Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida Endang Rusyaman1), Hendra Gunawan2), Asep Kuswandi Supriatna1), dan Rustam Effendy Siregar3) 1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unpad, 2) Kelompk Keahlian Analisis dan Geometri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB, 3) Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unpad e-mail:
[email protected],
[email protected] Diterima 3 Desember 2009, disetujui untuk dipublikasikan 11 Januari 2010 Abstrak Dalam makalah ini akan dibahas syarat cukup bagi eksistensi interpolan deret ganda sinusoida, yaitu fungsi berbentuk deret sinus Fourier ganda yang melalui beberapa buah titik (xi, yj, cij), dengan 0 < xi < 1, dan 0 < yj < 1. Pembuktian akan dilakukan melalui dekomposisi matriks yang memuat dua buah variabel menjadi perkalian dari dua buah matriks yang masing-masing memuat satu variabel, serta menunjukkan bahwa kedua matriks tersebut adalah nonsingular. Kata Kunci: Interpolan, Deret sinus Fourier ganda, Dekomposisi Abstract This paper presents a sufficient condition for the existence of a sinusoidal double series interpolant, that is the function of the form a double Fourier sine series that passes some arbitrary points (xi, yj, cij), with 0 < xi < 1, dan 0 < yj < 1. The proof is carried out by decomposing the matrix that contains two variables into the multiplication of two matrices each of which contains one variable only, and showing that both matrices are nonsingular. Keywords: Interpolant, Double Fourier sine series, Decomposition Dalam makalah ini akan dibahas bagaimana menjamin eksistensi suatu fungsi interpolan sinusoida berbentuk deret sinus ganda
1. Pendahuluan Dalam masalah satu dimensi, misalnya pada (Gunawan dkk, 2007) dan (Mastroianni dan Milovanovic, 2008), untuk mengetahui eksistensi fungsi berbentuk deret sinus u ( x ) :=
M
u ( x, y ) :
m =1 n =1
N
∑ a m sin mπx
yang melalui K buah titik ((xi , yi), ci), dengan (xi , yi) di (0,1) × (0,1) dan ci bilangan real tertentu. Untuk memecahkan masalah ini, penulis akan membaginya dalam dua tahap. Pada tahap-1 akan dibahas eksistensi fungsi berbentuk deret sinus ganda u(x,y) yang melalui M.N buah titik homogen (xi , yj , cij) dengan 0 < x1 < . . . < xM < 1 dan 0 < y1 < . . . < yN < 1. Selanjutnya pada tahap-2 akan dibahas eksistensi deret sinus ganda u(x,y) yang melalui K buah titik sebarang (data tak-homogen). Pembaca diasumsikan akrab dengan aljabar linear elementer dan deret Fourier. Lihat misalnya (Bretscher, 1997), (Folland, 1992), dan (Tolstov, 1976).
m =1
yang melalui N buah titik (xi ,ci) dengan 0 < xi < 1, akan diperoleh sebuah sistem persamaan linear dengan N buah persamaan dan N buah variabel, yaitu: N
∑a m =1
m
sin mπxi = ci , i = 1, 2, . . . , N.
Dari sejumlah literatur [lihat antara lain (Mastroianni dan Milovanovic, 2008)], diketahui bahwa sin πx1 sin πx2 sin πx3 M sin πxN
sin 2πx1 sin 2πx2 sin 2πx3 M sin 2πxN
sin 3πx1 sin 3πx2 sin 3πx3 M sin 3πxN
... ... ... O ...
sin Nπx1 sin Nπx2 sin Nπx3 M sin NπxN
N
∑∑ amn sin mπx sin nπy,
2. Eksistensi Fungsi u(x,y) yang Melalui M.N Buah Titik Untuk M
≠0.
u ( x, y ) :
Dengan demikian sistem persamaan linear di atas selalu mempunyai solusi, dan ini berarti bahwa interpolan sinusoida di atas dijamin eksistensinya.
mengetahui
eksistensi
fungsi
N
∑∑ amn sin mπx sin nπy,
yang melalui
m =1 n =1
M.N buah titik (xi, yj, cij) di mana 0 < x1 < . . . < xM < 1 dan 0 < y1 < . . . < yN < 1, terlebih dahulu (xi, yj, cij) tersebut disubstitusikan pada fungsi u(x,y) di atas sehingga diperoleh sistem persamaan linear
9
10
Rusyaman, dkk., Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida dengan M.N buah persamaan dan variabel, yaitu u(xi,yj) =
M
N
∑∑a m =1 n =1
N
M
∑∑ a n =1 m =1
⎡ sinπx1 sinπy1 ⎢ M ⎢ ⎢ sinπxM .sinπy1 ⎢ ⎢ sinπx1.sinπy2 ⎢ M ⎢ sin π x ⎢ M .sinπy2 ⎢ M ⎢ ⎢ ⎢ sinπx .sinπy 1 N ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣sinπxM .sinπyN
mn
mn
buah
M.N
Dalam bentuk persamaan matriks, sistem di atas dapat dituliskan sebagai:
sin mπx i . sin nπy j =
sin mπxi . sin nπy j = cij .
... sinMπx1.sinπy1 O M ... sinMπxM .sinπy1 ... sinMπx1.sinπy2
sinπx1.sin2πy1 M sinπxM sin2πy1 sinπx1 sin2πy2
... sinMπx1.sin2πy1 L sinπx1.sinNπy1 O M M ... sinMπxM .sin2πy1 K sinπxM .sinNπy1 ... sinMπx1.sin2πy2 L sinπx1.sinNπy2
O M M O M M ... sinMπxM .sinπy2 sinπxM sin2πy2 ... sinMπxM .sin2πy2 L sinπxM .sinNπy2 M M M O M ... sinMπx1.sinπyN sinπx1 sin2πyN ... sinMπx1.sin2πyN L sinπxM .sinNπyN O M M O M M ... sinMπxM .sinπyN sinπxM sin2πyN ... sinMπxM .sin2πy2 L sinπxM .sinNπyN
yang secara sederhana dinyatakan sebagai A.(amn) = (cmn), dengan A matriks di atas yang berorde (M.N)×(M.N), serta (amn) dan (cmn) matriks berorde (M.N)×1. Untuk menjamin eksistensi fungsi u(x,y) yang melalui titik-titik tadi, persamaan linear di atas harus mempunyai solusi, dan hal ini dicapai apabila nilai determinan dari matriks A tidak sama
... sinMπx1.sinNπy1 ⎤ ⎥ O M ⎥ ... sinMπxM .sinNπy1 ⎥ ⎥ ... sinMπx1.sinNπy2 ⎥ ⎥ O M ⎥ ... sinMπxM .sinNπy2 ⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ ... sinMπxM .sinNπyN ⎥ ⎥ ⎥ O M ⎥ ... sinMπxM .sinNπyN ⎦
⎡ a11 ⎤ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ aM 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ a12 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ aM 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢a ⎥ 1 N ⎥ ⎢ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣aMN ⎦
=
⎡ c11 ⎤ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ cM 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ c12 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ cM 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢c ⎥ 1 N ⎥ ⎢ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣cMN ⎦
dengan nol. Dengan demikian syarat cukup bagi eksistensi fungsi u(x,y) adalah Det A ≠ 0. Untuk menunjukkan hal tersebut, terlebih dahulu matriks A didekomposisi menjadi: A (M.N)× (M.N) = Ax (M.N) × (M.N) . Ay (M.N) × (M.N) (1) dengan
Ax (M.N) × (M.N) = ⎡ sinπx1 sin 2πx1 sin3πx1 ⎢ sinπx sin 2πx sin3πx 2 2 2 ⎢ ⎢ sinπx3 sin 2πx3 sin3πx3 ⎢ M M ⎢ M ⎢sinπxM sin 2πxM sin3πxM ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ M M M ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ M M ⎢ M ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 ⎢ M M ⎢ M ⎢ 0 0 0 ⎣
dan Ay (M.N) × (M.N) =
L sin Mπx1 L sin Mπx2 L sin Mπx3 O M
L sin MπxM L 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
L L
0 0
0 0
0 0
0 0
0 M
0 M
0 M
0 O
0 M
L L
0 M
0 M
0 M
0 O
0 sinπx1
0 sin 2πx1
0 0
0 0
0 0
sin 2πx2 sin 2πx3
L 0 0 0 sin3πx1 L sin Mπx1 L
L L
L L
0 0
sinπx2 sinπx3
sin3πx2 L sin Mπx2 L sin3πx3 L sin Mπx3 L
0 0
0 0
0 0
L L
O L
M 0
M M M O M L sinπxM sin 2πxM sin3πxM L sin MπxM L
M 0
M 0
M 0
L
M L L
M 0 0
M 0 0
M 0 0
M 0 0
M L L
M 0 0
L O
0 M
0 M
0 M
0 M
L O
0 M
L
0
0
0
0
L
0
O M L sinπx1 L sinπx2
L sinπx3 L M
M sin 2πx1 sin 2πx2 sin 2πx3 M
M M sin3πx1 L sin3πx2 L sin3πx3 L M O
L sinπxM sin 2πxM sin3πxM L
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ M ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ M ⎥ 0 ⎥ ⎥ M ⎥ sin Mπx1 ⎥ ⎥ sin Mπx2 ⎥ sin Mπx3 ⎥ ⎥ O ⎥ sin MπxM ⎥⎦ 0 0
11 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, APRIL 2010, VOL. 15 NOMOR 1 0 0 ⎡ sinπy1 ⎢ 0 sinπy1 0 ⎢ ⎢ 0 0 sinπy1 ⎢ M M ⎢ M ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 0 ⎢sinπy2 ⎢ 0 sinπy2 0 ⎢ 0 sinπy2 ⎢ 0 ⎢ M M M ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢ M M ⎢ M ⎢sinπyN 0 0 ⎢ sinπyN 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 sinπyN ⎢ M M ⎢ M ⎢ 0 0 0 ⎣
L L
0 0
sin2πy1 0
0 sin2πy1
0 0
L
0
0
0
sin2πy1
M 0
M 0
M 0 0 0
L L
O M L sinπy1 L L
0 0
sin2πy2 0
0 sin2πy2
L
0
0
0
M 0
M 0
M
M
O M L sinπy2 M
M
L L
0 0
L O
0 M
L sinπyN
0 M
0
0
0 0
L sin Nπy1 L 0
0
0
L
O M L 0 sin2πy1 L
sin2πy2 L
Det
A
(M.N)
×
=
sin πx1
sin 2πx1
sin 3πx1
...
sin Mπx1
sin πx2 sin πx3
sin 2πx2 sin 2πx3
sin 3πx2 sin 3πx3
... ...
sin Mπx2 sin Mπx3
M
M sin 2πxM
M sin 3πxM
O M ... sin MπxM
sin πxM
N
.
0
sin Nπy1
0
M 0
M 0
M 0
O L
0 sin Nπy2
0 0
L L
L sin Nπy2 L 0
0
0
M 0
M 0
M
O
M
M
M
0 0
L L
0 0
L sinNπyN 0 L 0 sinNπyN
0 M
L L
O
L sin2πyN L
0 M
0 M
0
0
0 0
sin Nπy2 L
0
0
(M.N)
0
0 0
M 0
O L
M
O
0 0
L L
sin NπyN L M O 0
L
Lema-2: Det Ay (M.N) × (M.N) = sin πy1 sin πy2
sin 2πy1 sin 2πy2
sin 3πy1 sin 3πy2
... ...
sin Nπy1 sin Nπy2
sin πy3
sin 2πy3
sin 3πy3
...
sin Nπy3
M
O
M
M
sin πy N
M
sin 2πy N
sin 3πy N
M
... sin Nπy N
Bukti:
Bukti: Terlihat bahwa Ax adalah matriks berorde (M.N)×(M.N) yang terdiri dari N buah matriks partisi yang masing-masing berorde (M×M) dan membentuk matriks diagonal pada Ax. Melalui operasi baris elementer pada setiap kelompok matriks partisi tersebut, pada iterasi pertama, nilai dari kolom-1 mulai baris-2 (B2) sampai dengan baris-M (BM) dibuat sama dengan nol. Untuk itu dilakukan cara sebagai berikut:
Langkah pertama, akan dihitung nilai dari sin πy1 sin 2πy1 sin 3πy1 ... sin Nπy1 sin πy2
sin 2πy2
sin 3πy2
sin πy3
sin 2πy3
M
M
sin πy N
sin 2πy N
...
sin Nπy2
sin 3πy3
...
sin Nπy3
M
O
M
sin 3πy N
... sin Nπy N
B2 = B 2 -
sin πy 2 B ; 1 sin πy1
sin πx3 B3 = B 3 B1 ; …; sin πx1
B3 = B 3 -
sin πy3 B1 ; . . . ; sin πy1
sin πx M B1 . sin πx1
Selanjutnya dengan pola yang sama, iterasi diteruskan sampai iterasi ke-(N-1) pada setiap kelompok partisi. Hasilnya, matriks Ax akan berubah menjadi matriks segi tiga atas dengan nilai determinan sama dengan perkalian unsur-unsur diagonalnya. Karena matriks partisinya sama sebanyak N buah, maka nilai determinan tersebut sama dengan perkalian dari determinan matriks
. (2)
Melalui operasi baris elementer, pada iterasi-1:
sin πx 2 B2 = B 2 B1 ; sin πx1
BM = BM -
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ M ⎥ sin Nπy1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ M ⎥ ⎥ sin Nπy2 ⎥ ⎥ M ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ O ⎥ sin NπyN ⎥⎦ 0 0
partisi masing-masing sebanyak N. Jadi Lema-1 di atas terbukti. ■
Lema-1: x
0 0
L
sin2πyN L M O
Untuk membuktikan bahwa determinan kedua matriks di atas tidak nol, terlebih dahulu akan dibahas dua buah lema berikut.
0 sin Nπy1
O M L L sin2πy2 L
M 0
sin2πyN 0 0 sin2πyN 0 M
0 0
BN = BN -
sin πy N B1 . sin πy1
Diperoleh bahwa nilai dari determinan pada (2) adalah
12
Rusyaman, dkk., Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida
sinπy1 sin2πy1 sin3πy1 sin4πy1 (1) (1) (1) 0 A22 A23 A24 (1) (1) (1) 0 A32 A33 A34 (1) (1) (1) 0 A42 A43 A44 M 0
M AN(1)2
M AN(1)3
M AN(1)4
... sinNπy1 ... A2(1N) ... A3(1N) ... A4(1N) O ...
Aij( 2) = Aij(1) −
(3)
M (1) ANN
sin πy2 . sin 2πy1 ; sin πy1
sin πy3 . sin 2πy1 ; dst . . . , sin πy1 yang secara umum: sin πyi Aij(1) = sin jπyi − . sin jπy1 . sin πy1 (1) A32 = sin 2πy3 −
BN = BN −
0 0
(1) A22 0
(1) A23 (2) A33
(1) A24 (2) A34
... ...
A2(1N) A3(2N)
0 M 0
0 M 0
0 M 0
(3) A44 M 0
... O ...
A4(3N) M ( N −1) ANN
∏i =1 (Aii(i −1) ) N
(5) sin πy 2 . sin 2πy1 , L, sin πy1
(0) (1) A11 = sin πy1 , A22 = sin 2πy 2 −
yang secara umum : A( k −1) Aij( k ) = Aij( k −1) − ik( k −1) ⋅ Akj( k −1) . Aii Langkah selanjutnya adalah membuktikan bahwa Det Ay (M.N) × (M.N) = ∏
N
i =1
(A ) . (i −1) ii
Matriks Ay ini adalah matriks berorde (M.N) × (M.N) yang terdiri dari N 2 buah matriks partisi yang masing-masing berukuran M×M. Untuk menghitung nilai determinannya, dilakukan melalui operasi baris elementer, dengan iterasi-1 sebagai berikut: sin πyi +1 Bi.M + 1 = Bi.M + 1 − B1; sin πy1
⋅ B3 ;L;
AN( 23)
⋅ B3 ; ( 2) A33 maka nilai determinan pada (3) adalah
sin πy1 sin 2πy1 sin 3πy1 sin 4πy1 ... sin Nπy1
Bi.M + 2 = Bi.M + 2 −
sin πyi +1 B2 ; . . . ; sin πy1
A4(3N)
Bi.M +M = Bi.M +M -
M ( 3) ANN
sin πy i +1 BM , sin πy1
dengan i = 2 , 3 , . . . , N-1. Maka hasilnya adalah:
0 0
A22(1) 0
A23(1) A33( 2)
A24(1) A34( 2)
... ...
A2(1N) A3( N2)
0
0
0
A44(3)
...
M 0
M 0
M 0
M AN(34)
O ...
dengan
⋅ A3( 2j ) .
dengan:
dan iterasi-3 dengan A( 2) B4 = B4 − 43 ⋅ B3 ; ( 2) A33 ( 2) A33
( 2) A33
Apabila proses iterasi ini diteruskan, maka setelah iterasi ke-(N-1), nilai dari determinan pada (4) adalah:
=
A(1) ⋅ B2 ; L; B4 = B4 − 42 (1) A22 A(1) BN = BN − N(12) ⋅ B2 ; A22
B5 = B5 −
A22
(1) ( 2) ( 3) ( N −1) = sin πy1 ⋅ A22 ⋅ A33 ⋅ A44 L ANN
Selanjutnya setelah dilakukan iterasi-2 dengan A(1) ⋅ B2 ; B3 = B3 − 32 (1) A22
( 2) A53
Ai(32)
⋅ A2(1j) dan Aij(3) = Aij( 2) − (1)
sinπy1 sin2πy1 sin3πy1 sin4πy1 ... sin Nπy1
di mana: (1) A22 = sin 2πy2 −
Ai(21)
(4)
13 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, APRIL 2010, VOL. 15 NOMOR 1
Det Ay = sinπy1
0
0
L
L sinπy1 0 0 sinπy1 L
0 0
0
sin2πy1
0 0
0 0
M
M
M
0
0
0
O
L sinπy1
M
0 0
0 0
0 0
L L
0
0
0
M 0
M 0
M 0
0
0
sin2πy1 0 0 0 sin2πy1 0
L sinNπy1
0 0
L L
M
L
0
0
O
0
0
0
sinNπy1 0 0 0 sinNπy1 0
0 0
M
M
M
M
M
O
M
0
0
0 sin2πy1 L
M
0
0
0
0
L sin Nπy1
0 0
(1) A22 0
0 (1) A22
0 0
L L
0 0
L L
A2(1N) 0
0 A2(1N)
0 0
L L
0 0
L
0
0
0
(1) A22
L
0
L
0
0
A2(1N)
L
0
O L
M 0
M 0
M 0
M 0
O L
M (1) A22
L L
M 0
M 0
M 0
O L
M A2(1N)
M
M
M
M
M
M
M
M
O
M
O
M
M
M
O
M
0 0
0 0
0 0
L L
0 0
AN(12) 0
0 AN(12)
0 0
L L
0 0
L L
(1) ANN 0
0 (1) ANN
0 0
L L
0 0
0
0
0
L
0
0
0
AN(12)
L
0
L
0
0
(1) ANN
L
0
M 0
M 0
M 0
O L
M 0
M 0
M 0
M 0
O L
M AN(12)
L L
M 0
M 0
M 0
O L
O (1) ANN
dengan:
sin πy 2 . sin 2πy1 ; sin πy1 sin πy N = sin 2πy N − . sin 2πy1 ; sin πy1
Bi.M + 1 = Bi.M + 1 −
(1) A22 = sin 2πy 2 −
AN(12)
0 0
0
yang secara umum:
Aij(1) = sin jπyi −
−
A((i1+) 1) 2
A((i1+) 1) 2 (1) A22
BM+1 ; Bi.M + 2 = Bi.M + 2
BM+2 ; . . . ; Bi.M +M = Bi.M +M −
A((i1+) 1) 2
(1) (1) A22 A22 B2M. untuk i = 2, 3 , 4 , . . . , N-1, dan diteruskan sampai iterasi ke-( N-1), maka diperoleh
sin πyi . sin jπy1 . sin πy1
Setelah iterasi-2 dengan operasi:
Det Ay = sinπy1 0 0 sinπy1 0 M
0 M
0 0
L L
sinπy1 L M O
0 0
sin2πy1 0 0 sin2πy1
0 M
0 M
0 M
0 0
0 0
sin2πy1 0 M O
0 L sin Nπy1 0 sin Nπy1 L
0 M
L L
0 M
0 0
0 0
0 0
sin Nπy1 0 M O
0 M
0
0
0
L sinπy1
0
0
0
0 sin2πy1 L
0
0
0
L sin Nπy1
0 0
0 0
0 0
L L
0 0
(1) A22 0
0 (1) A22
0 0
L L
0 0
L L
A2(1N) 0
0 A2(1N)
0 0
L L
0 0
0 M
0 M
0 M
L O
0 M
0 M
0 M
(1) A22 M
L O
0 M
L L
0 M
0 M
A2(1N) M
L O
0 M
0 M
0 M
0 M
L M
0 M
0 M
0 M
0 M
L M
(1) A22 M
L O
0 M
0 M
L M
A2(1N) M
0 0
0 0
0 0
L L
0 0
0 0
0 0
0 0
L L
0 0
L L
( N −1) ANN 0
0 M 0 ( N −1) ANN
0 0
0 0
0 M
0 M
0 M
L O
0 M
0 M
0 M
0 M
L O
0 M
L L
0 M
0 M
( N −1) ANN M
L L L O
0 M
0
0
0
L
0
0
0
0
L
0
L
0
0
0
( N −1) ANN
L
Det A =
dengan ( N −1) ANN
0 M
0 0
y
=
( N − 2) ANN
−
AN( N( N− 2−)1) A((NN −−12)() N −1)
⋅
A((NN −−12))N
(sin πy1 ) ⋅ (A22(1) )
M
.
Jadi nilai dari determinan matriks segi tiga atas tersebut adalah:
( ) L(A
( 2) ⋅ A33
M
)
( N −1) M NN
∏i =1 (Aii(i −1) )⎤⎥⎦
=⎡ ⎢⎣
N
Dengan menggunakan (5), maka terbukti bahwa
M
14
Rusyaman, dkk., Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida
Det Ay = sin πy1
sin 2πy1
sin 3πy1
...
sin Nπy1
sin πy2 sin πy3
sin 2πy2 sin 2πy3
sin 3πy2 sin 3πy3
... ...
sin Nπy2 sin Nπy3
M sin πy N
M sin 2πy N
M sin 3πy N
O M ... sin Nπy N
M
.■
Teorema: Jika A matriks berorde (M.N)×(M.N); dengan
A=
⎡ sinπx1. sinπy1 ⎢ M ⎢ ⎢ sinπxM . sinπy1 ⎢ ⎢ sinπx1. sinπy2 ⎢ M ⎢ ⎢sinπxM . sinπy2 ⎢ M ⎢ ⎢ ⎢ sinπx . sinπy 1 N ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣sinπxM . sinπyN
... sin Mπx1. sinπy1
sinπx1. sin2πy1
... sin MπxM . sinπy1
sinπxM sin2πy1 ... sin MπxM . sin2πy1 K sinπxM . sin Nπy1
... sin Mπx1. sinπy2 ... sin MπxM . sinπy2
sinπx1 sin2πy2
... sin Mπx1. sin2πy1 L sinπx1. sin Nπy1
...
... sin Mπx1. sin2πy2 L sinπx1. sin Nπy2
...
sinπxM sin2πy2 ... sin MπxM . sin2πy2 L sinπxM . sin Nπy2
...
M
M
... sin Mπx1. sinπyN
...
sinπx1 sin2πyN
M
M
... sin Mπx1. sin2πyN L sinπxM . sin NπyN ...
O ... sin MπxM . sinπyN sinπxM sin2πyN ... sin MπxM . sin2πy2 L sinπxM . sin NπyN ...
sin Mπx1. sin Nπy1 ⎤ ⎥ M ⎥ sin MπxM . sin Nπy1 ⎥ ⎥ sin Mπx1. sin Nπy2 ⎥ ⎥ M ⎥ sin MπxM . sin Nπy2 ⎥ ⎥ M ⎥ ⎥ sin MπxM . sin NπyN ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ sin MπxM . sin NπyN ⎦
,
maka Det A ≠ 0. Bukti: Dari (1) diperoleh Det A = Det Ax . Det Ay . Kemudian berdasarkan Lema-1 dan Lema-2 didapat: Det A= sin πx1 sin πx2
sin 2πx1 sin 2πx2
sin 3πx1 sin 3πx2
... ...
sin Mπx1 sin Mπx2
sin πx3 M
sin 2πx3 M
sin 3πx3 M
... O
sin Mπx3 M
N
sin πxM
sin 2πxM
sin 3πxM
sin πy1 sin πy2
sin 2πy1 sin 2πy2
sin 3πy1 sin 3πy2
... sin MπxM M ... sin Nπy1 ... sin Nπy2
sin πy3 M sin πy N
sin 2πy3 M sin 2πy N
sin 3πy3 M sin 3πy N
... sin Nπy3 O M ... sin Nπy N
.
Kasus-1: Apabila xi ≠ xj dan yi ≠ yj untuk setiap i dan j, maka dengan menyusun ulang xi dan yi sedemikian sehingga 0 < x1 < x2 < . . . < xK < 1 dan 0 < y1 < y2 < . . . < yK < 1, pandanglah titik (xi , yj) sebanyak K.K = K2 buah, sehingga K buah titik asal tadi merupakan bagian di dalamnya. Berdasarkan masalah pada bagian 2 di atas, maka dijamin terdapat fungsi u(x,y) yang melalui (M.N) = (K.K) = K2 buah titik tadi, yang berarti juga melalui K buah titik asalnya. Kasus-2: Apabila xi = xj dan atau ys = yt untuk suatu i, j, s, dan t, maka xi dan yi yang tadinya masing-masing berjumlah K buah, dapat disusun ulang sedemikian sehingga 0 < x1 < x2 < . . . < xM < 1 dan 0 < y1 < y2 < . . . < yN < 1 dengan M dan N masing-masing lebih kecil atau sama dengan K. Sebagai ilustrasi, dapat dilihat pada Gambar-1 dengan K = 8, x2 = x4, x7 = x8, dan y2 = y8 .
Selanjutnya karena Det Ax dan Det Ay masing-masing bernilai tidak nol (Mastroianni dan Milovanovic, 2008), maka nilai dari Det A juga tidak nol. ■ 3. Penutup: Kasus Data Tak Homogen
Sebagai penutup makalah, dalam bagian ini akan dibahas eksistensi fungsi u(x,y) yang melalui K buah titik sembarang (xi, yi, ci) dengan 0 < xi < 1, dan 0 < yi < 1 untuk i = 1, 2, . . . , K. Pembahasan akan dibagi dalam dua kasus berbeda.
Gambar-1
15 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, APRIL 2010, VOL. 15 NOMOR 1 Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada reviewer atas saran-saran perbaikannya. H. Gunawan berterima kasih kepada ITB yang telah mendanai riset ini melalui Program Riset KK no. 252/2009. Daftar Pustaka
Gambar-2 Selanjutnya pandanglah titik homogen (xi , yj) sebanyak M.N buah, dengan M buah absis dan N buah ordinat, sehingga K buah titik asal tadi merupakan bagian di dalamnya. Lihat Gambar-2 dengan N = 7 dan M = 6. Dengan demikian berdasarkan masalah pada bagian 2 di atas maka dijamin terdapat fungsi u(x,y) yang melalui (M.N) buah titik tadi, yang berarti juga melalui K buah titik asalnya. Dengan demikian, interpolan sinusoida berbentuk deret sinus ganda yang melalui sejumlah titik sebarang, dijamin eksistensinya.
Bretscher, O., 1997, Linear Algebra with Applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Folland, G.B., 1992, Fourier Analysis And Its Applications, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, California. Gunawan, H., F. Pranolo and E. Rusyaman, An Interpolation Method That Minimizes an Energy Integral of Fractional Order, in D. Kapur (Ed.), 2008, Asian Symposium of Computer Mathematics 2007, SpringerVerlag, 151-162. Mastroianni, G. and G. V. Milovanovic, 2008, Interpolation Processes: Basic Theory and Applications, Springer, Berlin. Tolstov, G. P., 1976, Fourier Series, Dover Publications, New York.
