ˇ ´I MODEL ASYNCHRONN´IHO STROJE SIMULACN E. Th¨ ondel, Ing. ˇ Katedra mechaniky a materi´al˚ u, FEL CVUT v Praze Abstrakt Asynchronn´ı motor je pro svou jednoduchost a n´ızkou cenu nejˇ castˇ eji pouˇ z´ıvan´ y typ elektromotoru, m˚ uˇ ze vˇ sak pracovat i jako gener´ ator elektrick´ e energie. V n´ asleduj´ıc´ıch odstavc´ıch bude odvozen simulaˇ cn´ı model asynchronn´ıho stroje, vˇ cetnˇ e jeho implementace v prostˇ red´ı MATLAB-SIMULINK. Tento model je vytv´ aˇ ren v r´ amci disertaˇ cn´ı pr´ ace, kter´ a se zab´ yv´ a modelov´ an´ım a ˇ r´ızen´ım kogeneraˇ cn´ıch jednotek, kde asynchronn´ı stroj bude slouˇ zit jako gener´ ator elektrick´ e energie.
1
Matematick´ y model motoru
Matematick´ y model je odvozen za n´asleduj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: • Nap´ajec´ı soustava je trojf´azov´a, soumˇern´a, napˇet´ı jsou harmonick´a. • Vinut´ı jednotliv´ ych f´az´ı jsou sinusovˇe rozloˇzena v dr´aˇzk´ach statoru. • Odpory a indukˇcnosti jednotliv´ ych f´az´ı jsou shodn´e. • Magnetizaˇcn´ı charakteristika je line´arn´ı. • Ztr´aty v ˇzeleze se zanedb´avaj´ı. Pro z´apis soustavy rovnic lze pouˇz´ıt bud’ maticov´e formy nebo z´apisu pomoc´ı prostorov´ ych vektor˚ u. Pro implementaci je v´ yhodnˇejˇs´ı maticov´ y z´apis, pro n´azornost z´apis vektorov´ y, kter´ y budeme d´ale pouˇz´ıvat.
1.1
Z´ akladn´ı rovnice asynchronn´ıho stroje
Asynchronn´ı stroj (AS) je konstrukˇcnˇe tvoˇren dvˇema trojf´azov´ ymi syst´emy vinut´ı v´azan´ ymi vz´ajemnou magnetickou vazbou. Vz´ajemn´a indukˇcnost vinut´ı statoru a rotoru se s ˇcasem mˇen´ı d´ıky ot´aˇcen´ı rotoru v˚ uˇci statoru. M˚ uˇzeme tedy napsat celkem ˇsest z´akladn´ıch rovnic pro jednotliv´e obvody (f´aze). Pro dalˇs´ı u ´vahy se omez´ıme nejprve na na stoj´ıc´ı asynchronn´ı stroj s uvaˇzov´an´ım vˇsech uveden´ ych omezuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u. N´asleduj´ıc´ı odvozen´ı z´akladn´ıch rovnic AS je moˇzn´e t´eˇz naj´ıt napˇr. v [1] nebo v [2]. Pro v´ ysledn´ y spˇraˇzen´ y magnetick´ y tok jedn´e f´aze statorov´eho vinut´ı v z´akladn´ı poloze m˚ uˇzeme napsat: 2 2 2 2 Ψa = La ia + Ms ib cos( π) + Ms ic cos(− π) + M iA + M iB cos( π) + M iC cos(− π), 3 3 3 3 kde je: La vlastn´ı indukˇcnost f´aze statorov´eho vinut´ı, Ms vz´ajemn´a indukˇcnost dvou f´az´ı statorov´eho vinut´ı, M vz´ajemn´a indukˇcnost odpov´ıdaj´ıc´ıch si f´az´ı statorov´eho a rotorov´eho vinut´ı.
(1)
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze vinut´ı nem´a vyveden´ y spoleˇcn´ y uzel, tedy plat´ı ib + ic = −ia a z´aroveˇ n pro 2 1 rotor iB + iC = −iA . D´ale plat´ı cos( 3 π) = − 2 . Po dosazen´ı do rovnice 1 dostaneme v´ ysledn´ y vztah: 1 3 Ψa = (La + Ms )ia + M iA . (2) 2 2 V pˇredchoz´ı rovnici m˚ uˇzeme oznaˇcit v´ yslednou indukˇcnost jedn´e f´aze statorov´eho vinut´ı: 1 Ls = (La + Ms ) 2
(3)
a vz´ajemnou indukˇcnost statoru a rotoru: 3 Lsh = M. 2
(4)
Napˇet’ov´a rovnice jedn´e f´aze statorov´eho vinut´ı m´a tvar: ua = Rs ia +
dΨa . dt
(5)
Stejnou u ´vahu lze prov´est i pro vˇsechny ostatn´ı f´aze statorov´eho a rotorov´eho vinut´ı a sestavit tak vˇsech ˇsest z´akladn´ıch rovnic AS.
1.2
Transformace souˇ radnic
Vz´ajemn´a indukˇcnost vinut´ı statoru a rotoru se s ˇcasem mˇen´ı d´ıky otaˇcen´ı rotoru v˚ uˇci statoru. Pˇri anal´ yze AS se pouˇz´ıv´a transformace do dvou ortogon´aln´ıch os ot´aˇcej´ıc´ıch se vhodnˇe zvolenou rychlost´ı. D´ıky transformaci se sn´ıˇz´ı poˇcet f´az´ı syst´emu a za urˇcit´ ych okolnost´ı pˇrejdou stˇr´ıdav´e veliˇciny na stejnosmˇern´e. Uvedenou transformaci si nejprve vysvˇetl´ıme na transformaci do soustavy pevnˇe sv´azanou se statorem, kter´a b´ yv´a v literatuˇre oznaˇcov´ana jako transformace αβ nebo Clarkova. V trojf´azov´ ych soustav´ach se ˇcasto setk´av´ame s f´azov´ ym posunem 32 π. Pro zjednoduˇsen´ı z´apisu f´azor˚ u a prostorov´ ych vektor˚ u proto zav´ad´ıme pomocn´e komplexn´ı ˇc´ıslo ([3]) 2
a = ej 3 π .
(6)
Pro pr´aci s t´ımto komplexn´ım ˇc´ıslem plat´ı n´asleduj´ıc´ı algebra: a · a2 = 1, a · a = a2 , a2 · a2 = a, 1 + a + a2 = 0.
(7)
Pr˚ ubˇeh okamˇzit´ ych hodnot proud˚ u jednotliv´ ych f´az´ı statoru m˚ uˇzeme nahradit jedin´ ym prostorov´ ym vektorem, definovan´ ym Ibss = K(ia + ib a + ic a2 ).
(8)
Doln´ı index znaˇc´ı, ˇze se jedn´a o proud statoru a horn´ı index znaˇc´ı, ˇze pracujeme v souˇradnic´ıch pevnˇe sv´azan´ ych se statorem. Prostorov´e vektory budeme d´ale znaˇcit se stˇr´ıˇskou. Dosad´ıme-li do vztahu 8 okamˇzit´e hodnoty f´azov´ ych proud˚ u, kter´e pˇredpokl´ad´ame harmonick´e s amplitudou Im a vz´ajemn´ ym f´azov´ ym posunem 23 π, dostaneme s respektov´an´ım vztah˚ u 7 pro komplexn´ı ˇc´ıslo a v´ yraz pro prostorov´ y vektor statorov´eho proudu: 3 Ibss = KIm ejωt . 2
(9)
Z tohoto vztahu jiˇz snadno z´ısk´ame sloˇzky statorov´eho proudu v pravo´ uhl´ ych souˇradnic´ıch pevnˇe sv´azan´ ych se statorem: iα = Re(Ibss ), iβ = Im(Ibss ).
(10)
q
2 Pˇri volbˇe koeficientu K = ı invariantnost v´ ykon˚ u. Pˇri volbˇe koeficientu K = 1 m´ a 3 plat´ 2 transformovan´ y vektor velikost danou fyzik´aln´ı skuteˇcnosti. Tˇret´ı pouˇz´ıvan´a volba je K = 3 . V tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı nutn´ y pˇrepoˇc´ıtac´ı koeficient mezi f´azov´ ym proudem ia a transformovan´ ym proudem iα
Pokud stejn´ y postup aplikujeme v odvozen´ ych rovnic´ıch AS, obdrˇz´ıme tak vztahy pro prostorov´e vektory statoru a rotoru: bs dΨ s , dt br dΨ r . = Rr Ibrr + dt
b s = Rs Ibs + U s s br U r
(11)
Aˇz doposud jsme pˇredpokl´adali, ˇze se rotor nepohybuje. Ot´aˇc´ı-li se rotor v˚ uˇci statoru u ´hlovou rychlost´ı ω, mˇen´ı se vz´ajemn´a indukˇcnost statorov´eho a rotorov´eho vinut´ı. Spˇraˇzen´e magnetick´e toky m˚ uˇzeme vyj´adˇrit ve formˇe prostorov´ ych vektor˚ u: b s = Ls Ibs + Lsh Ibr ejωt , Ψ s s r b r = Lr Ibr + Lrh Ibs e−jωt . Ψ r r s
(12)
Rovnice 11 a 12 tvoˇr´ı z´akladn´ı rovnice AS, kter´e budeme d´ale implementovat v programov´em prostˇred´ı MATLAB. Rovnice AS je moˇzn´e obecnˇe transformovat do libovoln´eho ortogon´aln´ıho syst´emu rotuj´ıc´ıho obecnou rychlost´ı ωk . Rovnice AS pak z´ıskaj´ı podobu: bk dΨ s b k, + jωk Ψ s dt bk dΨ r b k. = Rr Ibrk + + j(ωk − ω)Ψ s dt
b k = Rs Ibk + U s s bk U r
(13)
b k = Ls Ibk + Lsh Ibk , Ψ s s r b k = Lr Ibk + Lrh Ibk . Ψ r r s
(14)
Odvozen´ı je moˇzn´e naj´ıt napˇr. v [2]. U AS se v praxi poˇz´ıvaj´ı tyto tˇri syst´emy: • ωk = 0: Transformace do souˇradnic pevnˇe sv´azan´ ych se statorem (Clarkova nebo t´eˇz αβ). Tato transformace je vhodn´a pro sledov´an´ı statorov´ ych veliˇcin. • ωk = ωs : Transformace do souˇradnic rotuj´ıc´ıch synchronn´ı rychlost´ı (dq). Tato transformace je vhodn´a pro sledov´an´ı regulaˇcn´ıch dˇej˚ u. • ωk = ω: Transformace do souˇradnic sv´azan´ ych s rotorem (Parkova nebo t´eˇz kl). Tato transformace je vhodn´a pro sledov´an´ı rotorov´ ych veliˇcin. Volba syst´emu ve kter´em budeme rovnice modelovat m˚ uˇze znaˇcnˇe ovlivnit rychlost a pˇresnost simulace. Podle [4] plat´ı n´asleduj´ıc´ı doporuˇcen´ı:
• Pouˇzijte syst´em pevnˇe sv´azan´ y se statorem, pokud je napˇet´ı na statoru nesymetrick´e nebo nespojit´e a napˇet´ı na statoru je symetrick´e nebo nulov´e (motor s kotvou na kr´atko). • Pouˇzijte syst´em pevnˇe sv´azan´ y s rotorem, pokud je napˇet´ı na rotoru nesymetrick´e nebo nespojit´e a napˇet´ı na statoru je symetrick´e. • Pouˇzijte syst´em pevnˇe sv´azan´ y se statorem nebo rotuj´ıc´ı synchronn´ı rychlost´ı, pokud jsou napˇet´ı na statoru i rotoru symetrick´a a spojit´a. Vzhledem k omezen´ı, kter´e jsme definovali v u ´vodu, je nejvhodnˇejˇs´ı syst´em pro modelov´an´ı rovnic AS syst´em rotuj´ıc´ı synchronn´ı rychlost´ı. Tato transformace m´a dalˇs´ı v´ yhodu v tom, ˇze stˇr´ıdav´e veliˇciny ve statoru pˇrejdou na veliˇciny stejnosmˇern´e.
1.3
N´ ahradn´ı sch´ ema
Pˇri modelov´an´ı rovnic AS se vych´az´ı ze zn´am´eho n´ahradn´ıho sch´ematu. To vznikne pokud pˇrepoˇcteme rotorov´e veliˇciny na statorovou stranu. Transformaˇcn´ı koeficient vych´az´ı z poˇzadavku pˇrevodu rotorov´ ych parametr˚ u na stejn´ y poˇcet z´avit˚ u, f´az´ı a prostorov´e uspoˇr´ad´an´ı jako m´a stator pˇri zachov´an´ı energetick´ ych pomˇer˚ u [5]. Tento pˇrepoˇcet vych´az´ı: mr Nr kvr , ms Ns kvs Ns kvs = I· , Nr kvr ms Nr kvr 2 = R· , mr Ns kvs
U0 = U · I0 R0
(15)
kde Ns , Nr je poˇcet z´avit˚ u statoru a rotoru, ms , mr je poˇcet f´az´ı statoru a rotoru, kvs , kvr je ˇcinitel vinut´ı statoru a rotoru. Z´akladn´ı rovnice AS v souˇradnic´ıch pevnˇe sv´azan´ ych se statorem 13 a 14 (ωk = 0) m˚ uˇzeme po zaveden´ı skluzu impedanˇcnˇe spojit do jednoho n´ahradn´ıho sch´ematu (viz obr´azek 1).
Obr´azek 1: N´ahradn´ı sch´ema AS.
1.4
Energetick´ a bilance
ˇ y v´ Cinn´ ykon odeb´ıran´ y ze zdroje, resp. dod´avan´ y do zdroje (za pˇredpokladu, ˇze AS pracuje jako gener´ator) lze vyj´adˇrit obecn´ ym vztahem. bs Ib∗ ). P = A · Re(U s
(16)
Podle [6] se z v´ ykonu pˇred´avan´eho pˇres vzduchovou mezeru pˇremˇen´ı s-t´a ˇc´ast v Joulovy ztr´aty a (1-s)-t´a ˇc´ast v mechanick´ y v´ ykon. Plat´ı: M · ω = (1 − s)Pδ , ∆Pj
= s · Pδ .
(17)
Dosazen´ım do vztahu 16 a za pouˇzit´ı v´ yrazu 17 je moˇzn´e vyj´adˇrit mechanick´ y moment jako vektorov´ y souˇcin r˚ uzn´ ych kombinac´ı statorov´ ych a rotorov´ ych veliˇcin a to nez´avisle na volbˇe souˇradn´eho syst´emu. Odvozen´ı je moˇzn´e naj´ı napˇr. v [2]. Jednotliv´e kombinace jsou uvedeny v tabulce 1. Varianta 1.Promˇenn´a 2.Promˇenn´a Vztah n´asoben
1 Ibs Ibr Lh
2 Ibs bs Ψ -
3 Ibs bh Ψ -
4 Ibs br Ψ
5 Ibr bs Ψ
Lh Lr
Lh Ls
6 Ibr bh Ψ -
7 Ibr br Ψ -
8 bs Ψ br Ψ Lh σLs Lr
Tabulka 1: Vztahy pro v´ ypoˇcet elektromagnetick´eho momentu. Konstanta A je z´avisl´a na pouˇzit´e konstantˇe K pˇri transformaci statorov´ ych a rotorov´ ych veliˇcin. Pˇri volbˇe K = 32 plat´ı A = 23 a v´ ysledn´ y elektromagnetick´ y moment m˚ uˇzeme vyj´adˇrit napˇr.: 3 M = p(Ψα iβ − Ψβ iα ). (18) 2
2
Identifikace parametr˚ u
Identifikac´ı parametr˚ u AS rozum´ıme nalezen´ı hodnot jednotliv´ ych pasivn´ıch souˇc´astek v n´ahradn´ım sch´ematu. Klasick´e metody vych´az´ı z kruhov´eho diagramu. Kruhov´ y diagram ukazuje pr˚ ubˇehy proudu, momentu, v´ ykonu, ztr´at a skluzu ve vˇsech provozn´ıch stavech AS. Je to geometrick´e m´ısto konc˚ u f´azoru proudu statoru pˇri plynul´e zmˇenˇe skluzu. K sestrojen´ı kruhov´eho diagramu se vyuˇz´ıv´ a hodnot proudu, pˇr´ıkonu a u ´ˇcin´ıku namˇeˇren´ ych pˇri chodu napr´azdno a pˇri chodu nakr´atko, tj. pˇri zabrˇzdˇen´em rotoru, a namˇeˇren´e hodnoty odporu statorov´eho vinut´ı. Vedle tˇechto klasick´ ych metod je moˇzn´e pouˇz´ıt nˇekterou z dynamick´ ych metod identifikace syst´emu. Tyto metody vych´az´ı z mˇeˇren´ı dalˇs´ıch charakteristik, jako je napˇr. pˇrechodov´a ˇci impulsov´a charakteristika. Tyto metody je moˇzn´e naj´ıt napˇr. v [7]. N´asleduj´ıc´ı simulace budou prov´adˇeny s parametry AS z´ıskan´ ymi z [5]. Jedn´a se o stroj ˇ F 160M D4 − 08L z konstrukˇcn´ı ˇrady firmy CKD-Trakce. Parametry jsou uvedeny v tabulce 2. Typ F160MD4-08L
V´ ykon P [kW ] 11
Napˇ et´ı U [V ] 380
Proud I[A] 22
Spoj. ∆
Ot´ aˇ cky n[min−1 ] 1445
Frekv. f [Hz] 50
cos ϕ 0.83
´ cinn. Uˇ η[%] 90.4
Rs [mΩ] 838
0 Rr [mΩ] 1264
Xh [Ω] 73.4
Xs [Ω] 3.05
Xr0 [Ω] 3.01
Tabulka 2: Z´akladn´ı parametry AS.
3 3.1
Implementace modelu Maticov´ y tvar rovnic AS
Odvozen´e rovnice 13 a 14 nejsou vhodn´e pro pˇr´ımou implementaci na poˇc´ıtaˇci. D˚ uvodem je omezen´a podpora pr´ace s komplexn´ımi ˇc´ısly. Z tohoto d˚ uvodu je vhodn´e tyto rovnice nejprve vyj´adˇrit v maticov´e podobˇe. Z´akladn´ı rovnice 11 a 12 AS lze pˇrepsat do maticov´e podoby: − → − → → dΨss − Uss = Rs Iss + , dt − → − →r →r dΨrr − Ur = Rr Ir + , dt − → → − → − Ψss = Ls Iss + Lsh T (ϑ) Irr ,
− → → − → − Ψrr = Lr Irr + Lrh T −1 (ϑ) Iss ,
(19)
kde T (ϑ) je transformaˇcn´ı matice ze syst´emu rotuj´ıc´ıho rychlost´ı ω (ϑ = ωt) do stoj´ıc´ıho syst´emu. Jej´ı tvar je moˇzn´e zapsat ve tvaru: T (ϑ) =
cos ϑ − sin ϑ sin ϑ cos ϑ
!
.
(20)
Jelikoˇz se jedn´a o ortogon´aln´ı matici, plat´ı t´eˇz T −1 (ϑ) = T T (ϑ) [8]. D´ale je moˇzn´e tyto rovnice opˇet transformovat do obecnˇe rotuj´ıc´ıho syst´emu. Rovnice pro rotor pˇrevedeme nejprve ze syst´emu rotoru do absolutnˇe stoj´ıc´ıho syst´emu statoru, pak do obecnˇe rotuj´ıc´ıho syst´emu. Za pˇredpokladu, ˇze plat´ı: ! dT −1 (ϑ) 0 1 T (ϑ) (21) = = −J −1 0 dϑ a d´ale s pouˇzit´ım pravidla o derivov´an´ı sloˇzen´e funkce dost´av´ame: − → − → − →k →k dΨks − + Jωk Ψks , Us = Rs Is + dt − → − →k →k dΨkr − − → Ur = Rr Ir + + J(ωk − ω)Ψkr , dt − →k →k − → − Ψs = Ls Is + Lsh Irk , − → → − → − Ψkr = Lr Irk + Lrh Isk .
(22)
Takto upraven´e rovnice lze jiˇz pˇr´ımo implementovat v prostˇred´ı MATLAB-SIMULINK. Vid´ıme tak´e, ˇze pˇreveden´ı do maticov´e podoby je moˇzn´e prostou symbolickou z´amˇenou komplexn´ıho ˇc´ısla j transformaˇcn´ı matic´ı J.
3.2
Simulinkov´ e sch´ ema
Jak jiˇz bylo uvedeno v odstavci o transformaci veliˇcin, je nejvhodnˇejˇs´ı syst´em pro modelov´an´ı ten, kter´ y rotuje synchronn´ı rychlost´ı ωs (ωk = ωs ). V tomto syst´emu pˇrejdou stˇr´ıdav´e statorov´e veliˇciny na veliˇciny stejnosmˇern´e. Vlastn´ı implementace v prostˇred´ı MATLAB-SIMULINK je na obr´azc´ıch 2, 3 a 4.
Obr´azek 2: Simulinkov´e sch´ema AS.
Obr´azek 3: Simulinkov´e sch´ema AS - osa d.
Obr´azek 4: Simulinkov´e sch´ema AS - osa q.
3.3
V´ ysledky simulac´ı
Na obr´azku 5 je zobrazena momentov´a charakteristika AS ve vˇsech tˇrech provozn´ıch stavech AS. V oblasti pro ωωs · 100 ∈ (−100, 0) pracuje AS jako asynchronn´ı brzda. Rotor je poh´anˇen mechanick´ ym momentem proti smyslu ot´aˇcen´ı toˇciv´eho magnetick´eho pole. V oblasti pro ωωs · 100 ∈ h0, 100) pracuje AS jako motor. Pˇriv´adˇen´a elektrick´a energie se pˇremˇen ˇuje v mechanickou. ω V posledn´ı oblasti pro ωs · 100 ∈ h100, 300) pracuje AS jako gener´ator. Pˇriv´adˇen´a mechanick´ a energie se mˇen´ı na energii elektrickou. Odvozen´ y model lze tedy vyuˇz´ıt pro simulace chov´an´ı AS ve vˇsech jeho provozn´ıch stavech. Obr´azek 6 ukazuje z´avislost u ´ˇcinnosti na dod´avan´em ˇcinn´em v´ ykonu. V bodˇe, kdy motor odeb´ır´a ze s´ıtˇe jmenovit´ y v´ ykon, je u ´ˇcinnost o m´alo vˇetˇs´ı neˇz je ˇst´ıtkov´ yu ´daj (viz tabulka 2). To je zp˚ usobeno zanedb´an´ım nˇekter´ ych ztr´at (pˇredevˇs´ım ztr´at v ˇzeleze a ztr´at zp˚ usoben´ ych mechanick´ ym tˇren´ım). Posledn´ı obr´azek 7 zobrazuje ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh pˇrechodov´e charakteristiky AS. Motor se nejprve rozb´ıh´a napr´azdno a v ˇcase t = 0.5s je na nˇej pˇripojena konstantn´ı z´atˇeˇz Mz = 100N m.
Obr´azek 5: Momentov´a charakteristika.
Obr´azek 6: Z´avislost u ´ˇcinnosti na dod´avan´em ˇcinn´em v´ ykonu.
Obr´azek 7: Pˇrechodov´a charakteristika AS.
4
Z´ avˇ er
V uveden´em ˇcl´anku byl odvozen simulaˇcn´ı model asynchronn´ıho stroje. Uveden´ y model pokr´ yv´ a jen elektrick´e vlastnosti AS. Mechanick´a ˇc´ast modelu je zahrnuta v jin´e ˇc´asti celkov´eho modelu kogeneraˇcn´ı jednotky. Touto ˇc´ast´ı se tento ˇcl´anek nezab´ yv´a.
Reference ˇ rovsk´ ˇ [1] J. Jav˚ urek J. Pavelka, J. Ceˇ y. Elektrick´e pohony, volume 221. Vydavatelstv´ı CVUT, Praha, 2001. ISBN 80-01-02314-1. [2] J. Jav˚ urek. Regulace modern´ıch elektrick´ych pohon˚ u, volume 264. Grada Publishing, a.s., Praha, 2003. ISBN 80-247-0507-9. [3] V. Havl´ıˇcek M. Mikulec. Z´ aklady teorie elektrick´ych obvod˚ u, volume 252. Vydavatelstv´ı ˇ CVUT, Praha, 1997. ISBN 80-01-01620-X. [4] O. Wasynczuk P. C. Krause. Analysis of Electric Machinery. IEEE Press, 1995. ˇ [5] J. Gerlich. Identifikace parametr˚ u asynchronn´ıho motoru, volume 95. CVUT, Praha, 1995. [6] V. Such´anek J. Janouˇsek. Z´ aklady silnoproud´e elektrotechniky, volume 152. Vydavatelstv´ı ˇ CVUT, Praha, 1997. ISBN 80-01-00834-7. [7] P. Noskieviˇc. Modelov´ an´ı a identifikace syst´em˚ u, volume 276. Montanex, a.s., Ostrava, 1999. ISBN 80-7225-030-2. ˇ [8] E. Krajn´ık. Maticov´y poˇcet, volume 131. Vydavatelstv´ı CVUT, Praha, 1998. ISBN 80-0101723-0.
E. Th¨ondel
[email protected]
