Logaritmická funkce teorie

Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007

Logaritmická funkce – teorie Exponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní existuje inverzní funkce. Tato inverzní funkce se nazývá logaritmická. Logaritmická funkce je dána rovnicí f : y = log a x , a ∈ (0;1) ∪ (1;+∞ )

číslo a nazýváme základ logaritmu

definiční obor D = R + (je vhodné si uvědomit, že obor hodnot exponenciální funkce se stane definičním oborem inverzní-tedy logaritmické funkce) obor hodnot

H=R

graf: logaritmická křivka pozn. pro konstrukci grafu je vhodné připomenout, že grafy navzájem inverzních funkcí, které sestrojíme v téže soustavě souřadnic, jsou osově souměrné podle přímky o rovnici y = x , tedy podle osy I. a III. kvadrantu. Průběh funkce a její vlastnosti závisí na základu a . a >1 a ∈ ( 0;1)

funkce je prostá, rostoucí, nemá maximum ani minimum protíná osu x v bodě [1;0]

funkce je prostá, klesající, nemá maximum ani minimum prochází na ose x bodem [1;0]

logaritmus se základem 10 se nazývá dekadický a základ se nepíše y = log x logaritmus se základem e (Eulerova konstanta) se nazývá přirozený a píše se y = ln x

Grafy navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu Např. f : y = 2 x a k ní inverzní funkce f −1 : y = log 2 x (povšimněte si záměny definičního oboru za obor hodnot a opačně)

1


Logaritmická funkce – úlohy k řešení (grafy) Graf funkce y = log a ( x − m ) + n získáme posunutím grafu funkce y = log a x o vektor (m; n ) . 1 1 Ke konstrukcím grafů se základy 2,10, e, , s výhodou využíváme šablonu funkcí. 2 10 Dále využíváme předchozích znalostí získaných při konstrukcích grafů elementárních funkcí.

1)

Sestrojte grafy logaritmických funkcí a určete definiční obor, obor hodnot, vlastnosti. f : y = log 2 x − 2 g : y = log( x − 1) y

y

x

D= H=

x

D= H=

2


h : y = ln( x + 3) + 2

k : y = − ln x

y

y

x

x

D= H=

D= H=

l : y = log(− x )

m : y = log x y

y

x

x

D= H=

D= H=

p : y = ln x

r : y = − log 0,5 ( x + 1) + 3 y

y

x

D= H=

x

D= H=

3


Logaritmická funkce – úlohy k řešení (definiční obor funkcí s logaritmy) Základní definiční obor funkce y = log a x jsou kladná reálná čísla. Výraz za logaritmem tedy musí být kladný. Připomeňme si všechny podmínky, které zohledňujeme při určování definičních oborů funkcí zadaných rovnicemi:

1. 2. 3. 2)

Výraz ve jmenovateli musí být nenulový Výraz pod odmocninou musí být nezáporný Výraz za logaritmem musí být kladný Určete definiční obor daných funkcí .

f : y = log 2 ( x − 2 ) + 2 Z uvedených podmínek zohledníme pouze výraz za logaritmem a získáme

D = ……………………………..

g : y = log(6 − x ) + log(2 x − 3) Získáváme dvě podmínky, tedy soustavu lineárních nerovnic.

h: y =

1 log x

k : y = ln( x − 1) ⋅ ( x + 3)

l : y = log

x+4 2− x

4


(

m : y = ln x 2 − 9

)

r : y = log x

n: y =

log( x + 3) x −5

p : y = log( x − 5) + log(6 − x ) + log( x )

Logaritmická funkce – logaritmus (teorie ) Definice pojmu logaritmus Logaritmus kladného čísla x při kladném základu a různém od jedné, je takové číslo y , kterým musíme umocnit základ a , abychom získali argument x . Zapíšeme totéž pomocí matematických symbolů: Je-li x > 0∧a > 0∧a ≠1 log a x = y ⇔ ay = x Zkusme uvést několik příkladů: log 2 8 = 3 neboť 3 je exponent, kterým když umocníme základ 2, získáme argument 8, tj. 23 = 8 log 5

1 1 = −3 neboť 5 −3 = 125 125

Příklad 1. Vypočítejte hodnoty logaritmů: log 100, log 3 27 , log 1 16 , log 5 0,2 , log 0, 4 2

8 125

5


Pokud nevíme hodnotu logaritmu zpaměti, označíme si ji jako neznámou hodnotu y , použijeme definici a vyřešíme získanou exponenciální rovnici. log 100 log 5 0,2 y log 100 = y ⇔ 10 = 100 log 5 0,2 = y ⇔ 5 y = 0,2 10 y = 10 2 y=2 Tedy hledaný log 100 = 2 .

2 10 1 5y = 5 y 5 = 5 −1 y = −1 Tedy hledaný log 5 0,2 = −1 5y =

log 3 27 log 3 27 = y ⇔ 3 y = 27 3 y = 33 y=3 Tedy hledaný log 3 27 = 3

8 125 8 8 log 0, 4 = y ⇔ 0,4 y = 125 125 log 0 , 4

log 1 16 2

y

1 log 1 16 = y ⇔   = 16 2 2

y

3

y

3

4 2   =   10  5

2− y = 24 y = −4 Tedy hledaný log 1 16 = −4

2 2   =  5 5 y=3 8 Tedy hledaný log 0 , 4 =3 125

2

Pro logaritmus platí: log a a = 1

log a 1 = 0

x = a log a x

Logaritmická funkce – logaritmus - úlohy k řešení Připomeňme si definici pojmu logaritmus: x > 0∧a > 0∧a ≠1 log a x = y ⇔ ay = x

1)

Určete x , platí-li:

a) log 2 x = 3

b) log 1 x = −1

c) log 0,1 x = −2

5

6


2)

Určete a , platí-li: a) log a 9 = 2

b) log a

1 = −2 16

c) log a 27 = 3

3)

Vypočítejte hodnoty logaritmů a) log 1 2 2

b) log 3 81 =

c) log 0,2 25 =

d) log 5

1 125

7


Logaritmická funkce – logaritmus- úlohy k řešení -pokračování 1)

Doplňte tabulku

x

0,25

0,5

log 0,5 x

2)

-3

3

1 16

-0,5 -0,5

0

-2

Doplňte tabulku

x

0,01

0

log 0,1 x

3)

100

-3

3

10 −3

-0,5 0,5

0

-1

Pomocí prvních dvou odpovídajících údajů v následující tabulce vypočítejte základ a a tabulku doplňte.

x

2

log a x

0,5

16 -2

0,25 1

3

8

Logaritmická funkce teorie

Recommend Documents