Exponenciální funkce teorie

Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007

Exponenciální funkce – teorie Exponenciální funkce je dána rovnicí f : y = a x , a ∈ (0,1) ∪ (1, ∞ ) Poznámka: pokud bychom připustili a = 1 , vznikla by funkce konstantní pokud bychom připustili a < 0 , nebyla by funkce definována pro všechna reálná čísla definiční obor D = R obor hodnot H = R +

graf: exponenciála vlastnosti a průběh funkce závisí na hodnotě základu a

a >1

a ∈ (0,1)

funkce je prostá, rostoucí, zdola omezená, nemá maximum ani minimum

funkce je prostá, klesající, zdola omezená, nemá maximum ani minimum

průsečík s osou y je bod [0,1] , asymptotou je osa x

průsečík s osou y je bod [0,1] , osa x je asymptotou

Monotonie funkce tedy závisí na základu a. Mezi rostoucí exponenciály patří dekadická se základem 10 a přirozená se základem e . Grafy všech základních (neposunutých) exponenciál se protínají na ose y v bodě [0,1] . Na obrázku porovnejme grafy y = 2 x (červená), y = 10 x (zelená),

y = e x (modrá)

1


Exponenciální funkce – úlohy k řešení Graf funkce y = a x − m + n získáme posunutím grafu y = a x o vektor (m, n ) . Dále využíváme předchozích znalostí získaných při konstrukci grafu elementárních funkcí.

1)

Sestrojte grafy exponenciálních funkcí a určete obor hodnot. x

f :y=2

1 g : y =   −1 2

x +1

y

y

x

x

k : y = e x −1 − 2

h : y = 10 x + 2 y

y

x

2)

x

Sestrojte grafy funkcí. Využijte kromě vektoru posunutí i významu absolutní hodnoty. Určete obor hodnot. f : y = −2 x + 2 graf funkce získáme překlopením funkce y = 2 x kolem osy x (vzhledem ke znaménku) a poté posunutím o vektor (0,2)

2


y

x

x

g:y=2 Lze vyřešit využitím sudosti funkce nebo funkci upravit odstraněním absolutní hodnoty na dvě funkce a to: Pro x ≥ 0 získáme g1 : y = 2 x x

x ≤ 0 získáme g 2 : y = 2

−x

1 =  , 2

g = g1 ∪ g 2

y

x

3


1 h: y =  2

−x

+3 x

Na základě znalosti mocnin využijeme a

−x

1 =   . Tedy y = 2 x + 3 . a

y

x

l : y = 2x −1 Sestrojíme graf vnitřní funkce l1 = 2 x − 1 a vlivem absolutní hodnoty tu část grafu, která se nachází pod osou x, překlopíme v osové souměrnosti podle osy x . y

x

4

Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 x

m: y = 2 −2

y

x

n: y = 2

x +1

y

x

5


Exponenciální funkce – úlohy k řešení (užití vlastností) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a >1 ⇒ funkce rostoucí . Exponenciála protíná osu x v bodě [0,1] . Oborem hodnot je R + .

Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce. Rozhodněte, pro který základ a > 0, a ≠ 1 se uvedené výrokové formy stanou pravdivými výroky. Znázorněte v grafu. 1

1)

a 2 > a2 Návod: uvědomte si, že exponenty jsou hodnoty proměnné x , proto je znázorníme na ose x , hodnoty mocnin jsou funkční hodnoty, proto je nanášíme na osu y . Při znázornění funkčních hodnot dodržíme zadanou nerovnost. y

x

Řešení:

6


1

2)

a −3 < a 3 y

x

Řešení:

3)

a4 < a2 y

x

Řešení:

7


Exponenciální funkce – úlohy k řešení (užití monotonie) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a platí: x1 < x2 ⇒ a x1 > a x2

⇒ funkce rostoucí a platí: x1 < x2 ⇒ a x1 < a x2

a >1

Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce. Rozhodněte, zda uvedené výroky jsou pravdivé. Rozhodnutí zdůvodněte . 1

1)

3 2 > 3−2 Návod : Daná exp. funkce má základ a = 3 ⇒ rostoucí funkce . 1 1 > −2 ⇒ 3 2 ? 3 − 2 . Daný výrok je …………….. 2

Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = 3 x (zakresli)

8

Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 1

2)

0, 25−1 < 0, 25 3 Základ a = 0,25 ⇒ funkce ……………….. 1 −1 < ⇒ ……………….. . Daný výrok je …………………… 3

−2

3)

−1

1 1   <   3 3 1 Základ a = ⇒ funkce……………… 3 −2 < −1 ⇒ …………………. . Daný výrok je ……………………..

9


Exponenciální funkce – úlohy k řešení (další typy) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a platí: x1 < x2 ⇒ a x1 > a x2 ⇒ x1 < x2 (tj. změna znaku nerovnosti)

a >1

⇒ funkce rostoucí a platí: a x1 < a x2 ⇒ x1 < x2 (tj. bez změny znaku nerovnosti)

Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce (vliv monotonie na vztah mezi argumenty a funkčními hodnotami). Určete vztah nerovnosti mezi exponenty, pokud platí uvedené nerovnosti mezi funkčními hodnotami. Rozhodnutí zdůvodněte, případně znázorněte v grafu. p

1)

3 3   <  7 7

r

3 < 1 ⇒ klesající funkce a tedy 7 nerovnost mezi exponenty ( argumenty) se mění. Platí tedy p > r

Návod : Daná exp. funkce má základ a =

x

3 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y =   (zakresli pouze v náčrtku) 7

y

x

10

Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 p

2)

r

8 8   <  5 5 8 Základ a = > 1 ⇒ funkce ……………. Platí tedy …………………. 5 x

8 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y =   (zakresli pouze v náčrtku). 5

y

x

3)

3,1m < 3,1n Základ a = ⇒ funkce ………………. Platí tedy m ….. Zakreslete do grafu funkce y = 3,1x . (pouze v náčrtku)

.

n

y

x

11


4)

0,98m > 0, 98n Základ a = ……………………………………………………………………….. Zakreslete do grafu y = 0,98 x . (pouze v náčrtku)

y

x

5)

(

m

) <(

2 −1

)

n

2 −1

Základ a = ………………………………………………………………………….. Zakreslete do grafu y =

(

)

x

2 − 1 . (pouze v náčrtku)

y

x

12


Exponenciální funkce – úlohy k řešení (užití znalostí o grafu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a platí: pro x ∈ R − je a x > 1

x=0 x ∈ R+ ⇒ funkce rostoucí a platí: pro x ∈ R − x=0 x ∈ R+

a >1

je je je je je

ax =1 ax < 1 ax < 1 ax =1 ax > 1

Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním typu monotonie a vztahu čísla a x vzhledem k číslu 1. Určete, zda je dané číslo (mocnina) větší, menší nebo rovno 1. Rozhodnutí zdůvodněte, případně znázorněte v grafu. 3

 2 4   5

1)

Návod : Daná exp. funkce má základ a =

2 < 1 ⇒ klesající funkce . 5

3

3  2 4 Exponent x = ∈ R + ⇒   < 1 4 5 x

2 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y =   (zakresli pouze v náčrtku) 5 3

2)

 5 7   4

Základ a = ………… 1 ⇒ funkce ……………… 3 Exponent x = ∈ R + ⇒ …………………………… 7 x


3)

0,45 −2 Základ a = …… 1 ⇒ funkce ............................. Exponent x = ………… ∈ ………… ⇒ 0,45 −2 ……..1 Zakreslete do grafu funkce y = 0,45 x . (pouze v náčrtku)

13


4)

(π − 1)−3 Základ a = …………………1 ⇒ ………………………… funkce. Exponent x = ………… ∈ ………. ⇒ …………………………….. x Zakreslete do grafu y = (π − 1) . ( pouze v náčrtku )

Exponenciální funkce – úlohy k řešení Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a .

Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. fce a využitím znalostí o monotonii funkce. Doplňte znak nerovnosti tak, aby výrok byl pravdivý. Načrtněte. 3

1)

3

 2 4   5

 2 2   5

Návod : Daná exp. funkce má základ a = 3

2 < 1 ⇒ klesající funkce . 5

3

3 3  2 4 < ⇒  4 2 5

 2 2   5

>

x

2 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y =   (zakresli pouze v náčrtku) 5 3

2)

 5 7   4

Základ a =

5   4

1, 2

5 > 1 ⇒ funkce …………………. 4 3

3  5 7 < 1, 2 ⇒   7 4

5   4

…….

1, 2

x


3)

0,45 −2

0,45 −2,5

Základ a = …………….. 1 ⇒ funkce ……………… − 2,5 …… − 2 ⇒ 0,45 −2,5 ……… 0,45 −2 Zakreslete do grafu funkce y = 0,45 x . (pouze v náčrtku)

4)

(π − 1)−3

(π − 1)2

Základ a = …………………………. ⇒ …………….funkce −3 2 − 3 ……….-2 ⇒ (π − 1) ……….. (π − 1) x

Zakreslete do grafu y = (π − 1) . (pouze v náčrtku)

14


Exponenciální funkce – úlohy k řešení (diskuse základu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je rostoucí pro a > 1 , je klesající pro a ∈ (0,1) .

Rozhodněte, pro která k ∈ R je daná funkce rostoucí.

1)

y = (k − 3)

x

Návod : Daná exp. funkce má základ a = (k − 3) . Má-li být rostoucí, musí její základ být větší než 1. Tedy k − 3 > 1 . Vyřešíme tuto nerovnici a získáme podmínku pro k . k −3 >1 k >4 Závěr: daná funkce je rostoucí pro k ∈ (4; ∞ )

2)

x

y = (5 − k ) základ: podmínka: řešení: závěr:

5−k 5− k >1 ……………… funkce je rostoucí pro všechna …………………….

x

3)

2 y=  k základ: ………… podmínka: ………………………. 2−k řešení: anulováním získáme > 0 a dořešíme podílovou nerovnici k (graficky, tabulkovou metodou nebo soustavou lin.nerovnic )

závěr:

4)

 k +1  y=   k − 3

základ: podmínka: řešení:

x

……………………… ……………………………

závěr: 15


Exponenciální funkce – úlohy k řešení (diskuse základu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je rostoucí pro a > 1 , je klesající pro a ∈ (0,1) .

Rozhodněte, pro která k ∈ R je daná funkce klesající.

1)

2)

y = (2k + 1)

x

Návod : Daná exp. funkce má základ a = (2k + 1) . Má-li být klesající, musí její základ být větší než 0 a menší než 1. Tedy 2k + 1 > 0 ∧ 2k + 1 < 1 . Vyřešíme tuto soustavu nerovnic a získáme podmínku pro k . 1 k >− ∧k <0 2  1  Závěr: daná funkce je klesající pro k ∈  − ;0   2  x y = (5 − k ) základ: ……………………….. podmínka: 0 < 5 − k < 1 ( soustava nerovnic) řešení: (vyřešte každou nerovnici a určete průnik získaných množin)

závěr:

funkce je klesající pro všechna ………………… x

3)

 2  y=   k + 1 základ: ……………………….. podmínka: ………………………………………………… řešení:

závěr: funkce je klesající pro všechna ……………………………………

4)

 k  y=   k − 3 základ: podmínka: řešení:

závěr:

x

………………………………….. ………………………………………………………

funkce je klesající pro všechna………………………………

16

Exponenciální funkce teorie

Recommend Documents