšie je však to, že takéto vyučovacie hodiny sú pre žiakov zaujímavejšie a dokážu ich viac motivovať aj v prípade, ak učivo nie je pre nich obľúbené, atraktívne. Použité vyučovacie metódy však nesmú byť cieľom, ale iba prostriedkom, ako vyučovacie ciele čo najefektívnejšie dosiahnuť. Zvyšujú síce nároky učiteľa na prípravu na vyučovanie, ale v prípade vytvorenia určitej vhodnej databázy interaktívnych aktivít, sa práca učiteľa veľmi uľahčí. Použitie tejto OPS to potvrdzuje. Využívanie metodického materiálu tejto OPS ďalej ukázalo, že vyučovanie matematiky má veľa pekných cieľov, ktoré môžeme lepšie realizovať s pomocou nových, informačných a komunikačných technológií. Nové technológie, počítač a internet pôsobia na posun súčasných vyučovacích cieľov v matematike. Ukazuje sa, že v budúcnosti už nemusíme venovať tak veľa času numerickým výpočtom a drilu niektorých mechanických výpočtov, možeme sa viac venovať matematizácii úloh, efektívnemu riešeniu reálnych situácií pomocou matematického aparátu, diskutovať o počtoch riešenia daných úloh a aj takýmto spôsobom môžeme žiakom priblížiť matematiku. Pri návrhu metodiky sme vychádzali z toho, že sme chceli žiakom spestriť vyučovaciu hodinu rôznymi typmi úloh, ktoré v bežne používaných učebniciach na gymnáziách chýbajú. Popísanú OPS sme overili v prvom ročníku gymnázia. K riešeniu úloh v pracovných listoch žiaci pristupovali aktívne a so záujmom. Predkladaná OPS pomohla žiakom inovatívnymi a aktivizujúcimi metódami pochopiť a aplikovať nové poznatky a vedomosti o kvadratických rovniciach pri riešení úloh a aj takýmto spôsobom sme sa snažili zlepšiť kvalitu vzdelávania. Predkladaná OPS by mala slúžiť ako potreba k zlepšovaniu postojov žiakov k učeniu sa, pre tvorivého učiteľa zas nový zdroj, či inšpirácia na skvalitnenie výchovno vzdelávacieho procesu na našich stredných školách.
32
ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ZDROJOV 1. Bálint, Ľ. 2010. Úlohy na rozvíjanie matematickej gramotnosti. 1. vydanie.Príroda Bratislava. 2010. ISBN: 978-80-07-01882-2 2. Burjan, V. 1999. Matematika základnej školy v testoch. Prvé vydanie. Exam Bratislava. 1999. ISBN :80-068815-3-1 3. Burjan, V. a kolektív 1997. Prehľad matematiky 1, 1.vydanie. Slovenské pedagogické nakladateľstvo Bratislava. 1997. ISBN: 80-08-00277-8 4. Burjan, V. a kolektív 1998. Prehľad matematiky 2, 1.vydanie. Slovenské pedagogické nakladateľstvo Bratislava. 1998. ISBN:80-08- 02490 5. Hecht,T.a kolektív 1996. Matematika pre 1. ročník gymnázií a SOŠ, Rovnice a nerovnice. Prvé vydanie. Orbis Pictus Istropolitana Bratislava. 1996. ISBN: 807158-129-1 6. Holéczyová, S. 2007. Zbierka úloh 1 Matematika pre strednoškolákov. Rovnice a nerovnice. Prvé vydanie. Aktuell Bratislava. 2007. ISBN: 978-80-89135-31-2 7. Hrubý, D. 2008. Matematická cvičení pro střední školy. 1. Vydanie. Prometheus Praha. 2008. ISBN: 978-80-7196-374-5 8. Charvát, J. 2001. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice. 3. vydanie Prometheus Praha. 2001. ISBN: 80-7196-154-X 9. KOLEKTÍV AUTOROV: Štátny vzdelávací program Matematika – príloha ISCED 3A.[online]. Aktualizované 2009.[cit. 2013-07-13]. Dostupné na internete: http://www.statpedu.sk/files/documents/svp/gymnazia/vzdelavacie_oblasti/mate matika_isced3a.pdf 10. KOLEKTÍV AUTOROV: Využitie informačných a komunikačných technológií v predmete matematika pre stredné školy. Košice:elfa,s. r. o., 2010. ISBN 978-80-8086-149-0 11. Koreňová, L. a kolektív: Niektoré možnosti využitia Internetu a didaktického softvéru vo vyučovaní matematiky v základných a stredných školách. Metodické pedagogické centrum Bratislava. 2002. 12. Kubáček, Z. 2004. Matematická gramotnosť. Správa. 1. Vydanie. Štátny pedagogický ústav Bratislava. 2004.ISBN:80-85756-88-9 13. Lukáč, S. 2010. Využitie informačných a komunikačných technológií v predmete matematika pre stredné školy. Ústav informácií a prognóz školstva elfa,s.r.o. 2010. Košice. 2010. ISBN: 978-80-8086-149-0 14. Smida, J. 1985. Zbierka úloh z matematiky pre 2. ročník gymnázia. Slovenské pedagogické nakladateľstvo. 1. vydanie. Bratislava. 1985. ISBN: 67-438-85 15. http://gymmoldava.sk/ICV/CELYWEB/indexICV.php?show=rovnice [on line].Aktualizované 28-05-2013. [cit.2013-07-14]. Dostupné na internete. 16. Turek, I. Didaktika. 1. vydanie. IuraEdition, spol. s. r. o., člen skupiny WoltersKluwer, Bratislava. 2010. ISBN: 978-80-8078-322-8
33
