Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – teorie Exponenciální funkce je dána rovnicí f : y = a x , a ∈ (0,1) ∪ (1, ∞ ) Poznámka: pokud bychom připustili a = 1 , vznikla by funkce konstantní pokud bychom připustili a < 0 , nebyla by funkce definována pro všechna reálná čísla definiční obor D = R obor hodnot H = R +
graf: exponenciála vlastnosti a průběh funkce závisí na hodnotě základu a
a >1
a ∈ (0,1)
funkce je prostá, rostoucí, zdola omezená, nemá maximum ani minimum
funkce je prostá, klesající, zdola omezená, nemá maximum ani minimum
průsečík s osou y je bod [0,1] , asymptotou je osa x
průsečík s osou y je bod [0,1] , osa x je asymptotou
Monotonie funkce tedy závisí na základu a. Mezi rostoucí exponenciály patří dekadická se základem 10 a přirozená se základem e . Grafy všech základních (neposunutých) exponenciál se protínají na ose y v bodě [0,1] . Na obrázku porovnejme grafy y = 2 x (červená), y = 10 x (zelená),
y = e x (modrá)
1
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení Graf funkce y = a x − m + n získáme posunutím grafu y = a x o vektor (m, n ) . Dále využíváme předchozích znalostí získaných při konstrukci grafu elementárních funkcí.
1)
Sestrojte grafy exponenciálních funkcí a určete obor hodnot. x
f :y=2
1 g : y = −1 2
x +1
y
y
x
x
k : y = e x −1 − 2
h : y = 10 x + 2 y
y
x
2)
x
Sestrojte grafy funkcí. Využijte kromě vektoru posunutí i významu absolutní hodnoty. Určete obor hodnot. f : y = −2 x + 2 graf funkce získáme překlopením funkce y = 2 x kolem osy x (vzhledem ke znaménku) a poté posunutím o vektor (0,2)
2
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
y
x
x
g:y=2 Lze vyřešit využitím sudosti funkce nebo funkci upravit odstraněním absolutní hodnoty na dvě funkce a to: Pro x ≥ 0 získáme g1 : y = 2 x x
x ≤ 0 získáme g 2 : y = 2
−x
1 = , 2
g = g1 ∪ g 2
y
x
3
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
1 h: y = 2
−x
+3 x
Na základě znalosti mocnin využijeme a
−x
1 = . Tedy y = 2 x + 3 . a
y
x
l : y = 2x −1 Sestrojíme graf vnitřní funkce l1 = 2 x − 1 a vlivem absolutní hodnoty tu část grafu, která se nachází pod osou x, překlopíme v osové souměrnosti podle osy x . y
x
4
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 x
m: y = 2 −2
y
x
n: y = 2
x +1
y
x
5
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení (užití vlastností) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a >1 ⇒ funkce rostoucí . Exponenciála protíná osu x v bodě [0,1] . Oborem hodnot je R + .
Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce. Rozhodněte, pro který základ a > 0, a ≠ 1 se uvedené výrokové formy stanou pravdivými výroky. Znázorněte v grafu. 1
1)
a 2 > a2 Návod: uvědomte si, že exponenty jsou hodnoty proměnné x , proto je znázorníme na ose x , hodnoty mocnin jsou funkční hodnoty, proto je nanášíme na osu y . Při znázornění funkčních hodnot dodržíme zadanou nerovnost. y
x
Řešení:
6
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
1
2)
a −3 < a 3 y
x
Řešení:
3)
a4 < a2 y
x
Řešení:
7
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení (užití monotonie) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a platí: x1 < x2 ⇒ a x1 > a x2
⇒ funkce rostoucí a platí: x1 < x2 ⇒ a x1 < a x2
a >1
Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce. Rozhodněte, zda uvedené výroky jsou pravdivé. Rozhodnutí zdůvodněte . 1
1)
3 2 > 3−2 Návod : Daná exp. funkce má základ a = 3 ⇒ rostoucí funkce . 1 1 > −2 ⇒ 3 2 ? 3 − 2 . Daný výrok je …………….. 2
Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = 3 x (zakresli)
8
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 1
2)
0, 25−1 < 0, 25 3 Základ a = 0,25 ⇒ funkce ……………….. 1 −1 < ⇒ ……………….. . Daný výrok je …………………… 3
−2
3)
−1
1 1 < 3 3 1 Základ a = ⇒ funkce……………… 3 −2 < −1 ⇒ …………………. . Daný výrok je ……………………..
9
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení (další typy) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a platí: x1 < x2 ⇒ a x1 > a x2 ⇒ x1 < x2 (tj. změna znaku nerovnosti)
a >1
⇒ funkce rostoucí a platí: a x1 < a x2 ⇒ x1 < x2 (tj. bez změny znaku nerovnosti)
Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním vlastností funkce (vliv monotonie na vztah mezi argumenty a funkčními hodnotami). Určete vztah nerovnosti mezi exponenty, pokud platí uvedené nerovnosti mezi funkčními hodnotami. Rozhodnutí zdůvodněte, případně znázorněte v grafu. p
1)
3 3 < 7 7
r
3 < 1 ⇒ klesající funkce a tedy 7 nerovnost mezi exponenty ( argumenty) se mění. Platí tedy p > r
Návod : Daná exp. funkce má základ a =
x
3 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = (zakresli pouze v náčrtku) 7
y
x
10
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 p
2)
r
8 8 < 5 5 8 Základ a = > 1 ⇒ funkce ……………. Platí tedy …………………. 5 x
8 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = (zakresli pouze v náčrtku). 5
y
x
3)
3,1m < 3,1n Základ a = ⇒ funkce ………………. Platí tedy m ….. Zakreslete do grafu funkce y = 3,1x . (pouze v náčrtku)
.
n
y
x
11
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
4)
0,98m > 0, 98n Základ a = ……………………………………………………………………….. Zakreslete do grafu y = 0,98 x . (pouze v náčrtku)
y
x
5)
(
m
) <(
2 −1
)
n
2 −1
Základ a = ………………………………………………………………………….. Zakreslete do grafu y =
(
)
x
2 − 1 . (pouze v náčrtku)
y
x
12
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení (užití znalostí o grafu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je-li a ∈ (0,1) ⇒ funkce klesající a platí: pro x ∈ R − je a x > 1
x=0 x ∈ R+ ⇒ funkce rostoucí a platí: pro x ∈ R − x=0 x ∈ R+
a >1
je je je je je
ax =1 ax < 1 ax < 1 ax =1 ax > 1
Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. funkce, případně zdůvodněním typu monotonie a vztahu čísla a x vzhledem k číslu 1. Určete, zda je dané číslo (mocnina) větší, menší nebo rovno 1. Rozhodnutí zdůvodněte, případně znázorněte v grafu. 3
2 4 5
1)
Návod : Daná exp. funkce má základ a =
2 < 1 ⇒ klesající funkce . 5
3
3 2 4 Exponent x = ∈ R + ⇒ < 1 4 5 x
2 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = (zakresli pouze v náčrtku) 5 3
2)
5 7 4
Základ a = ………… 1 ⇒ funkce ……………… 3 Exponent x = ∈ R + ⇒ …………………………… 7 x
5 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = (zakresli pouze v náčrtku). 4
3)
0,45 −2 Základ a = …… 1 ⇒ funkce ............................. Exponent x = ………… ∈ ………… ⇒ 0,45 −2 ……..1 Zakreslete do grafu funkce y = 0,45 x . (pouze v náčrtku)
13
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
4)
(π − 1)−3 Základ a = …………………1 ⇒ ………………………… funkce. Exponent x = ………… ∈ ………. ⇒ …………………………….. x Zakreslete do grafu y = (π − 1) . ( pouze v náčrtku )
Exponenciální funkce – úlohy k řešení Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a .
Řešení následujících úloh provádějte s využitím náčrtku grafu exp. fce a využitím znalostí o monotonii funkce. Doplňte znak nerovnosti tak, aby výrok byl pravdivý. Načrtněte. 3
1)
3
2 4 5
2 2 5
Návod : Daná exp. funkce má základ a = 3
2 < 1 ⇒ klesající funkce . 5
3
3 3 2 4 < ⇒ 4 2 5
2 2 5
>
x
2 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = (zakresli pouze v náčrtku) 5 3
2)
5 7 4
Základ a =
5 4
1, 2
5 > 1 ⇒ funkce …………………. 4 3
3 5 7 < 1, 2 ⇒ 7 4
5 4
…….
1, 2
x
5 Případně lze zdůvodnit z grafu funkce y = (zakresli pouze v náčrtku). 4
3)
0,45 −2
0,45 −2,5
Základ a = …………….. 1 ⇒ funkce ……………… − 2,5 …… − 2 ⇒ 0,45 −2,5 ……… 0,45 −2 Zakreslete do grafu funkce y = 0,45 x . (pouze v náčrtku)
4)
(π − 1)−3
(π − 1)2
Základ a = …………………………. ⇒ …………….funkce −3 2 − 3 ……….-2 ⇒ (π − 1) ……….. (π − 1) x
Zakreslete do grafu y = (π − 1) . (pouze v náčrtku)
14
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení (diskuse základu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je rostoucí pro a > 1 , je klesající pro a ∈ (0,1) .
Rozhodněte, pro která k ∈ R je daná funkce rostoucí.
1)
y = (k − 3)
x
Návod : Daná exp. funkce má základ a = (k − 3) . Má-li být rostoucí, musí její základ být větší než 1. Tedy k − 3 > 1 . Vyřešíme tuto nerovnici a získáme podmínku pro k . k −3 >1 k >4 Závěr: daná funkce je rostoucí pro k ∈ (4; ∞ )
2)
x
y = (5 − k ) základ: podmínka: řešení: závěr:
5−k 5− k >1 ……………… funkce je rostoucí pro všechna …………………….
x
3)
2 y= k základ: ………… podmínka: ………………………. 2−k řešení: anulováním získáme > 0 a dořešíme podílovou nerovnici k (graficky, tabulkovou metodou nebo soustavou lin.nerovnic )
závěr:
4)
k +1 y= k − 3
základ: podmínka: řešení:
x
……………………… ……………………………
závěr: 15
Výukový materiál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální funkce – úlohy k řešení (diskuse základu) Pro řešení následujících úloh si připomeňme, že funkce y = a x , a > 0, a ≠ 1 mění monotonii v závislosti na základu a . Je rostoucí pro a > 1 , je klesající pro a ∈ (0,1) .
Rozhodněte, pro která k ∈ R je daná funkce klesající.
1)
2)
y = (2k + 1)
x
Návod : Daná exp. funkce má základ a = (2k + 1) . Má-li být klesající, musí její základ být větší než 0 a menší než 1. Tedy 2k + 1 > 0 ∧ 2k + 1 < 1 . Vyřešíme tuto soustavu nerovnic a získáme podmínku pro k . 1 k >− ∧k <0 2 1 Závěr: daná funkce je klesající pro k ∈ − ;0 2 x y = (5 − k ) základ: ……………………….. podmínka: 0 < 5 − k < 1 ( soustava nerovnic) řešení: (vyřešte každou nerovnici a určete průnik získaných množin)
závěr:
funkce je klesající pro všechna ………………… x
3)
2 y= k + 1 základ: ……………………….. podmínka: ………………………………………………… řešení:
závěr: funkce je klesající pro všechna ……………………………………
4)
k y= k − 3 základ: podmínka: řešení:
závěr:
x
………………………………….. ………………………………………………………
funkce je klesající pro všechna………………………………
16