TEOREMA ABEL-DINI DAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ PADA DERET GANDA

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922

TEOREMA ABEL-DINI DAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ PADA DERET GANDA Sumardyono1, Soeparna D.W2 & Supama3 1

PPPPTK Matematika, Mahasiswa S3 UGM 1 [email protected] 2,3

Jurusan Matematika, FMIPA, UGM 3

[email protected]

ABSTRAK Pada paper ini Teorema Abel-Dini diperluas pada deret ganda. Dipaparkan pula aplikasinya pada Dual Köthe-Toeplitz suatu Ruang Barisan Ganda. Kata-kata kunci: Teorema Abel-Dini, Dual Köthe-Toeplitz, Deret Ganda

PENDAHULUAN Pada studi analisis, dikenal beberapa teorema yang namanya dikaitkan dengan nama Abel maupun Dini. Salah satu teorema yang berkaitan dengan deret tak hingga dikenal dengan nama Teorema Abel-Dini. Beberapa literatur yang membahas tentang Teorema Abel-Dini antara lain Hildebrandt [5], Rajagopal [9], dan Knopp [7]. Sementara konsep dual Köthe-Toeplitz telah dirintis oleh Köthe & Toeplitz [8], Garling [3],Chillingworth [2], dan masih banyak lagi. Topik ini juga dibahas dengan cukup lengkap dalam Kamthan & Gupta [6] dan Wilansky [10]. Konsep dual ini berbeda dengan dual topologis yang anggotanya merupakan fungsional kontinu. Pada paper ini, notasi

∑

i ≥1

atau

∑ i

menyatakan jumlahan dari i = 1 sampai dengan tak hingga. Jika terbatas maka batas atas akan dinyatakan pada notasi sigma. Berikut Teorema Abel-Dini untuk deret tunggal bilangan real.

Teorema 1. ([1], [7]) Jika ∑i ≥1 a i adalah deret real non-negatif yang divergen dan An =

∑

n i =1

a i maka

ai

konvergen untuk δ > 0 (dan 1+δ Ai divergen untuk δ ≤ 0) i ≥1

Pengertian dual-α dinyatakan sebagai berikut. Definisi 1 Diberikan ruang vektor tak nol λ ⊂ ω dengan ω adalah koleksi semua barisan bilangan real (atau kompleks) maka didefinisikan dual-α sebagai berikut. λα = {x : x ∈ ω, ∑i ≥1 x i y i < ∞ , ∀y ∈ λ} Selain dual-α, juga dikenal dual-β, dualγ, dan dual-δ dari λ. Namun dalam paper ini hanya akan dikaji yang berkaitan dengan dual-α. Kesemua dual ruang vektor di atas, terutama dual-α, sering disebut dengan dual Köthe-Toeplitz. Selanjutnya akan dibahas perluasan Teorema Abel-Dini pada ruang barisan ganda, dan terapannya dalam menentukan dual Köthe-Toeplitz pada suatu ruang barisan ganda. 457

∑


TEOREMA ABEL-DINI DERET GANDA

PADA

Pada studi ini, elemen barisan dibatasi pada bilangan real. Perluasan ke elemen bilangan kompleks mudah dikonstruksi. Barisan ganda (double sequences) merupakan suatu generalisasi dari barisan tunggal (single sequences). Definisi 2 Barisan ganda didefinisikan fungsi sebagai berikut x:N × N → R

sebagai

Notasi ( xij ) menyatakan barisan ganda

Untuk 0 < δ < 1. Dipandang deret Aijδ − A(δi −1)( j −1)

∑ ∑ i ≥1

Lemma 1. ([1], [4]) Jika x, r ∈ R, x > 0, x ≠ 1 maka xr – 1 > r (x – 1) untuk r > 1 xr – 1 < r (x – 1) untuk 0 < r < 1

∑ ∑

δ −1

= δ. Aij .aij

Sehingga diperoleh δ . Aijδ −1 .aij

∑ ∑ i ≥1

<

Teorema 2 (Teorema Abel-Dini untuk Deret Ganda) Jika ∑i ≥1 ∑ j ≥1 a ij deret divergen real non-negatif dan Amn = maka

∑ ∑ i ≥1

a ij j ≥1

Aij

1+δ

∑ ∑ m

i =1

konvergen untuk

i ≥1

∑ ∑ i ≥1

Aijδ − . A(δi −1)( j −1) A(δi −1)( j −1) . Aijδ

j ≥1

δ . Aijδ −1 .aij j ≥1

A(δi −1)( j −1) . Aijδ

δ . Aij−1 .aij

=

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

=

∑ ∑

j ≥1

i ≥1

A(δi −1)( j −1)

δ .a ij δ

A( i −1)( j −1) . Aij

<∞ Karena Aij > A(i – 1)(j – 1) maka δ .a ij

∑ ∑ i ≥1

<

j ≥1

∑ ∑ i ≥1

Aijδ . Aij

δ .a ij j ≥1

Bukti: 458

δ

A( i −1)( j −1) . Aij

<∞ Sehingga diperoleh

δ > 0.

∑ ∑

A(δi −1)( j −1) . Aijδ

Labih lanjut,

n

a j =1 ij

j ≥1

Karena ruas kanan adalah deret (1) yang konvergen dan berdasarkan uji banding, maka diperoleh δ . Aijδ −1 .aij ∑i≥1 ∑ j≥1 Aδ . Aδ konvergen. ( i −1)( j −1) ij

Lemma 2. ([1], [4]) Jika x, y ∈ R+, x ≠ y, r ∈ R, maka (a). rxr – 1 (x – y) > xr – yr > r.yr – 1 (x – y) untuk r < 0 atau r > 1 r–1 (b). rx (x – y) < xr – yr < r.yr – 1 (x – y) untuk 0 < r < 1 Sekarang, kita siap untuk memperluas Teorema Abel-Dini pada deret ganda.

A(δi −1)( j −1) . Aijδ

⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − .... (1) δ δ ⎟ i ≥1 j ≥1 ⎜ ⎝ A(i −1)( j −1) Aij ⎠ Jumlahan (1) ada, karena bila i, j → ∞ maka Aij → ∞. Menurut Lemma 2 maka Aijδ − A(δi −1)( j −1) > δ. Aijδ −1 ( Aij − A(i −1)( j −1) ) =

dengan xij ∈ R, ∀i, j Selanjutnya untuk membuktikan Teorema Abel-Dini pada deret ganda, diperlukan beberapa lemma sebagai berikut.

j ≥1


∑ ∑ i ≥1

δ .a ij j ≥1

Aijδ +1 a ij

δ .∑i ≥1 ∑ j ≥1

Aijδ +1

Karena δ ≠ 0 maka a ij

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

δ +1

Aij

∑ ∑

< ∞ atau

i ≥1

<∞

< ∞ (konvergen)

δ δ < Aij − A(i −1)( j −1)

Sehingga diperoleh δ . A(δi −−11)( j −1) .aij < Aijδ − A(δi −1)( j −1) δ

δ

Aij . A(i −1)( j −1)

δ .a ij δ

Aij . A( i −1)( j −1)

<

δ

i ≥1

j ≥1

1 δ

A(i −1)( j −1)

−

1 Aijδ

⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − δ δ ⎟ i ≥1 j ≥1 ⎜ ⎝ A(i −1)( j −1) Aij ⎠ Ruas kanan konvergen, karena untuk i, j → ∞ maka Aij → ∞ . Dengan Uji Banding diperoleh δ .a ij < ∞ ∑i≥1 ∑ j ≥1 Aδ . A ij ( i −1)( j −1) <

i

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

∑ ∑ i ≥1

Aijδ . Aij Aijδ . A( i −1)( j −1)

Sehingga diperoleh δ .a ij

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

Aijδ +1

< ∞}

j

E α = {( x ij ) ∈ 2ω : ∑ ∑ a ij bij < ∞ i

j

untuk setiap ( y ij ) ∈ E} Untuk menentukan dual-α beberapa ruang barisan ganda, diperlukan lemma dan teorema berikut ini.

Lemma 3 (Ketaksamaan Hölder untuk 2 lp ) Untuk setiap ( xij ), ( y ij ) ∈ 2 lp maka berlaku

∑ ∑ i ≥1

≤

(∑

<∞

459

j ≥1

xij y ij

x i ≥1 ∑ j ≥1 ij

Bukti:

Dan karena δ ≠ 0 maka diperoleh

p

Definisi 3 Dimisalkan E himpunan bagian tak kosong dari 2 ω , maka dual-α dari E didefinisikan dengan

δ .a ij j ≥1

PADA

dengan p ≥ 1

∑ ∑

Oleh karena Aij > A(i – 1)(j – 1) maka diperoleh δ .a ij <

2 l p = {( xij ) ∈ 2ω : ∑∑ xij

Aij . A(i −1)( j −1)

Aijδ . A( i −1)( j −1)

< ∞ (konvergen)

Notasi 2 ω dan 2 lp berturut-turut menyatakan ruang semua barisan ganda, dan barisan ganda yang terjumlah mutlakp (p-absolutely summable) dari bilangan real.

δ

Kedua ruas dikenakan double sigma sehingga diperoleh δ .a ij

∑ ∑

Aijδ +1

Pada bagian ini, akan dibuktikan dual-α suatu ruang barisan ganda dengan menggunakan Teorema Abel-Dini.

Aijδ − A(δi −1)( j −1)

<

j ≥1

DUAL KÖTHE-TOEPLITZ RUANG BARISAN GANDA

Untuk δ > 1. Menurut Lemma 2 maka δ . A(δi −−11)( j −1) ( Aij − A(i −1)( j −1) )

δ . A(δi −−11)( j −1) .aij

a ij

) . (∑

1 p p

i ≥1

∑

j ≥1

y ij

)

1 q q


Dibentuk α =

=

(∑

(∑

y ij i ≥1

∑

i ≥1

∑

)

xij

j ≥1

)

dan β

1 p p

1 1 + =1 p q

dengan

1 q q

y ij

j ≥1

xij

Untuk setiap m, n, r, s ∈ Z+ (himpunan semua bilangan bulat positif), maka A(m+r)(n+s) ≥ Amn sehingga diperoleh a ( m +1)( n +1) a a + ( m+1)( n + 2) + ... + ( m +1)( n + s ) + A( m +1)( n +1) A( m +1)( n + 2) A( m +1)( n + s ) a( m+ 2)( n +1)

Maka menurut Lemma Young, diperoleh xij y ij . 1 1

(∑

i ≥1

∑

) (∑

p p

xij

j ≥1

1 ≤ . p

i ≥1

1 + . q

∑ i ≥1

)

q q

y ij

j ≥1

p

x j ≥1 ij

∑

a( m+1)( n +1)

)

(∑

i ≥1

≤

∑

j ≥1

∑ ∑ p. (∑ ∑ i ≥1

j ≥1

(∑

⇔

p

xij

p

+

)

i ≥1

∑

j ≥1

xij

∑

j ≥1

)

∑ ∑ q. (∑ ∑ i ≥1

) .(∑

i ≥1

a ( m+ r )( n +1)

j ≥1

y ij

j ≥1

q

y ij

q

(∑

i ≥1

∑

j ≥1

y ij

)

1 q q

i ≥1

∑

j ≥1

xij

j ≥1

xij . yij

) .(∑

1 p p

i ≥1

∑

j ≥1

yij

)

1 q q

≤ 1

Teorema 3 Jika ∑i ≥1 ∑ j ≥1 a ij deret divergen real non-negatif dan Amn =

Bukti:

∑ ∑ i ≥1

aij j ≥1

Aij

∑ ∑ m

n

i =1

j =1

divergen

a ij

+ ... + a ( m +1)( n + s ) + A( m + r )( n + s )

A( m + r )( n + s )

+

a( m+ r )(n+2) A( m+ r )(n+ s )

≥

A( m + r )( n + s )

a( m+ 2)(n+ s )

+ ... +

A( m+ r )(n+ s )

+

....... + ... + a ( m + r )( n + s ) = A( m + r )( n + s )

=1–

Amn

A( m + r )( n + s ) A( m + r )( n + s ) Fix atau ditetapkan m dan n sehingga Amn untuk r, s → ∞ maka 1 – A( m + r )( n + s ) → 1.

∑

∞ i = m +1

∑

∞

aij

j = n +1

Aij

> 1 untuk

setiap m, n ∈ N sehingga limi, j

aij

≠ 0. Aij Dengan demikian diperoleh bahwa deret aij ∑i≥1 ∑ j≥1 A tidak konvergen atau ij divergen. Terakhir, dibuktikan dual-α ruang barisan ganda 2 lp menggunakan Teorema AbelDini pada Deret Ganda.

Teorema 4 (2 lp)α = 2 lq dengan p > 1 dan Bukti: 460

a ( m + r )( n + s )

......

Ini artinya

(terbukti)

maka

)

+ ... +

a ( m + 2 )( n + 2 )

A( m + r )( n + s ) − Amn

1 1 + p q

∑ ∑

+

A( m+ r )( n + s )

)

x . y ij j ≥1 ij

1 p p

A( m+ r )(n+ s )

.....

1 q q

y ij

i ≥1

∑ ∑

i ≥1

≤

i ≥1

x j ≥1 ij

i ≥1

⇔

) .(∑

xij

a( m+1)(n+2)

+

+

A( m+ 2)(n+ s )

.......

A( m + r )( n + 2 )

A( m+r )(n+ s )

Kedua ruas diambil double sigma, diperoleh ∑i≥1 ∑ j≥1 xij . yij 1 p p

+

a( m+ 2)(n+1) q

a( m+ 2)(n+ s )

+ ... +

......

A( m+ r )( n+ s )

y ij

j ≥1

A( m+ 2 )( n + 2) a ( m + r )( n + 2 )

A( m + r )( n +1)

q

y ij

(∑

∑

a( m+ 2)( n + 2 )

..... a ( m + r )( n +1)

p

xij

(∑

i ≥1

A( m+ 2)( n +1)

+

1 1 + =1 p q


Diambil sebarang ( x ij ) ∈ 2 lq maka

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

q

xij

=

(∑

j ≥1

) . (∑

i ≥1

∑

j ≥1

)

1 q q

y ij

∞ Jadi, (2 lp)α ⊃ 2 lq Sebaliknya, Diambil sebarang ( x ij ) ∈ (2 lp)α . Diandaikan ( x ) ∉ 2 lq maka

DAFTAR PUSTAKA [1]

ij

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

xij

q

=∞

Dimisalkan aij = xij dan

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

1

q

maka x ij = aij q

[2]

a ij = ∞ (divergen)

Dibentuk

Amn =

∑ ∑ m

n

i =1

j =1

a ij dan bij =

1 Aij

[3] 1

Dibentuk ( y ij ) dengan ⎪yij ⎪ = aij q bij p

maka diperoleh y ij

= aij bijp =

[4]

aij Aij

Karena aij ≥ 0 (non-negatif) dan ∑i≥1 ∑ j ≥1 aij = ∞ maka

p

[5]

(i) Menurut Teorema 2 diperoleh a ij

∑ ∑ i ≥1

= =

j ≥1

∑ ∑ i ≥1

∑ ∑ i ≥1

Aij

1+δ

[6]

a ij j ≥1

j ≥1

Aij

p

[7]

∞

y ij

(i)

Jadi, {y } ∈ l p(ω). (ii) Menurut Teorema 3 diperoleh aij

∑ ∑ i ≥1

j ≥1

∑ ∑

=

∑i≥1 ∑ j ≥1 aij p aij q bij

i ≥1

[8]

Aij

=

j ≥1

a ij bij 1

1

[9] 461

x ij y ij

KESIMPULAN Teorema Abel-Dini dapat diperluas deret ganda (double series). Teorema ini juga merupakan salah satu alat yang dapat dipergunakan untuk menunjukkan dual-α suatu ruang barisan ganda, khususnya ruang barisan 2 lp .

x ij y ij ≤

1 p p

x i ≥1 ∑ j ≥1 ij

j ≥1

Jadi, (2 lp)α ⊂ 2 lq

1 1 + = 1 maka diperoleh p q i ≥1

i ≥1

= ∞ (kontradiksi) Sehingga haruslah ( x ij ) ∈ 2 lq

< ∞.

Untuk setiap ( y ij ) ∈ 2 lp dengan

∑ ∑

∑ ∑

Baccala, Brent. 2008. The Hölder and Minkowski Inequalities. A lecture paper, not published. Chillingworth, H.R. 1958. Generalized “dual” sequence spaces. Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 20 Garling, D.J.H. 1967. The β- and γduality. Proc. Cambridge Philos. Soc. 63 Hardy, G., Littewood, J.E., & Pólya, G. 1934. Inequalities. Cambridge: At The University Press. Hildebrandt, T.H. 1942. Remarks on the Abel-Dini Theorem. The American Mathematical Monthly. Vol.49, No.7 (Agt-Sep, 1942), hal.441-445. Kamthan, P.K. & Gupta, M. 1981. Sequence spaces and series. New York. Marcel Dekker, Inc. Knopp, Konrad. 1956. Infinite Sequences and Series. Translated by F. Bagemihl. New York: Dover Publications, Inc. Köthe, G. & Toeplitz. 1934. Lineare Räume mit unendlich vielen Koordinaten und Ringe unendlicher Matrizen, Jour. Reine angew. Math. 171 Rajagopal, C.T. 1944. The AbelDini and Allied Theorems. The


American Mathematical Monthly. Vol.51, No.10 (Des, 1944), hal.566570. [10] Wilansky, A. 1984. Summability through Fuctional Analysis. Amsterdam: North Holland.

462


Nama Penanya

: Hanna A P

Instansi

: UKSW

Pertanyaan

:

1. Apakah repesentasi dari deret tersebut adalah matriks dan

keragaman akan

konvergensinya ? Jawaban

:

1. Ya, dan kenvergensinya berupa skalar

Nama Penanya

: M. Mahfuzh. S

Instansi

: Univ. Lambung Mangkurat

Pertanyaan

:

1. Apakah ruang selain deret ganda bisa menggunakan teorema Abel-Dini ? Jawaban

:

1. Tidak bisa, karena Abel – Dini menggunakan konsep barisan

Pertanyaan

: Volume itu ukuran untuk apa ?

Jawaban

: -

Nama Penanya

: Trevi Meri Andriyani

Instansi

: UKSW

Pertanyaan

:

1. Taraf Signifikasi seperti apa ? Jawaban

:

Batas peluang

463

TEOREMA ABEL-DINI DAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ PADA DERET GANDA

Recommend Documents