Opgaven bij deel 2 1 Kracht en massa Opgave:
(a) Met welke zwaartekracht trekken de aarde en de maan aan elkaar? De massa van de aarde is ongeveer 6 · 1024 kg en is daarmee ongeveer 81 maal zo groot zoals die van de maan. De twee planeten zijn ongeveer 3,8 · 105 km van elkaar verwijderd. (b) Met welke snelheid beschrijft de maan zijn baan om de aarde en hoeveel tijd heeft hij nodig voor een omloop?
Aanwijzing:
Gebruik de formules uit hoofdstuk 3 voor de zwaartekracht en die uit hoofdstuk 4 voor de cirkelbeweging
Oplossingen: (a) F ≈ 2 · 1020 N (b) v ≈ 1 km/s; t ≈ 27 dagen Uitwerking:
(a) Eerst substitueren we de hierboven genoemde getalwaarden in de formule voor de zwaartekracht van pagina 55, maar let op: vergeet niet de afstand r in meters om te rekenen! Let er bovendien op dat tussenresultaten weliswaar afgerond worden weergegeven, maar dat we tot het eind verder rekenen met de in de rekenmachine opgeslagen nauwkeurige waarden. F= ftotaal · (maarde · mmaan)/r2 = 6,7 · 10-11 m3/kg · s2 · 6 · 1024 kg · 6 · 1024 kg : 81/ (3,8 · 108 m)2 = 2,062 · 1020 kg · m/s2 ≈ 2 · 1020 N Met deze kracht trekt de aarde aan de maan en de maan aan de aarde. (b) De omtrek van de cirkelvormige baan die de maan om de aarde beschrijft is: Omtrek = 2 π · r = 2 π · 3,8 · 108 m ≈ 2,4 · 109 m De in a) berekende kracht trekt de maan altijd naar het middelpunt van de aarde. Deze kracht veroorzaakt dus ook een versnelling van de maan in de richting van het middelpunt van de aarde, die afhankelijk is van de omloopsnelheid volgens de formule op pagina 57: F = m · a = m · v2/r Als we deze vergelijking oplossen voor v, levert dat de snelheid van de man op zijn baan om de aarde. v = √F · r/m = 2 · 1020 kg · m/s2 · 3,8 · 108 m//(6 · 1024 kg : 81) ≈ 1.029 m/s Met deze snelheid doet de maan over een omwenteling: t = U/v = 2,4 · 109 m//1.029 m/s ≈ 2,3 · 106 s Omgerekend in dagen is dat t ≈ 3,9 · 104 minuten ≈ 6,4 · 102 uren ≈ 27 dagen. (De nauwkeurige waarde wordt in tabellen aangegeven als 27,322 dagen; dat is bijna 28 dagen, dus vier weken.)
2 Krachtenparallellogram Opgave:
Twee krachten F1 = 5 N en F2 = 500 N werken op hetzelfde punt aan en maken een hoek φ met elkaar van 50°. Bereken de resulterende kracht F en de hoek ε, tussen F en F2. (Opmerking: om verwisselingen met de benamingen bij de gebruikelijke schrijfwijze van de wiskundige cosinusregel te voorkomen zijn de hoekbenamingen in de opgave hier ten opzichte van die in het boek veranderd!)
Aanwijzing:
Je kunt de opgave grafisch oplossen met behulp van een krachtenparallellogram of rekenkundig met behulp van de cosinusregel voor niet-rechthoekige driehoeken.
Oplossing:
F ≈ 12N;
Uitwerking:
(a) Grafisch
ε ≈ 19°
(b) Met de cosinusregel. De algemene cosinusregel voor niet-rechthoekige driehoeken is: a2 = b2 + c2 - 2bc · cos α We passen deze regel toe op de gearceerde driehoek: F2 =F12 + F22 - 2F1F2 cos (180°-φ) Omdat we hier maar te maken hebben met één grootheid, laten we in de rest van de berekening voor het gemak de eenheid N weg. F = √(5)2 + (8)2 - 2 · 5 · 8 · cos (180° - 50°) ≈ 11,85 Nu kunnen we ook de andere hoek ε berekenen; daarvoor moeten we de cosinusregel als volgt schrijven: F12 = F2 + F22 - 2FF2 cos ε Dit levert cos ε: cos ε = F12 - F22 - F2 / -2 · FF2 = 252 - 642 - (11,85)2/-2 · 11,85 · 8 = 0,9463 -> ε ≈19º
3 Impuls Opgave:
Een auto met massa m1 = 1.000 kg wordt in een keer achteruit ingeparkeerd met een snelheid v = 5 m/s. De chauffeur ziet echter een koffer op wieltjes over het hoofd, die een massa m2 heeft van 10 kg en door de botsing wegrijdt. Welke snelheid hebben de auto en de koffer na de botsing?
Aanwijzing:
Maak met behulp van de som van de impulsen voor en na de botsing en de som van de kinetische energie een systeem met twee vergelijkingen voor de beide snelheden na de botsing.
Oplossing:
De auto rijdt met dezelfde snelheid verder, de koffer wordt met de dubbele snelheid weggeslingerd.
Uitwerking:
(De snelheden naar de stoot wordt over het algemeen aangeduid met de letter u.) I som van de impulsen voor de stoot = som van de impulsen na de stoot m1·v1+m2 · 0 = m1·u1 + m2·u2 II som van de energieën voor de stoot = som van de energieën na de stoot ½ m1v12 + ½ m2 · 02 = ½ m1u12 + ½ m2u22 Door de vergelijking te vermenigvuldigen met 2 wordt deze eenvoudiger: m1v12 + m2 · 02
=
m1u12 + m2u22
Nu substitueren we de gegeven waarden (en laten ook nu weer de eenheden weg!): 1000 · 5 + 0 1000 · 25
= =
1000 · u1 + 10 · u2 1000 · u 12 + 10 · u22
=
500 - 100 · u1
=
1000 · u12 + 10 · (500 - 100u1)2
Vergelijking I kunnen we oplossen voor u2: I’
u2
en substitueren in II: II'
25000
Vervolgens berekenen we wat tussen de haakjes staat: II’ 25000 100000u1 + 10000u12) + 100000u12
= =
1000 · u1 + 10 · (250000 – 1000 · u1 + 2500000 – 1000000u1
=
u12 + 2500 - 1000u1 + 100u12
=
-2475
=
-2475/101
delen door 1000: 25 samenvatten en netjes herschikken: 101u12 - 1000u1 delen door 101: u12 - 1000/101 u1 vierkantsvergelijking opstellen:
u12 - 1000u1/101 + (500/101)2
=
-2475/101 + (500/101)2
=
25/1012
=
± 5/101 + 500/101
samenvatten: (u1 - 500/101)2 worteltrekken: u1 Er zijn dus twee oplossingen voor u1, namelijk u1 = 505/101 = 5 u1 = 495/101 ≈ 4,9 Oplossing (a) betekent echter dat de auto na de stoot met exact dezelfde snelheid als de beginsnelheid verder rijdt. De aangereden koffer zou dan, volgens vergelijking I’ bewegen met een snelheid: u2 = 500 - 100 · 5 = 0, dus helemaal niet bewegen: de auto zou gewoon over de koffer heen moeten rijden. Dat is echter niet wat er in de opgave werd gesteld. Bij oplossing (b) krijgt de koffer de snelheid u2 = 500 – 100 · 4,9 = 10 dus 10 m/s en dat is precies het dubbele van de oorspronkelijke snelheid waarmee de auto aan komt rijden. Daarmee zijn we er echter nog niet: we moeten nog controleren of de oplossing voldoet aan de randvoorwaarden. Dat is altijd belangrijk om te doen wanneer je te maken hebt met vierkantsvergelijkingen, omdat die positieve en negatieve waarden 'gelijkmaken' en je een onzinnig resultaat kunt vinden dat voor de kwadratering helemaal niet bestond.
4 Remweg en wrijvingskracht Opgave:
Een automobilist in een auto die voorzien is van ABS, moet een noodstop maken en komt met blokkerende remmen net voor het obstakel tot stilstand. Zijn remspoor wordt door de politie gemeten en vastgesteld op 50 meter. Hij beweert hoogstens een paar kilometer sneller gereden te hebben dan de ter plaatse toegestane maximale snelheid van 50 km/u. Kan de politie het tegendeel bewijzen?
Aanwijzing:
De wrijvingskracht bij geblokkeerde remmen is ongeveer 30% van de gewichtskracht van een auto. Met dit gegeven kun je met behulp van de wet van Newton de remvertraging bepalen. Substitueer vervolgens alle bekende waarden in de formules voor de rembeweging uit hoofdstuk 4 een en bereken daarmee de beginsnelheid.
Oplossing:
De chauffeur reed met een snelheid van ongeveer 62 km/u toch wat sneller dan hij beweerde.
Uitwerking:
De gewichtskracht is (zie pagina 26) G = m·g, waarbij we voor g de afgeronde waarde 10 m/s2 kunnen nemen. De 30% daarvan vinden we door G te vermenigvuldigen met 0,3. De wet van Newton F = m · a kun je in het boek vinden op pagina 54. Dat levert Fwrijving = 0,3 m · g = m · a → a = 0,3 g ≈ 3 m/s2 Dit is de remvertraging waarmee de auto werd afgeremd. De vergelijkingen voor de rembeweging kun je vinden op pagina 70: I II
v = v0 – a · t srem = v0 · t – ½ a · t2
Wanneer de auto tot stand gekomen is, is v gelijk aan 0 en dus wordt vergelijking I: I’
t = v0/a
Als we dit resultaat substitueren in vergelijking II levert dat: II’ srem = v02/a - ½ · a · v02/a = ½v02/a Als we nu de remweg gelijkstellen aan 50 m, levert de hierboven berekende remvertraging a een beginsnelheid van: v0 = √2 · srem · a ≈ √2 · 50 m · 3 m/s2 =17,3 m/s = 62,4 km/u
5 Druk Opgave:
Een luchtbel met een volume van 6 cm stijgt bij constante temperatuur in water vanaf een diepte van 5 m naar de oppervlakte. Hoe groot is het volume van de luchtbel net onder het wateroppervlak, net voordat de bel uit elkaar spat?
Aanwijzing:
Gebruik de formule voor de vloeistofdruk uit het hoofdstuk 'Druk' en vergeet de luchtdruk niet.
Oplossing:
Het volume is dan 9 cm3.
Uitwerking:
De vloeistofdruk op een diepte van 5 m onder water is volgens de formule op pagina 75: p(5 m) = ρ · h · g = 1000 kg/m3 · 5m · 10 N/kg = 50000 Pa Daarbij komt nog de uitwendige luchtdruk van ca. 100.000 Pa, dus totaal 150.000 Pa. Aan de oppervlakte is h = 0 m, zodat daar alleen de luchtdruk van 100.000 Pa heerst. De drukverhoudingen zijn dus: p(0 m) : p(5 m) = 100000 : 150000 = 2 : 3 Volgens de toestandsvergelijking van pagina 88: p · V/T = constant moet bij constante temperatuur T ook de teller constant blijven; de volumes V moeten zich dus omgekeerd verhouden met de drukken: V(0 m) : V(5 m) = 3 : 2 = 1,5 : 1 Dus is: V(0 m) = 1,5 · 6 cm = 9 cm3
Opgaven bij deel 3 6 Waterkoker Opgave:
Met een waterkoker met een elektrisch vermogen van 1 kW wordt 1 liter water met een temperatuur van 20°C aan de kook gebracht. Hoe lang duurt dat minimaal? Hoe lang duurt het tot de heft van het water verdampt is?
Aanwijzing:
De waarde voor de soortelijke warmte en de verdampingswarmte van water kun je vinden in het hoofdstuk 'Warmte'.
Oplossing:
Het water aan de kook brengen duurt ongeveer 5½ minuut, het verdampen duurt bijna 19 minuten.
Uitwerking:
De soortelijke warmte van water kun je vinden in de tabel op pagina 76: cw = 4,18 kJ/kg · K De temperatuurverhoging ∆T = 100°C - 20°C = 80°C is gelijk aan 80K in de temperatuureenheid Kelvin. De energie die nodig is om de watertemperatuur te verhogen van 20°C naar 100°C kunnen we vinden met behulp van de formule op pagina 76: Q = 4,18 kJ / kg · K · 1 kg · 80K = 334,4 kJ Omdat 1 kJ = 1 kW · s is, heeft de waterkoker van 1 kW 334,4 seconden nodig voor 334,4 kJ. Dat is dus ongeveer 5½ minuten om het water aan de kook te brengen. Natuurlijk doet de waterkoker er wat langer over, omdat een deel van de energie zal worden gebruikt om de omgeving en het apparaat zelf te verwarmen! De benodigde energie om de halve hoeveelheid water (dus 0,5 kg) te verdampen kun je vinden met behulp van de formule op pagina 50 Q = 2256 kJ/kg · 0,5 kg = 1128 kJ = 1128 kW · s De waterkoker van 1 kW doet daar dus 1.128 seconden over. Dat is 18,8 minuten, minstens (zie boven).
Opgaven bij deel 4 7 Potentiaal Opgave:
Bereken de veldsterkte en potentiaal van een veld om een positieve lading Q van 3 · 10-9 C op 5 cm van de lading. Hoe groot is de spanning tussen deze positie en een 6 cm van de lading verwijderde positie?
Aanwijzing:
Je hebt de formules voor veldsterkte, potentiaal en potentiaalverschil uit hoofdstuk 7 nodig.
Oplossingen: E = 10800 N/C φ(5cm) = 540 V U = 3,3 V · 27 = 90 V Uitwerking:
(a) Om de veldsterkte te berekenen hebben we vanwege de relatie E = F/q eerst de kracht nodig die de lading Q op een puntlading q uitoefent; voor q nemen we voor het gemak de eenheidslading 1 C. In de formule van pagina 97 substitueren we bovendien: r = 0,05 m en k = 9 · 109 N · m2/C2 wat leidt tot: F = 9 · 109 N · m2/C2 · 3 · 10-9 C · 1 C/(0,05 m)2 ≈ 10800 N De veldsterkte kunnen we vinden door F te delen door q = 1 C. Daarbij verandert niet de getalwaarde, maar wel de eenheid: E = 9 · 109 N · m2/C2 · 3 · 10-9 C //(0,05 m)2 ≈ 10800 N/C De getalwaarde wordt enorm, maar heeft dan ook betrekking op een puntlading van 1 C; Als de lading bijvoorbeeld maar 10-12 C was, dan zou die een kracht ondervinden van slechts: Fel = E · q = 10800 · 10-12 N ≈ 10-8 N (b) Om de potentiaal van het veld op deze plaats te vinden hebben we de volgende relatie nodig: φ =W/q Ook weten we nog dat W = F · s. We kunnen dus de bovenstaande formule voor de elektrische kracht gebruiken en die uitschrijven voor φ: φ(5 cm) = W/q = F · s/q = 9 · 109 N · m2/C2 · 3 · 10-9 C · 1 C · 0,05 m/(0,05 m)2 · 1C = 0,05 · 10800 V = 540 V Om de potentiaal op een afstand van 6 cm te berekenen hoeven we alleen maar de afstand te vervangen en meteen wat tegen elkaar weg te strepen: φ(6 cm) = W/q = F · s/q = 9 · 109 N · m2/C2 · 3 · 10-9 C //0,06m = 450 V (c) De spanning is het potentiaalverschil tussen de twee posities: φ(5 cm) – φ(6 cm) = 540 V - 450 V = 90 V
Opmerking:
'Echte natuurkundigen' zouden dat natuurlijk met behulp van integraalrekening hebben opgelost:
8 Weerstanden in vertakte gelijkstroomschakelingen Opgave 1:
Twee weerstanden R1 = 10 Ω en R2 = 20 Ω moeten (a) in serie en (b) parallel worden aangesloten op een spanning van 100 V. Bereken de totale weerstand, de stroomsterkte, de spanning over de weerstanden en het vermogen en de in 1 minuut verrichte stroomarbeid.
Aanwijzing:
Kijk in de tabel aan het eind van hoofdstuk 8.
Oplossingen: (a) 30 Ω/3,3 A/33,3 V/66,7 V/330 W/0,0055 kWh (b) 6,7 Ω/15 A/100 V/100 V/1,5 kW/0,025 kWh Uitwerking:
(a) Omdat ze in serie geschakeld zijn, kunnen we de beide weerstandwaarden gewoon bij elkaar optellen: Rtotaal = 10 Ω + 20 Ω = 30 Ω De stroomsterkte kunnen we vinden met: I = U/R = 100 V/30 Ω = 3,3A De verhouding van de spanningen over de afzonderlijke in serie geschakelde weerstanden is gelijk aan de verhouding tussen de afzonderlijke weerstandwaarden: over R1 is het potentiaalverschil dus 1/3 van 100 V is 33,3 V over R2 is het potentiaalverschil 2/3 van 100 V is 66,7 V Het vermogen kun je berekenen met behulp van de formule op pagina 40: P = U · I = 100 V · 3,3 A = 330 W Omdat de door de stroom verrichte arbeid gedefinieerd is als vermogen maal tijd, is die W = U · L · t = 330 W · 60s = 19800 Ws = 19,8 kWs = 0,0055kWh * (b) Bij de parallelschakeling moet je eerst de reciproke waarde van de totale weerstand (dus eigenlijk het geleidingsvermogen) berekenen. Vervolgens kun je daar de reciproke waarde van nemen om de totale weerstand te vinden: 1/R = 1/10 Ω + 1/20 Ω = 3/20 Ω → R = 20 Ω/3 ≈ 6,7 Ω over R1 en R2 is het potentiaalverschil gelijk en wel 100 V. De deelstromen in de beide parallel geschakelde componenten zijn dus: I1 = 100 V/10 Ω = 10A en I2 = 100 V/20 Ω = 5A Deze beide stromen komen samen in de toevoerleiding, dus de totale stroomsterkte is: Itotaal =15 A Om het vermogen te berekenen hebben we natuurlijk de totale stroomsterkte nodig: P = 100 V - 15 A = 1500 W = 1,5 kW en net zoals bij (a) is de stroomarbeid:
W = 1500 W · 60 s = 90000 Ws = 90 kWs = 0,025kWh * * (1 s = 1/3600 uur!)
Opgave voor vertakte stroomkring Nou, dat was toch niet zo lastig? Probeer de tweede opgave zelf te doen. Die is wat gecompliceerder, maar met een beetje doorzettingsvermogen best goed te doen. Opgave:
Bereken de totale weerstand en de totale stroomsterkte in de getekende schakeling. Dergelijke gecompliceerd uitziende schakelingberekeningen komen vaak in proefwerken voor. Je kunt die echter heel gemakkelijk oplossen als je op de volgende manier te werk gaat.
Aanwijzing:
Bekijk de schakeling als een verzameling kleine schakelingen om de meest 'geneste' structuur te vinden (in dit geval de parallelschakeling R4/5) en werk vervolgens de schakeling door. Controleer jezelf altijd: de totale weerstand wordt: bij in serie geschakelde weerstanden groter dan de grootste weerstand bij parallel geschakelde weerstanden kleiner dan de kleinste weerstand Voorbeeld: 1/R = 1/1 Ω + 1/1 Ω = 2/1 Ω → R = ½Ω (één plus één is bij parallelschakeling een half!)
Oplossing:
R = 57,9 Ω;
I = 1,7 A
Uitwerking:
Eerst ontleden we de structuur:
En dan is het oplossen kinderspel: (a) De parallelschakeling levert R4/5 1/R4 + 1/R5 = 1/40 Ω + 1/50 Ω = 5 + 4/200 Ω = 9/200 Ω → R4/5 = 22,2W (b) Serieschakeling: R3/4/5 = 30 Ω +22,2 Ω = 52,2 Ω (c) Parallelschakeling: 1/R3/4/5/6 = 1/52,2 Ω + 1/60 Ω = 1/27,9 Ω → R3/4/5/6= 27,9 Ω
Ten slotte een serieschakeling: Rtotaal = 10 Ω + 20 Ω + 27,9 Ω = 57,9 Ω en daarmee de totale stroomsterkte: Itotaal = U/R = 100 V/ 57,9 Ω ≈ 1,7A
9 Elektrostatisch filter Opgave:
We verplaatsen ons in de positie van een constructeur voor elektrostatische filters. Deze worden bijvoorbeeld gebruikt in elektriciteitscentrales om stofdeeltjes uit de uit te blazen lucht te filteren. De stofdeeltjes worden eerst elektrostatisch opgeladen en vervolgens door een condensatorachtig veld geblazen. Dit veld kan eruitzien als het homogene veld in hoofdstuk 7 op pagina 87. In het veld volgen de geladen deeltjes een gekromde baan in de richting van de plaat met een lading die tegengesteld is aan die van de deeltjes. De constructeurs van deze installatie moeten de platen zo lang maken dat met zekerheid alle stofdeeltjes op een plaat belanden voordat de luchtstroom de condensator verlaat. Bereken de minimale lengte van het filter. Van de stofdeeltjes is bekend dat ze gemiddeld een massa hebben van 5 · 10-12 kg, opgeladen worden tot ongeveer 8 · 10-18 C en met een snelheid van 0,5 m/s door het veld gestuurd kunnen worden. De condensatorspanning kan 10 kV bedragen bij een platenafstand van 4 cm.
Aanwijzing:
Denk aan de horizontale worp. Bereken eerst de kracht waarmee de stofdeeltjes in de richting van een plaat worden versneld en vervolgens de tijd voor de beide componenten van de beweging.
Oplossing:
De platen moeten tenminste 22,5 cm lang zijn.
Uitwerking:
Om te berekenen hoe sterk de deeltjes bij de passage worden afgebogen hebben we de afbuigkracht Fel nodig. Omdat de spanning U en de platenafstand d bekend is, kunnen we de elektrische veldsterkte berekenen. Met behulp van de formules voor de elektrisch arbeid en de spanning: W = Fel · d
en
U = W/q = Fel · d/q = E · d
vinden we de formule voor E: E = U/d = 104 V/4 · 10-2 m = 2,5 · 105 V/m Daarmee kunnen we ook de kracht berekenen: Fel =q · E = 8 · 10-18C · 2,5 · 105 V/m = 2 · 10-12 N Deze constante kracht zorgt voor een gelijkmatige versnelling van de deeltjes in de richting van de plaat. De waarde van de versnelling kunnen we vinden met de wet van Newton, F = m · a waarmee we a kunnen vinden: a= F/m = 2 · 10-12 N/5 · 10-12 kg = 0,4 m/s2 Wanneer we nu nog de platenafstand d substitueren als de afstand s in de formule: s = a/2 t2 voor de gelijkmatig versnelde beweging, kunnen we die oplossen voor de tijd t die een deeltje nodig heeft om de maximaal mogelijke afstand van de ene naar de andere plaat af te leggen: t = √2d/a = √0,08 m/0,4 m/s2 = √0,2 s2 ≈ 0,45 s Tijdens deze tijdsduur moeten de deeltjes zich nog in het veld bevinden; wanneer de deeltjes dus met een constante snelheid van 0,5 m/s bewegen, moeten de platen ten minste:
s = v · t = 0,5m/s · 0,45 s = 0,225 m (dus 22,5 cm) lang zijn om ervoor te zorgen dat de stofdeeltjes gegarandeerd voor het eind van hun weg op de plaat terechtkomen.
Opgaven bij deel 5 10 Radioactiviteit Opgave:
Een radioactieve probe met een halfwaardetijd T1/2 = 4 minuten heeft op het tijdstip t = 0 een activiteit van 3 · 104 Bq. Hoe groot is de activiteit na 6, 8, 12 minuten?
Aanwijzing:
Gebruik voor de activiteit op t = 6 minuten de formule uit hoofdstuk 12 en voor de andere waarden je 'gezond verstand' (halfwaardetijd).
Oplossing:
1,06; 0,75; respectievelijk 0,375 · 104 Bq
Uitwerking:
De formule die je moet gebruiken is: A(t) = A(0) · eln 2 · t/ T1/2 Substitueer de waarden voor de halfwaardetijd en de beginactiviteit in en de waarde 6 voor de tijd t. Dat levert: A(6) = 3 · 104 Bq · e ln 2 · 6/4 = 1,06 · 104 Bq als activiteit na 6 minuten. Let op: in de opgave kloppen de maateenheden voor de tijd en de halfwaardetijd met elkaar (allebei in minuten); let daar bij vergelijkbare vragen op en reken ze anders om! Nu komt het deel waarbij je je gezond verstand moet gebruiken: 8 minuten is tweemaal, 12 minuten drie maal de halfwaardetijd, dus is na 8 minuten nog maar een kwart, na 12 nog maar de helft van dit kwart, dus nog een achtste van 3·104 Bq aanwezig. Dat is na 8 minuten 0,75·104 Bq en na 12 minuten 0,375·104 Bq. Voor je eigen plezier kun je natuurlijk ook de bovenstaande formule gebruiken en ontdekken dat het daarmee precies zo uitkomt!
