ELEKTROTECHNIKA 2 TEMATICKÉ OKRUHY

ELEKTROTECHNIKA 2 TEMATICKÉ OKRUHY 1. Harmonický ustálený stav – imitance a výkon Harmonicky proměnné veličiny. Vyjádření fázorů jednotlivými tvary komplexních čísel. Symbolický počet a jeho využití při řešení harmonicky ustáleného stavu. Základní operace symbolického počtu (sčítání, odčítání, násobení, dělení, integrace, derivace). Rezistor, induktor a kapacitor v obvodu ustáleného harmonického proudu. Impedance a admitance základních obvodových prvků . Definice obecné imitance. Zobecněný Ohmův zákon.Výkony v obvodech ustáleného harmonického proudu. Přenos výkonu ze zdroje do zátěže, podmínka výkonového přizpůsobení. 2. Metody analýzy lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu Základní zákony elektrických obvodů v symbolickém tvaru. Ohmův zákon, Kirchhoffovy zákony. Sériové a paralelní řazení imitancí. Fázorové diagramy obvodů. Metoda postupného zjednodušování obvodů. Řešení lineárních obvodů pomocí metody úměrných veličin. Metoda Kirchhoffových rovnic. Řešení obvodů metodou smyčkových proudů. Řešení obvodů metodou uzlových napětí. Výpočet napěťového přenosu a vstupní impedance obvodů. Maticová forma zápisu a řešení soustavy rovnic. Řešení obvodů metodou náhradního zdroje. Využití Theveninovy a Nortonovy věty při řešení obvodů v harmonickém ustáleném stavu. 3. Základní vlastnosti a použití obvodů 1. řádu Definice obvodů 1. řádu. Integrační článek RC, jeho vlastnosti a použití jako dolní propust. Modulová a argumentová kmitočtová charakteristika napěťového přenosu integračního článku, mezní kmitočet, hodograf obvodu. Derivační článek RC, jeho vlastnosti a použití jako horní propust. Modulová a argumentová kmitočtová charakteristika napěťového přenosu derivačního článku, mezní kmitočet, hodograf obvodu. Všepropustný článek RC a jeho použití jako fázovací obvod. Integrační a derivační články RL, jejich přenos, vlastnosti a použití. 4. Základní vlastnosti a použití obvodů 2. řádu Definice obvodů 2.řádu. Sériový rezonanční obvod RLC a jeho využití. Fázorový diagram, rezonanční kmitočet, činitel jakosti. Modulová a argumentová kmitočtová charakteristika, činitel jakosti, šířka propustného pásma.Využití obvodu jako dolní propust, horní propust, pásmová propust, pásmová zádrž. Paralelní rezonanční obvod RLC a jeho využití jako pásmová propust. Fázorový diagram, rezonanční kmitočet, činitel jakosti. Modulová a argumentová kmitočtová charakteristika, činitel jakosti, šířka propustného pásma. Příklady využití sériového a paralelního obvodu RLC v silnoproudé a slaboproudé elektrotechnice. 5. Trojfázové obvody, jejich vlastnosti, použití, výkony v trojfázových obvodech Mnohofázové soustavy - základní pojmy a vztahy. Soustava trojfázová, šestifázová, dvojfázová a jejich použití.Trojfázová soustava obvodů a její popis. Souměrná trojfázová soustava a její vlastnosti. Matematické vyjádření souměrné trojfázové soustavy, operátor natočení. Spojení zdrojů a zátěže do hvězdy. Vztah mezi fázory sdružených napětí a fázových napětí-fázorové diagramy. Spojení zdrojů a zátěže do trojúhelníka. Vztah mezi fázory

fázových a sdružený proudů.Výkon trojfázové soustavy nesouměrného a souměrného obvodu. Příklady výpočtu výkonů pro symetrickou a nesymetrickou zátěž. Porovnání ekonomiky přenosu energie u jednofázové a trojfázové soustavy. Využití přepínání zapojení spotřebiče z hvězdy do trojúhelníka. 6. Analýza trojfázových obvodů v harmonickém ustáleném stavu Základní požadavky analýzy trojfázových obvodů. Analýza souměrných trojfázových obvodů. Analýza obvodů metodou smyčkových proudů. Analýza obvodů metodou uzlových napětí. Analýza základních jednoduchých poruchových stavů soustavy. Příklady analýzy jednodušších trojfázových obvodů. Nesouměrná trojfázová soustava a její souměrné složky. Výkon nesouměrné trojfázové soustavy, analýza nesouměrných trojfázových obvodů metodou souměrných složek. 7. Přechodné děje v lineárních obvodech Přechodné děje a metody jejich řešení. Řešení diferenciálních rovnic obvodu. Obvody 1. řádu. Řešení přechodných dějů v RC a RL obvodech. Příklady řešení přechodných dějů v obvodech 1. řádu. Formulace a řešení diferenciálních rovnic obvodů 2. řádu. Aperiodický tlumený děj. Kritický tlumený děj. Podkritický tlumený kmitavý děj. Netlumený děj. Příklady řešení přechodných dějů v obvodech 2. řádu. 8. Řešení přechodných dějů pomocí Laplaceovy transformace Princip řešení přechodných dějů pomocí Laplaceovy transformace. Základní vztahy Laplaceovy transformace. Transformace základních matematických operací. Příklady přímé transformace. Příklady zpětné transformace. Inverze Laplaceových obrazů pomocí slovníku. Inverze pomocí Heavisideova vzorce. Numerická inverze Laplaceových obrazů. Operátorové charakteristiky obvodových prvků a jejich využití při formulaci rovnic obvodů. Náhradní schémata zdrojů pro řešení nenulových počátečních podmínek. Příklady řešení obvodů 1. a 2. řádu. Řešení periodického ustáleného stavu operátorovou metodou. 9. Přenosová vedení Obvody se soustředěnými a rozloženými parametry. Základní rovnice vedení. Primární parametry vedení. Náhradní schéma elementárního úseku vedení. Telegrafní rovnice vedení a jejich řešení v časové oblasti. Vlny na bezeztrátovém vedení, vlnové rovnice. Sekundární parametry vedení - vlnová impedance a činitel šíření . Nekonečně dlouhé vedení. Vedení konečné délky.Vlna postupná a vlna odražená. Poměry na vedení se ztrátami. Podmínky pro nezkreslující vedení. Poměry na obecném vedení se ztrátami. 10. Harmonicky ustálený stav na vedení Vznik harmonicky ustáleného stavu na vedení. Postupná a zpětná vlna na vedení. Charakteristická impedance, konstanta šíření, délka vlny na vedení. Vznik stojatých vln, definice činitele odrazu. Poměr stojatých vln pro přizpůsobené a nepřizpůsobené vedení. Vstupní impedance bezeztrátového vedení konečné délky. Impedančně přizpůsobené vedení.Vstupní impedance vedení nakrátko a naprázdno v závislosti na délce vedení. Vedení zakončené reaktancí. Vlastnosti vedení poloviční a čtvrtinové vlnové délky - transformace zatěžovací impedance. Vstupní impedance krátkého vedení. Parametry základních druhů vedení.

UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 1) Harmonický ustálený stav – imitance a výkon Určete impedanci zátěže ZAB obecně, vypočtěte numericky impedanci zátěže ZAB a fázor proudu I a napětí U2 (ve složkovém i exponenciálním tvaru).Vypočtěte numericky celkový výkon zátěže (komplexní S,zdánlivý /S/, činný P, jalový Q). I

C A

U

R

U2

L

B

R = 200 Ω C = 5 µF , L= 1 H , f = 50Hz U = 230 ej0 V

Řešení

ω 2 L2 1 1 R. jωL R 2ωL j + = + − j ZAB= jωC R + jωL 2 2 2 2 2 2 ωC R +ω L R +ω L -j75,39 ZAB=142,31-j546,01=564,25 e ° Ω Z2= 142,31 +j90,603=168,71 ej32,48 ° Ω I=U/ ZAB=0,1028+j0,3944=0,40761 ej75,39 ° A U2=I.Z2= -21,105+j65,451=68,769 ej107,87 ° V S=U.I*=U2/Z*=23,646 –j90,72=93,751 e -j75,39 ° VA 2) Metody analýzy lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu Metodou smyčkových proudů vypočtěte fázory proudů I1, I2, a I3 ve složkovém i exponenciálním tvaru, uveďte výrazy pro okamžité hodnoty těchto proudů i1(t), i2(t) a i3(t). I1

C1

U

L

I2

C2 I3

R

R = 100 Ω, C1 = 5 µF , C2 = 10µF L= 0,5 H f = 50Hz U = 230 ej0 V

Řešení j(ωL-1/ωC1)

-jωL

IS1

U

-jωL

R+j(ωL-1/ωC2)

IS2

0

-j479,5401

-j157,0796

IS1

230

-j157,0796

100-j161,2302

IS2

0

D= - 52642,367 –j 47954,014=71209,594 e j42,33 ° D1= 23000 – j 37082,958= 43636,519 e –j 58,19 ° D2= 0+j36128,315=36128,215 e j90° IS1=D1/D=I1=0,1119+j0,60248 =0,6128 ej79,48° A IS2=D2/D=I2= -0,34166 –j 0,37506 = 0,50735e -j132,33° A I3= IS1 - IS2=0,45358+j0,97755=1,0777 ej65,11 ° A i1(t)= 0,8666sin(314,16t +79,48°) A, i2(t)=0,7175 sin(314,16t - 132,33°)A, i3(t)=1,5241sin(314,16t +65,11°) A 3) Základní vlastnosti a použití obvodů 1. řádu Na vstup derivačního CR článku ( R=100 Ω, C=100 nF ) je přiváděno harmonické napětí o amplitudě 1 V : u1(t) = U m sin (ωt ) = 1 sin (ωt ) [V]. Určete oblast práce článku a výstupní napětí článku u2(t) pro kmitočty a) f =160 Hz, b) f =1600 Hz, c) f = 16 000 Hz.

(

)

a) f =160 Hz : U2=0,100 ej84,3 ° V , u2(t) = 0,100 sin ωt + 84,3  V , oblast derivace, b) f =1600 Hz :U2=0,7090 ej44,8 ° V, u2(t) = 0,7090 sin ωt + 44,8  V ,oblast mezního kmitočtu, a) f =16000 Hz : U2=0,9951 ej5,7 ° V, u2(t) = 0,9951 sin ωt + 5,7  V , oblast přenosu.

(

(

) )

4) Základní vlastnosti a použití obvodů 2. řádu Na vstup sériového RLC obvodu ( R=10 Ω, L= 1 mH, C=100 nF ) je přiváděno harmonické napětí o amplitudě 1 V : u1(t) = U m sin (ωt ) = 1 sin (ωt ) [V]. Určete rezonanční kmitočet obvodu f0, fázory proudu obvodem a napětí na jednotlivých prvcích obvodu pro kmitočty a) f=15,9155kHz, b) f=159 kHz, c) f= 1,59 kHz. U 1 1 I ( jω ) = =U fr = = 15,9155 kHz , 1 Z ( jω ) 2π LC R + j (ω L − )

ωC

U R = R.I , U L = jω L.I , U C = − j

1

ωC

.I

ad a) f=15,9155kHz : I=0,1 ej0 ° [A], UR=1,0 ej0 °[ V], UL=10,0 ej90 °[ V], UC=10,0 e-j90 °[ V], ad b) f=159kHz : I=0,001 e-j89,4 ° [A], UR=0,010 e-j89,4 ° [ V], UL=1,01 ej0,6 °[ V], UC=0,01 e-j179,4 °[ V], ad c) f=1,59kHz : I=0,001 ej89,4 ° [A], UR=0,01 ej89,4 °[ V], UL=0,01ej179,4 °[ V], UC=1,01 e-j0,6 °[ V].

5) Trojfázové obvody, jejich vlastnosti, použití, výkony v trojfázových obvodech Spotřebič je zapojen do trojúhelníka, impedance Z1=Z2=( 15 + j 15 )Ω, Z3 =(10 + j25 )Ω. Je napájen souměrným zdrojem o sdružených napětích US = 400 V. o o ( U = 400 e j 0, U = 400 e -j120 , U = 400 ej 120 ). Vypočtěte fázory proudů UV

VW

WU

impedancemi, celkový komplexní, činný, jalový a zdánlivý výkon spotřebiče. I1=UUV/Z1=400/(15+15j)=13, 3 − j13, 3 = 18,856 e − j 45 °

A

I2=UVW/Z2= (-200-j346,41)/(15+15j) = -18,2136 –j4,8803 =18,856 e – j 165 ° A I3=UWU/Z3=(-200+j346,41)/(15+15j)= 9,1865+j11,6746 =14,856 e – j51,8 ° A S= UUV I 1∗ + UVW I ∗2 + UWU I ∗3 =12873,56189 +j16183,8856=20679,6216 ej51,5° VA

P = Re[S] = 12873,57 W , Q = Im[S ] = 16183,89 VAr , S = S = 20679,62 VA 6) Analýza trojfázových obvodů v harmonickém ustáleném stavu Spotřebič je zapojen do hvězdy ,impedance Z1 = Z 2 = Z 3 =( 10 + j 25 )Ω. j0

Je napájen souměrným zdrojem o sdružených napětích US = 380 V. ( U UV= 380 e , U VW = j120 o j120 o , U WU = 380 e ). Metodou smyčkových proudů vypočtěte fázory proudů 380 eimpedancemi spotřebiče. Řešení metodou smyčkových proudů ( Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z )

I1

U UWU UVW W

 2Z − Z 

Z

UUV

I S1 Z

Z

I V

I S2

I3

− Z   I S1   U UV   20 + j 50 − 10 − j 25  I S1   380∠0   => ⋅ =  ⋅  =   2Z  I S 2  U VW  − 10 − j 25 20 + j 50  I S 2  380∠ − 120 

∆ 1 13927,2 + j10959,1 = = −1,1620 − j8,0648 [ A] ∆ − 1575 + j1500 ∆ 16454,5 − j 6581,8 I S2 = 2 = = −7,5653 − j 3,0261 [ A] ∆ − 1575 + j1500 I 1 = I S1 , I 2 = I S 2 − I S1 , I 3 = −I S 2 I S1 =

I 1 = −1,1620 − j8,0648 [ A] = 8,1481∠ − 98,20 A [ A] I 2 = −6,4033 + j 5,0387 [ A] = 8,1481∠141,80 A [ A]

I 3 = 7,5653 + j 3,261A = 8,1481∠21.80 A [ A] 8) Řešení přechodných dějů pomocí Laplaceovy transformace Obvod na schématu se nacházel před sepnutím spínače v ustáleném stavu. Odvoďte pomocí Laplaceovy transformace obecně i číselně časový průběh proudu iL(t) induktoru L po sepnutí spínače a naznačte jeho průběh graficky.Vypočtěte velikost proudu iL(t) v čase t=0, t= ∞, t= 1 µs. S

R1 U

U = 24 V L = 1,5 mH R1 = 3 kΩ R2 = 1 kΩ

i L (t )

L

R2

iL (0 ) =

24 U = = 6 ⋅ 10−3 = 6mA R1 + R2 4 ⋅ 103

( )

( )

U R2 U + L ⋅ iL 0 + piL 0 + + 1 U p L = i 0+ L . I L ( p) = = + L R2 R2  R2  R2  pL + R2  p+ p p +  p p +  L L L  

pL U p

R2

I L ( p)

( )

L ⋅ iL 0 +

S využitím známých tvarů pro L.T. 1 a L e − at = , L 1 − e − at = , p+a p( p + a ) je originál k obrazu proudu induktorem IL(p): R R R − 2t − 2t  − 2t  U U  U  R1 L  1 − iL (t ) = e L + 1 − e L  = e  R +R A R1 + R2 R2  R 2  1 2  

{ }

.

{

}

( )

iL (t ) =

(

)

R − 2t  5 R1 U  L  1 − e ⋅ = 24 ⋅10 −3 1 − 0,75 ⋅ e −6, 66⋅10 t A   R2  R1 + R2 

i L (t = 1µs ) = 14,7585 ⋅ 10 −3 A ,

iL (t → ∞ ) =

U 24 = = 24 ⋅10 −3 = 24mA 3 R2 1 ⋅10

9) Přenosová vedení Bezeztrátové homogenní vedení s primárními parametry Co = 100 [ pF/m], Lo = 0,25 [µH /m], o délce l = 50 m pracuje na kmitočtu f =200 MHz , je zatíženo vlnovou impedancí Z2 = ZV. . Vypočtěte : a) Sekundární parametry vedení (γ, ZV ) a délku vlny na vedení λ , b) Délku (kabelu) vedení l pro čtvrtvlnné vedení, c) Vstupní impedanci Zvst pro vedení délky 2m - pro přizpůsobené vedení, pro vedení naprázdno a pro vedení nakrátko, d) Činitel odrazu ρ pro Z2 =0, Z2= ∞ , Z2= Zv .

ZV=

L0 = 50,0 Ω , C0

γ = jω L0 C0 = j 6,2832

1/m

2π

π , πroto λ = = 0,25 m , αl = 12,5664 4 2α α ZVST = ZV = 50,0 Ω , ZVST 0= −j ZVcotg α l = - j 1,7015 . 10 6 Ω λ=

Protože

ρ ( jω ) =

Z 2 ( jω ) − Z v ( jω ) , Z 2 ( jω ) + Z v ( jω )

pro Z2 =0 ... ρ = – 1 , Z2= ∞ .... ρ = 1, Z2= Zv ... ρ = 0 .

10) Harmonicky ustálený stav na vedení Homogenní vedení s primárními parametry G0 = 0 [S/m], R0 = 55 [mΩ/m], Co = 100 [ pF/m],Lo = 0,25 [µH /m] o délce l = 50 m pracuje na kmitočtu f =200 MHz , je zatíženo vlnovou impedancí Z2 = ZV. Vypočtěte : a) sekundární parametry vedení (γ, ZV ), délku vlny na vedení λ b) vstupní napětí a vstupní proud, je-li napětí na výstupu u2(t) = U2msin(ωt+ψu)= 2

a)

. 50 sin (ωt) [ V]

γˆ = ( R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 ) = (5.5 ⋅ 10 −4 + j 6.2832)m −1 = 6.2832∠89.89  m −1

Zˆ v =

R0 + jωL0 = (50 − j 4.3768 ⋅ 10 −3 )Ω = 50.00∠ − 5.015 ⋅ 10 −3 Ω G0 + jωC 0

λ = vf T = b)

2π 2π ω T= = = 1.000m α α Im{γ�}

- fázor efektivní hodnoty Uˆ 2 = 50V , z první kaskádní rovnice při Zˆ 2 = Zˆ v Uˆ 1 = Uˆ 2 cosh γˆl + Zˆ v Iˆ2 sinh γˆl = Uˆ 2 (cosh γˆl + sinh γˆl ) = Uˆ 2 ⋅ e γˆl = = (51.3941 + j 6.193 ⋅ 10 −5 )V = 51.394∠6.9043 ⋅ 10 −5 V

=>

u1 (t ) = 72.682 sin(ωt + 6.9043 ⋅ 10 −5 )V Uˆ Uˆ Iˆ1 = 1 = 1 = (1.0279 + j 5.0844 ⋅ 10 −3 ) A = 1.0279∠9.1214 ⋅ 10 −5 A Zˆ vst Zˆ v

=>

i1 (t ) = 1.4536 sin(ωt + 9.1214 ⋅ 10 −5 ) A