Øe¹ení 1. série VI. roèníku kategorie JUNIOR RJ-VI-1-1
Staèí, kdy¾ nejprve zaèneme mìøit èas obìma hodinami zároveò. Kdy¾ se dosypou sedmiminutové, ihned je znovu otoèíme a zaèneme odmìøovat druhých 7 minut. Ve chvíli, kdy se dosypou i jedenáctiminutové, je ze sedmiminutových odsypáno 4 minuty a zbývají je¹tì 3 minuty. Proto právì v tento okam¾ik mù¾eme zaèít odmìøovat 3 minuty. A¾ se (podruhé) sedmiminutové hodiny dosypou, uplynuly 3 minuty. RJ-VI-1-2
©patnì sestavenou mapu mù¾eme rozdìlit mnoha zpùsoby. Zále¾í na tom, jestli jsou oba díly lícem nahoru (èi dolù) nebo jsou ka¾dý jinak. Na obrázcích 1 a 2 jsou dva mo¾né zpùsoby. Silná èára naznaèuje, kde budeme støíhat.
Obrázek 1: Oba díly mapy jsou stejnì (ale i opaènì)
RJ-VI-1-3
V zadání máme dáno 9 rùzných písmen a my je máme nahradit èísly od 1 do 9 tak, aby se neopakovala a aby splòovala danou rovnost. Nejdøíve zjistíme, èemu se mohou jednotlivé souèty ve sloupcích rovnat a systematickou metodou pokus-omyl budeme postupovat dál. Zaèneme zleva. J
+
M
= 3 nebo
nastat, proto¾e
E
+
J
N
+
M
= 4 nebo
J
+
M
= 5. První mo¾nost nemù¾e
(pøípadnì + pøevod z pøedcházejícího øádu) nemù¾e
dát 23. Podobnì nemù¾e nastat ani poslední rovnost, proto¾e na písmena a
N
by pak nezbyly èíslice. Mù¾e nastat jedinì 1
J
+
M
= 4, odtud
J
E
= 1 a
Obrázek 2: Díly mapy jsou rùznì
M
= 3 nebo
J
= 3 a
= 1. Dále se ji¾ tato písmena nevyskytují, proto
M
pøijmeme obì øe¹ení jako správná. Èíslice 1 a 3 jsou u¾ vyèerpány a navíc víme, ¾e
10.
+N
E
®e se nemù¾e nastat nastat
D +D +O
Se souètem
+
E
N
= 13, lehce vylouèíme. To by toti¾ muselo
= 3 a to nejde. Proto musí být
D
+
+
D
E +N
= 12 nebo
E +N
= 11.
to bude mírnì nároènìj¹í. Rovnost 3 jsme ji¾
O
vylouèili (2 také). Musíme také vylouèit 13 a 23.
E
+
V
+
H
se toti¾ nikdy
nemù¾e rovnat 7 (popøípadì 6 nebo pìti), proto¾e jsme ji¾ vyu¾ili èísla 1 a 4. Podobnì vylouèíme i souèet 11 a 21. Maximální souèet pro
+
E
V
+
H
je 9 + 8 + 7 = 24, nemù¾eme tedy dostat 27, 26 ani 25. Zbývají tedy dvì mo¾nosti:
D
+ D + O = 12 nebo
D
+ D + O = 22.
Podobnì budeme postupovat se souètem
E
+ V + H . Díky pøedcházejícím
úvahám mù¾eme vylouèit souèty 7, 6, 5 a 27, 26, 25. Není mo¾ný ani souèet 17, proto¾e
N
+
A
mo¾nosti, a to
E
+ V + H = 16 nebo
+
O
Nakonec musí platit
se nikdy nemù¾e rovnat 4. Zbývají zase tedy opìt N
E
+ V + H = 15.
+ A + O = 14 nebo
N
+ A + O = 24.
A teï se koneènì mù¾eme pøesunout ke slibované metodì pokus-omyl. Vyjdeme z rovnosti E
=5 a
N
Kdyby
E
+
N
= 11, tzn.
E
= 4 a
N
= 7 nebo naopak nebo
= 6 nebo naopak. E
=4 a
N
= 7, pak z
N
+
A
+
O
= 14 máme
tuto chvíli jsme pou¾ili èíslice 1, 2, 3, 4, 5 a 7 a víme, ¾e kdyby
O
= 5, pak by 2D = 17. Není mo¾né ani
O
A
O
= 2 + 5. V
D+D+O
= 2, pak by
není èíslice. Tato mo¾nost nemù¾e nastat. Mohlo by být také
2
+
N
D
= 22. Ale
= 10, a to
+ A + O = 24,
kde
A
+
= 9 + 8. Pou¾ili jsme tedy èíslice 1, 3, 4, 7, 8 a 9, zbývají nám
O
tedy 2, 5 a 6. Proto¾e 2D + O = 22, musí být
O
=8a
D
= 7. To ale nemù¾e
nastat. Uva¾ujme tedy, ¾e A
= 7 a
E
N
= 4, pak
N
+
A
+
= 14 a proto
O
+ O = 10 = 2 + 8. (Pou¾ili jsme èíslice 1, 2, 3, 4, 7 a 8). Proto stejnì jako
v pøedcházejícím
+
D
dojdeme k tomu, ¾e
D
D
+
= 22 a
O
O
6= 2, proto
O
= 8. Odtud také lehce
= 7, co¾ ale není mo¾né. Ani tato mo¾nost nevede k
výsledku. Kdyby
E
=5a
N
= 6, pak z
N
+ A + O = 14 máme
A+O
= 8. Osmièku
ale u¾ nerozepí¹eme jako souèet dvou rùzných èíslic, ani¾ bychom nepou¾ili u¾ nìkterou þobsazenouÿ. Ani tato mo¾nost nevede k cíli. Kdyby opaènì
E
=6a
N
= 5, pak z
N
+ A + O = 14 máme
A+O
2 + 7. Pou¾ili jsme èíslice 1, 2, 3, 5, 6 a 7. U¾ z pøedchozího víme, ¾e být sudé, tedy
O
= 2. Potom ale zase dostaneme
D
E
+ N = 12, proto
D
musí
= 10, co¾ není mo¾né.
Vylouèili jsme tedy v¹echny mo¾nosti, kdy by se platit
=9=
O
E
+ N = 11. Musí tedy
+ D + O = 12. Postupnì opìt projdeme v¹echny
mo¾nosti. Kdyby D
E
=4 a
N
= 8, pak díky 2D +
O
= 12 mù¾e být jedinì
O
= 5. Vyèerpali jsme èíslice 1, 2, 3, 4, 5 a 8. Pak ale pro písmena
=2 a
V
a
H
u¾ nám nezbývají vhodné èíslice, aby daly souèet 12 nebo 11. Tato mo¾nost nemù¾e nastat. Pøedpokládejme opaènì, ¾e jdeme k tomu, ¾e
O
= 2 a
D
E
= 8 a
= 4. Jako v pøedcházejícím do-
N
= 5. Souèet
V
+
H
mù¾e být tedy 7 nebo 8.
Opìt ale nemáme potøebné èíslice. Ani tato mo¾nost nemù¾e nastat. Kdyby
E
= 7 a
O
= 4, muselo by
N
+
by
A
A
+
O
D
N
= 5, pak kdyby
= 14, bylo by E
pøedcházejícím) nastat jen V
= 2, muselo by
A
O
=8 a
= 1, a to nejde. Kdyby
N
D
+
A
D
= 5; kdyby
= 2. Kdyby dál +
O
= 24, bylo
= 11, a to také nejde. Ani tato mo¾nost nevede k cíli.
Nakonec nám zbývá Pro
O
= 4. Ani jedno nelze. Tedy
=5 a O
= 7. Díky
N
=8a
D
D
+ D + O = 12 mù¾e (jako v
= 2. Pou¾ili jsme èíslice 1, 2, 3, 5, 7 a 8.
+ H = 11 nám tedy u¾ èíslice nezbývají a musí být
Proto¾e
N
+ A + O = 7 + A + 8, je
A
V
+ H = 10 = 4+6.
= 9. Toto je tedy jediná mo¾nost, která
mù¾e nastat. Navíc z pøíbìhu víme, ¾e
H < V
, proto øe¹ením algebrogramu je
3
1
5
+ +
a èíslem
2
5
7
2
6
9
3
7
8
4
8
5
3
3
7
4
ON OH O
3
5
+
nebo
+
2
5
7
2
6
9
1
7
8
4
8
5
3
3
7
4
domu je 87 848.
RJ-VI-1-4
Nejprve si oznaème strany obdelníkù jako
a; b.
V¹imnìme si, ¾e vy¹rafo-
vanou èást lze rozdìlit na dva pravoúhlé trojúhelníky. Víme, ¾e se obdélníky pøekrývají v polovinách svých stran. Známe tak velikost základny trojúhela b níku (jedna z odvìsen) z = 2 a jeho vý¹ky (druhá odvìsna) v = 2 .
Obrázek 3: Pøekrývající se obdélníky
Pro obsah vy¹rafované èásti S
S
tak dostáváme: zv
4=22
= 2S
=
ab
4
=
1 4
tu
S :
Pøevodní kola lokomotivy je tedy tøeba nastavit v pomìru 1 : 4. 4
RJ-VI-1-5
Nejprve dolijeme 7litrový d¾bán z nejvìt¹ího 12litrového tak, aby byl plný. Pak z tohto 7litrového odlijeme 2 litry do 9litrového d¾bánu, tak¾e nám zbyde v nejmen¹ím d¾bánu právì potøebných 5 litrù. Celý postup je zachycen na obrázku 4.
Obrázek 4: Pøelévání vína
5 litrù jsme nemohli dostat odlitím nìjakého mno¾ství ze d¾bánù hned na zaèátku. Z 9 litrù bychom toti¾ potøebovali odlít 4 litry, ze 7 litrù 2 litry a ze 6 litrù jeden litr. To ne¹lo ani jedním ani dvìma odlitími. Znamená to tedy, ¾e nejprve musíme nìkam víno dolít a teprve potom odlít. Mo¾ností odnìkud nìkam odlévat máme v jednom kroku celkem ¹est (jednou mo¾ností myslíme napø. ze støedního d¾bánu do nejvìt¹ího apod.). Projdeme-li je, snadno vylouèíme ty nemo¾né. 5
