Elektrotechnika 2 - sbírka příkladů

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Elektrotechnika 2 - sbírka příkladů

Garant předmětu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu: doc. Ing. Milan Murina, CSc. doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.

Brno

23.2.2009

2

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Obsah Úvod ........................................................................................................................................................................3 Zařazení předmětu ve studijním programu .........................................................................................................3 Úvod do předmětu...............................................................................................................................................3 Vstupní test .........................................................................................................................................................4 1 Obvody v harmonickém ustáleném stavu ......................................................................................................5 1.1 Operace s komplexními čísly................................................................................................................5 Vzorové příklady ............................................................................................................................................6 Kontrolní příklady..........................................................................................................................................7 1.2 Základní zákony elektrických obvodů v symbolickém tvaru ...............................................................7 Vzorové příklady ............................................................................................................................................8 Kontrolní příklady........................................................................................................................................10 1.3 Prvky elektrických obvodů .................................................................................................................10 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................12 Kontrolní příklady........................................................................................................................................13 1.4 Metoda postupného zjednodušování, metoda úměrných veličin ........................................................16 Základní poznatky ........................................................................................................................................16 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................16 Kontrolní příklady........................................................................................................................................19 1.5 Věty o náhradních zdrojích.................................................................................................................19 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................20 Kontrolní příklady........................................................................................................................................21 1.6 Metoda smyčkových proudů...............................................................................................................22 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................22 Kontrolní příklady........................................................................................................................................25 1.7 Metoda uzlových napětí......................................................................................................................26 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................26 Kontrolní příklady........................................................................................................................................27 1.8 Výkony a výkonové přizpůsobení ......................................................................................................29 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................29 Kontrolní příklady........................................................................................................................................30 1.9 Rezonance, přenos v elektrických obvodech ......................................................................................31 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................32 Kontrolní příklady........................................................................................................................................34 2 Trojfázové obvody .......................................................................................................................................35 2.1 Analýza trojfázových obvodů.............................................................................................................35 Popis pomocí fázorů.....................................................................................................................................35 Výkony na trojfázovém spotřebiči ................................................................................................................35 2.2 Vzorové příklady ................................................................................................................................36 2.3 Kontrolní příklady ..............................................................................................................................39 3 Přechodné děje v lineárních obvodech.........................................................................................................41 3.1 Klasická metoda analýzy přechodných dějů.......................................................................................41 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................42 Kontrolní příklady........................................................................................................................................44 3.2 Operátorová metoda analýzy přechodných dějů.................................................................................44 Vzorové příklady ..........................................................................................................................................48 Kontrolní příklady........................................................................................................................................54 4 Homogenní vedení .......................................................................................................................................57 4.1 Základní poznatky ..............................................................................................................................57 4.2 Vzorové příklady ................................................................................................................................59 4.3 Kontrolní příklady ..............................................................................................................................61 5 Programy pro analýzu obvodů .....................................................................................................................62 5.1 Program ANSYM ...............................................................................................................................62 5.2 Program KLinRov ..............................................................................................................................63 5.3 Programy BCC 1.1 a BCC 2.1............................................................................................................64

Elektrotechnika 2 cvičení

3

ÚVOD Tento elektronický text je určen pro předmět Elektrotechnika 2, který je zařazen do letního semestru 1. ročníku studia bakalářského studijního programu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídicí technika. Umožňuje ucelenější pohled na problematiku předmětu tím, že ukazuje na praktické využití teoretických poznatků.

Zařazení předmětu ve studijním programu Předmět Elektrotechnika 2 navazuje svou náplní na předmět Elektrotechnika 1, který je zařazen do zimního semestru 1. ročníku studia bakalářského studijního programu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídicí technika

Úvod do předmětu Elektronický text „ Elektrotechnika 2 počítačové cvičení“ obsahuje základní teoretické poznatky a řešené vzorové příklady. Představuje studijní materiál, který studentům umožní řešit praktické příklady v rámci samostatného studia pomocí kontrolních příkladů a to z elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu, trojfázových obvodů, přechodných dějů v elektrických obvodech a homogenního vedení. Pro analýzu elektrických obvodů existuje řada profesionálních programů. Používání těchto programů je podmíněno správnou formulací řešených problémů a kvalifikovaným zhodnocením dosažených výsledků. V důsledku toho se uživatel těchto programů neobejde bez základních poznatků z teorie obvodů. Pro osvojení základních poznatků byly sestaveny jednoúčelové programy, které jsou popsány v tomto textu.

4


Vstupní test Vstupní test je určen k vyhodnocení samotným studentem a jeho účelem je ověření předchozích znalostí studenta, potřebných k úspěšnému zvládnutí studia předkládaného výukového textu. Výsledky vstupního testu jsou v dodatcích v závěru tohoto textu. Příklad V1

Výsledek

Pomocí Thèveninovy věty vypočítejte proud I v obvodu dle obrázku. a R2

U

I

R

R3 U31 R

b Příklad V2

Výsledek

V obvodu dle obrázku vypočítejte proudy I3, I4 metodou uzlových napětí. Hodnoty prvků obvodu jsou: I3

R3

R2 I4

I1

R1

R4

U2

I1 = 0,2 A

U2 = 10 V

R1 = 10 

R2 = 20 

R3 = 20 

R4 = 40 

Příklad V3

Výsledek

Vypočítejte proudy I1, I2, I3 a napětí na rezistorech R1, R2, R3 metodou smyčkových proudů, když I1

I2

R1 Is1

U1

I3

R2 Is2

U2

R3

U1 = 12 V,

U2 = 15 V,

R1 = 10 ,

R2 = 5 ,

R3 = 2 .


1

5

OBVODY V HARMONICKÉM USTÁLENÉM STAVU

Cíl kapitoly Prohloubit a upevnit teoretické znalosti využívané při analýze obvodů harmonického ustáleného stavu symbolickou metodou. Na základě řešených typických příkladů ukázat praktické postupy při analýze elektrických obvodů symbolickou metodou. Pomocí kontrolních příkladů ověřit pochopení probírané látky.

1.1

Operace s komplexními čísly

Komplexní čísla budeme označovat tučným písmenem. Složkový tvar komplexního čísla A   a  jb 

kde

(1.1.1)

Im

a je reálná část a = Re{A}, b je imaginární část b = Im{A},

A



Komplexní číslo zobrazujeme jako orientovanou úsečku v komplexní (Gaussově) rovině (Obr. 1.1). Exponenciální (polární) tvar komplexního čísla

0

a

Re

Obr. 1.1:

A  A e j ,

kde

b

(1.1.2)

A je absolutní hodnota (modul)  fáze (argument) komplexního čísla.

Tento tvar přiřazuje komplexnímu číslu bod v komplexní rovině pomocí orientované úsečky o velikosti A natočené o úhel  vzhledem k reálné ose (Obr. 1.1). Zjednodušení zápisu exponenciálního tvaru umožňuje verzorový (Kenellyho) tvar komplexního čísla A  A  .

(1.1.3)

Využitím Eulerova vztahu e j  cos   jsin 

(1.1.4)

dostaneme goniometrický tvar komplexního čísla A  A  cos   jA  sin  .

(1.1.5)

Vzájemný převod mezi složkovým a exponenciálním tvarem komplexního čísla je možné uskutečnit pomocí následujících vztahů. Složkový tvar A   a  jb 

A  a2  b2

b   arctan   a

A  A  e j

A – modul (absolutní hodnota)

a – reálná část b – imaginární část

Exponenciální tvar

a  A  cos 

b  A  sin 

 – úhel, fáze

Poznámka: Funkce arctan (x) má obor hodnot  π/2; π/2 neboli 90; 90 , tedy 2 kvadranty! Správně lze proto pomocí výše uvedeného vztahu převést pouze čísla z pravé části komplexní poloroviny. Při převodu čísel z levé komplexní poloroviny (se zápornou reálnou částí) je nutno přičíst k výslednému úhlu  (180°).  b  arctan  a  pro a  0      b arctan    180 pro a < 0    a

(1.1.6)

6


Komplexně sdružené číslo A* k číslu A   a  jb   A e j má opačné znaménko imaginární složky resp. argumentu než číslo původní A A *   a  j b   A e  j .

(1.1.7)

Při aplikaci symbolické metody potřebujeme provádět součty, rozdíly, násobení a dělení komplexních čísel. Příslušné výpočty se provádí pomocí následujících pouček: Součtem (rozdílem) komplexních čísel dostaneme komplexní číslo, jehož reálná složka je součtem (rozdílem) reálných složek a imaginární složka součtem (rozdílem) imaginárních složek jednotlivých komplexních čísel. Komplexní čísla zadaná v jiném tvaru nejprve převedeme do tvaru složkového. Součet komplexních čísel můžeme provést i graficky. Je obdobný jako součet fyzikálních vektorů. Násobení komplexních čísel je možno provést ve složkovém tvaru jako násobení mnohočlenů. Při násobení a dalších úpravách je nutné respektovat to, že

j2  1,

j3   j,

j4  1,

j5  j atd.

(1.1.8)

Výsledkem násobení komplexních čísel v exponenciálním tvaru je komplexní číslo s modulem rovným součinu modulů a s argumentem rovným součtu argumentů jednotlivých komplexních čísel. Dělením komplexních čísel v exponenciálním tvaru dostaneme komplexní číslo, jehož modul je dán podílem modulů a argument rozdílem argumentů jednotlivých komplexních čísel. Podíl komplexních čísel ve složkovém tvaru můžeme provést:  převodem do exponenciálního tvaru,  násobením čitatele a jmenovatele číslem komplexně sdruženým k číslu ve jmenovateli.

Pro umocňování a odmocňování komplexních čísel platí Moivreova věta A n  An  e jn , kde např. pro druhu odmocninu je n = ½.

(1.1.9)

Vzorové příklady Příklad 1.1.1 Vyjádřete komplexní číslo A   3  j4  v exponenciálním a verzorovém tvaru. Řešení Vypočteme modul a argument komplexního čísla 4 A  32  42  25  5 ,   arctan    53,13 . 3

Sestavíme exponenciální a verzorový tvar A  5  e j53,13  553,13 .

Příklad 1.1.2 Vyjádřete komplexní číslo A  6, 4031 e j141,3 ve složkovém tvaru. Řešení Nejprve vypočteme reálnou a imaginární část komplexního čísla

Re A  6, 4031  cos(141,3)  5 ,

Im A  6, 4031  sin(141,3)  4 .

Složkový tvar komplexního čísla je A   5  j4  . Příklad 1.1.3 Určete komplexní číslo, které je dáno součtem komplexních čísel A1   2  j5  a A 2  1  j1,5  .


7

Řešení A  A1  A 2  2  j5  1  j1,5   3  j6,5 

Příklad 1.1.4 Vypočítejte součin komplexních čísel A1  10 e j40 a A 2  30 e  j10 . Řešení A  A1  A 2  10 e j40  30 e  j10  300 e j30

Příklad 1.1.5 Vypočítejte podíl komplexních čísel A1  20 e j30 a A 2  4 e j10 . Řešení

A

A1 20 e j30   5e j20 . A2 4 e j10

Příklad 1.1.6 Vypočítejte podíl komplexních čísel A1  2  j3 a A 2  2  j . Řešení A

A1 2  j3 2  j 7  j4     1, 4  j0,8  . A2 2 j 2 j 5

Kontrolní příklady Příklad 1.1.7 Převeďte komplexní čísla A1   5  j4  , A 2   2  j5  do exponenciálního a verzorového tvaru.

Výsledek

Příklad 1.1.8 Určete komplexně sdružená čísla ke komplexním číslům A1   20  j50  a A 2  9  35 .

Výsledek

Příklad 1.1.9 Určete součet a rozdíl komplexních čísel A1  100120 a A 2   60  j40  .

Výsledek

Příklad 1.1.10 Určete součin a podíl komplexních čísel A1   30  j10  a A 2  50  40 .

Výsledek

1.2

Základní zákony elektrických obvodů v symbolickém tvaru

Okamžité hodnoty harmonického napětí a proudu v časovém okamžiku t vyjadřují vztahy: u  t   U m sin  t   u 

i  t   I m sin t   i 

(1.2.1)

kde

jsou amplitudy (maximální hodnoty) napětí a proudu U m , Im  je úhlový kmitočet  u , i jsou počáteční fáze napětí a proudu V symbolické metodě definujeme tzv. komplexní okamžitou hodnotu napětí (rotující fázor) vztahem u(t )  U m e 

j  t  u 

Imaginární část komplexní okamžité hodnoty napětí u(t) představuje okamžitou hodnotu napětí

(1.2.2)

8


u  t   Im u  t  .

(1.2.3)

V čase t = 0 je napětí u(t) dané komplexním číslem U m  U m e j u ,

(1.2.4)

které nazýváme komplexní maximální hodnotou, stručněji fázorem maximální hodnoty, často značeném také Uˆ m . V praxi se často počítá s komplexní efektivní hodnotou (fázorem efektivní hodnoty) U  Ue j u .

(1.2.5)

Vzájemné převody: Um  2  U ,

(1.2.6)

u  t   U m e j t .

(1.2.7)

První Kirchhoffův zákon můžeme vyjádřit symbolickým zápisem

I  0

(1.2.8)

a slovní formulací: Algebraický součet všech proudů v uzlu je roven nule. Při aplikaci I. K. z. fázory proudu, jejichž čítací šipky směřují z uzlu bereme jako kladná, při nesouhlasu jako záporná. Druhý Kirchhoffův zákon se týká napětí. Jeho symbolickým zápisem je vztah

U  0

(1.2.9)

a slovní formulace: Algebraický součet všech napětí v uzavřené smyčce je roven nule. Fázory napětí, jejichž čítací šipky souhlasí se zvoleným kladným smyslem oběhu, zapisujeme s kladným znaménkem, při nesouhlasu čítacích šipek se záporným znaménkem. Ohmův zákon v symbolickém tvaru U  ZI

(1.2.10)

vyjadřuje vztah mezi proudem a napětím na jednotlivých prvcích obvodu. Konstanta úměrnosti mezi proudem a napětím je impedance Z. Ohmův zákon můžeme také vyjádřit I  Y U .

(1.2.11)

V tomto vyjádření komplexní veličina Y se nazývá admitancí dvojpólu. Vzájemný vztah mezi impedancí a admitancí je Z

1 . Y

(1.2.12)

Vzorové příklady Příklad 1.2.1 Rozvodná síť má efektivní hodnotu napětí 230 V. Jaká je maximální hodnota tohoto napětí? Řešení U m  2  U  2  230  325,3 V . Příklad 1.2.2 Vyjádřete fázor U  50e  j15 V ve složkovém a verzorovém tvaru. Řešení Nejprve vypočteme reálnou a imaginární část fázoru U Re U  50  cos  15   48,3 V , Im U  50  sin  15   12,94 V .

Složkový a verzorový tvar fázoru je

U   48,3  j12,94  V  50  15  V .


9

Příklad 1.2.3 Střídavé harmonické napětí s amplitudou Um = 10 V a kmitočtem f = 120 Hz má počáteční fázi  u  0,305 rad  17, 45 . Zapište komplexní efektivní, maximální a okamžitou hodnotu tohoto napětí. Řešení Vyjdeme z obecného vztahu pro okamžitou hodnotu

u  t   U m sin  t   u  .

  2π f  2π 120  754 rad  s -1 .

Úhlový kmitočet

u  t   10  sin  754t  0,305  V .

Vypočtené hodnoty dosadíme do obecného vztahu pro okamžitou hodnotu U  U e j u 

Komplexní efektivní hodnota

10 2

e j0,305  7, 07e j0,305  7, 07e j 17,45 V .

U m  U m e j u  10 e j0,305  10 e j17,45 V .

Komplexní maximální hodnota

u(t )  10  e j(754t  0,305) V .

Komplexní okamžitá hodnota

Příklad 1.2.4 Jaká je efektivní hodnota výsledného proudu, který je tvořen dvěma proudy s maximálními hodnotami Im1 = 0,8 A, Im2 = 1,2 A a počátečními fázemi  i1  35,  i2   65 ? Řešení Proudy i1, i2 vyjádříme pomocí komplexních efektivních hodnot (fázorů) I1, I2 ve složkovém tvaru I1  I1  cos i1  jsin i1  

0,8

I 2  I 2  cos i2  jsin i2  

1, 2

2

 cos 35  jsin 35    0, 463  j0,324  A

2

,

 cos  65  jsin  65    0,358  j0, 769  A .

Fázor výsledného proudu I  I1  I 2  0, 463  j0,324  0,358  j0, 769   0,821  j0, 445  A I  0,8212  0, 4452  0,934 A .

a jeho efektivní hodnota Příklad 1.2.5 Jaký je proud i1, když proudy i2 a i3 jsou dány rovnicemi i2  2 10  sin  314t  30  A , i3 i2

i3  2  25  sin  314t  45  A .

i1

Řešení Aplikací I. K .z. dostaneme I1  I 2  I 3  0 . Z této rovnice proud I1  I 2  I 3  10 e j30  25e  j45  10 cos  30   j10sin  30   25cos (45)  j25sin (45)  8, 66  j5  17, 677  j17, 68  26,34  j12, 68  29, 23e  j25,7 A.

Počáteční fázi výsledného proudu přepočteme na radiány a proud i1 pak bude i1  I m1 sin  314t   i1   2  29, 23sin  314t  0, 4485  A .

10


Kontrolní příklady Příklad 1.2.6 Výsledek Napětí u(t) je vyjádřeno fázorem U m   40  j50  V . Jaká je maximální a efektivní hodnota tohoto napětí? Příklad 1.2.7 Vyjádřete fázor U  5e j15 V ve složkovém a verzorovém tvaru.

Výsledek

Příklad 1.2.8 Střídavý proud je dán fázorem I   5  j3,5  A . Jaká je jeho okamžitá hodnota v čase t = 0?

Výsledek

Příklad 1.2.9 Určete okamžité hodnoty střídavých napětí o kmitočtu f = 50 Hz, která jsou dána fázory

Výsledek

U1  100  j50  V; U 2   50  j100  V; U 3   60  j60  V.

Příklad 1.2.10 Jaké je výsledné napětí U  U1  U 2 , když je zadáno u1 (t )  18  e j 500t 15 V , U m2   40  j25  V .

Výsledek

Příklad 1.2.11 Výsledek Určete počáteční fázi  a amplitudu Im proudu, který vznikne součtem proudů i1  10  sin  314t  15  , i2  26  sin  314t  55  .

Příklad 1.2.12 Vyjádřete k danému proudu i  t   10  sin t  30  fázor ve všech tvarech.

Výsledek

Příklad 1.2.13 Výsledek Vypočtěte pomocí symbolické metody součet harmonických proudů, které jsou dány okamžitými hodnotami i1  t   10sin t  45  A , i2  t   15sin t  70  A . Příklad 1.2.14 Výsledek Vypočtěte pomocí symbolické metody rozdíl dvou harmonických napětí (stejného kmitočtu), která jsou dána okamžitými hodnotami u1  t   45sin t  25  V , u2  t   15sin t  40  V . Příklad 1.2.15 Výsledek Vypočtěte pomocí symbolické metody součet harmonických proudů (stejného kmitočtu), které jsou dány okamžitými hodnotami i1  t   10sin  t  15  A , i2  t   15sin  t  50  A , i3  t   6sin  t  20  A .

1.3

Prvky elektrických obvodů

Elektrické obvody představují kombinace ideálních obvodových prvků, jejichž impedance Z a admitance Y jsou: rezistor

ZR  R

YR  G

induktor

Z L  j L

YL 

kapacitor

ZC 

1 j C

1 j L

YC  jC

(1.3.1) (1.3.2) (1.3.3)

Sériové zapojení (obr. 1.3.1) se vyznačuje tím, že všemi prvky protéká stejný proud, přičemž celkové napětí se rozdělí na jednotlivé prvky v poměru jejich impedancí.


I

11

Z1

Z2

Zn

I

Z U

U Obr. 1.3.1 Celková impedance sériového zapojení je dána součtem impedancí jednotlivých prvků Z  Z1  Z 2  .........  Z n .

(1.3.4)

Paralelní zapojení (obr.1.3.2.) představuje takové uspořádání prvků elektrického obvodu, při kterém je na všech prvcích stejné napětí a celkový proud se rozdělí v poměru admitancí jednotlivých prvků. Toto zapojení můžeme nahradit jediným prvkem, jehož admitance je rovna součtu admitancí paralelně zapojených prvků Y  Y1  Y2  ......  Yn .

Y1

(1.3.5)

Yn

Y2

Y

Z1

Z2

Obr. 1.3.3

Obr. 1.3.2

V praxi je častým případem zapojení dvou paralelně zapojených prvků (obr. 1.3.3) s impedancemi Z1, Z2. Celková impedance tohoto zapojení je dána vztahem Z

Z1  Z 2 . Z1  Z 2

(1.3.6)

Reálné střídavé zdroje (alternátory, elektronické generátory atd.) modelujeme napěťovým zdrojem, znázorněným na obr. 1.3.4, nebo proudovým zdrojem dle obr. 1.3.5. Napěťový zdroj se skládá z ideálního napěťového zdroje s napětím rovným napětí naprázdno reálného zdroje

Zi

I

I

U U

Ui

U

Obr. 1.3.4

I

Ii

Yi

Obr. 1.3.5

U

Ui  U 0 (1.3.7) a sériově zapojené impedance Zi , která je určena podílem napětí naprázdno a proudu nakrátko U Zi  0 . (1.3.8) Ik Úbytek napětí na této impedanci Δ U  Zi I (1.3.9) vyjadřuje pokles napětí reálného zdroje při jeho zatížení proudem I . Proudový zdroj je sestaven z ideálního proudového

zdroje s proudem Ii  I k

(1.3.10)

a paralelně zapojené admitance Yi 

Ik . U0

(1.3.11)

Vzájemné vztahy mezi parametry napěťového a proudového zdroje jsou Yi 

1 a Ui  Zi I i , Zi

(1.3.12)

Z praktického hlediska má význam sériové zapojení napěťových zdrojů a paralelní zapojení proudových zdrojů. Sériové zapojení napěťových zdrojů (obr. 1.3.6) můžeme nahradit napěťovým zdrojem o napětí U  U1  U 2  ........  U n .

(1.3.13)

12


U

U

U

U

U1

U2

Un

U

Obr. 1.3.6

Paralelní zapojení proudových zdrojů, znázorněné na obr. 1.3.7, můžeme zaměnit za ekvivalentní proudový zdroj s proudem I  I1  I 2  .......  I n .

I

(1.3.14)

I1

I

I2

I

In

I

I

Obr. 1.3.7

Vzorové příklady Příklad 1.3.1 Určete impedanci sériového obvodu s R = 20  L = 31,8 mH, C = 53 F pro kmitočet f = 150 Hz. R L C

Řešení Z  R  j L 

1 1    20  j  2π150  31,8 103   20  j10  22, 426,5 . 6  j C 2π150  53 10  

Příklad 1.3.2 Vypočtěte admitanci Y paralelního zapojení rezistoru a kondenzátoru. R = 100  C = 20 F, f = 500 Hz. R

C

Řešení

Y

1 1  j C   j2π  500  20 106   0, 01  j0, 0628  S . R 100

Příklad 1.3.3 Vypočtěte celkovou impedanci obvodu při kmitočtu f = 250 Hz. R1 L R1  47 , R2  22 , C  20 μF, L  18 mH.

R2

C

Řešení Příklad budeme řešit postupným zjednodušováním. Z1  R1  j L  47  j2π  250 18 103   47  j28, 27  


13 Z1

1 R2 22 j C Z2     1 1  jCR2 1  j2π  250  20 106  22 . R2  j C R2 

Z2

 14,91  j10, 28  

Celková impedance Z je součtem impedancí Z1 a Z2: Z  Z1  Z 2  47  j28, 27  14,91  j10, 28  61,91  j17,99  64, 46e j16,34  .

Příklad 1.3.4 Zi

U

Jaké je vnitřní napětí napěťového zdroje s vnitřní impedancí Zi  1030  , který dodává do zátěže Z z  20026  proud I  0, 6  20A .

I

Ui

Zz

Řešení

Napětí Ui je dáno součtem napětí na impedancích Zi a Zz U i  I  Zi  I  Z z  0, 6  20 1030  0, 6  20  20026  1266,19 V.

Příklad 1.3.5 Určete parametry proudového zdroje ekvivalentního napěťovému zdroji s parametry

U i  100e j30 V ,

Zi  10e j50  . Řešení Ii 

U i 100e j30 1 1   10e  j20 A , Yi    0,1e  j50 S . j50 Zi 10e Z i 10e j50

Kontrolní příklady Příklad 1.3.6 Výsledek Vypočtěte impedanci Z reálné cívky s indukčností L = 159 mH a odporem R = 10  při kmitočtu f = 50 Hz. Příklad 1.3.7 Určete výslednou impedanci Z obvodu s parametry R1 L R2

C

Výsledek R1  R2  10 ,  L 

1  5 . C

14


Příklad 1.3.8 Určete výslednou schématu.

Výsledek impedanci Z obvodu podle

Z2 Z1

Z1  j20 ; Z 2  12  j3 ; Z3   j8 ; Z 4  18  j40  ;

Z3

Z5   20  j10  .

Z5

Z4

Příklad 1.3.9 Výsledek Vypočtěte výslednou admitanci dvou paralelně zapojených impedancí Z1   40  j35   a Z 2  24e  j10  . Příklad 1.3.10 Vypočtěte výslednou admitanci paralelně zapojených impedancí

Z1   40  j35   ,

Výsledek Z 2  24e  j10  ,

Z3   55  j100   , Z 4  12  j5   .

Příklad 1.3.11 Pro obvody na obrázcích a) až e) vypočtěte impedanci Z pro zadané kmitočty a) R  20 , L  1,5 mH R f  100 Hz, 1 kHz, 10 kHz L

b) R

R  20 , L  1,5 mH f  100 Hz, 1 kHz, 10 kHz

L

C1

c)

R  2 k, C1  20 nF, C2  4 nF

d)

R1

L

R1  10 , R2  50 k,

R2

e)

f  1 kHz, 10 kHz, 100 kHz

C2

R

C

L  180 μH, C  500 pF, f  400 kHz, 500 kHz, 600 kHz

C1 C1  C2  0,8 μF, L  1, 2 mH,

C2

L

f  3 kHz, 5 kHz, 10 kHz

Výsledek


15

Příklad 1.3.12 Pro obvody na obrázcích a) až d) vypočtěte admitanci Y na zadaných kmitočtech. a) R

Výsledek

R  100  C  1 μF

C

f  50 Hz, 500 Hz, 5 kHz

b)

R  100 , C  1 μF,

R c)

f  50 Hz, 500 Hz, 5 kHz

C

R1

R1  800 ,

R2

d)

R1

R2  200 , C  5 nF

f  10 kHz, 30 kHz, 100 kHz

C

C

R2

Příklad 1.3.13 Vypočítejte celkovou R1

impedanci

R2

L

R1  1 , R2  5 , L  180 μH, C  0,5 μF, f  400 kHz, 500 kHz, 600 kHz

a admitanci obvodu při R1  800 , R2  200 , C  5 nF .

kmitočtu

Výsledek f = 30 kHz.

C

Příklad 1.3.14 Vypočítejte celkovou impedanci obvodu při kmitočtu f = 250 Hz. R1  47 , R2  22 , C  20 μF, L=18 mH R1 L

R2

Výsledek

C

Příklad 1.3.15 Proudový zdroj s vnitřním proudem

I i  4, 2e j55 A

Výsledek má napětí naprázdno

U 0  38e  j12 V . Jaká je vnitřní admitance tohoto zdroje?

I

Ii

Yi

U0

Příklad 1.3.16 Výsledek Určete parametry napěťového zdroje, který je ekvivalentní proudovému zdroji s parametry I i  530 A , Yi  0,115 S

16


Příklad 1.3.17 Výsledek Modul impedance obvodu RL při kmitočtu f1 = 100 Hz je 12 . Jaký bude modul impedance tohoto obvodu při kmitočtu f2 = 400 Hz, je-li R = 9 ?

R

i(t)

L Příklad 1.3.18 Jaká je efektivní hodnota proudu i(t) v obvodu podle schématu?

R

 u(t )  46e  V; R  16 ; L  22 mH. j 350 t  55

U

u(t)

L

Příklad 1.3.19 V následujícím obvodu efektivní hodnota proudu i(t) je 12 A. Jaké jsou proudy odporem a indukčností, když R   L  10  .

Výsledek R i(t)

L

Příklad 1.3.20 Jaký je celkový proud I obvodem podle schématu, je-li proud I1  2 A a R  10 , 1 C  25  ?

Výsledek I1

R

I

C

1.4

Metoda postupného zjednodušování, metoda úměrných veličin

Základní poznatky Metoda postupného zjednodušování.

Principem metody je postupné zjednodušování obvodu pomocí náhrady sériového resp. paralelního spojení prvků jediným prvkem. Tímto postupem vznikne elementární obvod, na který je pak aplikován Ohmův zákon. Metoda úměrných veličin

Metoda úměrných veličin je použitelná pouze pro lineární obvody s jediným zdrojem napětí nebo proudu. Při použití této metody postupujeme tak, že ve vhodném místě v obvodu zvolíme velikost napětí nebo proudu některé větve a postupně určíme tomuto odhadu odpovídající „fiktivní“ napětí a proudy v celém obvodu. Vypočítáme tak i potřebnou velikost „fiktivního“ napětí resp. proudu napájecího zdroje. Skutečné velikosti všech obvodových veličin určíme tak, že jejich fiktivní hodnoty násobíme poměrem skutečné a fiktivní hodnoty zdroje.

Vzorové příklady Příklad 1.4.1 Vypočítejte celkový proud I v obvodu dle obr. 1.4.1.

Elektrotechnika 2 cvičení R1

I

U

17 C1

I

R2

U

C2

Obr. 1.4.1

U

Z1

I

Z2

U

U

Obr. 1.4.2

Z

U

Obr. 1.4.3

Řešení Nejprve vypočteme impedanci sériového zapojení rezistoru R1 a kapacitoru C1 Z1  R1 

1 jC1

Impedance paralelního zapojení rezistoru R2 a kapacitoru C2 1 R2 j C2 Z2   1 1  j R2 C2 R2  j C2 R2 

je zapojena do série s impedancí Z1 (obr. 1.4.2). Sečtením impedancí Z1 a Z2 dostaneme celkovou impedanci Z = Z1 + Z2. Celkový proud, odebíraný ze zdroje, určíme z elementárního obvodu na obr. 1.4.3. I

U . Z

I

Příklad 1.4.2 Vypočtěte proudy I, I R , I C a celkovou impedanci Z. U  100 V, f =500 Hz, . R  100 , C  20 μF.

IR U

IC

R

U

C

Řešení Dílčí proudy IR 

U 100   1 A, R 100

I C  U  jC  100  j0, 0628  j6, 28 A .

Celkový proud I  I R  I C  1  j6, 28  6,36  e j.80,95 A .

Celková impedance Z

U 100   15, 7  80,95 . I 6,3680,95

Příklad 1.4.3 Vypočítejte zjednodušováním obvodu impedanci Z. Určete proud I. f  50 Hz, U  220 V, R1  100 , R2  300 , L  1 H, C1  10 μF, C2  5 μF, C3  2 μF.

Řešení Výpočty impedancí jednotlivých větví

  2πf  314,16 s-1 ,

I

U

R1

C1

C2 C3 L

R2

18


Z1  R1 

1  100  j318,3  , jC1

Z 2  R2  j L 

1 1   300  j  314, 2.1  j  C2  5  0 6 314, 2 

   300  j322,5  440, 4  47, 07  , 

Z3 

1   j1592  , jC3

Z 23 

Z 2 Z3 440, 4  47, 07 1592  90    202, 4  j299,9   . Z 2  Z3 1937  81,1

Výpočet celkové impedance Z  Z1  Z 23  100  j 318,3  202, 4  j 299,9  302, 4  j 618, 2  688, 2  63,93  .

Celkový proud I

U 220   0,14  j 0, 287  0,319763,93 A . Z 688, 2  63,93

Příklad 1.4.4 Určete proud I 3 pomocí metody úměrných veličin I

R1

C1

U  10030 V, R1  27 , R2  30 , R3  20 ,

I3

1

1/ C1  25 , 1/ C2  18 ,  L  30 .

C2

I2

R3

U R2

L

2

Řešení Volíme proud I 3  1A . Potom odpovídající napětí a proudy jsou: UR3  R3  I 3  20 V ; I 2 

  U R3  UL   20  j30  V, U L  j L  I 3  j30 1  j30 V ; U12

 U12 20  j30   1, 03187, 27 A, R2  1/ jC2 30  j18

I1  I 2  I 3  0, 0582  j1, 0295  1  1, 0582  j1, 0295   1, 4744, 46A,

UR1C1  I1  R1  1/ jC1   1, 4744, 46  36,8  42,8  54,321, 41  (54,3  j1,336) V,   54,3  j1,336  20  j30  74,3  j31,34  80,5123,1V, U  U R1C1  U12

Skutečné napětí zdroje je U  10030   86, 6  j50  V .

Poměr k

U 10030   1, 2426,913. U 80, 63822,868


19

Proud I 3  k  I 3  1, 2426,91 1  1, 2426,91 A.

Kontrolní příklady Příklad 1.4.5 Určete proudy I, I1 , I 2 , napětí U1 , U 2 je-li dáno : U  10 V, f  50 Hz, I R  2 k, L  6,36 H, C1  1,59 μF, C2  3,18 μF. I1 U

U

Výsledek

I2 C1

U1

L

U2

R

C2 Příklad 1.4.6 I1

Výsledek Vypočítejte proudy I1, I2, I3 metodou zjednodušování a metodou úměrných veličin. U  30 V,  L1  25,5 ,  L2  100 ,

L1 L2

I2 U

R2  40 , 1/ C3  20 .

I3

U

C3 R2

Příklad 1.4.7 V daném obvodu vypočtěte velikost proudu, který dodává proudový zdroj. U 2  1035 V, f  1 kHz, R1  800 , R2  1,5 k, C1  0,1 μF, L  0,1 H.

Výsledek L I

I

R1

Příklad 1.4.8 Určete proud I. R1

I

1.5

U

R2

U2

Výsledek L1

U  10 V, f  20 kHz, R1  5 , R2  20 ,

L3

L1  0,1 mH, L2  2 mH, L3  0, 25 mH.

U

C

L2

R2

Věty o náhradních zdrojích

Část obvodu s konečným počtem aktivních a pasivních prvků (obr. 1.5.1) můžeme nahradit: - napěťovým zdrojem s napětím Ui a impedancí Zi (obr. 1.5.2) - proudovým zdrojem s proudem Ii a admitancí Yi (obr. 1.5.3)

20


Parametry těchto zdrojů můžeme určit pomocí Thèveninovy a Nortonovy věty. a a I I Část Zi obvodu Ii Z Z U U Ui

a Yi

I

U

Obr. 1.5.1

Obr. 1.5.2.

Z

b

b

b

U

Obr. 1.5.3

Thèveninova věta Vnitřní napětí Ui náhradního zdroje je rovno napětí naprázdno na svorkách a, b nahrazovaného elektrického obvodu U i  U ab0 .

(1.5.1)

Vnitřní impedance Zi náhradního zdroje je rovna impedanci mezi svorkami a, b nahrazovaného elektrického obvodu, ve kterém jsou ideální napěťové zdroje nahrazeny zkratem a ideální proudové zdroje jsou odpojeny. Zi  Z ab .

(1.5.2)

Nortonova věta Vnitřní proud Ii náhradního zdroje je roven proudu, který prochází spojem nakrátko mezi svorkami a, b I i  I abk .

(1.5.3)

Vnitřní admitance Yi náhradního zdroje je rovna admitanci mezi svorkami a, b nahrazovaného elektrického obvodu, ve kterém jsou zdroje elektrické energie vyřazeny z činnosti stejně jako při určení vnitřní impedance Yi  Yab .

(1.5.4)

Vzorové příklady Příklad 1.5.1 a

C

I2

R1 U

R2

U L

Vypočítejte proud I2 užitím Thèveninovy věty U  10 V, f  1591,5 Hz, C  1 μF, L  10 mH, R1  50 , R2  200  Řešení Nejprve vypočteme dílčí impedance ZC 

b

1   j100  , Z R1L  R1  j L   50  j100   . j C

Napětí náhradního zdroje určíme pomocí poznatků o napěťovém děliči U i  U ab0 

U 10  Z R1 L    50  j100   10  j20  V . Z C  Z R1 L  j100  50  j100

Vnitřní impedance náhradního zdroje je dána impedancí mezi svorkami a, b obvodu Zi  Z ab 

Z C  Z R1 L Z C  Z R1 L



 j100  (50  j100)   200  j100   .  j100  50  j100

Hledaný proud I2 

Ui 10  j20   0, 01765  j0, 05294  0, 05423 77, 47 A . Z i  R 2 200  j100  200


21

C

C

a

I2

R1 U

Zi

a R1

U

U

Ui L

Ui

R2

L

b

b

Příklad 1.5.2 Určete proud I4 v následujícím obvodu.

Z1 I4

U  200 V, Z1   40  j35  , Z3   55  j100  ,

U

Z 2  24e  j10 , Z 4  12  j5  .

U

Z3

Z2

Z4

Řešení Použijeme metodu náhradního proudového zdroje. Proud ekvivalentního proudového zdroje Ii 

U 200   3, 763e  j41,19 A . Z1 40  j35

Vnitřní admitance Yi 

1 1 1 1 1 1        0, 05942  j0, 01283 S. Z1 Z 2 Z 3 40  j35 24e  j10 55  j100

Z1 I4 U

U

Z2

Z3

Ii

I

Ii

Yi

Y4

Hledaný proud určíme pomocí poznatků o proudovém děliči 1 Y4 12  j5  3, 763e  j41,19 I 4  Ii Yi  Y4 0, 05942  j0, 01283 

1 12  j5

 2,111e  j45,79 A.

Kontrolní příklady Příklad 1.5.3 Určete efektivní hodnotu proudu I2.

R1

Výsledek

U

U

I2

R3

R2

C

R4

22

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně U  40 V, 1  C  60 , R1  200 , R2  160 ,

R3  120 , R4  80 .

Příklad 1.5.4 Vypočítejte proud I3 užitím Thèveninovy a Nortonovy věty. U  100 V, f  20 kHz, R1 L1 R2 R1  5 , R2  20 , I3 L1  0,1 mH, L2  2 mH, L3  0, 25 mH. U U L3 L2

Výsledek

Příklad 1.5.5 Vypočítejte parametry náhradního napěťového zdroje a proud I2 užitím Thèveninovy věty.

Výsledek

R1

R2

C1

L

I2 U

C2

U1

f  100 Hz,

U

U2

U1  45e j25 V, U 2   30  j10  V, 

R1  30 , R2  42 , C1  50 μF, C2  30 μF, L  0,15 H.

1.6

Metoda smyčkových proudů

Výchozí rovnice v metodě smyčkových proudů se sestavují pro proudy v nezávislých smyčkách. Rovnice pro p nezávislých smyček sestavujeme podle obecného algoritmu: -

Prvky Z11 , Z 22  Z pp v hlavní diagonále impedanční matice jsou tvořeny součtem impedancí ve smyčkách 1, 2 ... p. Pro tyto prvky se užívá název vlastní impedance smyček.

-

-

Prvky mimo hlavní diagonálu impedanční matice Zik , (i  k ) jsou impedance, které jsou společné pro i-tou a k-tou smyčku. Mají záporné znaménko za předpokladu, že příslušné smyčkové proudy protékající touto impedancí mají obrácenou orientaci. Nemají-li i-tá a k-tá smyčka společnou impedanci, pak prvek Zik =0 . Tyto prvky nazýváme vzájemné impedance smyček. Sloupcová matice na pravé straně rovnic je tvořena algebraickým součtem napětí napěťových zdrojů ve smyčkách 1, 2 ... p. Tato napětí uvažujeme jako kladná, když jejich čítací šipky jsou opačně orientované vzhledem ke kladnému smyslu smyčkových proudů a záporná, když jejich orientace je souhlasná s orientací smyčkových proudů.  Z11 Z  21     Z p1

Z12  Z1p   I s1    U z1    Z 22  Z 2p  I s2    U z2                  Z p2 Z pp  I sp    U zp 

(1.6.1)

Po vypočtení hodnot smyčkových proudů z rovnic, sestavených podle výše popsaného algoritmu, můžeme vypočítat napětí a proudy pro jednotlivé prvky analyzovaného obvodu. Poznámka: Pokud jsou v obvodu proudové zdroje, přepočteme je nejprve na ekvivalentní napěťové zdroje.

Vzorové příklady Příklad 1.6.1 Vypočítejte proud I1 metodou smyčkových proudů.


I1

R1

23

R2

C1

L

f  100 Hz, U1  45e j25 V, U 2   30  j10  V,

U

U1

C2

Is1

Is2

U

R1  30 , R2  42 ,

U2

C1  50 μF, C2  30 μF, L  0,15 H.

Řešení Nejprve vypočteme vlastní a vzájemné impedance smyček. Z11  R1 

1 1 1 1   30  j j   30  j84,88   , jC1 jC2 2π 100  50 106 2π 100  30 106

Z12  Z 21  

1  j53, 05  , jC2

Z 22  R2  j L 

1 1  42  j2π 100  0,15  j   42  j41, 2   , j C2 2π 100  30 106

Napětí U1 vyjádříme ve složkovém tvaru U1  45e j25  45  cos 25  jsin 25    40, 78  j19, 02  V.

Výchozí rovnice pro daný obvod jsou:  Z11 Z  21

Z12   I s1   U1   , Z 22  I s2    U 2 

j53, 05   I s1   40, 78  j19, 02  30  j84,88  .  j53, 05 42  j41, 2  I s2   30  j10  

Výpočet neznámého proudu provedeme pomocí determinantů (Cramerovým pravidlem) 

30  j84,88 j53, 05   7571  j2329  , j53, 05 42  j41, 2

1 

40, 78  j19, 02 j53, 05   398,9  j887,3 , 30  j10 42  j41, 2

I s1 

1 398,9  j887,3 972,8e j65,8    0,123e j82,9 A.  7571,3  j2329 7922e j17,1

Hledaný proud je

I1  I s1  0,123e j82,9 A.

Příklad 1.6.2 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy ve větvích obvodu. R1

U

U

L1

Is1

R2

L2

Is2

L3

24


U  100 V,

f  20 kHz, R1  5 , R2  20 , L1  0,1 mH, L2  2 mH, L3  0, 25 mH.

Řešení Rovnice smyčkových proudů můžeme zapsat přímo v maticovém tvaru  j L2  R1  j ( L1  L2 )   I s1   U  .    R2  j ( L2  L3 )  I s2   0   j L2 

Dosadíme zadané hodnoty a vypočteme determinanty  j251,33   I s1  10  5  j263,89   j251,33 20  j282, 74   I    0  ,    s2     j251,33   j251,33  10 5  j263,89 10  5  j263,89 , 2   ,  1     . 0  0 20  j282, 74    j251,33   j251,33 20  j282, 74 

Smyčkové proudy  200  j2827, 4 I s1  1    0, 09597  j0,19261  0, 2152  63,52A ,  11345  j6691,5 I s2 

2 j2513,3    0, 09693  j0,16435   0,1908  59, 47A .  11345  j6691,5

Proud zdroje: I z  I s1  0, 2152  63,52A Proud induktorem L2 a rezistorem R2 I L2  I s1  I s2  0, 000964  j0, 02826  0, 02828  91,95A , I R2  I s2  0,1908  59, 47A . Příklad 1.6.3 Obvod se vzájemně vázanými indukčnostmi podle obrázku řešte metodou smyčkových proudů. f  10 kHz , U  100 V, C  0,3 μF, R1  50 , R2  200 , R3  100 ,

R1 L2 Is2 U

U

Is1

L1

L1  2,5 mH, L2  1,8 mH, L3  1,8 mH, M 12  2 mH, M 23  1, 6 mH, M 13  2 mH.

Řešení Smyčkové rovnice:  R1  j L1    j M 12    j M 13 

 j M 12 j R2  j L2  C ( R2  j M 23 )

 j M 13

   I s1   U  ( R2  j M 23 )    I s2    0   I   0  R2  R3  j L3   s3   

Po dosazení zadaných hodnot:  j125, 66  j125, 66   I s1  10  50  j157, 08   j125, 66 200  j47, 478 200  j100,53  I s2    0  .    j125, 66 200  j100,53 300  j113, 097   I s3   0 

Řešením rovnic obdržíme smyčkové proudy: I s1  0, 05096  53, 72 A, I s2  0, 0258651,15 A, I s3  0, 01361134 A.

C

R2

L3 Is3

R3


25

Kontrolní příklady Příklad 1.6.4 Vypočítejte napětí U2 na výstupu obvodu pomocí metody smyčkových proudů. U1  1 V, f  100 Hz,

Výsledek R2

R1

R1  200 , R2  50 ,

U

C1  C2  50 μF, L  5 H.

U1

L

C1

C2

Příklad 1.6.5 Vypočtěte v uvedeném obvodu smyčkové proudy a proud I2. U  10030 V, R3 R1 C1 R2 U

Výsledek

R1  27 , R2  30 , R3  20 ,

I2

U Is1

U2

1/ C1  25 , 1/ C2  18 ,  L  30 .

L

Is2 C2

Příklad 1.6.6 Výsledek Metodou smyčkových proudů určete napětí na rezistoru R2. Řešte pro kmitočty f  100, 160, 250 Hz. U  100 V, R1 C1 R1  R2  10 kΩ, C1  C2  0,1 μF. U

R2

U

C2

Příklad 1.6.7 V daném obvodu určete proudy IC1, IC2, IR2. U  10 V, f  100 Hz R1  200 , R2  50 ,

L

R1 IC1 U

U

Výsledek

C1

IC2 C2

IR2

L  1 H, C1  50 μF, C2  20 μF.

R2

Příklad 1.6.8 Určete proudy I1, I2, I3.

Výsledek U1  100 V, U 2  100e Z1  Z 2   50  j30  ,

 j30

V,

Z3  100  .

I1

I2

Z1

I3

Z2 Z3

U

U1

U

U2

26

1.7


Metoda uzlových napětí

Metoda pracuje s uzlovými napětími, pro které se sestavují rovnice pomocí I. K. z. Uzlová napětí jsou definována jako napětí mezi nezávislými uzly a uzlem referenčním. Výchozí rovnice pro n nezávislých uzlů můžeme sestavit pomocí obecného algoritmu: -

Prvky v hlavní diagonále admitanční matice Y11 , Y22  Ynn se určí jako součty všech admitancí připojených do uzlů 1, 2 ... n.

-

Prvky mimo hlavní diagonálu admitanční matice Yik , (i  k ) jsou admitance, které přímo propojují i-tý a k-tý uzel. Mají záporné znaménko za předpokladu, že všechna uzlová napětí jsou stejně orientovaná k referenčnímu uzlu. Chybí-li přímé propojení i-tého a k-tého uzlu, pak admitance Yik  0 .

-

Sloupcová matice na pravé straně rovnic je tvořena algebraickým součtem proudů proudových zdrojů v uzlech 1, 2 ... n. Tyto proudy mají kladné znaménko, když do příslušného uzlu vstupují a záporné, když z uzlu vystupují.  Y11 Y  21     Yn1

Y12  Y1n   U10    I z1    Y22  Y2n   U 20    I z2                   Yn2 Ynn   U n0    I zn 

(1.7.1)

Řešením rovnic můžeme určit uzlová napětí a následně i napětí a proudy všech prvků obvodu. Poznámka: Pokud jsou v obvodu napěťové zdroje, přepočteme je nejprve na ekvivalentní proudové zdroje.

Vzorové příklady Příklad 1.7.1 Metodou uzlových napětí vypočtěte proud I1, I2, I3 v daném obvodu 1

I3

Y3

2

I1 Iz1

I

U10

I z1  2, 2e j15 A, I z2   4  j1,5  A,

I2

Y1

U20

Y2

I

Iz2

Y1  0,15 S, Y2  j0,3 S, Y3   0, 2  j0,1 S.

0

Řešení Rovnice pro uzlová napětí jsou  Y1  Y3  Y 3 

Y3   U10   I z1  .   Y2  Y3   U 20  I z2 

Dosadíme zadané hodnoty a provedeme dílčí úpravy  0,35  j0,1  0, 2  j0,1 

0, 2  j0,1  U10   2, 2e j15    . 0, 2  j0, 2   U 20   4  j1,5 

Řešením těchto rovnic dostaneme uzlová napětí U10  9, 01  65,8 V, U 20  18, 6  86,9 V ,

a hledané proudy I1  U10 Y1  1,35  65,8 A, I 2  U 20 Y2  5,583,11 A, I 3  (U10  U 20 )Y3  2,3948,9 A.


27 R1

Příklad 1.7.2 Pomocí metody uzlových napětí vypočtěte napětí U2. U1  10 V,

f  100 Hz,

U

C1  C2  50 μF,

U

L

C1

C2

R2

U2

R1  200 , R2  50 , L  5 H.

Řešení Napěťový zdroj zaměníme za U1 I  0, 05 A a zvolíme uzlová napětí. R1

L

1

2

proudový I

I

C1

R1

C2 R2

U2

U20

U10 0

Výchozí rovnice MUN 1  G1  jC1  j L   1    j L 

  U I    10     . 1   U 20   0  G2  jC2  j L  

1 j L1

Výpočet determinantů 5 103  j3,1098 102  j3,183 104 , D 4 2 2  j3,183 10 2 10  j3,1098 10   5 103  j3,1098 102 0, 05 D2   . j3,183 104 0  

Výpočet napětí U2 U 2  U 20 

D2  1,367 102 132 V. D

Kontrolní příklady Příklad 1.7.3 V daném obvodu určete efektivní hodnotu proudu I2 I2 R R 1

U

2

R3

U

C

Výsledek

U  40 V, 1  C  60 , R1  200 , R2  160 , R3  120 , R4  80 .

R4

Příklad 1.7.4 Užitím metody uzlových napětí vypočtěte napětí U2. R1

C1

U1  10 V,

Výsledek f  500 Hz,

R1  1 k, R2  2 k, C1  0,1 μF, C2  0, 2 μF.

U

U

C2

R2

U2

28


Příklad 1.7.5 V daném obvodu vypočtěte napětí U2. I  20 mA, f  1000 Hz, R1  R2  1 k, C1  0,1 μF, L  0,1 H.

Výsledek L I

I

R1

C

Příklad 1.7.6 V uvedeném obvodu určete metodou uzlových napětí proud IC. R1

L1

R2

Výsledek

L2 U   26,5  j58,5  V, 1  C  2 ,

IC L3

C

U

R3

R1  1  , R2  2,5 , R3  2 ,

 L1  1 ,  L2   L3  5 

Příklad 1.7.7 Určete proud I3.

Výsledek

I3 Z1

U1  100 V, U 2  100e  j30 V,

Z2

Z1  Z 2   50  j30  ,

Z3 U

U1

U2

R2

U

Z3  100  .

U2

Příklad 1.7.8 Určete napětí U4.

Výsledek U1  200 V, U 2   100  j173, 2  V, U 3   100  j173, 2  V,

Z1

Z2

Z1   40  j35  , Z 2  24e  j10 ,

Z3 U4

Z4 U

U1

U

U

U2

Z3   55  j100  , Z 4  12  j5   .

U3

Příklad 1.7.9 Určete proudy I1, I2, I3. R1

Výsledek

L1 I1

U

U

U  10 V, f  20 kHz, R1  5 , R2  20 ,

L3 I2

I3 L2

L1  0,1 mH, L2  2 mH, L3  0, 25 mH.

R2


29

Příklad 1.7.10 V daném obvodu určete napětí U2. R1

Výsledek U  10 V, f  100 Hz R1  200 , R2  50 ,

L

L  1 H, C1  C2  50 μF, C3  2,5 μF.

C2 U

1.8

R2

U

U2

C3

C1

Výkony a výkonové přizpůsobení

U pasivního dvojpólu s impedancí Z  Z   je napětí vůči proudu posunuto o úhel : i (t )  2 I sin  t ,

u (t )  2 U sin( t   )

(1.8.1)

Pro klasifikaci energetických poměrů definujeme: Okamžitý výkon jako součin okamžitých hodnot napětí a proudu: p (t )  u (t ) i (t ) .

(1.8.2)

Činný výkon charakterizuje nevratnou proměnu energie na užitečnou práci a teplo P  U I cos  .

(1.8.3)

Jednotkou činného výkonu je Watt (W) Zdánlivý výkon definovaný jako součin efektivní hodnoty napětí a proudu S U I

(1.8.4)

je mírou výkonové zatížitelnosti střídavých zařízení. Jeho jednotkou je voltampér (VA) Pro vyjádření vratné proměny energie zdroje na vytvoření elektrického Im a magnetického pole používáme tzv. jalový výkon S

jQ

 0

Re

P

Obr. 1.8.1

U Obr. 1.8.2.

(1.8.5)

S  UI  P  jQ  S  e j 1.8.6) jehož reálnou složkou je činný výkon a imaginární složkou výkon jalový (obr. 1.8.1).

Maximální činný výkon na impedanci

Zi

U

Q  U I sin  Jeho jednotkou je voltampér reaktanční (VAr). Pomocí fázorů napětí a proudu definujeme komplexní výkon

Z  R  jX ,

Z

(1.8.7)

která zatěžuje zdroj s vnitřní impedancí Zi  Ri  jX i

(1.8.8)

dosáhneme při výkonovém přizpůsobení Z  Zi

(1.8.9)

Vzorové příklady Příklad 1.8.1 Určete činné a jalové výkony v dvojpólech s impedancemi Z1 , Z 2 .

I

Z1

Z2

U1

U2

I  9, 4531 A, U1  96,5  47, 4 V, U 2  47, 2584,1 V.

30


Řešení Určíme komplexní výkony v jednotlivých dvojpólech: S1  U1I   96,5  47, 4  9, 45  31  183, 4  j 893,3  911,9  78, 4 VA, S 2  U 2 I   47, 2584,1  9, 45  31  268,1  j 357,1  446,553,1 VA.

Činné výkony jsou reálnou složkou komplexních výkonů P1  Re S1  183, 4 W, P2  Re S 2   268,1 W.

Jalové výkony jsou imaginární složkou komplexních výkonů Q1  Im S1   893,3 VAr, Q2  Im S 2   357,1 VAr.

Zdánlivé výkony představují absolutní hodnoty komplexních výkonů S1  S1  911,9 VA, S 2  S 2  446,5 VA.

Příklad 1.8.2 Vypočítejte impedanci Z tak, aby výkon jí dodaný byl maximální, vypočtěte jeho velikost. R = 10 , 1/C = 30 , U = 100 V.

R U

U

a Z

ZC b

Řešení Parametry náhradního zdroje

Zi

U 1 100 Ui     j30   90  j30   R  1 / jC  jC 10  j30   95  1825 V, 1 / jCR  j30 10 Zi  R   10   19  j3 . 10  j30   R  1 / j C 

R

U

a

Ui

Z b

Maximální výkon bude při Z  Zi  19  j3  . Velikost maximálního výkonu Pmax 

U i2 952   118 W. 4  Re Z 4 19

Kontrolní příklady Příklad 1.8.3 U I Z

Pasivním

dvojpólem

protéká

proud

I   5  j3 A

a

vytváří

na

Výsledek něm napětí

U   80  j60  V . Určete impedanci Z, činný výkon P, jalový výkon Q, zdánlivý výkon

S a komplexní výkon S.

Příklad 1.8.4 Určete činné a jalové výkony na jednotlivých impedancích v následujícím U  1200 V, Z1  10  j6  , schématu. Z 2   24  j7  , Z 3  15  j20  .

Výsledek Z1 U

U

Příklad 1.8.5 Určete komplexní, činné a jalové výkony jednotlivých dvojpólů s impedancemi Z1 , Z 2 , Z3 . I

Z1 U1

Z2 U2

Z2

Z3

Výsledek

Z3

I  9, 4531 A, U1  96,5  4740' V,

U3

U 2  47, 258410' V, U 3  47, 2531 V.


31

Příklad 1.8.6 Výsledek V obvodu s impedancemi Z1   20  j10  , Z 2  29,155e j59 , určete impedanci Z3 tak, aby byl na ní maximální výkon? Z1 U

U

Z3

Z2

Příklad 1.8.7 Určete výkony na elementárních dvojpólech tohoto obvodu. L

R1

U  1100 V,

U

1.9

Výsledek

C

R3

R2

f  50 Hz,

R1  2 , R2  3 , R3  5 , C  318 μF, L  12,75 mH.

Rezonance, přenos v elektrických obvodech

Rezonance v sériovém obvodu RLC R

I

UR

U

Impedance sériového obvodu RLC je 1 1 Z( j )  R  j L   R  j( L  ) C jC

L UL

Při  L  1  C má impedance obvodu čistě odporový charakter a nejmenší možnou velikost ZR. (1.9.2)

C

UC

(1.9.1)

Obr. 1.9.1. Tento stav obvodu se nazývá rezonance. Rezonanční kmitočet vypočteme z Thomsonova vzorce

r 

1 LC

resp.

fr 

1

(1.9.3)

2π LC

Napěťové poměry ve stavu rezonance jsou zřejmé z fázorového diagramu na obr. 1.9.2. Celkové napětí na obvodu je rovno napětí na rezistoru a je ve fázi s proudem.

Im

U  U R  R I.

UL UR

Napětí na induktoru resp. kapacitoru jsou podstatně větší než je napětí zdroje. Zvětšení závisí na činiteli kvality sériového rezonančního obvodu

Ir

0

(1.9.4)

Re

Qs 

UC Obr. 1.9.2.

B  f 2  f1 

U L U C r L 1    . U U R r CR

(1.9.5)

Význačnou vlastností obvodu je šířka kmitočtového pásma, která je dána rozdílem kmitočtů daných poklesem proudu na hodnotu I r 2 fr . Q

Při kmitočtech f1 a f2 argument impedance obvodu nabývá hodnot 450 .

Rezonance v paralelním obvodu RLC

(1.9.6)

32

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Admitance paralelního obvodu IR

IC C

Y  G  j(C 

IL

R

1 ) L

(1.9.7)

má minimum

L

YG

(1.9.8) při rezonančním kmitočtu Obr. 1.9.3 fr 

1 2π L C

.

(1.9.9)

Proudy IL, IC jsou QP-krát větší než celkový proud, přičemž činitel kvality paralelního obvodu je definován Qp 

R  Rr C . r L

(1.9.10)

Šířka kmitočtového pásma pro pokles napětí na hodnotu U r B

2 je dána vztahem

fr . Q

(1.9.11)

Přenosové funkce

Přenosové funkce popisují vzájemné závislosti mezi veličinami na vstupu a výstupu obvodu. Nejčastěji užívaný je přenos napětí KU 

U2 . U1

(1.9.12)

Přenosové funkce jsou komplexní veličiny obvykle závislé na kmitočtu. K U   

U 2   U1  

 K U    e j   

(1.9.13)

Kmitočet ovlivňuje jak velikost modulu, tak i argument obvodové funkce. Jejich kmitočtové závislosti graficky znázorňují modulová a argumentová charakteristika.

Vzorové příklady Příklad 1.9.1 Na sériový rezonanční obvod RLC s parametry prvků R = 5 , L = 100 H, C = 400 pF je připojeno napětí U = 1 V. Stanovte rezonanční kmitočet fr, rezonanční proud Ir, činitel jakosti QS a napětí na kapacitoru UC. Řešení Rezonanční kmitočet zjistíme pomocí Thomsonova vzorce fr 

1 2π LC



1 4

2π 1 10  4 10 10

 795,8 kHz.

Činitel kvality rezonančního obvodu Qs 

r L R



2 π 795,8 103 100 106  100 . 5

Při rezonanci je impedance obvodu Z  R , a proto obvodem protéká proud

Ir 

U 1   0, 2 A. R 5


33

Modul napětí na kapacitoru je U C  Qs  U  100 1  100 V. Příklad 1.9.2 Pro obvod na obrázku určete všechny kmitočty, při nichž nastává rezonance. C1 Řešení Nejprve určíme impedanci obvodu

C2

L

 2 LC1  1   2 LC2  1 1 1 j L Z    j jC1 jC  1 jC1 1   2 LC2 C1 1   2 LC2  2 j L Z podmínky pro sériovou rezonanci Im Z  0 ,  2 LC1  1   2 LC2   0 , 1

určíme rezonanční kmitočet sériové rezonance rs 

L  C1  C2 

.

C1 1   2 LC2  1 . Paralelní rezonance nastává při splnění podmínky Im Y  0 , Y    j 2 Z  LC1  1   2 LC2  Tato podmínka je splněna pro kmitočet, při kterém platí

C1 1   2 LC2   0 . Rezonanční kmitočet paralelní rezonance je rp 

1 LC2

.

Příklad 1.9.3 Vypočítejte napětí UL a přenos napětí KU obvodu RL. U1  10 V ; R  2 103  ; L  1 mH ;   5 104 s 1

R L

U1

UL

Řešení Z L  j L  j5 104 1 103  j50  KU 

UL j L j50     6, 246  j249,84  104 U1 R  j L 2000  j50

U L  U1  K U  10   6, 246  j249,84  104   6, 246  j249,84  103  0, 249988,57 V .

Příklad 1.9.4 Vypočítejte obecně koeficient přenosu KU v obvodu RLC. Řešení U1

1  U1  I , UC  , 2 1 j C 1   LC  j RC R  j L  j C UC 1  . KU  2 U1 1   LC  j RC I

I U1

R

L

C

UC

34


Kontrolní příklady Příklad 1.9.5 Výsledek Sériový rezonanční obvod RLC je připojen na zdroj o napětí U = 1 V Určete rezonanční kmitočet fr, činitel jakosti Q, proud Ir, výkon v obvodu Pr, moduly napětí na cívce ULr a kondenzátoru UCr při rezonanci. Parametry obvodu jsou R = 10 , L = 100 μH, C = 100 pF . Příklad 1.9.6 Výsledek Paralelní rezonanční obvod se skládá z kapacitoru C = 139 pF, cívky s indukčností L = 20 H a sériovým ztrátovým odporem R = 5 . Obvod je připojen na zdroj s napětím U1 = 10 V a vnitřním odporem Ri = 100 k Vypočítejte rezonanční kmitočet fr, činitele jakosti R Ri Q, proud odebíraný obvodem a napětí na rezonančním obvodu při rezonanci. C U

L

U

Výsledek Příklad 1.9.7 Paralelní rezonanční obvod je složen z induktoru L = 0,4 mH, rezistoru R = 20  a kapacitoru C, je napájen zdrojem o kmitočtu f = 600 kHz. Určete hodnotu kapacity C tak, aby nastala rezonance. Určete činitel jakosti a impedanci obvodu při rezonanci. R C L

Příklad 1.9.8 Určete impedanci a všechny rezonanční kmitočty reaktančního dvojpólu, je-li L1 = 10 mH, L2 = 1 mH,

C1 C2

Výsledek V obvodu RC vypočtěte přenos napětí KU a hodnotu výstupního napětí, je-li kmitočet vstupního harmonického napětí f = 250 Hz.

R

u1(t)

L1

L2

C1 = 1 μF, C2 = 5 μF.

Příklad 1.9.9

Výsledek

C

u2(t)

u1  t   U1m  sin t   14,1  sin t  , R  1 k, C  2 μF.

Shrnutí Symbolická metoda se využívá pro analýzu střídavých obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Využití impedancí a fázorů pro řešení střídavých obvodů interpretovaných komplexními čísly a operacemi v oboru komplexních čísel představuje velmi efektivní nástroj pro analýzu těchto obvodů. Jejich pomocí lze plně využít pro analýzu střídavých obvodů metody řešení stejnosměrných obvodů. Kapitola ukazuje možnosti aplikace uvedených metod na konkrétních obvodech, zdůrazňuje důležitost fázorů a ukazuje rozdíl mezi analýzou stejnosměrného a harmonického ustáleného stavu.


2

35

TROJFÁZOVÉ OBVODY

Cíl kapitoly Trojfázové obvody mají velkou důležitost v silnoproudé elektrotechnice. Cílem kapitoly je ukázat na některé problémy při jejich praktickém použití: vliv souměrnosti zdroje a spotřebiče, vliv impedance středního vodiče, zkrat nebo rozpojení fázového vodiče atd. Velký důraz je dán na problematiku výpočtů výkonů v trojfázových obvodech.

2.1

Analýza trojfázových obvodů

Trojfázové spotřebiče můžeme zapojit do hvězdy (symbol Y) nebo do trojúhelníku (symbol  nebo D). Při zapojení do hvězdy jsou na jednotlivých impedancích spotřebiče napětí fázová, při zapojení do trojúhelníku jsou na jednotlivých impedancích spotřebiče napětí sdružená. Když jsou impedance jednotlivých fází stejné, představuje spotřebič souměrnou zátěž trojfázového zdroje, při nestejných impedancích se jedná o zátěž nesouměrnou. V trojfázových sítích bývají zdroje zpravidla souměrné. Nesouměrnou bývá zátěž zvláště v sítích nízkého napětí s jednofázovými spotřebiči. K výrazným nesouměrnostem dochází při zkratu či přerušení některého vodiče. Pro analýzu trojfázových obvodů lze použít všech metod řešení střídavých obvodů, zejména metodu uzlových napětí a metodu smyčkových proudů. Analýza obvodů se souměrnými zdroji a spotřebiči se může provést tak, že - provedeme zjištění neznámé veličiny v jedné fázi, - neznámé veličiny v dalších fázích získáme pootočením o ±120o. Trojfázová souměrná soustava má - stejné moduly napětí jednotlivých fází U1 = U2 = U3 - napětí jsou navzájem otočeny o 120° Popis pomocí okamžitých hodnot: u10 (t )  U m sin  t  , u20 (t )  U m sin ( t  120) , u30 (t )  U m sin ( t  120) .

(2.1.1)

Popis pomocí fázorů U10 , U 20  U10 e  j120 , U 30  U10 e  j240  U10 e j120 ,

(2.1.2)

kde U10 je vztažný fázor (obvykle s nulovou počáteční fází). Zavedeme operátor natočení j2 π

a  e j120  e 3 , a 2  e2 j120  e j240  e  j120  e

2 j π 3

,

(2.1.3)

napětí jednotlivých fází pak můžeme vyjádřit U10 , U 20  a 2 U10 , U 30  aU10 .

(2.1.4)

Fázová napětí U10, U20, U30 jsou napětí mezi fázovými vodiči a středním (nulovým) vodičem. Sdružená napětí U12, U23, U31 definujeme jako napětí mezi fázovými vodiči a platí pro ně: U12  U10  U 20 , U 23  U 20  U 30 , U 31  U 30  U10 .

(2.1.5)

Pro modul sdruženého napětí platí Us  3 Uf .

(2.1.6)

Pro označení jednotlivých fází kromě číslic 1, 2, 3 se ještě používají písmena U, V, W, stejně jako při značení svorek trojfázových spotřebičů.

Výkony na trojfázovém spotřebiči Celkový výkon je součtem výkonů jednotlivých fází. Okamžitý výkon p  t   p1  t   p2  t   p3  t   u1i1  u2 i2  u3i3 .

(2.1.7)

36


Komplexní výkon S  U1I1*  U 2 I*2  U 3 I*3 .

(2.1.8)

Činný výkon P  Re S  U1 I1 cos 1  U 2 I 2 cos  2  U 3 I 3 cos 3 .

(2.1.9)

Jalový výkon Q  Im S  U1 I1 sin 1  U 2 I 2 sin  2  U 3 I 3 sin 3 .

(2.1.10)

Zdánlivý výkon S  S  P2  Q2 .

(2.1.11)

V případě souměrného spotřebiče při napájení ze souměrného zdroje platí U1  U 2  U 3  U , I1  I 2  I 3  I , 1   2  3  

(2.1.12)

a jednotlivé výkony S  3  UI* , P  3  UI cos  , Q  3  UI sin  , S  3  UI .

2.2

(2.1.13)

Vzorové příklady

Příklad 2.2.1 Tři impedance Z   30  j40   jsou připojeny na souměrný zdroj s fázovým napětím U f  230 V s přímým sledem fází. Při řešení příkladu předpokládejte nulové hodnoty vnitřních impedancí zdroje a impedancí vodičů, propojujících zdroj a spotřebič. Určete proudy obvodu a výkony při zapojení impedancí: a) do hvězdy b) do trojúhelníka. Řešení a) zapojení do hvězdy Zvolíme nulovou počáteční fázi u napětí U10. Napětí zdroje pak budou U10  2300 V, U 20  230  120 V,

U

U

U10

U

Z

I1

I2

I3

Z

Z

U 30  230120 V. U30 U20 Při souměrné zátěži napětí mezi uzlem zdroje a spotřebiče je nulové a proto střední vodič může být vynechán (naznačeno čárkovaně). V případě souměrné soustavy stačí určit jeden proud a zbývající posunout o 120 . I1 

U10 2300   4, 6  53,13 A, 30  j40 Z

Komplexní výkon

I 2  4, 6  173,1 A, I 3  4, 666,87 A.

S  3 U10 I1*  230  4, 653,13  317453,13  (1904  j2539) VA.

Činný výkon

P  Re S  1904 W.

Jalový výkon

Q  Im S  2539 VAr.

Zdánlivý výkon

S  S  3174 VA.

b) zapojení do trojúhelníka Soustava je souměrná a proto jako v předešlém případě stačí určit jednu veličinu a zbylé pootočit o 120. Na impedancích spotřebiče jsou sdružená napětí, která jsou oproti fázovým o 30º

3 krát větší a fázově posunuta


37

U12  U10  U 20  2300  230  120  398, 430 V, U 23  398, 4  90 V, U 31  398, 4150 V. Proudy v impedancích spotřebiče I12 

U12 398, 430   7,967  23,13 A, I 23  7,967  143,13 A, I 31  7,96796,87 A. 30  j40 Z

Komplexní výkon spotřebiče: * S  3 U12 I12  3  398, 430  7,96723,13  952253,13  (5713, 2  j7617, 6) VA

Z I.K.z pro jednotlivé uzly určíme proudy ve vedení I1  I 31  I12  0



I1  I12  I 31  13,8   53,13 A,

I 2  I12  I 23  0



I 2  I 23  I12  13,8   173,13A,

I 3  I 23  I 31  0



I 3  I 31  I 23  13,866,87A.

I1 U

U10

I12 U12

U31

Z I31 U

Z Z

U U30 U20

I2

U23

I23

I3

Poznámka: z výsledku je patrné, že výkon spotřebiče a proudy vodičů sítě při zapojení zátěže do trojúhelníka jsou oproti zapojení do hvězdy trojnásobné. Příklad 2.2.2 Obvod z příkladu 2.2.1 řešte pro případy: a) vodič první fáze je přerušen b) první fáze spotřebiče má zkrat Řešení a) přerušení prvního fázového vodiče. V tomto případě mezi uzly 0  0 se objeví napětí UN, které určíme pomocí metody uzlových napětí:

U

U10 UN

0 U

Z

U U30 U20

U 20 U 30  Z  U 20  U 30  230  120  230120  115180 V. UN  Z 1 1 2 2  Z Z

Napětí na impedancích spotřebiče U 2  U 20  U N  230  120  115180  199, 2   90 V, U 3  U 30  U N  230120  115180  199, 2  90 V.

Proudy v impedancích spotřebiče: I1  0, I 2 

U U2  3,984   143,1 A, I 3  3  3,984  36,87 A. Z Z

I1 0´ I2

I3

Z

Z

38


Výkon na spotřebiči S  U 2 I*2  U 3 I*3  1587 53,13  (952,3  j1270) VA.

b) první fáze spotřebiče zkratována U N  U1  230  0 V. Napětí na impedancích spotřebiče jsou U 2  U 20  U N  398, 4   150 V,

U

I1

U10 UN

0

U 3  U 30  U N  398, 4 150 V.

U

Pomocí Ohmova zákona určíme proudy

0´ I3

U

I2

Z

U30 U20

U2  7,968 156,9 A, Z U I 3  3  7,968  96,87 A. Z

Z

I2 

Aplikací I. Kirchhoffova zákona určíme proud I1   (I 2  I 3 )  13,86  53,12 A. Výkon na spotřebiči S  U 2 I*2  U 3 I*3  3809  j5079  6349 53,13 VA.

Z výsledku je patrné, že na druhé a třetí fázi spotřebiče se objeví sdružená napětí. Příklad 2.2.3 Určete napětí na impedancích Z1  100 0 , Z 2  64 38,8 , Z3  6018, 4 v závislosti na impedanci středního vodiče. Uvažujte varianty a) Z N   b) Z N  5 0 c) Z N  0

I1 U

U

U10

U

U1

UN ZN

IN I3

Z1

Z3

U30 U20

Z2 U3 U2

I2

Napětí zdroje jsou U10  230  0 V, U 20  230   120 V, U 30  230 120 V. Řešení Pro výpočty použijeme vztahy U10 U 20 U 30   Z1 Z2 Z3 , UN  1 1 1 1    Z1 Z 2 Z3 Z N

U1  U10  U N ,

U 2  U 20  U N ,

U 3  U 30  U N

a) Zapojení bez středního vodiče Z N   U N  74,81148, 2 V, U1  296, 2   7, 6 V, U 2  244,1   102, 2 V, U 3  167,8 107,8 V.

Je zřejmé, že bez středního vodiče napětí na jednotlivých impedancích zátěže jsou značně rozdílná od napětí na jednotlivých fázích zdroje. b) Z N  5 00  U N  12,82 130, 2 , U1  238,5   2, 4 V, U 2  234, 7   117,1 V, U 3  217, 4 119, 4 V.


39

Střední vodič přispěl k rovnoměrnějšímu rozložení napětí na spotřebičích. c) Z N  0 U N  0, U1  230  0 V, U 2  230   120 V, U 3  230 120 V. Při nulové hodnotě impedance ZN jsou napětí zdrojů a napětí na impedancích spotřebiče totožné a výpočet je jednodušší. V tomto případě napětí na impedancích je rozloženo symetricky. Příklad 2.2.4 Souměrný trojfázový zdroj zapojený do hvězdy s fázovým napětím Uf =100 V napájí spotřebič zapojený do trojúhelníku. Určete napětí, proudy, výkony na trojúhelníku a proudy v napájecích vodičích. Z12  54, 2  79,3 Z 23  72,8 15,9 Z31  72,8 15,9

I1 U

U10

I12

I31 U

U U30 U20

Řešení Napětí zdroje jsou: U10  100  0 V,

U12

U31

I2

Z31 Z12 Z23 U23

I23

I3

U 20  100   120 V  50  j86, 602 V, U 30  100 120 V  50  j86, 602 V. Napětí na impedancích: U12  U10  U 20  173, 2  30 V, U 23  U 20  U 30  173, 2   90 V, U 31  U 30  U10  173, 2 150 V.

Proudy zátěžemi jsou: I12 

U U12  3,196   49,3 A, I 23  23  2,379   105,9 A, Z12 Z 23

I 31 

U 31  2,379 134,1 A. Z31

Výkony: S12  101,9  j543, 4  553, 6  79,3 VA, S 23  396,1  j113, 6  412, 4 15,9 VA, S31  396,1  j113, 6  412, 0 15,9 VA.

Na závěr ještě určíme proudy napájecími vodiči: I1  I12  I 31  0  I1  I 31  I12  5,568   47,92 A, I 2  I 23  I12  0  I 2  I12  I 23  2, 737 177, 2 A, I 3  I 31  I 23  0  I 3  I 23  I 31  4,118 104 A.

2.3

Kontrolní příklady

Příklad 2.3.1 Výsledek K souměrnému zdroji U10  230  0 V, U 20  230   120 V, U 30  230 120 V zapojenému do hvězdy bez středního vodiče je připojena nesouměrná zátěž zapojená do hvězdy s impedancemi: Z1  12  j16  , Z 2  12  j16  , Z3  12  j16   . Uvažujte přímý sled fází. Určete napětí na impedancích spotřebiče pro:

40

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně a) normální stav, b) přerušení druhé fáze, c) nahrazení spotřebiče o impedanci Z1 zkratem.

Příklad 2.3.2 Výsledek Souměrný trojfázový zdroj bez středního vodiče napájí spotřebič zapojený do hvězdy o impedancích Z1  Z 2  10  j20   , Z3  30  . Zdroj má fázové napětí U f  100 V a přímý sled fází. Vypočítejte výkony spotřebičů v jednotlivých fázích. Příklad 2.3.3 Pro daný obvod určete proudy I1, I2, I3. Fázové napětí souměrného zdroje s přímým sledem fází je Uf = 100 V. Impedance zátěže jsou: Z C   j10 Ω, Z L  j10  .

Výsledek

U

U10

I1 C

0 U

U

I2

U30 U20 I3

L

Výsledek Příklad 2.3.4 Spotřebič zapojený do hvězdy je napájen ze symetrického zdroje s přímým sledem fází o fázovém napětí U f  230V . Impedance spotřebiče jsou: Z1  5  , Z 2  10  , Z3  20  . Určete napětí UN a proudy I1, I2, I3 v případě přerušení středního vodiče. Příklad 2.3.5 Výsledek Zdroj se sdruženým napětím U s  100 V a spotřebič jsou zapojeny do hvězdy a nejsou propojeny středním vodičem. Impedance spotřebiče jsou: Z1  j40 , Z 2   j40 , Z3  j40  . Určete napětí UN. Příklad 2.3.6 Zp U

U10

U

U U30 U20

Z

I1

I3 Zp

I2

Z

Z

Výsledek Symetrický trojfázový zdroj napájí symetrickou zátěž zapojenou do hvězdy. Určete proudy a napětí jednotlivých impedancí zátěže. Parametry prvků obvodu: fázové napětí Uf = 230 V impedance propojovacích vodičů Z p   5  j5   , impedance zátěže Z   20  j10   .

Zp

Příklad 2.3.7 Výsledek Symetrický trojfázový zdroj napájí symetrickou zátěž zapojenou do trojúhelníka. Určete proudy fázových vodičů I1, I2, I3 a celkové výkony na zátěži S, S, P, Q, je-li fázové napětí zdroje U f  230 V a impedance zátěže Z  12  j9   .

Shrnutí Z poznatků, získaných pomocí této kapitoly, vyplývá následující.  Pro analýzu trojfázových obvodů lze použít všech metod řešení střídavých obvodů, zejména metodu uzlových napětí a metodu smyčkových proudů.  Analýza trojfázových obvodů má velký praktický význam pro provoz rozvodných sítí, připojování elektrických spotřebičů a předcházení poruchám při dodávce elektrické energie k jednotlivým spotřebičům.


3

41

PŘECHODNÉ DĚJE V LINEÁRNÍCH OBVODECH

Cíl kapitoly Cílem kapitoly jsou praktické postupy při analýze přechodných dějů. Přechodným dějem nazýváme děj, který nastává při přechodu elektrického obvodu z jednoho ustáleného energetického stavu do druhého. Příčinou vzniku přechodných dějů jsou náhlé změny v elektrickém obvodu: připojení a odpojení zdrojů elektrické energie, zkrat a odpojení některé větve obvodu, náhlé změny parametrů prvků atd. Výsledkem analýzy je získaní časových průběhů napětí a proudů.

3.1

Klasická metoda analýzy přechodných dějů

Klasická metoda řešení přechodných jevů je založena na využití klasických postupů pro řešení diferenciálních rovnic. Sestavení rovnic pro analýzu přechodných dějů provádíme standardním způsobem - aplikací Kirchhoffových zákonů pro nezávislé uzly a smyčky

 i t   0

 u t   0

(3.1.1)

a vztahů mezi okamžitými hodnotami napětí a proudů pro jednotlivé obvodové prvky: rezistor u t   R i t  , i t   G u t 

(3.1.2)

induktor u t   L

di  t  dt

, i t  

t

1 i   d  i  0  L 0

(3.1.3)

kapacitor

u t  

du  t  1 i   d  u  0  , i  t   C  dt C0 t

(3.1.4)

V těchto vztazích časový okamžik t = 0 ztotožňujeme se začátkem přechodného děje. Na jeho průběh mají zásadní vliv tzv. počáteční podmínky, které představují napětí na kapacitorech a proudy induktory v čase t = 0. Popis složitějšího elektrického obvodu vede k integrodiferenciálním rovnicím. Tyto rovnice lze snadno derivováním převést na rovnice diferenciální. Lineární obvod je tedy popsán soustavou lineárních diferenciálních rovnic resp. jedinou diferenciální rovnicí n-tého řádu

an

kde

dn x t  dt

n

 an 1

d n 1 x  t  dt

n 1

   a1

dx  t  dt

 a0 x  t   y  t  ,

(3.1.5)

x(t) je neznámá obvodová veličina (u, i, q atd.), n je řád rovnice, daný celkovým počtem akumulačních prvků, y(t) je lineární kombinace napětí a proudů nezávislých zdrojů a jejich derivací, a0, ... an jsou konstanty závislé na parametrech prvků.

Postup při hledání řešení x(t): 1) Přechodnou složku xp(t) zjistíme řešením homogenní rovnice, která vznikne tím, že pravou stranu původní rovnice položíme rovnou nule. Charakter řešení je dán druhem kořenů 1 , 2 , n charakteristické rovnice an  n  an 1 n 1  ........  a1  a0  0

(3.1.6)

sestavené tak, že v homogenní rovnici derivace nahradíme odpovídajícími exponenty . Rovnice (3.1.6) má n kořenů, které mohou být reálné, násobné nebo komplexně sdružené. a) Reálným různým kořenům  pak odpovídá řešení ve tvaru n

xp  t    K i et , i 1

(3.1.7)

42

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně b) m-násobnému kořenu  odpovídá řešení m

xp  t   et  K i t i 1 ,

(3.1.8)

i 1

c) komplexně sdruženým kořenům 1,2    j , kterým odpovídá řešení xp  t   e t ( A sin t  B cos t )  e t D sin(t   ) .

(3.1.9)

2) Ustálenou složku xu(t) (tzv. partikulární řešení) nalezneme použitím postupů pro analýzu ustáleného stavu. 3) Sečtením přechodné a ustálené složky dostaneme celkové řešení x  t   xp  t   xu  t  ,

(3.1.10)

ve kterém vystupují některé z integračních konstant Ki, A, B, D, . Jejich konkrétní velikosti určíme tak, aby funkce x(t) v čase t = 0 odpovídala počátečním podmínkám.

Vzorové příklady Příklad 3.1.1 Jaký je průběh napětí na kapacitoru C, když se v čase t = 0 sepne spínač a napětí na kapacitoru je a) uC(0) = 4 V b) uC(0) = 0 V

t=0

U

U

R

i(t)

uR(t) uC(t)

C

U  10 V, R  1 k, C  1 μF.

Řešení Sestavíme výchozí rovnici aplikací II. K. Z. Ri  t   uC  t   U , do které dosadíme proud

i t   C

duC  t  dt

duC  t 



dt

a upravíme na rovnici:

U 1 . uC  t   RC RC

Určíme obecné řešení z homogenní rovnice Řešením charakteristické rovnice  

duC  t  dt



1 uC  t   0 . RC

1 1  0 dostaneme kořen    , pomocí kterého vyjádříme RC RC

přechodnou složku: uCp (t )  Ke



1 t RC

 Ke



t



, kde časová konstanta je   RC .

Určíme partikulární řešení Ustálený stav v obvodu vznikne po nabití kapacitoru na napětí U, proto je ustálená složka uCu  t     U .

Přizpůsobíme celkové řešení počátečním podmínkám Konstantu K v celkovém řešení uC  t   uCp  t   uCu  t   Ke



t



U


43

určíme z napěťových poměrů v čase t = 0: uC  0   K  U

 K  uC  0   U .

Časové průběhy napětí na kapacitoru 10

Vypočtenou konstantu K dosadíme:

8

uC (t )  uC (0)  U  uC (0)  1  e  t /  .

6

uC(t) (V)

4

Dosazením číselných hodnot dostáváme pro časový průběh napětí na kapacitoru vztah

2 0 -2

a) uC  t   4  6 1  e1000t  V,

0

2

6

4

8

t (ms)

b) uC  t   10 1  e 1000t  V. Příklad 3.1.2 Určete časový průběh proudu a napětí na induktoru v sériovém obvodu RL, který je v čase t = 0 připojen na zdroj stejnosměrného napětí U. i  0   0 A, U  10 V,

Řešení Sestavení diferenciální rovnice L

di  t  dt

 Ri  t   U .

Určení přechodné složky proudu (obecné řešení) L

di  t  dt

 Ri  t   0,

ip  t   Ket  Ke

R  t L

di  t  dt 

  1 , i  t    0  1,

t

 Ke τ ;  

L . R

Určení ustálené složky proudu (partikulární řešení) Po uplynutí přechodného děje ( t   ) se induktor chová jako zkrat, proto iu  t    

U . R

Celkové řešení je součtem přechodné a ustálené složky i  t   ip  t   iu  t   Ke



t





U R

Nalezení konstanty K z počáteční podmínky i(0) = 0 i t  0 

U  Ke 0  0 R



K 

Výsledné řešení i t  

t   U U  τt U   e  1  e τ  . R R R 

Po dosazení parametrů prvků obvodu

U . R

R

i

uR U

R  200 , L  0, 4 H.

uR  u L  U ;

t=0

U

uL

L

44


i t  

 10  -3  1  e 210 200 

uL (t )  L

t

 500 t   0, 05 1  e  A. 

di  10e 500 t V. dt

50 40 30

i(t) (mA)

20 10 0

Průběh proudu v induktoru je v grafu. -2

0

2

Kontrolní příklady Příklad 3.1.3

t=0

U

U

4

6

8

10

t (ms) Výsledek Jaké velikosti dosáhne napětí na kapacitoru uvedeného obvodu v čase 1,5? Spínač byl sepnut v čase t = 0 s, na počátku byl kapacitor vybit.

i(t)

R

uR(t) uC(t)

U  12 V, R  10 k, C  0, 2 μF.

C

Příklad 3.1.4 Před sepnutím spínače byl obvod v ustáleném stavu. Odvoďte časový průběh napětí a proudu induktoru po sepnutí spínače a vypočtěte jejich okamžité hodnoty v časech t  1 μs, t   .

Výsledek

t=0 i R1

U  10 V; R1  3 k; R2  1 k; L  1 mH.

U

U

uL

L

R2

3.2

Operátorová metoda analýzy přechodných dějů

Základní myšlenka operátorové metody spočívá v převodu diferenciálních rovnic do operátorové oblasti, ve které místo časových funkcí f(t) vystupují funkce komplexní proměnné F(p). Převodem přechází diferenciální rovnice na rovnice algebraické, jejichž řešení je mnohem jednodušší. K uplatnění tohoto postupu je však potřeba zvládnout co nejjednodušeji převod z časové do operátorové oblasti a naopak. Přímou Laplaceovou transformací nazýváme převod časové funkce (originálu) na odpovídající operátorovou funkci (obraz). Zpětná Laplaceova transformace provádí převod opačný. Pro přímou a zpětnou transformaci budeme užívat zkrácené zápisy: F ( p)  L

 f (t )

a f (t )  L 1  F ( p )

(3.2.1)

Několik příkladů transformace základních matematických operací je uvedeno v tab. 3.2.1. Tab. 3.2.1. OPERACE

ČASOVÁ OBLAST

OPERÁTOROVÁ OBLAST

definice funkce

f  t  1  t 

F  p

násobení funkce konstantou

a  f t 

a  F  p

součet funkcí

f1  t   f 2  t   f 3  t   

F1  p   F2  p   F3  p   


45

OPERACE

ČASOVÁ OBLAST

OPERÁTOROVÁ OBLAST

změna časového měřítka

f  at 

1  p F  a a

posunutí funkce f  t  o t0

f  t  t0   1  t  t0 

e  p t0 F  p 

násobení exponenciální funkcí

e a t  f  t 

F  p  a

časová derivace funkce

d f t  dt

pF  p   f  0 

t

1 F  p p

 f  t  dt

časový integrál funkce

0 t

 f   f  t    d

konvoluce f1  t   f 2  t 

1

F1  p   F2  p 

2

0

Definiční vztahy pro přímou i zpětnou Laplaceovu transformaci jsou složité. Snadné nalezení obrazu k danému originálu a naopak umožní slovník Laplaceovy transformace, ve kterém jsou uvedeny vzájemně odpovídající funkce f(t) a F(p) (tab. 3.2.2.).

Tab. 3.2.2. č. 1. 2. 3. 4.

f(t) 1t  t e  at t  e a t

F(p) 1 p

č. 7.

1 p2

8.

1 pa

9.

6.

e  at sin t  cos t 

10.

e  at cos t 

2

a p  p  a

1 e a t  e bt   ba

 p  2

 2  p  a  2

p p  2 2

1

1  e  at

F(p) 2

 p  a 5.

f(t) sin t 

1

 p  a  p  b 

11.

sinh  at 

pa 2  p  a   2

a p  a2 2

12.

cosh  at 

p p  a2 2

Další možností nalezení časové funkce z dané operátorové funkce je věta o rozkladu (Heavisideův teorém). Můžeme ji použít pro racionálně lomenou funkci: F  p 

Q  p P  p



a0  a1 p  a2 p 2    am p m , b0  b1 p  b2 p 2    bn p n

(3.2.2)

která vyhovuje následujícím podmínkám: -

polynom v čitateli je nižšího řádu než polynom ve jmenovateli  m  n  ,

-

polynom P  p  nemá vícenásobné kořeny,

-

polynomy P  p  a Q  p  nemají stejné kořeny.

Určíme-li z podmínky P  p  0

(3.2.3)

46


kořeny polynomu čitatele p1 , p2  pn , pak funkci F(p) můžeme rozložit na parciální zlomky F  p 

Q  p1  Q  p2  Q  pn  1 1 1       , P   p1  p  p1 P   p2  p  p2 P   pn  p  pn

(3.2.4)

kde P   pk  představuje hodnotu derivace polynomu v bodě pk  k  1, 2, n  . Odpovídající časová funkce je f  t   L -1  F  p  

Q  p1  p1 t Q  p2  p2t Q  pn  pn t e   e   e . P   p1  P   p2  P   pn 

(3.2.5)

Bude-li mít operátorová funkce jeden nulový pól, čemuž odpovídá tvar F  p 

Q  p

pP  p 

,

(3.2.6)

potom odpovídající časovou funkci můžeme určit pomocí vztahu f  t   L -1  F  p  

Q  0 P 0



Q  p1  Q  p2  Q  pn   e p1 t   e p2 t     e pn t . p1 P   p1  p2 P   p2  pn P   pn 

(3.2.7)

Pro prvky s nulovými počátečními podmínkami definujeme operátorovou impedanci Z  p  vztahem, který vyjadřuje Ohmův zákon v operátorovém tvaru U  p  Z  p  I  p .

(3.2.8)

Převrácená hodnota operátorové impedance se nazývá operátorovou admitancí Y  p 

1 . Z  p

(3.2.9)

Tab. 3.2.3. Z(p)

Y(p)

R

G

kapacitor

1 pC

pC

induktor

pL

1 pL

PRVEK rezistor

Operátorové impedance a admitance ideálních obvodových prvků jsou uvedeny v tabulce 3.2.3. Z této tabulky vidíme, že operátorové impedance a admitance mají tvar analogický vztahům pro komplexní impedance a admitance ideálních prvků v symbolické metodě. Součin j nahrazuje komplexní proměnná p. V důsledku této analogie platí i pravidla pro sériové zapojení Z  p   Z1  p   Z 2  p   Z 3  p    (3.2.10)

a paralelní zapojení Y  p   Y1  p   Y2  p   Y3  p    (3.2.11)

Když bude splněna podmínka nulových počátečních podmínek, můžeme určit operátorovou impedanci a admitanci pro obvod libovolné složitosti. V Laplaceově transformaci součtu časových funkcí odpovídá součet operátorových funkcí. Tato vlastnost Laplaceovy transformace umožňuje vyjádření K. z. v operátorovém tvaru

 I  p   0 pro uzel obvodu a

(3.2.12)

U  p   0 pro libovolnou uzavřenou smyčku.

(3.2.13)

Kirchhoffovy zákony a Ohmův zákon v operátorovém tvaru jsou základními zákony pro analýzu přechodných dějů operátorovou metodou. Vztahy mezi napětím a proudem pro prvky s nenulovými počátečními podmínkami mají následující tvary


47

u  0 1 I  p  pC p

kapacitor

U  p 

induktor

U  p   pLI  p   Li  0 

I  p   pCU  p   Cu  0 

I  p 

(3.2.14)

i 0 1 U  p  pL p

(3.2.15)

Uvedeným vztahům odpovídají náhradní schémata prvků s nenulovými počátečními podmínkami: kapacitor

I ( p)

I ( p) 1 pC

U ( p)

u ( 0) p

U

1 pC

U ( p)

I

 C u (0)

induktor

I ( p)

I ( p ) pL

U ( p)

U

U ( p)

 L i ( 0)

1 pL

I

i ( 0) p

V těchto schématech ideální napěťové resp. proudové zdroje modelují vliv počátečních podmínek na průběh přechodných dějů v elektrických obvodech Přenosové charakteristiky Operátorový přenos obecně K  p 

X 2  p X1  p 

,

(3.2.16)

v případě napětí KU  p  

U2  p

(3.2.17)

U1  p 

Pro porovnání chování elektrických obvodů vyšetřujeme u nich odezvu výstupní veličiny při vhodně zvolené standardní vstupní veličině a nulových počátečních podmínkách:

Vstupní veličina a)

odezva

 t  -

jednotkový impuls – Diracova funkce

b) jednotkový skok – Heavisideova funkce

1t  –

impulsová charakteristika g  t  přechodná charakteristika h  t 

Vztah mezi vstupními signály

 t  

d 1t  dt

(3.2.18)

a odpovídajícími výstupními signály je

g t  

t

d h  t  resp. h  t    g  t  dt  h  0  dt 0

(3.2.19)

V operátorové oblasti je impulsová charakteristika G(p) totožná s operátorovým přenosem G  p  K  p .

(3.2.20)

48


Pomocí operátorového přenosu můžeme zjistit impulsovou a přechodnou charakteristiku 1  g  t   L 1  K  p  , h  t   L 1  K  p   . p 

(3.2.21)

Vzorové příklady t=0

Příklad 3.2.1 V jakém čase dosáhne napětí na kondenzátoru C hodnoty uC(t) = 5V, když v čase t = 0 s se sepne spínač a napětí na kapacitoru je uC(0) = 1V?

U

U

R

i(t)

uR(t) uC(t)

C

U  10 V; R  1, 2 k; C  1 μF.

Řešení

I(p)

R

U

1 pC

U p

U

u c ( 0) p

U C ( p)

Sestavíme operátorové schéma obvodu a určíme napětí na kapacitoru v operátorovém tvaru. Proud obvodem je  1  uC  0  U  0 I  p  R   pC  p p 

 I  p 

U  uC  0 

p  R  1 / pC 

.

Napětí na kapacitoru UC(p) UC  p  I  p

1 uC  0   . pC p

Po dosazení za I(p) a po úpravě do tvaru vhodného pro použití slovníku Laplaceovy transformace dostaneme UC  p 

uC  0  p

 U  uC  0   

1 / RC . p  p  1 / RC 

Použitím slovníku Laplaceovy transformace převedeme napětí na kapacitoru do časové oblasti a    at L 1    1 e ,  p  p  a  

v tomto případě je a  1 / RC  833,3 s -1 . uC  t   L -1 U C  p   uC  0   U  uC  0    1  e t / RC  .

Dosazením číselných hodnot dostáváme pro časový průběh napětí na kapacitoru vztah uC  t   1  9 1  e 833,3t  .

Čas, ve kterém napětí dosáhne zadanou hodnotu uC  5 V , dostaneme z rovnice 5 ln 5 9  0, 70537 ms. 5  1  9 1  e833,3t  ,  e833,3t proto t  9 833,3


49

Příklad 3.2.2 Vypočtěte průběh napětí na kapacitoru C po připojení zdroje ss napětí U = 100 V. uC  0   0 V, C  100 μ F,

t=0

U

R1  10 , R2  30  .

U p

 1   R2 I1  p    R2   I2  p   0 pC  

Dosadíme hodnoty prvků obvodu 100 40 I1  p   30 I 2  p   p  104  30 I1  p    30   I2  p   0 p  

.

R2

U

Řešení a) metoda smyčkových proudů Nakreslíme operátorové schéma obvodu a sestavíme rovnice

 R1  R2  I1  p   R2 I 2  p  

R1

C

R1

U

U p

I1(p)

R2

I2(p)

.

Pomocí determinantů provedeme výpočet proudu I2(p): 40

  p 

I2  p 

30

40 1 5 10   300 p  4 10  ,  2  p   30 30  p 30 p 4

2  p    p



100 3 103 p  , p 0

30 . 3 p  4000

Napětí na kapacitoru v operátorovém tvaru je: UC  p 

1 104 30 3.105 I2  p     . pC p 3 p  4000 p  3 p  4000 

Časový průběh napětí uc(t) nalezneme inverzní Laplaceovou transformací pomocí Heavisideova vzorce uC  t   L -1 U C  p  

Q 0 P  0



Q  p1  Q  p2  Q  pn   e p1 t   e p2 t     e pn t , p1 P   p1  p2 P   p2  pn P   pn 

kde v tomto případě jsou Q  p   3 105 , Q  0   3 105 , P  p   3 p  4000, P  0   4000, P   p   3,

a kořeny jmenovatele jsou 0 a p1  

4 000 4   103 . 3 3

Hledaná funkce je uC  t  

4  103 t 3 105 3 105  e 3  75 1  e 1333 t  V. 4 000  4 3   10   3  3 

uC

1 pC

50


b) řešení pomocí Thèveninovy věty

Ri 

R1 R2 R2  7,5 , U i  U  75 V. R1  R2 R1  R2

Ui p

Z operátorového schématu určíme proud kapacitorem: I  p 

I(p)

Ri

Určíme vnitřní odpor Ri a vnitřní napětí Ui náhradního zdroje:

1 pC

U C ( p)

Ui p Ri 

1 pC

Z Ohmova zákona určíme napětí na kapacitoru UC  p   I  p .

1 Ri C

Ui p

1 1   Ui  . pC R  1 pC i pC

 1  p p   Ri C  

Po převodu do časového tvaru (např. využitím slovníku Laplaceovy transformace nebo Heavisideovým vzorcem) dostaneme t   uC  t   U i  1  e Ri C  

 R2  U   R1  R2 

t    1  e Ri C  

 .  

Dosazením hodnot obvodových prvků dostaneme hledanou funkci: t  30  7,5104 uC  t   100   1  e 40 

   75 1  e 1333 t  V.  

Graf časového průběhu napětí na kapacitoru 75 60

uC(t) (V)

45 30 15 0

0

2

4 t (ms)

Příklad 3.2.3 V okamžiku t0 = 0 s byl v obvodu sepnut spínač, v čase t1 = 5 ms došlo k rozepnutí. Před sepnutím spínače byl kapacitor vybitý. Odvoďte obecný výraz pro napětí na kapacitoru uC(t) a vypočtěte hodnotu napětí uC(t) pro t1 = 5 ms, t2 = 10 ms. U  100 V, C  5 μF, R1  1 k, R2  3 k.

6

8

t1=5 ms

t0=0

R1

S U

U

R2

C

uC(t)


51

Řešení Protože rozpojením spínače se mění topologie obvodu, provedeme řešení po částech.

a) t   0; 5 ms V tomto časovém intervalu je kapacitor nabíjen přes rezistor R1. Rezistor R2 nemá na nabíjení kapacitoru vliv, pouze zatěžuje zdroj napětí U. Napětí kapacitoru v operátorovém tvaru UC  p 

1 R1C

1 pC

U  U  p R  1 1 pC

 1  p p   R 1C  

  a  at Protože platí L 1    1  e , je časový průběh napětí na kapacitoru p p a      t   uC  t   U 1  e R1C  

t      U 1  e τ1    

   U 1  e 200 t  .  

Napětí na kapacitoru v čase t = 5 ms dosáhne velikosti uC  t  5 ms   100 1  e 1   63, 212 V.

b) t  5 ms

uC  5 ms  p I  p   . 1 R1  R2  pC

I(p)

R1

Kapacitor je z předchozího intervalu nabit na napětí uc(5 ms). Vybíjí se přes rezistory R1 a R2. Proud v obvodu je

1 pC R2

uC (5 ms ) p

Napětí na kapacitoru je (pozor, včetně zdroje představujícího počáteční napětí nabitého kapacitoru!) UC  p 

UC  p 

u  5 ms  1 I  p  C , pC p uC  5 ms  p

1 uC  5 ms  uC  5 ms  C  R1  R2  1 p .     uC  5 ms  pC R  R  1 p   1 1 2 p  p   pC C  R1  R2   

Při uvažování posunu počátku intervalu do času t1 = 5 ms dostaneme inverzní L.T.: t t  1  uC  t   uC  5 ms   uC  5 ms  1  e τ2  

t t  1    uC  5 ms   e τ2 ,  

kde τ 2  C  R1  R2   20 ms, Napětí na kapacitoru v čase t = 10 ms je uC 10 ms   63, 212  e 0,25  49, 230 V. Pro časový průběh napětí na kapacitoru platí





 100 1  e  t / τ1 pro 0  t  5 ms,  uC  t     t  5103  / τ 2 63, 212  e  pro t  5 ms.

UC(p) U

52


70 60 50 uC(t) (V)

40 30 20 10 0

0

5

10

15

20 t (ms)

25

30

35

40

Příklad 3.2.4 Obvod byl ve stacionárním ustáleném stavu. Vypočtěte časový průběh proudu i(t) po rozepnutí vypínače v čase t = 0. Parametry prvků obvodu jsou: U = 10 V, L = 0,5 H, C = 1 μF, R1 = 1000 , R2  500  .

i(t)

t=0

U

R2

C

L

U

Řešení Určíme počáteční podmínky: uC  0   U , iL  0  

R1

U . R2

I(p)

Nakreslíme operátorové schéma obvodu Aplikací II. K. z dostaneme rovnici pLI  p    R1  R2  I  p  

1 L  1 I  p  U    pC  p R2  ,

R1

R2

1 pC

z které vyjádříme proud 1 p  U   20  2 102 p  L R2   I  p   2 R  R2 1 p  3 103 p  2 106 p2  1 p L LC 2.10 2 ( p  1000) 0, 02  . ( p  1000)( p  2000) p  2000

U

pL

uC (0) p

U

 LiL (0)

Hledaný proud i  t   L 1  I  p   0, 02  e 2000 t 0.02

Časový průběh proudu i(t)

i [A]

0.015

0.01

0.005

0 0

1

2

t [ms]

3

4

5


53

Příklad 3.2.5 Určete impulsovou a přechodnou charakteristiku obvodu, tvořeného cívkou s parametry L, RL a rezistorem R. RL

Řešení Napěťový přenos

L

KU  p  

u2(t)

R

u1(t)

kde  

U 2 ( p) R R   . U1 ( p) R  RL  pL L

1 R 1  . R  RL L 1 p p  L

L . R  RL

Impulsová charakteristika g t   L

1

G  p   L K  p   L 1

1

U

   R 1  R t  .   e . L p 1 L  

Přechodná charakteristika h t   L

1

H  p   L

1

   R R 1   K U  p   1  L  .  1  p pL R RL    p    

t    1  e  

Příklad 3.2.6 Obvod na obrázku byl před sepnutím spínače v ustáleném stavu (proud cívkou netekl). Pomocí Laplaceovy transformace odvoďte časový průběh napětí a proudu cívky po sepnutí spínače. Vypočítejte numerické hodnoty těchto veličin v čase 0,1 s a 0,2 s. V čase t = 0,2 s byl spínač rozepnut. Pomocí Laplaceovy transformace odvoďte časový průběh napětí a proudu cívky po rozepnutí spínače a vypočítejte numerické hodnoty těchto veličin v okamžiku rozepnutí spínače. U = 10 V, R1 = 50 L =0,5 H, R = 10 

 . 

t = 0,2 s t=0

iL(t)

L

U R1

R

Řešení Pro jednoduchost vyjádření popisu rozdělíme řešení na dvě části. a) Operátorový model po zapnutí

I(p)

I  p    pL  R   U  p   0, U U p I  p    pL  R pL  R R

R L

U  p

t U iL (t )  L 1  I  p    1  e  R

R  p p   L 

pL ,

 L  ,    0, 05 s R 

iL  t  0,1s   1  e 2  0,8647 A, iL  t  0, 2 s  1  e 4  0,9817 A , uL  t   U  RiL  t   U e

R  t L

,

uL  t  0,1s   10  e 2  1,353 V,

uL  t  0, 2 s   10  e 4  0,1831 V ,

U(p)

R1 R

uL

54

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně uRL  t   U R1  U  10 V .

L

b) Operátorový model po vypnutí Okamžik vypnutí (t = 0,2s) můžeme označit za počátek tohoto přechodného děje (t´ = 0), neboli zavedeme substituci t´ = t-0,2. Dále R1 vyjdeme ze spojitosti průběhu proudu cívkou

I(p) -L·i(0) R

iL  0   iL  0 

i  0   i  0  , I  p    pL  R  R1   Li  0   0, I  p 

Li  0  pL  R  R1

 i  0 

1 , R  R1    p L   

i  t    L 1  I  p   i  0   e



R  R1 t L

t 

 0,98168e  ,  

L  8, 3 ms, R  R1

iL  t   0   i  0   e0  0,9817 A , uL  t    L

t  di  i     R  R1   i  0   e  , uL  t   0   60  0,9817  58,9 V , dt 

uRL  t    iL  t    R1 , uRL  t   0   iL  t   0   R1  0,9817  50  49, 09 V

.

Vzhledem k orientaci proudu a napětí před rozepnutím je však nyní uRL opačného směru!

Průběhy napětí a proudu cívky při zapnutí a vypnutí obvodu:

Kontrolní příklady Příklad 3.2.7 Výsledek Vypočtěte průběhy proudů i1(t), i2(t), i3(t). Obvod byl připojen na zdroj stejnosměrného napětí v čase t = 0 s; předtím se nacházel v ustáleném stavu. i1 R1 t=0 R1  20 , R2  30 , L  0,3 H, U  120 V.

i3 U

U

L

i2 R2


55

Příklad 3.2.8 Výsledek Spínač byl sepnut a obvod se nacházel v ustáleném stavu. Odvoďte časový průběh napětí a proudu induktoru po rozepnutí spínače a vypočtěte jejich okamžité hodnoty v časech t  1 μs, t   . U  10 V; R1  3 k; R2  1 k; L  1 mH.

t=0 i R1 U

U

uL

L

R2

Příklad 3.2.9 Výsledek Vypočítejte a graficky znázorněte časový průběh napětí na kapacitoru C po připojení sériového RLC obvodu na zdroj stejnosměrného napětí U = 120 V pro tři různé hodnoty rezistoru R. C  1 μF, L  40 mH, R1  50 , R2  100 , R3  400 .

Příklad 3.2.10 Obvod je pro čas t < 0 ve stejnosměrném ustáleném stavu. Vypočtěte časový průběh proudu i(t), jestliže se v čase t = 0 rozpojí spínač S. Parametry prvků obvodu jsou: U = 30 V, L = 0,5 H, C = 1 μF, . R1 = R2 = 1,5 k .

Výsledek i(t)

R1

L

t=0 S

U

Příklad 3.2.11 Vypočítejte proud a napětí na kapacitoru po vypnutí vypínače pro U = 120 V a následující parametry obvodu: a) R = 100 , L = 40 mH, C = 25 μF, b) R = 40 , L = 40 mH, C = 25 μF, c) R = 80 , L = 40 mH, C = 25 μF.

U

R

U

R2

C

U

Výsledek t=0

L

C

Příklad 3.2.12 Výsledek Určete napěťový přenos, impulsovou a přechodnou charakteristiku obvodu, tvořeného cívkou s parametry L, RL a rezistorem R. R

RL

u1(t)

u2(t) L

56


Příklad 3.2.13 Vypočítejte časový průběh proudu v obvodu po připojení zdroje o napětí u  t   U m sin  t    . U m  120 V,  = 314 s -1 ,  

 6

Výsledek t=0

, R  40 , L  0,8 H.

i(t) R

U

u(t) L

Shrnutí Analýzu přechodných dějů můžeme provést:  Klasickou metodou založenou na klasických postupech řešení diferenciálních rovnic, které sestavíme aplikací Kirchhoffových zákonů pro nezávislé uzly a smyčky a vztahů mezi okamžitými hodnotami napětí a proudů pro jednotlivé obvodové prvky: Výhodou klasické metody je fyzikální názornost, nevýhodou komplikované řešení především u složitějších obvodů.  Operátorovou metodou, která rovnice obvodu pomocí Laplaceovy transformace převede z časové do operátorové oblasti. Tímto převodem získají rovnice charakter algebraických rovnic, z kterých lze jednoduše najít neznámé veličiny v operátorovém tvaru. Řešení rovnic končí převodem neznámých veličin do časové oblasti. Tento postup je možné schematicky vyjádřit u (t ), i (t )  U ( p), I ( p )  U x ( p ), I x ( p)  u x (t ), ix (t ) (3.22) Hlavní výhodou operátorové metody je algebraický charakter rovnic, ve kterých jsou hned na začátku řešení zahrnuty počáteční podmínky. Klasická metoda teprve v poslední etapě přizpůsobuje obecné řešení počátečním podmínkám. Z hlediska menšího počtu rovnic jsou výhodné metody smyčkových proudů a uzlových napětí.


4

57

HOMOGENNÍ VEDENÍ

Cíl kapitoly V této kapitole se budeme zabývat lineárním homogenním vedením, které představuje typický elektrický obvod s rozprostřenými parametry. Po uvedení rovnic pro napětí, proudy a další veličiny provedeme jejich aplikaci na harmonický ustálený stav.

4.1

Základní poznatky

Vedení tvoří soustava dvou nebo více rovnoběžných navzájem izolovaných vodičů s délkou mnohem větší, než je příčná vzdálenost mezi vodiči. V dalších kapitolách se omezíme na analýzu dvouvodičového homogenního vedení, jehož parametry jsou stejné podél celého vedení. Dále budeme předpokládat, že parametry vedení jsou nezávislé na velikosti napětí nebo proudu. Vedení s takovými parametry má lineární charakter. Homogenní vedení charakterizují primární parametry: 

Měrný odpor R0   / m  je odpor obou vodičů vedení o délce 1m



Měrná indukčnost L0  H / m  je indukčnost smyčky tvořené dvojicí vodičů o délce 1m.



Měrná vodivost G0  S / m  je dána vodivostí izolace mezi vodiči vedení o délce 1m.



Měrná kapacita C0  F / m  je kapacita mezi vodiči vedení o délce 1m.

Podélná měrná impedance Z 0  R0  j L0



m .

(4.1.1)

 S m .

(4.1.2)

Příčná měrná admitance Y0  G0  j C0

Šíření vln na vedení ovlivňují sekundární parametry: vlnová impedance vedení R0  j L0 , G0  jC0

ZV 

(4.1.3)

konstanta šíření γ

kde

 R0  j L0  G0  jC0     j ,

(4.1.4)

 je útlum (Np·m-1),  je fázová konstanta (rad·m-1).

Délka vlny na vedení je



vf 2  .  f

(4.1.5)

Fázová rychlost je vf 

 1  .  L0 C0

(4.1.6)

Typické použití vedení je schematicky znázorněno na obr. 4.1.1. a) Známe-li hodnoty na začátku vedení U1 , I1 potom hodnoty U 2 , I 2 na konci vedení určíme z rovnic:

Zi U

Ui

I2

I1 U1

U2 l

Obr. 4.1.1.

U2 

Z2 I2 

U1  Z V I1  γ U1  Z V I1 γ e  e , 2 2

U1  Z V I1  γ U1  Z V I1 γ e  e , 2  ZV 2  ZV

(4.1.7) (4.1.8)

58


resp. z rovnic U 2  U1 cosh  γ   Z V I1 sinh  γ  ,

I2  

U1 sinh  γ   I1 cosh  γ  . ZV

(4.1.9) (4.1.10)

b) Jsou-li zadány hodnoty U 2 , I 2 , můžeme určit hodnoty na začátku vedení U1 , I1 pomocí rovnic: U1 

I1 

U 2  Z V I 2 γ U 2  Z V I 2  γ e  e , 2 2

U 2  Z V I 2 γ U 2  Z V I 2  γ e  e , 2  ZV 2  ZV

(4.1.11)

(4.1.12)

resp. z rovnic U1  U 2 cosh  γ   Z V I 2 sinh  γ  ,

(4.1.13)

U2 sinh  γ   I 2 cosh  γ  . ZV

(4.1.14)

I1 

c) Výpočet vstupních veličin U1 , I1 ze zadaných parametrů zdroje Ui , Zi a zatěžovací impedance Z 2 provedeme pomocí vztahů Z vst  Z V 

I1 

Z 2  Z V tanh  γ  Z V  Z 2 tanh  γ 

Ui , Zi + Z vst

,

(4.1.15)

U1 = I1  Z vst .

(4.1.16)

d) Bezeztrátové vedení Pro bezeztrátové vedení platí

  0 ;    LC 

 vf

; ZV 

L . C

(4.1.17)

Rovnice se zjednoduší na U 2  U1 cos     jI1 Z V sin    I2  

, jU1 sin     I1 cos    ZV

(4.1.18)

resp. U1  U 2 cos     jI 2 Z V sin    I1 

jU 2 sin     I 2 cos    ZV

.

(4.1.19)

Vstupní impedance bezeztrátového vedení je Z vst  Z V 

Z 2  j Z V tan    Z V  j Z 2 tan   

.

(4.1.20)

e) Přizpůsobené vedení Podmínka pro přizpůsobení je Z2 = ZV .

(4.1.21)


59

Pro tento případ platí vztahy

U1 = U 2 e γ ,

Z vst = Z V ,

I1 = I 2 e γ .

(4.1.22)

Činitel odrazu na začátku vedení Zi - Z V . Zi + Z V

ρ1 

(4.1.23)

Činitel odrazu na konci vedení Z2 - ZV . Z2 + ZV

ρ2 

4.2

(4.1.24)

Vzorové příklady

Příklad 4.2.1 Homogenní vedení

má

parametry

R0 = 0,08  / km ,

L0 = 1,336 mH/km ,

C0 = 8,6 nF/km

-8

a G0 = 3,75.10 S/km . Určete podélnou impedanci Z0, příčnou admitanci Y0, vlnovou impedanci ZV, konstantu šíření , činitel útlumu , fázovou konstantu , délku vlny  a fázovou rychlost vf . pro kmitočet f = 50 Hz. Řešení Podélná impedance a příčná admitance Z 0  R0  j L0  0, 08  j2π  50  1, 336  10  0, 42779, 21 Ω/km, 3

Y0  G0  j C0  3, 75  10  j2π  50  8, 6  10 8

9

 2, 70289, 20 μS/km.

Vlnová impedance ZV 

Z0 Y0

 396, 014  j34, 645  397, 66  5 .

Konstanta šíření γ  Z 0 .Y0  0,108 103  j1, 069 103  1, 075 10 3 84, 21 km -1 ,

  Re γ  0,108 103 Np/km,   Im γ  1, 069 103 rad/km. Délka vlny a fázová rychlost λ

2π



 5,88 103 km,

vf  λ f  293,9 103 km/s .

Příklad 4.2.2 Homogenní vedení s primárními parametry R0  0,1  / m, G0  5.10 8 S/m, C0  50 pF/m , L0  0, 25 μH/m pracuje na kmitočtu f = 15,915 MHz. Vedení je zatíženo vlnovou impedancí. Určete: 

sekundární parametry vedení,



efektivní hodnotu vstupního napětí, je-li napětí na výstupu U2 = 10 V a vedení má délku 100 m.

Řešení

Nejprve určíme úhlový kmitočet   2πf  2π 15,915 106  1 108 rad/s a vypočteme měrnou impedanci a admitanci Z 0  R0  j L0  0,1  j1 108  0, 25 106   0,1  j25  Ω/m ,

60


Y0  G0  j C0  5 108  j1 108  50 1012   5 108  j5 103  S/m . V dalších výpočtech zanedbáme vzhledem k jeho velikosti G0 a určíme vlnovou impedanci ZV 

Z0 0,1  j 25   70, 711  0,1146  Y0 j5 103

a konstantu šíření γ

Z 0 .Y0 

 0,1  j25   j5  10



3

3



-1

 0, 707.10  j 0, 3535 m .

U přizpůsobeného vedení platí U  U e . Z tohoto vztahu plyne pro efektivní hodnoty napětí na vstupu a výstupu γ

1

U 1  U 2 e    10  e0,707.10

3

.100

2

 10, 732 V.

Příklad 4.2.3 Homogenní vedení délky l = 100 km má parametry R = 3,23 /km, G = 0,5 S/km, L = 2 mH/km, C = 6100 pF/km. Vedení je na konci zatíženo rezistorem Rz = 1 k. Vypočítejte napětí a proud na začátku vedení, je-li na konci vedení napětí U 2  10 V při kmitočtu f = 800 Hz. Řešení Výchozí rovnice jsou U1  U 2 cosh  γ   I 2 Z V sinh  γ  I1  I 2 cosh  γ  

U2 ZV

sinh  γ 

, I2 

U2 10   0, 01 A . R Z 1000

Měrná impedance a admitance vedení jsou Z 0  R0  j L0  10,5972,19   km -1 Y0  G0  jC0  3, 067 105 89, 07 S  km -1

Z toho vlnová impedance vedení ZV 

Z0  586,8  8, 44 . Y0

a konstanta šíření je γ  Z 0 .Y0  1,8 102 80, 63   0, 2931  j1, 775  102 km -1 .

Pro délku vedení l = 100 km je γ  0, 2931  j1, 775 . Napětí na začátku vedení: U1  U 2 cosh  γ  

U2 Z V sinh  γ   Rz

 10 cosh  0, 2931  j1, 775  0, 01 586,8  8, 44 sinh  0, 2931  j1, 775   102  10, 030,577 V.

Proud na počátku vedení: I1 

U2 U cosh  γ   2 sinh  γ   ZV Rz

 0, 01cosh  0, 2931  j1, 775  

10 sinh  0, 2931  j1, 775  10 2  20, 77105,9 mA. 586,8  8, 44


Příklad 4.2.4 Vypočtěte vstupní

61

impedanci

2

γ  1, 768.10 80, 72 km

-1

Zvst

homogenního

vedení

s

Z V  706,8  6, 98  ,

parametry

o délce l = 80 km, při kruhovém kmitočtu  = 5000 s . Vedení je naprázdno -1

( Z 2   ). Dále určete vstupní napětí a proud, je-li na konci vedení naprázdno napětí u20  2 10  sin t  . Řešení V případě ( Z 2   ) Z vst  Z V .

1

tgh  γ 



706,8  6,98

tgh  80 1, 768 10 80, 72  2



706,8  6,98  201, 6  42,96 . 3,50635,98

Na konci vedení jsou podmínky I 2  0 ; U 20  100 V . U1  U 20 cosh  γ   10 cosh  80 1, 768.102 80, 72   2,88551, 76 V, I1 

4.3

U 20 10 sinh  γ   sinh  80 1, 768.10 2 80, 72   14,3194, 71 mA. ZV 706,8  6,98

Kontrolní příklady

Příklad 4.3.1 Výsledek Homogenní vedení délky l = 100 km s parametry R0  4   km -1 , G0  0,5 μS  km -1 , C0  6 nF  km -1 , L0  2 mH  km -1 je napájeno ze zdroje napětí sinusového průběhu. Určete napětí a proud na konci vedení, je-li zakončeno impedancí Z 2  Z V (přizpůsobené vedení) a napětí na začátku vedení je U1  600 V s kmitočtem f = 1 kHz. Jaký je vstupní proud vedení?

Příklad 4.3.2 Výsledek Pro vedení délky l = 80 km s primárními parametry R0  6, 754   km -1 , L0  0,391 mH  km -1 , G0  19,3 μS  km -1 , C0  2, 236 nF  km -1 . Určete vstupní impedance při zatížení na konci vedení naprázdno a nakrátko pro kmitočet f = 800 Hz. Příklad 4.3.3 Výsledek Homogenní bezeztrátové vedení s parametry L0  0,1 mH  m -1 a C0  1 pF  m -1 je napájeno napětím s harmonickým průběhem. Vypočítejte proud I 2k protékající zkratovaným koncem vedení délky l = 6 m, je-li vstupní napětí U1  100 V s kmitočtem f = 12,5 MHz. Příklad 4.3.4 Výsledek Homogenní vedení na konci nakrátko (takové je např. ve vstupním dílu televizního přijímače) má parametry R0  G0  0, L0  4, 40 107 H/m, C0 100 pF/m. Vedení má délku l = 3 cm. Určete při kmitočtu 600 MHz Cp a) vstupní impedanci vedení, b) velikost kapacity Cp tak, aby ve výsledném obvodu nastala paralelní rezonance.

Shrnutí Napěťové a proudové poměry na vedení ovlivňuje konečná rychlost šíření elektromagnetického pole. Při jejich zkoumání je tedy nutné uvažovat geometrické rozměry, a proto napětí a proudy na vedení závisí na geometrických souřadnicích a na čase. Poznatky z teorie obvodů můžeme použít i pro zkoumání fyzikálních poměrů na vedení, a to za předpokladu, že prvky obvodu budou spojitě rozloženy v prostoru. Vedení budeme modelovat elektrickým obvodem s rozprostřenými parametry.

62

5


PROGRAMY PRO ANALÝZU OBVODŮ

Cíl kapitoly Pro analýzu elektrických obvodů existuje řada profesionálních programů, které odstraňují rutinní úkoly v této oblasti. Používání těchto programů je podmíněno správnou formulací řešených problémů a kvalifikovaným zhodnocením dosažených výsledků. V důsledku toho se uživatel těchto programů neobejde bez základních poznatků z teorie obvodů. Programy, popisované v této kapitole, představují učební pomůcky. Jsou sestaveny tak, aby podpořily osvojování teoretických poznatků a jejich praktické využití. Tyto programy jsou volně dostupné pro posluchače a jiné zájemce na webu http://www.utee.feec.vutbr.cz.

5.1

Program ANSYM Charakteristika programu

Program je určen pro analýzu lineárních elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Program vytváří na první stránce listu Excelu vzorové řešení elektrického obvodu: Příklad č. 1. V daném obvodu vypočtěte proudy I1, I2, I3 a činný výkon dodávaný zdrojem Schéma obvodu Parametry prvků I1

R1

L I2 R2

U

f R1 R2 R3 L C U

I3 R3

C

= = = = = = =

100 Hz 120  220  0,68 k 0,22 H 20 F 24  45° V

Řešení Z1 Z2

= R1+j(2*f*L) = R2-j/(2*f*C)

= 120 + 138,2j = 220 - 79,58j

= =

183,1  49,04°  233,9  -19,89° 

Výchozí rovnice

Z1+Z2 -Z2 Is1 U . = 0 -Z2 Z2+R3 Is2 Dosazení numerických hodnot Is1 16,97 + 16,97j 340 + 58,65j -220 + 79,58j = . 0 -220 + 79,58j 900 - 79,58j Is2 Determinanty D1 = 16620 + 13920j = 21680  39,95° D2 = 5084 + 2383j = 5615  25,11° = 2,686E+5 + 60750j = 2,754E+5  12,74° D Smyčkové proudy Is1 = D1/D = 70,03 + 36j = 78,74  27,2° mA Is2 = D2/D = 19,92 + 4,368j = 20,39  12,37° mA Hledané proudy I1 = Is1 = 70,03 + 36j = 78,74  27,2° mA I2 = Is1-Is2 = 50,12 + 31,63j = 59,26  32,26° mA I3 = Is2 = 19,92 + 4,368j = 20,39  12,37° mA Činný výkon = U*ks(I1) = 1,799 + 0,5776j = 1,89  17,8° VA S P = Re(S) = 1,799 W Využívá možnosti Excelu z programových balíků Office 2000, XP a 2003. Umožňuje do listu Excelu

Elektrotechnika 2 cvičení 

napsat zadání příkladu



nakreslit schéma obvodu



zadat parametry prvků obvodu

63

 sestavovat obecné vztahy s automaticky prováděnými numerickými výpočty. Program „napodobuje“ výpočty s běžným kalkulátorem a ručně psanými hodnotami do sešitu. Je určen pro osvojení základních vztahů z analýzy harmonického ustáleného stavu. Koncepce programu Program ANSYM je sestaven z maker (procedur), naprogramovaných v jazyce Visual Basic. Tyto makra jsou připojeny k sešitu ANSYM.xls a k sešitům, odvozených z tohoto sešitu příkazem Uložit jako. Program je funkční pouze na počítačích s nainstalovaným programem Excel 2000 a vyšším. Funkčnost programu ANSYM je podmíněna na dostupnosti dvou doplňků v programu Excel: - doplněk Analytické nástroje (ANALYS32.XLL) rozšiřuje funkčnost Excelu o funkce a rozhraní z oblasti vědy a financí. - doplněk Analytické nástroje -VBA (ATPVBAEN.XLA) provádí jejich aplikaci. Potřebná nastavení programu Excel jsou popsána v průvodci instalací programu. Pracovní plocha programu je optimalizována pro rozlišení monitoru 1024×768. Program vytváří na první stránce listu Excelu vzorové řešení elektrického obvodu. Tato činnost se provádí pomocí editačního okna s ovládacími prvky a nápovědou. Výsledkem činnosti programu je formulář s dobrou formální úpravou a automaticky provedenými numerickými výpočty.

5.2

Program KLinRov

Program KLinRov je jednoduchý program (makro pro Excel) k řešení soustav komplexních lineárních rovnic 1. až 4. řádu Gaussovou eliminací. Požadavky  MS EXCEL 2000 a vyšší (pro MS EXCEL 2003 musí být SP3)  Musí být instalovány doplňky Analytické nástroje a Analytické nástroje - VBA (menu Nástroje/Doplňky…)  Musí se povolit spuštění makra Po spuštění programu se objeví obrazovka „ kalkulátoru“ představující maticový zápis soustavy rovnic: KX  Y,

kde K je matice koeficientů, X je matice hledaných neznámých a Y je matice pravých stran, tj.budicích veličin. Kalkulátor lze spustit tlačítkem Spustit makro.

Vlastní výpočet soustavy lineárních rovnic zahájíme volbou řádu soustavy (1, 2, 3 nebo 4).

64


Zadávání prvků matice je možné výběrem příslušného prvku (kliknutím myší nebo sekvenčně klávesou Tab); vybraný prvek matice je označen modrým podkladem. Hodnota označeného prvku matice se objeví v poli Editace, kde je možné ji modifikovat:  Lze zadávat komplexní čísla ve složkovém i polárním tvaru, vzájemný přepočet se provede automaticky; v matici je zobrazen vždy složkový tvar.  U polárního tvaru může být zvolen úhel ve stupních nebo v radianech.  Hodnoty se zobrazují zaokrouhlené na 4 platné číslice, podle potřeby ve vědeckém tvaru s exponentem. Není ovlivněna přesnost výpočtu, protože interně se čísla nezaokrouhlují  Při zadávání čísel se akceptuje desetinná čárka i tečka, je možné vkládat čísla i ve vědeckém tvaru (např. 1.6625E-5). Čísla menší než 1E-11 se pokládají za nulu.  Obvykle se zadává diagonálně symetrická matice K. Pak stačí zadat hodnoty prvků horního trojúhelníku matice K a tlačítkem Kopíruj zkopírovat hodnoty do dolního trojúhelníku. Výpočet se provede stiskem tlačítka Výpočet. Zobrazí se vektor výsledků Y a rovněž determinanty. Kliknutím na některý z výsledků se tento zobrazí v poli Editace (ve složkovém i polárním tvaru). Celou rovnici je možno smazat tlačítkem Vymaž. Program hlídá singularitu matice soustavy a případně upozorní na nutnost opravy.

5.3

Programy BCC 1.1 a BCC 2.1

Programy BCC 1.1 a BCC 2.1 jsou jednoúčelové programy s jednoduchým ovládáním sestavené pro výukové účely. Slouží pro rychlý výpočet základních střídavých parametrů obvodů, jejichž schémata jsou uvedena na obr.5.2.1a (BCC 1.1) a obr.5.2.1b (BCC 2.1). R1 R1

L1 C1

R2

L2

V1

L1

C1

C2

R2 V2

V1

L2

C2 V2

b)

a) Obr. 5.2.1 Schémata střídavých obvodů

Program řeší numericky nejen všechny parametry obvodů uvedených na schématech v obr. 5.2.1 a, b, ale i všechny jejich obvodové modifikace, které vzniknou vypuštěním libovolných prvků schémat. Základní vlastnosti programu: Programem lze pro zadaný kmitočet numericky vyčíslit tyto veličiny: 

Výstupní napětí V2 [V]

Voltage V2



Proud odebíraný ze zdroje [A]

Current



Napěťový přenos [-]

Transfer



Impedance jednotlivých větví obvodu []

Impedance



Admitance jednotlivých větví obvodů [S]

Admitance

 Výkon dodávaný zdrojem do obvodu Power Pro všechny vypočtené veličiny lze zobrazit kmitočtové charakteristiky s lineárním i logaritmickým měřítkem a automatickým určením všech rozsahů (včetně možností dalšího individuálního nastavení rozsahů). Program může být instalován vzhledem k principu výpočtu na libovolné konfiguraci PC, pro přehlednost zobrazení zadávaných parametrů a kresbu grafů je vhodné použít při zobrazování rozlišení 800×600 bodů.


65

Ovládání programů:

Po spuštění programu se zobrazí úvodní obrazovka, ze které se stiskem tlačítka RUN dostaneme do hlavního okna programu. Ve střední části obrazovky se nachází schéma simulovaného obvodu. Pod schématem jsou nabídky pro nastavení požadovaného druhu výpočtu. Zadávání parametrů jednotlivých prvků schématu se realizuje pomocí myši. Kliknutím na daný prvek se zobrazí editovací okno, do kterého se přímo zadává z klávesnice hodnota prvku. Hodnotu lze zadat v číselném formátu {1; 1,1e3; 1.2e-3...}, v numerickém formátu s použitím přídavných přípon {f, p, n, m, -, k, M, G, T - pro příponu mega se používá M} i ve formátu kombinovaném {1e+3k=1M}. Jako desetinný oddělovač lze použít tečku i čárku. Program ignoruje mezery. Po zadání je kliknutím myší na jiný prvek příp. opuštěním obrázku kurzorem vložená hodnota parametru prvku převedena do nejvýhodnějšího tvaru a pro potřeby zobrazení zaokrouhlena. (Výpočet probíhá s plnou zadanou přesností). Tato pravidla platí pro zadávání parametrů v libovolném editovacím okně programu.

Výpočet požadovaných parametrů se po vložení požadovaného pracovního kmitočtu (případně amplitudy či efektivní hodnoty požadovaného napětí zdroje V1 a jeho počáteční fáze) odstartuje stisknutím tlačítka Solve . Vypočtené parametry se zobrazí po stisku tlačítka Solve v novém okně. Na prvním řádku je zobrazen výsledek výpočtu ve složkovém tvaru (Re+jIm) a na druhém řádku ve verzorovém tvaru (Modul < fáze[o]). Modifikace schématu (vypuštění kteréhokoliv prvku ze schématu) je možné realizovat jednoduše pouhým vložením mezery (odklepnutí mezerníkem) příp. nekorektní hodnoty parametru prvku (např. nedeklarovaný symbol). Vložením se bezprostředně změní vizuální podoba prvku a je naznačeno, že je z obvodu vyřazen. Je-li prvek v sériové kombinaci, je nahrazen zkratem, prvky v paralelní kombinaci jsou nahrazeny nekonečnou impedancí. (Např. vypuštěním prvků L1, C1, R2, L2 v programu BCC2 lze realizovat výpočet parametrů integračního článku R1C1, atd.). Zobrazení kmitočtových charakteristik:

Stiskem tlačítka Characteristic se vyvolá okno nastavující parametry zobrazení dané charakteristiky: Auto: Automatické nastavení rozsahu stupnic Start frq: Počáteční bod na kmitočtové ose Stop frq: Koncový bod na kmitočtové ose Points: Počet diskrétních bodů ve kterých je průběh počítán (jako základní je přednastaveno 100 bodů) Axes X: Logaritmic, linear - druh měřítka kmitočtové osy X Axes Y: Logaritmic, linear - druh měřítka osy Y. Nastavení určuje i jednotku – při logaritmickém měřítku je vypočtená hodnota veličiny Y zobrazena v dB. Přednastavené parametry zobrazení je možno libovolně změnit zadáním nových parametrů. Po stisku tlačítka plot se zobrazí výsledné okno s oběma vypočtenými charakteristikami. Červená charakteristika odpovídá kmitočtové závislosti modulu (absolutní hodnotě) počítané veličiny a modrá charakteristika kmitočtové závislosti její fáze. Nastavením Read lze po najetí kurzorem na danou křivku odečítat vypočtené hodnoty přímo z grafu. Požadovanou část grafu je možné zvětšit tažením myší směrem z levé horní části grafu doprava dolů. (Pro toto zvětšování je vhodné mít nastaven počet bodů zobrazení alespoň 1000). Zmenšení požadované části grafu se provede tahem myší směrem opačným.

Shrnutí Obvyklý postup pro dosažení znalostí, potřebných pro analýzu elektrických obvodů, začíná osvojením základních poznatků o metodách jejich analýzy. Programy, popisované v této kapitole, představují pomůcku pro počítačovou podporu výuky základních poznatků o elektrických obvodech. Vyznačují se jednoduchou obsluhou. Univerzální programy obvykle komplexní nástroj s velkými možnostmi analýzy elektrických obvodů. Jejich obsluha je komplikovaná a jejich pořízení je finančně náročné.

66


Výsledky kontrolních příkladů Příklad V1 a R2

U

a

a R2

R3

Uabo

R3

R1

I

Ri Rab

U

R1

Ui

b

b

b b)

a)

c)

Vnitřní napětí náhradního zdroje U i  U abo  R3 .I n 

R3U R1  R2  R3

Vnitřní odpor Ri určíme pomocí schématu na obr. b). Ri  Rab 

R3  R1  R2  R1  R2  R3

Hledaný proud I z náhradního obvodu na obr. c). I

Ui Ri  R

Příklad V2 Napěťový zdroj s parametry U2, R2 zaměníme za proudový s proudem I2 

U 2 10   0,5 A R2 20

a vodivostí G2 

1 1   0, 05 S R2 20

Vznikne tak následující obvod, který nám zjednoduší sestavení rovnic pro uzlová napětí. G3

1

I1

2

G1

G4

G2

0 Do uzlu 1 jsou připojeny vodivosti G1 a G3 a proto G11  G1  G3

Obdobně vodivosti G2, G3 a G4 připojené do uzlu 2, vytváří prvek G22  G2  G3  G4

Uzly 1 a 2 propojuje vodivost G3 a proto vzájemná vodivost

I2

R


67

G12 = G21 = -G3 Uzlová napětí jsou orientována od uzlů 1 a 2 směrem k uzlu 0, což je zřejmé z pořadí jejich indexů. Proudy proudových zdrojů vtékají do uzlů 1 a 2 a jejich znaménka budou kladná. Rovnice sestavíme G1  G3  G 3 

G3

 U10   I1    G2  G3  G4  U 20   I 2 

a dosadíme hodnoty prvků 1 1 10  20    1  20

1   U10  0, 2  20      U 1 1 1 0,5     20     20 20 40  

Řešením rovnic dostaneme uzlová napětí U10  3, 0769 V, U 20  5, 2307 V .

Hledané proudy jsou I3 

U12 U10  U 20 2,1538    107, 7 mA R3 R3 20

I4 

U 20 5, 2307   130,8 mA R4 40

Příklad V3 Podle obecného algoritmu pro metodu smyčkových proudů sestavíme výchozí rovnice  R1  R2  R 2 

 R2   I s1  U1  U 2    , R2  R3   I s 2   U 2 

do kterých dosadíme konkrétní hodnoty prvků 10  5 5   I s1  12  15  5 5  2    I    15     s2    a vypočteme smyčkové proudy I s1  0, 675 A,

I s 2  2, 625 A

S ohledem na vzájemnou orientaci smyčkových a větvových proudů dostaneme I1  I s1  0, 675 A I 2  I s1  I s 2  0, 675  2, 625  1,95 A I 3  I s 2  2, 625 A

Aplikací Ohmova zákona dostaneme požadovaná napětí U R1  R1  I1  10  0, 675  6, 75 V U R2  R2  I 2  5  (1,95)  9, 75 V

U R3  R3  I 3  2  2, 625  5, 25 V

Příklad 1.1.7 A1  6, 4031  e j141,34  6, 403141,3, A 2  5,385  e  j68,2  5,385  68, 2 .

68


Příklad 1.1.8 A1*  20  j50 a A*2  935 .

Příklad 1.1.9 A1  A 2  10  j46, 6   47, 6677,89, A1  A 2   110  j126, 6   167, 7131.

Příklad 1.1.10 A1  A 2  1471  j581, 2   1581  21, 6, A1 / A 2   0,3311  j0,5389   0, 63258, 43.

Příklad 1.2.6 U m  64, 03 V , U  45, 28 V .

Příklad 1.2.7 U   4,83  j1, 294  V  5 15 V .

Příklad 1.2.8 i  0   4,95 A .

Příklad 1.2.9 u1  158  sin  314t  26, 6  V , u2  158  sin  314t  63, 4  V , u3  120  sin  314t  45  V .

Příklad 1.2.10 U   40,58  j20,97  V .

Příklad 1.2.11

  44,19, I m  34, 27 A . Příklad 1.2.12 I  (6,124  j3,536) A , I m  1030  (8, 66  j5) A , i (t )  10  e jt  30 A Příklad 1.2.13 i  t   24, 43sin t  60, 04  A .

Příklad 1.2.14 U m  U m1  U m2  29, 29  j28, 66  40,98  e j44,37 V ,

u (t )  Im U m  e jt   40,98  sin(t  44,37) V .

Příklad 1.2.15 I m  I1m  I 2m  I 3m  24,94  j12, 05  27, 7  e j25,8 A , i  t   Im I m  e jt   27, 7  sin t  25,8  A .


Příklad 1.3.6 Z  R  j L  10  j50  50,9978, 69  .

Příklad 1.3.7 Z  6, 25 0  .

Příklad 1.3.8 Z  18, 65  j20,16   .

Příklad 1.3.9 Y   0, 0552  j0, 0052  S .

Příklad 1.3.10 Y  0,133e  j11,72 S .

Příklad 1.3.11 f  100 Hz : Z   20  j0,9425   20, 022, 70 ,

a)

f  1 kHz :

Z   20  j9, 425   22,1125, 22 ,

f  10 kHz : Z   20  j94, 25   96,3578, 02 . f  100 Hz : Z   0, 0443  j0,9404   0,941587,30 ,

b)

f  1 kHz :

Z   3, 635  j7, 712   8,52664, 77 ,

f  10 kHz : Z  19,14  j4, 061  19,5611,98 . f  1 kHz :

c)

Z  1995  j8058   8301  76, 09 ,

f  10 kHz : Z  1597  j1598   2259  45, 03 , f  100 kHz : Z   76,14  j462,3  468,5  80, 65 . f  400 kHz : Z   22, 66  j343, 2   343,9  86, 22 ,

d)

f  500 kHz : Z  18,1  j71, 03  73,3  75, 70 , f  600 kHz : Z  15, 63  j148,1  14983,98 . f  3 kHz : Z   j31,99  31,99  90 ,

e)

f  5 kHz : Z  j678  67890 , f  10 kHz : Z   j46,92  46,92  90 .

Příklad 1.3.12 f  50 Hz : Y  (9,86  j 313,9) 106  31488, 20 μS,

a)

f  500 Hz : Y  (0,898  j 2,859) 103  2,99772,56 mS, f  5 kHz :

Y  (9, 08  j 2,89) 103  9,52917, 66 mS.

69

70

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně f  50 Hz : Y   0, 01  j0, 000314   0, 010011,8 S,

b)

f  500 Hz : Y   0, 01  j0, 00314   0, 0104817, 44 S, Y   0, 01  j0, 0314   0, 032972,34 S.

f  5 kHz :

f  10 kHz : Y  (1, 001  j 0, 01254) 103  1, 0010, 72 mS,

c)

f  30 kHz : Y  (1, 006  j 0, 03686) 103  1, 0062,1 mS, f  100 kHz : Y  (1, 05  j 0,1003) 103  1, 0555, 46 mS. f  400 kHz : Y   0,3954  j0, 4759   0, 6164  50,1 S,

d)

f  500 kHz : Y   0,9355  j0, 068   1, 0664, 21 S, f  600 kHz : Y   0,9031  j0,1125   0,91  7,1 S.

Příklad 1.3.13 Z   993,1  j36, 41  993,8  e  j2,1 , Y  1, 006  j0, 03686  .10 3  1, 006  e j2,1 S.

Příklad 1.3.14 Z  61,89  j17,98  64, 45  e j16,2  . Příklad 1.3.15 Yi  0,11e j67 S .

Příklad 1.3.16 U i  5015 V,

Zi  10  15 .

Příklad 1.3.17 Z  33  . Příklad 1.3.18 I =1,83 A .

Příklad 1.3.19 I L  I R  8, 485 A .

Příklad 1.3.20 I  2,15 A .

Příklad 1.4.5 I  4, 478  26, 63 mA, I1  6,336  71,55 mA, I 2  4, 47463, 48 mA , U1  12, 6618, 45 V, U 2  4, 483  116, 6 V.


Příklad 1.4.6 I1  9, 6  j7, 2  12,1  36,9 A , I 2  2, 64  j0, 48  2, 68169, 7 A, I 3  12, 24  j7, 68  14, 45  32,1 A.

Příklad 1.4.7 I  17,3462,57 mA.

Příklad 1.4.8 I  0, 2152 e- j63,5 A.

Příklad 1.5.3 I 2  56,3 mA .

Příklad 1.5.4 I 3  0,19081  59, 47A.

Příklad 1.5.5 U i  35,3  j51,31  62, 2855, 47 V, Zi  44, 03  j17, 46  47,36  21, 64 , I 2  0, 2987  j0, 687  0, 7492113,5 A.

Příklad 1.6.4 U 2  1, 625 103 e j100 V

Příklad 1.6.5 I s1  1,14  j1, 426  1,82651, 4A , I s2  1, 233  j0,1495  1, 2426,91A , I 2  I s1  I s2   0, 093  j1, 277   1, 2894, 2A.

Příklad 1.6.6 f  100 Hz : U R2  3,173717,80 V, f  160 Hz : U R2  3,333  0, 202 V, f  250 Hz : U R2  3,183  17,30 V.

Příklad 1.6.7 I C1  51, 26  j8, 777  52, 019, 72 mA, I C2  0, 4734  j1,372  1, 451  109 mA, I R2  2,183  j0, 7535  2,31161 mA.

Příklad 1.6.8

71

72


I1  0, 6752  j0,1658  0, 695213,8 A, I 2  0, 03698  j0, 4513  0, 4528  85,32 A, I 3  0, 7122  j0, 2855  0, 7672e  j21,84 A.

Příklad 1.7.3 I 2  56,3 mA .

Příklad 1.7.4 U 2  2, 7547  e j15,4 V.

Příklad 1.7.5 U 2  9,811  e  j38,06 V.

Příklad 1.7.6 I C   20,3  j33, 2  A .

Příklad 1.7.7 I 3  0, 7672e  j21,84 A .

Příklad 1.7.8 U 4  78, 79e  j 8759 ' V. Příklad 1.7.9 I1  0, 2152 e  j63,5 A, I 2  0, 02828 e j91,9 A, I 3  0,1908 e  j59,5 A.

Příklad 1.7.10 U 2  0,8944e  j34,03 V.

Příklad 1.8.3 Z  17,1567,83 ,

S  220  j540  583,167,83 VA,

P  220 W, Q  540 VAr, S  583,1 VA .

Příklad 1.8.4 P1  202 W, P2  179 W, P3  112 W, Q1  121 VAr, Q 2  52,3 VAr, Q3  149,3 VAr.

Příklad 1.8.5 Komplexní výkony jednotlivých dvojpólů: S1  912  7840 '  179  j894  VA, S 2  4475310 '   268  j357  VA, S 3  4470  447 VA.

Činné výkony jsou reálnou složkou komplexních výkonů:


73

P1  Re S1  179 W, P2  Re S 2   268 W, P3  Re S3   447 W.

Jalové výkony jsou imaginární složkou komplexních výkonů: Q1  Im S1   894 VAr,

Q2  Im S 2   357 VAr, Q3  Im S 3   0 VAr.

Příklad 1.8.6 Z3  16,9  j2, 75  .

Příklad 1.8.7 PR1 =177,9 W, QC  890, 2 VAr, PR2  266,8 W, QL  356, 2 VAr, PR3  444, 7 W.

Příklad 1.9.5 f r  1,591 MHz, Q  100, I r  0,1 A, Pr  R  I r2  0,1 W,

U Lr  U Cr  100 V.

Příklad 1.9.6 f r  3,109 MHz, Q  58,9, I r  7, 77 105 A, U r  2, 23 V.

Příklad 1.9.7 Rezonanční kapacita C  175,9 pF , činitel jakosti Q  75, 4 , impedance v rezonanci Z r  113, 7 k.

Příklad 1.9.8 Z

1   2  L1C1  L2 C2  L2 C1    4 L1 L2 C1C2 jC1 1   L2 C2  2



1  1, 6.108  2  5.1017  4 j106 1  5.109  2 

Kmitočty sériové rezonance

1  9, 24 103 s 1 , 2  15,3 103 s 1 .

Kmitočet paralelní rezonance

3  14,14 103 s 1 .

.

Příklad 1.9.9 1 1 j C KU   , u2  t   4, 277  sin t  78, 23  V 1 1  j RC R j C

Příklad 2.3.1 a) normální stav U1  350,3  29 V

U 2  371,97   96 V

U 3  48,38 144 V

b) přerušení vodiče druhé fáze U1  332   83 V, U 2  0, U 3  332   157 V.

c) nahrazení spotřebiče Z1 zkratem

U1  0 V, U 2  398, 4   150 V, U 3  398, 4 150 V.

74


Při této poruše jsou na zátěžích napětí sdružená.

Příklad 2.3.2 U N  38,85  120,9 V,

S1  310  j620, 2  693, 2  63, 4 VA,

U1  124,5215,52 V,

S 2  74,81  j149, 6  167,3  63, 4 VA,

U 2  61,16  119, 4 V

S3  509, 4  j0  509, 4  0 VA.

U 3  123, 62104,1 V.

Příklad 2.3.3 I1  17,32120 A, I 2  17,32  120 A, I 3  17,32 0 A.

Příklad 2.3.4 U N  86,94   19,11 V, I1  30,1110,9 A, I 2  26, 08  139,1 A, I 3  15, 06 130,9 A.

Příklad 2.3.5 U N  115,5  60 V.

Příklad 2.3.6 Proudy v impedancích: I1  6, 765  j4, 059  7,889  30,96 A, I 2  6 ,897 - j3,829  7,889  150,96 A, I 3  0 ,1327 + j7 ,888  7, 88989, 04 A.

Napětí na impedancích: U1  176, 4  4, 4 V, U 2  176 , 4  124, 4 V, U 3  176 , 4115,6 V.

Příklad 2.3.7 Proudy fázovými vodiči:

I1  46  36,87 , I 2  46  156,87 A, I 3  4683,13 A.

Celkový komplexní výkon na zátěži

S  25392  j19044  3174036,87 VA.

Celkový zdánlivý, činný a jalový výkon: S  31740 VA, P  25392 W, Q  19044 VAr. Poznámka: fázové posuny platí vzhledem ke sdruženým napětím.

Příklad 3.1.3 uC 1,5    9, 322 V

Příklad 3.1.4


75

iL  t   10  7,5  e 1.10 t mA, uL  t   7,5  e 1.10 t V, 6

6

iL (1 μs)  7, 241 mA, uL (1 μs)  2, 759 V, iL ()  10 mA, uL ( )  0 V. 10

8

8

6

uL(t) (V)

iL(t)

(mA) 6

4

4

2

2

0

2

4 t (s)

6

0

8

0

2

Příklad 3.2.7 i2  t   2, 4e 40t A, i3  t   6 1  e 40t  A.

i1  t   6  3, 6e 40t A,

Příklad 3.2.8 iL  t   2,5  7,5  e t 410 mA, 6

6

uL 1 μs   0,549 V,

iL 1 μs   2, 637 mA, iL     2,5 mA,

uL  t   30  e  t 410 V,

uL     0 V.

Příklad 3.2.9 uC1  t   277,1  e 10 t  sinh(8660 t ) V , 4

uC2  t   1, 2 106  t  e 5000 t V ,

uC3  t   61,97  e 1250t  sin(4841t ) V .

Průběhy napětí na kapacitoru pro různé hodnoty R (1: 50 , 2: 100  3: 400 ) 120 100 80 uC(t) (V)

1

60 40

2

20

3

0 -20

0

Příklad 3.2.10 Počáteční podmínky

1

2

t (ms)

3

4

5

4 t (s)

6

8

76


uC  0   U 

R2 U  15 V, i  0    0, 01A. R1  R2 R1  R2

Obvodová rovnice u  0 U  LiL  0   C 5.109 p  15 106 p p .  I  p  1 5.107 p 2  1,5 103 p  1 R1  pL  pC

Hledaný proud



i  t   L1  I  p   0, 02  e 10 t  0, 01  e 210 3

3

t

 A.

Příklad 3.2.11 a)

 1 R 1    U a t  R  sinh  bt   , uC  t   U 1  e a t  cosh  bt      sinh  bt    , i  t   e  cosh  bt   2bL R b  2 L RC       2

kde

b)

R 1  R   1250 s 1 , b    750 s 1 ,   2L  2 L  LC

    U a t  R 1  R 1  sinh 0 t   , uC  t   U 1  e  a t  cos 0 t      sin 0 t    , i  t   e  cos 0 t   20 L R 0  2 L RC       

kde c)

a

a

R  500 s 1 , 0  2L

uC  t   U 1  e a t  ,

kde

a

i t  

R  1000 s 1 , 2L

1 LC

2

 R  1    866 s ,  2L 

U  at e , R 2

1  R  b   0 s 1  mez aperiodicity .   L LC 2  

Příklad 3.2.12 Napěťový přenos KU  p  

 p 1 R L L ,  1 , 1  ,  R  RL  p  1 RL R  RL

Impulsová charakteristika g t    t  

R t e . L

Přechodná charakteristika h t  

t  RL R  e  . R  RL R  RL

Příklad 3.2.13 i t  

Um Z

t    sin t       sin     e  

V tomto vztahu je

 . 


77

Z  R 2   L   254, 4 , 2

 L    1, 4129 rad,  R 

  arctan  

L  0, 02 s. R

Po dosazení numerických hodnot i  t   0, 4717  sin  314 t  0,8893  0, 7766 e50 t  A.

Příklad 4.3.1 U 2  42  126,1 V,

I 2  71  117, 7 mA, I1  101,58, 45 mA .

Příklad 4.3.2 Z vst0  700  20  , Z vstk  4506  .

Příklad 4.3.3 I 2k  190 mA.

Příklad 4.3.4 Vstupní impedance vedení nakrátko

Z vstk  jZ v tg ( )  j61,8 Ω .

Podmínka paralelní rezonance

Z vstk 

Velikost kapacity

Cp 

1

 Cp

.

1 1   4, 29 pF.  Z vstk 2π 600 106  61,8

78


Seznam použité literatury [1]

[1] VALSA J., SEDLÁČEK, J.: Teoretická elektrotechnika II. VUT Brno 2004

[2]

VALSA, J., SEDLÁČEK, J.: Teoretická elektrotechnika I. VUT Brno 1997

[3]

GESCHEIDTOVÁ, E. a kol.: Základní metody měření v elektrotechnice. Skriptum VUT Brno, 2000.

[4]

ŠKRÁŠEK, J., TICHÝ, Z.: Základy aplikované matematiky III. SNTL Praha, 1990.

[5]

MIKULEC, M., HAVLÍČEK, V.: Základy teorie elektrických obvodů I. ČVUT Praha 1997

[6]

MIKULEC, M., HAVLÍČEK, V.: Základy teorie elektrických obvodů II. ČVUT Praha 1998

[7]

MAYER, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA Praha 1978

[8]

BIOLEK, D., HÁJEK, K., VIKTORIN, J.: Úvod do elektrotechniky. VA Brno 1988

[9]

VLACH, J.: Basic Network Theory with Computer Applications. Van Nostrand Reinhold, New York 1992

[10]

IRWIN, J. D.: Basic Engineering Circuits Analysis. Macmillan Publishing Company, New York 1987

[11]

HOWATSON, A. M.: Electrical Circuits and Systems. Oxford University Press 1996

[12]

DUFEK, M, MIKULEC, M.: Příklady z teoretické elektrotechniky. SNTL Praha 1970

[13]

BRANČÍK, L., VESELÝ, M., ZAPLETAL, Z.: Teoretická elektrotechnika I-sbírka příkladů. VUT Brno, 2001

[14]

BRANČÍK, L. VESELÝ, M.: Teoretická elektrotechnika II - sbírka příkladů. VUT Brno, 2000

Elektrotechnika 2 - sbírka příkladů

Recommend Documents