Elemi átalakítások Dr. Maróti György
Egyenletrendszerek helyett mátrixok Az elz témakörben számos egyenletrendszeren végeztünk ekvivalans átalakításokat. Emlékeztetül ezek két egyenlet felcserélése; valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal. valamelyik egyenlet számszorosának hozzáadása egy másik egyenlethez. Ugyanakkor észrevehetjük, hogy az egyenlerendszerek átalakítása során csak az egyes egyenletekben lév együtthatókkal számoltunk. A változók hazsnálata valójában csak ahhoz kellett, hogy a megszokott "egyenlet alakot" megtarthassuk. Jogosan merül fel a gondolat, hogy számításainkat elegend lenne az együtthatókat tartalmazó téglalap alakú táblázaton, vagyis az egyenletben szerepl számokból álló mátrixon elvégezni. Tekintsük például az
egyenletrendszert, és képezzük az együtthatóból és a szabad tagokból álló bvített mátrixot
.
Ezután végezzük el az egyenletrendszeren a már megismert átalakításokat úgy, hogy közben a bvített mátrix esetében megfogalmazzuk az analóg mveleteket.
Egyenletrendszer Átalakítás
Mátrix Átalakítás
Az els egyenletet kivonjuk a másodikból, háromszorosát a negyedikbl.
A második és a harmadik egyenletet felcseréljük
A második egyenletet hozzáadjuk a negyedikhez
A harmadik egyenletet kivonjuk a negyedikbl.
A mátrix elemei úgy alakulnak át, hogy els sorának elemeit kivonjuk a második sor megfelel elemeibl, majd az els sorban lév elemek háromszorosait kivonjuk a negyedik sor megfelel elemeibl.
A mátrix úgyalakul át, hogy a második és harmadik sorát felcseréljük.
A mátrix második sorának elemeit hozzáadjuk a negyedik soárnak megfelel elemeihez.
A mátrix harmadik soránek elemeit kivonjuk a negyedik sor megfelel elemibl.
Definíció Az
lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixán vagy csak röviden mátrixán illetve bvített mátrixán rendre a következ mátrixokat értjük
,
.
Az egyenletbl álló ismeretlenes egyenletrendszer az együtthatómátrixa -es, míg a bvített mátrixnak eggyel több oszlopa van, így típusaa . Eszerint bármely egyenletrendszerhez hozzárendelhet egy -es mátrix, az bvített mátrixa. Másrészt bármely -es mátrix felfogható valamely egyenletrendszer bvített mátrixának. Valóban nem kell mást tennünk, mint a mátrix soraiban található balról jobb elemeket rendre - nel megszorozni, venni ezen szorzatok összegét és egyenlvé tenni a sor utolsó elemével. A kapott egynletrendszer bvített mátrixa a kiindulási mátrix. Például
mátrixhoz a most ismeretetett eljárás a
egyenletrendszert rendeli, és ennek bvített mátrixa valóban a fenti kiindulási mátrix.
Definíció Egy mátrix sorain elvégzett elemi átalakítások alatt az alabbi mveletek valamelyikét értjük. 1. Sorcsere. A mátrix két sorának felcserélése. 2. Beszorzás. A mátrix valamely sorának nem nulla számmal való szorzása, mely alatt azt értjük, hogy az adott sor elemeit azok számszorosával helyettesítjük. 3. Hozzáadás. A mátrix valamely sora számszorosának hozzáadása egy másik sorhoz. Ez azt jelenti, hogy valamely sor elemeit helyettesítjük önmagának és a másik sor megfelel eleme számszorosának összegével. Az -edik és -edik sor cseréje a következ képpen szemléltethet:
.
Az -edik sor
konstanssal való beszorzása
.
Az -edik sorhoz az -edik sor -szeresének hozzáadása
A kipontozott elemeket az egyes elemi átalakítások változalanul hagyják.
Kidolgozott feladatok 1. Feladat
Tekintsük a
mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással
és Mapleben is. Sorcsere: az els és harmadik sor cseréje. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá.
Megoldás
.
>
>
(1.1.1)
>
(1.1.2)
>
(1.1.3)
>
2. Feladat
Tekintsük a
mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással
és Mapleben is. Beszorzás: a második sor szorzása 3-mal. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá.
Megoldás
>
(1.1.4)
>
(1.1.5)
>
(1.1.6)
(1.1.6)
>
3. Feladat
Tekintsük a
mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást kézi számolással és
Mapleben is. Hozzáadás: a második sor háromszorosának hozzásadása a harmadik sorhoz. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá.
Megoldás
>
(1.1.7)
>
(1.1.8)
>
(1.1.9)
>
A kidolgozott feladatok alapján világos, hogy mindegyik elemi transzformáció "megfordítható", abban az értelemben, hogy az elemi átalakítás eredményeként keletkezó mátrix alkalmas elemi átalakítással visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Ebbl az is következik, hogy ha valamely mátrixra elemi átalakítások egy sorozatát alkalmazzuk, akkor a kapott mátix ugyancsak visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Nem kell ugyanis mást tennünk, mint az alkalmazott elemi átalakítások "megfordításait" fordított sorrendebn alkalmazni. A kapott eredmény fontos számunkra, így tétel formájábanis kimondjuk.
Tétel Ha a mátrix az mátrixból elemi átalakításokkal keletkezik, akkor átalakítássokkal.V
is megkapható -bl elemi
Eléggé nyilvánvaló, hogy az egyenletek ekvialens átalakításai és a mátrixok elemi átalakítássai párba állíthatók. Az egyenletek cseréje megfelel a sorcserének, az egyenlet beszorzása megfelel a beszozásnak, míg az egyik egyenlet számszorosának hozzáadása a másik egyenlethez megfelel a hozzáadás elemi átalakításnak. Az is világos, hogy ha egy egyenletrendszernek veszzük a bvített mátrixát, majd ezen elemi átalakításokat végzünk, végül a felírjuk a kapott mátrixhoz tartozó egyenletendszert, akkor olyan egyenletrndszerhez jutunk, ami a kiindulási egyenletrendszerbl ekvivalens átalakítokkal megkapható, és mint ilyen az eredetivel ekvivalens.
A fenti ábra élei fordított írányban is bejárhatók. Ha kiindulunk egy mátrixból (legyen legelább két
oszlopa), és veszzük a hozzá tartotó egyenletrendszert, majd ezen ekvivalens átalakításokat végzünk, végül a kapott egyenletrendszernek vesszük a bvített mátrixát, akkor olyan mátrixhoz jutunk, ami a kiindulási mátrixból elemi átalakítássokal nyerhet.
Ez a két észrevétel feljogosít bennünket arra, hogy az egynletrendszereket és zon bvítet mátrixait egyenrangúnak tekintsünk, és gondolatmenetünk során bármikor áttérjünk egyik fogalomról a másikra. Ez nagyon kellemes lehetség, ugyanis a számításokat, átalakításokat könnyebb és nem utolsó rövidebb mátrixokon elvégezni, a megoldások meghatározása során azonban elnyösebb az egynletrendszeres alakkal dolgozni.
Lépcss alak Definíció Az mátrix -edik sorában lév balról számított legels nem nulla elemet az -edik sor felemének, idegen szóval pivot elemnek nevezzük.7 Világos, hogy ha egy mátrix -edik sorában van nullától különböz elem akkor van felem is abban sorban. Ugyanakkor csupa nullát tartalmazó sorokban nincs felem.A felem segítégével bevezethetjük a mátrix lépcss alakjának fogalmát.
Definíció Azt mondjuk, hogy az
mátrix lépcss alakú, ha eleget tesz az alábbi két feltételnek.
1. Felemet nem tartalmazó sor alatti sorban sincs felem. 2. Bármely két egymás utáni felemet tartalmazó sorban az alsó sor feleme a felette lév sor felemétl jobbra helyezkedik el. A felemet nem tartalmazó sorok csupa nullából állnak. Ugyanis ha egy sorban van nullátó különböz elem, akkor ezek közül kiválaszthatjuk a bal szélst, ami az adott or feleme lesz. A definíció 1. pontja tehát azt kövelteli meg, hogy ha egy sorban csupa nulla áll, akkor az alatta lév összes sorban is csak nullák szerepelhetnek. Így tehát ha egyáltalán vannak a mátrixban nulla sorok,
akkor azok a mátrix "alján" helyezkednek el, kissé szabatosabban azok a mátrix utolsó sorai. A definíció 2. pontja pedig szemléletesen azt követeli meg, hogy ha két egymás alatti sor mindegyikében van felem, akkor a felül lév sor elején kevesebb nulla áll, mint az alul lév sor elején. Ugyanis a fels sor feleme alatt szükségképpen nulla van. Például az alábbi
-es mátrixok mindegyike lépcss alakú:
,
,
,
,
,
Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7
Bizonyítás A bizonyítást a mátrix sorainak száma szerinti teljes indukcióval végezzük. Tekintsünk az mátrixot, melynek sora van. Mivel minden egy soros mátrix lépcss alakú, így állításunk
esetén teljesül.
Tegyük fel hogy állításunk soros mátrixokra teljesül és tekintsünk az melynek sora van. Ha nullmátrix, akkor készen vagyunk, hiszen minden nullmátrix lépcss alakú. Ellenkez esetben válasszuk ki -nak a legels nem nulla oszlopát, legyen ez a -adik. Ebben kell lennie olyan sornak, amelyben van nullától különböz elem (ami egyben felem is). Cseréljük fel ezt a sort az els sorral. Ezzel egy elemi átalakítással elértük, hogy a mátrix els sorában van felem. Mátrixunk alakja tehát
ahol
. Ezután az els sor -szorosát vonjuk a ki az (
hogy mátrixunk
-szorosát vonjuk a ki a második sorból, és így tovább az -edik sorból. Ezekkel az elemi átalakításokkal elérjük,
alakot ölt. Ha az els sor elhagyásával keletkez mátrix már lépcs alakú, akkor készen vagyunk, ugyanis ekkor a teljes mátrix is lépcss alakú. Ellenkez esetben folytassuk lépcs alakra hozást olyan elemi átalakításokkal, amelyek az els sort nem érintik. Az ilyen átalakításokat egyben a
mátrix elemi átalakításai is és viszont.Ez a mátrix pedig, mivel miatt elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7
Kidolgozot feladatok 1. Feladat
Hozzuk lépcss alakra az
mátrixot.
Megoldás
2. Feladat
Hozzuk lépcss alakra a
Megoldás
mátrixot.
sora van, az indukciós feltevés
3. Feladat
Hozzuk lépcss alakra az
Megoldás
mátrixot.
4. Feladat
Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a
mátrixot.
Megoldás A Maple csomagjának alcsomagja tartalmazza a számunkra szükséges parancsokat. Annak érdekében, hogy az eljárások rövid neveit hazsnálhassuk, kiadjuk a > Az utasítás outputját letiltottuk. Hozzuk létre a feladatban szerepl mátrixot, és hajtsuk végre a MultiplyRow eljárást. Ennek els paramétere a mátrix, amelynek valamelyik beszorozni kívánjuk, második paramétere a sor indexe a harmadik pedig a konstans, amivel szorzunk. > (2.2.1)
>
(2.2.2)
(2.2.2)
A kiadott parancs, mint az annak outputja is mutatja, beszorozta a mátrix els sorát
-del. Ezután
az els sor háromszorosát akarjuk kivonni a második sorból. Itt azonban legyünk résen! A Maple csak az AddRow eljárást kínálja, tehát valamely sor számszorosának hozzáadását tudjuk elvégezni. Persze megijedni nem kell, hiszen az els sor 3-szorosának kivonását elvégezhetjük a (-3)szorosának hozzáadásával. >
(2.2.3)
Az els paraméter maga a mátrix, a második az a sorindex, amihez hozzáadunk, a harmadik paraméter az a sorindex, aminek számszorosát hozzáadjuk, végül a negyedik a konstans, amivel szorzunk. A feladat befejezése ezekután már nem okozhat gondot. >
(2.2.4)
5. Feladat
Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a
Megoldás >
mátrixot.
>
(2.2.5)
> for j from 2 to 5 do A:=AddRow(A,j,1,-A[j,1]/A[1,1]) od: A;
(2.2.6)
> i:=2: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A;
(2.2.7)
> i:=3: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A;
(2.2.8)
(2.2.8)
Redukált lépcss alak Egy mátrix lépcss alakja nincs egyértelkmen meghatározva, másszóval egy mátrixnak több lépcs alakja is lehet. Ha szeretnénk elérni az egyértelmséget, akkor további kikötést kell tennünk a lépcss alakra.
Definíció Azt mondjuk, hogy az
mátrix redukált lépcss alakú, ha
1. Lépcss alakú; 2. Minden felem 1. 3. A felemek oszlopaiban a felem az egyetlen nullátó különböz.7 Az alábbi
-es mátrixok mindegyike redukált lépcss alakú:
,
,
,
,
Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal redukált lépcs alakra hozható.7
Bizonyítás Azt már látuk, hogy minden mátrix lépcss alakra hozható elemi átalakításokkal. Így csak arra kell rámutatni, hogy a lépcss alakból elemi átalakításokkal redukált lépcs alak nyerhet.
Tegyük fel, hogy az mátrix lépcss alakú. Minden olyan sort amelyben van felem szorozzunk be a felem reciprokával. Ezzel elértük, hogy minden felem 1, miközben nem rontottuk el a mátrix lépcssalakját sem. Végül soronként felülrl lefelé haladva minden sorra a benne található felem oszlopában nullázzuk ki (elimináljuk) a felem feletti elemeket. Könny elképzelni, hogy egy mátrix nem csak egyféle módon hozható lépcs alakra.Ugyanis például ha egy lépcss alakot, melyben van felem, valamely számmal szorzunk, akkor új lépcss alakot kapunk. Ebbl azonnal következik, hogy egy mátrix végtelen sokféle képpen hozható lépcss alakra, és a lépcss alakra hozások végeredménye is végtelen sokféle lehet. A redukált lépcss alak azonban másként viselkedik. Tekintsül például a hozzuk két különböz módon redukált lépcss alakra.
mátrixot, és
Bár két különböz átalakítássorozatot hajtottunk végre, mégis ugyanarra az eredményre jutottunk. Vajon véletlen-e ez? A választ a következ tétel adja meg, mely szerint akármilyen elemi átalakítás sorozat végén jutunk el a redukált lépcs alakhoz, mindíg ugyanarra az eredményre jutunk.
Tétel Bármely mátrix redukált lépcs alakja egyértelmen meghatározott.7
Bizonyítás A bizonyítást négy észrevétellel kezdjük. 1. Észrevétel Az elemi átalakítások a mátix nulloszlopát nem változtatják meg, tehát a nulla oszlop bármelyik átalakítás után is nulla oszlop marad. 2. Észrevétel Redukált lépcss alakú mátrixból egy oszlopot elhagyva, redukált lépcss alakú mátrixot kapunk. 3. Észrevétel Legyen tetszleges mátrix, és legyen az (egyik) redukált alakja. Ekkor meghapható -ból elemei átalakítások egy sorozatával. Hagyjuk el mindkét mátrixból a -edik oszlopot. Akkor a keletkez mátrixból az mátrix ugyanazzal a elemi átalakítás sorozattal képezhet. 4. Észrevétel
Ha az
mátrixnak egy oszlopa van, tehát
-es, akkor redukált lépcss alakja
. Valóban, az egyoszlopos nullmátrix redukált lépcssalakú, ha pedig az
van nullától különböz eleme, akkor elemi átalakításokkal
vagy
oszlopvektornak
alakra hozható.
És most rátérünk a tétel igazolásársa. Legyen az mátrix -es, a mátrix oszlopszáma, vagyis szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy redukált lépcss alakja egyértelmen meghatározott.
Tegyük fel, hogy . Ekkor szerint. Tehát az állításunk
redukált alakja egyértelmen meghatározott a 4. Észrevétel esetén teljesül.
Ezután tegyük fel, hogy állításunk -re teljesül, és tekintsük az -es mátrixot, és tegyük fel, hogy az és mátrixok mindegyike megkapcsható -ból elemi átalakításokkal, és mindkett redukált lépcss alakú. Ha van -nak csupa nullából álló oszlopa, mondjuk a -edik, akkor az 1. Észrevétel miatt és edik oszlopa is csupa nullából áll. Hagyjuk el mindhárom mátrixból a -edik oszlopot, és jelöljük a keletkez mátrixokat rendre és -vel. A 3. Észrevétel szerint és az -bl nyerhet elemi átalakítások egy sorozatával, továbbá a 2. Észrevétel szerint mindkett redukált lépcss alakú. Ugyanakkor -nek oszlopa van (egy oszlopos mátrixbó oszlopelhagyással keletkezett), így rá alkalmazható az indukciós feltetevés, miszerint redukált alakja egyértelm. Kaptuk, hogy . De ekkor is teljesül, hiszen ezek úgy jönnek létre, hogy az és mátrixba ugyanazt az oszlopot (ami csupa nullaból áll) beszúrjuk ugyanarra a helyre (a -eik oszlop mögé). Nézzük azt az esetét, amikor -nak nincs csupa nullából álló oszlopa, akkor ez igaz az és mátrixokra is. Ugyanis, ha pl. pl. -nek valamelyik oszlopa nulloszlop lenne, akkor mivel is megkapható R-bl elemi átalakítások egy sorozatával, így -nak is lenne nulloszlopa. Ez pedig lehetetlen. Tehát sem -nek, sem pedig -nek nincs nulloszlopa. Ekkor viszont mindkett els oszlopában van felem (ami ráadásul 1). Ez a felem pedig nem lehet máshol csak az els sorban. Ugyanis, ha akármelyik másik sorban lenne, akkor akkor els sor els elem is nulla lenne, ugyanis felem felett csak 0 állhat. És mivel az összes többi sorban is van felem, így az els sor többi elemi is nulla lenne, ami ellentmond annak, hogy a redukált lépcss alakban a csupa nulla sorok a mátrix alján helyezkednek el. Kaptuk tehát, hogy . Mindkét mátrixban a felem alatt csak nullák állnak, így kijelenthetjük, hogy az és mátrixok els oszlopa azonos. Innentl kezdve már ismert a gondolatmenet. Elhagyjuk az els oszlopot az és , mátrixokból. A keletkez mátrixnak eggyel kevesebb oszlopa van, mint -nak, és belle 3. Észrevétel miatt az és redukált lépcss alakú mátrixok (ld. 2. Észrevétel) elemi átalakítással megkaphatók. Az indukciós feltevés miatt
. Így ha ezeket kiegészítjük az
jutunk. Ezzel nyertük, hogy
oszlopvektorral, akkor rendre az
.
A bizonyítás kész.V
Kidolgozot feladatok 1. Feladat
Hozzuk redukált lépcss alakra a
Megoldás
mátrixot.
ill.
mátixokhoz
A feladatban szerpl mátrix már lépcss alakú. Így el kell érnünk, hogy a felemek 1-esek legyenek, és hogy a felemek felett csak nullá szerepeljenek.
2. Feladat
Hozzuk redukált lépcss alakra a
Megoldás Ez a mátrix is lépcss alakú.
3. Feladat Oldjuk meg az elz feladato Maple-ben!
mátrixot.
Megoldás > > (3.3.1)
>
(3.3.2)
>
(3.3.3)
>
(3.3.4)
>
(3.3.5)
>
Elemi mátrixok Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy milyen mátrixokat eredményeznek az elemi átalakítások akkor, ha azokat az egységmátrixra hajtjuk végre. Emlékeztetül az egységmátrix olyan diagonális mátrix, melynek fátlójában 1-esek állnak. Az egységmátrix a mátrix szorzás egységeleme, ugyanis egy mátrixot akár jobbról, akár balról egységmátrixszal szorzunk eredményül a kiindulási mátrixot kapjuk. > (4.1)
>
(4.2)
>
(4.3)
> Az elemi átalakítások hatásait az egységmátrixra könny megmondani. Beszorzás. Ha az egységmátrix egy sorát a nem nulla konstanssal szorozzuk, akkor akkor annak a sornak a fátlójában lév 1-es -re változik. > > (4.4)
> (4.5)
(4.5)
>
(4.6)
> Látjuk, hogy az átalakított egységmátrix azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ha vele balról szorzunk egy mátrixot, akkor a szorzatmátrix az eredetibl az els sor -vel való szorzásával keletkezik. Könny meggyzdni arról, hogy ez a tulajdonság az egységmátrix többi sorára is érvényben marad. Megállapíthatjuk tehát, hogy ha az egységmátrix -edik sorát egy számmal szorozzuk, akkor olyan elemi mátrixot kapunk, amelyre a mátrix -ból úgy keletkezik, hogy annak -edik sorát -vel beszorozzuk. Hozzáadás. Adjuk hozzá az egységmátrix els sorát a másodikhoz, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. > (4.7)
>
(4.8)
> Kellemes meglepetésünkre azt tapasztaljuk, hogy most az szorzatmátrix az -ból az els sor szerének a harmadikhoz való hozzáadásával, vagyis ugyanazzal az elemi átalakítással, amelyet az egységmátrixon végeztünk. Célszer azonban ezt az észrvételt általánosan is rögzíteni.
Észrevétel Az az elemi mátrix, amely az i-edik sorhoz a j-edik sor -szeresének hozzáadását végzi, az egységmátrixból úgy keletkezik, hogy abban az -edik sor -edik elemét -re változtatjuk.
Sorcsere. Cseréljük fel az egységmátrix els sorát a másodikkal, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. > (4.9)
>
(4.10)
> Az eddigi tapasztalt tulajdonság most is érvényes: a szorzatmátrix -ból az els és második sor cseréjével keletkezik. Azt tapasztaltuk tehát, hogy az elemi átalakításokat el tudjuk végezni úgy, hogy a mátrixot alkalmas elemi mátrixszal balról megszororozzuk. És hogy könny legyen megjegyezni azt, hogy mivel kell balról szorozni kell, azt a mátrixot az egységmátrixból állíthatjuk el ugyanazzal az elemi átalakítással.
Tétel Legyen olyan mátrix, ami az egyégmátrixból elemi átalakítással keletkezett. Ekkor tetszleges mátrixra az szorzat az -ból ugyanazzal az elemi átalakítással áll el, mint az egységmátixból. A tétel jelentsége inkább elmélti, mintsem gyakorlati. Értelmezhetnénk persze a tétel eredményét úgy, hogy az egy elemi átalakítás elvégzésének feladatát visszavezettük ugyanennek az elemi átalakításnak az egységmátrixon való elvégzésére és a mátrixsszorzás végrehajzására. Ez azonban csak nehezítené a gyakorlati számításainkat a mátrixszorzás bonyolultsága miatt. Haszna annak van, hogy az elemi átalakítások vizsgálatában mátrixalgebrai eszközöket vethetünk be.
Mátrix inverzének meghatározása Vizsgáljuk meg az elemi mátrixok inverzeit (ha léteznek). > > (5.1)
(5.1)
> (5.2)
>
(5.3)
> (5.4)
> (5.5)
> (5.6)
> (5.7)
> (5.8)
(5.8)
> (5.9)
>
Tétel Az elemi mátrixok invertálhatók Tekintsünk egy -es mátrixot , tegyük fel hogy elemi átalakítások sorozatával egységmátrixszá alakítható. Az els elemi átalakítás eredménye legyen . A mádosik átalakítást már erre a mátrixra hatjuk végre, így annak eredménye . Ha eljárásunk lépésbl áll, akkor annak végrehajtása után azt írhatjuk, hogy . Mit modhatunk a mátrixról? Ennek -val való szorzata az egységmátrix, ami azt jelenti, hogy ez a mátrix nem más, mint inverze, tehát . amit
alakba is írhatunk, hiszen az egységmárix. Ez az egyenlség pedig úgy értelmezhet, hogy ha az egyságmátrixra végrehajtjtjuk ugyanazokat az elemi átalakításokat, amelyek az mátrixot egységmátrixszá alakítják, akkor megkapjuk az inverzét. Annak érdekében, hogy ne kelljen külön elvégezni az egységmátrixszá alakítását, aztán minden egyen elemi átalakítást feljegyzni, mégpedig sorrendben, hogy azután ugyanazokat az elemi átalakításokat elvégezhessük az egységmátrixszon, azt a megoldást választjuk, hogy párhuzamosan végezzük el az elemi átalakításokat egyidajleg az mátrixon is az egységmátrixon. Ezt pedig úgy érjük el, az mátrixot kiagászítjük egy egységmátrix oszlopaival, a keletkez mátrixot alakítjuk redukált lépcs alakká. Megjegyzzük, hogy ha -nak létezik az inverze, akkor a redukált lépcss
alakja az egységmátrix.
Kidolgozott feladatok 1. Feladat Számítsuk ki az A=
mátrix inverzét.
Megoldás Egészítsük ki az
oszlopait az egységmátrixszal, és alakítsuk redukált lépcss alakra.
.
Az inverz mátrix az eredmény harmadik és negyedik oszlopában található
.
Hogy valóban inverz mátrixszal állunk szemben, arról meg.
.
=
szorat kiszámításával gyzdhetünk
=
.
2. Feladat
Számítsuk ki az A=
mátrix inverzét Mapleben.
Megoldás > (5.1.1)
> (5.1.2)
(5.1.2)
> (5.1.3)
>
(5.1.4)
>
(5.1.5)
>
(5.1.6)
>
(5.1.7)
>
(5.1.8)
> (5.1.9)
2. Feladat
Számítsuk ki az A=
mátrix inverzét Mapleben.
Megoldás >
(5.1.10)
>
(5.1.11)
>
(5.1.12)
(5.1.12)
>
(5.1.13)
>
(5.1.14)
2. Feladat
Számítsuk ki az A=
mátrix inverzét Mapleben.
> > (5.1.15)
> (5.1.16)
(5.1.16)
> (5.1.17)
> (5.1.18)
>
(5.1.19)
>
Gyakorló feladatok 1. Igaz-e, hogy minden lépcss alakú mátrix, valamely egyenletrendszer mátixának lépcss alakja? 2. Igaz-e, hogy minden redukált lépcss alakú mátrix valamely egyenletrendszer mátixának redukált lépcss alakja? 3. Mutassuk meg, hogy ha az mátix elemi átalakításokkal a mátrix is megkapható mátrix ból elemi átalakításokkal.
4. Milyen mátrixot kapunk, ha az mátrixszal? És ha jobbról szorozzuk?
mátrixxá alakítható, akkor az
-as mátrixot balról megszorozzuk az
5. Adjunk meg olyan mátrixot, amivel az -as mátrixot balról megszorozva "elvégzi" az A els sorának c-vel való beszorzását. Adjuk meg ugyan ezt a harmadik sorra is. 6. Adjuk meg a mátrixokat, melyekkel balról szorozva elállítható az elemi általakítások (3x3-as mátrixokra).
