Matematicky´ KLOKAN 2005 kategorie Junior Va´zˇenı´ prˇa´tele´, v na´sledujı´cı´ch 75 minuta´ch va´s cˇeka´ stejny´ u´kol jako mnoho vasˇich vrstevnı´ku˚ v rˇadeˇ dalsˇ´ıch evropsky´ch zemı´. V nı´zˇe uvedene´m testu je zada´no cˇtyrˇiadvacet u´loh. Vasˇim u´kolem je u kazˇde´ z nich vybrat z nabı´zeny´ch mozˇnostı´ vzˇdy pra´veˇ jednu, kterou pokla´da´te za spra´vnou. Svou volbu vyznacˇte v prˇilozˇene´ karteˇ odpoveˇdı´. Za spra´vne´ rˇesˇenı´ u´lohy 1–8 va´m prˇideˇlı´m 3 body, za spra´vne´ rˇesˇenı´ u´lohy 9–16 body 4 a konecˇneˇ za spra´vne´ rˇesˇenı´ u´lohy 17–24 bodu˚ 5. Za nerˇesˇenou u´lohu (nenı´ zasˇkrtnuta zˇa´dna´ z mozˇny´ch odpoveˇdı´) nezı´ska´te zˇa´dny´ bod. Za u´lohu chybneˇ vyrˇesˇenou ztratı´te 1 bod. Na zacˇa´tek va´m prˇideˇluji 24 bodu˚. Mu˚zˇete tedy zı´skat maxima´lneˇ 120 bodu˚. Prˇi rˇesˇenı´ u´loh nepovoluji pouzˇ´ıva´nı´ kapesnı´ho kalkula´toru, matematicky´ch tabulek, ucˇebnic ani zˇa´dne´ jine´ matematicke´ literatury. Va´sˇ KLOKAN.
´ lohy za 3 body U
1. Marie dosa´hla padesa´te´ho nejlepsˇ´ıho vy´sledku, ale soucˇasneˇ take´ padesa´te´ho nejhorsˇ´ıho vy´sledku na sˇkole prˇi rˇesˇenı´ u´loh lonˇske´ho Klokana. Kolik zˇa´ku˚ loni celkoveˇ souteˇzˇilo? (A) 50
(B) 75
(C) 99
(D) 100
(E) 101
2. V tabulce na obra´zku je zakresleno osm klokanu˚. Jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet klokanu˚ musı´me v tabulce prˇemı´stit, aby v libovolne´ rˇadeˇ i libovolne´m sloupci byli pra´veˇ dva klokani? (A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
3. Na obra´zku je zakresleno peˇt doty´kajı´cı´ch se kruhu˚ o stejne´m polomeˇru, prˇicˇemzˇ strˇedy cˇtyrˇ kruhu˚ jsou ve vrcholech cˇtverce. Jaky´ je pomeˇr obsahu˚ vybarveny´ch a nevybarveny´ch cˇa´stı´ teˇchto peˇti kruhu˚? (A) 1 : 3
(B) 1 : 4
(C) 2 : 5
(D) 2 : 3
(E) 5 : 4
4. Petr meˇl vyrobit model kva´dru o rozmeˇrech 10 cm × 12 cm × 14 cm, ale omylem vytvorˇil kva´dr s rozmeˇry 12 cm × 14 cm × 16 cm. O kolik procent ma´ novy´ kva´dr veˇtsˇ´ı objem, nezˇ meˇl mı´t ten pu˚vodnı´? (A) 20
(B) 30
(C) 40
(D) 50
5. Na obra´zku je celkem sedm cˇtvercu˚. O kolik vı´ce je tam troju´helnı´ku˚? (A) 1 (D) 4
(B) 2 (E) je jich stejneˇ
(C) 3
36
(E) 60
Junior 2
6. Ktera´ z kostek je slozˇena z te´to „sı´teˇ“?
(E)
(D)
(C)
(B)
(A)
7. Pru˚meˇr 16 ru˚zny´ch prˇirozeny´ch cˇ´ısel je roven 16. Jake´ nejveˇtsˇ´ı mozˇne´ hodnoty mu˚zˇe jedno z nich naby´t? (A) 24
(B) 32
(C) 136
(D) 241
8. Na obra´zku jsou zna´zorneˇny trˇi shodne´ polokruzˇnice o polomeˇru 2 cm. Urcˇete obsah (v cm2 ) vybarvene´ oblasti, vı´te-li, zˇe E a F jsou strˇedy dolnı´ch polokruzˇnic a ABFE je obde´lnı´k. (A) 2π
(B) 7
(C) 2π + 1
(D) 8
(E) 2π + 2
(E) 256
A
B
E
F
´ lohy za 4 body U
9. Vsˇech peˇt vyznacˇeny´ch u´hloprˇ´ıcˇek desetiu´helnı´ku se protı´na´ v jednom bodeˇ. Soucˇet velikostı´ deseti vyznacˇeny´ch u´hlu˚ je (A) 300◦
(B) 450◦
(C) 360◦
(D) 600◦
(E) 720◦
10. V tasˇce je 17 mı´cˇku˚ oznacˇeny´ch cˇ´ısly 1 azˇ 17. Vytahujeme-li mı´cˇky na´hodneˇ, jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet mı´cˇku˚ musı´me vyta´hnout, abychom meˇli jistotu, zˇe mezi nimi budou dva mı´cˇky s cˇ´ısly, jejichzˇ soucˇet je 18? (A) 7
(B) 8
(C) 10
(D) 11
11. Jestlizˇe doplnı´me do vsˇech pra´zdny´ch polı´cˇek cˇ´ısla, bude kazˇda´ peˇtice v libovolne´m rˇa´dku, sloupci i diagona´le tvorˇit aritmetickou posloupnost. Jake´mu cˇ´ıslu je rovno x? (Cˇ´ısla a, b, c, d, e tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, jestlizˇe rozdı´l libovolny´ch dvou sousednı´ch cˇ´ısel je stejny´, tj. b − a = c − b = d − c = e − d.) (A) 49
(B) 42
(C) 33
(D) 28
(E) 17
21 16 27 x
(E) 4
12. Obde´lnı´k o de´lce 24 m a sˇ´ırˇce 1 m je rozdeˇlen na neˇkolik mensˇ´ıch, jejichzˇ sˇ´ırˇka je opeˇt 1 m. Cˇtyrˇi z nich majı´ de´lku 4 m, dva de´lku 3 m a jeden de´lku 2 m. Slozˇenı´m teˇchto sedmi dı´lu˚ dostaneme opeˇt obde´lnı´k. Jaky´ nejmensˇ´ı obvod takove´ho obde´lnı´ku mu˚zˇeme zı´skat?
(A) 14 m
(B) 20 m
(C) 22 m
37
(D) 25 m
(E) 28 m
Junior 3 13. Kazˇdy´ z dra´tu˚ na obra´zku je pospojova´n z 8 cˇa´stı´ o stejne´ de´lce. Polozˇme oba dra´ty na sebe tak, aby jejich prˇekryv byl maxima´lnı´. V kolika cˇa´stech se prˇekry´vajı´? (A) 1
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 7
14. Dveˇ na´doby stejne´ho objemu jsme naplnili vodou a dzˇusem. Pomeˇr vody a dzˇusu byl v prvnı´ na´dobeˇ 2:1, ve druhe´ 4:1. Pote´ jsme slili obsahy teˇchto dvou na´dob do jedne´ velke´. Urcˇete, jaky´ je v nı´ pomeˇr vody a dzˇusu. (A) 3:1
(B) 6:1
(C) 11:4
(D) 5:1
(E) 8:1
15. Auto jede po silnici konstantnı´ rychlostı´ 90 km . V dobeˇ, kdy hodiny ukazovaly cˇas 21:00, byl h stav kilometru˚ na tachometru 116.0 (tj. od pocˇa´tku jı´zdy bylo ujeto 116.0 km). O neˇco pozdeˇji byl stav tachometru i cˇas na hodina´ch zapsa´n pomocı´ stejny´ch cˇ´ıselny´ch za´pisu˚ (porˇadı´ cˇtyrˇ cˇ´ıslic). V kolik hodin to mohlo by´t? (A) 21:30
(B) 21:50
(C) 22:00
(D) 22:10
(E) 22:30
16. Soucˇet bodu˚ na protilehly´ch steˇna´ch hracı´ kostky je vzˇdy sedm. Kostku prˇekla´pı´me podle obra´zku. V pocˇa´tecˇnı´ poloze D jsou na hornı´ steˇneˇ trˇi body. Kolik bodu˚ bude na hornı´ steˇneˇ v koncove´ poloze A?
A
D
(A) 2
(B) 3
A
D (C) 4
(D) 5
(E) 6
´ lohy za 5 bodu˚ U
17. Necht’d, D jsou pru˚meˇry kruzˇnice vepsane´, resp. opsane´ pravou´hle´mu troju´helnı´ku. Vyja´drˇete hodnotu d + D pomocı´ de´lek a a b jeho odveˇsen. √ √ (A) a + b (B) 2(a + b) (C) 21 (a + b) (D) ab (E) a2 + b2
18. Pyramideˇ ze cˇtrna´cti krychlı´ o hraneˇ 1 je opsa´n jehlan zna´zorneˇny´ na obra´zku. Jaky´ je objem tohoto jehlanu? (A)
64 3
(B) 64
(C)
√ 64 2 3
(D)
√ 64 2 2
38
(E)
32 3
Junior 4 19. Kazˇdy´ druhy´ den Karel mluvı´ jen pravdu, ostatnı´ dny jen lzˇe. Dnes rˇekl pra´veˇ cˇtyrˇi z na´ledujı´cı´ch tvrzenı´. Ktere´ z nich nemohl rˇ´ıci? (A) (B) (C) (D) (E)
Pocˇet my´ch prˇa´tel je vyja´drˇen prvocˇ´ıslem. Mezi my´mi prˇa´teli je stejny´ pocˇet muzˇu˚ i zˇen. Jmenuji se Karel. Vzˇdy mluvı´m pravdu. Trˇi mı´ prˇa´tele´ jsou starsˇ´ı nezˇ ja´.
X 20. Kolika zpu˚soby mu˚zˇeme vybrat jedno bı´le´ a jedno cˇerne´ pole na sˇachovnici 8 × 8 tak, aby nelezˇela ve stejne´m sloupci ani rˇadeˇ? (A) 56
(B) 5040
(C) 720
(D) 672
X
(E) 768
21. Kolik cˇtyrˇmı´stny´ch cˇ´ısel je deˇlitelem cˇ´ısla 1022 ? (A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
22. Obde´lnı´kove´ pole bylo pu˚vodneˇ rozdeˇleno na dveˇ stejneˇ velke´ cˇa´sti hranicı´ ABCD. De´lky u´seku˚ AB, BC a CD rovnobeˇzˇny´ch se stranami obde´lnı´ku jsou postupneˇ 30 m, 24 m a 10 m. Majitele´ pole se dohodli, zˇe hranici mezi svy´mi cˇa´stmi naprˇ´ımı´ a nahradı´ ji hranicı´ AE, prˇicˇemzˇ kazˇdy´ bude vlastnit opeˇt polovinu pole. Jak daleko od bodu D bude bod E?
(A) 8 m
(B) 10 m
(C) 12 m
E
D
B C
A
(D) 14 m
(E) 16 m
23. Z deseti za´palek je slozˇena rybicˇka, jejı´zˇ obsah je 24. Jak velky´ je obsah vybarvene´ cˇa´sti? √ √ √ √ (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5 (E) 6
24. Na obra´zku jsou trˇi cˇtverce. Prˇ´ımky AE a CH se protı´najı´ v bodeˇ P. Jaka´ je velikost u´hlu <) CPE? (A) 30◦
(B) 45◦
(C) 60◦
(D) 50◦
(E) 40◦
39
H
G P
A
B
F
E
C
D
?
Matematický KLOKAN 2005 správná řešení soutěžních úloh Junior 1 C, 2 B, 3 D, 4 E, 5 C, 6 E, 7 C, 8 D, 9 E, 10 C, 11 B, 12 B, 13 D, 14 C, 15 D, 16 E, 17 A, 18 A, 19 C, 20 E, 21 D, 22 C, 23 C, 24 B.
40
