´ ˇ ´ SYNCHRONIZACE VZORKOVAC´ICH PROBLEM SPATN E ˇ ˚ ´ U: ˚ MODEL V PROSTRED ˇ ´I KMITOCTU U MLS SIGNAL MATLAB F. Rund, A. Nov´ ak ˇ Katedra radioelektroniky, FEL CVUT v Praze Abstrakt Chceme-li hodnotit kvalitativn´ı str´ anku zpracov´ an´ı zvukov´ e informace, je nejprve nutn´ e stanovit objektivn´ı parametry syst´ em˚ u pro toto zpracov´ an´ı pouˇ zit´ ych, jako napˇ r. pˇ renosov´ e vlastnosti. Pro mˇ eˇ ren´ı tˇ echto parametr˚ u se ˇ casto s v´ yhodou pouˇ z´ıv´ a tzv. posloupnost´ı maxim´ aln´ı d´ elky (MLS). Pˇ ri praktick´ em pouˇ zit´ı metod vyuˇ z´ıvaj´ıc´ıch MLS je moˇ zn´ e setkat se s urˇ cit´ ymi probl´ emy, zvl´ aˇ stˇ e je-li nutn´ e generovat mˇ eˇ ric´ı sign´ al jedn´ım zaˇ r´ızen´ım a zaznamen´ avat a vyhodnocovat ho na jin´ em zaˇ r´ızen´ı. Tento ˇ cl´ anek se zab´ yv´ a vlivem ˇ spatn´ e synchronizace vzorkovac´ıch kmitoˇ ct˚ u pˇ ri pouˇ zit´ı MLS sign´ al˚ u pro mˇ eˇ ren´ı pˇ renosov´ ych vlastnost´ı. Probl´ em je zkoum´ an nejdˇ r´ıve pomoc´ı harmonick´ eho sign´ alu a pot´ e pomoc´ı modelov´ an´ı tohoto jevu v prostˇ red´ı Matlab. Model byl porovn´ an s v´ ysledky re´ aln´ eho mˇ eˇ ren´ı.
1
Vyuˇ zit´ı MLS pro mˇ eˇ ren´ı pˇ renosov´ ych vlastnost´ı
Pro hodnocen´ı kvality zvukov´e techniky je d˚ uleˇzit´a znalost pˇrenosov´ ych parametr˚ u tˇechto zaˇr´ızen´ı. Tyto parametry lze zjistit r˚ uzn´ ymi metodami. Jednou z tˇechto metod je mˇeˇren´ı pomoc´ı pseudon´ahodn´ ych posloupnost´ı maxim´aln´ı d´elky (Maximum-Length Sequences – MLS). Tato metoda se ˇcasto pouˇz´ıv´a zejm´ena d´ıky snadn´emu generov´an´ı MLS sign´al˚ u (posuvn´ ym registrem) a jejich vlastnostem. Hlavn´ı vlastnost´ı MLS, na kter´e stoj´ı vyuˇzit´ı pro mˇeˇren´ı, je jej´ı periodick´a autokorelaˇcn´ı funkce [1], [2], [3]. 1 , (1) Rpxx [n] = xp [n] ⊕ xp [n] = δp [n] − L+1 kde oper´ator ⊕ vyjadˇruje operaci cyklick´e korelace, x p [n] je periodick´ y MLS sign´al1 s d´elkou periody L a δp [n] je periodick´a sekvence dirakov´ ych impulz˚ u s tout´eˇz periodou L. Je zˇrejm´e, ˇze pˇri velk´e d´elce periody L . Rpxx [n] = δp [n]. (2) Pˇri mˇeˇren´ı soustavy, kter´a m´a odezvu h p [n] na sign´al δp [n], pˇrivedeme na vstup soustavy periodick´ y MLS sign´al xp [n], na jej´ım v´ ystupu obdrˇz´ıme sign´al y p [n] = xp [n] ~ hp [n], oper´ator ~ vyjadˇruje operaci cyklick´e konvoluce. Dalˇs´ım krokem je v´ ypoˇcet cyklick´e korelaˇcn´ı funkce sign´al˚ u x p [n] a yp [n], pro kter´ y existuje efektivn´ı algoritmus. Po dosazen´ı z pˇredchoz´ıch vztah˚ u dostaneme: . . Rpxy [n] = xp [n] ⊕ yp [n] = Rpxx [n] ~ hp [n] = δp [n] ~ hp [n] = hp [n]
(3)
Pˇri dostateˇcn´e d´elce MLS sekvence tedy dost´av´ame pˇr´ımo impulzn´ı odezvu zkouman´e soustavy, ze kter´e m˚ uˇzeme snadno spoˇc´ıtat dalˇs´ı charakteristiky, pˇredevˇs´ım kmitoˇctovou odezvu [4], [5], [6].
2
Nesynchronost vzorkovac´ıch kmitoˇ ct˚ u
Pouˇzijeme-li pro mˇeˇren´ı urˇcit´e soustavy metodu vyuˇz´ıvaj´ıc´ı MLS, kde zdrojem sign´alu MLS bude jedno zaˇr´ızen´ı a syst´emem, jenˇz zaznamen´av´a a popˇr´ıpadˇe rovnou zpracov´av´a odezvu 1
index p oznaˇcuje periodicitu, v dalˇs´ıch kapitol´ ach budou periodick´e sign´ aly znaˇceny jiˇz bez indexu x p [n] = x[n].
bude zaˇr´ızen´ı druh´e, m˚ uˇzeme se dostat do znaˇcn´ ych probl´em˚ u dan´ ych nepatrnˇe rozd´ıln´ ymi vzorkovac´ımi kmitoˇcty. Probl´emu bychom se pochopitelnˇe mohli vyhnout za pˇredpokladu pouˇzit´ı extern´ı synchronizace, ale ne vˇzdy lze pˇr´ıstroje externˇe synchronizovat. N´asleduj´ıc´ı kapitola pojedn´av´a o neˇza´douc´ıch jevech vznikaj´ıc´ıch pˇri pouˇzit´ı dvou odliˇsn´ ych vzorkovan´ıch kmitoˇct˚ u. Pro upˇresnˇen´ı je tˇreba dodat, ˇze pojmem odliˇsn´y vzorkovac´ı kmitoˇcet je myˇslen kmitoˇcet, jenˇz by teoreticky mˇel b´ yt shodn´ y, ovˇsem z d˚ uvod˚ u nedokonalosti gener´ator˚ u kmitoˇct˚ u se o nˇeco liˇs´ı od standartn´ı hodnoty. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt CD pˇrehr´avaˇc o vzorkovac´ım kmitoˇctu f s1 = 44.1 kHz propojen´ y analogovou cestou s CD rekord´erem opˇet se vzorkovac´ım kmitoˇctem f s2 = 44.1 kHz, ovˇsem z d˚ uvod˚ u uveden´ ych v´ yˇse m˚ uˇze b´ yt skuteˇcnost nepatrnˇe jin´a, napˇr: f s1 = 44.101 kHz a fs2 = 44.099 kHz. Jelikoˇz se jedn´a o probl´em vzorkovac´ıch kmitoˇct˚ u, budeme jako prvn´ı zaˇr´ızen´ı uvaˇzovat pouze DA-pˇrevodn´ık a jako druh´e zaˇr´ızen´ı pouze AD-pˇrevodn´ık. Cel´a situace je naznaˇcena na obr´azku 1. ANALOG
x[n]
DAC
h(t)
ADC
y[n]
Obr´azek 1: Sch´ema pro mˇeˇren´ı analogov´e soustavy
2.1
Probl´ em synchronizace na sinov´ em modelu
Pro jednoduˇsˇs´ı vysvˇetlen´ı cel´e problematiky vyuˇzijeme pro zaˇca´tek sinov´eho sign´alu m´ısto MLS sign´alu. Uvaˇzujme sinov´ y sign´al na vstupu soustavy, jehoˇz kmitoˇcet bude odpov´ıdat jedn´e ˇctvrtinˇe vzorkovac´ıho kmitoˇctu n´asleduj´ıc´ıho D/A pˇrevodn´ıku. Sign´al x[n] lze tedy zapsat jako x[n] = A sin(2πf1
n ) fs1
(4)
a pˇri pouˇzit´ı kmitoˇctu rovn´eho ˇctvrtinˇe vzorkovac´ıho f 1 = fs1 /4 dojdeme n´asleduj´ıc´ı u ´ pravou k hodnot´am samotn´ ych vzork˚ u digit´aln´ıho sign´alu x[n]: fs1 n ) 4 fs1 n = A sin(2π ) 4 n = A sin(π ) 2 = {..., 0, A, 0, −A, 0, A, 0, −A, ...}.
x[n] = A sin(2π
Kmitoˇcet f1 = fs1 /4 byl zvolen u ´ myslnˇe, aby byly vidˇet rozd´ıly po ˇspatn´e synchronizaci na druh´e stranˇe ˇretˇezce. N´asleduj´ıc´ı obr´azek zn´azorˇ nuje v´ yˇse popsan´ y harmonick´ y sign´al.
Obr´azek 2: Harmonick´ y sign´al o f 1 = fs1 /4 s vynesen´ ym vzorkov´an´ım fs1
Projde-li takov´ yto sign´al pouze DA pˇrevodn´ıkem a soustavou s jednotkov´ ym pˇrenosem, jak je zn´azornˇeno na obr´azku 3, a pot´e AD pˇrevodn´ıkem, dojde kromˇe pr˚ uchodu antialiazingov´ ym filtrem t´eˇz k nepatrn´emu posunu vzork˚ u, zp˚ usoben´ ym pr´avˇe zm´ınˇenou nesynchronost´ı vzorkovac´ıch kmitoˇct˚ u AD a DA pˇrevodn´ıku. V´ ystupn´ı sign´al z takov´e soustavy pak m˚ uˇze vypadat podle obr´azku 4. Na tomto pˇr´ıkladu je posun vzorkovac´ıho kmitoˇctu mnohem vˇetˇs´ı neˇz ve skuteˇcnosti pouze z d˚ uvodu n´azornosti. ANALOG
DAC
x(t)
ADC
y(t)
Obr´azek 3: Sch´ema pro mˇeˇren´ı analogov´e soustavy
Obr´azek 4: Harmonick´ y sign´al o f 1 = fs1 /4 s vynesen´ ym vzorkov´an´ım fs2 > fs1 Aˇckoliv mˇela soustava jednotkov´ y pˇrenos a i kdybychom uvaˇzovali DA pˇrevodn´ık jako ide´aln´ı interpol´ator a AD pˇrevodn´ık jako ide´aln´ı vzorkovac´ı obvod, samotn´e vych´ ylen´ı kmitoˇctu zp˚ usob´ı posun vzork˚ u, jenˇz m˚ uˇze hr´at ve v´ ypoˇctech s MLS sign´aly v´ yznamnou roli. Na obr´azc´ıch 5a a 5b je pak vynesena stejn´a situace, pouze s delˇs´ı ˇcasovou osou. Aˇckoliv se jedn´a o harmonick´e sign´aly, tak obr´azek 5b obsahuje okem patrn´e z´aznˇeje, jenˇz jsou pouze d˚ usledkem zobrazen´ı jednotliv´ ych vzork˚ u. V obou pˇr´ıpadech se jedn´a o sign´al obsahuj´ıc´ı jednu jedinou harmonickou sloˇzku.
(a) vzorkov´ an´ı fs1
(b) vzorkov´ an´ı fs2 > fs1
Obr´azek 5: Harmonick´ y sign´al o f 1 = fs1 /4
2.2
Probl´ em synchronizace na modelu s MLS
Ke stejn´emu jevu pochopitelnˇe m˚ uˇze doj´ıt u vˇsech typ˚ u sign´alu, stejnˇe tak u MLS. Tˇech se nav´ıc hojnˇe vyuˇz´ıv´a k mˇeˇren´ı. Stejn´ y myˇslenkov´ y postup, jako byl uveden v odstavci 2.1 bude nyn´ı pouˇzit na MLS. Opˇet m´ame soustavu DA – AD pˇrevodn´ık, jenˇz je na obr´azku 3. Jako vstupn´ı sign´al nyn´ı uvaˇzujeme MLS, jehoˇz mal´a ˇca´st je uvedena na obr´azku 6a. Po pr˚ uchodu DA pˇrevodn´ıkem, soustavou s jednotkov´ ym pˇrenosem a AD pˇrevodn´ıkem, jehoˇz vzorkovac´ı kmitoˇcet se nepatrnˇe liˇs´ı od kmitoˇctu DA pˇrevodn´ıku dojde k posunut´ı p˚ uvodn´ıch vzork˚ u, v´ ysledek je na obr´azku 6b.
(a) spr´ avnˇe vzorkovan´ y na fs1
(b) chybnˇe vzorkovan´ y na fs2 > fs1
Obr´azek 6: MLS sign´al pˇred a po pr˚ uchodu DA, AD soustavou s r˚ uzn´ ymi f s
Obr´azek 7: MLS sign´al: zelenˇe spr´avn´e vzorkov´an´ı, modˇre posunut´e vzorkov´an´ı Na obr´azku 7 jsou vykresleny oba sign´aly pˇres sebe, zelenˇe je oznaˇcen spr´avn´ y p˚ uvodn´ı MLS sign´al, obsahuj´ıc´ı pouze u ´ rovnˇe 0 a 1, modˇre jsou vyneseny vzorky posunut´e v d˚ usledku nesynchronovanosti AD a DA pˇrevodn´ıku. Pro v´ ypoˇcet dan´e soustavy a jej´ıho pˇrenosu vˇsak bude tˇreba pouˇzit v´ ystupn´ı (modr´ y) sign´al. V´ ypoˇcet vˇsak poˇc´ıt´a s dokonalou synchronnost´ı, respektive se bere vektor hodnot nez´avisl´ ych na okamˇzic´ıch kdy byly odebr´any a jsou podrobeny korelaci s p˚ uvodn´ım MLS sign´alem. Na obr´azku 8 je proto naznaˇceno jak budou vzorky br´any pro v´ ypoˇcet korelace. Ve skuteˇcnosti tedy dojde k zpˇetn´emu posunu vzork˚ u na sv´e p˚ uvodn´ı pozice, ovˇsem s hodnotami, jenˇz byly odebr´any pˇri vzorkov´an´ı a tak dojde k chybn´emu v´ ypoˇctu.
Obr´azek 8: Dva sign´aly MLS, zelenˇe origin´al, modˇre po pr˚ uchodu DA, AD soustavou
3
Simulace v prostˇ red´ı Matlab
Simulace ˇspatn´e synchronizace byla v prostˇred´ı Matlab r provedena pomoc´ı funkc´ı pro pˇrevzorkov´an´ı sign´alu. Pomoc´ı pˇr´ıkazu interp byla nejprve provedena simulace pˇrevodu na analogov´ y sign´al a po t´e pˇr´ıkazem decimate simulace zpˇetn´eho pˇrevodu na digit´aln´ı sign´al. Pro nepatrnou zmˇenu kmitoˇctu byla prov´adˇena interpolace hodnotou 200 a decimace hodnotou 199. Na obr´azc´ıch 9a a 9b jsou pak vyneseny v´ ysledn´e impulzov´e odezvy vypoˇcten´e zp˚ usobem uveden´ ym v odstavci 1. V tomto pˇripadˇe byl pouˇzit MLS d´elky 255, kdy jsou chyby ve v´ ysledn´e impulsov´e odezvˇe patrnˇejˇs´ı. Na obr´azc´ıch 10a a 10b jsou pak vynesena spektra jednotliv´ ych impulsov´ ych odezev. Je patrn´e, ˇze pˇri ˇspatn´e synchronizaci dojde t´eˇz k chybn´emu v´ ypoˇctu spektra. V tomto pˇr´ıpadˇe jde opˇet o posun vzorkovac´ıch kmitoˇct˚ u ve velk´em pomˇeru 200 ku 199.
(a) spr´ avn´ a synchronizace
(b) ˇspatn´ a synchronizace
Obr´azek 9: Vypoˇcten´a impulsov´a odezva z korelaˇcn´ı funkce
4
Mˇ eˇ ren´ı proveden´ a s a bez synchronizace
V Pˇr´ıloze jsou uvedeny v´ ysledky z´ıskan´e pˇri tˇrech r˚ uzn´ ych mˇeˇren´ıch. Ve vˇsech pˇr´ıpadech ˇslo o mˇeˇren´ı pomoc´ı MLS sign´alu, jednou byla pouˇzita soustava se synchronizovan´ ymi kmitoˇcty, dalˇs´ı
(a) spr´ avn´ a synchronizace
(b) ˇspatn´ a synchronizace
Obr´azek 10: Pˇrenosov´a funkce vypoˇcten´a z impulsov´e odezvy
mˇeˇren´ı byla provedena na nesynchronizovan´ ych soustav´ach. Pˇri mˇeˇren´ı na nesynchronizovan´ ych soustav´ach byl pouˇzit jednou pˇr´ım´ y MLS sign´al a podruh´e sign´al filtrovan´ y doln´ı propust´ı pod hranic´ı poloviny vzorkovac´ıho kmitoˇctu, aby byla prok´az´ana nez´avislost pouˇzit´ı filtrovan´eho MLS sign´alu na tomto jevu. Z v´ ysledk˚ u uveden´ ych v Pˇr´ıloze je patrn´ y d˚ usledek nesynchronizovan´eho mˇeˇric´ıho syst´emu. Ve vypoˇcten´e impulsov´e odezvˇe se objevuje ˇsum, jehoˇz hodnota dosahuje v dan´ ych mˇeˇren´ıch dvou desetin procenta maxim´aln´ı hodnoty, coˇz pˇredstavuje odstup sign´alu od ˇsumu ˇra´dovˇe 50 dB. Nutno podotknout, ˇze toto mˇeˇren´ı bylo provedeno s MLS sign´alem d´elky 65535 vzork˚ u, pˇri kratˇs´ıch period´ach by se chyba uplatnila v´ıce.
5
Z´ avˇ ery
V tomto ˇcl´anku byla prezentov´ana problematika vlivu nesynchronosti vzorkovac´ıch kmitoˇct˚ u na mˇeˇren´ı odezev soustav pomoc´ı MLS. Rozbor problematiky byl proveden pomoc´ı harmonick´eho sign´alu, analytick´ y rozbor MLS sign´alu by byl velmi obt´ıˇzn´ y. Proto byl k ovˇeˇren´ı z´avˇer˚ u r
sestaven´ ych pro harmonick´ y sign´al vyuˇzit model v prostˇred´ı Matlab . V´ ysledky modelu v prostˇred´ı Matlab r napov´ıdaj´ı, ˇze v pˇr´ıpadˇe i nepatrnˇe odliˇsn´eho vzorkovac´ıho kmitoˇctu na vys´ılac´ı“ a pˇrij´ımac´ı“ stranˇe dojde k ovlivnˇen´ı v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı. ” ” D˚ usledkem toho je vznik ˇsumu“, kter´ y se objev´ı ve vypoˇcten´e impulzn´ı odezvˇe (obr 9) a tud´ıˇz ” i v pˇrenosov´e funkci (obr 10). V´ ysledky pˇredpovˇezen´e modelem byly ovˇeˇreny pomoc´ı mˇeˇren´ı na re´aln´em syst´emu, jak je dokumentov´ano na obr´azc´ıch v Pˇr´ıloze. Pˇri tomto mˇeˇren´ı bylo tak´e ovˇeˇreno, ˇze popsan´ y probl´em nesouvis´ı s pouˇzit´ım antialiasingov´eho filtru. Popsan´emu probl´emu se lze vyhnout pravdˇepodobnˇe pouze pouˇzit´ım synchronizovan´ ych zaˇr´ızen´ı, coˇz je velmi omezuj´ıc´ı podm´ınka. Velikost artefakt˚ u souvisej´ıc´ıch s t´ımto probl´emem kles´a s rostouc´ı d´elkou periody pouˇzit´e MLS, avˇsak pro pˇresn´a mˇeˇren´ı je nutn´a synchronizace.
Podˇ ekov´ an´ı ˇ ˇc.102/05/2054 Kvalitativn´ı aspekty zpracov´an´ı Tato pr´ace byla podporov´ana grantem GA CR ” audiovizu´aln´ı informace v multimedi´aln´ıch syst´emech“.
Literatura ˇ [1] KADLEC, F., Zpracov´an´ı akustick´ ych sign´al˚ u. Praha : CVUT, 2002, pp. 189. ISBN 80-0102588-8 [2] Kadlec, F.: Measurement of Distributed Acoustic Systems Using Maximum-Length Sequences. In: 100th Convention of the Audio Engineering Society, Copenhagen, Denmark, May 11 - 14, 1996, Preprint 4269. [3] Kadlec, F.: The Measurement of Acoustical and Electroacoustical Systems by Means of Pseudorandom Signals. In: Proc. of 7th International Congress on Sound and Vibration, Garmisch - Partenkirchen, 4 -7 July, 2000, pp. 3345-3352. [4] RIFE, D. D., VANDERKOOY, J. Transfer-Function Measurement with Maximum- Length Sequences. J. Audio Eng. Soc. June 1989, Vol. 37, No. 6, s. 419-443. [5] VANDERKOOY, J. Aspects of MLS Measuring Systems. J. Audio Eng. Soc. April 1994, Vol. 42, No. 4, s. 219-231. [6] Rife, D. D. - Vanderkooy, J.: Transfer-function measurement with maximum-length sequences. J. Audio Engineering Society, June 1989, Vol. 37, No. 6, p. 419-443.
Frantiˇsek Rund tel. 22435 2108, e-mail:
[email protected] ˇ Katedra radioelektroniky, FEL CVUT Praha, Technick´a 2, 166 27, Praha 6 Anton´ın Nov´ak tel. 22435 2111, e-mail:
[email protected] ˇ Katedra radioelektroniky, FEL CVUT Praha, Technick´a 2, 166 27, Praha 6
Pˇ r´ıloha
1
0.8
0.8
0.6 Impulse Response
1
Impulse Response
1.2
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2 0
1
2
3 4 Samples [−]
5
6
7
−0.4 0
1
2
3 4 Samples [−]
4
x 10
5
6
7 4
x 10
(a) cel´e zobrazen´ı 65535 vzork˚ u
0.8
0.8 Impulse Response
1
Impulse Response
1
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2 0 0 −0.2 −0.2
5080
5090
5100
5110 5120 Samples [−]
5130
5140
5080
5090
5100
5110 5120 Samples [−]
5130
5140
0.015
0.015
0.01
0.01
0.005
0.005
Impulse Response
Impulse Response
(b) detail odezvy
0
−0.005
−0.01
−0.015 0
0
−0.005
−0.01
1
2
3 4 Samples [−]
5
−0.015 0
6 4
x 10
1
2
3 4 Samples [−]
5
6 4
x 10
(c) detail n´ızk´e u ´rovnˇe
Obr´azek 11: Impulsov´e odezvy vypoˇc´ıtan´e z mˇeˇren´ ych dat. Vlevo ˇspatn´a, vpravo spr´avn´a synchronizace. MLS sign´al ˇra´du 16, L = 65535
1 0.015
0.8 0.01
Impulse Response
Impulse Response
0.6
0.4
0.2
0
0
−0.005
−0.01
−0.2
−0.4 0
0.005
1
2
3 4 Samples [−]
5
6
7 4
x 10
(a) cel´e zobrazen´ı 65535 vzork˚ u
−0.015 0
1
2
3 4 Samples [−]
5
6 4
x 10
(b) detail n´ızk´e u ´rovnˇe
Obr´azek 12: Impulsov´a odezva po ˇspatn´e synchronizaci (filtrovan´ y MLS sign´al ˇra´du 16, L = 65535)
(a) neupravovan´ y sign´ al
(b) sign´ al po pr˚ uchodu soustavou (filtrem)
(c) sign´ al po pr˚ uchodu soustavou a po ˇspatn´e synchronizaci
(d) filtrovan´ y MLS sign´ al po pr˚ uchodu soustavou a po ˇspatn´e synchronizaci
Obr´azek 13: Mˇeˇren´ y MLS sign´al ˇra´du 16, L = 65535, 3 periody
