Elektricke analogie pro dotvarovanl betonovych konstrukcl ING. ZDEN~K P. BA~ANT, CSc., Stavebnl ustav ~VUT, Praha
Vetsina modernfch betonovych konstrukci, jako jsou napr. letmo betonovane ramove mosty, tramy se sikmyroi zavesy apod., je vzhledem ke spolupusobeni betonu a oceli, betonu ru.zneho stari, ruzne tlousf,ky aj. ryrazne nehomogenni. VyPocet ucinku dotvarovani pak vede na pomerne slozite systemy obycejnyoh diferencialnioh rovnic nebo obecneji Volterrorych integralnioh rovnic, jez je treba resit na cfslicoryoh nebo analogovych pocitaCich. I kdyz jejich elektricke modelovani je obecIie v principu znamo (viz [2] - pfevedenfm na jednu diferencialni rovnici vyssiho radu) , je mozne k analogovemu obvodu jednoduseji dospet primo, nalezneme-li analogii pro zakon dotvarovani materialu a elektricky model odpovfdajfcf dane staticky neurcite pruzne konstrukci. V teto praci odvodfme napred, ze zakon dotvarovanf betonu Dischingera-Whitneyho i presnejsi zakon Arutjunjana-Maslova aj. je mozno znazornit jednoduchymi mechanickyroi reologickyroi modely, slozenyroi z pruzin a tlumicu 0 casove promennych konstantach, a. to Maxwellovym resp. BoltzmannovJm modelem. Potom urcfme elektrioky obvod analogicky k mechaniokemu modelu a tedy i k zakonu dotvarovaru, ktery lze slozit z odporu, samoindukcf a kapacit. Nakonec sklad6.nim techto elem.entarhfch obvodu sestavime analogovy 0 bvod pro reseni staticky rieurcitych velicin ceM konstrukce. Tato prace byla jiz prednesena na konferenoi [12] v roce 1965.
(0) U. = ae., Ii . = bai,
= boi , Ii = aei,
(D) U i
R = albE, 0= br]la, R
=
L
= br]la,
bE/a,
-- odpov. -- ,
. 1/ odpov. 1/ , -- odpov. II , II odpov. -- .
Zde znaCi ai resp. ei napeti reap. deformaoi v pruzine nebo v tlumici, E perovou konstantu pruziny (ai = Eei)' r] viskozitu tlumice (ai = r]deildt), Ui elektrioke napetf a L, proud v odpovidajicim elektrickem prvku, R ohmicky odpor (Ui = Rli ), Okapaoitu (Ii = 0 dUi/dt), L samoindukoi (Ui = L dlddt); a, b jsou volitelne parametry analogie, t je cas, -- a II znacf seriove a paralelnf zapojeni prvku.
2. Analogie pro dotvarovani casove variantniho nnaterialu
Dotvarovani betonu je komplikovano tim, ze zavisi na stari betonu. K jeho znazorneni lze pak tez pouzit, jak dale ukazeme, reologiokyoh modelu sestavenych z pruzin a tlumicll, jejiohz parametry E. a 'YJi jsou vsak casove promenne. Pro pruzinu v modelu pak jiz nelze poCitat al, = E(t) el" nybrz daddt = E(t)dei/dt. Pro tlumic plati stejny vztah al, = r](t)de;Jdt. Ponevadz pro casove promenny odpor plati Ui = R(t)I. a nikoliv dUildt = R(t)dlddt, nejsou zrejme analogie 0 a D pro dotvarovanf betonu mozne. Uvazime-li vsak . rovnice pro promennou samoindukci U. = L(t)dIl,/dt 1. Analogie pro dotvarovani casove invariantniho resp. kapaoitu II. = O(t)dUddt v porovnani s rovnici nnaterialu . pro pruzinu, zjistime, ze analogie A a B jsou pH casove promennyoh parametrech materiaJu moine a je jimi Linearnf dotvarovanfmaterialu s casove nemennyroi mozno zobrazit dotvarovanf betonu jakozto starnouparametry, tj. napr. viskoelasticitu plastickych hmot oiho materialu. pH konstantni teplote, 17.e zmlzornit meehaniekfmi Protoze v meohaniokem modelu pH paralelnim zareologickymi modely z pruzin a tlumicu. Jak znamo [4], [5], jejich elektrickou analogii lze realizovat ctyfmi pojeni se scitaji napeti a pri seriovem zapojeni deformaoe (podminky :rovnovahy a kompatibility), kdezto zpusoby: v elektriokem obvodu ph paralelnfm zapojenf se sCiJsou mozne dva typy analogie, v nichZ k napetim taji proudy a pfi seriovem zapojenf elektricka napeti a rychlostem deformaci odpovida.ji elektricka napetf (prvnf a druhy Kirohhofl'uv zakon), odpovfda v anaa proud (A) nebo obracene (B). Modelem ruznych zalogii A seriovemu zapojeni opet seriove a paralelnimu konu dotvarovani betonu je obvod, ktery se sklada zapojeni paralelnf, kdezto v analogii B seriovemu zaze samoindukof a odporU (A), resp. z kapacit a odpopojenf odpovida zapojeni paralelnf a obracene. ru (B), jez obecne jsou casove promenne. Model pro Analogie A a B lze pH promennych parametrech resenf n staticky neurcitych velicin nehomogennf konstrukce je tvoren obvodem (A) 0 n navzajem formulovat jeste obeoneji. Pozadujme, aby cas t ve propojenych smyckach a n zdrojich napeti, resp. (B) skutecnosti odpovidal caSu {} v elektriokem modelu, o n uzlorych parech a n zdrojfoh proudu, pricemz jed- pficemz pfifazeni {} = {}(t) neehi', je libovomfi, spojita notlive prvky obvodu jsou tvofeny elementarnimi rostoucf funkce, jez muze mit pro t - ? 00 konecnou limitu, Mmi nekonecnemu stari betonu prifadime koobvody pro dotvarovani. necny cas v modelu. Dale v analogii A i B lze mfsto (A) Ui = adeddt, -- odpov. -- , konstanty a volit libovolnou spojitou funkoi a(t}, cfmz R = a/br], Ii = bai' . L = a/bE,. /1 odpov. II, je mozno dosahnout. aby jeden z parametru R(t), L(t) nebo O(t) byl konstantnf. -- odpov. II, R = br]la, (E) Ui = bai' Lze se presvedcit, ze analogie jsou pak dany v;.:tahy: o = a/bE, /I odpov. -- , Ii = adeddt,
10
Stav@':bni VV7..Kum. Z'Oravodaj Vyzkumneho ustavu pozeJIl!lich staveb, 1967,
a.I
·•
'N) Ui(f)
de.(t) f) a(t) ~,R( )
=
a(t) b'fJ(t), ,
=
--
0
d pov. --,
V analogii B' je to obvodBa podle obr. 2, kde O(f) = df)(t)
Ii(f)
df)(t)
a(t) bUi(t), L(f) = ~ bE(t)' II odpov.
=
at
I (f)
=
•
a
(t) dei(t) O(f) dt'
=
II·
df)(t) dt
bE(t) ,
R(f)
=
bEo a(t) dlp/dt
.
Zvolime-h parametr a ve tvaru a(t)
odp~v. II , .
Bt) U.(f)= bUi(t), R(f) = b'fJ«t» • --
~
dt
(4b)
a
o = dg;/dt' do-
s~hneme vjhodne, ze v obou analogifeh je odpor R konstantni.· Priblizne lze pro beton uvazovat E = ...:. konst. a potom pfi volbe f)(t) = f)og;(t) f)1 do-
+
~ bE(t) ,
/1 odpov.
-- .
3. Zakon dotvarovanf betonu a jeho model Pro obecny vztah napeti U a deformace e v jednoose napjatosti pfi linearnim dotvarovani betonu (jez lze uvazovat pro napeti menM nez asi 0,5 pevnosti, vyjma pripadu vetsiho poklesu napetf) je mozno pouzitim principu superpozice a integracf per partes odvodit Volterrovu integralnf rovnici [1], [6], [9]:
J
Obr.l
t
e(t)
=
u(t) E(t) -
u(-r)
a [ E(r:) 1 a:r + O(t, -r)] d-r
(1)
t.
kde E(t)
je casove promenny modul pruZnosti betonu, t - staff betonu, O(t, -r) - funkee dotvarovani vyjadfujfci deformaei dotvarovani v case t, vzniklou plisobenfm konstantniho jednotkoveho napetf zavedeneho v case -r, tl) - okamzik zavedeni prvniho napetf.
3.1 NejjednoduMim a nejpouZivanejsim,pfitom vsak jen dosti hrube vjstiZnym vyjadfenim pro O(t, r:) je zakon Disehingera-Whitheyho [3], [8], [9]: O(t, -r)
=
cp(t) -
cp(-r)
(2)
Eo
kde cp(t) je soucinitel dotvarovani (rostouef spojita funkee jedne promenne s konecnou limitou cp(oo». Dosazenim (2) do (1) a derivovanim podle cp se odtud obdrZf difereneialnf rovniee
oe ocp
1 = E(t)
s pocatecnf podmfnkou
U
=
au ocp
U
+ Eo
Ee pro t
(3)
sahneme toho, ze Mz samoindukee i kapaoita jsou konstantnf. Pro tento zakon -dotvarovanf lze tedy pfibliZne vystacit s modely casove invariantnfmi. (Pri promennem E volbou f) = Edlp byohom Mz mohli dosahnout, aby samoindukoe resp. kapaeita byly konstantnf. Pro nehomogennf konstrukei to vsak nelze provest, nebot pro rlizne casti konstrukee by f) bylo rlizne.) 3.2 Pfesnejsim zakonem pro dotvarovanf betonu je funkee Arutjunjana-Maslova [1], [6], [9]:
f
O(t, r:)
+
d 2e
E dt 2
= dE°dt' cp/
Dosazenim
.
2
1 dE) du
Ey
dt de
s poMtecnimi podminkami:
=
U a E
de
du
de = de + yElpu pro t =
to,
plynouoimi z rovniee (1) a jeji prvni derivaee. Difereneialni rovniee tzv. Boltzmannova (neboli normalniho) modelu podle obr. 1b s casove promen1lfmi parametry E, Ey,'fJ se obdrZi z pfetvarnyeh rovnie prvkli modelu: .
~
Srovnanim se (3) je zfejme, ze dotvarovani betonu podle zakona (2) Ize znazornit Maxwellov;Ym modelem (obr. 1a), v nemz perova konstantapruziny je rovna E(t) a viskozita tlumice je 'fJ(t)
2
+ Eye =, ddtu + y ( 1 + Elp -
(6)
= to'
(3a)
(5)
el'(t-.-»
kde 1p(-r) je vhodne volit ve tvaru 11' = Ao At e-Y'" [9]. Po dosazeni rovniee (5) do (1) muzeme se ptesvildcit, ze v prvni i druM derivaei rovnice (1) podle t pak :£iguruje tentyz integral. Jeho eliminaei z teehto dvou rovnie je pak mozno ziskat difereneiaInf rovniei:
Ee
Rovniee pro pfetvareni tzv. Maxwellova modelu (obr. 1a) zni
= 1p(r:) (1 -
dt
U-
= E(~ dt
_ dey)
dt
duy _ E
dey
'(it-Ydt'
Uy = 'fJ dey eliminaei ev a Uv v tomto tvaru [9]:
dt
Mehto vfrazli do A' resp. B' obdrZime elektriekou analogii tohoto zakona dotvarovanf. V analogii A' je to obvod Aa podle obr. 2, pro nejz plati L(f) = df)(t)
dt
~ bE(t) ,
R(f)
=
dcp(t)
dt
a(t) bEo
(4a)
(6a)
11
s pJcatecnimi podminkami .Ee de
E-
dt
du
= -dt
+ -1']E
a
= .
aa pro t
+
= to'
Rovnice (6) a (6a) .s pocatecnfmi podrirlnkami jsou v v I I d1'](t) totozne, kdyz 1'](t} = ytp(t} , Ey(t) = tp(t) - ~ . Boltzmannuv model tedy zobrazuje zakon dotvarovani podIe rovnice (4). Dosazenim E, Ey a 1'] do A' resp. B' obdrzime jako model tohoto zakona dotvarovani v analogii A' resp. B' obvody Ab resp. Bb podle obr. 2, pro nez plati: L(D}
=
dD(t) Ly(fJ) =
~
dD(t} dt
R(D)
Y1J'(t}
= a~)
ytp2(t} dtp(t}fdt '
+
ytp(t),
(7a)
resp. O(fJ)
=
dfJ(t) ~ dt bE(t) ,
ytp2(t) dD(t) aCt} Oy(fJ} = ( i t -b- ytp(t) dtp(t)fdt
+
b
R(fJ)
e
4. Modely pro dotvarovan( staticky neurtitych konstrukci
bE(t} ,
aft)
Cit -b-
+
k nemu ze zakona dotvarovani: O(t, 1') = t(t) - t(1'} g(1'} [h(t} - h(1')]. Odpovido,jfcf diferencialnf rovnice je tez druMho radu, avsak na rozdil od (6) a (6a) obsahuje navic tez a. . 3.4 Uvedene elektricke analogie bychom jesw rych. Ieji mohIi odvodit, kdybychom vypocetIi (A ') napetovou resp. (B') proudovou odezvu v case fJ na jednotkovy skok (A') proudu resp. (B') napeti provedeny v case v obvodech Aa resp. Ba nebo Ab resp. Bb atd. podle obr. 2. Protoze casovy pruheh rychiosti teto napMove resp. proudove odezvy ma·tvar funkce (2) nebo (5) atd., zobrazuji tyto obvody dotvarovanf podIe zakona (2) nebo (5) aj.
(7b)
= .a(t}ytp(t}
Zvolfme-li parametr analogie aCt) = aoftp(t), dosahneme toho, ze odpor R je konstantnf. Pfiblizne Ize uvazovat E = konst. a potom pH volhe fJ(t} = DoE tp(t) dt je Mz L resp. 0 konstantnL (PH promennem E bychom tez mohli volbou fJ = fJ~ E1J'dt dosahnout, aby L resp. 0 bylo konstantni. Pro nehomogennf konstrukci to vsak neni mozne, nebot D by pro ruzne cssti konstrukce bylo rUzne.) Aby tez Lv a Oy bylo konstantni, nelze jiz u tohoto zakona dosahnout. 3.3 Boltzma.nnuv model (obr. Ib) a obvody Ab a Bb no, obr. 2 zobrazuji i obecnejsi zakon dotvarovani: OCt, 1'} = g(1') [h(t} - h(1')] [9]. Jesw rystiznejSfm je pro beton teologicky model Burgersuv podle qbr. Ic, ktery je modelovan obvody Ae a Be. Dosli bychom
4.1 Urceme napred elektricky obvod modelujici vztah zatfzenf Z(t} a jim vyvolane deformace ~x(t} ve smyslu dane sHy X na staticky urCit6 nehomogenni betonove konstrukci. Pro beton lze velmi dobre pH. jmout pfedpoklad, ze funkce dotvarovam betonu' v rliznych Mstech konstrukce jsou navzajem afinnf [9-11J, tj. ze funkoi dotvarovani ve veech castech konstrukce lze psat ve tvaru ~O(t, 't'}, kde OCt, 1') je zvolena zakIadnf funkce dotvarovani pro, celou konstrukci a ~ je koeficient afinity dotvarovani pffslusne casti (pro ocel napr. je ~ = 0, pro homogenni konstrukci je ~ = I). Deformace ~x(t, 1') vyvolana v case t konstantnim zatizenim Z('t') zavedenym v case 't' je dana principem virtuaInych 'Pracf ve tvaru:
~x(t, 1'} = S-au [ E~1') + ~O(t,. 1'} Jd V = y
f
f
=
S
-aa
E(1'} d V
V
U
L' T
Sa
R
Lvi
"(1J R
U R
1
C
Cv
1-
Obr.2
12
(8)
y
kde a znacf napeti od konstantniho zatizenf Z('t'} , jez je casove nemenne, -a - napetf od virtualneho zatfzeni X = 1 ve smyslu X, V objem konstrukce. Z posledniho olenu vy· razu (8) je na prvnf pohled zrejme, ze dlouhodoM slozka ~x(t, 1'} (zapredpokladu afinity dotvarovanf) je umerna funkci Oft, 't'}.
PLal
+ O(t,~} S-au~ d V
.
Proto elektricka analogie pro vztah ~x a Z(t} pH libovolne promennem zatizeni je dana opet obvody Aa resp. Ba nebo Ab resp. Bb atd. na obr. 2 pro prislusny zakon dotvarovanf. Jejich parametry se urCi obdobnym zpusobem podle rovnice (8) (zamenou funkc! E(t), rp(t} nebo tp(t} atd. v rovnici (4a, b) nebo (7a, b) za funkce odpovidajicf rovnici (8)}. 4.2 Pretvareni staticky neurciM nehomogenni kon. strukce je vazano podmfnko,mi kompatibility, vyZadujicimi nulovou vyslednou deformaci rovnovazneho zakladniho staticky urcit6ho systemu ve smyslu jednotlivych statickyneurcitych velicin Xdi = 1,2, .. . n} od vnejsiho zatizeni Z(t} a od zatfzenf jednotlivfmi staticky neurcitymi velicinami Xl' ... X'II' Protoze tyto deformace za predpokladu afinity dotvarovanf jsou podle odst. 4.1 opet vyjadreny za staMho napetf rovnicemi tvaru (8), platf pro vztahy de-
poole obr. 3 (jsou to tzv. N-poly), v analogii B' obecne rmll
vjm vzajemnjm propojenim obvodu (iZ) a (ik) (i, k = nice (8), anii bychom sestavovaIi system diferencial= 1, ... n), jake odpovfda podminkam rovnovahy nlch rovnic, prevadeIi jej na jednu rovnici prvnfho Mdu a hledaIi jeji analogii. (Poznamka: PH vykreslenf a kompatibility. Pro propojeni Mchto obvodu plati Kirchhoffovy za- obvodu v analogii se vyskytnou trojioe samoindukci kony bez ohledu na jejioh vnitfni usporadani (tj. zapojene do T, ktere lze ekvivalentne nahradit dvema uvazujeme-Ii obvod Aa nebo Ba atd.), stejne jako paraleInfmi samoindukcemi se vzajemnou samoinduk, v konstrukci plati podminky rovnovahy a kompati- cf, tj. transformatorem.) biIity bez ohledu na pretvarny zakon materialu. Staci 01 proto sestavit obvod modelujfci reseni staticky neurciA2 A~ 01 12 tyoh velicin pruzne konstrukce, slozeny pouze z prvku Ut 1t1) jedineho typu (tj. v analogii A' pouze ze samoindukci 02 resp. v analogii B' pouze z kapacit), a zamenou Mchto 2 1n prvkU za elementarnf obvody (iZ) a (ik) tvaru Aa 01 nebo Ab atd. dostaneme obvod modelujfof resenf sta"- , ticky neurcitych velicin dotvarujfcf se konstrukce. Pffpadne muzeme napred sestavit pouze z odporu obvod modelujfof reseni pruzne konstrukce v analogii G ~-~n resp. D a zamenou odporu za samoindukce resp. kapa~~~ On city dostaneme model pruzne konstrukce v analogii .A' resp. B'. Obr.3 Z definioe analogi! je primo videt, ze staticky neurcite veIiciny jakozto sHy jsou v analogii A' (stejne jako Pro ilustraci napisme system rovnic, na nez vede v G) modelovany proudem, resp. v analogii B' (nebo resenf obvodu pro speoialnf pripad pruzne konstrukce, D) napetfm, a dale ze podmfnky rovnovahy odpovfdaji kdy jednotlive prvky znamenaji (A) samoindukce, resp. v analogii A' prvnimu zakonu Kirchhoffovu (nulovy (B) kapaoity (kdezto vanalogiich G, D by to byly soucet proudu vtekajicfch do uzlu) resp. v analogii B' odpory). POilzitim druMho resp. prvniho zakona druMmu zakonu Kirchhoffovu (nulovy soucet napeti Kirohhoffova dostaneme (A) system algebraickych rovn podel uzavrene smycky). &senfm obvodu podle smycdlk dI k kovjch proudu v analogii A' resp, podle napeti uzlo- nio: U· = L'k -t- pro -dt- ' kde Li ,' = , ' d vych paru v analogii B' jsou tyto podminky predem k=l spIneny [7], Podmfnky kompatibility konstrukce ve n statioky neurcitych vazbach pak odpovfdajf v analogii L ir (obr,3, obvody Aa, Ab, Ac),resp. (B) A' (nebo G) druMmu zakonu Kirchhoffovu, vanalogii B' (nebo D) prvnfmu zakonu Kirchhoffovu. r=O( r0;6') n Problem struktury obvodu jsme tedy redukovali dUk dUk G'k - - p r o - - kde na nalezenf obvodu modelujfofho resenf systemu n system rovnic L• = 'dt dt' lineranfch algebraiokych rovnio-se symetrickou matici. k=l n Vanalogii A' (nebo G) musl obvod obsahovat n smycek o n prvofch, z nichZ kaMe dye smycky obecne musi Gii = Gir (obr. 3, obvod B). Zaroven z Mchto mft spolecny prvek, v analogii B' (nebo D) musf =0 obsahovat n uzlovych paru, pficemz kazde dva uzlove (r0;6o) . pary musl bjt obeone propojeny jednfm prvkem. rovnio muzeme zjistit, ze pfi jiste volbe smyslu smycPfitom kaMa smycka musi obsahovat jeden zdroj kovych proudu resp. napetf uzlovych paru jsou vsechnapetf, modelujfof deformaci zakladnfho systemu ve ny nediagonalni koeficienty matice systemu zaporne. smyslu Xi od vnejsiho zatizenf (tj. od proudu ve Lze proto pouzft primo Mchto obvodu pouze k reseni smycoe, jsou-Ii ostatnf smycky bez proudu - na- Moh konstrukcf, u nichZ lze zavest statioky neurciprazdno). Stejne v analogii B' v kazdem uzlovem paru te veliciny tak, aby vsechny nediagonalni koeficienty tento zatezovacf clen je modelovan zdrojem proudu matice pruznosti byly zaporne, coz je moine u vetBiny (8. zatizenf odpovfda napetf, jsou-Ii ostatnf uzlove praktickych konstrukci. Pro ostatnf pripady bylo nutno pary bez napetf, ve zkratu). Deformaoi zakladniho zavest elektricke prvky, jez by se pH libovolnem prusystemu od zatizenf X, = 1 ve smyslu X k odpovida behu napeti jevily jako zaporne samoindukce, zaporv analogii A' napeti na svorkaoh smycky i, zpusobene utI kapacity nebo zaporne odpory. jednotkovfm zdrojem proudu ve smycce k, jsou-Ii Elektricky lze modelovat snadno i ruzne nelinearnf vseohny ostatnf smycky bez zdroje (naprazdno), !lr efekty v dotvarovanf betonu. Tak napriklad nevratne obdobne v analogii B' proud v uzlovem paru i bez dIouhodo be deformace lze v mechanickem modelu napetf (ve zkratu), zpusobeny jednotkovjm zdrojem znazornit pomocf zapad¥y (obr. 2d) [9]. V odpovfdanapeti v uzlovem paru k, jsou-Ii vsechny ostatnf jicim elektrickem modelu Ad, Bd na obr. 2 zapadce uzlove pary bez napeti (ve zkratu)'. odpovida dioda. Pomod nelinearnich samoindukcf, V analogii A' tak dostavame jako model 2krat, 3krat kapacit a odporo lze znazornit nelinearitu dotvaroa 4krat staticky neurl5i(~ konstrukce obvody Aa, Ab, Ac vani v zavislosti na napetf pH vysokem napeti.
~
",
2:
l
2:
2:
13
Tymiz modely je mozno zobrazit i dotvarovani konstrukcf z plastickych hmotpfi promenne teplote, nebot v tomto pJ'ipade parametry materiaiu jsou casove promenne. Ve specie,Jnlni. pl'ipade casove ne· mennych parametril tyto modely zobrazuji chovan! konstrukci z plastickych hmot pfi stale teplote.
to.
[6] Prokopovi~ J. E.: Vlijanije.-::dliteln:rch processo1i\
na naprJazennOJ6 1 deforIUll"oVannOJ6 sostojanil1\ sooruzenij, Gosstrojizdat 1963. [6a] Tetelbaum I. I.: Elektriceskoje modelirovanije. Moskva., Fizmatgiz 1959. [7] Trnka Z.: Teoreticka. elektrotechnika, 1. Praha.
SNTL 1956.
'
[8] Ulickij I. 1. a kol.: Rascet zelezobetonnych kon. strukcij s u~etom dliMlnych processov. Kijev Gosstrojizda.t 1960. I [9] Bazant Z. P.: Dotv8J'ovani betonu -pfi vypoctu
konstrukci. Praha, SNTL 1966.
Literatura [1] Arutjunjan N. Oh.: Nekotoryje voprosy teorH polzu~esti. Moskva, Techteorizdat 1952. [2] Bela. P. M.: Osnovy vycislitelnoj techniky, kap. l. Moskva, Nedra 1964. [3] Di8chinger P.: Elastische und plastische Verformungen der Eisenbetontragwerke Wld insbesondere Bogenbrucken. Bauingenieur 19.39, 53-63, 286 az 294, 426-37, 563-72. [4] Eirich F. R. a kol.: Rheology. Theory and a.pplioations, Vol. I, New York, Acoad. Press 1956. [5] Holzmiiller W., Altenburg K. a kol.: Physik der Kunststoffe. Berlin, Akademie Verlag 1961.
14
[10J Bazant Z. P.: Teorie dotvarovani a smrs£ovani betonu v nehomogennich konstrukcich a prtlle. zech. Stavebnicky casopis Slov. akad. ved, c. 9
1962, 552--76.
'
[11] Bazant Z. P.: Die Berechnung des Kriechens Und Schwindens nicht homog€lner Betonkonstruktio. nen, 5. Kongres "Int. Assoc. Bridge Struct. Engng". Prelim. Publ.. V, 887-98, Rio de Janeire 1964. [12) Bazant Z. P.: Electric analogues for oreep of concrete structures. Sboruik .. Oonference On· Experimental Methods of Investigating Stress and Strain in Structures", str. 207-218. Praha. Sta_ vebni ustav CVUT, 5.-8. X. 1965.
