Hamiltonova analogie optika (geometrická) paprsky
trajektorie
Fermatův princip
δ ∫ nds = 0
n=
c u
klasická mechanika
δ∫
n ...index lomu
Mapertuis (-Jacobi) princip
δ ∫ vds = 0
ds =0 u
Eikonalová rovnice
1 2 E = U + mv 2 v=
2(E − U) m
Hamilton-Jacobiho rovnice
přímočaré šíření, zákon odrazu, zákon lomu
2) klasická mechanika
zákon lomu
1) optika
ϕ1
p1 ϕ1
n1 < n2 n2 ϕ2
λ1 λ = 2 sinϕ1 sinϕ2 λ1 u1 n 2 = = λ 2 u 2 n1
p2
ϕ2
p1|| = p2|| n1sinϕ1 = n 2sinϕ2
p1sinϕ1 = p 2sinϕ2
λ1sinϕ2 = λ 2sinϕ1 2π λ= k
E1 = E 2 ≡ E
k1sinϕ1 = k 2sinϕ2
p1,2 = 2m(E − U1,2 ) n1,2 =
2m(E − U1,2 ) 2mE
p = hk
1924 ... idea 1929 ... Nobelova cena
Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987)
záření
částice
světlo ... vlnové chování (ohyb, interference, ...) (Huyghens) ... částicové chování (fotoefekt, ... ) (Newton, .... Planck)
E = hν ≡ hω
h ≅ 6.62 10-34 Js
částice ... elektrony, ...
Einstein: N.c. 1921 “for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect”
(volná částice)
ω u= k r u=E E(p) p
vlnění
r r ω k ω(k)
částice
E
r p
dω ug = dk
c2 v= u p v= m
de Broglie: E = hν ≡ hω
r r p = hk
pro všechny částice
u=
ω hω E = = k hk p
hmotné částice:
pro fotony:
jako částice:
ω = ck ω u= =c k dω =c ug = dk
E = mc2 p v= m p 2 c2 = c = E u
E, p, v → ω, k, u, u g
r ω(k)
hmotné částice:
E = hω r r p = hk p = mv
E, p, v → ω, k, u, u g
1
m = m0
v2
1− 2 c 2
m −m
2
E = mc2 E u= p
v2
2 = m 0 c2
2
p2
m = m0 + 2 c E=c
2
2
p
1 ' 21 E =c 2
2
m0 + 2 c
dω ug = dk
ug = v
dE = dp
E mc2 c 2 = u= = p mv v
c
2
2p
p = 2 m p
m02 + 2 c
v
c
r ... chci disperzní zákon (pro částici) ω(k)
p2
E = c2 m02 + 2 c
ω
E = hω
r 2 r E(p ) m 0c ⎞ ⎛ 2 = ω(k ) = c ⎜ ⎟ +k h ⎝ h ⎠
c⋅k m0c 2 h
k E = m 0c 2 + E k EKineticka ... rozdíl celkové a klidové en. volné částice např.
Ek = q ∗ φ
ϕ ... potenciál, kterým prošla částice
vyjádříme v a p pomocí EK
E=c E
2
2
p2
m0 + 2 c
v=
2
2 2 2 − m c = p 0 2 c
(
2
E − m 0c p= c2 p=
E = m 0c 2 + E k
Ek
2
)
2 2
+ 2m 0E k 2 c
p m
v=c
v=c
E 2 − ( m 0c 2 ) 2 E2
E k (E k + 2m 0c 2 ) ( E k + m 0c 2 ) 2
2 limity ultrarelativistická Ek >> m0c2
p= v=c
Ek 2
nerelativistická Ek << m0c2
+ 2m 0E k 2 c
E p= k c
p = 2m 0 E k
E k (E k + 2m 0c 2 )
v=c
v=
( E k + m 0c 2 ) 2
vlnová délka
2π 2πh h λ= = = k p p
hc λ= Ek λ=
hc 1 e E k (eV)
2E k m0
h λ= 2m 0 E k λ=
h 2m 0 e
1 E k (eV)
UR:
NR:
číselně UR: E = 1eV ↔ 1.24 μm
NR:
λ= λ=
hc Ek h 2m 0 E k
částice
m0
h 2m 0 e
e
me
1.22 10-9 λ(nm) =
~4u α = He++ C60 ~720u
1.5 E k (eV)
2.9 10−11
1 A
… cesta k objevu elektronu
katoda
anoda
~1838 Faraday aj. … výboje v plynech
1855: Geissler - účinnější čerpání trubici důkladně odčerpali zmizelo světélkování, ale na druhé straně trubice záblesky katoda emituje nějaké paprsky - katodové paprsky
Co to je - nějaké hmotné částice? (Crookes, J.J. Thomson, ... ) - vlny v neviditelné hmotě, tzv. éteru, něco jako světlo? (Goldstein, Hertz, and Lenard)
… mnohé experimenty
Perrin - katodové paprsky nabité - záporný náboj
měřil proud
ovlivňuji magn. polem! magnet
… další experimenty → pokud to jsou částice, jsou velmi malé (Lenard, Wiechert) katodové paprsky:
šíří se přímo přenášejí záporný náboj přenášejí energii (trubice se zahřívala) šíří se vakuem, čím vyšší, tím lepší jsou ovlivněny elektromagn. polem přenos hmoty malinký - malé částice?
Philipp Eduard Anton von Lenard (1862-1947) (N.c. 1905)
~ 1897 el. pole Joseph John Thomson (1856-1940)
znal vliv elmagn. pole:
r r r r F = q (E + v × B) Coulombova síla
r r F = ma
Lorentzova síla
r q r r r a = (E + v × B) m r trajektorie pohybu r (t)
neurčím q, ale jen q/m
magn. pole
el. pole
z
L
x
0 ΔZ
v l napětí → urychlení 1) E = B = 0
nula na stínítku
E = v⋅B
2) E a B vyrovnám, aby byla nulová výchylka: 3) B = 0 E≠0
v x = v = konst.
x
t=0
z
pohyb rovnoměrně zrychlený: t = t1
q ⎛l⎞ E⎜ ⎟ m ⎝ v⎠ q l L na L: ΔZ 2 = v z t = E m vv na l: ΔZ1 = 1 at 2 = 2
1 2
x=0 2
v
a=
q q q l E → v(t1 ) = Et1 = E 1 m m m v
2 l L ⎞⎟ q ⎛⎜ 1 ⎛ l ⎞ ΔZ = E ⎜ ⎟ + m ⎜⎝ 2 ⎝ v ⎠ v v ⎟⎠
Z1 = 12 at12
výsledky a závěry q 1) jediná hodnota ve všech pokusech m q = −1.76 ∗1011 Ckg −1 … téměř jako dnes (-1.758 1011Ckg-1) m 2) hypotéza: je to jediná částice, má náboj q = q0 = e (z elektrolýzy) e = 9.1 ∗10 −31 kg em objevena první elementární částice, později nazvaná elektron me =
J.J. Thomson in Cavendish, Cambridge University
1906: Nobelova cena pro J.J. Thomsona
další pokus jak určit q/m
Helmholtzovy cívky
elektrony v magn. poli …
r r r F = q v×B
v2 pohyb po kruhové dráze … m = qvB r získají rychlost v díky napětí U
F = qvB v=
qBr m
1 qU = mv 2 2 2 2 2⎞ ⎛ q B r ⎟ qU = 12 m⎜ ⎜ m2 ⎟ ⎠ ⎝ q 2 U = 2 2 m r B
q 2 U1 − U 2 = 2 2 m r B1 − B2 2
q = 1.79 ∗1011 Ckg −1 m
zrychlení:
1 qU = mv 2 2 2q v= U m
pro elektron:
2e v= U = 0.59 ∗106 U me
1V … v = 0.6*106 ms-1 !!
elektronvolt 1eV = energie jednoho elektronu, který prošel spádem napětí 1V
1eV = 1.6 ∗10 −19 J
(vedlejší jednotka SI)
… nešlo by přesněji náboj elektronu?
něco malého, aby elem. náboj byl pozorovatelný něco velkého, abychom to mohli pozorovat
experimenty 1909-1913 1923 … Nobelova cena Robert Andrews Millikan (1868-1953)
1913
olejová kapička:
Stokesova síla (odpor prostředí) vztlaková síla gravitační síla 4π (ρ − ρ vzduch ) r 3g = 6πη r v 3
zapnu el. pole a ionizuji prostředí
4π (ρ − ρ v ) r 3g = 6πη r v Q + EQ 3
ustaví se rychlost padání kapičky vg poloměr kapičky r Q Q = n q0 = n e
náboj ionizované kapičky
( Millikan … e ≅ 1.6 10-19 C )
difrakce elektronů – zobrazení reciprokého prostoru
E(eV)
λ (nm)
difrakční režim
1.5
1
-
150
0.1
LEED (Low Energy Electron Diffraction)
15 000
0.01
HEED (High Energy Electron Diffraction) igh Energy Electron Diffraction) HEED (H
λ(nm) =
1.5 E k (eV)
HEED N.c. 1937
(~1925: HEED na průchod)
George Paget Thomson Clinton Joseph Davisson (1892-1975) (1881-1958)
E ~ 40 keV → λ << d → θ malé
celluloid Al Al rtg
Au
RHEED
(Reflected ... )
polykrystal (Pt) θ ∼ 88° → d/L ~ 0.017 L = 10 nm ... d < 0.2 nm
možno sledovat růst struktur vrstvu po vrstvě! MBE
krystal (Ag)
MBE
Al
Molecular Beam Epitaxy
Ga
As
GaAs
AlAs
LEED (Low Energy Electron Diffraction) 1925 ... Davisson, Germer (Bell lab.)
Ni terčík
LEED dnes
... ~ 20 - 500 eV
~ 1960 ... technologie UHV (ultra high vacuum) → velký rozvoj LEED poměrně jednoduché, velká přesnost určení polohy atomů na povrchu
LEED – povrch – 2D difrakční podmínky
krystal SiC
Si ... struktura fcc
Si(111)
pohled na rovinu (111)
molekula ... také vlnové vlastnosti těžkosti:
h λ= 2m 0 E k
velká hmotnost → malá λ je to složitý systém
e
p
p
e
H2 M↔λ
d
... podivné; objekty z "našeho" světa, zde je vlna zvláštní, těžko představitelná obtížné pozorování
Otto Stern - technika molekulových svazků pozoroval difrakci molekul a atomů - Stern-Gerlachův pokus
Otto Stern (1888-1969)
N.c. 1943
pec
rychlost... Maxwell-Boltzmann
vakuum
3 1 E k = k BT = M v 2 2 2 3 1 2 2 h2 k BTM = M v = 2 21 424 3 2 λT 2
h p = hk = λ
p2
M = A.u v 2 = 158 v (ms-1)
T A
λ = 2.5 ∗10−9
T (K)
α - částice: A=4, T=900
λ = 4.2 ∗10−11 m
1 AT
difrakce He
H2
difrakce atomů He (Ne) jedna z metod studia povrchů, je nedestruktivní
štěrbina vlnové vlastnosti → difrakce
částice stín
svazek stín
detekce
Δx
θ
y θ
p⊥
p
L 2
I = Ampl. ≈ minima ...
sin 2β β2
πΔxsinθ β= λ
Δxsinθ = mλ
malé úhly: sinθ = y/L
částice získá p⊥ ... neurčitost v kolmém směru
p⊥ λ = sinθ = p Δx p ⊥Δx = pλ = hk
2π =h k
dvouštěrbina dráhový rozdíl = d*sinθ podm. maxima d sinθ = m λ
(
)
minima d sinθ = m + 1 2 λ
mřížka (N štěrbin)
πNdsinθ λ A(θ ) ≈ πdsinθ sin λ sin
I= A
difrakční maxima: N ↔ ostrost maxim
2
A co molekuly ?? Anton Zeilinger: difrakce molekul C60 (A = 720) na mřížce (Nature 1999)
d sinθ = m λ
v ~ 210 ms-1 ↔ λ ~ 3 pm
difr. mřížka ... 50nm široké štěrbiny 100nm vzdálené
difrakce na stojaté vlně (1983 ... první exp.)
periodická světelná vlna → periodický potenciál → difrakce absorpce a emise fotonu → přenos hybnosti → difrakce
Na: rozměr ~ 4Å - snadno se vypařuje po atomech - isotopicky čistý
2dsinθ = nλ atomu 0 ≅ 3 ∗10−5 rad ⇒ λ at. ≈ 2.10−11 m
( << 40*10-11 m = datomu )
dosud ... vlnový pohled (optická analogie) nyní
elektronové biprisma
W
nehomogenní elektrické pole .... index lomu Z1 d/2
d/2
l2
l1
r ≈ 2m e (E − eφ( r ))
l12 = L2 + (d 2 − y )2
Z2 L
l2 2 = L2 + (d 2 + y )2 (l1 − l2 ) (1 l1 + l2 ) = 2dy 23 malé úhly= 2L
y
d (l1 − l2 ) = nλ = y L
experiment HITACHI
http://www.hqrd.hitachi.co.jp/em/doubleslit.cfm
elektrony dopadají jako body stochastický proces - statistika teček tečky složí interfernční obraz každý elektron vnímá obě cesty elektron interferuje sám se sebou
Smysl vlnové funkce
r 2
intenzita ≈ ψ( r )
Schrödinger ... klasická částice ve vlnové funkci rozmazaná - obláček M. Born: statistická interpretace
r ψ( r ) … hustota pravděpodobnosti
r 2 ψ( r ) dV
∫ dV ψ(r )
2
pravděpodobnost na objem dV =1
normalizace, částice existuje
čeho je to pravděpodobnost
Max Born (1882-1970) 1954- Nob.cena
r ( ψ r) 2 pohledy na
Kanonická interpretace Einstein:
r 2 ψ( r ) udává pravděpodobnost výskytu částice někde jsou jsou tam samy o sobě dá se třeba zjistit více než r 2 ψ( r ) ⇒ QM je dobře, ale něco chybí, je neúplná
Bohr, Kodaňská škola: r 2 ψ( r ) je pravděpodobnost nalezení (částice, která tam předtím nebyla) bez detekce částice nejsou nikde s absolutní určitostí detekce v kontextu s daným přístrojem neurčitost, základní omezení ⇒ QM je úplná
(poznání je oslabeno, nám nepřirozené, divné)
J.S. Bell: „QM je FAPP“ (For All Practical Purposes) .... ale něco chybí ... dlouho spor (filozofický)
Kanonická interpretace zvítězila
J.S. Bell ... odvodil Bellovy nerovnosti - experimentální rozhodnutí ve prospěch kanonické interpretace
which way
Zdroj
interference (částice prošla horem i dolem)
lze pozorovat interferenci a zároveň vědět kudy částice prošla?
Einstein vs Bohr
kvantově
klasicky:
ψ = ψH + ψD
WH
2
2
W = ψ H + ψ D + 2 Re ψ H ψ*D
W = WH + WD WD
nelokální člen x lokální pohled na částice podle Einsteina
p ⊥d ~ h y
d p
lokalizace částice u jedné štěrbiny - posvítím
p⊥
Δx < d
lokalizace
zruším interferenci
λ svetla =
h psvetla
obecnější pohled ...
měření experiment
Zdroj
klasické měření (poloha, ...) (tzv. redukce kvantového stavu)
volné šíření vytvořím poč. stav
kvantová interakce
superpozice výsledků koherence se zruší
kvantová koherence platí Schrödingerova rovnice
ψ& =
1 Hψ ih
(každý which way zruší koherenci) měřím - zjišťuji minulost, vytvořím jakoby nový počáteční stav, naruším kauzální vývoj
(platí kvantová kauzalita pro ψ) objektivní nebezpečí pro kvantovou koherenci - rušivé vlivy (teplo,...)
dekoherence
příklad: Fulleren - vibrace
