Cirkelbewegingen
Graden radialen Zie bladzijde 135 t/m 137 Basisboek wiskunde van de Craats en Bosch ISBN 90-430-1156-8 Een aanrader voor Sinterklaas! http://staff.science.uva.nl/~craats/functiesNET.pdf
Eenparige cirkelbeweging Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert.
baansnelheid v de snelheid van het bewegende voorwerp in m/s hoeveel meter de cirkelboog is die per seconde wordt doorlopen: hoeksnelheid ω de hoeksnelheid in rad/s hoe groot de hoek in radialen is die per seconde wordt doorlopen omlooptijd T hoeveel tijd nodig is voor één rondje T = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π
v
Verband tussen v en ω:
f =
1 T
v=
ω=
ω
v =ω ⋅r
omloopfrequentie f hoeveel rondjes per seconde worden doorlopen (eenheid: s-1 = Hz) eventueel ook het toerental = aantal rondjes per minuut (eenheid: min-1)
s t
φ t
Een eenparige cirkelbeweging is een versnelde beweging, omdat de snelheid van richting verandert. Er is dus een snelheidsverandering en daardoor ook een versnelling.
Voorbeeld: De straal van de bovenkant van de zweefmolen is 2,6 m. De kabels van ieder stoeltje zijn 2,0 m lang en maken een hoek van 60 o met de horizontaal. De zweefmolen draait constant rond met 12 RPM1. Bereken de straal van de cirkel. 3,6 m
Bereken de omlooptijd. 5,0 s
Bereken de hoeksnelheid. 1,3 rad/s
Bereken de (baan)snelheid. 4,5 m/s
Bereken de doorlopen hoek in 1,4 minuut.
2
1,1.10 rad
Bereken de (grootte van de) verplaatsing in 1,25 s. 5,1 m
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 1,25 s. 4,1 m/s
Bereken de (grootte van de) snelheidsverandering in 1,25 s. 6,4 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 1,25 s. 5,1 m/s
2
veind ∆x ∆v
vbegin
‘veind’
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 2,5 s. 2,9 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 2,5 s. 3,6 m/s
2
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 5,0 s. 0 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 5,0 s. 0 m/s 1
RPM = toeren per minuut
2
Bij een eenparige cirkelbeweging is het niet zinvol te spreken over de gemiddelde versnelling in een bepaalde periode. Dé versnelling op een bepaald tijdstip is wel belangrijk. Deze versnelling heet de middelpuntzoekende versnelling ampz. Dit kun je vergelijken met de volgende situatie. Als je op zaterdagochtend met je racefiets gaat fietsen, is je gemiddelde
snelheid op het moment dat je terug thuis komt < v > = ∆x = 0 = 0 m . Het is voor een wielrenner slechts zinvol om na
∆t
∆t
s
te gaan hoe groot de (momentane) snelheid op ieder tijdstip van de fietstocht was.
Omdat er tijdens een eenparige cirkelbeweging een (middelpuntzoekende) versnelling is, moet er ook een resulterende kracht op het voorwerp werken. Deze resulterende kracht heet de middelpuntzoekende kracht Fmpz.
De richting van de middelpuntzoekende kracht De middelpuntzoekende kracht is bij een eenparige cirkelbeweging altijd naar het midden van de cirkel gericht. Zie: http://www.youtube.com/watch?v=fSfVVz0eIis
De grootte van de middelpuntzoekende kracht Een schaatser moet er in de bocht voor zorgen dat hij zich ‘schrap’ zet om te voorkomen dat hij ‘de bocht uitvliegt’. De benodigde middelpuntzoekende kracht hangt af van: 1. De massa van de schaatser m Hoe groter de massa, des te groter de benodigde kracht; het is voor een zware schaatser moeilijker om de bocht te houden. 2. De snelheid van de schaatser v Hoe groter de snelheid, des te groter de benodigde kracht; het is voor een schaatser het moeilijkste om de bocht te houden op de 500 m sprint. 3. De straal van de bocht r Hoe kleiner de straal van de bocht, des te groter de benodigde kracht; het is voor een schaatser het moeilijkste om de binnenbocht te houden. m⋅v Op grond van deze overwegingen, zou kunnen gelden: Fmpz = . r Een eenhedenbeschouwing toont echter aan dat deze formule niet kan kloppen: m kg ⋅ m [m] ⋅ [v] kg ⋅ s kg [F ] = N = ≠ = = [r ] m s s2 Het blijkt dat geldt2:
Fmpz
m ⋅ v2 = = m ⋅ω 2 ⋅ r r
Ga met een eenhedenbeschouwing na dat dit de goede formule zou kunnen zijn.
2
Christiaan Huygens (1659)
Wielrennen 1 (herhaling) Een wielrenner rijdt een helling af. De helling maakt een hoek α met de horizontaal. Zie: VWO 4 Kernboek A bladzijde: 217 – 219.
Fnormaal
Fwrijving
Fspier
α
α Fzw De krachten loodrecht op de helling heffen elkaar op: Fnormaal = Fzw.cos α Langs de helling omhoog werkt: De totale wrijvingskracht Fwrijving De rolwrijving zal, vergeleken met de luchtwrijving, klein zijn. Als de wielrenner remt, is de totale wrijvingskracht nog groter. Langs de helling omlaag werkt: De x-component van de zwaartekracht: (Fzw)x = Fzw.sin α De spierkracht Fspier langs de helling omlaag (als de wielrenner bijtrapt). Er zijn drie mogelijkheden: 1. De snelheid van de wielrenner neemt af. Er is een resulterende kracht langs de helling omhoog: Fwr > (Fzw)x + Fspier 2. De wielrenner heeft een constante snelheid. De krachten langs de helling heffen elkaar op: Fwr = (Fzw)x + Fspier 3. De snelheid van de wielrenner neemt toe. Er is een resulterende kracht langs de helling omlaag: (Fzw)x + Fspier > Fwr
Wielrennen 2 Een wielrenner rijdt in de bocht op een wielerpiste. Het is een eenparige cirkelbeweging. De helling maakt een hoek α met de horizontaal. Zie: VWO 5 Kernboek bladzijde: 88 – 89. Wat is er fout aan Figuur 2.34? Fnormaal
α
naar het midden van de cirkel
α
Fzw
De voorwaartse en achterwaartse krachten3: Omdat de snelheid van de wielrenner niet van grootte verandert, heffen de spierkracht en de wrijvingskracht elkaar op: Fspier = Fwrijving.
De verticale krachten: De verticale krachten heffen elkaar op. De zwaartekracht en de verticale component van de normaalkracht zijn even groot: Fzw = (Fnormaal)y = Fnormaal.cos α
De horizontale krachten: Als er geen ‘dwarswrijvingskrachten’ zijn, is de enige horizontale kracht de horizontale component van de normaalkracht. Dit is dus de benodigde middelpuntzoekende kracht: Fmpz = (Fnormaal)x = Fnormaal.sin α 3
Deze krachten zijn loodrecht op de tekening en dus niet in de figuur te zien.
Voorbeeld: De straal van de bovenkant van de zweefmolen is 2,6 m. De kabels van ieder stoeltje zijn 2,0 m lang en maken een hoek van 60 o met de horizontaal. De zweefmolen draait rond met een constante hoeksnelheid. Bereken deze hoeksnelheid.
tan 60 o =
Fzw m⋅g 9,8 = = 2 2 Fmpz m ⋅ ω ⋅ r ω ⋅ 3,6
→ ω=
9,8 = 1,3 rad o s 3,6 ⋅ tan 60
Fspan
‘Fzw’
‘Fzw’
60o Fmpz Nuttige sommen: §2.2 10, 12 §2.3 13 – 19 §2.4 20 – 23 §2.5 24 – 29
Fzw
Het hoogste punt bij een verticale cirkelbeweging
Als bij een verticale cirkelbeweging de snelheid te klein is, zal het voorwerp in het hoogste punt ‘uit de cirkel’ naar beneden (willen) vallen. De normaalkracht kan dit eventueel verhinderen. Zie som 27b. Als de snelheid ‘te groot’ is, zal het voorwerp de cirkelbeweging voortzeten. De zwaartekracht én een andere kracht4 samen, leveren dan de benodigde middelpuntzoekende kracht. Zie som 26b. Er precies is één snelheid waarbij het voorwerp in het hoogste punt net wel/net niet naar beneden dreigt te vallen. Bij deze snelheid is de zwaartekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht:
Fzw = Fmpz
4
→ v = g ⋅r
Zie som 27a.
Afhankelijk van de situatie bijvoorbeeld de spankracht óf de normaalkracht.
Voorbeeld Sven Kramer rijdt de 5000 m. Hiernaast zie je hem in de binnenbocht. Neem aan dat hij steeds even snel schaatst. Bepaal zijn eindtijd.
bron: http://www.youtube.com/watch?v=o5MWIDwxjEw&feature=related info afmetingen schaatsbaan: http://www.knsb.nl/content/langebaan/downloads/afm400mbaan.pdf
Niet-eenparige cirkelbeweging Bij het centrifugeren van de was zijn te onderscheiden: 1. De trommel gaat sneller draaien 2. De trommel draait met constant toerental 3. De trommel stopt met draaien. Als de trommel met een constant toerental draait, voert het wasgoed een eenparige cirkelbeweging uit. Voorbeeld: toerental 1200 RPM diameter trommel 44 cm sok (40 g) tegen de binnenkant van de trommel. Op de sok werkt een middelpuntzoekende kracht (de normaalkracht van de 2 2 2 trommel). Deze kracht is: Fmpz = m ⋅ ω ⋅ r = 0,040 ⋅ (2 ⋅ π ⋅ 20) ⋅ 0,22 = 1,4.10 N Deze kracht is (uiteraard) voortdurend naar het midden van de trommel gericht. Bij het op gang komen (afremmen) van de trommel, verandert de snelheid niet alleen voortdurend van richting, maar ook van grootte. Er is een resulterende kracht F met een component: Naar het midden van de cirkel (radiële component Fr) Deze component is de middelpuntzoekende kracht, die ervoor zorgt dat de snelheid van richting verandert. In de richting van de raaklijn op de cirkel (tangentiële component Ft) Deze component zorgt ervoor dat de snelheid groter/kleiner wordt. Als de cirkel ‘met de wijzers van de klok mee’ wordt doorlopen, is er sprake van afremmen (en andersom).
De gravitatiewet van Newton Twee voorwerpen (massa’s) oefenen een aantrekkende kracht op elkaar uit. De gravitatieconstante is zo klein5 dat deze kracht uitsluitend van belang is, indien één of beide voorwerpen een zeer grote massa heeft. De zwaartekracht (op het aardoppervlak) is niets anders dan de gravitatiekracht, waarmee de aarde een voorwerp aantrekt:
G ⋅ m Aarde = g = 9,8 N 2 kg rAarde
De wetten van Newton geven een zeer adequate beschrijving van de bewegingen van hemellichamen in het heelal. Deze theorie zal pas in de 20e eeuw worden verbeterd door de Algemene Relativiteitstheorie van Einstein.
5
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 (BINAS 7)
Bewegingen van hemellichamen Planeten om een centrale ster Satellieten (manen) om een planeet bewegen eigenlijk in een ellipsbaan (1e wet van Kepler).
De (baan)snelheid is dichtbij het centrale hemellichaam het grootst (2e wet van Kepler). Omdat het centrale hemellichaam (meestal) zeer veel zwaarder is dan het bewegende hemellichaam, geldt bij benadering dat: 1. De baan een cirkel is. 2. Het centrale hemellichaam zich in het middelpunt van de cirkel bevindt. 3. De beweging een eenparige cirkelbeweging is. 4. De gravitatiekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht is.
Afleiding6 3e wet van Kepler
Fmpz = Fgrav
↔
maar ook geldt:
zodat:
→
m ⋅ v2 G ⋅ m ⋅ M = r r2 2 ⋅π ⋅ r v= T 4 ⋅π 2 ⋅ r2 G ⋅ M = T2 r
→ v2 =
G⋅M r
4 ⋅π 2 ⋅ r2 → v = T2 2
→
r3 G ⋅ M = T 2 4 ⋅π 2
Gevolg: 1. 2.
6 7
r3 gelijk. T2 De massa van een ster (planeet) is te berekenen, indien van één ronddraaiend hemellichaam de afstand én de omlooptijd bekend zijn.
Voor alle planeten in één zonnestelsel7 is de verhouding
afleiding voor eenparige cirkelbewegingen idem: alle satellieten rondom hun planeet
Satellieten om de aarde 1.
De maan Geloof jij dat de mens op de maan is geweest? http://www.vtap.com/video/Dark+Side+of+The+Moon/CL0143819654_40907d452_V0lLSTgxMDA5Mn5pbjox
2.
Geostationaire satellieten (communicatiesatellieten) draaien in 24 uur rond de aarde. • Ga na dat zij zich recht boven de evenaar moeten bevinden. • Ga na dat zij zich op een hoogte van 36.106 km moeten bevinden.
3.
Satellieten met polaire banen draaien in een ‘lage’ baan8 over de noord- en de zuidpool rondom de aarde. Zij nemen het aardoppervlak waar, dat ‘onder hun baan door draait’ en worden bijvoorbeeld voor weersvoorspellingen gebruikt.
http://www.esa.int/SPECIALS/ESOC/SEMN2VM5NDF_mg_1.html
Nuttige sommen: §2.6 33, 36, 38
8
meestal tussen 300 – 1000 km hoogte (boven het aardoppervlak)
