Elektrotechnika 2 - laboratorní cvičení

Elektrotechnika 2 - laboratorní cvičení

Garant předmětu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Autoři textu: doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.

Brno

10.2.2010

Obsah ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU ..............................................................................4 ÚVOD......................................................................................................................................................................4 OBECNÉ POKYNY PRO LABORATORNÍ CVIČENÍ....................................................................................4 OVLÁDÁNÍ GENERÁTORU 33120A.................................................................................................................6 OVLÁDÁNÍ MULTIMETRU 34401A.................................................................................................................7 OVLÁDÁNÍ OSCILOSKOPU GDS-820C ..........................................................................................................8 PROGRAM KLINROV ........................................................................................................................................9 1 A IMPEDANCE DVOJPÓLU........................................................................................................................10 2 A ANALÝZA OBVODU V HARMONICKÉM USTÁLENÉM STAVU ...................................................17 3 A VÝKON V JEDNOFÁZOVÉM OBVODU ...............................................................................................23 4 A FÁZOROVÉ DIAGRAMY.........................................................................................................................27 5 A SÉRIOVÝ REZONANČNÍ OBVOD .........................................................................................................31 6 A PARALELNÍ REZONANČNÍ OBVOD....................................................................................................35 7 A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ČLÁNKŮ RC A CR ...................................................................................39 1 B TROJFÁZOVÁ SOUSTAVA .....................................................................................................................46 2 B VÝKON V TROJFÁZOVÉ SOUSTAVĚ..................................................................................................54 3 B PŘECHODNÉ DĚJE V OBVODECH RC A RLC ..................................................................................60 4 B ANALÝZA NEHARMONICKÝCH SIGNÁLŮ.......................................................................................68 5 B ŠÍŘENÍ VLN NA HOMOGENNÍM VEDENÍ ..........................................................................................73 6 B PŘECHODNÉ DĚJE NA HOMOGENNÍM VEDENÍ.............................................................................82 7 B SIMULACE ELEKTRICKÝCH OBVODŮ .............................................................................................90

2

Seznam tabulek TAB. 1

VZTAHY MEZI NAPĚTÍM A PROUDEM PRO ZÁKLADNÍ OBVODOVÉ PRVKYR, L, C......................................... 12

TAB. 2 IMPEDANCE MĚŘENÝCH DVOJPÓLŮ SLOŽENÝCH Z PRVKŮ RLC V SÉRII ...................................................... 15 TAB. 3

VZOR TABULKY PRO ZOBRAZENÍ NAPĚTÍ A PROUDŮ MĚŘENÝCH DVOJPÓLŮ ............................................... 16

TAB. 4

EFEKTIVNÍ HODNOTY PROUDŮ V OBVODU .................................................................................................. 21

TAB. 5

EFEKTIVNÍ HODNOTY NAPĚTÍ V OBVODU ................................................................................................... 21

TAB. 6

TEORETICKÉ HODNOTY VÝKONU STŘÍDAVÉHO OBVODU ............................................................................ 25

TAB. 7

NAMĚŘENÉ HODNOTY VÝKONU STŘÍDAVÉHO OBVODU .............................................................................. 26

TAB. 8

NAMĚŘENÉ HODNOTY NAPĚTÍ A PROUDŮ PRVKŮ DVOJPÓLŮ ...................................................................... 29

TAB. 9 IMPEDANCE MĚŘENÝCH DVOJPÓLŮ ............................................................................................................ 29 TAB. 10

ZÁVISLOST UC A IMPEDANCE SRO NA KMITOČTU .................................................................................... 33

TAB. 11

NAMĚŘENÉ A TEORETICKÉ HODNOTY SRO .............................................................................................. 34

TAB. 12

NAMĚŘENÉ A TEORETICKÉ HODNOTY PRO .............................................................................................. 38

TAB. 13

MEZNÍ KMITOČET A ČASOVÁ KONSTANTA ČLÁNKŮ RC A CR .................................................................. 44

TAB. 14

NAPĚŤOVÝ PŘENOS ČLÁNKU RC .............................................................................................................. 44

TAB. 15

NAPĚŤOVÝ PŘENOS ČLÁNKU CR .............................................................................................................. 45

TAB. 16

FÁZOVÁ A SDRUŽENÁ NAPĚTÍ (MAXIMÁLNÍ HODNOTY) SOUMĚRNÉ TROJFÁZOVÉ SOUSTAVY ................... 52

TAB. 17

VYPOČTENÉ FÁZOVÉ IMPEDANCE ZÁTĚŽE ................................................................................................ 52

TAB. 18

NAPĚTÍ NA IMPEDANCÍCH ZÁTĚŽE (MAXIMÁLNÍ HODNOTY) PŘI ROZPOJENÍ A ZKRATU JEDNÉ FÁZE .......... 52

TAB. 19

FÁZOVÉ PROUDY (MAXIMÁLNÍ HODNOTY) ............................................................................................... 53

TAB. 20

SDRUŽENÉ PROUDY SOUMĚRNÉ A NESOUMĚRNÉ ZÁTĚŽE  (MAXIMÁLNÍ HODNOTY) ............................... 53

TAB. 21

VYPOČTENÉ FÁZOVÉ IMPEDANCE ZÁTĚŽE ................................................................................................ 58

TAB. 22

VYPOČTENÉ HODNOTY PRO SOUMĚRNOU ZÁTĚŽ ...................................................................................... 58

TAB. 23

NAMĚŘENÉ HODNOTY PRO SOUMĚRNOU ZÁTĚŽ ....................................................................................... 58

TAB. 24

VYPOČTENÉ HODNOTY PRO NESOUMĚRNOU ZÁTĚŽ .................................................................................. 58

TAB. 25

NAMĚŘENÉ HODNOTY PRO NESOUMĚRNOU ZÁTĚŽ ................................................................................... 59

TAB. 26

PŘECHODNÝ DĚJ V SÉRIOVÉM RC OBVODU .............................................................................................. 66

TAB. 27

PŘECHODNÝ DĚJ V SÉRIOVÉM RLC OBVODU PŘI PODKRITICKÉM TLUMENÍ .............................................. 66

TAB. 28

ANALÝZA SIGNÁLU OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮBĚHU ...................................................................................... 72

TAB. 29

ČINITEL ODRAZU NA KONCI VEDENÍ A PSV PRO RŮZNÁ ZAKONČENÍ ........................................................ 80

TAB. 30

ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ NA VEDENÍ PŘI ROZDÍLNÉ ZÁTĚŽI .............................................................................. 80

TAB. 31

KMITOČTOVÁ ZÁVISLOST VSTUPNÍHO NAPĚTÍ VEDENÍ ............................................................................. 80

TAB. 32

PRIMÁRNÍ A SEKUNDÁRNÍ PARAMETRY MĚŘENÉHO VEDENÍ ..................................................................... 88

TAB. 33

ÚTLUM A ZPOŽDĚNÍ VEDENÍ ..................................................................................................................... 89

TAB. 34

SIMULOVANÉ HODNOTY PROUDU A NAPĚTÍ V OBVODU V HARMONICKÉM USTÁLENÉM STAVU ................ 95

TAB. 35

SIMULOVANÉ HODNOTY SRO .................................................................................................................. 96

TAB. 36

SIMULOVANÉ HODNOTY PŘECHODNÉHO DĚJE OBVODU RC...................................................................... 96

TAB. 37

SIMULOVANÉ HODNOTY PŘECHODNÉHO DĚJE OBVODU RLC ................................................................... 96

TAB. 38

SIMULOVANÉ HODNOTY PŘECHODNÉHO DĚJE OBVODU RL ...................................................................... 96

3

ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU Předmět Elektrotechnika 2 (BEL2) je zařazen do druhého semestru bakalářského studijního programu všech oborů studia na FEKT VUT v Brně. Předmět sestává z přednášek, laboratorních cvičení a počítačových cvičení.

ÚVOD Náplň jednotlivých úloh laboratorních cvičení je volena tak, aby si studenti prakticky ověřili poznatky získané na přednáškách, naučili se samostatné experimentální práci a získali tak průpravu pro práci jak ve vyšších ročnících studia, tak pro budoucí praxi. Koncepce jednotlivých úloh by měla vést studenty k osvojení formální stránky práce v laboratoři, získání správných návyků, stanovení cíle experimentu, vyhotovení záznamu o jeho průběhu a zhodnocení vlastních výsledků s ohledem na zadání. V úlohách je kladen důraz na porovnání teoretických hodnot s experimentem. Úlohy jsou navrženy tak, aby bylo možno zanedbat vliv měřicích přístrojů, neboť otázka technik měření bude probírána v předmětu Měření v elektrotechnice.

OBECNÉ POKYNY PRO LABORATORNÍ CVIČENÍ Laboratorní úlohy jsou rozděleny do dvou skupin: A pro první polovinu a B pro druhou polovinu semestru. Úlohy jsou v laboratořích zdvojeny, takže jednu úlohu měří zároveň dvě dvojice studentů. Laboratorní cvičení sestává z těchto částí:  domácí příprava,  práce v laboratoři,  zpracování výsledků měření. Pro laboratorní cvičení je nutné vést pracovní sešit (A4, doporučujeme čtverečkovaný), do kterého se zapisují přípravy i zpracování úloh. Každou úlohu v sešitě označte v záhlaví názvem a číslem, dále uveďte datum, kdy jste dané cvičení absolvovali. Úlohy musí být psány ručně, pouze tabulky a grafy je možné vytvořit pomocí počítače.

Domácí příprava na cvičení Příprava sestává ze zpracování teoretických poznatků, týkajících se daného cvičení a je nutné její písemné vypracování do sešitu. Základem pro domácí přípravu je „Teoretický úvod“, který je součástí každé úlohy v tomto skriptu. Účelem domácí přípravy je pochopení podstaty dané úlohy, které je nutné ke správnému provedení vlastního měření. Teoretickou znalost příslušné problematiky je třeba prokázat během cvičení. Písemná příprava v sešitě začíná na nové straně a musí obsahovat:  Číslo úlohy a nadpis, datum měření  Zadání (viz „Úkol“ u každé úlohy),  Stručný výtah z teoretického úvodu (uveďte základy teorie včetně matematických vztahů, popřípadě principiálních schémat,  Skutečné schéma zapojení (tužkou),  Připravené tabulky (vzory tabulek jsou uvedeny v tomto skriptu v části “Zpracování“. Pro přehlednost jsou buňky tabulek, které se neměří, ale počítají, podbarveny šedě. V tabulkách jsou rovněž odkazy na čísla vztahů, které se mají při výpočtech použít.)  Vypracovaný postup podle pokynů v odstavci Domácí příprava v návodu. Příprava má být stručná a výstižná, neopisujte celý teoretický úvod. Rovněž není účelné opisovat „Postup měření“. Bez znalosti teorie a bez písemné přípravy nebude posluchači umožněno cvičení absolvovat.

Práce v laboratoři Pracoviště v laboratoři jsou pro přehlednost označena čísly, která se shodují s číslováním úloh ve skriptu. Na pracovišti jsou připraveny všechny potřebné přístroje a příslušenství.

4

Při zapojování postupujte podle schémat skutečného zapojení. Během zapojování postupujte systematicky, abyste se vyvarovali chyb a zapojení bylo přehledné. Dokončené zapojení si nechte zkontrolovat učitelem, který připojí úlohu ke zdrojům. Během práce v laboratoři dodržujte zásady bezpečnosti práce. Jakékoliv změny v zapojení provádějte pouze při odpojených zdrojích. Důležitou součástí práce v laboratoři je zřetelné a čitelné zaznamenání naměřených hodnot tak, aby bylo možné spolehlivě pokračovat ve zpracování úlohy. Ze stejného důvodu je třeba pořídit si seznam použitých přístrojů, který obsahuje kromě typů přístrojů i jejich výrobní čísla a u měřicích přístrojů také údaje o jejich přesnosti. Po skončení vlastního měření zkontrolujte vyhodnocením alespoň několika hodnot správnost měření. Teprve po této kontrole můžete úlohu případně rozpojit a pracoviště uklidit. Před rozpojením zásadně nejprve nastavte výstupní veličiny zdrojů na nulové hodnoty a odpojte od nich vodiče! Výsledky si dejte ověřit učitelem. Ve zbývajícím čase můžete začít zpracovávat naměřené hodnoty.

Zpracování výsledků Při zpracování změřené úlohy nezapomeňte na následující části: Seznam použitých přístrojů slouží k tomu, aby bylo možné měření reprodukovat za stejných podmínek. Musí tedy obsahovat soupis všech použitých přístrojů a zařízení, i pomocných. U většiny zařízení se uvádí pouze typ. U měřicích přístrojů pak následující údaje:  druh a typ přístroje,  výrobce a výrobní číslo,  princip - značku soustavy (u analogových měřicích přístrojů),  rozsahy,  údaje o přesnosti přístroje (třída přesnosti u analogových, chyba u číslicových). Tabulky naměřených a vypočtených hodnot Tabulky je třeba uspořádat čitelně a přehledně, aby z nich bylo možné vyčíst všechny požadované hodnoty. Veličiny a jednotky uvádějte podle ustálených zvyklostí v SI soustavě. Za tabulku vypočtených hodnot vždy uveďte obecný vztah a příklad výpočtu (výpočet hodnot jednoho řádku či sloupce tabulky). V některých tabulkách se provádí porovnání naměřených Xměř. a teoretických Xteor. hodnot podle jejich relativní odchylky X

 X  100 

X měř.  X teor. . X teor.

(%)

(1)

Grafické zpracování Grafy lze vypracovat buď na milimetrový papír, nebo pomocí počítače a následně vlepit do sešitu. U některých úloh používajících počítače se grafy tisknou již během měření. V každém případě je třeba vhodně zvolit typ grafu, měřítka os a způsob proložení zobrazených bodů. Osy grafu musí být řádně označeny, aby bylo zřejmé, jakou veličinu vyjadřují. Součástí grafu je i jeho nadpis. Pokud je v jednom grafu zakresleno více křivek, musí být zřetelně označeny a odlišeny. Závěr má obsahovat stručný, ale výstižný rozbor naměřených a vypočtených hodnot. Musí korespondovat se zadáním úlohy. Nemá být kvalifikací podmínek měření, ale zhodnocením naměřených parametrů a jejich teoretickým zdůvodněním. Pokud je výsledkem měření jen málo hodnot, je vhodné je do závěru zopakovat. V případě, že jde o rozsáhlé výsledky (tabulky, grafy), stačí na ně uvést odkaz. Součástí závěru by měla být i úvaha o přesnosti provedeného měření s uvedením možných zdrojů chyb, tedy zhodnocení věrohodnosti získaných výsledků.

5

OVLÁDÁNÍ GENERÁTORU 33120A Generátor 33120A je programovatelný laboratorní generátor periodického signálu libovolného průběhu s kmitočtovým rozsahem do 15 MHz. Popis přístroje omezíme na funkce podstatné pro měřené úlohy.

Vzhled čelního panelu generátoru 33120A Volba tvaru výstupního signálu se provádí stiskem tlačítek v horní řadě - Function. Důležitá jsou první tři – harmonický (~), obdélníkový a trojúhelníkový signál. U obdélníkového signálu je možné změnit činitel plnění pomocí volby Shift a % Duty. Frekvence generovaného signálu se nastavuje po stisku tlačítka Freq, amplituda pak po stisku tlačítka Ampl. Stejnosměrnou složku signálu lze nastavit pomocí tlačítka Offset. V zásadě je možné tyto hodnoty měnit dvěma způsoby:  otočným ovladačem můžete měnit hodnotu oběma směry, změna se provádí na tom řádovém místě, které problikává. Měněné řádové místo lze změnit tlačítky <, >;  pro rychlé nastavení frekvence nebo amplitudy lze přímo zadat požadovanou hodnotu takto: stiskněte Enter Number a poté zadejte číselnou hodnotu (platí zelená čísla u tlačítek); pak stiskněte jedno z tlačítek určující řád zadané hodnoty  (MHz, Vpp),  (kHz, Vrms) či  (Hz, dBm). Pokud stisknete předem ještě Shift, je vložena namísto V hodnota mV. Poznámka: Vpp je napětí špička-špička (tedy dvojnásobek amplitudy Um), Vrms je efektivní hodnota napětí (U). Nastavovaná veličina je zobrazena na displeji včetně jednotky. Desetinná místa jsou oddělena tečkou, zatímco zobrazené čárky pouze oddělují trojice čísel kvůli lepší čitelnosti. Výstup generátoru je označen Output, pozor na záměnu se synchronizačním výstupem Sync. Výstupní impedance generátoru je 50 .

6

OVLÁDÁNÍ MULTIMETRU 34401A Multimetr 34401A je laboratorní číslicový 61/2 místný měřicí přístroj. Popis přístroje omezíme na funkce podstatné pro měřené úlohy.

Vzhled čelního panelu číslicového multimetru 34401A Měření střídavého napětí zvolíte tlačítkem AC V. Měřené napětí připojte na svorky Input V Hi a Lo umístěné zcela vpravo; pozor na záměnu se svorkami Hi a Lo určenými pro čtyřvodičové měření odporu (4W Sense). Měřená veličina je zobrazena na displeji včetně jednotky. Desetinná místa jsou oddělena tečkou, zatímco zobrazené čárky pouze oddělují trojice čísel kvůli lepší čitelnosti.

7

OVLÁDÁNÍ OSCILOSKOPU GDS-820C Jedná se o barevný LCD dvoukanálový osciloskop s číslicovou pamětí zobrazených průběhů a parametrů nastavení. Maximální vzorkovací kmitočet je 100 MS/s a šířka kmitočtového pásma je 150 MHz. Osciloskop umožňuje kurzorové měření kmitočtu, časových a napěťových hodnot zobrazených signálů. Pomocí sběrnice USB nebo RS232 lze osciloskop připojit k počítači.

Vzhled čelního panelu číslicového osciloskopu GDS-820C Měřená napětí se přivádějí na vstupy CH1 a CH2, vstupy mají společnou zem. Zobrazené křivky jsou barevně rozlišeny – CH1 žlutě a CH2 modře. Automatické nastavení rozsahů horizontální (časové) osy i vertikálních (napěťových) os obou kanálů se spustí tlačítkem AutoSet. Citlivost kanálů se nastavuje ovladači VOLTS/DIV a zobrazuje se na dolní liště displeje. Vertikální pozici zobrazených křivek lze měnit ovladači POSITION. Rozlišení časové osy se nastavuje ovladačem TIME/DIV. Pro měření parametrů signálů slouží blok tlačítek nahoře uprostřed panelu. Důležité je tlačítko Cursor, které zapne zobrazování kurzorových značek v displeji. Přepínání mezi kurzory vertikálními/horizontálními se děje funkčními tlačítky (F1 až F5) a posun zvoleného kurzoru po displeji se děje ovladačem VARIABLE.

8

PROGRAM KLINROV Program KLinRov je jednoduchý program (makro pro Excel) k řešení soustav komplexních lineárních rovnic 1. až 4. řádu Gaussovou eliminací. Požadavky  MS EXCEL 2000 a vyšší  Musí být instalovány doplňky Analytické nástroje a Analytické nástroje - VBA (menu Nástroje/Doplňky…)  Musí se povolit spuštění makra Po spuštění programu se objeví obrazovka „ kalkulátoru“ představující maticový zápis soustavy rovnic: KX  Y,

kde K je matice koeficientů, X je matice hledaných neznámých a Y je matice pravých stran, tj.budicích veličin. Kalkulátor lze spustit tlačítkem Spustit makro.

Vlastní výpočet soustavy lineárních rovnic zahájíme volbou řádu soustavy (1, 2, 3 nebo 4). Zadávání prvků matice je možné výběrem příslušného prvku (kliknutím myší nebo sekvenčně klávesou Tab); vybraný prvek matice je označen modrým podkladem. Hodnota označeného prvku matice se objeví v poli Editace, kde je možné ji modifikovat:  Lze zadávat komplexní čísla ve složkovém i polárním tvaru, vzájemný přepočet se provede automaticky; v matici je zobrazen vždy složkový tvar.  U polárního tvaru může být zvolen úhel ve stupních nebo v radianech.  Hodnoty se zobrazují zaokrouhlené na 4 platné číslice, podle potřeby ve vědeckém tvaru s exponentem. Není ovlivněna přesnost výpočtu, protože interně se čísla nezaokrouhlují  Při zadávání čísel se akceptuje desetinná čárka i tečka, je možné vkládat čísla i ve vědeckém tvaru (např. 1.6625E-5). Čísla menší než 1E-11 se pokládají za nulu.  Obvykle se zadává diagonálně symetrická matice K. Pak stačí zadat hodnoty prvků horního trojúhelníku matice K a tlačítkem Kopíruj zkopírovat hodnoty do dolního trojúhelníku. Výpočet se provede stiskem tlačítka Výpočet. Zobrazí se vektor výsledků Y a rovněž determinanty. Kliknutím na některý z výsledků se tento zobrazí v poli Editace (ve složkovém i polárním tvaru). Celou rovnici je možno smazat tlačítkem Vymaž. Program hlídá singularitu matice soustavy a případně upozorní na nutnost opravy.

9

1A Impedance dvojpólu

1A Impedance dvojpólu Cíl úlohy Na praktických příkladech procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. Na základních typech prakticky užívaných obvodů ověřit měřením přímou souvislost mezi impedancí dvojpólu (modulem a argumentem impedance) a odpovídajícími časovými průběhy napětí a proudu. Ukázat souvislost mezi časovými průběhy a fázory, používanými při analýze obvodů v harmonickém ustáleném stavu symbolickou metodou.

Úkol   

Zobrazte vzájemné poměry napětí a proudů zadaných dvojpólů a jejich kombinací. Ze zobrazených fázorů napětí a proudu spočtěte hodnoty impedancí dvojpólů. Ze zadaných parametrů prvků vypočtěte teoretické hodnoty impedancí dvojpólů.

Teoretický úvod Symbolický počet, fázory V lineárních obvodech, které jsou buzeny zdroji harmonického napětí a proudu stejného kmitočtu, dochází po odeznění přechodných dějů vyvolaných připojením zdrojů k harmonickému ustálenému stavu (HUS), při kterém všechny obvodové veličiny (napětí i proudy) mají harmonický časový průběh s konstantní amplitudou. Harmonicky proměnnou veličinu (napětí, proud) je možno popsat pomocí funkce sinus nebo kosinus. Okamžitou hodnotu časového průběhu harmonického napětí s periodou T (obr. 1) můžeme psát u  t   U m  sin t    ,

(V)

U 

obr. 1 Harmonické napětí

(2)

kde je Um ...................... amplituda,  = f .. úhlový kmitočet, t   ................ fáze,   počáteční fáze.

(V) (rad/s) (rad) (rad)

Stejný průběh můžeme rovnocenným způsobem popsat pomocí funkce kosinus π  u  t   U m  cos t      U m  cos  t     . 2 

(V)

(3)

Jestliže necháme v komplexní rovině rotovat vektor (představující například napětí) rovnoměrným kruhovým pohybem, jeho průmět do svislé (tj. imaginární) osy reprezentuje harmonicky proměnný průběh (obr. 1), který je popsán vztahem (2). Využití těchto rotujících vektorů přináší značné zjednodušení při analýze elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Vzájemné postavení vektorů velmi názorně ukazuje fázové poměry mezi napětími a proudy, proto se popisované rotující vektory v elektrotechnice nazývají fázory. Rotující fázor u(t), který může (svým průmětem) zastupovat okamžitou hodnotu skutečné harmonicky proměnné veličiny, se nazývá komplexní okamžitou hodnotou nebo též komplexorem. Modul této komplexní veličiny je roven amplitudě Um a argument je roven fázi ( t+ ). Reálnou složku komplexoru (jeho průmět do reálné osy) u  a imaginární složku komplexoru (jeho průmět do imaginární osy) u  můžeme zapsat u   Re u  t   U m cos t    ,

(V)

(4)

10


u   Im u  t   U m sin t   .

(V)

(5)

(V)

(6)

V souladu s Eulerovým vztahem můžeme proto rotující fázor (komplexor) zapsat u  t   u   ju   U m  e jt  U m  e j  e jt  U m  e jt   .

Im

t

u(t)

u’’

Um 

0 u’

T/2

Re

T

t

T  

obr. 2 Vztah mezi fázorem (komplexní rovina) a okamžitým průběhem (časová rovina) harmonického napětí Důležitější než okamžitá hodnota je pro praxi amplituda a počáteční fáze sledované veličiny, kterou vyjadřuje fázor maximální hodnoty U m  U m  e j .

(V)

(7)

Jak je vidět z obr. 2, je tento fázor totožný s rotujícím fázorem v okamžiku t = 0. V elektrotechnických aplikacích často pracujeme s efektivními hodnotami veličin, proto zavádíme fázor i v měřítku efektivních hodnot. Pro fázor efektivní hodnoty platí U  U  e j 

Um 2

 e j 

Um 2

.

(V)

(8)

Fázory jsou používány jako symboly, které při analýze HUS zastupují skutečné fyzikální veličiny. Proto bývá tato metoda analýzy označována jako symbolická metoda. Při matematických operacích v komplexní rovině můžeme fázory vyjádřit pomocí komplexních čísel. Ze známé hodnoty fázoru můžeme zjistit okamžitou hodnotu časového průběhu u  t   Im U m  e jt  .

(V)

(9)

Poznámka: Rotující fázor (komplexor) budeme v textu označovat malým tučným písmenem u(t), i(t), fázory velkým tučným písmenem U, I, Um, Im, jejich absolutní velikosti (moduly) velkou kurzivou Um, Im. Při ˆ ). manuálním zápisu se fázory označují velkými písmeny s pomocnými znaky (nejčastěji stříškou - U Impedance

Pro základní lineární obvodové prvky v harmonickém ustáleném stavu platí mezi amplitudami, mezi efektivními hodnotami a také mezi komplexory a fázory napětí a proudu lineární závislost obdobná Ohmovu zákonu pro okamžité hodnoty napětí a proudu u rezistoru. Zatímco u rezistoru je touto konstantou úměrnosti R, u induktoru je to jL a u kapacitoru 1/jC. Vztahy mezi jednotlivými veličinami pro základní obvodové prvky spolu s časovými i fázorovými diagramy ukazuje přehledně tab. 1.

11


tab. 1 Vztahy mezi napětím a proudem pro základní obvodové prvkyR, L, C

Časová oblast

Prvek

Okamžité hodnoty

Časový diagram

Oblast komplexní proměnné Fázorový diagram

Fázory

Um

Im

R  =0

Um  ZR  Im u t   R  i t 

()

ZR  R

() Um

L

L

u t   L

 U  I

di  t 

Um  ZL  Im

dt

Z L  j L

=

1 u  t    i  t  dt C

2

U

= 

C



Im

I

Um

 2

Im

U m  ZC  I m

I

U

1 ZC  j C

Lineární závislost mezi fázory amplitud napětí a proudu platí i pro obecný lineární pasivní dvojpól složený z libovolné kombinace základních obvodových prvků – příklad obr. 3. Obecně tedy můžeme pro všechny obvodové prvky včetně jejich kombinací vyjádřit konstantu úměrnosti ve vztazích mezi fázory jako komplexní číslo Z, jehož absolutní velikost (modul) udává střídavý odpor prvku a argument udává fázový posun mezi napětím a proudem na prvku. Tato konstanta úměrnosti Z se nazývá impedance nebo obecný komplexní odpor, má rozměr odporu – Ohm (). Vztah mezi fázory napětí a proudu Um  Z  Im , U  Z  I

(V)

(10)

se nazývá zobecněný Ohmův zákon pro fázory. Po dosazení za fázory napětí a proudu podle (7) je Z

U U m U m j U  I    e  Z  e j . I Im Im

()

(11)

Modul impedance Z tedy představuje poměr amplitud (nebo efektivních hodnot) napětí a proudu a její argument pak fázový posun  mezi napětím a proudem (    U  I ) na uvedené impedanci Z. Reálná část impedance se nazývá činná složka (rezistance), imaginární část jalová složka (reaktance); udávají se v ohmech. Pojem impedance je v obvodech harmonického ustáleného stavu natolik běžný, že je jím označován také abstraktní idealizovaný obvodový prvek (ve skutečnosti dvojpól vytvořený kombinací základních obvodových prvků R, L, C), s obecnou hodnotou modulu i fáze impedance Z. Význam pojmu obecné impedance dokresluje obr. 3, představující obecnou impedanci a její fázorový a časový diagram napětí a proudu.

12


obr. 3 a) Obecný dvojpól (impedance)

b) Fázorový diagram

c) Časový diagram

Impedanci (11) můžeme vyjádřit jako komplexní číslo též ve složkovém tvaru Z  R jX .

()

(12)

Kromě impedance zavádíme také admitanci. Je to převrácená hodnota impedance a považujeme ji za zobecněnou vodivost Y = 1/Z; má rozměr vodivosti - Siemens (S). Impedance a admitance (souhrnně označované jako imitance – impedance + admitance) jsou základními parametry dvojpólů komplexně popisující jejich chování v HUS.

Domácí příprava 

Do tab. 2. vypočítejte pro každý z dvojpólů z hodnot jeho obvodových prvků teoretickou hodnotu modulu a fáze impedance Zteor. Při výpočtu teoretické hodnoty impedance se vychází z impedancí Z základních obvodových prvků R, L, C uvedených v tab. 1. Impedance se při sériovém řazení dvojpólů sčítají; při paralelním řazení dvojpólů se sčítají jejich admitance Y (Y = 1/Z). Pro sériové spojení induktoru a rezistoru platí: Z  R  j L ,

Z  R 2   L  ,   arctan 2

L R

()

(13)

(), (°)

(14)

()

(15)

(), (°)

(16)

Pro sériové spojení kapacitoru a rezistoru platí: Z  R

1 , j C

Z  R 2   C 



2

,   arctan

1  RC

Připravte si tabulku pro zakreslení časových průběhů i fázorů napětí a proudů pro všech pět měřených dvojpólů (R1, C2, L3+RL, L4+R4, C5+R5) podle vzoru v tab. 3.

Pracovní postup Podle zapojení na obr. 4 napájí generátor napětím UG sériovou kombinaci měřeného dvojpólu Z a snímacího rezistoru RS. Napětí na rezistoru je úměrné proudu měřeným dvojpólem IZ a je s ním ve fázi UA = RS·IZ. Ze schématu plyne vztah pro proud dvojpólem Z IZ 

UG U  A. Z  RS RS

(A)

(17)

13


Pro hodnotu impedance měřeného dvojpólu platí Z

UB , IZ

(A)

(18)

hodnotu modulu a fáze impedance můžeme vypočítat z naměřených velikostí a fázových posuvů napětí UA a UB, přičemž vyjdeme z toho, že napětí UA má nulovou počáteční fázi: Z Z 

UB IZ



UB  RS , UA

arg Z  arg U B  .

()

(19)

(°)

(20)

obr. 4 Princip měření impedancí

obr. 5 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření impedancí

14


a)

Zapojte pracoviště podle schématu obr. 5. Generátor připojte na svorky přípravku Gen A a Gen B. Analogový vstup A připojte ke snímacímu rezistoru RS (svorky +IN A a –IN A), k propojení použijte žlutou dvojlinku, pozor na polaritu vstupu značenou + a -. Analogový vstup B připojte modrou dvojlinkou ke svorkám měřených impedancí označeným +IN B a –IN B. Zapněte napájecí zdroj pracoviště.

b) Na přípravku generátoru Function generator stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 1 kHz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 1 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). c)

Spusťte obslužný program RC2000. Z výběru programů zvolte Oscilloscope. Stiskem tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů měřených napětí. Stiskem tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování hodnot fázorů. Nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A: ±200 mV, rozsah zobrazení kanálu B: ±1 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off). Rozsah časové osy (Time pomocí tlačítek  ) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 0,5 a 1 ms.

d) Propojovací svorkou zapojte na přípravku první z měřených dvojpólů Z1. e)

Stiskem virtuálního tlačítka Single spusťte měření. Zobrazí se fázory naměřených napětí a odpovídající harmonické časové průběhy. Žlutá křivka odpovídá proudu dvojpólem (napětí na snímací odporu RS), modrá křivka je napětí na měřeném dvojpólu. Při uvedeném nastavení má žlutá křivka nulovou počáteční fázi.

f)

Do tab. 2 zapište amplitudy obou zobrazených křivek a fázový posun modré křivky - hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor – Phasors. Do připravené tabulky (vzor tab. 3) si zakreslete průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a jim odpovídající fázory.

g) Propojovací svorkou zapojte na přípravku další z měřených impedancí. Postup podle bodů e) a f) opakujte i pro dvojpóly Z2 až Z5. Všímejte si souvislostí mezi časovými průběhy a fázory napětí a proudu. h) Měření ukončete (Exit).

Zpracování tab. 2 Impedance měřených dvojpólů složených z prvků RLC v sérii

Měřeno UA mV R1 C2 L3 + RL L4 + R4 C5 + R5 i)

UB V

°

Vypočteno z měř. hodnot Z °  (19) (20)

Vypočteno z prvků Zteor °  (13) až (16)

Poznámky RS = 100  UG = 1 V f = 1000 Hz R1 = 1 k C2 = 210 nF L3 = 75 mH RL = 50  L4 = 55 mH R4 = 500  C5 = 220 nF R5 = 1 k

Vypočtěte impedanci dvojpólů Z - modul (19) a fázi (20), fázi podle potřeby přepočítejte odečtením 360° tak, aby její hodnota byla v intervalu <-90°, 90°>.

Seznam přístrojů  

Přípravek s impedancemi (R, C, L, RL, RC) Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

15


Závěr  

Porovnejte hodnoty impedancí všech dvojpólů zjištěné měřením s hodnotami teoretickými, viz tab. 2. Porovnejte průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a odpovídající fázory z tab. 3 s teoretickými z tab. 1.

tab. 3 Vzor tabulky pro zobrazení napětí a proudů měřených dvojpólů

Dvojpól

Časový průběh

Fázorový diagram U a I

IR UR

Stručné shrnutí Impedance vypočtené ze zadaných parametrů obvodu umožňují efektivní analýzu střídavých obvodů v HUS. Charakter impedance dvojpólu odráží bezprostředně jeho chování jak v časové oblasti (fázový posun napětí a proudu), tak i při změnách kmitočtu. Vlastní měření ukazuje i na rozdíl mezi vlastnostmi ideálních a reálných obvodových prvků, představuje způsob praktického vyšetření hodnot modulu a fázového posunu impedance libovolného neznámého dvojpólu. V úloze byla ukázána souvislost zobrazení hodnot napětí a proudů v časovém průběhu i fázorové rovině.

16

2A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu

2A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu Cíl úlohy Na konkrétním zapojení střídavého obvodu ověřit prakticky měřením obvodových veličin platnost Kirchhoffových zákonů v obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Aplikovat a procvičit užití metod smyčkových proudů a uzlových napětí při symbolické analýze uvedeného obvodu.

Úkol   

Při zadaném vstupním harmonickém napětí změřte hodnoty efektivních napětí i proudů prvky obvodu. Pomocí MSP i MUN vypočtěte fázory (moduly a fáze) jednotlivých napětí a proudů. Za pomoci vypočtených hodnot ověřte pro fázory napětí a proudů platnost Kirchhoffových zákonů.

Teoretický úvod Základní operace s harmonicky proměnnými veličinami v časové oblasti můžeme převést na podstatně jednodušší operace s fázory v komplexní rovině. Metoda analýzy, která využívá komplexory (rotující fázory) a fázory jako symboly zastupující skutečné fyzikální veličiny (okamžité hodnoty harmonického napětí a proudu), se nazývá symbolická analýza. Ta představuje vlastně určitý druh transformace (z kmitočtové oblasti do oblasti komplexní roviny). Symbolická analýza je použitelná pouze pro obvody v harmonickém ustáleném stavu (HUS) viz úloha 0A. Protože fázory zastupují jako symboly skutečné fyzikální veličiny lineárních obvodů, musí platit při operacích s nimi stejné zákonitosti a vztahy, se kterými jsme se již dříve při popisu lineárních obvodů setkali. Mezi fázory napětí a proudu platí zobecněný Ohmův zákon U  Z  I , nebo Ι  Y  U

(V), (A)

(21)

a při analýze obvodů můžeme vycházet i z obecné platnosti Kirchhoffových zákonů v symbolickém tvaru. Pro libovolný uzel obvodu můžeme psát pro fázory proudu I. K. z., pro libovolnou obvodovou smyčku pak II. K. z. v symbolickém tvaru: n

I i 1

i

 0,

n

U i 1

i

 0.

(A), (V)

(22), (23)

Pro příklad z obr. 6a platí I1 + I2 – I3 = 0. Podobně můžeme aplikovat II. K. z. pro fázory napětí v obvodové smyčce z příkladu na obr. 6b U1 + U2 – U3 = 0. Přes to, že fázory představují amplitudy a fáze, tj. ne okamžité hodnoty harmonicky proměnných veličin, přiřazujeme jim zde směr pomocí orientačních šipek napětí a proudu v duchu již dříve uvedených zásad.

obr. 6 a) K I. K. z.

b) Ke II. K. z.

V případě, že řešíme lineární obvody v HUS při jediném kmitočtu, mezi fázory potom platí také princip superpozice. Všechny metody řešení obvodů vycházející z jeho aplikace mohou být tedy využity i v symbolické podobě. Při analýze obvodů pomocí fázorů tak můžeme použít všech metod řešení lineárních rezistorových obvodů (metoda zjednodušování, úměrných veličin, náhradních zdrojů, Kirchhoffových rovnic, smyčkových proudů a uzlových napětí), se kterými jsme se seznámili v BEL1.

Metoda smyčkových proudů (MSP)

U složitějších obvodů místo metody Kirchhoffových rovnic raději používáme metody redukující počet obvodových rovnic. Jednou z nich je metoda smyčkových proudů, kterou můžeme použít při řešení obvodů v symbolickém tvaru. Postup při jejím použití ukážeme na řešení následujícího příkladu.

17


Příklad k MSP Určete metodou smyčkových proudů výstupní napětí článku z obr. 7, který je napájen zdrojem harmonického napětí u(t) = Um·sin(t), jsou-li známé reaktance induktoru L = 10 , kapacitoru 1/C = 10 , odpory rezistorů R1 = R2 = 10  a efektivní hodnota napětí budicího zdroje je U = 10 V.

L

R1 U

U

Protože je zadána efektivní hodnota napětí, budeme používat fázory efektivních hodnot. Vstupní napětí má počáteční fázi  = 0 a fázor vstupního napětí je proto

C

IS1

IS2

R2

U2

obr. 7 K příkladu MSP

U  10  e j0  10 .

(V)

(24)

Zajímá nás fázor výstupního napětí U2. Ten vypočteme jako fázor napětí na rezistoru, to znamená U2  R  IS 2 .

(V)

(25)

V obvodě si zvolíme fázory smyčkových proudů IS1 a IS2 (obr. 7) a napíšeme maticovou rovnici Z·I = U: 1   R1  jC  1    j C 

  I  U    S1     1  I S2   0  . R2  j L  jC  

1 j C

(V)

(26)

(V)

(27)

Po dosazení numerických hodnot má maticový zápis soustavy rovnic tvar 10  j10  j10 

j10  IS1  10     10  IS2   0 

.

Řešení soustavy je velmi snadné, zde například Cramerovým pravidlem. Determinant matice Z je Δ

10  j10

j10

j10

10

  200  j100 

(2)

(28)

(·V)

(29)

(A)

(30)

(V)

(31)

a determinant matice Z2 vzniklé z matice Z náhradou 2. sloupce vektorem U je Δ2 

10  j10 10 j10

0

  j100 

Hledaný fázor proudu: I 2  IS2 

2  j100    0, 2  j0, 4   0, 4472  e  j1,1071   200  j100

Hledaný fázor výstupního napětí pak:

U 2  R2  IS2  U 2m  e j  10  0, 4472  e  j1,1071  4, 472  e  j1,1071 

18


Okamžitá hodnota výstupního napětí je u2  t   U 2m  sin t     2  4, 472  sin t  1,1071   6,325  sin t  1,1071



(V)

(32)

Amplituda napětí je U2m = 6,325 V, fáze  = -1,1071 rad = -63,43°. Metoda uzlových napětí (MUN)

Nejčastěji používanou metodou analýzy obvodů, kterou můžeme využít také v symbolickém tvaru, je metoda uzlových napětí. Postup při použití metody při analýze obvodů v HUS ukážeme na řešení jednoduchého obvodu.

obr. 8 K příkladu MUN Příklad k MUN V obvodu uvedeném na obr. 8a) (hodnoty jsou stejné jako v příkladu k MSP) vypočítejte metodou uzlových napětí výstupní napětí příčkového článku. Protože obvod obsahuje zdroj napětí, přepočítáme jej nejprve na ekvivalentní zdroj proudu - obr. 8b). Za předpokladu, že obvodové parametry jsou stejné jako v obvodu z předchozího příkladu k MSP, je velikost fázoru proudu a vodivosti ekvivalentního zdroje proudu I

U 10   1, R1 10

(A)

(33)

1  0,1  R1

(S)

(34)

G1 

Pro zvolené uzly 1 a 2 - obr. 8b) - označíme fázory uzlových napětí U1 a U2. Použitím pravidel pro MUN sestavíme rovnici v maticovém tvaru Y  U  I : 1  G1  jC  j L  1    j L 

1  j L   U1   I    . 1   U 2   0  G2  j L  

(A)

(35)

(A)

(36)

(S2)

(37)

Po dosazení numerických hodnot dostáváme j0,1   U1  1   0,1  j0,1 0,1  j0,1   U   0  .    2  

Rovnici (36) řešíme Cramerovým pravidlem Δ

0,1 j0,1   0, 02  j0, 01 , j0,1 0,1  j0,1

19


Δ2 

0,1 1   j0,1 . j0,1 0

(S·A)

(38)

(V)

(39)

Hledaný fázor výstupního napětí je U2 

2  j0,1   2  j4  4, 472  e  j1,1071 .  0, 02  j0, 01

Okamžitou hodnotu výstupního napětí tedy můžeme opět vyjádřit v časové oblasti, podobně jako v (32).

Domácí příprava

obr. 9 Schéma měřeného obvodu 





Podle příkladu uvedeného v teoretickém úvodu sestavte pro obvod z obr. 9 maticovou rovnici MSP. Metodou smyčkových proudů vypočtěte fázory proudů větvemi obvodu a doplňte je do tab. 4. Následně pomocí Ohmova zákona určete i fázory napětí na jednotlivých prvcích a zapište do tab. 5. Podle příkladu uvedeného v teoretickém úvodu MUN sestavte výpočtové schéma měřeného obvodu s náhradou napěťového zdroje zdrojem proudovým. Metodou uzlových napětí vypočtěte fázory uzlových napětí. Z nich následně spočtěte fázory napětí (do tab. 4) a proudů (do tab. 5) prvků obvodu. Pro výpočet komplexních maticových rovnic můžete využít program KLinRov (dostupný i na stránkách předmětu). Ve vypracování uveďte maticové rovnice MSP i MUN pro měřený obvod v obecném i číselném tvaru. Z vypočtených hodnot fázorů napětí a proudů v obvodu podle obr. 9 ověřte platnost Kirchhoffových zákonů (22), (23) pro uzel a obě smyčky obvodu. Pozor – proudy i napětí v obvodu při symbolické analýze je třeba chápat jako komplexní čísla.

Pracovní postup Experimentální ověření platnosti obou metod provedeme na zapojení obvodu podle obr. 9. a)

K měřicímu přípravku připojte tři ampérmetry.

b) Na generátoru stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 200 Hz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 10 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). Generátor dodáva nyní harmonické napětí o efektivní hodnotě 10/2 = 7,07 V (odpovídá maximální hodnotě 10 V) s kmitočtem 200 Hz. c)

Zapište proudy indikované ampérmetry do tab. 4.

d) Pomocí voltmetru změřte všechna napětí v obvodu a zapište je do tab. 5. Při přepojování voltmetru není třeba vypínat generátor či odpojovat od něj obvod.

20


Zpracování tab. 4 Efektivní hodnoty proudů v obvodu

I1

I2

mA

°

mA

I3 °

Poznámky

mA

°

(MUN)

U = 10/2 = 7,07 V f = 200 Hz R1 = 1,2 k C1 = 1 F R2 = 1,2 k C2 = 1 F

I

max   I  = .............

 I (1)

max   I  = .............

Měřeno MSP

tab. 5 Efektivní hodnoty napětí v obvodu

UR1 V

UC1 °

V

UR2 °

V

UC2 °

V

°

Měřeno MUN (MSP)

U

max   U  = ............

U (1)

max   U  = ............

e)

Stanovte maximální absolutní a relativní odchylku naměřených a vypočtených hodnot.

Seznam přístrojů    

Přípravek s Wienovým článkem RC-CR Funkční generátor RC 2000 4× číslicový multimetr UT60A (3× mA-metr, 1× V-metr) počítač s programem KLinRov

21


Závěr  

Vyjádřete se o platnosti Kirchoffových zákonů v obvodech v harmonickém ustáleném stavu. Vyjádřete se o přesnosti provedených měření vzhledem k maximální velikosti relativní chyby.

Stručné shrnutí Pro analýzu střídavých obvodů v HUS se využívá s výhodou symbolická metoda. Využití impedancí a fázorů, interpretovaných komplexními čísly a operacemi v oboru komplexních čísel, představuje velmi efektivní nástroj pro analýzu obvodů v HUS. Jejich pomocí lze plně využít univerzální metody řešení obvodů jako jsou metody smyčkových proudů a uzlových napětí. Úloha ukazuje možnosti aplikace uvedených metod na analýze konkrétního obvodu, zdůrazňuje důležitost fázorů při praktických součtech střídavých napětí a proudů a ukazuje rozdíl mezi analýzou stejnosměrného a harmonického ustáleného stavu.

22

3A Výkon v jednofázovém obvodu

3A Výkon v jednofázovém obvodu Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit poznatky o výpočtu jednotlivých složek výkonu harmonického střídavého proudu a jejich závislosti na parametrech zátěže.

Úkol   

Při zadaném napětí určete proud a činný výkon zadaných zátěží složených z prvků R, L a C. Z naměřených hodnot vypočtěte zdánlivý výkon a účiník. Ze zapsaných hodnot prvků zátěží vypočtěte impedanci (modul a fázi), zdánlivý, činný a jalový výkon.

Teoretický úvod Připojíme-li obecnou impedanci Z = Z·ej ke střídavému harmonickému napětí UZ, protéká jí proud IZ IZ 

UZ U  e j U  I Z  e j I  Z j . Z Z e

(A)

(40)

Komplexní výkon na této zátěži je podle [1] roven součinu fázorů napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu S  U Z  I*Z  U Z  I Z  e 

j  U  I 

 S  e j .

(VA)

(41)

S  S   cos   jsin    P  jQ ,

(VA)

(42)

kde je S ............................ zdánlivý výkon, P............................ činný výkon, Q ........................... jalový výkon.

(VA) (W) (VAr)

Výraz (41) můžeme pomocí Eulerova vztahu upravit na

Pro měření výkonu střídavého proudu na obecné impedanci použijeme zapojení podle obr. 10. Protože použité měřicí přístroje mají vlastní spotřebu, vzniká soustavná chyba měření (více o ní bude pojednáno v předmětu Měření v elektrotechnice).

obr. 10 Zapojení pro měření výkonu střídavého proudu Pomocí wattmetru zjistíme činný výkon P, připojený voltmetr a ampérmetr dovolí určit zdánlivý výkon S a následně výpočtem i jalový výkon Q. S  UZ  IZ ,

(VA)

(43)

Q  S 2  P2 .

(VAr)

(44)

23


S použitím výše uvedených vztahů můžeme určit také účiník cos  

P . S

(-)

(45)

Wattmetr v zapojení na obr. 10 udává činný výkon P’ spotřebovaný zátěží zvětšený o vlastní spotřebu voltmetru a napěťové cívky wattmetru. Ampérmetr zase udává proud zátěží zvětšený o proud voltmetrem a napěťovou cívkou wattmetru. K odstranění této chyby potřebujeme znát vnitřní odpory zmíněných měřicích přístrojů.


Z hodnot obvodových prvků R1, R2, L, RL, C vypočítejte pro každou zátěž uvedenou v tab. 6 hodnotu impedance Z (postup viz úloha 0A, případně literatura [1]), fázor proudu IZ (40) a teoretickou hodnotu zdánlivého (43), činného (46) a jalového (47) výkonu a účiník cos . Pozor, cívka má nezanedbatelné ztráty, proto je potřeba namísto ideální L uvažovat při výpočtech sériovou kombinaci L + RL. P  U Z  I Z  cos   S  cos  ,

(W)

(46)

Q  U Z  I Z  sin   S  sin  ,

(VAr)

(47)

Pracovní postup Schéma zapojení pro měření výkonu harmonického proudu je na obr. 10. Zapojujte nejprve proudový obvod (vyznačen tučně), potom obvod napěťový. Obvody rozlište barvou vodičů, pro větší přehlednost zapojení slouží propojovací můstek. Pozor – při zapojování wattmetru je třeba dodržet správnou polaritu napěťové a proudové cívky. Začátky cívek jsou označeny na svorkách wattmetru (např. šipkou  - viz obr. 11) a musí být připojeny v souladu s označením ve schématu. U Napěťové svorky

Proudové svorky I

W Přepínače rozsahů U a I

120

1

obr. 11 Značka a rozmístění svorek wattmetru Výchylka wattmetru je úměrná činnému výkonu P = U·I·cos a nelze tedy podle výchylky volit správný rozsah U a I. Proto se k wattmetru vždy připojují kontrolní přístroje (voltmetr a ampérmetr) a rozsahy U a I na wattmetru se volí podle jejich údajů. Velikost činného výkonu měřeného wattmetrem se určí z výchylky  a konstanty kw wattmetru P    kW ,

(W)

(48)

24


kW 

Uw  IW

m

,

(W/dílek)

kde je kW .......................... konstanta wattmetru, UW ......................... rozsah napěťové cívky wattmetru, IW .......................... rozsah proudové cívky wattmetru, m.......................... počet dílků na stupnici wattmetru. a)

(49)

(W/dílek) (V) (A) (dílek)

Zapojte obvod podle obr. 10. Zvolte rozsah V-metru 60 V, A-metru 1 A, u W-metru odpovídající rozsahy 60 V/1 A. Do tab. 7 zapište konstantu wattmetru podle (49) i voltmetru (konstanty se nekrátí a uvádí se ve tvaru zlomků). Připojte první ze zátěží. Zapojení nechte zkontrolovat vyučujícím.

b) Po kontrole připojte zdroj a pro ověření správného zapojení na něm nastavte napětí 1 V. Po zapnutí výstupu (tlačítkem OUT) by se neměli výchylky přístrojů prakticky změnit. Pokud je vše v pořádku, nastavte napětí zdroje U = 60 V. c)

Zapište si naměřené hodnoty proudu zdroje I, napětí zátěže UZ a činného výkonu P’ do tab. 7.

d) Nastavte výstupní napětí zdroje na 0 V a výstup zdroje odpojte (tlačítko OUT). Opakujte postup od bodu b) pro další zátěže. Přepojování provádějte vždy na obvodu bez napětí. Pozor na záměnu odporů R1, R2! e)

Do tab. 7 si zapište hodnoty vnitřních odporů V-metru (RV) a napěťové cívky W-metru (RWU).

Zpracování tab. 6 Teoretické hodnoty výkonu střídavého obvodu

Z Z ()

IZ  (°)

viz úloha 0A

IZ (A)

I (°) (40)

S

P

Q

VA

W

VAr

cos -

(43)

(46)

(47)

-

Zátěž

1

R1

2

L C

3 4 5 6

L L

R2 C

C

7

R2

R2

R1

C

Poznámka: UZ = 60 V , R1 = 150 , R2 = 42 , L = 190 mH, RL = 9 , C = 35 F f)

V tab. 7 dopočítejte proud zátěží (opravený o proud voltmetru a napěťové cívky wattmetru) IZ  I 

 1 UZ UZ 1    I UZ   , RV RWU  RV RWU 

(A)

(50)

25


opravený činný výkon (údaj wattmetru zmenšený o vlastní spotřebu přístrojů)  1 1  P  P   PWU  PV  P   U Z2   ,  RV RWU 

(W)

(51)

dále zdánlivý výkon S, jalový výkon Q a účiník cos . tab. 7 Naměřené hodnoty výkonu střídavého obvodu

UZ 

kV

I V

-

P’

IZ

S

P

|Q|

cos

A



kW

W

A

VA

W

VAr

-

-

-

(49)

(48)

(50)

(43)

(51)

(44)

(45)

Zátěž

1

R1

2

L C

3 4

L L

5 6 7

R2 C

C

R2

R2

R1

C

Poznámka: RV = ............, RWU = ............

Seznam přístrojů      

Prvky R1, R2, L, C Propojovací můstek Zdroj střídavý stabilizovaný 0-255 V / 50 Hz Diametral Analogový V-metr střídavý Analogový A-metr střídavý Analogový W-metr

Závěr 

Porovnejte naměřené a vypočtené hodnoty činného a zdánlivého výkonu u všech zátěží, porovnejte ztráty (činný výkon) v technické cívce a technickém kondenzátoru navzájem a vůči ideálním prvkům.



Pro kompenzaci účiníku (zvýšení hodnoty cos  co nejblíže k 1) induktivních zátěží, jako např. zářivkových svítidel nebo motorů, se používá zapojení 5 uvedené v tabulkách. Zhodnoťte efekt kompenzace účiníku induktivní zátěže – porovnejte jalové výkony a cos  u zapojení 4 a 5 v tab. 7.

Stručné shrnutí Symbolickou metodu analýzy (využití fázorů a impedancí interpretovaných pomocí komplexních čísel) využíváme s výhodou i při určení výkonu v obvodech harmonického proudu. Modul komplexního výkonu (41) odpovídá zdánlivému výkonu, jeho reálná část je činný výkon a imaginární část je výkon jalový, viz (42). Poměr činného a zdánlivého výkonu (45) se nazývá účiník. Tato úloha ukazuje způsob měření výkonu a určení účiníku, objasňuje jejich závislost na charakteru impedance zátěže a naznačuje možnost kompenzace jalového výkonu.

26

4A Fázorové diagramy

4A Fázorové diagramy Cíl úlohy Procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. Ukázat způsob měření hodnoty impedance neznámého dvojpólu. Ukázat způsob sestrojení a využití fázorových diagramů pro objasnění chování obvodu v harmonickém ustáleném stavu (HUS).

Úkol  

Změřte napětí a proudy všech prvků zadaných dvojpólů. Z naměřených hodnot sestrojte příslušné fázorové diagramy. Z naměřených hodnot určete modul i fázi impedance pro každý z dvojpólů a srovnejte ji s teoretickým výpočtem. Určete výsledný charakter impedance jednotlivých dvojpólů.

Teoretický úvod Fázorové diagramy jsou praktickou a názornou pomůckou pro řešení střídavých obvodů. Používají se při grafickém řešení obvodů, mohou sloužit ke kontrole a názorné interpretaci číselného výpočtu, k rychlému určení výsledného charakteru obvodu apod. Fázorové diagramy jsou grafickým zobrazením symbolů vyjadřujících amplitudy a fáze harmonických napětí a proudů v ustáleném stavu obvodu v komplexní rovině. V této úloze budete proměřovat obvody s reálnými, nikoliv ideálními prvky. Při nepříliš vysokém kmitočtu se vlastnosti reálného odporu blíží vlastnostem ideálního rezistoru - proud rezistorem je ve fázi s napětím, R = 0 (fázorový diagram rezistoru obr. 12a), rovněž vlastnosti reálného kondenzátoru se blíží vlastnostem ideálního kapacitoru – napětí se zpožďuje za proudem, C  -90 (fázorový diagram kapacitoru obr. 12b). Naproti tomu reálná cívka se od ideálního induktoru významně liší. Činný odpor jejího vinutí není zanedbatelný, proto se proud cívkou zpožďuje o úhel L <90 (fázorový diagram reálné cívky obr. 12c).

-90

R

IR UR

obr. 12 a) Fázorový diagram R

L

UL

IC

C

UC b) Fázorový diagram C

< 90

IL

c) Fázorový diagram reálné cívky

Fázorové diagramy obvodů lze sestrojit z naměřených hodnot napětí a proudů. Přitom je nutné si uvědomit, že ampérmetry a voltmetry měří efektivní hodnoty proudů a napětí (tedy moduly fázorů), ale neměří jejich fázi. Při konstrukci fázorového diagramu z naměřených veličin je třeba respektovat vzájemné fázové posuvy proudů a napětí na jednotlivých prvcích obvodu - viz obr. 12a) až c ). Fázorové diagramy lze nejlépe kreslit na milimetrový papír. Dále budete potřebovat pravítko, kružítko a úhloměr. Začněte volbou vhodného měřítka napětí a proudu. Příklad Jako příklad uvedeme konstrukci fázorového diagramu pro dvojpól složený složený z R, C a technické cívky (L+RL), obr. 13a. Při konstrukci vyjdeme z napětí UR = UC na paralelní kombinaci odporu a kondenzátoru a jeho fázor zakreslíme do komplexní roviny - obr. 13b. Fázor proudu IR je s tímto napětím ve fázi, fázor proudu IC jej předbíhá o úhel blížící se 90 - viz obr. 12b. Podle I. K. z. musí platit I = IR + IC, sestrojíme tedy trojúhelník vektorů buď pomocí kružítka, nebo jednoduše zakreslíme pravoúhlý trojúhelník (předpokládáme C  90°). O napětí na technické cívce UL víme, že předbíhá proud IL = I o úhel L <90. Ze schématu na obr. 13a vyplývá, že podle II. K. z. musí platit U = UL + UR. Proto z naměřených hodnot U, UL, UR sestrojíme pomocí kružítka trojúhelník fázorů napětí. Ze dvou možných grafických konstrukcí trojúhelníka vybereme tu, kde fázor UL předbíhá fázor proudu I (je od něj proti směru hodinových ručiček), neboť jde i induktivní impedanci. Jak je vidět na obr. 13b, fázor výsledného napětí U předbíhá fázor výsledného proudu I o kladný úhel  ( = (U-I) > 0); uvedený příklad dvojpólu má tedy induktivní charakter.

27


L



C

U I R=

R

obr. 13

a) Příklad obvodu

C

b) jeho fázorový diagram


Z hodnot obvodových prvků vypočtěte metodou postupného zjednodušování hodnoty komplexních impedancí všech dvojpólů (úloha č. 0A v těchto skriptech nebo literatura [1]). U cívky uvažujte i odpor vinutí RL zakreslený ve schématech na obr. 14. Vypočtené impedance (modul a fázi) zapište do tab. 9 (Zteor).

L

UL C

RL R R

UC UR

IR R

IL L

IR R

IC C

RL

IR

UL L

R UR,UC

RL

IC

C

UR obr. 14 Zapojení měřených dvojpólů; cívka je zakreslena včetně parazitního odporu vinutí RL

Pracovní postup

obr. 15 Zapojení úlohy a)

Zapojte obvod podle schématu na obr. 15, pro přehlednost a snadnou manipulaci se zátěží slouží propojovací můstek. Z prvků sestavte první z dvojpólů podle obr. 14 a připojte jej ke svorkám můstku. Do obvodu dvojpólu zařaďte potřebný počet voltmetrů a ampérmetrů tak, abyste změřili napětí a proudy všemi jeho prvky. Pro tuto úlohu můžeme zanedbat spotřebu voltmetru a proto platí IZ  I.

28


b) Nastavte rozsahy všech V-metrů na 120 V a A-metrů na 1 A. Zapojení nechte zkontrolovat vyučujícím. c)

Po kontrole připojte zdroj a pro ověření správného zapojení na něm nastavte napětí 1 V. Po zapnutí výstupu (tlačítko OUT) by se neměli výchylky přístrojů prakticky změnit.

d) Pokud je vše v pořádku, nastavte napětí zdroje U = 50 V. Podle výchylky jednotlivých měřidel rozhodněte o správnosti zvoleného rozsahu a podle potřeby změňte rozsahy V-metrů. Pokud bude potřeba změnit rozsah některého z A-metrů, tedy jen v bezproudovém stavu - nejprve vypnout výstup zdroje (OUT) a teprve poté přepnout rozsah A-metru. Změřte hodnoty napětí a proudů prvků dvojpólu a dále proud a napětí zdroje a zapište je do tab. 8. e)

Nastavte výstupní napětí zdroje na 0 V a výstup zdroje odpojte (OUT). Postup od bodu b) opakujte pro ostatní dvojpóly z obr. 14.

Zpracování tab. 8 Naměřené hodnoty napětí a proudů prvků dvojpólů

UZ

Napětí Sériové Paralelní



kV

UR 

V

kV

UL V



kV

UC V



kV

V

R-L R-C R-L R-C

R-L-C IZ

Proudy Sériové Paralelní



kA

IR 

A

kA

IL A



kA

IC A



kA

A

R-L R-C R-L R-C

R-L-C tab. 9 Impedance měřených dvojpólů

Zteor Z 

 °

(viz úloha č. 0A) Sériové Paralelní

Odchylka

Z Z 

(52)

 ° z fázorového diagramu

Z %

 %

(1)

(1)

Charakter dvojpólu (kapacitní, induktivní)

R-L R-C R-L R-C

R-L-C Poznámka: R = 100  , L = 480 mH , RL = 20  , C = 45 F. 29


f)

Z hodnot v tab. 8 sestrojte pro každý měřený dvojpól fázorový diagram. V diagramu musí být uvedeno délkové měřítko pro fázory napětí i proudu!

g) Z naměřených hodnot určete podle (52) hodnotu modulu impedance Z každého dvojpólu; argument (fázový posuv)  této impedance zjistěte graficky (úhloměrem) z příslušného fázorového diagramu - lze použít i kosinové věty. Modul i fázový posuv zapište do tab. 9. Při určování impedancí pozor na znaménko fáze! Z

U I



UZ IZ

()

(52)

h) Pro všechny dvojpóly spočtěte odchylky naměřené a vypočtené impedance.

Seznam přístrojů     

Prvky R, L, C Propojovací můstek Zdroj střídavý stabilizovaný 0-255 V / 50 Hz Diametral 3× analogový V-metr střídavý 3× analogový A-metr střídavý

Závěr  

Srovnejte naměřené a vypočtené hodnoty impedancí dvojpólů v tab. 9 a stanovte jejich výsledný charakter. Zdůvodněte možné rozdíly vypočtených a naměřených hodnot.

Stručné shrnutí Postupné skládání dílčích fázorových diagramů základních obvodových prvků umožňuje sestavit fázorový diagram složitějšího obvodu. Jeho pomocí lze často jednoduše a názorně analyzovat výsledné vlastnosti složitého střídavého obvodu a postihnout jeho chování při změně některých obvodových veličin. Uvedená úloha ukazuje možný způsob vyšetřování impedancí různých dvojpólů, upozorňuje na rozdíly mezi ideálními a reálnými vlastnostmi obvodových prvků (zejména technických cívek) a ukazuje možnosti využití fázorových diagramů v analýze obvodů v HUS.

30

5A Sériový rezonanční obvod

5A Sériový rezonanční obvod Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit základní parametry reálného sériového rezonančního obvodu (SRO) - činitel jakosti Q, rezonanční kmitočet fr a šířku pásma B. Ukázat selektivní vlastnosti SRO změřením jeho kmitočtových závislostí a porovnat naměřené hodnoty parametrů obvodu s hodnotami určenými výpočtem z parametrů jednotlivých prvků rezonančního obvodu.

Úkol   

Změřte a zobrazte kmitočtovou závislost modulu napětí na kondenzátoru UC(f) v SRO. Určete rezonanční kmitočet fr, činitel jakosti Q a šířku pásma B pro různé hodnoty odporu R. Naměřené hodnoty ověřte teoretickými výpočty. Vypočtěte a zobrazte hodnoty modulu i argumentu impedance SRO pro příslušné kmitočty.

Teoretický úvod Rezonanční obvody RLC se v převážné míře používají v harmonických oscilátorech, k výběru nebo naopak k potlačení signálu určitého kmitočtu ve spektru (laděné obvody, filtry apod.). Rezonanční obvod je tvořen minimálně dvěma setrvačnými prvky L a C. Využívá jevu rezonance, při kterém dochází k procesu periodické výměny energie mezi elektrickým polem kondenzátoru a magnetickým polem cívky. Sériový rezonanční obvod je na obr. 16. Impedance sériového obvodu RLC je

Z    R  j L 

obr. 16 Sériový rezonanční obvod

2

1 1    Z  e j  R 2    L  e C  jC  

1    L  C  jarctan  R         



.

(53)

Z

Je-li imaginární část kladná (   0 ), pak má dvojpól indukční charakter. Při záporné imaginární části (   0 ) má dvojpól kapacitní charakter. Zvláštní případ nastane při  L  1  C . Imaginární složka je nulová (   0 ),obvodu má čistě odporový charakter a nejmenší možnou velikost Z = R, viz např. lit. [1]. Tento stav SRO se nazývá rezonance. Z podmínky

r L 

1 0 r C

()

(54)

(Hz)

(55)

plyne Thomsonův vzorec pro rezonanční kmitočet fr 

1 2π LC

.

Při rezonanci jsou napětí na induktoru a kapacitoru stejně veliká a v protifázi. Celkové napětí na obvodu je proto rovno pouze napětí na rezistoru a je ve fázi s proudem U  UR  R  I .

(V)

(56)

31


Napětí na induktoru a kapacitoru při rezonanci je U C  U L  j r L  I 

j r L  U  jQU R

(57)

(V)

a může být podstatně větší (a to Q-krát) než je celkové napětí na SRO. Číslo Q je tzv. činitel kvality SRO Q

r L R



1 . r RC

(-)

Praktická hodnota činitele kvality bývá v rozsahu 10 až 200 a závisí především na činném odporu cívky; ztráty v kondenzátoru lze většinou zanedbat. Když při konstantním napětí na SRO vyneseme závislost proudu na kmitočtu I(f), dostaneme tzv. rezonanční křivku (obr. 17). Z ní můžeme odečíst šířku propustného pásma, která je dána rozdílem mezních kmitočtů fmd a fmh, daných poklesem proudu na hodnotu I r 2 , v logaritmické míře značeno jako -3 dB a platí B  f mh  f md .

(Hz)

fr . B

(Hz)

I Ir Ir 2

B

(59)

fmd fr fmh

f

obr. 17 Rezonanční křivka SRO

Mezi šířkou pásma a činitelem jakosti existuje vztah Q

(58)

(60)

Šířka přenosového pásma B charakterizuje selektivní vlastnosti SRO. Při mezních kmitočtech f1 a f2 nabývá argument impedance obvodu hodnot 45°. Jak plyne ze vztahu (60), je rezonanční křivka tím užší, čím vyšší je činitel jakosti obvodu. Obdobně lze sestrojit rezonanční křivku pro napětí UL(f) nebo UC(f), tyto křivky mají v okolí rezonančního kmitočtu tvar prakticky shodný s rezonanční křivkou proudu I(f), obr. 17.


Do tab. 10 doplňte hodnoty modulu Z a argumentu  celkové impedance SRO (obr. 16) vypočtené podle vztahu (53) pro všechny uvedené kmitočty a pro obě hodnoty R.

 

Vytvořte grafy Z = f(f) a  = f(f); v každém grafu dvě křivky (pro R = RA a R = RB). Do tab. 11 doplňte teoretické hodnoty rezonančního kmitočtu fr (55), činitele jakosti Q (61) a z těchto hodnot určete i teoretickou šířku pásma B s použitím (60). Q

L/C R

(-)

(61)

Pracovní postup a)

Zapojte obvod podle schématu na obr. 18. Jako R zvolte přepínačem RA. Na obou voltmetrech zvolte režim měření střídavého napětí – ACV.

b) Na generátoru zvolte harmonické napětí s prvním z daných kmitočtů a výstupní napětí generátoru G nastavte tak, aby napětí UG indikované voltmetrem V1 mělo hodnotu 100 mV. Napětí UG udržujte nastavováním amplitudy generátoru pro každý kmitočet konstantní. c)

Voltmetrem V2 změřte efektivní hodnotu napětí na kondenzátoru UC. Hodnotu zapište do tab. 10.

d) Na generátoru nastavte další z řady kmitočtů a změnou amplitudy generovaného napětí upravte požadovanou hodnotu UG (voltmetr V1 musí indikovat 100 mV). e)

Měření podle bodů b) až d) opakujte pro R = RB.

32


obr. 18 Zapojení pro měření SRO

Zpracování tab. 10 Závislost Uc a impedance SRO na kmitočtu

RA

RB

f

kHz

-

UC

mV

-

Z





°

UC

mV

Z





°

30

38

40

42

43

44

44,5

45

45,5

46

47

48

49

50

52

60

(53) (53)

pokračování tabulky

RA

RB

f

kHz

-

UC

mV

-

Z





°

UC

mV

Z





°

(53) (53)

Poznámka: UG = 100 mV, RA = 35 , RB = 68 , C = 4 nF, L = 3,1 mH f)

Vytvořte graf UC = f(f) pro R = RA i R = RB, obě křivky do jednoho grafu.

g) V grafu rezonančních křivek UC(f) vyznačte rezonanční kmitočet fr a mezní kmitočty fmd a fmh pro pokles o 3 dB (na UCmax/2), podobně jako na obr. 17. Z tako zjištěných hodnot určete šířku pásma B (59) a činitel jakosti Q (60) pro obě hodnoty R. Zjištěné hodnoty zapište do tab. 11 a ke křivkám v grafu dopište zjištěný činitel jakosti Q. h) Určete poměrné odchylky mezi naměřenými a vypočtenými hodnotami v tab. 11.

33


tab. 11 Naměřené a teoretické hodnoty SRO

RA RB

fr

fmd

fmh

B

Q

fr

B

Q

kHz

kHz

kHz

kHz

-

%

%

%

(55)

-

-

(1)

(1)

(1)

(59),(60) (60),(61)

Změřeno Vypočteno Změřeno Vypočteno

Seznam přístrojů   

Přípravek SRO s přepínatelným R Funkční generátor typ 33120A 2× číslicový multimetr typ 34401A

Závěr   

Popište, jak se mění charakter impedance SRO s kmitočtem. Všimněte si hodnoty modulu a fáze impedance SRO při rezonanci. Popište závislost tvaru rezonanční křivky na činiteli jakosti Q. Ověřte, že při rezonanci je napětí na kapacitoru UC Q-krát vyšší než napájecí napětí UG Q



U C  fr  UG

.

(-)

(62)

Podle hodnot poměrných odchylek parametrů obvodu posuďte přesnost provedeného měření.

Stručné shrnutí Sériový rezonanční obvod je v praxi využíván jako selektivní obvod, který je schopen zdůraznit určité kmitočtové pásmo signálů. Často je používán jako pásmová propust nebo zádrž. Jeho selektivní vlastnosti jsou určeny hodnotou obvodových parametrů jednotlivých prvků. U praktické realizace RLC obvodu jsou dosažitelné vlastnosti limitovány ztrátovým odporem cívky. V úloze byl rozebrán jev rezonance SRO a byla ukázána závislost impedance SRO na kmitočtu. Úloha dále ukázala vliv činitele jakosti Q na tvar rezonanční křivky SRO a na velikost napětí, které se při rezonanci objeví na prvcích L a C - (62).

34

6A Paralelní rezonanční obvod

6A Paralelní rezonanční obvod Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit základní parametry reálného paralelního rezonančního obvodu (PRO) - činitel jakosti Q, rezonanční kmitočet fr a šířku pásma B. Vyšetřit selektivní vlastnosti paralelního rezonančního obvodu změřením jeho kmitočtových závislostí a porovnat naměřené hodnoty parametrů obvodu s hodnotami určenými výpočtem z parametrů jednotlivých prvků rezonančního obvodu.

Úkol  

Změřte a zobrazte kmitočtovou závislost modulu napětí ULC(f) paralelního rezonančního obvodu a určete rezonanční kmitočet fr, činitel jakosti Q a šířku pásma B. Naměřené hodnoty ověřte teoretickými výpočty.

Teoretický úvod K základním typům elektrických rezonančních obvodů patří kromě sériového (úloha 5A) i paralelní rezonanční obvod. Sériový a paralelní rezonanční obvod mají řadu formálně analogických vlastností (viz lit. [1]).

I

G IG

C

L

U

IC

IL

Paralelní rezonanční obvod RLC je na obr. 19. Admitance paralelního obvodu: Y  G  j( C 

1 ) L

(S)

(63)

(S)

(64)

má minimum obr. 19 Paralelní rezonanční obvod

Y  G  R 1

při rezonančním kmitočtu 1

fr 

2π L C

.

(Hz)

(65)

Proudy IL a IC jsou při rezonanci Q-násobkem celkového proudu, činitel kvality PRO je definován Q

1

r LG



r C G



1 C . G L

(-)

(66)

Pro PRO lze sestrojit rezonanční křivku obdobnou obr. 17 jako kmitočtovou závislost ULC(f) pro I = konst. Zapojení uvedené na obr. 19 je těžko realizovatelné vzhledem k vlastnostem reálné cívky – ta má vždy nějaký sériový odpor RL daný jejím technickým provedením. Pro reálný obvod PRO má tento parazitní odpor vliv na rezonanční kmitočet (většinou však zanedbatelný), srovnej s (65) f r 

1 2π

R2 1  2L . LC L

(Hz)

(67)

Podstatnější je vliv tohoto odporu na činitel jakosti PRO, neboť zvyšuje hodnotu vodivosti G - obr. 19. V reálu je hodnota vodivosti G dána paralelní kombinací připojovaného rezistoru Rn a přepočteného ztrátového odporu cívky RLp (viz dále obr. 20)

35


G

RLp  Rn RLp  Rn

,

RLp 

L . C  RL

(S), ()

(68)




Z hodnot prvků PRO uvedených v tab. 12 vypočtěte a zapište teoretické hodnoty rezonačního kmitočtu fr (65), celkové paralelní vodivosti G (68) a činitele jakosti Q (66). Z rezonančního kmitočtu a činitele jakosti určete šířku pásma B pomocí (60). Výpočty proveďte pro všechny tři varianty Rn = {R1, R2, R3}. Admitance PRO tvoří spolu s Ri kmitočtově závislý dělič, jehož komplexní přenos KU se bude měřit. Při rezonanci je admitance PRO podle (64) minimální a rovna G, přenos zde tedy nabývá maximální hodnoty K Umax  K u  f r  

G 1 , Ri  G 1

K Umax(dB)  20  log  K Umax  v logaritmické míře.

(-)

(69)

(dB)

Doplňte do tab. 12 očekávané hodnoty přenosu při rezonanci KUmax.

Pracovní postup Měřený obvod bude zapojen podle obr. 20. Protože PRO je vhodné pro měření napájet zdrojem harmonického konstantního proudu, je do série s generátorem s konstantním harmonickým napětím Ug zapojen rezistor Ri, mající oproti kmitočtově závislé impedanci PRO mnohonásobně větší odpor. Proud I napájející PRO lze tak považovat za téměř konstantní, nezávislý na kmitočtu.

obr. 20 Princip měření přenosu článku s PRO

Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, pro měření se využívá dvojitý analogový vstup a programovatelný generátor. Princip měření spočívá v porovnávání vstupního signálu UG dodávaného generátorem s napětím UC na PRO, viz obr. 20. Měří se tedy napěťový přenos KU děliče tvořeného Ri a PRO. a)

Propojte měřený obvod PRO s měřicím zařízením podle obr. 21. Vstup A je připojen na napětí UG (zároveň je zde připojen výstup generátoru), vstup B na napětí UC. Pro připojení výstupu generátoru a vstupu IN A použijte žluté propojovací dvojlinky, pro vstup IN B modrou dvojlinku. Zkratovací spojkou zvolte odpor R1.

b) Spusťte program RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Frequency Characteristics. Nastavte tyto parametry: Display: Ampl., Phase, |K| dB/div: 5 , |K| offset: 30 dB, deg/div: 30,  offset: 0º, Decades: 1, Begin: 100 Hz, Resolution: High. c)

Stiskem virtuálního tlačítka Start spusťte měření. Vykresluje se modul (v logaritmické míře) i fáze napětí na kondenzátoru UC v závislosti na kmitočtu. Modul i fáze tohoto napětí jsou měřeny relativně k UG. Všimněte si, že při rezonanci je napětí UC ve fázi se vstupním napětím UG (nulové ), jinak řečeno impedance PRO má při rezonanci čistě reálný charakter, viz teoretický úvod.

d) Nyní změřte závislost rezonanční křivky na připojeném paralelním odporu. Přepněte na sekvenční měření tlačítkem Measurement: Sequence. Poté zobrazte křivku pro odpor R1 stiskem tlačítka M1. V režimu sekvenčního měření se zobrazuje jen modul nebo jen fáze měřeného přenosu napětí; zobrazení se volí pomocí tlačítek Display: Ampl / Phase. Ponechte zobrazení modulů.

36


e)

Na přípravku PRO zvolte zkratovací spojkou odpor R2. Změřte další křivku stiskem tlačítka M2 a poté obdobně pro R3 stiskem M3. Nyní jsou zobrazeny tři různé rezonanční křivky (moduly přenosu článku s PRO).

f)

V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna Experiment na BEL2 - PRO; namísto Jméno pak uveďte svá příjmení. Editaci ukončete (Legend: End).

g) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, v jejich vlastnostech nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint pak nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor vytiskněte (tlačítko Print&Close) na síťové tiskárně. h) Přepněte na zobrazení fáze přenosu článku Display: Phase a postupem podle g) graf vytiskněte. V obou grafech pak tužkou označte jednotlivé křivky R1, R2 nebo R3. i)

Zapněte kursory (Cursor: On) a pohybem kurzoru pomocí tlačítek   najděte maximum křivek – tomu odpovídající rezonanční kmitočet fr zapište do tab. 12. Zároveň si zapište hodnotu přenosu KUmax (je to hodnota K při rezonanci).

j)

Pomocí kurzoru zjistěte pro každou zobrazenou křivku šířku pásma B následujícím způsobem: kurzory 1 a 2 posuňte pomocí tlačítek   na mezní kmitočty fmd resp. fmh. Pro mezní kmitočty platí vztahy KU(fm) = KUmax - 3 (dB) a také  (fm)= 45°. Vzhledem k rozlišení bodů grafu se kurzory posouvají skokově, proto nastavujte vždy nejbližší možné hodnoty. Takto zjištěné mezní kmitočty zapište do tab. 12.

k) Ukončete program (tlačítkem Exit).

obr. 21 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření rezonanční křivky PRO

37


Zpracování tab. 12 Naměřené a teoretické hodnoty PRO

R1 R2 R3

fr

KUmax

fmd

fmh

G

B

Q

B

Q

Hz

dB

Hz

Hz

S

Hz

-

%

%

(65)

(69)

-

-

(68)

(59) (60)

(60) (66)

(1)

(1)

Změřeno Vypočteno Změřeno Vypočteno Změřeno Vypočteno

Poznámka: C = 150 nF , L = 1,6 H , RL = 90  R1 = 120 k R2 = 47 k R3 = 18 kRi = 330 k l)

Ve vytištěném grafu UC(f) vyznačte rezonanční kmitočet fr a pro všechny tři křivky rovněž šířku pásma B.

m) Pro všechny tři křivky určete změřenou šířku pásma B podle (59) a činitel jakosti Q podle (60). Hodnoty zapište do tab. 12 a ke křivkám v grafu dopište zjištěné hodnoty činitele jakosti Q. n) Určete poměrné odchylky mezi naměřenými a vypočtenými hodnotami v tab. 12.


Přípravek PRO Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr  

Popište závislost tvaru rezonanční křivky PRO na činiteli jakosti obvodu. Zhodnoťte odchylky naměřených a vypočtených parametrů PRO a uvažujte o možných příčinách.

Stručné shrnutí Paralelní rezonanční obvod je v praxi využíván jako selektivní obvod, který je schopen zdůraznit určité kmitočtové pásmo signálů. Nejčastěji je proto používán jako obvod pásmové propusti. Jeho selektivní vlastnosti jsou určeny hodnotou obvodových parametrů jednotlivých prvků. U praktické realizace RLC obvodu jsou reálné vlastnosti většinou určeny ztrátovým odporem cívky. Uvedená úloha umožňuje ověření teoreticky vypočtených parametrů paralelního rezonančního obvodu měřením a ukazuje praktickou možnost využití rezonančního obvodu jako pásmové propusti. V úloze byl rozebrán jev rezonance PRO a byl ukázán vliv činitele jakosti Q na tvar rezonanční křivky.

38

7A Základní vlastnosti článků RC a CR

7A Základní vlastnosti článků RC a CR Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit kmitočtové závislosti přenosu napětí (modulovou a argumentovou kmitočtovou charakteristiku), objasnit vztah pracovní oblasti, mezního kmitočtu a časové konstanty základních přenosových článků 1. řádu. Stručně demonstrovat zásadní rozdíl v chování článků RC a CR při průchodu harmonických a neharmonických periodických signálů a ukázat některé možnosti jejich praktického využití.

Úkol  

U předložených článků RC a CR změřte modulovou i fázovou kmitočtovou charakteristiku přenosu napětí. Analyzujte chování obou článků pro harmonický a neharmonický ustálený stav.

Teoretický úvod Vlastnosti přenosových článků můžeme obecně popsat pomocí imitančních a přenosových funkcí. Pokud přenosový článek obsahuje setrvačné prvky (L, C), jsou tyto funkce komplexními veličinami závislými na kmitočtu. Často užívanou přenosovou funkcí článku je přenos napětí KU K U   

U 2   U1  

 K U    e j    Re K U    j  Im K U   .

(-)

(70)

Kmitočet ovlivňuje jak velikost modulu, tak i argument přenosové funkce (70). Grafickým znázorněním této funkce v komplexní rovině je křivka nazývaná hodograf. Častěji se kmitočtové závislosti modulu i argumentu přenosové funkce znázorňují samostatně; tyto grafy se nazývají modulová Ku() resp. argumentová (fázová) kmitočtová charakteristika (). V technické praxi je třeba znát průběh přenosové funkce v širokém rozsahu kmitočtu, proto se často volí logaritmické měřítko kmitočtové osy. Modul přenosové funkce se velmi často zobrazuje v decibelech: K U(dB)    20  log  K U    .

(dB)

(71)

Výhodou logaritmické kmitočtové osy a modulu v dB je snadné použití asymptotických charakteristik, kdy charakteristiku aproximujeme lomenými přímkami. U grafu argumentové kmitočtové charakteristiky užíváme rovněž logaritmickou osu kmitočtu, fázi (argument přenosové funkce) vynášíme na svislou osu vždy lineárně. K jednoduchým, ale často užívaným obvodům v elektrotechnice patří články RC a CR. Poznámka: uváděné vztahy platí pouze pro harmonický ustálený stav; pokud je vstupní signál neharmonický, je výpočet obvodových veličin složitější (viz např. lit. [1]).

Článek RC má charakter dolní propusti 1. řádu, jeho schéma je na obr. 22. Přenos napětí naprázdno je K U   

U 2   U1  



1 1  ,   RC , 1  j RC 1  j

kde je  ............................ časová konstanta.

(-), (s)

(72a, b)

(s)

Složky napěťového přenosu článku RC (modul a argument přenosové funkce) jsou K U    K U   

U 2   U1   

    arctan   RC  .



1 1   RC 

2

,

(-)

(73)

(rad)

(74)

39


R C

U1

0

0.5 

Ku

U2

1 Re  =0 

-0.5 =m

Im

obr. 22 Článek RC, jeho hodograf a modulová a fázová přenosová charakteristika (tečkovaně jsou vyznačeny asymptotické charakteristiky)

Při kmitočtu m = 1/, nazývaném mezní úhlový kmitočet, má modul přenosu hodnotu –3 dB, argument přenosu je  = -45°. Hodograf i modulová a argumentová kmitočtová charakteristika RC článku je uvedena na obr. 22. V grafech kmitočtových charakteristik na obrázku je použito relativní měřítko úhlového kmitočtu vzhledem k meznímu úhlovému kmitočtu m. Pro mezní úhlový kmitočet resp. mezní kmitočet platí

m 

1

1

(rad·s-1)

 ,  RC  1 fm  m  . 2π 2πRC

(75) (Hz)

Asymptotické vyjádření kmitočtových charakteristik článku RC představují lomené přímky naznačené čárkovaně v obr. 22. Sklon přímky v modulové charakteristice je -20 dB/dekádu, sklon přímky v argumentové charakteristice je -45°/dekádu. Pomocí těchto asymptot lze snadno kreslit dílčí i výsledné charakteristiky přenosových článků – tzv. Bodeho asymptotické charakteristiky. Z přenosových charakteristik na obr. 22 lze vysledovat, že RC článek má dvě charakteristické pracovní oblasti:  oblast přenosu  << m, článek přenáší s malým fázovým posunem;  oblast integrace  >> m, přenos článku klesá a fázový posun se blíží –90°. Článek CR má charakter horní propusti 1. řádu, jeho schéma je na obr. 23. Přenos napětí naprázdno a jeho složky (modul a argument přenosové funkce) jsou K U   

U 2   U1  



j RC j  ,   RC . 1  j RC 1  j

(-), (s)

(76a, b)

40


K U    K U   

U 2   U1   



 RC 1   RC 

 1  .   RC 

    arctan 

2

,

(-)

(77)

(rad)

(78)

C U1

Im

R

U2

= m

-0.5 

Ku =0



0

0.5

1 Re

obr. 23 Článek CR, jeho hodograf a modulová a fázová přenosová charakteristika (tečkovaně jsou vyznačeny asymptotické charakteristiky)

Při mezním úhlovém kmitočtu (75) má modul přenosu hodnotu –3 dB, argument přenosu je  = +45°. Hodograf, modulová a argumentová kmitočtová charakteristika CR článku je uvedena na obr. 23. V grafech kmitočtových charakteristik na obrázku je použito relativní měřítko úhlového kmitočtu vzhledem k meznímu úhlovému kmitočtu m. Z přenosových charakteristik na obr. 23 lze vysledovat, že CR článek má dvě charakteristické pracovní oblasti:  oblast přenosu  >> m, článek přenáší s malým fázovým posunem;  oblast derivace  << m, přenos článku klesá a fázový posun se blíží +90°. Asymptotické vyjádření kmitočtové charakteristiky článku CR představují lomené přímky naznačené čárkovaně v obr. 23. Sklon přímky v modulové charakteristice je +20 dB/dekádu, sklon přímky v argumentové charakteristice je +45°/dekádu.

Domácí příprava  

S využitím hodnot prvků R, C uvedených v tab. 13 vypočtěte a zapište teoretickou hodnotu časové konstanty  (72b) a mezního kmitočtu fm (75) pro článek RC i CR. Pro oba články vypočtěte teoretické hodnoty komplexního napěťového přenosu KU, z něj dále moduly přenosu KU i KU(dB) a argumenty přenosu  na obou zadaných kmitočtech. Hodnoty uveďte v tab. 14 (pro RC) resp. tab. 15 (pro CR).

41


Pracovní postup Měření kmitočtových přenosových charakteristik

Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, pro měření se využívá dvojitý analogový vstup a programovatelný výstup. Princip měření (obr. 24) spočívá v porovnávání vstupního signálu U1 dodávaného generátorem a výstupního signálu článku U2 podle vztahu (70).

obr. 24 Princip měření kmitočtové závislosti přenosu článků RC a CR

obr. 25 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření kmitočtových přenosových charakteristik článků RC a CR

a)

Zapojte obvod podle obr. 25 nejprve s RC článkem. Pro připojení analogového výstupu a vstupu IN A použijte žluté propojovací dvojlinky, pro vstup IN B modrou dvojlinku.

b) Spusťte program RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Frequency Characteristics. Nastavte tyto parametry: Display: Ampl, Phase, View: Nyquist, |K| dB/div: 5 , |K| offset: 15 dB,  deg/div: 30,  offset: 0º, Decades: 3, Begin: 10 Hz, Resolution: Std. c)

Stiskem virtuálního tlačítka Start spusťte měření. Vykresluje se modulová (logaritmická) i argumentová (semilogaritmická) přenosová charakteristika spolu s hodografem.

d) Po změření charakteristiky zapněte kursor (Cursor: On). Pomocí tlačítek   pohybujte kurzorem v kmitočtových charakteristikách a zároveň sledujte pohyb vektoru v hodografu; jde o dvě různá zobrazení téže přenosové funkce. Pomocí kurzoru najděte kmitočet, pro který má přenos hodnotu -3dB. Takto

42


nalezený mezní kmitočet fm zapište do tab. 13. Všimněte si, že pro mezní kmitočet je (fm) = -45° pro RC článek resp. (fm) = +45° pro CR článek a křivka zde má inflexní bod. e)

Pomocí kurzoru změřte a zapište do tab. 14 (pro RC) resp. tab. 15 (CR) pro kmitočty 100 Hz a 1000 Hz:  komplexní přenos KU ve složkovém tvaru (zobrazuje se jako {Re K} + j {Im K}),  modul přenosu KU (zobrazuje se jako |K| [-]),  modul přenosu KU v dB (zobrazuje se jako |K| [dB]),  fázový posun  (zobrazuje se jako  [deg]).

f)

V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna Experiment na BEL2-přenos článku RC (resp. CR); namísto Jméno pak uveďte svá příjmení. Editaci ukončete (Legend: End)

g) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf přenosové charakteristiky. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro vytvoření dvo kopií tisk opakujte. V programu FinePrint nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close). h) Namísto RC článku zapojte CR článek. Nastavení programu ponechejte nezměněné. Opakujte postup podle bodů c) až g). i)

Ukončete program (tlačítkem Exit).

Měření periodického harmonického a neharmonického ustáleného stavu

Měření se provádí opět pomocí modulárního systému RC 2000, který nyní slouží jako osciloskop. Článek je buzen externím generátorem s nastavitelným periodickým signálem. Na pracovišti obdržíte předtištěné grafy průběhů ustáleného periodického harmonického a obdélníkového napětí na vstupu a výstupu článků. ANALOG INPUT + IN A - IN A + IN B - IN B

ANALOG OUTPUT

PC/RS232

OUT

CHANNEL A

GND

CHANNEL B

MEASURE MODE OSCILLOSCOPE

A&DDU

+5V

GEN

+IN A

RC

+IN B

R VALUE

C

100.0Hz 5.00V

GEN MODE

-IN A

-IN B

+IN A

+IN B

GEN

SHIFT

C

FUNC

CR FUNCTION GENERATOR

-IN A

R -IN B

GEN

obr. 26 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření ustáleného periodického stavu článků RC a CR 43


j)

Zapojte obvod s RC článkem podle obr. 26. Jako zdroj signálu bude použit přístroj Function generator, vstupní signál článku bude připojen ke vstupu A a výstupní signál ke vstupu B jednotky A&DDU.

k) Po spuštění systému RC 2000 zvolte z Výběru programů nabídku Oscilloscope. Pomocí kláves nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A i B: ±10 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off), rozsah časové osy: 0 - 25 ms (Time pomocí tlačítek  ). l)

Na přístroji Function generator stiskněte tlačítko Init, čímž nastavíte kmitočet 100 Hz, výstupní napětí 5 V, sinusový (harmonický) průběh.

m) Stiskem virtuálního tlačítka Run (okno osciloskopu) spusťte měření. n) Krokujte kmitočet budicího signálu generátoru od 100 Hz do 1000 Hz s krokem 100 Hz (tlačítky  v bloku SHIFT přístroje Function generator) a pozorujte tvar vstupního a výstupního signálu. Pro lepší zobrazení můžete měnit rozlišení časové osy (v programu v sekci Time pomocí tlačítek  ). o) Na generátoru přepněte (tlačítkem v sekci FUNC) tvar signálu na obdélníkový (tedy neharmonický) a opakujte postup podle bodu n). p) Do grafu tužkou dopište pracovní kmitočty a pracovní oblast článků (integrační, derivační, přenosová) pro harmonický i neharmonický vstupní signál. q) Namísto RC článku zapojte CR článek. Nastavení programu neměňte. Opakujte postup podle bodů l) až p). r)

Ukončete program (tlačítkem Exit).

Zpracování s)

Do vytištěného grafu přenosové funkce článku RC i CR tužkou dokreslete schéma zapojení článku, do hodografu vyznačte mezní kmitočet a oblasti přenosu a integrace.

t)

Pro oba měřené články s využitím naměřené hodnoty fm zakreslete do vytištěného grafu modulové a argumentové kmitočtové charakteristiky rovněž asymptotické charakteristiky (viz teoretický úvod).

tab. 13 Mezní kmitočet a časová konstanta článků RC a CR

RC

fm

Hz



ms

Poznámky

CR

Změřeno

Vypočteno

Změřeno

Vypočteno

-

(75), (72b)

-

(75), (72b)

R = 1,2 k , C = 300 nF

C = 460 nF , R = 1,2 k

tab. 14 Napěťový přenos článku RC

f

RC

Hz 100 1000

KU

KU

KU(dB)



Re + j Im

-

dB

º

(72a)

(73)

(71)

(74)


44


tab. 15 Napěťový přenos článku CR

f CR Hz 100 1000

KU

KU

KU(dB)



Re + j Im

-

dB

º

(76a)

(77)

(71)

(78)


Seznam přístrojů   

Přípravek s RC článkem Přípravek s CR článkem Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr   

Srovnejte hodnoty přenosové funkce článků zjištěné měřením a výpočtem z hodnot součástek. Komentujte průběh přenosové kmitočtové charakteristiky obou článků. Diskutujte tvar průběhu výstupního napětí článků při harmonickém a neharmonickém vstupním napětí v závislosti na kmitočtu.

Stručné shrnutí Kmitočtové závislosti napěťového přenosu jednoduchého pasivního RC resp. CR článku charakterizují chování i základní možnosti využití těchto setrvačných obvodů v praxi. Uvedená úloha ukazuje typické možnosti využití RC článku jako obvodu dolní propusti a typický projev jeho integračních vlastností při průchodu neharmonických signálů dostatečně vysokého kmitočtu  >> m (zde bylo ukázáno pro obdélníkový signál). Obdobně byly ukázány typické možnosti využití CR článku jako obvodu horní propusti a typický projev jeho derivačních vlastností při průchodu neharmonického signálu dostatečně nízkého kmitočtu  << m. Všimněte si rozdílu: pro harmonický průběh je výstupní signál opět harmonický, ovšem je v závislosti na kmitočtu tlumený a fázově posunutý, zatímco při neharmonickém vstupní napětí dochází (opět v závislosti na kmitočtu) ke změně tvaru signálu – nikoliv však k jeho fázovému posunu! Tato problematika bude podrobněji vysvětlena v úloze 4B.

45

1B Trojfázová soustava

1B Trojfázová soustava Cíl úlohy Ukázat souvislost fázových a sdružených napětí a proudů trojfázové soustavy. Na praktických příkladech procvičit výpočty fázorů proudů trojfázových zátěží zapojených do hvězdy i trojúhelníka. Ukázat vliv nesouměrné zátěže na napájecí soustavu.

Úkol   

 

Zobrazte časové průběhy a fázory fázových a sdružených napětí trojfázové soustavy a změřte jejich vzájemný poměr a fázový posun. Zobrazte časové průběhy a fázory proudů na souměrné zátěži zapojené do hvězdy. Ověřte, že proud nulovým vodičem je roven nule. Zobrazte časové průběhy a fázory proudů na nesouměrné zátěži zapojené do hvězdy: - s nulovým vodičem, - bez nulového vodiče. Zobrazte časové průběhy a fázory proudů při souměrné a nesouměrné zátěži zapojené do trojúhelníka. Pro uvedené případy ověřte naměřené hodnoty výpočtem.

Teoretický úvod Trojfázové obvody mají základní význam v elektroenergetice při výrobě, rozvodu a užití elektrické energie. Trojfázový proud umožňuje totiž vytvoření točivého magnetického pole, které je základem působení trojfázových indukčních motorů, nejjednodušších a proto i nejrozšířenějších motorů vůbec. Při přenosu energie trojfázovým vedením se ušetří na materiálu vodičů a také trojfázové generátory jsou funkčně jednodušší a mají menší hmotnost než jednofázové stejných výkonů. Stejně tak trojfázové transformátory jsou ekonomičtější než jednofázové. Trojfázová soustava (obr. 27) je v praxi tvořena souměrným napájecím zdrojem zapojeným obvykle do hvězdy s vyvedeným středním vodičem, což umožňuje připojovat zátěž volitelně na sdružené nebo fázové napětí. Trojfázové zátěže se připojují v zapojení do hvězdy (označovaná Y) nebo trojúhelníka (označovaná  nebo též D). Zátěž zapojená do hvězdy může mít připojen i střední vodič (zapojení YN), což má význam u nesouměrné zátěže, která je tvořena například soustavou různých jednofázových zátěží.

obr. 27 Trojfázová soustava se souměrným zdrojem a zátěží Y(N) a 

Vodiče trojfázové soustavy se označují L1, L2 a L3 (fázové vodiče) a N (střední nebo též nulový vodič). Odpovídající svorky zátěží se označují U, V, W, N. Proudy vodiči soustavy I1 až I3 jsou tzv. fázové proudy.

46


Souměrný trojfázový zdroj je tvořen třemi zdroji se shodným napětím a vzájemným fázovým posunem o ±120°. Standardně pokládáme fázový posun prvního zdroje roven nule; pak lze fázová napětí trojfázového zdroje popsat v časové oblasti následujícími vztahy u1  t   U m  sin t  , u2  t   U m  sin t  120  ,

(V)

(79)

(V)

(80)

(-)

(81)

u3  t   U m  sin t  120  .

odpovídající fázory (v měřítku maximálních hodnot) jsou podle [1] U10  U m 0, U 20  U m a 2  U10 a 2  U m   120, U 30  U m a  U10 a  U m   120,

kde byl použit operátor natočení ae

2 j  3

 e j120 .

Uvedená fázová napětí jsou měřena mezi příslušným fázovým vodičem a středním vodičem. Napětí mezi dvojicemi fázových vodičů jsou tzv. sdružená napětí (v měřítku maximálních hodnot) U12  U10  U 20  U10 1  a 2   U10  330, U 23  U 20  U 30  U10  a 2  a   U10  3  90,

(V)

(82)

U 31  U 30  U10  U10  a  1  U10  3150.

Je tedy vidět, že soustava fázorů sdružených napětí je 3 krát větší a pootočena o +30° oproti soustavě fázorů fázových napětí. Dále uvedeme možná zapojení zátěže spolu s postupem výpočtu. Zapojení YN (do hvězdy s nulovým vodičem)

V zapojení do hvězdy s nulovým vodičem YN je na jednotlivých impedancích obecné zátěže fázové napětí (80), např. na první impedanci je U1 = U10, viz obr. 27. Fázové proudy u zapojení do hvězdy jsou totožné s proudy impedancemi zátěže. Pro výpočet lze na obvod nahlížet jako na tři samostatné jednofázové obvody, které sdílejí nulový vodič. Fázory napětí a proudů impedancí zátěže jsou U1  U10 ,

I1 

U10 , Z1

U 2  U 20 ,

I2 

U 20 , Z2

U 3  U 30 ,

I3 

U 30 . Z3

(V)

(83)

(A)

(84)

(A)

(85)

Proud středním vodičem lze vypočítat aplikací I. K. z. na střed zátěže I N  I1  I 2  I 3 .

Pro souměrnou zátěž (Z1 = Z2 = Z3 = Z) lze výpočet zjednodušit tak, že se určí pouze proud a napětí na první impedanci a další veličiny se získají pouhým přičtením fázového posunu ±120°, neboli násobením a2 resp. a. Proud IN je v případě souměrné zátěže roven nule. Zapojení Y (do hvězdy bez nulového vodiče)

V případě obecné zátěže do hvězdy bez nulového vodiče Y (v obr. 27 čárkovaně) není na impedancích zátěže fázové napětí zdroje. Je třeba nejprve spočítat napětí mezi středy (N) zátěže a zdroje, pro které lze pomocí MUN odvodit vztah

47


U10 U 20 U 30   Z1 Z2 Z3 UN  . 1 1 1   Z1 Z 2 Z 3

(V)

(86)

(V)

(87)

(A)

(88)

Pro fázory napětí na impedancích zátěže podle II. K. z. platí U1  U10  U N ,

U 2  U 20  U N ,

U 3  U 30  U N ,

z nich pak lze určit fázové proudy I1 

U1 , Z1

I2 

U2 , Z2

I3 

U3 . Z3

Proud středním vodičem se určí podle (85). Pokud je zátěž vyvážená, pak je UN = 0 a výpočet lze převést na zapojení YN (formálním doplněním nulového vodiče, kterým v tomto případě neteče proud). Zapojení  (do trojúhelníka)

V zapojení do trojúhelníka  jsou na jednotlivých impedancích zátěže sdružená napětí (82), např. na první impedanci je U12, viz obr. 27. Impedancemi zátěže tečou sdružené proudy I12 

U12 , Z1

I 23 

U 23 , Z2

I 31 

U 31 . Z3

(A)

(89)

Fázové proudy jsou pak součtem příslušných dvou sdružených proudů, tedy podle I. K. z. viz obr. 27 I1  I12  I 31 ,

I 2  I 23  I12 ,

I 3  I 31  I 23 .

(A)

(90)

Pro souměrnou zátěž lze výpočet opět zjednodušit tak, že se určí pouze sdružený proud první impedancí a další sdružené proudy se získají pouhým přičtením fázového posunu ±120°, neboli násobením a2 resp. a; obdobně se postupuje i při výpočtu fázových proudů.

Domácí příprava    

Doplňte tab. 16 o vypočtené hodnoty fázorů fázových (80) a sdružených (82) napětí souměrné soustavy. S využitím teorie z úlohy 1A vypočtěte a do tab. 17 zapište hodnoty fázových impedancí souměrné i nesouměrné zátěže zapojené podle obr. 29. Do tab. 19 doplňte vypočtené hodnoty fázorů fázových proudů (vztahy (84), (85), (88) a (90)) a do tab. 20 vypočtené hodnoty fázorů sdružených proudů (89) pro případ souměrné i nesouměrné zátěže. S využitím postupu z příkladu č. 2.2.2. v počítačových cvičeních vypočtěte teoretické hodnoty napětí na fázích zátěže při rozpojení a zkratu 1. fáze - obr. 30. Hodnoty zapište do tabulky tab. 18.

Pracovní postup Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, který zde slouží jako dvoukanálový osciloskop. Model trojfázové soustavy obsahuje přesný zdroj souměrného zdroje s nastavitelným fázovým napětím Ufm = 0,10 až 10,00 V / 50 Hz, dále kontaktní pole pro zapojení zátěže do hvězdy i trojúhelníka. Pro měření síťových proudů I1, I2, I3 a proudů zátěže I12, I23, I31 jsou v přípravku zabudovány převodníky I/U s konstantou převodu 1 V / 1 mA. Při měření pozor na záměnu napěťových svorek se svorkami převodníků proudů! Princip zobrazování časových průběhů i fázorů U a I využívá dvoukanálový vstup jednotky A&DDU. Na kanál A je přivedeno referenční napětí, jehož fáze je považována za nulovou, kanál B je využíván pro vlastní měření.

48

1

1


3

  0

  120

  120

obr. 28 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření trojfázové soustavy

a)

Zapojte pracoviště podle schématu obr. 28. Nastavte efektivní hodnotu napětí 3fázového zdroje na 2,20 Vrms (odpovídající maximální hodnota je 2  2, 2  3,11 Vmax ; přepínání mezi Vmax a Vrms pomocí tlačítka Unit).

b) Spusťte obslužný program RC2000. Z výběru programů zvolte Oscilloscope. Stiskem tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů měřených napětí. Stiskem tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování naměřených hodnot fázorů. Dále nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A: ±5 V, rozsah zobrazení kanálu B: ±5 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off). Rozsah časové osy (Time pomocí tlačítek  ) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 10 a 20 ms. Zvolte sekvenční měření více hodnot tlačítkem Sequence. c)

Pomocí prvků R1 a C sestavte souměrnou zátěž zapojenou do hvězdy podle obr. 29. Propojte zkratovými spojkami výstupy generátoru se zátěží (pozice označené L1, L2, L3, N).

d) FÁZOVÁ NAPĚTÍ: Referenční analogový vstup A připojte na první fázové napětí (svorku +IN A na vodič L1 a –IN A na vodič N). Fáze napětí U10 bude tedy brána jako referenční. Analogový vstup B připojte ke druhému fázovému napětí (svorku +IN B na vodič L2 a –IN B na vodič N).

49


e)

V sekci Measurement klikněte na tlačítko B1, zobrazí se dvě křivky a jim odpovídající fázory: bílá křivka odpovídá referenčnímu napětí (fázové napětí U10), žlutá křivka pak fázovému napětí U20. Přepojte vstup B na třetí fázové napětí (svorku +IN B na vodič L3 a –IN B na vodič N). Poté kliknutím na tlačítko B2 zobrazíte modrou křivku odpovídající fázovému napětí U30.

f)

Do tab. 16 zapište změřené amplitudy i fáze zobrazených fázových napětí (hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor – Phasors).

g) V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna na BEL2-trojfázová soustava - napětí; namísto Jméno pak uveďte svá příjmení. Editaci ukončete Legend: End. h) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazené grafy. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint pak nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor obsahující dva grafy na jednom listě pod sebou vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close). i)

SDRUŽENÁ NAPĚTÍ: V sekci Measurement klikněte na tlačítko Clr, čímž se vymažou zobrazené křivky. Vstup A (reference) nechte připojený na první fázové napětí U10. Zobrazte sdružená napětí touto sekvencí: - vstup B připojte ke sdruženému napětí U12 (+IN B na L1 a –IN B na L2) a poté klikněte na B1, - vstup B připojte ke sdruženému napětí U23 (+IN B na L2 a –IN B na L3) a poté klikněte na B2, - vstup B připojte ke sdruženému napětí U31 (+IN B na L3 a –IN B na L1) a poté klikněte na B3. Zobrazí se 4 křivky a jim odpovídající fázory: bílá křivka odpovídá opět referenčnímu napětí (fázové napětí U10), žlutá křivka sdruženému napětí U12, modrá křivka sdruženému napětí U23 a zelená křivka sdruženému napětí U31.

j)

Do tab. 16 zapište změřené amplitudy i fáze zobrazených sdružených napětí. Fázory sdružených napětí tužkou dokreslete do grafu fázorů fázových napětí, získaného podle bodu h). Nezapomeňte fázory označit.

obr. 29 Zapojení souměrné a nesouměrné zátěže do hvězdy

k) PROUDY SOUMĚRNÉ ZÁTĚŽE Y(N): Tlačítkem Clr vymažte zobrazené křivky. Rozsah zobrazení kanálu B změňte na ±1 V (Gain pomocí tlačítek ) u kanálu A ponechte ±5 V. Vstup A nechte připojený na fázové napětí U10. Zobrazte proudy vodiči sítě touto sekvencí: - vstup B připojte ke snímači proudu I1 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B1, - vstup B připojte ke snímači proudu I2 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B2, - vstup B připojte ke snímači proudu I3 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B3, - vstup B připojte ke snímači proudu IN s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B4. Zobrazí se 5 křivek a jim odpovídající fázory: bílá křivka odpovídá znovu referenčnímu fázovému napětí U10, žlutá křivka proudu I1, modrá křivka proudu I2, zelená křivka proudu I3 a červená křivka proudu středním vodičem IN. Všimněte si, že IN je nulový a střední vodič tedy pro souměrnou zátěž nemá význam. l)

Do tab. 19 zapište změřené amplitudy i fáze zobrazených proudů. Napětí zobrazená v tabulce Cursor – Phasors přepočtěte na proud konstantou 1 mA / 1 V.

50


m) V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna na BEL2-trojfázová soustava – proudy zátěže Y. Zobrazené grafy vytiskněte postupem popsaným v bodě h). n) PROUDY NESOUMĚRNÉ ZÁTĚŽE YN A Y: Vytvořte nesouměrnou zátěž nahrazením kondenzátoru C v první fázi zátěže rezistorem R2 podle obr. 29. Postupem obdobně jako v bodě k) zobrazte grafy proudů pro nesouměrnou zátěž YN a zapište je do tab. 19. Fázory proudů dokreslete do grafu získaného podle bodu m). o) Rozpojte střední vodič odebráním zkratové spojky N. Pozor, je potřeba referenční vstup –IN A přepojit na vodič N zdroje, tedy do levé zdířky původní pozice zkratové propojky. Postupem obdobně jako v bodě k) zobrazte grafy proudů pro nesouměrnou zátěž Y a zapište je do tab. 19. Pozorujte změnu fázorů proudů oproti zapojení se středním vodičem YN v předešlém bodě.

1=0

1

C

C

C

R1

R1 2

3

Rozpojení 1. fáze zátěže Y

C

R1

R1 2

3

Zkrat 1. fáze zátěže Y

obr. 30 Zapojení zátěže Y s rozpojením resp. zkratem v 1. fázi

p) NAPĚTÍ NA ZÁTĚŽI Y PŘI ROZPOJENÍ FÁZE: Odpojte impedanci 1. fáze (R1 i R2), viz obr. 30 vlevo. Rozsah zobrazení kanálů A i B nastavte na ±5 V. Zobrazte napětí na 1. a 2. fázi zátěže sekvencí: - vstup B připojte na napětí U2 (svorku +IN B na vodič L2 a –IN B na vodič N) a klikněte na B1, - vstup B přepojte na napětí U3 (svorku +IN B na vodič L3 a –IN B na vodič N) a klikněte na B2. . Naměřené hodnoty zapište do tab. 18 q) NAPĚTÍ NA ZÁTĚŽI Y PŘI ZKRATU FÁZE: Pomocí dvou zkratovacích propojek vytvořte zkrat 1. fáze zátěže, viz obr. 30 vpravo. Zobrazte napětí na 1. a 2. fázi a hodnoty zapište, postup podle bodu p).

obr. 31 Zapojení souměrné a nesouměrné zátěže do trojúhelníka

r)

PROUDY PŘI SOUMĚRNÉ ZÁTĚŽI : Pomocí prvků R1 a C sestavte souměrnou zátěž zapojenou do trojúhelníka podle obr. 31 – pozor na možnou záměnu se zdířkami snímačů proudu. Tlačítkem Clr vymažte 51


zobrazené křivky. Rozsah kanálu A i B nastavte na ±5 V. Zobrazte fázové proudy tekoucí vodiči sítě sekvencí: - vstup B připojte ke snímači proudu I1 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B1, - vstup B připojte ke snímači proudu I2 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B2, - vstup B připojte ke snímači proudu I3 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B3. s)

Do tab. 19 zapište změřené amplitudy i fáze zobrazených fázových proudů. V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna na BEL2-trojfázová soustava – proudy při souměrné zátěži D. Zobrazené grafy vytiskněte postupem popsaným v bodě h).

t)

Tlačítkem Clr vymažte zobrazené křivky. Zobrazte sdružené proudy zátěže touto sekvencí: - vstup B připojte ke snímači proudu I12 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B1, - vstup B připojte ke snímači proudu I23 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B2, - vstup B připojte ke snímači proudu I31 s polaritou +- ve směru šipky a poté klikněte na B3.

u) Do tab. 20 zapište změřené amplitudy i fáze zobrazených sdružených proudů zátěže. Fázory sdružených proudů dokreslete tužkou do grafu fázorů fázových proudů vytištěného v bodě s). v) PROUDY PŘI NESOUMERNÉ ZÁTĚŽI Vytvořte nesouměrnou zátěž nahrazením kondenzátoru C v první fázi zátěže rezistorem R2 podle obr. 31. Postupem adekvátním bodům r) až u) zobrazte a vytiskněte grafy fázových proudů sítě a sdružených proudů zátěže pro nesouměrnou zátěž  (nezapomeňte změnit nadpis grafu) a zapište jejich změřené amplitudy i fáze do tab. 19 resp. tab. 20. w) Měření ukončete (Exit).

Zpracování tab. 16 Fázová a sdružená napětí (maximální hodnoty) souměrné trojfázové soustavy

Fázová napětí (max. hodnoty) U10 U20 U30 (80) (80) (80) V ° V ° V °

Sdružená napětí (max. hodnoty) U12 U23 U31 (82) (82) (82) V ° V ° V °

Měřeno Vypočteno 3,11 0 Poznámka: Um = 3,11 V (U = 2,20 V), f = 50 Hz tab. 17 Vypočtené fázové impedance zátěže

Z1 () Z2 () Re Im Soum. shodné se Z1 |Z| ˚ Re Im Re Im Nesoum. |Z| ˚ |Z| ˚ Poznámka: R1 = 2 k , R2 = 5 k , C = 1 F , f = 50 Hz

Z3 () shodné se Z1 shodné se Z2

tab. 18 Napětí na impedancích zátěže (maximální hodnoty) při rozpojení a zkratu jedné fáze

Rozpojení 1. fáze U2 U3 V ° V °

Zkrat 1. fáze U2 U3 V ° V °

Měřeno Vypočteno

52


tab. 19 Fázové proudy (maximální hodnoty)

Vypočteno

Měřeno

Zapojení zátěže

I1 mA

Y(N) soum. YN nesoum. Y nesoum.  soum.  nesoum. Y(N) soum. YN nesoum. Y nesoum.  soum.  nesoum.

I2 °

mA

I3 °

mA

IN °

mA 0

(84) (84),(85) (88) (90) (90)

°

0

tab. 20 Sdružené proudy souměrné a nesouměrné zátěže  (maximální hodnoty)

I12

Zapojení zátěže  soum.  nesoum.

mA

I23 °

mA

I31 mA

°

mA

Měřeno Vypočteno (89) Měřeno Vypočteno (89)


Přípravek 3 Phase System (zdroj 3fázového souměrného napětí, zátěž) + sada propojek a prvků R a C Měřicí systém RC 2000 (A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr 

Z naměřených údajů v tab. 16 ověřte platnost vztahů (82) mezi fázovými a sdruženými napětími souměrné napájecí soustavy, tedy že sdružená napětí jsou 3 krát větší a pootočena o +30° oproti fázovým.



Z naměřených údajů v tab. 19 ověřte, zda fázové proudy při souměrné zátěži Y i  tvoří souměrnou soustavu, tedy že fázory mají shodné moduly I1 = I2 = I3 a jsou vzájemně fázově posunuty o ±120°. Dále ověřte, že fázové proudy se při přepojení souměrné zátěže z Y do  zvětší 3krát. Pro nesouměrnou zátěž v zapojení YN výpočtem ověřte, že pro proud středním vodičem platí vztah (85). Porovnejte hodnoty získané měřením s hodnotami vypočtenými.



Stručné shrnutí Systém RC2000 ukazuje naměřené hodnoty v měřítku maximálních hodnot, proto hodnoty uváděné v tabulkách jsou v měřítku max. hodnot. V praxi se častěji používá měřítko efektivních hodnot, tedy 2 krát menší. V úloze byly procvičeny postupy výpočtů napětí a proudů souměrných i nesouměrných zátěží v zapojení Y a . Vypočtené hodnoty byly experimentálně ověřeny. Jak je vidět z naměřených hodnot, střední (nulový) vodič nemá význam v souměrné soustavě. V praxi je však na trojfázovou síť připojováno množství jednofázových spotřebičů, čímž vzniká nesouměrná zátěž. V tomto případě nulový vodič zajišťuje na všech těchto spotřebičích správnou hodnotu napětí a jeho použití je proto nezbytné – viz hodnoty zjištěné u nesouměrné zátěže Y bez N.

53

2B Výkon v trojfázové soustavě

2B Výkon v trojfázové soustavě Cíl úlohy Seznámit se s měřením výkonů trojfázové souměrné a nesouměrné zátěže zapojené do hvězdy a do trojúhelníka. Ověřit vzájemné vztahy mezi komplexním výkonem a jeho složkami - činným jalovým a zdánlivým výkonem. Výpočtem ověřit naměřené hodnoty a seznámit se s konstrukcí fázorového diagramu trojfázové zátěže.

Úkol   

Vypočtěte výkony na souměrné činné zátěži zapojené do hvězdy a do trojúhelníka a porovnejte je s naměřenými hodnotami. Vypočtěte výkony na nesouměrné obecné zátěži zapojené do hvězdy a do trojúhelníka a porovnejte je s naměřenými hodnotami. Sestavte fázorové diagramy pro souměrnou i nesouměrnou zátěž v obou zapojeních.

Teoretický úvod 1

1 10

1

12 31

N 12 30

20

31 23 3

3

2

2

2 23

3

Zdroj

Zátěž Y

Zátěž D

obr. 32 Trojfázová soustava se souměrným zdrojem a zátěží Y a 

V úloze 3A byl popsán postup měření a výpočtu složek výkonu S, P a Q pro jednofázový obvod. Pro trojfázovou soustavu se výkon na obecné zátěži určuje jako součet dílčích výkonů na třech fázích zátěže S  S1  S 2  S3 ,

(VA) (W) (VAr)

P  P1  P2  P3 , Q  Q1  Q2  Q3 .

(91)

Měření jednotlivých složek výkonů se provádí pomocí V-metrů, A-metrů a W-metrů. Pomocí wattmetrů se změří činné výkony P, voltmetry a ampérmetry dovolí určit zdánlivé výkony S a následným výpočtem se určí jalové výkony Q v jednotlivých fázích. S1  U1  I1 , S 2  U 2  I 2 , S3  U 3  I 3 ,

Q1  S12  P12 ,

Q2  S22  P22 ,

Q3  S32  P32 .

(VA)

(92)

(VAr)

(93)

Znaménko u jalového výkonu se určí podle fázového posunu mezi napětím a proudem v dané fázi. Existují i způsoby přímého měření jalového výkonu, viz lit. [3].

54


Z hodnot činného a zdánlivého výkonu v příslušné fázi můžeme určit účiník cos 1 

P1 , S1

cos  2 

P2 , S2

cos 1 

P3 . S3

(-)

(94)

S výhodou lze pro výpočet výkonů v každé fázi použít komplexní výkon, který je dán podle [1] součinem fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu S  U f  I*f  P  jQ .

(VA)

(95)

Pro měření výkonu v trojfázové soustavě existuje celá řada zapojení s různými kombinacemi měřicích přístrojů. Podrobnosti lze najít např. v [3]. V této úloze použijeme sdružený číslicový analyzátor sítě, který měří všechny důležité veličiny v trojfázové soustavě. Analyzátor sítě DMK 40

Analyzátor sítě DMK 40 je číslicový mikroprocesorem řízený multimetr určený pro měření parametrů jedno- až trojfázových soustav. Měří mimo jiné tyto veličiny (v závorce je uvedeno označení uváděné na analyzátoru):  skutečnou efektivní hodnotu (TRMS) fázových napětí (V L-N),  skutečnou efektivní hodnotu (TRMS) sdružených napětí (V L-L),  skutečnou efektivní hodnotu (TRMS) fázových proudů (A),  činný výkon v jednotlivých fázích (W),  jalový výkon v jednotlivých fázích (var),  zdánlivý výkon v jednotlivých fázích (VA), 

účiník v jednotlivých fázích (cos ).

Měření je založeno na principu vzorkování okamžitého napětí u a proudu i ve třech fázích s následným matematickým vyhodnocením. Pro přehled uvedeme výpočetní vztahy, které jsou v analyzátoru aplikovány: 1 N

U10 

1 N

I1 

U12 

P1 

1 N

 u    N

2

1i

(fázové napětí 1. fáze),

(V)

(96)

(proud 1. fázovým vodičem),

(A)

(97)

(sdružené napětí mezi 1. a 2. fází),

(V)

(98)

(činný výkon 1. fáze),

(W)

(99)

1

 i    N

2

1i

1

1 N

 u    u    N

1i

2 i

2

1

 u    i    N

1i

1i

1

kde je N ........................... počet měřených vzorků v jedné periodě, u1(i) ........................ i-tý naměřený vzorek napětí 1. fáze, u2(i) ........................ i-tý naměřený vzorek napětí 2. fáze, i1(i) ......................... i-tý naměřený vzorek proudu 1. fáze.

(-) (V) (V) (A)

Podle stejných vztahů jsou vypočteny údaje pro zbývající fáze. Další hodnoty soustavy jsou počítány v souladu se vztahy (92), (93) a (94). Přepínání zobrazované veličiny (displej L1) se provádí tlačítky  a . Blikající tečka na displeji vpravo dole indikuje u Q záporné znaménko. Analyzátor je možné ovládat i přes sériové rozhraní pomocí PC, takže lze měřené hodnoty přehledně zobrazit na počítači. Počítač je s analyzátorem propojen sériovou komunikační linkou.

55







Zátěž je tvořena prvky R, L, C zapojenými podle obr. 34. S využitím teorie z úlohy 1A vypočtěte a do tab. 21 zapište hodnoty fázových impedancí souměrné i nesouměrné zátěže. Pozor, cívka není ideální, namísto ní uvažujte sériovou kombinaci L a RL. Doplňte do tab. 22 a tab. 24 fázory napětí a proudů zátěže. Pro zátěž Y je potřeba nejprve vypočítat fázor napětí mezi středy UN podle (86) a z něj pak fázory napětí na fázových impedancích zátěže UZ podle (87). Z napětí na fázích zátěže se poté určí fázové proudy If = IZ (88). Pro zátěž  jsou fázory napětí na zátěži rovny sdruženým napětím sítě UZ= Us (82). Z těchto napětí se pak spočítají fázory sdružených proudů zátěže (89) a fázových proudů If (90). Z hodnot fázorů fázových napětí Uf a fázových proudů If určete výkony v jednotlivých fázích soustavy. Spočtěte nejprve pro každou fázi komplexní výkon S podle (95) a z něj pak výkon činný P (reálná část S), jalový Q (imaginární část S) a zdánlivý S (velikost S). Z činného a zdánlivého výkonu určete podle (94) účiník cos .

Pracovní postup Zapojení pracoviště je na obr. 33. Vodiče nerozpojujte, pouze kontrolujte správnost zapojení. Je třeba dodržet i správné pořadí fází připojených k zátěži přes analyzátor sítě. Musí být propojeny shodně označené svorky zdroje a analyzátoru, resp. analyzátoru a zátěže. Zdroj je tvořen oddělovacím regulovatelným trojfázovým transformátorem a je nastaven na fázové napětí 3× 48 V / 50 Hz. Skutečné napětí se může mírně lišit v závislosti na napětí rozvodné sítě, nastavení transformátoru však neměňte.

obr. 33 Zapojení pracoviště pro měření výkonu v trojfázové soustavě

Zátěž je přepínatelná mezi Y (bez nulového vodiče) a  dalším přepínačem se volí souměrná nebo nesouměrná zátěž, viz obr. 34. Souměrná zátěž je čistě odporová (tři výkonové rezistory), při volbě nesouměrné zátěže se ke druhé fázi zátěže přiřadí kondenzátor C a ke třetí fázi cívka L.

obr. 34 Zapojení měřené souměrné a nesouměrné zátěže do hvězdy a do trojúhelníka

56


a)

Zkontrolujte správné zapojení pracoviště. Poté zapněte analyzátor sítě i PC a spusťte obslužný program DMK Remote Control, který přehledně zobrazuje potřebné údaje změřené analyzátorem.

b) Zvolte zapojení zátěže Y, souměrná (přepínače do polohy „Y“ a „soum.“). Pomocí jističe na přípravku, který má zároveň funkci hlavního vypínače, zapněte napájecí zdroj. c)

Do tab. 23 zapište hodnoty naměřené v jednotlivých fázích: fázové napětí Uf a fázový proud If, výkony (činný P, jalový Q a zdánlivý S) a účiník cos . Jalové výkony jsou nulové, neboť zátěž je čistě odporová (nesetrvačná).

d) Přepněte zátěž na , souměrná. Všimněte si zvýšení fázových proudů i výkonů na 3násobek oproti zapojení Y. Naměřené hodnoty zapište opět do tab. 23. e)

Přepněte zátěž na Y, nesouměrná. Nyní jsou již jalové výkony nenulové, kvůli zařazení setrvačných prvků L a C do zátěže. Všechny hodnoty zapište do tab. 25 – neopomeňte případné záporné znaménko u jalových výkonů (indikace blikající tečkou na displeji). Pokud je u účiníku znak C namísto první 0, indikuje to kapacitní charakter zátěže (např. C.85).

f)

Přepněte zátěž na , nesouměrná a zapište naměřené hodnoty do tab. 25. Všimněte si, že u nesouměrné zátěže neplatí pro nárůst proudů činitel 3, obdobně výkony nevzrostou na trojnásobek při přepnutí ze zapojení Y na .

g) Přepínač zátěže dejte do polohy „0“, jističem odpojte zdroj.

Zpracování h) Do tab. 23 a tab. 25 doplňte vypočtené fázové posuny  mezi Uf a If. Výpočet je možný buď z účiníku pomocí arccos (cos ), ovšem je třeba dát pozor na znaménko. Kosinus je sudá funkce, takže úhel vychází vždy kladný. Pokud byl u příslušného účiníku při měření indikován kapacitní charakter impedance v dané fázi (indikace „C“), je třeba změnit znaménko fáze na záporné. Jednodušší výpočet představuje vztah (100), kde je znaménko fáze již implicitně obsaženo. Q . P

  arctan  i)

(-)

(100)

Sestrojte fázorové diagramy pro souměrnou i nesouměrnou zátěž Y a , tedy celkem čtyři. Diagramy se nejlépe kreslí na milimetrový papír, budete potřebovat pravítko a úhloměr. Začněte volbou vhodného měřítka napětí a proudu. Poté sestrojte fázorový diagram napětí (fázových Uf pro Y a fázových + sdružených US pro ), vzor viz obr. 35. Do nich pak zakreslete naměřené fázory fázových proudů If - jejich moduly If a fázový posun  jsou v tab. 23 a tab. 25. Pozor – je relativní fázový posun mezi příslušným fázovým napětím a proudem, viz příklady na obr. 35 a tab. 1. Kladná hodnota  znamená posun If vůči Uf ve směru hodinových ručiček, záporný proti směru hodinových ručiček. Měřítko: I = 0,5 A/cm U = 10 V/cm

30

1 3

3

12

30

31

1

3

30o

1

120o

10

120o

2

120o

2 20

2

1

3

1  52 2  11 3  27

1  61 2  31 3  16

20 2

Měřítko: I = 0,5 A/cm U = 10 V/cm

10

23

obr. 35 Příklad fázorového diagramu napětí a proudů pro Y a  s vyznačením fázových posuvů

57


tab. 21 Vypočtené fázové impedance zátěže

Z1 () Z2 () Re Im soum. shodné se Z1 |Z| ˚ Re Im Re Im Re nesoum. |Z| ˚ |Z| ˚ |Z| Poznámka: R = 220  , C = 50 F , L = 0,5 H , RL = 10 f = 50 Hz

Z3 () shodné se Z1 Im ˚

tab. 22 Vypočtené hodnoty pro souměrnou zátěž

Souměrná zátěž

1

Uf V UN V (86) UZ V (87)/(82) IZ A (88)/(89) If A =Iz/(90) S VA (95) P W Re{S} Q VAr Im{S} S VA S (94) cos  Poznámka: Uf = 48 V , f = 50 Hz

480

Zapojení Y 2

3

48-120

48120

1

Zapojení  2

3

480

48-120

48120

1

Zapojení  2

3

3 48120

0

tab. 23 Naměřené hodnoty pro souměrnou zátěž

Souměrná zátěž Uf If P Q S cos 



1

Zapojení Y 2

3

V A W VAr VA ˚ (100)

tab. 24 Vypočtené hodnoty pro nesouměrnou zátěž

Nesouměrná zátěž Uf UN UZ IZ If S P Q S cos 

V V (86) V (87)/(82) A (88)/(89) A =Iz/(90) VA (95) W Re{S} VAr Im{S} VA S (94)

1

Zapojení Y 2

3

1

Zapojení  2

480

48-120

48120

480

48-120

58


tab. 25 Naměřené hodnoty pro nesouměrnou zátěž

Nesouměrná zátěž Uf If P Q S cos 



1

Zapojení Y 2

3

1

Zapojení  2

3

V A W VAr VA ˚ (100)

Seznam přístrojů 

Trojfázový analyzátor sítě DMK 40, PC+program pro komunikaci s DMK 40

 

Přípravek s přepínatelnou trojfázovou zátěží Y/ Oddělovací 3f transformátor 3× 48 V / 50 Hz

Závěr  

Z naměřených hodnot pro souměrné zátěže Y a  ověřte, že velikosti proudů a výkonů jsou ve všech fázích stejné. Ověřte, zda při přepnutí z Y na  došlo ke zvýšení velikosti fázových proudů a výkonů na 3násobek. Srovnejte naměřené a vypočtené hodnoty proudů a výkonů pro všechny varianty zátěže. Uveďte příčiny vzniku možných rozdílů mezi hodnotami teoretickými a změřenými.

Stručné shrnutí V úloze byl ukázán možný postup při měření výkonů trojfázové zátěže zapojené do hvězdy a do trojúhelníka a bylo demonstrováno 3násobné zvýšení výkonu u souměrné zátěže při přepnutí z Y na . Byl uveden postup výpočtu výkonů z hodnot impedancí ve fázích zátěže - postup pro souměrnou zátěž je značně jednodušší. Rovněž byl popsán postup při konstrukci fázorového diagramu trojfázové zátěže.

59

3B Přechodné děje v obvodech RC a RLC

3B Přechodné děje v obvodech RC a RLC Cíl úlohy Prohloubit teoretické znalosti o přechodných dějích na RC a RLC obvodu. Ukázat možnost měření parametrů přechodných dějů v těchto obvodech. U obvodu 2. řádu (RLC) demonstrovat vliv tlumicího odporu na průběh obvodových veličin.

Úkol   

Zobrazte přechodný děj v obvodu RC při buzení obdélníkovým vstupním signálem. Měřením určete časovou konstantu obvodu RC. Zobrazte přechodný děj v obvodu RLC při buzení obdélníkovým vstupním signálem. Určete kmitočet vlastních kmitů a činitel tlumení obvodu RLC. Naměřené hodnoty ověřte výpočtem.

Teoretický úvod Přechodným dějem nazýváme fyzikální děj, který vzniká při přechodu elektrického obvodu z jednoho ustáleného stavu do druhého ustáleného stavu. V ustáleném stavu jsou elektrické obvodové veličiny popisující jeho stav napětí, proudy, energie – konstantní (stejnosměrný ustálený stav), nebo jsou periodickou funkcí času (harmonický ustálený stav). Přechodné děje vznikají v elektrických obvodech připojováním nebo odpojováním zdrojů, změnou topologie obvodu nebo změnou parametrů obvodových prvků – lit. [1]. Obvody prvního řádu - RC a RL

V první části úlohy budeme zkoumat přechodné děje v jednoduchých sériových obvodech RC a RL, vzniklé připojováním zdroje stejnosměrného napětí a následným zkratováním obvodu - obr. 36. R( ) () 1

2

C

U

R

C(

R(

)

)

R L

L(

)

R L

obr. 36 K měření přechodných dějů v sériových obvodech RC a RL

Pro okamžité hodnoty napětí na jednotlivých prvcích sériového obvodu RC resp. RL během přechodného děje vzniklého připojením stejnosměrného zdroje (s nulovými počátečními podmínkami) můžeme psát U  u R  t   uC  t  , U  u R  t   u L  t  ,

U  R  i t  

di  t  1 . i   d , U  R  i  t   L  dt C0

(V)

(101a, b)

(V)

(102a, b)

t

Analytickým řešením (102) získáme časové závislosti napětí a proudu v obvodu. Pro schéma obr. 36 platí U uC  t   u R  t   uG  t    0

pro nabíjení pro vybíjení

.

(V)

(103)

60


Uvedené vztahy (101a, b), (102a, b) předpokládají ideální obvodové prvky. Při experimentálním zkoumání přechodných dějů v reálných obvodech nemůžeme zanedbat parazitní vlastnosti prvků, především odpor reálné cívky RL. Proto při řešení obvodu RL použijeme náhradní schéma cívky (sériové spojení rezistoru RL a induktoru L) - viz obr. 36. Odpor a kondenzátor můžeme pro naše účely považovat za ideální. Podrobný popis analytického řešení jednotlivých případů sériových obvodů RC, RL a RLC je uveden v [2], zde se omezíme na shrnutí výsledných vztahů pro parametry jednotlivých obvodů s nulovými počátečními podmínkami při připojení stejnosměrného zdroje (nabíjení C, přepínač v obr. 36 do polohy 1) a při následném zkratování obvodu (vybíjení C, přepínač do polohy 2). Předpokládáme, že doba mezi přepnutím spínače z polohy 1 do polohy 2 bude dostatečně dlouhá, aby předešlý přechodný děj odezněl. Sériový obvod RC

a) Připojení zdroje k obvodu - nabíjení t t  u R  t   R  i  t   U  e  , uC  t   U   1  e  

 . 

(V)

(104a, b)

uR  t   R  i  t   U  e  , uC  t   U  e  ,

(V)

(105a, b)

kde je  = RC ................... časová konstanta obvodu, U ........................... napětí stejnosměrného zdroje.

(s) (V)

b) Zkratování obvodu - vybíjení t

t

Sériový obvod RL (reálná L)

a) Připojení zdroje k obvodu uR  t   R  i  t  

t  R  U  1  e  RC 

  RL R t   e .  , uL  t   U     RC RC 

(V)

(106a, b)

(V)

(107a, b)

b) Zkratování obvodu uR  t   R  i  t   U 

R  t R t  e , uL  t   U   L  1   e  . RC  RC 

kde je RC = R+RL ............. celkový odpor obvodu,  = L/RC ................ časová konstanta obvodu.

() (s)

Obvod druhého řádu - RLC

obr. 37 K měření přechodných dějů v sériovém obvodu RLC

Složitější průběh mají přechodné děje v sériovém obvodu RLC, vzniklé připojováním obvodu ke zdroji stejnosměrného napětí a následným zkratováním obvodu - obr. 37.

61


Pro okamžité hodnoty napětí na jednotlivých prvcích sériového obvodu RLC (s nulovými počátečními podmínkami) během přechodného děje vzniklého připojením stejnosměrného zdroje můžeme psát U  u R  t   u L  t   uC  t  ,

U  R  i t   L

di  t  dt

(V)

(108)

(V)

(109)

t



1 i   d . C 0

Analytickým řešením (109) získáme časové závislosti napětí a proudu v obvodu. Vztahy (108) a (109) předpokládají ideální obvodové prvky. Při experimentálním zkoumání přechodných dějů v reálných obvodech nemůžeme zanedbat především parazitní odpor reálné cívky, ve všech vztazích proto budeme uvažovat za odpor R celkový odpor obvodu (tedy se započítaným parazitním odporem cívky RL). Kondenzátor můžeme pro naše účely považovat za ideální. Úpravou rovnice (109) dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu. Kořeny její charakteristické rovnice jsou

1,2     2  02 ,

(s-1)

R ................. konstanta útlumu, 2L 1 ........... rezonanční úhlový kmitočet. 0  LC

kde je  

(110)

(s-1) (s-1)

Z hlediska řešení je významný diskriminant  2  02 charakteristické rovnice (110); položíme-li tento výraz roven nule, dostaneme vztah pro tzv. kritický odpor obvodu Rk  2 

L , C

()

(111)

Podle kořenů charakteristické rovnice (110) lze usuzovat na charakter přechodného děje v obvodu, viz obr. 38.

aperiodický děj mez aperiodicity

i(t) periodický děj

0 t

obr. 38 K přechodným dějům v RLC obvodu Aperiodický děj

Platí při něm R > Rk, diskriminant rovnice (110) je kladný a její kořeny 1, 2 jsou reálné různé záporné. Hodnoty všech obvodových veličin se blíží ke svým ustáleným hodnotám asymptoticky, bez oscilací. Mluvíme o přetlumeném obvodu s okamžitými hodnotami obvodových veličin

62


i t  

U  e1t  e2 t , L   1  2 





uL  t  

U   e1t  2 e2 t ,  1  2  1

uC  t  

U LC 12





  e1t  1e2 t  1  2 1  2 

 . 

(A)

(112)

(V)

(113)

(V)

(114)

Děj na mezi aperiodicity

V tomto případě je R = Rk, diskriminant rovnice (110) je roven nule a existuje jediný dvojnásobný kořen , pro který platí

    0 

1 LC

,

(A)

(115)

Všechny veličiny obvodu se opět bez oscilací asymptoticky blíží ke svým ustáleným hodnotám. Ustálení veličin trvá na rozdíl od předešlého případu nejkratší možnou dobu, čehož se v praxi velmi často využívá. Mluvíme o kritickém tlumení obvodu. Pro obvodové veličiny obvodu RLC při kritickém tlumení (děj na mezi aperiodicity) platí U  t  e  t , L

(A)

(116)

uL  t   U  1   t   e  t ,

(V)

(117)

uC  t   U  1  1   t   e  t  .

(V)

(118)

i t  

Periodický děj

Diskriminant rovnice (110) je pro R < Rk záporný a rovnice má komplexně sdružené kořeny 1, 2. Průběhy veličin lze popsat pomocí harmonických funkcí času. Veličiny oscilují kolem své ustálené hodnoty s úhlovým kmitočtem  o něco menším než je rezonanční kmitočet 0; amplituda kmitů exponenciálně klesá s časem. Mluvíme o podkritickém tlumení obvodu. Pro obvodové veličiny obvodu RLC při podkritickém tlumení (periodický děj) platí i t  

U  t  e  sin t  , L

(A)

(119)

   uL  t   U  e  t   cos t   sin t   ,   

(V)

(120)

    uC  t   U  1  e  t   cos t   sin t    ,    

(V)

(121)

kde je   2πf  02   2 úhlový kmitočet vlastních kmitů obvodu.

(rad.s-1)

63



Do tab. 26 doplňte vypočtenou časovou konstantu v článku RC. S využitím vztahů (104a, b) a (105a, b) určete hodnoty napětí uC(t) a uR(t) pro časy t = v/2 a t = 2v pro nabíjení i vybíjení kondenzátoru. Vypočtěte hodnotu kritického odporu Rk (111) obvodu RLC a podle následujících vztahů pak činitel tlumení , rezonanční kmitočet f0 a kmitočet vlastních kmitů f. Hodnoty doplňte do tab. 27.



R , kde R  0,1  Rk , 2L

f0 

1 2π LC

,

(s-1)

(122)

(Hz)

(123)

(Hz)

(124)

2

f 

  f02    .  2π 

Pracovní postup Názornou představu o fyzikálních poměrech při zkoumání přechodných dějů lze získat zobrazením časových průběhů napětí a proudu na osciloskopu. Protože je jednodušší zachytit periodické průběhy, byl použit zdroj periodického napětí obdélníkového průběhu. Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, který zde slouží jako dvoukanálový osciloskop umožňující současné sledování vstupního i výstupního signálu. Buzení článku odpovídající připojování zdroje a zkratování obvodu je z důvodu snadnějšího pozorování nahrazeno periodickým průběhem - obdélníkovým napětím uG(t).

obr. 39 Zapojení pro měření přechodných dějů v obvodech RC a RLC

64

3B Přechodné děje v obvodech RC a RLC Měření přechodných dějů RC článku

Časovou konstantu  obvodů můžeme zjistit graficky pomocí tečny k časovým průběhům napětí nebo proudů v obvodu. Příkladem může být určení časové konstanty z nabíjecí (obr. 40) a vybíjecí (obr. 41) křivky napětí na kondenzátoru v obvodu RC. Hodnotu  lze snadno odečíst jako dobu, za kterou napětí na kondenzátoru vzroste na 0,632 násobek resp. poklesne na 0,368 násobek maximální hodnoty, což plyne ze vztahů (104b) a (105b) po dosazení t = . 1

1

0,8

0,8

0,632   u t   U  1  e  

t

0,4

   

0,2



t



0,368

0,4 0,2



0 0

1

obr. 40



0 2

3

4

0

t/

a)

u t   U  e

0,6

u/U

u/U

0,6

Nabíjení kondenzátoru v obvodu RC (připojení zdroje) – relativní měřítka

1

2

3

4

t/

obr. 41

Vybíjení kondenzátoru v obvodu RC (zkratování obvodu) - relativní měřítka

Sestavte měřicí systém podle obr. 39. Do obvodu připojte přípravek RC článku, vstup IN B jednotky A&DDU bude měřit napětí uC.

b) Spusťte programu RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Oscilloscope+Gen. Na generátoru nastavte obdélníkový signál 5 V s kmitočtem 1000 Hz takto: v sekci Output zvolte tlačítko Open, v dialogovém okně vyberte definiční soubor obdélníkového impulzu 1kHzPulse5V.aio. Rozsah zobrazení kanálu OUT i B ponechejte ±5 V, rozsah časové osy 1,0 ms rovněž neměňte. c)

Vyberte sekvenční měření Sequence. Stiskem virtuálního tlačítka B1 v sekci Measurement spusťte měření uC(t) (žlutá křivka). Vstup IN B přepojte tak, aby měřil napětí uR(t). Stiskem virtuálního tlačítka B2 v sekci Measurement spusťte měření uR(t) (modrá křivka).

d) Zapněte kursor (tlačítkem Cursor) a s jeho pomocí změřte na zobrazené křivce průběhu uC(t) časovou konstantu m podle výše popsaného postupu (obr. 40) pro nástupnou hranu (nabíjení C) i sestupnou hranu (vybíjení C). Zjištěné hodnoty m zapište do tab. 26. Poznámka: od zobrazovaného času je potřeba odečíst čas počátku děje nabíjení resp. vybíjení (čas nástupné resp. sestupné hrany budicího impulzu). e)

Pomocí kurzorů změřte okamžité hodnoty napětí uC(t) a uR(t) pro čas t  m/2 a t  2m od nástupné a od sestupné hrany vstupního signálu. Zjištěné hodnoty zapište do tab. 26.

f)

Zapněte editaci popisů (Legend: Edit), přepište název okna Experiment na BEL2-přechodný děj RC, namísto Jméno uveďte svá příjmení, v sekci Legend pojmenujte průběh B1 „uC(t)“ a průběh B2 „uR(t)“. Editaci ukončete (Legend: End).

g) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor obsahující 2 grafy na jednom listě nad sebou vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close). Měření přechodných dějů v RLC obvodu

h) K měřicímu systému obr. 39 připojte přípravek s RLC článkem, do obvodu zapojte podkritický tlumicí odpor s hodnotou 0,1Rk, vstup IN B bude měřit napětí uC. i)

Stiskněte tlačítko Init, čímž uvedete systém do počátečního stavu. Na generátoru nastavte opět obdélníkový signál 5 V s kmitočtem 1000 Hz (v sekci Output zvolte tlačítko Open, v dialogovém okně vyberte definiční soubor obdélníkového impulzu 1kHzPulse5V.aio). Rozsah zobrazení kanálu OUT ponechejte ±5 V, rozsah kanálu B změňte na ±10 V (Gain pomocí tlačítek ), rozsah časové osy 1,0 ms.

65


j)

Vyberte sekvenční měření Sequence. Stiskem virtuálního tlačítka B1 v sekci Measurement spusťte měření uC(t) pro podkritické tlumení (žlutá křivka).

k) Zapněte kursor (tlačítkem Cursor) a s jeho pomocí zjistěte polohu prvního a druhého kladného maxima napětí uC(t) na charakteristice po nástupné hraně budicího napětí (uCm1, tm1, uCm2, tm2). Hodnoty zapište do tab. 27. Poznámka: od zobrazovaného času je potřeba odečíst čas počátku děje (čas nástupné hrany impulzu). l)

Nahraďte přepojením vstupu přípravku odpor 0.1Rk kritickým odporem Rk. Stiskem virtuálního tlačítka B2 v sekci Measurement spusťte měření uC(t) pro kritické tlumení (modrá křivka).

m) Zapněte editaci popisů (Legend: Edit) přepište název okna na BEL2-přechodný děj RLC, namísto Jméno uveďte svá příjmení, v sekci Legend pojmenujte průběh B1 uC(t) podkritické tlumení a průběh B2 uC(t) kritické tlumení. Editaci ukončete (Legend: End). n) Vytiskněte zobrazený graf přenosové charakteristiky postupem podle bodu g). o) Ukončete program (Exit).

Zpracování tab. 26 Přechodný děj v sériovém RC obvodu

Měřeno t = m/2 uC uR V V

m s -

-

-

Vypočteno t = 2m uC uR V V -

-

v s

t = v/2 uC uR V V

Odchylka

t = 2v uC uR V V

(104b) (104a) (104b) (104a)

(R·C) (105b) (105a) (105b) (105a)



/2 2 uC uR uC uR

%

%

%

%

%

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Nabíjení Vybíjení Poznámka: U = 5 V, R = 8 k , C = 7,2 nF tab. 27 Přechodný děj v sériovém RLC obvodu při podkritickém tlumení

Měřeno

Vypočteno t

uCm1

tm1

uCm2

tm2

Rkm

V

s

V

s

k s

-

-

-

-

-

(125)

f

fm

m

Rk

kHz

s-1

k s-1

kHz kHz

(126)

(127)

(111)

(123)



(122)

f0

(124)

Odchylka uC1

uC2

Rk



f

V

V

%

%

%

(128)

(128)

(1)

(1)

(1)

11,5

Poznámka: U = 5 V , 0,1Rk = 1,2 k , L = 85 mH , C = 2,6 nF p) Vypočtěte časovou vzdálenost dvou po sobě jdoucích kladných maxim napětí při podkritickém tlumení  t  tm2  tm1 ,

(s)

(125)

(Hz)

(126)

z toho kmitočet vlastních kmitů obvodu RLC fm 

1 , t

66


a činitel tlumení vlastních kmitů  uCm1  U  ,  uCm2  U 

 m  f m  ln 

(s-1)

(127)

kde je U ........................... amplituda budicích obdélníkových kmitů (5 V). q) S použitím vztahu (121) vypočtěte hodnoty napětí uC(t) pro časy tm1 a tm2 a zapište je do tab. 27. Do vztahu (121) dosazujte vypočtené hodnoty  (122) a f (124) uC1  uC  tm1  , uC2  uC  tm2  .

(s-1)

r)

Spočtěte relativní odchylky veličin uvedených v tab. 26 a tab. 27.

s)

V tab. 27 porovnejte hodnoty naměřených a vypočtených hodnot uC(t) pro časy tm1 a tm2.

(128)

Seznam přístrojů   

Přípravek s RC článkem Přípravek s RLC článkem Měřicí systém RC 2000 (A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr   

Pomocí naměřených hodnot tab. 26 ověřte, zda pro RC obvod platí vztah (103). Uveďte vliv velikosti odporu R (vzhledem k hodnotě Rk) na časový průběh veličin v obvodu RLC. Na základě zjištěných relativních odchylek naměřených a teoretických hodnot se vyjádřete o přesnosti provedeného měření přechodných dějů v sériovém RC a RLC obvodu.

Stručné shrnutí Uvedená úloha ukazuje možný způsob měření přechodných dějů a jejich parametrů v obvodech 1. a 2. řádu. U RLC obvodu byl ukázán vliv tlumicího odporu na charakter děje, kdy tzv. kritické tlumení má v praxi velký význam např. pro návrh tlumení kmitajících soustav. Při kritické hodnotě tlumicího odporu R má přechodný děj RLC obvodu nejkratší dobu trvání, se zvyšováním či snižováním hodnoty odporu se doba děje prodlužuje. Podkriticky tlumený RLC obvod vykazuje tlumený periodický přechodný děj, přičemž napětí na prvcích L a C je vyšší než napájecí a jeho velikost záleží na činiteli jakosti obvodu (viz sériový rezonanční obvod – úloha 5A).

67

4B Analýza neharmonických signálů

4B Analýza neharmonických signálů Cíl úlohy Úloha má doplnit teoretické znalosti získané v předmětu BEL1, zejména demonstrovat souvislost mezi časovým průběhem signálu a jeho spektrem. Ukázat možnost výpočtu odezvy přenosových článků na neharmonický vstupní signál. Ověřit vznik dalších složek spektra při průchodu signálu nelineárním obvodem. Úloha hlouběji objasňuje chování článků RC a CR při průchodu neharmonických periodických signálů, které bylo ukázáno v úloze 7A.

Úkol    

Zobrazte spektrum harmonického signálu s nenulovou stejnosměrnou složkou (offsetem). Ověřte vliv nelineárního dvojbranu na spektrum přenášeného signálu. Změřte a výpočtem ověřte spektrum neharmonického signálu. Změřte a vypočtěte spektrum signálu po průchodu setrvačnými články CR a RC.

Teoretický úvod Harmonická analýza slouží k popisu signálů v kmitočtové oblasti. Fourierův teorém říká, že periodický signál f(t) libovolného tvaru lze rozložit na součet nekonečně mnoha harmonických složek (= sinusových signálů). 

f  t   c0    ck sin  k1t   k   .

(129)

k 1

kde je k ............................ index označující pořadí složek, c0 ........................... stejnosměrná složka, nultá harmonická složka, ck ........................... amplituda k-té harmonické složky, k .......................... fázový posuv k-té harmonické složky, 1 = 2f1 ............... kmitočet 1. harmonické složky, základní kmitočet. Vždy platí, že kmitočty harmonických složek jsou celistvými násobky (k je celé číslo) základního kmitočtu signálu f1. Kupříkladu trojúhelníkový signál o kmitočtu f1 = 1 Hz můžeme získat složením teoreticky nekonečně mnoha sinusovek o kmitočtech 1 Hz (1. harmonická), 2 Hz (2. harmonická), 3 Hz ... atd. Signál stejného průběhu o kmitočtu f1 = 15 Hz můžeme obdobně získat složením teoreticky nekonečně mnoha sinusovek o kmitočtech 15 Hz, 30 Hz, 45 Hz, 60 Hz .... atd. Každá z harmonických složek má jinou amplitudu, kterou můžeme zakreslit do grafu a získáme tak amplitudové spektrum, tedy závislost ck = f(k). Navíc má každá z těchto složek obecně jinou počáteční fázi, kterou můžeme rovněž zakreslit do grafu a získáme tak fázové spektrum, tedy závislost k = f(k).

ck

k 1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

5

10

15

20

25

k

0

0

5

10

15

20

25

k

obr. 42 Příklady amplitudových spekter: vlevo pro sinusový (harmonický) průběh, vpravo pro obdélníkový průběh – je zobrazeno pouze prvních 25. harmonických složek

68


Spektrum sinusového signálu obsahuje jedinou složku – sebe sama (obr. 42 vlevo). Často používaný signál obdélníkového tvaru lze rozložit ve Fourierovu řadu f t  

4U m π



1   sin(k1t )  . k   k 1,3,5...



(130)

Jeho spektrum obsahuje jen liché harmonické složky, jejichž amplituda klesá s k-1, viz obr. 42 vpravo. Fázový posun všech harmonických složek obdélníkového signálu je nulový. Proces matematického rozkladu neharmonických signálů na spektrální složky se nazývá harmonická analýza a využívá se pro řešení obvodů s neharmonickými průběhy napětí či proudů. Pokud budeme chápat neharmonický průběh jako superpozici harmonických složek s kmitočty k·f1, lze snadněji pochopit chování takových obvodů. Příklad: při zkoumání přenosu napětí u1(t) neharmonického průběhu dvojbranem se známou přenosovou funkcí KU() lze postupovat takto: vypočteme komplexní spektrum vstupního signálu U1() a spektrum výstupního signálu U2() pak získáme jednoduše U 2    K U    U1   .

(131)

To lze chápat tak, že pro první harmonickou složku s kmitočtem 1 má dvojbran přenos KU(), 2. harmonická složka s kmitočtem 2 je dvojbranem přenášena s přenosem KU() atd. Sečtením časových reprezentací harmonických složek U2() lze následně získat časový průběh výstupního napětí u2(t). Princip ukážeme na příkladu obr. 43: Obdélníkový signál s kmitočtem 100 Hz má v souladu se (130) spektrální složky s kmitočtem 100, 300, 500, ... Hz. Pokud tento signál přivedeme na vstup dolní propustí s mezním kmitočtem 200 Hz, bude na výstupu sinusový signál 100 Hz. Na výstup totiž projde jen 1. harmonická složka, ostatní složky dolní propustí neprojdou. Pokud stejný signál přivedeme na vstup pásmové propusti s pásmem propustnosti 200 – 400 Hz, bude na jejím výstupu čistě sinusový signál s kmitočtem 300 Hz. Pásmovou propustí totiž v uvedeném příkladu projde pouze 3. harmonická složka. Obdobně lze uvažovat při návrhu potřebné šířky pásma zesilovače – ten musí přenést všechny požadované složky spektra zesilovaného neharmonického signálu, jinak dojde ke zkreslení jeho tvaru.

Dolní propust = 100 Hz

= 100 Hz 200 Hz

= 300 Hz

Spektrum

200 400 Hz Hz

Pásmová propust

100

300

500

(Hz)

obr. 43 K vysvětlení harmonické analýzy

69



Do tab. 28 doplňte kmitočty fk harmonických složek signálu obdélníkového průběhu. Vypočtěte teoretické hodnoty napětí jeho harmonických složek pro k = 1, 3, 5, 7 a 9 podle vztahu

U mk





 4U m    πk  0

pro k  1,3,5...

,

(V)

(132)

pro k  2, 4, 6...

který vychází ze (130). Fáze je nulová pro každou složku, k = 0. V laboratorní úloze bude tento signál procházet článkem CR a RC, jejichž přenosové funkce byly uvedeny v úloze 7A. Doplňte do tabulky tab. 28 hodnoty komplexní funkce přenosu napětí KU (modulu a fáze přenosové funkce) pro kmitočty fk. Použijte vztahy (77), (78) pro CR a (73), (74) pro RC článek. Doplňte do tabulky teoretické hodnoty spektrálních složek výstupního napětí pro článek CR i RC. Vyjděte z komplexní rovnice (131); při výpočtech stačí jednoduše amplitudu příslušné harmonické složky násobit modulem komplexní přenosové funkce KU a k fázi příslušné složky přičíst fázi přenosové funkce.

Pracovní postup Měření se provádí opět pomocí modulárního systému RC 2000, který nyní slouží jako dvoukanálový osciloskop a spektrální analyzátor. ANALOG INPUT + IN A - IN A + IN B - IN B

PC/RS232

ANALOG OUTPUT OUT

CHANNEL A

GND

CHANNEL B

MEASURE MODE OSCILLOSCOPE

A&DDU

GEN +IN A

+5V

C

+IN B

D

S VALUE

R

100.00Hz

CR

2.50V

GEN -IN A GEN

MODE

-IN B

SHIFT

+IN A

RC FUNCTION GENERATOR

+IN B

R

FUNC

C

-IN A

-IN B

GEN

obr. 44 Zapojení pracoviště RC 2000 pro analýzu neharmonických signálů

70


a)

Zapojte obvod s CR článkem podle obr. 44, spínač S rozpojen. Jako zdroj signálu bude použit přístroj Function generator, vstupní signál článku bude připojen ke vstupu A a výstupní signál ke vstupu B jednotky A&DDU.

b) Po spuštění systému RC 2000 zvolte z Výběru programů nabídku Oscilloscope. Zvolte zobrazování spektra tlačítkem Harmonic. Pomocí kláves nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A i B na ±5 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off), rozsah časové osy: 0 - 10 ms (Time pomocí tlačítek  ). Měřítko ponechejte lineární (Scale: Lin). Pomocí Type: Ampl/Phase je možné volit zobrazení amplitudového nebo fázového spektra. Tlačítkem Cursor zapněte zobrazování naměřených hodnot. c)

Na přístroji Function generator stiskněte tlačítko Init. Kmitočet ponechte 100 Hz, amplitudu výstupního napětí nastavte na 2,50 V a stejnosměrnou složku (offset) na 2,00 V (tlačítky Ampl, Offs a  v bloku SHIFT generátoru).

d) Stiskem virtuálního tlačítka Run (okno osciloskopu) spusťte měření. Zobrazí se harmonické napětí z generátoru – žlutá křivka a napětí po průchodu CR článkem – modrá křivka. Zároveň se zobrazí jejich spektrum. Protože jde o harmonické průběhy, je ve spektru jediná harmonická (k = 1). Stejnosměrná složka napětí se zobrazuje jako nultá harmonická (k = 0). Všimněte si, že výstupní signál CR článku nemá nultou harmonickou (CR článek je filtr typu horní propust a nepropouští stejnosměrnou složku). e)

Přepínačem S na přípravku CR připojte do obvodu diodu D, představující nelineární prvek. Všimněte si, že dojde k výrazné změně ve spektru výstupního napětí – objeví se harmonické složky, které nejsou ve vstupním napětí. To je důkazem, že na rozdíl od lineárních obvodů v nelineárních obvodech dochází ke vzniku dalších harmonických složek.

f)

Diodu D z obvodu odpojte. Na generátoru přepněte (tlačítkem v sekci FUNC) časový průběh na obdélníkový (tedy neharmonický). Pozorujte časový průběh vstupního a výstupního napětí článku. Všimněte si, že obdélníkový signál obsahuje pouze liché harmonické složky (k = 1, 3, ...).

g) Stiskem tlačítka Single zastavte naměřené průběhy. Pomocí tlačítek  ) v sekci měřených hodnot v horní části okna lze přepínat mezi jednotlivými harmonickými. Postupným přepínáním zjistěte a zapište do tab. 28 složky spektra (modul se zobrazuje jako X[V], fáze jako [º]) pro vstupní (žlutá barva) i výstupní (modrá barva) průběh napětí. Stačí měřit 0. a všechny liché složky, sudé složky jsou pro obdélníkový průběh nulové. h) Zapněte editaci popisů (Legend: Edit), přepište název okna na BEL2-analýza neharm. průběhů, namísto Jméno uveďte svá příjmení. Editaci ukončete (Legend: End). i)

Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazené grafy. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor obsahující 2 kopie na jednom listě nad sebou vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close).

j)

Namísto CR článku zapojte RC článek. Nastavení programu neměňte. Opakujte postup podle bodů g) až i) a zapisujte do tab. 28 složky výstupního signálu. Všimněte si, že RC článek (filtr typu dolní propust) stejnoměrnou složku na rozdíl o CR článku propouští.

k) Zvolte tlačítkem Math matematickou analýzu signálu. V sekci Channel vyberte žluté tlačítko A; zobrazí se spektrum a časový průběh změřeného obdélníkového napětí ze vstupu A. Všechna tlačítka v sekci Harmonic components musí být nezamáčknutá. l)

V sekci Harmonic components zvolte 0. harmonickou – zobrazí se stejnosměrná složka průběhu. Poté přidejte 1. harmonickou – zobrazí se základní harmonická složka a zároveň bílou křivkou celkový průběh (součet 0.+1. harmonické složky). Postupně přidávejte další harmonické složky a sledujte, jak se takto skládaný průběh začíná tvarem přibližovat původnímu.

m) Ukončete program (tlačítkem Exit).

71


Zpracování tab. 28 Analýza signálu obdélníkového průběhu

Harmonické složky Umk

Um0 V

U1

fk

(Hz)

0

Vypočteno

(132)

2,00

pro CR

V

Um3 º

V

0

Um5 º

0

V

Um7 º

0

V

Um9 º

0

V

º

0

Naměřeno

KU(2fk) U2

Vypočteno

U2

(77),(78) (131)

Naměřeno

KU(2fk) pro RC

Um1

Vypočteno

(73),(74) (131)

Naměřeno

Poznámka: Um = 2,50 V , U0 = 2,00 V , f1 = 100 Hz R = 5 k , C = 100 nF

Závěr  

Porovnejte naměřené a vypočtené hodnoty spektrálních složek napětí obdélníkového průběhu a signálu po průchodu články CR a RC. Uveďte možné příčiny případných rozdílů. Zamyslete se nad vztahem (130) a uveďte, jaké kmitočtové pásmo (fmin až fmax) musí přenášet zesilovač, chceme-li jím zesilovat obdélníkový signál s kmitočtem 1 kHz a rozhodneme-li se zanedbat harmonické složky s amplitudou menší než 1% z amplitudy signálu.

Stručné shrnutí Na příkladu signálu obdélníkového průběhu byla ukázána souvislost mezi časovým průběhem signálu a jeho spektrem. Experimentálně byl potvrzen vznik dalších složek spektra při průchodu signálu nelineárním obvodem. Dále byla ukázána možnost výpočtu odezvy přenosových článků na neharmonický vstupní signál pomocí přenosové funkce a diskutována problematika šířky pásma zesilovačů pro neharmonické signály.

72

5B Šíření vln na homogenním vedení

5B Šíření vln na homogenním vedení Cíl úlohy Prohloubit teoretické znalosti o šíření vln na homogenním vedení. Ověřit prakticky vztahy mezi primárními a sekundárními parametry vedení, dále ověřit vliv zakončovací impedance na odraz signálu na konci vedení. Seznámit se s metodou určování poměru stojatých vln a činitele zkrácení vedení.

Úkol   

Pro zadané hodnoty zatěžovací impedance změřte činitel stojatých vln napětí na homogenním vedení. Pro zadané hodnoty zatěžovací impedance vypočtěte činitel odrazu ρ a porovnejte ho s hodnotami naměřenými. Ověřte měřením vlastnosti vedení zakončeného nakrátko a naprázdno.

Teoretický úvod Homogenní ztrátové vedení

Homogenní vedení je charakteristické tím, že jeho primární parametry jsou konstantní po celé délce vedení. Primární parametry vedení jsou:  měrný odpor R0 (m-1) odpor obou vodičů vedení na jednotku délky, (Sm-1)vodivost mezi oběma vodiči vedení na jednotku délky,  měrná příčná vodivost G0 (Hm-1) indukčnost jednotkové délky vedení,  měrná indukčnost L0 (Fm-1)kapacita mezi vodiči vedení na jednotku délky.  měrná kapacita C0

obr. 45 K homogennímu vedení

Pro vedení, napájené na vstupu z generátoru harmonického napětí G a zatíženého na výstupu impedancí Z2 (obr. 45), je v literatuře [1] pro napětí ve vzdálenosti y od konce vedení odvozen vztah U 2  Z V I 2 γy U 2  Z V I 2  γy e  e  U P2  e γy  U O2  e  γy , 2 2

(V)

kde je U2 .......................... fázor napětí na konci vedení, I2 ........................... fázor proud na konci vedení, UP2 ........................ fázor napětí postupné vlny na konci vedení, UO2 ........................ fázor napětí odražené vlny na konci vedení.

(V) (A) (V) (V)

U  y 

(133)

Konstanta šíření  a vlnová impedance ZV jsou tzv. sekundární parametry vedení a jsou definovány vztahy

73


γ

ZV 

 R0  j L0  G0  jC0     j ,

(m-1)

R0  j L0  Z V  e j V , G0  jC0

(134)

(135)

()

kde je  = 2f  úhlový kmitočet,  ............................ měrný útlum, ............................ měrný posuv (fázová konstanta).

(s-1) (m-1) (m-1)

Ze vztahu (133) vyplývá, že fázor výsledného napětí napěťové vlny je dán superpozicí fázorů napětí postupné a odražené vlny. Amplituda postupné vlny se při postupu od začátku na konec ztrátového vedení exponenciálně zmenšuje vlivem měrného útlumu  argument se mění v důsledku měrného posuvu  - viz obr. 46b. Totéž platí i pro odraženou vlnu při jejím postupu od konce vedení na jeho začátek.

t1

t1+t

up(x,ti)

up(x,ti)

Ump1

vf

Ump1e-x t1 t1+t vf x

x vf t





obr. 46 Postupná vlna na vedení: a) netlumená, b) tlumená

Vyjádříme-li ve vztahu (133) proud I2 pomocí zatěžovací impedance Z2 (I2 = U2/Z2), vyplývá odtud zřetelně, že při zatížení konce vedení vlnovou impedancí (Z2 = ZV) existuje na vedení pouze postupná vlna - nedochází k odrazu na vedení, výkon se přenáší pouze požadovaným směrem; takové vedení se nazývá přizpůsobené. Když aplikujeme uvedený vztah na celé vedení (y = l), snadno odvodíme, že pro přenos napětí i proudu platí U2 I2   e  γ . U1 I1

(-)

(136)

V praxi vyjadřujeme často přenosové vlastnosti vedení převrácenou hodnotou přenosu jako útlum B (případně měrný útlum b, tj. na metr délky) v dB B  20  log

U1 , U2

U 1 b   20  log 1 .  U2

(dB), (dB·m-1)

(137),(138)

V případě obecné zátěže Z2 dochází k odrazu vlny, na vedení se pohybuje zpět od zátěže ke zdroji vlna odražená. Míru odrazu (a tím i míru nepřizpůsobení) definujeme činitelem odrazu na konci vedení ρ2 

Z2  ZV   2  e j 2 , Z2  ZV

(-)

(139)

kde je 2........................... poměr amplitud odražené a postupné vlny, 2 ........................... jejich fázový rozdíl. Mezi odraženou a postupnou vlnou platí jednoduchý vztah

74


UO  ρ2 . UP

(-)

(140)

(ms-1)

(141)

Rychlost šíření postupné i odražené vlny udává tzv. fázová rychlost vf 

 , 

která závisí na parametrech vedení a je vždy menší než rychlost c šíření elektromagnetické vlny ve vakuu. Za dobu jedné periody T urazí vlna na vedení vzdálenost, kterou nazýváme délkou vlny

  vf  T 

vf 2π  ,  f

(m)

(142)

(m)

(143)

(-)

(144)

Oproti délce vlny ve vakuu

0  c  T 

c , kde c = 3108 ms-1 je rychlost světla ve vakuu, f

je délka vlny na vedení kratší, poměr

 vf  0 c

k

se nazývá činitel zkrácení a pohybuje se pro běžná vedení v rozsahu hodnot 0,4 – 0,9. Bezeztrátové vedení

Jsou-li hodnoty primárních parametrů R0 = 0, G0 = 0, nebo jsou zanedbatelné (R0 <<L a G0 <<C), což v praxi dobře platí pro krátká vedení, mluvíme o bezeztrátovém vedení. Konstanta šíření zde má nulovou reálnou složku (nedochází k útlumu vln – viz obr. 46a)

 j 

γ

2

L0 C0  j , kde je

    L0 C0

(m-1)

(145)

(m-1)

(146)

Vlnová impedance je u bezeztrátového vedení čistě reálná a nazýváme ji vlnovým odporem RV L0 . C0

Z V  RV 

()

(147)

(ms-1)

(148)

Fázovou rychlost můžeme vyjádřit jako vf 

1 L0 C0

,

v praxi se často používá její převrácená hodnota, která udává měrné časové zpoždění vlny na vedení 



1  L0 C0 . vf

(s·m-1)

(149)

75

5B Šíření vln na homogenním vedení Odrazy na bezeztrátovém vedení, vstupní impedance

Budíme-li bezeztrátové vedení harmonickým signálem, postupuje netlumená vlna napětí U a proudu I fázovou rychlostí vf ve směru vedení. Po uplynutí času t =  ·l dorazí vlna ke konci vedení. Je-li vedení zakončené zátěží s obecnou impedancí Z2, dojde na ní k odrazu a část energie se začne vracet fázovou rychlostí zpět ke zdroji jako vlna odražená. K odrazu vln nedojde, jde-li o nekonečně dlouhé vedení nebo vedení zakončené vlnovou impedancí ZV. Superpozicí vlny postupné a odražené vzniká stojaté vlnění, jak je znázorněno na obr. 47. V místě, kde se postupná a odražená vlna setkávají se stejnou fází, se jejich amplitudy sčítají a vznikají kmitny (maxima); v místech s opačnou fází se jejich hodnoty odečítají a vznikají uzly (minima). Jednotlivá maxima a minima jsou vzdálena o λ/2. V uzlech napětí se nacházejí kmitny proudu a naopak. Při reálné zátěži R2 je u bezeztrátového vedení činitel odrazu čistě reálný a odpovídá poměru amplitud vlny odražené UOm a postupné UPm

2 

U Om R2  RV .  U Pm R2  RV

(-)

(150)

Hodnota činitele odrazu (150) je nulová pro R2 = RV (při dokonalém přizpůsobení), kdy Ur = 0. Hodnota činitele odrazu je rovna –1 při vedení nakrátko (R2 = 0), +1 při vedení naprázdno (R2   ); v těchto případech dochází k totálnímu odrazu, při kterém je amplituda odražené vlny stejně velká jako vlny postupné (UOm = UPm). R2

G

Postupná vlna

vf Odražená vlna

vf

Ur Up

Umax

Stojatá vlna

Umin ?/2

obr. 47 Vznik stojatých vln na nepřizpůsobeném bezeztrátovém vedení

Poměr maxima a minima stojatého vlnění se nazývá poměr stojatých vln (PSV), anglicky standing wave ratio (SWR) a je snadno měřitelný PSV 

U max 1   2 PSV  1 , z toho  2  .  U min 1   2 PSV  1

(-)

(151)

Často se udává v logaritmické míře (dB) a odráží míru kvality impedančního přizpůsobení zátěže k vedení. Pomocí činitele odrazu je možno určit i vstupní impedanci vedení libovolné délky l Z1  Z  y  y    Z V

1 ρ y 1 ρ y

,

()

(152)

kde je (y) ....................... činitel odrazu v místě y od konce vedení

76


ρ  y   ρ 2  e  j y .

(-)

(153)

Sledujeme-li vstupní impedanci vedení z hlediska změn zatěžovací impedance, jsou zajímavé tyto případy: Vedení přizpůsobené (Z2 = ZV) Vedení nekonečné délky nebo libovolně dlouhé vedení zakončené vlnovou impedancí, kdy 2 = 0, vykazuje podle (152) vstupní impedanci rovnou vlnové impedanci Z1  Z V .

()

(154)

Vedení naprázdno (Z2→∞) Harmonická vlna vyvolá na konci vedení kmitnu napětí a uzel proudu. Při tomto druhu zakončení dochází k totálnímu odrazu postupné vlny. Vlna napětí a proudu jsou vzájemně posunuty o 90° a vstupní impedance má čistě imaginární charakter; její velikost podle lit. [1] závisí na délce vedení l   Z10   j  Z V  cot  2π  .  

()

(155)

Je-li vlnová délka vlny dostatečná oproti délce vedení >> l (mluvíme o krátkém vedení), lze s pomocí vztahů (142) a (147) odvodit L0  2π   Z10   j  Z V  cot   cot    .   j 2π C   0

()

(156)

a s využitím (146) a náhradou cot  x  x 0 

Z10   j

1 pak x

L0 1 1   . C0     L0 C0 j    C0

(157)

()

(158)

Je tedy zřejmé, že pro krátká vedení lze měřením vstupní impedance při výstupu naprázdno určit hodnotu primárního parametru C0. Vedení nakrátko (Z2→0) Harmonická vlna vyvolá na zkratovaném vedení kmitnu proudu a uzel napětí. Při tomto zakončení nakrátko dochází opět k totálnímu odrazu postupné vlny. Situace je obdobná jako u vedení naprázdno, avšak posun napětí a proudu je opačný. Vstupní impedanci je možno vyjádřit jako   Z1k  j  Z V  tan  2π  .   

()

(159)

()

(160)

Jde-li o krátké vedení, lze opět s pomocí vztahů (142) a (147) odvodit L0  2π   Z1k  j  Z V  tan   tan     j 2π C   0

a s využitím (146) a náhradou tan  x  x 0  x pak

(161)

77


Z1k  j

L0    L0 C0  j L0  . C0

()

(162)

Je tedy zřejmé, že pro krátká vedení lze měřením impedance při zakončení nakrátko určit hodnotu primárního parametru L0.

obr. 48 Závislost vstupní impedance vedení zatíženého naprázdno a nakrátko na jeho délce Průběh vstupní impedance vedení naprázdno a nakrátko v závislosti na jeho délce je možno znázornit společně do jednoho grafu, který je na obr. 48. Z obrázku je vidět, že vstupní impedance Z10 bezeztrátového vedení naprázdno je čistě imaginární a závisí na délce vedení l podle (155) takto: 

0     / 4 ......................... kapacitní charakter,



   / 4 ............................... 0, sériový rezonanční obvod, (viz úloha 5A),



 / 4     / 2 ..................... induktivní charakter,    / 2 ............................... , paralelní rezonanční obvod, (viz úloha 6A).



Vstupní impedance Z1k bezeztrátového vedení nakrátko je rovněž čistě imaginární a závisí na délce vedení l podle (159) takto:    

0     / 4 ......................... induktivní charakter,    / 4 ............................... , paralelní rezonanční obvod,  / 4     / 2 ..................... kapacitní charakter,    / 2 ............................... 0, sériový rezonanční obvod.

Hodnota vstupní impedance se mění plynule se změnou délky vedení, přitom se periodicky opakuje po /2.


Ze známých primárních parametrů kabelu RG-58 uvedených v tab. 29 vypočtěte vlnový odpor vedení RV (147). Podle vztahu (150) vypočtěte pro jednotlivé zatěžovací odpory R2 činitel odrazu ρ2. Dosazením do vztahu (151) vypočtěte odpovídající teoretické hodnoty činitele stojatých vln PSV.



Do tab. 30 doplňte tyto hodnoty: konstantu šíření  (146), délku vlny na vedení  (142), délku vlny ve vakuu 0 (143) a činitel zkrácení k (144). Určete fyzickou délku měřeného kabelu l/2 = /2. Počítejte pro hodnotu kmitočtu f = 15 MHz.

78


Pracovní postup Měřič stojatých vln HP 1000-S

Měřič stojatých vln (reflektometr) je zařízení k určování poměru amplitud postupné a odražené vlny. Vnitřní struktura využívá tzv. směrových odbočnic, které jsou na základě vlastní geometrické orientace schopné měřit amplitudu vlnění postupující v daném směru. Vyhodnocovací měřicí přístroj zobrazí (v režimu SWR) poměr amplitud postupné a odražené vlny. U popisovaného reflektometru je výchylka levého měřicího přístroje závislá na hodnotě amplitudy postupné vlny a pravého měřicího přístroje na hodnotě amplitudy odražené vlny. Po nastavení výchylky levého měřidla na referenční hodnotu 10 indikuje pravé měřidlo přímo poměr stojatých vln. Měřené čtvrtvlnné vedení je tvořeno koaxiálním kabelem RG-58 s následujícími parametry (L0 = 252 nH/m, C0 = 101 pF/m, R0, G0 zanedbáme – při této délce lze vedení považovat za bezeztrátové).

a)

Zkontrolujte zapojení pracoviště dle obr. 49. Zapněte napájecí zdroj, generátor (vysílač) a multimetr.

b) Otočným přepínačem kanálů na radiostanici nastavte 5. kanál, což odpovídá kmitočtu 27,015 MHz. Přepínač režimů reflektometru nastavte do polohy měření poměru stojatých vln (SWR), obvod impedančního přizpůsobení odpojte (MATCH do polohy off). c)

Pro jednotlivé zatěžovací impedance R2 (0, ∞, 50 , 150 ) proveďte postupně tyto úkony:  stiskem klíčovacího spínače (na mikrofonu) zapnete vysílač;  ovládacím prvkem SET reflektometru nastavte na jeho levém měřicím přístroji výchylku na hodnotu 10, čímž zkalibrujete měřič na referenční hodnotu úměrnou amplitudě postupné vlny. Amplituda odražené vlny určuje výchylku pravého měřidla, které indikuje přímo hodnotu PSV;  zjištěnou hodnotu PSV zapište do tab. 29. Pomocí (151) vypočtěte činitel odrazu ρ2 (změřené).

/4

obr. 49 Schéma zapojení pro měření PSV Cv1

Cv2

Generátor

vf měřidlo Osciloskop Měřicí koaxiální vedení

Zakončení

 0, ,RV 



obr. 50 Schéma zapojení pro měření kmitočtové závislosti napětí na vedení

d) Vyšetřete rozložení napětí podél měřicího koaxiálního vedení (princip měření viz obr. 50). Přepínač na přípravku s vedením nastavte do polohy VEDENÍ. Na generátoru nastavte kmitočet budicího signálu f = 15 MHz (~, Freq, Enter Number, 15, MHz) a amplitudu výstupního napětí Upp = 10 V (Ampl, Enter Number,15, Vpp). Pomocí měřicího přístroje s vf sondou změřte postupně napětí v jednotlivých bodech

79


(svorky 1 až 11) koaxiálního vedení naprázdno (RZ =  ) a naměřené hodnoty zapište do tab. 30. Na osciloskopu můžete zkontrolovat průběh napětí na vstupu vedení. e)

Zkratujte svorky na konci měřicího vedení zkratovací spojkou a zopakujte měření pro vedení nakrátko (RZ = 0). Postup zopakujte i pro zatížení vedení zatěžovacím odporem RZ = 50  - přizpůsobené vedení. Naměřené hodnoty opět zapisujte do tab. 30.

f)

Přepněte přepínač na měřicím vedení do polohy VSTUP a měřicí sondu přepojte na vstup vedení (měřicí svorka 1). Výstup měřicího vedení zkratujte zkratovací spojkou a změřte kmitočtovou závislost vstupního napětí vedení délky l = /4 nakrátko. Amplitudu budicího napětí ponechte stejnou jako v předchozím bodě, kmitočet budicího generátoru nastavujte postupně podle hodnot uvedených v tab. 31, do níž zapisujte i naměřené hodnoty. Potom odstraňte zkratovací spojku z výstupních svorek měřicího vedení a opět změřte kmitočtovou závislost vstupního napětí pro kmitočty z druhé poloviny tab. 31. Pro toto kmitočtové rozmezí jde o vedení délky l = /2 naprázdno.

Zpracování tab. 29 Činitel odrazu na konci vedení a PSV pro různá zakončení

0  PSV Naměřeno (151) ρ2 PSV (151) Vypočteno ρ2 (150) Kabel RG-58: L0 = 252 nH/m, C0 = 101 pF/m, R0 = G0 = 0 R2

∞

150

50

RV = ..................

tab. 30 Rozložení napětí na vedení při rozdílné zátěži

Rz

bod

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

PSV (151)

 U 0 (V) 50  Poznámka: f = 15 MHz  = ............ ,  = ............ , 0 = ............ , k = ............ , l/2 = ............ tab. 31 Kmitočtová závislost vstupního napětí vedení

l = /4 nakrátko

l = /2

naprázdno

f U f U f U f U

MHz V MHz V MHz V MHz V

5,1

5,3

5,5

5,6

5,7

5,8

5,9

6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,6

6,8

11,3

11,5

11,6

11,7

11,8

11,9

12,0

12,1

12,2

12,3

12,4

12,5

12,6

12,7

12,8

13,0

g) Z hodnot v tab. 30 vyneste grafy rozložení napětí podél vedení pro všechny tři případy zátěže vedení. Z grafu průběhu napětí podél vedení najděte hodnoty Umin a Umax , pomocí (151) určete hodnoty PSV a doplňte je do tab. 30. h) Z hodnot v tab. 31 vyneste grafy závislostí U1 = f(f) vstupního napětí kabelu pro úseky vedení l = /4 nakrátko a l = /2 naprázdno.

80



Přípravek s přepínatelnými zátěžemi R2

       

Měřený kabel RG-58 délky /4 Generátor 27 MHz (vysílač CB 40 kanálů) Měřič stojatých vln HP 1000-S Přípravek pro měření rozložení vln na vedení Číslicový multimetr UT60A Funkční generátor 33120A vf sonda Číslicový osciloskop

Závěr  

V závěru uveďte vypočtené hodnoty sekundárních parametrů měřeného vedení pro kmitočet f = 15 MHz, délku vlny na vedení, vypočtenou fyzickou délku kabelu délky l/2 a činitel zkrácení k. Porovnejte změřené a teoretické hodnoty PSV a činitele odrazu na konci vedení - tab. 29 a srovnejte je s experimentálně zjištěnými hodnotami PSV z tab. 30.



Z grafu závislosti U1 = f(f) diskutujte charakter vstupní impedance měřeného vedení /4 nakrátko a /2 naprázdno (paralelní nebo sériový rezonanční obvod, kapacitní, induktivní – viz obr. 48).



Diskutujte vztah rezonančních kmitočtů změřených úseků vedení /4 nakrátko a /2 naprázdno.



Z grafu závislosti U1 = f(f) vedení /2 naprázdno vypočtěte fyzickou délku měřicího koaxiálního vedení.

Stručné shrnutí V úloze byl ukázán vliv zakončovací impedance na přenos signálu vedením. Měření poměru stojatých vln je postup v praxi využívaný pro optimální přizpůsobení zátěže přenosovému vedení, např. u vysílačů. Vyšetřením chování čtvrtvlnného a půlvlnného vedení byla ukázána transformace zatěžovací impedance na vstup vedení. Čtvrtvlnné vedení nakrátko se využívá jako vf pásmová propust nebo také jako ochranný přepěťový prvek ve vf obvodech.

81

6B Přechodné děje na homogenním vedení

6B Přechodné děje na homogenním vedení Cíl úlohy Prohloubit teoretické znalosti o šíření vln na homogenním vedení. Ověřit prakticky vztahy mezi primárními a sekundárními parametry vedení, dále ověřit vliv zakončovací impedance na odraz signálu na konci vedení. Ověřit zpoždění a útlum signálu přenášeného vedením.

Úkol   

Změřte primární parametry předloženého vzorku koaxiálního kabelu, z nich vypočtěte sekundární parametry vedení. Změřte celkový útlum vedení na daném kmitočtu a vypočtěte měrný útlum vedení. Při obdélníkovém budicím vstupním napětí vyšetřete vstupní a výstupní napětí na vedení pro různé zatěžovací impedance. Průběhy napětí zobrazte na osciloskopu a zakreslete. Určete rychlost šíření vln na vzorku vedení a z něj určete měrné časové zpoždění. Naměřenou hodnotu porovnejte s teoretickou.

Teoretický úvod Přechodné děje (dočasné jevy mezi dvěma ustálenými stavy) mohou být na vedení vyvolány v zásadě:  budicími signály obecných průběhů,  spínacími procesy, zkraty, přerušením větví obvodu,  atmosférickými výboji do vedení, kdy pro zdůraznění krátkosti doby trvání označujeme vznikající vlny na vedení jako rázové vlny. Analýza přechodných jevů na vedení může vycházet z řešení rovnic vedení pro obecný průběh časově proměnných veličin (napětí a proudu). Rovnice vedení, vlny na vedení

Elementární úsek vedení délky dx můžeme pomocí primárních parametrů vedení (měrné indukčnosti L0, měrné kapacity C0, měrného podélného odporu R0 a měrné příčné vodivosti G0) nahradit schématem (obr. 51).

i  x, t  

i  x, t  u  x, t 

R0dx

L0dx C0dx

i  x, t  dx x u  x, t  

u  x, t  dx x

G0dx

dx

x

obr. 51 Náhradní schéma elementu vedení délky dx

Napětí a proudy na vedení jsou funkcí dvou parametrů (vzdálenosti x a času t). Vyjádříme-li napětí a proud na vstupu elementu jako u(x, t) a i(x, t), pak na výstupu elementu ve vzdálenosti x + dx mají hodnotu u i u  x, t   dx a i  x, t   dx . Aplikací II. K. z. na element vedení délky dx můžeme vyjádřit úbytek napětí x x 

u  x, t  x

 R0  i  x, t   L0

i  x, t  t

.

(V)

(163)

82


Proudu na výstupu elementu je menší o součet příčných proudů. Aplikací I. K. z. na výstupní uzel elementu obdržíme rovnici 

i  x, t  x

 G0  u  x, t   C0

u  x, t  t

.

(A)

(164)

Rovnice (163) a (164) se nazývají rovnice vedení a popisují změny napětí a proudu podél vedení (v závislosti na vzdálenosti x). Nelze je pro řešení využít přímo, protože obě rovnice obsahují obě proměnné - napětí i proud. Derivací rovnice (163) podle proměnné x a rovnice (164) podle proměnné t získáme poměrně jednoduchou úpravou soustavu dvou parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu, ve kterých jsou již hledané veličiny funkcí pouze jedné proměnné – viz [1]. Nazývají se telegrafní rovnice a umožňují najít obecné řešení a vyjádřit hledané napětí a proud v závislosti na obou parametrech. Pro bezeztrátové vedení (R0 = 0, G0 = 0) se tyto rovnice nazývají vlnovými rovnicemi  2 u  x, t  x

2

 2 i  x, t  x 2

 L0 C0

 L0 C0

u 2  x, t  t 2 i 2  x, t  t 2

,

(V) (165)

.

(A)

Pro konkrétní signály (pro zadané okrajové a počáteční podmínky) se rovnice obvykle řeší pomocí Laplaceovy transformace. Z jejich obecného řešení vyplývá, že na vedení se pohybují vlny napětí a proudu fázovou rychlostí vf (141); vlna projde celým vedení délky l za čas t = l/vf. Výsledné napětí (proud) v konkrétním místě vedení jsou dány superpozicí postupné vlny napětí (resp. proudu), pohybující se od počátku vedení ke konci a odražené vlny napětí (resp. proudu), která se pohybuje směrem od konce k počátku vedení u  x , t   u P  x , t   uO  x , t  ,

(V)

i  x, t   iP  x, t   iO  x, t  .

(A)

(166)

Pro bezeztrátové vedení zakončené odporovou zátěží a napájeného zdrojem harmonického proudu platí Om  U  u  x, t   uP  x, t )  uO  x, t   U Pm  sin t   x    2  U Pm  sin t   x  , (V)

(167) I Om

 i  x, t   iP  x, t   iO  x, t   I Pm  sin  t   x      2   I Pm  sin t   x  . (A)

Velikost amplitud odražených vln napětí Urm a proudu Irm závisí na činiteli odrazu na konci vedení

2 

R2  RV . R2  RV

(-)

(168)

K odrazu nedochází (2 = 0) pro R2 = RV (při dokonalém přizpůsobení), nebo u vedení nekonečně dlouhého; na vedení se potom pohybuje pouze vlna postupná. Hodnota činitele odrazu je rovna –1 při vedení nakrátko (R2 = 0), +1 při vedení naprázdno (kdy R2   ); v těchto případech dochází k totálnímu odrazu, při kterém je amplituda odražené vlny stejně velká jako vlny postupné (UOm = UPm). Odražená vlna se šíří zpět směrem k napájecímu generátoru. Jakmile dorazí na počátek vedení a vnitřní odpor napájecího generátoru a vedení nejsou přizpůsobené (Rg ≠ Rv), odrazí se vlna tentokrát s činitelem odrazu 1 na počátku vedení

1 

Rg  RV Rg  RV

.

(-)

(169)

a opět se šíří fázovou rychlostí směrem ke konci. Vznikne tak druhá postupná vlna na vedení.

83


2  0

obr. 52 Časový průběh napětí na začátku a konci vedení v případě, že konec vedení je přizpůsoben (zatížen vlnovým odporem) a nedochází k odrazu

 2  1

obr. 53 Časový průběh napětí na začátku a konci vedení v případě, že konec vedení je naprázdno

 2  1

obr. 54 Časový průběh napětí na začátku a konci vedení v případě, že konec vedení je nakrátko

84


Celkové napětí (nebo proud) v libovolném bodě vedení jsou dány superpozicí všech postupných a odražených vln, které v daném okamžiku na vedení existují. Názorný příklad ukazují obrázky, na nichž je časový průběh napětí na začátku (u1) a konci (u2) bezeztrátového vedení buzeného obdélníkovým napěťovým impulsem s amplitudou U. Jednotlivé případy se liší zakončením vedení:  přizpůsobení vedení (zakončené vlnovým odporem) - obr. 52. K odrazu nedochází (činitel odrazu je 2 = 0), napětí na konci vedení je tvarově shodné s u1, pouze je zpožděné o td, napětí na začátku vedení není ovlivňováno.  vedení naprázdno (zakončené naprázdno) - obr. 53. Dochází k úplnému odrazu bez změny fáze (činitel odrazu je 2 = +1), napětí na konci vedení je superpozicí postupné a odražené vlny, má proto dvojnásobnou amplitudu oproti u1 a je zpožděné o td. Napětí na začátku vedení je ovlivňováno superpozicí s odraženou vlnou, tentokráte zpožděnou dvojím průchodem vedením o čas 2td.  vedení nakrátko (zakončené zkratem) - obr. 54. Dochází k úplnému odrazu se změnou fáze o 180° (činitel odrazu je 2 = -1), napětí na konci vedení (zkratu) je nulové, lze je chápat jako součet dvou shodných vln s navzájem opačnou polaritou. Napětí na začátku vedení je opět ovlivňováno superpozicí s odraženou vlnou, zpožděnou dvojím průchodem vedením o 2td. Všechny ostatní možné případy zátěže vedení leží mezi uvedenými limitními případy, činitel odrazu se u nich pohybuje v rozmezí od -1 do +1. Při setrvačné zátěži vedení (L, C) je činitel odrazu komplexním číslem a řešení odrazu vln je komplikovanější. Vzhledem k tomu, že v reále je vedení vždy ztrátové a pro reálnou zátěž jsou činitelé odrazu (168) a (169) v absolutní hodnotě menší než 1, amplituda vln každým odrazem klesá a pro řešení stačí uvažovat konečný počet vln. Přechodný děj na vedení tak můžeme pomocí vypočtených činitelů odrazu s uvážením konečného ustáleného stavu řešit i přibližnými grafickými metodami, jak ukazuje příklad řešení vln na nepřizpůsobeném vedení. Rg t = 0 i(x,t) u

u(x,t)

R2

x l

u

i

up1

a) 0
l

0

uo1

u

ip1 0

i

io1

b) T
l

up2

u

l

0

l

i

c) 2T
x

0

l

ip2 x

0

l

obr. 55 Přechodný děj na nepřizpůsobeném bezeztrátovém vedení, skládání postupných a odražených vln napětí a proudu

Vedení na obr. 55 je zakončeno rezistorem R2 a je napájeno generátorem s vnitřním odporem Rg, které jsou různé od vlnového odporu RV. Sepnutím spínače vznikne napěťový i proudový skok, které se pohybují fázovou rychlostí vf jako napěťová a proudová vlna po vedení směrem k jeho konci, kde se odrazí. Následně nastávají další odrazy jednotlivých vln na obou koncích. Řešení přechodného děje na vedení je patrné z obrázků. Pro bezeztrátové vedení je ustálený stav u  x,    U g 

R

g

R2

 R2 

,

(V)

(170)

85


i  x,   

R

Ug

g

 R2 

.

(A)

(171)

Časový průběh napětí a proudu na obou koncích vedení z obr. 55 je nakreslen na obr. 56.

Počátek vedení i1(t)

u,i

0

2T

Konec vedení

u1(t)

4T

6T

8T

10T

12T

t

u2(t)

i2(t)

u,i u1   

u2   

i1   

i2    0

T

3T

5T

7T

9T

11T

t

obr. 56 Časový průběh napětí a proudu na počátku a na konci vedení Ztrátové vedení

Nejsou-li ztrátové parametry vedení (R0 a G0) zanedbatelné, je třeba řešit výše zmíněné složitější telegrafní rovnice, viz např. [1]. Jejich výsledkem jsou i v tomto případě vlny napětí a proudu pohybující se po vedení rychlostí vf. Jejich amplitudy jsou však podél vedení exponenciálně tlumeny. Protože činitel odrazu ztrátového vedení je kmitočtově závislý, dochází při přenosu signálů obecně nejen ke změně amplitudy, ale zpoždění i odraz na obou koncích vedení jsou doprovázeny také tvarovým zkreslením signálu.

Domácí příprava V rámci domácí přípravy si stáhněte simulátor dějů na vedení ze stránek předmětu BEL2 na UTEE. Podle návodu, který je součástí instalace, proveďte zadané simulace. Tento simulátor vizualizuje průběh vln na homogenním vedení a umožňuje tak příslušné děje lépe pochopit.

Pracovní postup V zadané úloze budeme vyšetřovat přechodné děje na vedení tvořeném koaxiálním kabelem RG-59 (jeho vlnová impedance je 75 ) délky l = 60 m, které budeme budit periodickým signálem z generátoru G – obr. 57. To nám umožní pozorovat průběhy napětí na vstupu a výstupu vedení pomocí dvoukanálového osciloskopu. Vstup měřeného vedení je doplněn přizpůsobovacím rezistorem tak, aby spolu s vnitřním odporem generátoru tvořil vlnový odpor vedení – vedení je tedy zleva přizpůsobené (1 = 0) a odraz může vznikat pouze na jeho konci. Rg = Rv

g

G

g

2

1

2

0

obr. 57 K měření přechodných dějů na vedení Určení primárních parametrů vedení

a)

Pomocí multimetru změřte na vstupu měřeného vedení (vstup nesmí být připojen ke generátoru ani osciloskopu) jeho kapacitu Cx (vedení je zakončeno naprázdno), viz vztah (158). Hodnotu zapište do tab. 32.

86


b) Vedení na výstupu zkratujte (zakončení nakrátko) a změřte pomocí multimetru jeho odpor Rx a zapište ji do tab. 32. Odpor měřicích vodičů zanedbejte. c)

Odpojte multimetr. Vedení ponechejte na výstupu zkratované, jeho vstup připojte k přípravku pro impedanční oddělení, který obsahuje oddělovací kapacity C1 a C2 a rezonanční kondenzátor CR. Pomocí přípravku propojte vedení s napájecím generátorem (OUTPUT) a nf milivoltmetrem – obr. 58. Protože jde o krátké vedení ( >> l), platí pro jeho impedanci nakrátko vztah (162) a chová se tedy jako indukčnost Lx. Ta spolu s paralelním rezonančním kondenzátorem CR tvoří paralelní rezonanční obvod. Při známé hodnotě CR a rezonančního kmitočtu lze Lx vypočítat.

d) Na vf milivoltmetru nastavte rozsah 30 mV. Na generátoru nastavte výstupní harmonické napětí 2,5 Vrms (Offset = 0). Přelaďováním kmitočtu generátoru v rozsahu 200 kHz až 500 kHz (s krokem 10 kHz) najděte rezonanci, kterou signalizuje maximum napětí milivoltmetru. Po nalezení rezonance zapište do tab. 32 rezonanční kmitočet fr.

Impedanční přizpůsobení

Generátor

nf mV-metr

Vedení l=60m Zkrat

obr. 58 Rezonanční měření celkové indukčnosti vedení Měření útlumu a zpoždění

Generátor nf mV-metr Vedení l=60m Rv

obr. 59 Měření celkového útlumu vedení – mV-metrem se měří nejprve vstupní a potom výstupní napětí vedení

e)

Odpojte přípravek impedančního oddělení, na výstup vedení připojte jako zátěž vlnový odpor RV = 75 . Na koaxiální vstup vedení připojte generátor (nastavený na harmonické napětí U = 2,5 Vrms, Offset = 0, f = 2,5 MHz) – obr. 59. Nf milivoltmetrem (na rozsahu 3 V) změřte postupně vstupní U1 i výstupní U2 napětí kabelu a zapište je do tab. 33. Vstupní napětí se měří na vstupních svorkách (za přizpůsobovacím odporem), výstupní napětí na svorkách zakončení vedení.

87


f)

Odpojte milivoltmetr. Na vstup vedení (za přizpůsobovací odpor) připojte kanál 1 osciloskopu, na výstup vedení pak kanál 2 – obr. 60. Generátor nastavte do režimu obdélníkového signálu (f = 100 kHz, U = 2,5 Vrms, Offset = 2,5 V, střída %Duty = 20 %). Výstup vedení bude zakončen vlnovým odporem RV = 75Ω. Na osciloskopu:  stiskněte tlačítko Auto-Set  citlivost obou kanálů na 1 V/div,  časovou základnu na 1 s až 2,5 s /div. 1 Generátor

2

Vedení l=60m

Osciloskop

Zátěž

obr. 60 Měření zpoždění a zobrazení přechodných dějů pro různá zakončení vedení

g) Zobrazte na osciloskopu průběhy kanálu 1 (vstupní signál) a 2 (výstupní signál vedení) pro všechny varianty zakončovací impedance Z2 (RV, R2, 0, , C2). Průběhy zakreslete do předtištěných grafů, které obdržíte na pracovišti a vyznačte na nich napěťové úrovně a časové parametry. Přímo do obrázku průběhů doplňte hodnoty činitele odrazu na konci vedení 2 vypočtené podle (168) pro všechny varianty zakončení vyjma kapacitní zátěže - pro tu je činitel odrazu komplexním číslem a závisí na kmitočtu. h) Změřte časový rozdíl mezi nástupnými hranami impulsu na kanálech 1 a 2. Tato doba odpovídá celkovému zpoždění vedení tdm. Pro měření využijte časových kurzorů (Cursor, funkčními tlačítky u displeje vybrat Cursor Horizontal, posun ovladačem Variable). Kvůli lepšímu rozlišení zvolte vhodné měřítko časové základny (100 ns/div). Zjištěné zpoždění zapište do tab. 33.

Zpracování tab. 32 Primární a sekundární parametry měřeného vedení

i)

Cx

Rx

Lx

C0

R0

L0

kHz

nF



H

pF.m-1

.m-1

nH.m-1





ZV ()

 Z (°) l = 60 m

-

-

-

(172)

Cx/l

Rx/l

Lx/l

(134)

(134)

(135)

(135)

ZV

Poznámka G0 = 0 S CR = 10 nF f = 2,5 MHz

Ze známé hodnoty rezonančního kmitočtu fr a kapacity rezonančního kondenzátoru CR určíme z Thomsonova vztahu (65) celkovou indukčnost vedení Lx 

j)

 (m-1)

fr

1 . 4π f r2 CR 2

(H)

(172)

Naměřené hodnoty Cx, Rx a Lx podělte délkou vedení l, čímž získáte primární měrné parametry R0, L0, a C0 (G0 předpokládáme rovno nule). Dále pro kmitočet f = 2,5 MHz spočtěte sekundární parametry  (134) a ZV (135). Hodnoty doplňte do tab. 32.

88


tab. 33 Útlum a zpoždění vedení

Měrný útlum U1 V -

U2 V -

bm b -1 dB.m dB.m-1 (173) (174)

Celkové zpoždění

b % (1)

tdm ns -

td ns (175)

td % (1)

k) Z naměřených hodnot vstupního a výstupního napětí při harmonickém napájení přizpůsobeného vedení vypočtěte měrný útlum vedení U 1 bm   20 log 1 .  U2

l)

(dB·m-1)

(173)

Z hodnot v tab. 32 určete teoretickou hodnotu měrného útlumu vedení, kterou lze odvodit ze vztahů (137),(138) s využitím (136), po úpravě b

20   . ln 10 

(dB·m-1)

(174)

m) Ze vztahu (149) můžeme určit teoretické celkové zpoždění vedení td; pro jednoduchost zde zanedbáme ztráty na vedení td        L0 C0 .

(s)

(175)

n) V tab. 33 spočtěte relativní odchylky naměřených a teoretických hodnot měrného útlumu a celkového zpoždění vedení.

Seznam přístrojů      

Přípravek pro impedanční přizpůsobení a měření rezonance Měřený kabel RG-59 délky 60 m s přizpůsobeným vstupem a přepínatelným zakončením Z2 Funkční generátor typ 33120A Číslicový multimetr pro měření kapacity nf-milivoltmetr BM 512 Číslicový osciloskop dvoukanálový typ Instek GDS-820C

Závěr  

Uveďte zjištěné primární a sekundární parametry měřeného homogenního vedení, jeho měrný útlum a celkové zpoždění vedení. Srovnejte hodnoty s teoretickými. Komentujte náčrty průběhů napětí na vstupu i výstupu vedení při přechodném ději s různými zakončovacími impedancemi. Jaká je velikost (a znaménko) odražené napěťové vlny v jednotlivých případech? Uveďte, pro jakou zatěžovací impedanci je přenášený signál nejméně zkreslen a proč.

Stručné shrnutí V úloze byl ukázán vliv zakončovací impedance na odraz signálu na konci vedení a tím i na zkreslení přenášeného signálu. Byl ukázán postup měření primárních parametrů vedení. Měřením a výpočtem bylo ukázáno zpoždění signálu na vedení. Měření odrazu na nepřizpůsobené zátěži lze v praxi použít například pro vyhledávání poruch vedení (zkraty, rozpojení) nebo také pro generování krátkých impulzů (vedení zakončené zkratem).

89

7B Simulace elektrických obvodů

7B Simulace elektrických obvodů Cíl úlohy Ukázat použití obvodového simulátoru MicroCap v teorii obvodů, seznámit se s různými druhy analýz obvodu (střídavá analýza a analýza přechodných dějů). Simulací ověřit některé z úloh prakticky měřených v rámci úloh uvedených v těchto skriptech. Simulovat chování obvodu RL při spínání a vypínání proudu, ukázat možnosti omezení napěťových špiček vznikajících na cívce (praktická aplikace např. u vypínání cívek relé a stykačů).

Úkol  

Seznamte se s možnostmi moderního simulátoru elektronických obvodů MicroCap. Simulací vyšetřete:  chování obvodu v harmonickém ustáleném stavu (HUS),  průběh rezonanční křivky u sériového rezonančního obvodu (SRO),  chování obvodu RC a RLC během přechodných dějů,  chování obvodu RL při spínání a vypínání proudu,  možnosti omezení napěťových špiček v obvodu RL při vypínání proudu.

Teoretický úvod Složitost současných elektronických systémů vyvolaly změnu přístupu při jejich návrhu (syntéze) i analýze. Klasický způsob návrhu se stavbou a ověřováním funkce na reálných prototypech je dnes většinou neúnosný z ekonomického i časového hlediska. Výkonná výpočetní technika umožnila vznik nových postupů při návrhu elektronických systémů. Jeden z prvních simulačních programů, určený pro analýzu obvodů s tranzistory, byl vyvinut firmou IBM již na konci 50. let 20. století. Postupně se zvyšující nároky vývojářů a zároveň rostoucí výkon výpočetní techniky přispěly k tomu, že dnes lze s pomocí počítače provádět většinu vývojářských prací, od etapy návrhu a simulace až po výrobu prototypu a přípravu výrobních podkladů. Je patrná snaha o zakomponování simulátorů, editorů schémat a programů pro návrh plošných spojů do jediné kolekce, tzv. návrhového systému. Programové balíky určené pro tento účel umožňují provádět technologické simulace výroby integrovaných obvodů a získat tak jejich parametry bez nutnosti fyzické realizace a měření vzorku. S takto získanými parametry IO lze pak vytvářet jejich modely a sestavovat elektrická schémata. Následují simulace chování obvodů, přičemž lze využívat výhod optimalizačních algoritmů, které na základě vícenásobných simulací stanoví optimální hodnoty parametrů obvodových prvků. Simulací obvodů se ověří chování celého systému nebo jeho částí; přitom lze zahrnout i vliv prostředí na obvod (např. teplota okolí a její změny). Po ověření funkčnosti obvodů lze provést návrh plošného spoje nebo realizace IO, generovat potřebné výstupy v tištěné formě (výkresy, schémata, osazovací plán) i v elektronické podobě (soubory pro číslicově řízené stroje – fotoplottery, NC-vrtačky, osazovací stroje apod., ale i pro další software CAD/CAM). Při tomto postupu návrhu elektronických systémů je velmi vysoká pravděpodobnost plné funkčnosti již prvního realizovaného vzorku. Návrhový systém není ovšem pouhým balíkem nesouvisejících programů. Jednotlivé části vzájemně úzce spolupracují. Navíc bývají systémy vybaveny prostředky pro automatizaci celého procesu návrhu, což podstatně přispívá jednak ke snížení pravděpodobnosti vzniku chyby, jednak ke zvýšení komfortu a snížení časové náročnosti. K těmto prostředkům například patří:  systémy pro kontrolu zapojení podle obecných pravidel (ERC – Electrical Rule Checking), umožňující odhalit chyby typu nezapojený vývod součástky, záměna napájecích přívodů s jinými, nepatřičné spojení dvou výstupů apod.,  grafické editory modelu součástek sloužící pro interaktivní zadávání parametrů modelu podle grafických charakteristik,  databázové knihovny součástek, ve kterých je pro určitý typ součástky definována schematická značka, simulační model s parametry a také rozměr a zapojení pouzdra; tak je umožněn přechod od schématu přes simulaci až k návrhu plošného spoje,  asistovaný a automatický návrh desek (i mnohavrstvých) plošných spojů,  u některých systémů lze určité výsledky simulace (napětí v uzlech, proudy větvemi obvodu) zobrazit vhodným způsobem přímo do původního schématu, což je velmi přehledná interpretace výsledků analýzy,

90

7B Simulace elektrických obvodů 

pokročilé programy mívají kromě simulačních (analytických) možností také schopnost návrhu (syntézy) obvodu. Jde samozřejmě o syntézu založenou na základě znalostní databáze standardních obvodů, které program pospojuje a dopočítává parametry jeho prvků. Příkladem může být návrh aktivních či pasivních kmitočtových filtrů, kterým je vybaven simulátor MicroCap.

Nejnovější programové systémy umožňují spolupráci s jinými produkty CAD v takové míře, že lze např. vytvářet 3D modely osazených desek s elektronickými systémy a pracovat s nimi v jiném, mechanickém CAD systému při návrhu mechanické konstrukce zařízení. Simulační programy

Algoritmy simulace bývají nejčastěji založeny na iteračních metodách řešení soustavy obecně nelineárních algebraických a diferenciálních rovnic. Při sestavování rovnic obvodu se využívá nejčastěji modifikované metody uzlových napětí. V simulačních programech bývají implementovány další algoritmy pro urychlení konvergence výpočtu. Standardem mezi obvodovými simulátory je program SPICE, vytvořený Larrym Nagelem v roce 1971 na Univerzitě v Berkely, USA. Jeho pokročilé verze (pro PC nazývané PSPICE) tvoří výpočetní jádro většiny simulátorů, včetně zde prezentovaného program MicroCap (firmy Spectrum Software). Z dalších programů jmenujme například Tina (DesignSoft), Spectre či Orcad PSpice (oba od Cadence Design). K ZÁKLADNÍM ANALYTICKÝM NÁSTROJŮM PATŘÍ

  



Analýza pracovního bodu (BIAS) – určuje stejnosměrný pracovní bod obvodu. Je to výchozí analýza pro další prováděné vyšetřování obvodu. Stejnosměrná analýza (DC) – analýza stejnosměrných obvodů. V podstatě se provádí opakovaná analýza pracovního bodu při měnící se hodnotě jednoho či dvou parametrů obvodu. Těmi mohou být napětí/proud zdroje, teplota nebo parametry modelů součástek. Střídavá analýza (AC) – analýza obvodů ve frekvenční oblasti. Nejprve se provádí výpočet stejnosměrného pracovního bodu, pro který pak program provede linearizaci modelů všech prvků. V takto linearizovaném obvodě se pak počítají komplexní hodnoty napětí a proudů v zadaném rozsahu kmitočtu střídavých nezávislých zdrojů. Tato analýza tedy předpokládá malosignálové podmínky, nepostihuje nijak nelinearitu prvků. Spolu se střídavou analýzou je možné analyzovat šumové poměry v obvodu. Analýza přechodných dějů (Transient) – analýza obvodů v časové oblasti. Zjišťuje se časový průběh napětí a proudů v obvodu, s respektováním možných nenulových počátečních podmínek. V rámci přechodové analýzy lze provést Fourierovu analýzu a zjistit tak spektrum a zkreslení sledovaného napětí/proudu.

U všech analýz je možné provádět rozmítání, tedy změnu hodnot obvodových prvků, napětí a proudů zdrojů. Hodnoty lze rozmítat lineárně, logaritmicky, případně přes výčet hodnot. Rovněž lze simulovat závislost obvodu na okolní teplotě. Ve všech případech jsou výsledkem násobné simulace, z jejichž grafické reprezentace lze vysledovat závislost sledovaných výstupů na rozmítaném parametru. KE SPECIÁLNÍM DRUHŮM ANALÝZ PATŘÍ:

 

Analýza Monte Carlo – při několikanásobném spouštění simulace náhodně mění hodnoty parametrů všech modelů, u kterých byla zadána tolerance hodnot. Citlivostní analýza (Sensitivity) –zjistí citlivost zvolené obvodové veličiny na změnu parametrů obvodových prvků.

Tyto analýzy slouží například k nalezení klíčových prvků, na kterých závisí požadované chování celého obvodu. Výhody

 

Není třeba realizovat prototyp obvodu, což šetří čas i náklady (zvláště výrazné to je u návrhu integrovaných obvodů). Je možné sledovat průběhy napětí a proudů i v takových bodech, kde by fyzické měření nebylo možné vůbec, nebo by bylo obtížné. Navíc není třeba vlastnit příslušné, mnohdy velmi nákladné, měřicí přístroje.

Nevýhody



Simulační programy pracují pouze s modely prvků, které nemohou postihnout veškeré jevy probíhající v reálné součástce. Věrohodnost výsledků simulace se odvíjí od přesnosti použitých modelů součástek. Tvorba kvalitních modelů odpovídajících reálným prvkům patří k nejsložitějším problémům simulace.

91


  

Obtížně se zavádějí do schématu jevy související se skutečným provedením obvodu, jako jsou kapacitní/indukční vazby, tepelné mosty mezi součástkami, prvky s rozprostřenými parametry. Většina simulátorů nepostihuje vliv vnějších elektromagnetických a tepelných polí. S rostoucí složitostí obvodu a modelů součástek prudce vzrůstají nároky na výpočetní techniku.

Z uvedených skutečností plyne, že na výsledky jakéhokoliv simulátoru nelze slepě spoléhat, ale je třeba uvážit, že jde jen o aproximaci reálného obvodu.

Domácí příprava V rámci domácí přípravy se seznamte s ovládáním simulátoru MicroCap. Krátký úvod lze najít na stránkách předmětu BEL2 na UTEE. Na stránkách výrobce (http:\\www.spectrum-soft.com) lze zdarma získat aktuální studentskou verzi programu MicroCap.

Pracovní postup Spusťte analyzátor obvodů MicroCap a otevřete soubor SimulaceObvodu.cir. Jednotlivé úkoly jsou uspořádány do listů (podobně jako v Excelu). V každém listu je kromě připraveného schématu obvodu také popis postupu. Obvody simulované programem MicroCap mají shodné parametry s obvody uvedenými v úlohách 2A, 3B a 5A, simulace obvodu RL je navíc. Poznámka k programu MicroCap: čísla se zadávají s desetinnými tečkami. Obvod v HUS

a)

Otevřete záložku HUS. Spusťte dynamickou střídavou analýzu Analysis/Dynamic AC. Zobrazí se dialogové okno s předvolenými parametry (kmitočet 200 Hz, formát komplexních čísel amplituda/fáze ve stupních).

b) Stiskněte OK a zobrazí se proudy prvky (modré) a napětí uzlů (fialové). Zobrazují se ve formátu modul, fáze. Navíc jsou vedle schématu zadány výrazy pro zobrazení napětí na prvcích obvodu R7, C4, R8, C5. Jde o textová pole obsahující vzorec (výraz začínající =, podobně jako v Excelu). c)

Zobrazené hodnoty zapište do tab. 34, dbejte na směr šipek označujících směr proudů! Napětí na prvcích jsou ve složkovém tvaru, před zapsáním do tabulky je přepočtěte na modul a fázi.

1u C4

R6

R7 1.2k AC 7.07 V5

V4

1u C5

obr. 61 Schéma pro obvod v HUS

L2 C3

R8 1.2k

obr. 62 Schéma pro sériový rezonanční obvod

Sériový rezonanční obvod

d) Otevřete záložku SRO. Spusťte střídavou analýzu Analysis/AC. Zobrazí se dialogové okno s předvolenými parametry. e)

Zadejte rozmítaný parametr odporu R6 (Stepping (F11)... / Step what: R6 / List: 35, 68 / Step it: Yes / Method: List).

f)

Spusťte analýzu tlačítkem Run. Zobrazí se průběh amplitudy a fázový posun napětí na kondenzátoru C3 v kmitočtovém rozsahu 30÷60 kHz při konstantní amplitudě zdroje UG = 100 mV a pro dvě zadané hodnoty odporu R6. Křivky popište pomocí Scope/Label Branches v obou částech grafu.

g) V okně grafů výsledků analýzy zjistěte hodnotu maxima. Zapněte kurzorový mód a odečtěte pro obě zobrazené křivky souřadnice vrcholu napětí na kondenzátoru C3, odpovídající maximu napětí UC3(fr)

92


a rezonančnímu kmitočtu fr. K nalezení vrcholu křivky slouží funkce jakosti Q - vztah (61). Křivky se vybírají Scope/Go To Branch.

. Z hodnoty UC3(fr) určete činitel

nalezněte šířku pásma B pro pokles napětí V(C3) o 3 dB (na h) Pomocí funkce Go to Performance UC3max/√2). Zvolte Function: Width, Level nastavte na požadovanou hodnotu napětí UC3max/√2. Kurzory se nastaví podle zadání a jejich rozdíl v kmitočtové ose (F delta) je šířka pásma B. Ověřte platnost vztahu (59). i)

Pozorování zhodnoťte a zapište do tab. 35, graf vytiskněte. Do grafu vyznačte polohu rezonančního kmitočtu a šířku pásma obvodu.

Přechodný děj v obvodu RC

j)

Otevřete záložku Př. děj RC. Spusťte časovou analýzu Analysis/Transient. Zobrazí se dialogové okno s předvolenými parametry. Spusťte analýzu tlačítkem Run. Zobrazí se časový průběh napětí zdroje V2 (obdélníkový průběh 5 V s kmitočtem 1000 Hz), dále napětí a proud kondenzátoru C1 a napětí na odporu R4.

nebo F8) a nalezněte z průběhu napětí V(C1) při nabíjení i vybíjení k) V grafu zvolte kurzorový mód ( hodnotu časové konstanty, kterou zapište. Postup viz úloha 3B, obr. 40 a obr. 41. Výběr křivky se provádí kliknutím myší na její název pod grafem; pro nastavení kurzorové značky na požadovanou hodnotu y slouží funkce Go to Y ( l)

nebo Shift-Ctrl-Y).

Pro čas  a 2 nalezněte hodnoty napětí na kondenzátoru a odporu pro nabíjení i vybíjení a zapište do tab. nebo Shift-Ctrl36. Pro nastavení kurzorové značky na požadovanou hodnotu x slouží funkce Go to X ( X). Při nastavování kurzoru do oblasti vybíjení kondenzátoru je třeba k časům připočítat polovinu periody budicího signálu (f = 1000 Hz).

m) Pozorování zhodnoťte a zapište, zobrazený graf vytiskněte. Do grafu vyznačte napětí v čase t = .

L1 R4 V2

R5 C1

obr. 63 Schéma pro přechodný děj v obvodu RC

V3

C2

obr. 64 Schéma pro přechodný děj v obvodu RLC

Přechodný děj v obvodu RLC

n) Otevřete záložku Př. děj RLC. Spusťte časovou analýzu Analysis/Transient. Zobrazí se dialogové okno; změňte zobrazované veličiny na V(V3), V(C2) a I(C2), zobrazování proměnné V(R4) zrušte (Delete). Spusťte analýzu tlačítkem Run. Zobrazí se časový průběh napětí zdroje V3 (obdélníkový průběh 5 V s kmitočtem 1000 Hz) a napětí a proud kondenzátoru C2. o) Časové průběhy pro kriticky tlumený děj (R5 = 11.5 k = Rkrit.) si prohlédněte. p) Zavřete okno s výsledky simulace a ve schématu změňte hodnotu odporu R5 na 1.2k (podkritické tlumení R5  0.1 Rkrit). Znovu spusťte simulaci. V okně výsledků zapněte kurzorový mód a odečtěte polohu dvou po sobě jdoucích maxim kmitů napětí na C2 (uCm1, tm1, uCm2, tm2). Určete kmitočet f těchto tzv. vlastních kmitů a konstantu tlumení . Postup viz úloha 3B. q) Pozorování zhodnoťte a zapište do tab. 37, zobrazený graf (pro R5 = 1.2k) vytiskněte. Do grafu vyznačte polohy měřených maxim napětí.

93

7B Simulace elektrických obvodů Přechodné děje v obvodu RL

obr. 65 a) Přechodný děj RL při sepnutí spínače

b) Přechodný děj RL při rozepnutí spínače

Při vypínání a přepínání obvodů s indukčnostmi vznikají v důsledku přechodných jevů značná přepětí převyšující mnohonásobně hodnoty napětí budicích zdrojů. Základní přechodné jevy (spínání a vypínání proudu) v RL obvodech si ukážeme na obvodu z obr. 65. Řešení přechodného děje pomocí Laplaceovy transformace a matematický popis průběhu napětí a proudu cívky po zapnutí a poté i po vypnutí proudu jsou shodné s řešením příkladu 3.2.6 z počítačových cvičení. Obvod podle obr. 65 (U = 10 V, L = 0,5 H, R = 10 , R1 = 50 ) byl před sepnutím spínače v ustáleném stavu (proud cívkou netekl). Pomocí simulačního programu MicroCap vyšetřete průběh napětí a proudu cívky po sepnutí spínače. Zjistěte numerické hodnoty těchto veličin v čase 0,1 s a 0,2 s po sepnutí spínače. V čase t = 0,2 s po sepnutí byl spínač rozepnut. Vyšetřete časový průběh napětí a proudu cívky po rozepnutí spínače a vypočítejte numerické hodnoty těchto veličin v okamžiku rozepnutí spínače.

Sepnutí spínače Reálná cívka je modelována sériovým spojením rezistoru R, který představuje činný odpor cívky a ideální cívky s indukčností L - obr. 65a). Předpokládáme, že v okamžiku zapnutí spínače cívkou neprotékal proud. Po sepnutí spínače začne cívkou ze zdroje stejnosměrného napětí U protékat budicí proud iL. Jeho průběh je určen rostoucí exponenciální funkcí s časovou konstantou  1  L / R . Předpokládejme, že za určitou dobu dojde v obvodu k ustálenému stavu, při kterém je proud cívkou omezen na hodnotu U/R (pro zadané parametry obvodu 1 A).

Rozpojení spínače Proud cívkou je stavová veličina obvodu a nemůže se měnit skokem, proto v okamžiku rozpojení spínače musí proud této hodnoty zůstat zachován a začne protékat rezistorem R1 - obr. 65b). Napětí na rezistoru R1, které před rozepnutím spínače bylo rovno napájecímu napětí U proto skokem změní směr a bude nyní přímo úměrné protékajícímu proudu a odporu rezistoru R1 v souladu s Ohmovým zákonem UR1 =I.R1 = 50 V. V případě, že hodnota rezistoru R1 bude konvergovat k ∞, hodnota napětí na něm musí také konvergovat k hodnotě ∞. Pokles proudu a tedy i napětí cívky po rozepnutí spínače poté nastává s časovou konstantou  2  L /  R  R1  . Z uvedeného rozboru vyplývá, že omezení přepětí v obvodu cívky při rozpojení spínače je možné dosáhnout při daném vypínacím proudu jedině zmenšením hodnoty rezistoru R1. To je však energeticky nevýhodné (při sepnutém spínači to představuje ztrátu P = U2/R1), proto se v praxi dnes nejčastěji pro omezení přepětí používá na místě rezistoru R1 nelineární prvek s vhodnou ampérvoltovou charakteristikou. Často bývá používána dioda, která uzavírá obvod proudu v okamžiku rozpojení spínače (dioda je v tomto okamžiku ve vodivém stavu – vykazuje tedy malý dynamický odpor). Dříve se používal pro omezení napětí obvodu také sériový RC člen, který při rozepnutí spínače akumuloval energii a zmenšil přepětí v okamžiku rozpojení spínače tím, že rozložil umoření energie cívky do delšího časového okamžiku. r)

V MicroCapu otevřete soubor Vypinani RL.cir. Obvod simulovaný programem MicroCap má stejné parametry s obvodem řešeným v příkladu 3.2.6 z počítačových cvičení.

s)

Spusťte časovou analýzu Analysis/Transient. Zobrazí se dialogové okno s předvolenými parametryzobrazované veličiny jsou v(R1), v(L) a i(L). Spusťte analýzu tlačítkem Run. Zobrazí se časové průběhy veličin v časovém rozmezí 0 – 0,5 s.

94


t)

V grafu zvolte kurzorový mód ( nebo F8) a nalezněte z průběhu proudu i(L) při sepnutí spínače hodnotu časové konstanty 1, kterou zapište do tabulky. Určete i hodnotu časové konstanty 2 při rozpojení obvodu. Postup je obdobný jako v úloze 3, obr. 40 a obr. 41. Výběr křivky se provádí kliknutím myší na její název pod grafem; pro nastavení kurzorové značky na požadovanou hodnotu y slouží funkce Go to Y ( Shift-Ctrl-Y).

nebo

u) Pro čas t = 0,1 s a t = 0,2 s po sepnutí spínače (tedy v simulátoru t = 0,2 resp. 0,3 s) zjistěte pomocí kurzoru hodnoty napětí a proudu cívky, dále odečtěte absolutní maximum napětí na kombinaci RL po rozpojení spínače, hodnoty zapište do tab. 38. Pro nastavení kurzorové značky na požadovanou hodnotu x slouží funkce Go to X (

nebo Shift-Ctrl-X). Pro určení napěťové špičky použijte napětí v(R1) a tlačítko

vyhledání minima – špička je záporná. Časové průběhy vytiskněte. V grafu vyznačte okamžik sepnutí a rozepnutí spínače a časové konstanty 1 a 2. v) Otevřete soubor Vypinani RL-D. Spusťte opět časovou analýzu Analysis/Transient. Zobrazí se dialogové okno s předvolenými parametry- zobrazované veličiny jsou v(D1), v(L) a i(L). Spusťte analýzu tlačítkem Run. Zobrazí se časové průběhy veličin v časovém rozmezí 0 – 0,5 s pro zapojení obvodu s diodou. Pozorujte průběhy, změřte opět maximum napětí na kombinaci RL po rozpojení spínače (použijte napětí -v(D1) a funkci vyhledání minima grafu.

– špička je záporná). Časové průběhy načrtněte do předchozího

w) Otevřete soubor Vypinani RL-RC. Zobrazí se dialogové okno s předvolenými parametry- zobrazované veličiny jsou V(R2)+V(C1), V(L) a i(L). Spusťte analýzu tlačítkem Run. Zobrazí se časové průběhy veličin v časovém rozmezí 0 – 0,5 s pro zapojení obvodu s tlumicím RC členem. Pozorujte průběhy, změřte opět maximum napětí na kombinaci RL po rozpojení spínače (použijte součtu napětí v(R2)+v(C1) a funkci vyhledání minima

– špička je opět záporná). Časové průběhy načrtněte do předchozího grafu. S2 T,0.1s,0.3s R1 50

U

25 R2

L 0.5

D1

350u C1

R 10

10

obr. 66 Zapojení simulovaného obvodu RL v simulátoru MicroCap

Zpracování tab. 34 Simulované hodnoty proudu a napětí v obvodu v harmonickém ustáleném stavu

IR7 = IC4 mA

IR8 °

Poznámky

IC5

mA

°

mA

° U = 10/2 = 7,07 V

UR7 V

UC4 °

V

UR8 °

V

UC5 °

V

°

95


tab. 35 Simulované hodnoty SRO

fr

fmd

fmh

B

UC3(fr)

Q

kHz

kHz

kHz

kHz

V

-

(55)

-

-

(59)

Poznámka

(60),(62) UG = 100 mV

R = 35  R = 68  tab. 36 Simulované hodnoty přechodného děje obvodu RC



t = m/2

m

uC1 V

s

Poznámka

t = 2m uR4 V

uC1 V

uR4 V U= 5V

Nabíjení Vybíjení tab. 37 Simulované hodnoty přechodného děje obvodu RLC

uCm1

tm1

uCm2

tm2

Rkm

t

fm

m

V

s

V

s

k

s

kHz

s-1

Poznámka U= 5V

11,5 tab. 38 Simulované hodnoty přechodného děje obvodu RL

 1 ms

t = 0,1 s

2 ms

iL A

uL V

t = 0,2 s iL A

uL V

Poznámka Tlumení R1 D1 R2+C1 |uRL(max)| |uRL(max)| |uRL(max)| V V V U = 10 V


počítač s programem MicroCap

Závěr 



Porovnejte výsledky získané experimentálně při měření úloh 2A, 3B a 5A s výsledky získanými obvodovou simulací v prostředí MicroCap. U obvodu RL porovnejte výsledky simulace s hodnotami získanými výpočtem v příkladu 3.2.6 z počítačových cvičení. Diskutujte případné rozdíly. Zhodnoťte účinky jednotlivých opatření na omezení přepětí při rozpojování induktivní zátěže.

Stručné shrnutí V úloze byly na příkladu jednoduchých obvodů ukázány principy simulace a možnosti programu MicroCap. Výsledky simulací lze posoudit srovnáním s měřenými hodnotami získanými v praktických úlohách v rámci těchto skript. V úloze byly na příkladu obvodu RL ukázány možnosti omezení přepětí vznikajícího při rozpojování obvodu obsahujícího indukčnost. Tzv. zhášecí obvody obsahující prvky R, D nebo RC se používají například u cívek relé.

96


Seznam použité literatury [1] VALSA, J., SEDLÁČEK, J.: Teoretická elektrotechnika II. Skriptum VUT Brno, 2004. [2] VALSA, J., SEDLÁČEK, J.: Teoretická elektrotechnika I. Skriptum VUT Brno, 1997. [3] GESCHEIDTOVÁ, E. a kol.: Základní metody měření v elektrotechnice. Skriptum VUT Brno, 2000. [4] ŠKRÁŠEK, J., TICHÝ, Z.: Základy aplikované matematiky III. SNTL Praha, 1990.

97

Elektrotechnika 2 - laboratorní cvičení

Recommend Documents